एक एनोटेशन के बजाय:

"...कैंटर का विकर्ण प्रमाण बेवकूफों के लिए एक अभ्यास है, जिसका शास्त्रीय तर्क में आमतौर पर कटौती कहा जाता है, उससे कोई लेना-देना नहीं है।"

एल विट्गेन्स्टाइन

“...कैंटर का सिद्धांत दर्शाता है इतिहास में एक पैथोलॉजिकल घटना का प्रतिनिधित्व करता है गणित, किस भविष्य से पीढ़ियाँ बस भयभीत हो जाएँगी"

के. बाउर, टोपोलॉजी के संस्थापक

1. आधुनिक गणितीय ज्ञान का संकट।

प्राचीन और मध्यकालीन विज्ञान को आधुनिक यूरोपीय विज्ञान में बदलने की प्रक्रिया में अग्रणी भूमिका गणित की है, क्योंकि गणित के बिना सैद्धांतिक प्राकृतिक विज्ञान असंभव है। आधुनिक यूरोपीय प्राकृतिक विज्ञान में, यह कोई संयोग नहीं है कि गणित को "विज्ञान की रानी" कहा जाता है। यदि प्राचीन काल में इसे प्राकृतिक विज्ञान से अलग कर दिया गया था और इसका विषय आदर्श गणितीय संस्थाओं का क्षेत्र था, तो आधुनिक समय में स्थिति नाटकीय रूप से बदल जाती है। गणित प्राकृतिक विज्ञानों के करीब जा रहा है और उन्हें सह-अस्तित्व के अपने नियम निर्धारित करना शुरू कर रहा है। इस संबंध में, आधुनिक वैचारिक प्राकृतिक विज्ञान को गणितीय की परिभाषा प्राप्त होती है। आधुनिक प्राकृतिक विज्ञानों की सफलता का श्रेय आधुनिक यूरोपीय गणित को जाता है। हालाँकि, नवीनतम, तीसरा संकट, जो सौ वर्षों से अधिक समय से चल रहा है, इसकी नींव में गंभीर समस्याओं के अस्तित्व का संकेत देता है।

एक पारंपरिक दृष्टिकोण है कि XIX-XX सदियों के मोड़ पर। गणित की नींव का तीसरा संकट था, जिसके कारण तर्क के साथ गणित के मेल-मिलाप के साथ-साथ संख्या, समुच्चय, सीमा, फलन आदि जैसी गणितीय अवधारणाओं को स्पष्ट करने की आवश्यकता से जुड़े हैं।

इस संकट की उत्पत्ति 17वीं-18वीं शताब्दी में हुई, जब गणित ने प्राकृतिक विज्ञान में समस्याओं को हल करने के तरीके विकसित किए। इस समय के गणितज्ञों को अपनी पद्धतियों के तार्किक औचित्य की विशेष परवाह नहीं थी [एल.एस. फ्रीनमैन. उच्च गणित के निर्माता. एम., 1968. एस. 83-84]

19 वीं सदी में मौलिक अवधारणाओं का पुनरीक्षण और सैद्धांतिक गणित का निर्माण होता है। इससे सेट सिद्धांत और गणित के अंकगणित का निर्माण होता है।

19वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञों ने गणित के सभी तथ्यों को कम करने का प्रयास किया संख्याऔर गॉस के "अंकगणित अध्ययन" (1801) से शुरू होकर, संख्या का सिद्धांत [एफ.ए. मेदवेदेव] गहन रूप से विकसित हो रहे हैं। 19वीं सदी में सेट सिद्धांत का विकास। एम., 1965. एस. 35-36.] सबसे पहले, यह गणितीय विश्लेषण से संबंधित है। सबसे अधिक समस्या इसकी तार्किक नींव थी। इस संबंध में, 19 वीं शताब्दी में। गणित की नींव और इसकी परिभाषाओं और प्रमाणों की अधिक कठोर विधियों का विकास शुरू होता है।

गणितीय विश्लेषण के पुनर्गठन की प्रक्रिया में, यह विश्वास पैदा होता है कि बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों को प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है [डेडेकाइंड आर। संख्याएँ क्या हैं और वे क्या प्रदान करती हैं। कज़ान: प्रकाशन गृह। इंपीरियल यूनिवर्सिटी, 1905. पी. 5]।

इस प्रक्रिया का परिणाम सभी गणित की मौलिक अवधारणा के रूप में संख्या की मान्यता और बोलजानो, वीयरस्ट्रैस, डेडेकाइंड और कैंटर जैसे गणितज्ञों द्वारा वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का निर्माण था।

19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गणित को प्रमाणित करने की समस्या उत्पन्न हुई। इसके समाधान में जी. कैंटर द्वारा सेट सिद्धांत के निर्माण ने एक उत्कृष्ट भूमिका निभाई। परिणामस्वरूप, विश्लेषण और फ़ंक्शन सिद्धांत की अवधारणाएं सेट सिद्धांत की श्रेणियों में तैयार की जाती हैं। उत्तरार्द्ध के लिए मौलिक अवधारणा वास्तव में अनंत सेट की अवधारणा थी।

वास्तविक अनंत की अवधारणा को शामिल करने के माध्यम से सेट सिद्धांत के विकास का मतलब, वास्तव में, गणित के इतिहास में एक क्रांति थी, जो कोपर्निकन क्रांति, सापेक्षता के सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी के बराबर थी। समुच्चय सिद्धांत ने एक सार्वभौमिक विधि प्रदान की जो आधार बनी इससे आगे का विकासअंक शास्त्र।

गणित के विकास में अगला चरण बीजगणित, तर्क और सेट सिद्धांत के अभिसरण से जुड़ा था। गणित पहले कभी न देखा गया अमूर्त रूप धारण कर लेता है। इसका मतलब गणित के तार्किक आधार की ओर परिवर्तन था। गणित की नींव में एक उत्कृष्ट योगदान जी. फ़्रीज ("अंकगणित की नींव" और "वैचारिक कैलकुलस का उपयोग करके प्राप्त अंकगणित के मौलिक कानून") द्वारा किया गया था। यह गणितीय तर्क (प्रस्तावित कलन, विधेय कलन) का स्वयंसिद्ध निगमनात्मक निर्माण करता है। स्वयंसिद्ध प्रणालियों की संख्या, स्वतंत्रता, स्थिरता और पूर्णता के तार्किक औचित्य की समस्या हल हो गई है। "लॉजिस्टिक्स" तर्क की भाषा में गणित की प्रस्तुति के रूप में प्रकट होता है। शक्तिशाली तार्किक विश्लेषण विकसित करने और तर्क को औपचारिक बनाने की प्रक्रिया चल रही है।

गणित को तर्क से घटाने का विचार जोर पकड़ रहा है। फ़्रीज, "वर्ग" और "संबंध" के तार्किक शब्दों में "संख्या" और "मात्रा" की अवधारणाओं को परिभाषित करने के बाद, सेट सिद्धांत को औपचारिक रूप देने और गणित को तर्क की निरंतरता के रूप में प्रस्तुत करने का प्रबंधन करता है।

यह प्रक्रिया रसेल और व्हाइटहेड द्वारा मौलिक तीन-खंडीय कार्य प्रिंसिपिया मैथमैटिका (1910-1913) के निर्माण के साथ समाप्त होती है।

19वीं शताब्दी के अंत में, गणित में 90 के दशक की शुरुआत में भौतिकी के समान ही स्थिति उत्पन्न हुई, जब शास्त्रीय भौतिकी की पूर्णता का विचार स्थापित किया गया था। और फिर उन नाटकीय घटनाओं का अनुसरण किया गया जिनकी हमने पहले चर्चा की थी।

XIX-XX सदियों के मोड़ पर। गणित अघुलनशील गणितीय, तार्किक और अर्थ संबंधी विरोधाभासों की एक श्रृंखला के उद्भव के कारण तीव्र संकट के दौर में प्रवेश कर रहा है, जो कैंटर के सेट सिद्धांत और शास्त्रीय गणित की नींव पर संदेह पैदा करता है। इसने कैंटर, फ़्रीज और अन्य जैसे प्रमुख गणितज्ञों को भी निराशा में डाल दिया, यहां तक ​​कि कई वर्षों बाद, जी. वेइल ने गणितीय ज्ञान के इतिहास में इस अवधि के बारे में निम्नलिखित पंक्तियाँ लिखीं: " अब हम गणित और तर्क की प्राथमिक नींव में पहले से भी कम आश्वस्त हैं। हम अपने "संकट" का अनुभव वैसे ही कर रहे हैं जैसे आधुनिक दुनिया में हर कोई इसका अनुभव कर रहा है। यह संकट पिछले पचास वर्षों से जारी है (ये पंक्तियाँ 1946 में लिखी गई थीं)। पहली नज़र में ऐसा लगता है जैसे यह हमारे दैनिक कार्यों में विशेष रूप से हस्तक्षेप नहीं करता है। हालाँकि, मुझे तुरंत स्वीकार करना होगा कि इस संकट का मेरे गणितीय कार्य पर ध्यान देने योग्य व्यावहारिक प्रभाव पड़ा: इसने मेरी रुचि को उन क्षेत्रों में निर्देशित किया जिन्हें मैं अपेक्षाकृत "सुरक्षित" मानता था, और लगातार उस उत्साह और दृढ़ संकल्प को कमजोर कर दिया जिसके साथ मैंने अपना शोध किया था। मेरा अनुभव संभवतः अन्य गणितज्ञों द्वारा साझा किया गया था जो इस बात के प्रति उदासीन नहीं थे कि उनकी अपनी वैज्ञानिक गतिविधि इस दुनिया में एक ऐसे व्यक्ति के अस्तित्व के सामान्य संदर्भ में है जो रुचि रखता है, पीड़ित है और बनाता है"[एम। क्लाइन. अंक शास्त्र। निश्चितता की हानि. एम.: मीर, 1984. पी. 387]। डी. गिल्बर्ट लिखते हैं, ''...विरोधाभासों के संबंध में हम अभी जिस स्थिति में हैं, वह लंबे समय तक असहनीय है। सोचिए: गणित में - विश्वसनीयता और सच्चाई का यह उदाहरण - अवधारणाओं का निर्माण और अनुमानों का क्रम, जैसा कि हर कोई अध्ययन करता है, सिखाता है और उन्हें लागू करता है, बेतुकेपन की ओर ले जाता है। विश्वसनीयता और सच्चाई की तलाश कहाँ करें, यदि गणितीय सोच ही विफल हो जाए?” [डी. गिल्बर्ट. ज्यामिति की नींव. एम.-एल., 1948. पी.349]।

विरोधाभासों को हल करने के असफल प्रयासों ने गणितज्ञों को इस विश्वास की ओर अग्रसर किया कि संकट के कारण मौलिक अवधारणाओं और तर्क के तरीकों के क्षेत्र में हैं। गणित के सिद्धांतों पर पुनर्विचार करने और कुछ पुरानी अवधारणाओं को त्यागने की आवश्यकता है। और यह, सबसे पहले, सेट सिद्धांत के पुनर्गठन और पूरी तरह से नए आधार पर सेट की अवधारणा के स्पष्टीकरण से संबंधित है [एस। क्लेन. मेटामैथमैटिक्स का परिचय. एम., 1957. पी. 42]। गणितीय प्रमाण की कठोरता के मानदंड के रूप में तर्क का आदर्श ही नष्ट हो गया।इसलिए, गणित को गणितीय ज्ञान की पूर्व विश्वसनीयता और विश्वसनीयता को बहाल करने के कार्य का सामना करना पड़ा। तार्किक तर्क की सहज प्रकृति और तदनुरूपी भाषा अब वैज्ञानिकों के अनुकूल नहीं रही [ख. करी। गणितीय तर्क की नींव. एम., 1969. पी.26]। तीन शोध कार्यक्रम सामने आए: तर्कवाद, औपचारिकतावाद और अंतर्ज्ञानवाद।

आधुनिक गणित के इतिहास में एक संक्षिप्त भ्रमण से पता चलता है कि इसकी नींव में, और, परिणामस्वरूप, सभी गणितीय प्राकृतिक विज्ञान कैंटर के आधार के साथ सेट के मौलिक सिद्धांत पर आधारित हैं। वैज्ञानिक अवधारणावास्तविक अनन्तता. और गणित स्वयं अनंत की अवधारणा से इतना निकटता से जुड़ा हुआ है कि इसे अक्सर अनंत के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणित, अन्य विज्ञानों (और दर्शन) की तरह, मौलिक आध्यात्मिक और ऐतिहासिक प्रतिमानों द्वारा काफी गहराई से निर्धारित होता है। इस विश्वास की पुष्टि दर्शनशास्त्र के इतिहास के संदर्भ में विज्ञान की अवधारणा के विकास के लिए समर्पित पी.पी. गैडेन्को के कार्यों से होती है। विज्ञान की अवधारणा का विकास (पहले वैज्ञानिक वैज्ञानिक कार्यक्रमों का निर्माण और विकास)। एम. "विज्ञान", 1980. - (फुटनोट के बिना) - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]। और यद्यपि अपने अध्ययन में लेखक वैज्ञानिक और दार्शनिक ज्ञान की परस्पर क्रिया पर ध्यान केंद्रित करता है, फिर भी, वैज्ञानिक कार्यक्रमों पर धार्मिक संदर्भ के प्रभाव को कम स्पष्ट रूप से नहीं देखा जा सकता है। आधुनिक गणित की सामग्री पर धार्मिक और धार्मिक परिसर का प्रभाव भी वी.एन. के कार्यों में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है। कटासोनोवा [वी.एन. कटासोनोव। अनंतता और ईसाई धर्म की वैज्ञानिक और दार्शनिक अवधारणाएँ। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html ] और ए.ए. ज़ेनकिन। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], आदि।

इस प्रकार, यह विचार कि गणित एक स्वतंत्र (स्वतंत्र) और सार्वभौमिक विज्ञान है जो अपने स्वयं के कानूनों के अनुसार विकसित होता है, बहुत अतिरंजित है।

2. जी कैंटर के सेट सिद्धांत का संक्षिप्त सारांश।

जी कैंटर का मानना ​​है कि सेट सिद्धांत का आधार पायथागॉरियन-प्लेटोनिक वैज्ञानिक कार्यक्रम है, जिसकी आलोचना अरस्तू ने की थी, लेकिन जिसे पुनर्जागरण के दर्शन में फिर से पुनर्जीवित किया गया है। इसे उचित ठहराने के लिए कैथोलिक शिक्षण के धार्मिक तर्कों का उपयोग किया जाता है। 15वीं शताब्दी से शुरू हुए दार्शनिक एवं गणितीय चिंतन ने धीरे-धीरे इस सिद्धांत की रचना तैयार की।

जॉर्ज कैंटर समुच्चय सिद्धांत और अनंत संख्याओं के सिद्धांत के निर्माता हैं। अनंत समुच्चयों के उनके सिद्धांत का मुख्य विचार वास्तव में अनंत समुच्चयों के बारे में अरस्तू की थीसिस की निर्णायक अस्वीकृति थी। कैंटर ने अनंत सेटों के अपने अध्ययन को तुलना किए जा रहे सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार के विचार पर आधारित किया। यदि दो समुच्चयों के तत्वों के बीच ऐसा पत्राचार स्थापित किया जा सके, तो कहा जाता है कि समुच्चयों की शक्ति समान है, अर्थात वे समान या समतुल्य हैं। "परिमित सेट के मामले में," कैंटर ने लिखा, "कार्डिनैलिटी तत्वों की संख्या के साथ मेल खाती है।" इसीलिए शक्ति को किसी दिए गए सेट की कार्डिनल (मात्रात्मक) संख्या भी कहा जाता है [पी। स्टाखोव। "गोल्डन सेक्शन" के संकेत के तहत: एक छात्र छात्र के बेटे का बयान। अध्याय 5. माप का एल्गोरिदमिक सिद्धांत। 5.5. गणित में अनंत की समस्या. - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

1874 में, उन्होंने अनंत सेटों के अस्तित्व की स्थापना की जो कि कोई भी समकक्ष नहीं हैं, यानी, अलग-अलग कार्डिनैलिटी वाले हैं, और 1878 में उन्होंने सेट की कार्डिनैलिटी की सामान्य अवधारणा पेश की (हिब्रू वर्णमाला के अक्षरों के साथ सेट की कार्डिनैलिटी का पदनाम, जिसे उन्होंने प्रस्तावित किया था) और गणित में स्वीकार किया गया था, हो सकता है कि यह उसके यहूदी - उसके पिता के - मूल पर प्रतिबिंबित हो। अपने मुख्य कार्य "अनंत रैखिक बिंदु संरचनाओं पर" (1879-84) में, कैंटर ने सेट के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया और एक पूर्ण सेट (तथाकथित कैंटर सेट) का एक उदाहरण बनाकर इसे पूरा किया [कैंटर जी। अनंत रैखिक पर बिंदु संरचनाएँ. // गणित में नए विचार, 1994, नंबर 6, सेंट पीटर्सबर्ग]।

कैंटर ने वास्तविक अनंत के विचार को गणितीय सामग्री दी। कैंटर ने अपने सिद्धांत को अनंत, "ट्रांसफिनिट" (अर्थात, "सुपरफिनिट") गणित की एक पूरी तरह से नई गणना के रूप में सोचा। वास्तविक अनंत, जैसा कि यह था, एक "कंटेनर" है जिसमें संभावित अनंत की श्रृंखला सामने आती है, और यह कंटेनर डेटा के लिए पहले से ही वास्तविक होना चाहिए।

उनके विचार के अनुसार, इस तरह के कैलकुलस के निर्माण से न केवल गणित, बल्कि तत्वमीमांसा और धर्मशास्त्र में भी क्रांति आनी थी, जिसमें कैंटर की रुचि वैज्ञानिक अनुसंधान से भी अधिक थी। वह एकमात्र गणितज्ञ और दार्शनिक थे जिनका मानना ​​था कि वास्तविक अनंत न केवल अस्तित्व में है, बल्कि मनुष्य द्वारा पूरी तरह से समझ में भी आता है, और यह समझ गणितज्ञों और उनके बाद धर्मशास्त्रियों को ईश्वर के और भी ऊपर और करीब ले जाएगी।. उन्होंने इस कार्य के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया। वैज्ञानिक का दृढ़ विश्वास था कि उन्हें विज्ञान में एक महान क्रांति करने के लिए भगवान द्वारा चुना गया था, और इस विश्वास को रहस्यमय दर्शन द्वारा समर्थित किया गया था।

इस दृष्टिकोण ने कैंटर को कई विरोधाभासी खोजों की ओर अग्रसर किया जो हमारे अंतर्ज्ञान का तीव्र खंडन करती हैं। इस प्रकार, परिमित सेटों के विपरीत, जो यूक्लिडियन सिद्धांत "संपूर्ण भाग से बड़ा है" द्वारा कवर किया गया है, अनंत सेट इस सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक-से-एक पत्राचार स्थापित करके प्राकृतिक संख्याओं के सेट और उसके भाग - सम संख्याओं के सेट की समानता स्थापित करना आसान है: [पी। स्टाखोव। "गोल्डन सेक्शन" के संकेत के तहत: एक छात्र छात्र के बेटे का बयान। अध्याय 5. माप का एल्गोरिदमिक सिद्धांत। 5.5. गणित में अनंत की समस्या. - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm]।

कैंटर के अनुसार, एक समुच्चय को अनंत कहा जाता है यदि उसकी शक्ति उसके किसी उपसमुच्चय के बराबर हो। किसी समुच्चय को परिमित कहा जाता है यदि वह अपने किसी उपसमुच्चय के समतुल्य न हो। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के समतुल्य समुच्चय को गणनीय कहा जाता है, क्योंकि इसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है [वही]।

कैंटर का मानना ​​था कि प्राकृतिक, तर्कसंगत और बीजगणितीय संख्याओं के सेट में समान कार्डिनलिटी होती है, यानी। गणनीय हैं [वही]।

कैंटर ने यह भी साबित करने की कोशिश की कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन को वास्तविक संख्याओं के सेट आर के एक हिस्से पर मैप किया जा सकता है, जबकि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है [वही]।

1886 में कैंटर ने यह साबित करने की कोशिश की कि इकाई वर्ग में कोई नहीं है अधिक अंकएक ही खंड की तुलना में. परिणामस्वरूप, द्वि-आयामी सातत्य की शक्ति एक-आयामी सातत्य की शक्ति के बराबर होती है [वही]।

कैंटर के विचार इतने अप्रत्याशित और प्रति-सहज ज्ञान युक्त निकले कि प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने अनंत संख्याओं के सिद्धांत को एक "बीमारी" कहा जिससे गणित को एक दिन ठीक होना ही चाहिए। लियोपोल्ड क्रोनकर - कैंटर के शिक्षक और जर्मनी में सबसे सम्मानित गणितज्ञों में से एक - ने कैंटर पर व्यक्तिगत रूप से हमला किया, उसे "चार्लटन", "पाखण्डी" और "युवाओं का उत्पीड़न करने वाला" कहा [विज्ञान की दुनिया में। साइंटिफिक अमेरिकन · रूसी संस्करण संख्या 8 · अगस्त 1983 · पीपी. 76-86/ जॉर्ज कैंटर और ट्रांसफिनिट सेट के सिद्धांत का जन्म]।

सेट सिद्धांत ने गणित की नींव के अध्ययन में एक नया पृष्ठ भी खोला - कैंटर के काम ने पहली बार गणित के विषय, गणितीय सिद्धांतों की संरचना, स्वयंसिद्धांत की भूमिका और अवधारणा के बारे में आधुनिक सामान्य विचारों को स्पष्ट रूप से तैयार करना संभव बना दिया। वस्तुओं की प्रणालियों की समरूपता का उन्हें जोड़ने वाले संबंधों के साथ दिया गया है। उनका सेट सिद्धांत गणित की आधारशिलाओं में से एक है।

गणित के दर्शन में कैंटर ने अनंत की समस्या का विश्लेषण किया। गणितीय अनंत के दो प्रकारों में अंतर करते हुए - अनुचित (संभावित) और उचित (वास्तविक, पूर्ण रूप से समझा जाता है), कैंटर ने, अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, वास्तव में अनंत की अवधारणा के साथ गणित में संचालन की वैधता पर जोर दिया। प्लैटोनिज्म के समर्थक, कैंटर ने गणितीय वास्तविक-अनंत को सामान्य रूप से वास्तव में अनंत के रूपों में से एक के रूप में देखा, जो पूर्ण ईश्वरीय अस्तित्व में अपनी उच्चतम पूर्णता पाता है।

3. कैंटोरियन और कैंटोरियन विरोधियों के बीच बड़ा टकराव।

ए.ए. ज़ेनकिन की अमूर्त सेट सिद्धांत की आलोचना

जी कैंटर और "ट्रांसफिनिट के बारे में शिक्षाएँ"।

जी कैंटर के सेट सिद्धांत को समर्पित कई आलोचनात्मक साहित्य में, रूसी गणितज्ञ ए.ए. ज़ेनकिन का अध्ययन विशेष ध्यान देने योग्य है। प्रसिद्ध गणितज्ञ ए.पी. स्टाखोव के अनुसार, शायद वह (ज़ेनकिन) ही होंगे जो कैंटर के साथ विवाद और आधुनिक गणित में गणितीय संकट को हल करने में अंतिम पड़ाव डालेंगे।[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ]।

मूल लेख में "जॉर्ज कैंटर का ट्रांसफ़िनिट पैराडाइज़। सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियाँ ”रूसी वैज्ञानिक ए.ए वास्तविक अनंत की अवधारणा के आधार पर, सातत्य की बेशुमारता के कैंटर के प्रमाण के तर्क के ज्ञानमीमांसीय दोषों का विश्लेषण करता है[ए.ए.ज़ेनकिन। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/]।

ए.ए. ज़ेनकिन कहते हैं, हजारों वर्षों से, एबी की अवधारणा के प्रति नकारात्मक दृष्टिकोण को अरस्तू, यूक्लिड, लीबनिज़, बर्कले, लोके, डेसकार्टेस, कांट, स्पिनोज़ा, लैग्रेंज, गॉस, क्रोनकर जैसे उत्कृष्ट वैज्ञानिकों और दार्शनिकों द्वारा समर्थन और साझा किया गया था। लोबचेव्स्की, कॉची, एफ. क्लेन, हर्माइट, पोंकारे, बेयर, बोरेल, ब्रौवर, क्वीन, विट्गेन्स्टाइन, वेइल, लुज़िन, और आज भी - इरेट बिशप, सोलोमन फ़ेफ़रमैन, यारोस्लाव पेरेग्रीन, व्लादिमीर ट्यूरिन, पीटर वोपेंका और कई अन्य।

19वीं सदी के 70 के दशक के बाद से, एबी की अवधारणा पर आधारित जॉर्ज कैंटर के सेट सिद्धांत के प्रति तीव्र नकारात्मक रवैया पैदा हुआ है। ए.ए. ज़ेनकिन उन्हें संबोधित सबसे स्पष्ट बयानों के उदाहरण देते हैं। इस प्रकार, हेनरी पोंकारे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि “कोई वास्तविक अनंत नहीं है; कैंटोरियन इस बारे में भूल गए और विरोधाभासों में पड़ गए। आने वाली पीढ़ियाँ कैंटर के सेट सिद्धांत को एक ऐसी बीमारी के रूप में देखेंगी जो अंततः ठीक हो गई है।"[ए. पोंकारे, विज्ञान के बारे में। - एम.: नौका, 1983]। आधुनिक टोपोलॉजी के संस्थापक, एल. ब्रौवर, अपने बयानों में कम कट्टरपंथी नहीं हैं: " कैंटर का सिद्धांत समग्र रूप से गणित के इतिहास में एक पैथोलॉजिकल घटना का प्रतिनिधित्व करता है, जिससे आने वाली पीढ़ियां आसानी से भयभीत हो जाएंगी।[ए.ए.फ्रेनकेल, आई.बार-हिलेल। समुच्चय सिद्धांत की नींव. - एम.: "शांति"]।

"फिर भी, आज," रूसी गणितज्ञ लिखते हैं, "जैसा कि बीसवीं सदी की शुरुआत में, कैंटोरियंस के मेटा-गणितीय तर्क के बीच एक "महान टकराव" है, जो कैंटोर के "ट्रांसफ़िनिट के सिद्धांत" की वैधता को पहचानते हैं। इस "शिक्षण" के "गैर-भोले" रूप में (नीचे देखें) संस्करण, अर्थात्। आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत (बाद में एटीएम के रूप में संदर्भित) के रूप में, एबी की अवधारणा के उपयोग (मौन - नीचे देखें) और एबी और जी कैंटर की अवधारणा को अस्वीकार करने वाले एंटी-कैंटोरियन के गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित है। "ट्रांसफिनिट का सिद्धांत" इस अवधारणा पर आधारित है [ए.ए.ज़ेनकिन। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/]।

एबी अवधारणा के उपयोग से तर्क और गणित में विरोधाभास पैदा होता है, जिसके निर्माण तंत्र का आज तक खुलासा नहीं हुआ है। इस संबंध में, विरोधाभासों की तार्किक प्रकृति का खुलासा और गणित में एबी अवधारणा का उपयोग करने की वैधता आज भी प्रासंगिक है।फ्रेनकेल और बह्र-हिलेल ने ध्यान दिया कि तर्क और गणित की पारंपरिक व्याख्या में ऐसा कुछ भी नहीं है जो रसेल की एंटीइनॉमी को खत्म करने के आधार के रूप में काम कर सके।<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. हमारा मानना ​​है कि पारंपरिक...सोचने के तरीकों का उपयोग करके स्थिति से बाहर निकलने का कोई भी प्रयास, जो अब तक हमेशा विफल रहा है, इस उद्देश्य के लिए स्पष्ट रूप से अपर्याप्त है। सोचने के सामान्य तरीकों से कुछ विचलन स्पष्ट रूप से आवश्यक है, हालांकि इस प्रस्थान का स्थान पहले से स्पष्ट नहीं है" [ए.ए. फ्रेनकेल, आई.बार-हिलेल। समुच्चय सिद्धांत की नींव. - एम.: "शांति"]।

ए.ए. ज़ेनकिन के अनुसार, सार सेट सिद्धांत और आधुनिक विज्ञान में इसकी स्वीकृति, छद्म विज्ञान का एक उल्लेखनीय उदाहरण है, जो पीआर प्रौद्योगिकियों के उपयोग के माध्यम से विज्ञान में एक गलत मिथक बनाने का एक अभूतपूर्व मामला है।

इसके अलावा, ए.ए. ज़ेनकिन अनजाने में सच्चे निष्पक्ष सार को प्रकट करते हैं आधुनिक विज्ञानएक सामाजिक संस्था के रूप में: “एटीएम -इस पहल ने बॉर्बकिज्म जैसी बड़े पैमाने पर नकारात्मक घटना को जन्म दिया, यानी। गणित और गणित शिक्षा का अत्यधिक, अनावश्यक, निरर्थक, नीरस, मूर्खतापूर्ण और ज़ोंबी जैसा औपचारिककरण. इस तरह के बॉर्बाकाइजेशन के नकारात्मक परिणामों का वर्णन करते हुए, उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ और शिक्षक, शिक्षाविद् वी.आई. अर्नोल्ड लिखते हैं: "बीसवीं सदी के मध्य में, "बाएं गोलार्ध के गणितज्ञों" के अत्यधिक प्रभावशाली माफिया ने गणितीय शिक्षा से ज्यामिति को बाहर करने में कामयाबी हासिल की... , अमूर्त अवधारणाओं के औपचारिक हेरफेर में प्रशिक्षण के साथ इस अनुशासन के संपूर्ण सामग्री पक्ष को प्रतिस्थापित करना। गणित का ऐसा सारगर्भित वर्णन न तो शिक्षण के लिए उपयुक्त है और न ही किसी व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए। गणित में आधुनिक औपचारिकीकृत (बुरबाकीकृत) शिक्षा सोचने की क्षमता और विज्ञान की मूल बातें सिखाने के बिल्कुल विपरीत है। यह पूरी मानवता के लिए खतरनाक है।' इस बीमारी से ग्रसित गणित का भविष्य काफी अंधकारमय दिखता है” [ए.ए. जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/]।

रूसी गणितज्ञ ने "जी कैंटर के एटीएम के सफेद झूठ" के चार उदाहरण तैयार किए हैं:

पहला झूठ. "गणित सभी विज्ञानों की रानी है, और एटीएम गणित की रानी है"! इस अवसर पर, ए.ए. ज़ेनकिन लिखते हैं कि आधुनिक एटीएम पेशेवर गणितीय समुदाय को मूर्ख बना रहा है और गणितज्ञों की युवा पीढ़ी को भ्रमित कर रहा है। कैंटोरियंस का तर्क है कि यदि 20वीं शताब्दी की शुरुआत में कई उत्कृष्ट गणितज्ञों ने एटीएम को छद्म विज्ञान के रूप में स्पष्ट रूप से खारिज कर दिया था, तो आज, "आधुनिक गणितज्ञ अंततः इस मामले पर प्रकाश देखा है, वह सभी अनन्तताएँ - उपयुक्त, इस विषय पर उनकी समझ में आया कि सिद्धांत अंतिमप्राकृतिक संख्याएँ सिद्धांत से "व्युत्पन्न" हैं अनंतसंख्याएँ, कि एक खाली सेट की अवधारणा एक वास्तविक अनंत सेट की अवधारणा से ली गई है सभी आधुनिक गणित एटीएम से प्राप्त किये जा सकते हैंऔर आधिकारिक तौर पर मान्यता दी गई कि "गणित सभी विज्ञानों की रानी है, और एटीएम गणित की रानी है"! एटीएम के कल के सभी विरोधी आज इस बात से सहमत हैं कि एटीएम आधुनिक गणित की एक उत्कृष्ट उपलब्धि है, एक ऐसी उपलब्धि जिसने बीसवीं सदी के सभी गणित का चेहरा बदल दिया" [वही]।

"यह एक अनुभवजन्य तथ्य है," मार्टिन डेविस और रूबेन हर्श पहले से ही वैज्ञानिक समुदाय का सौहार्दपूर्ण ढंग से विरोध कर रहे हैं, " लगभग 90% कार्यरत गणितज्ञकैंटर के सेट सिद्धांत को सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों रूप से स्वीकार किया, कुछ हद तक"[वही].

फिर, जैसा कि वास्तव में, ए.ए. ज़ेनकिन कहते हैं, कैंटोरियन जानबूझकर कपटी हैं और अमूर्त सेट सिद्धांत की भाषा और ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स पर कैंटर की शिक्षा के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं करते हैं। दरअसल, सेट सिद्धांत की भाषा एक सार्वभौमिक गणितीय भाषा बन गई है। जबकि ट्रांसफिनिट ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स का सिद्धांत, उनकी पूर्ण बेकारता के कारण, वास्तव में काम करने वाले 90% गणितज्ञों द्वारा कहीं भी उपयोग नहीं किया जाता है। शेष में से 9% गणितज्ञ स्पष्ट रूप से इस शिक्षण को स्वीकार नहीं करते हैं, और केवल 1% एटीएम विशेषज्ञ या बॉर्बकिस्ट हैं।

दूसरा झूठ. आधुनिक एटीएम का आधार गणितीय अनंत की तार्किक प्रकृति के बारे में मौलिक वैज्ञानिक प्रश्न को हल करने की एक स्पष्ट छद्म वैज्ञानिक, अर्ध-आपराधिक "विधि" है।. इसका सार इस तथ्य में निहित है कि एबी की अवधारणा पर आधारित कैंटर के सेट सिद्धांत को "बेवकूफ" घोषित किया गया था, और एबी शब्द को एक सम्मानजनक मेटा-गणितीय विज्ञान के ढांचे से हटा दिया गया था। यह विज्ञान के इतिहास में अब तक लागू किए गए सबसे प्रभावी पीआर अभियानों में से एक था।

हालाँकि, एटीएम के आधुनिक सिद्धांत ने "भोले" सिद्धांत से सातत्य की बेशुमारता पर प्रमेय उधार लिया है, जिसका प्रमाण एबी की स्पष्ट रूप से विरोधाभासी अवधारणा के उपयोग पर आधारित है। इस संबंध में, ए.ए. ज़ेनकिन कैंटर के सेट सिद्धांत को मुख्य स्रोतों में से एक मानते हैंगणित की नींव का तीसरा बड़ा संकट, जो अभी भी जारी है।

तीसरा झूठ. एटीएम के प्रमाण की शर्तें स्पष्ट रूप से नहीं बताई गई हैं, लेकिन दार्शनिक प्रस्तावों के स्तर पर निहित हैं।शास्त्रीय तर्क और गणित के दृष्टिकोण से, अधिकांश एटीएम प्रमेयों की कटौती के लिए "एबी धारणा" एक आवश्यक शर्त है।

चौथा झूठ. सेट सिद्धांत अंततः वैज्ञानिक पद्धति के माध्यम से क्षमता को खत्म करने में असमर्थ था, अर्थात पीबी अवधारणा की असंगति सिद्ध करें। एटीएम ने अलग रास्ता अपनाया. उन्होंने एबी के प्रयोग की वैधता की समस्या को दार्शनिक घोषित किया। ए.ए. ज़ेनकिन इसमें एटीएम समर्थकों की आत्म-संरक्षण की प्रवृत्ति देखते हैं, क्योंकि एबी की अवधारणा की एक सख्त परिभाषा देने के प्रयास से इसकी असंगति की स्पष्ट समझ पैदा होगी। और यह अच्छी तरह से वित्त पोषित और अभ्यस्त को खतरे में डाल देगा कैंटर के "ट्रांसफिनिट पैराडाइज" के एटीएम नियमित लोगों की भलाई। इस अर्ध-आपराधिक और छद्म वैज्ञानिक तरीके से, एटीएम "कबीले" ने अपने विरोधियों से निपटा।

और अंत में, पाँचवाँ झूठ। गणितीय समुदाय पर एक "डरावनी कहानी" थोपना कि अनकाउंटेबल कॉन्टिनम प्रमेय का प्रमाण इतना कठिन है कि यह केवल चयनित पेशेवरों के लिए ही सुलभ है। . कई गणितज्ञों ने इस मिथक पर विश्वास किया और सातत्य की बेशुमारता पर कैंटर के मौलिक प्रमेय पर चर्चा करते समय अपनी अक्षमता स्वीकार की।इस मिथक की स्पष्ट मिथ्याता के प्रमाण के रूप में, ए.ए. ज़ेनकिन ने कैंटर के प्रमेय और प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की पद्धति की तुलना करने का प्रस्ताव रखा है।

पाइथागोरस प्रमेय में, ए.ए. ज़ेनकिन लिखते हैं, प्रमाण में गणित की तीन (!) प्राथमिक अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है (एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा, त्रिभुजों की समानता की अवधारणा, अनुपात की अवधारणा) और तीन (!) गणितीय संचालन किए जाते हैं: बीजीय व्यंजकों का दो गुणन और एक योग। प्रमाण में (चित्र के बिना) 5 (पाँच!) पंक्तियाँ लगती हैं। कैंटर का प्रमाण गणित की तीन (!) प्रारंभिक अवधारणाओं (एक प्राकृतिक संख्या की अवधारणा, एक वास्तविक संख्या की अवधारणा और क्रमांकित वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रम की अवधारणा) का उपयोग करता है और एक भी (!) गणितीय संक्रिया निष्पादित नहीं की जाती है। प्रमाण स्वयं 5 (पाँच!) पंक्तियाँ लेता है, जो 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध की प्राथमिक तर्क की भाषा में लिखी गई हैं[वही]।

इस प्रमाण की सत्यता पर प्रमुख गणितज्ञों, तर्कशास्त्रियों और दार्शनिकों को गंभीर आपत्तियों का सामना करना पड़ता है। " दर्शन, तर्क, गणित और संज्ञानात्मक मनोविज्ञान के लिए इसके प्रतिमानात्मक परिणामों में, कैंटर के प्रमेय का कोई समान नहीं है। इन प्रमेयों का इतना भिन्न ज्ञानमीमांसीय "भाग्य", जो औपचारिक मानदंडों में (और प्रमाणों की "आकर्षक" तुच्छता में) इतना समान है, इस तथ्य से समझाया गया है कि कैंटर के प्रमेय का प्रमाण वास्तविक की विरोधाभासी अवधारणा का उपयोग करता है (परोक्ष रूप से) अनंत"[वही].

ए.ए. ज़ेनकिन इस तर्क पर नहीं रुकते हैं और सातत्य की बेशुमारता पर कैंटर के प्रमेय के प्रमाण के रूप में सीधे विकर्ण विधि (डीएम) के विश्लेषण पर जाते हैं।

डीएम के विहित रूप पर विचार करते हुए, रूसी वैज्ञानिक इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि "उनका (कैंटर का) दो अनंत सेट एक्स और एन की मात्रात्मक असंगतता का विकर्ण प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि अनंत सेट एक्स में हमेशा एक अतिरिक्त तत्व होता है (कैंटर का) नया AD-d.ch. x*), जिसकी संख्या के लिए, "हमेशा की तरह", अनंत सेट N से एक तत्व गायब है, या, औपचारिक रूप से, इस तथ्य से कि अनंत सेट X में एक तत्व अधिक है अनंत सेट एन। मुझे लगता है कि यह - कैंटर के प्रमाण का सटीक स्थान है जिसने हमेशा उत्कृष्ट गणितीय पेशेवरों के वैज्ञानिक अंतर्ज्ञान से स्पष्ट अस्वीकृति (अस्वीकृति) का कारण बना है (सूची -1 देखें)" [वही]। ए.ए. ज़ेनकिन विट्गेन्स्टाइन द्वारा इस तरह के प्रमाण का मूल्यांकन देते हैं: "एक व्यक्ति अपने माथे के पसीने से दिन-ब-दिन काम करता है - वह सभी वास्तविक संख्याओं की एक सूची संकलित करता है, और अब, जब सूची अंततः पूरी हो जाती है, तो एक जादूगर प्रकट होता है, लेता है इस सूची का विकर्ण और उसकी आंखों के सामने चकित जनता, एक "गूढ़" एल्गोरिथ्म की मदद से, इसे... एक विरोधी विकर्ण, यानी में बदल देती है। एक नए AD-वास्तविक नंबर पर जो मूल सूची में शामिल नहीं है . इस तरह काकैंटर का विकर्ण प्रमाण बेवकूफों के लिए एक अभ्यास है, जिसका शास्त्रीय तर्क में आमतौर पर कटौती कहे जाने वाले से कोई लेना-देना नहीं है।".

इसके अलावा, रूसी गणितज्ञ ने पहली बार इसकी खोज की अनोखा तथ्यकैंटर के प्रमाण में. कैंटर के प्रमाण का मुख्य बिंदु प्रतिउदाहरण पद्धति का स्पष्ट उपयोग है। और “प्रतिउदाहरण स्वयं किसी दिए गए सभी संभावित कार्यान्वयन के सेट में नहीं पाया जाता है सामान्यकथन, लेकिन एल्गोरिदमिक रूप से निष्कर्ष निकालासामान्य कथन से कि इस प्रतिउदाहरण का खंडन करने का इरादा है (प्रपत्र में)। वियोजकआउटपुट, यहां बी = "सूची (1) में सभी डी.सी.एच. शामिल हैं। एक्स से)" [ए.ए. ज़ेनकिन। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/]।

ए.ए. ज़ेनकिन की खोज के साथ एटीएम पेशेवरों के परिचित होने के परिणामस्वरूप, एक गरमागरम बहस छिड़ गई, जिसमें "प्राथमिक तर्क के क्षेत्र में कई मान्यता प्राप्त एटीएम अधिकारियों के सभी नकली व्यावसायिकता का खुलासा हुआ" [उक्त]।

विवाद के परिणामों का सारांश देते हुए, ए.ए. ज़ेनकिन निम्नलिखित अप्रत्याशित निष्कर्ष पर पहुँचे: “एक निंदनीय स्थिति उत्पन्न होती है! - सौ से अधिक वर्षों से, मेटा-गणित, गणितीय तर्क, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत और अन्य बॉर्बकिस्ट के क्षेत्र में उत्कृष्ट (और इतने उत्कृष्ट नहीं) पेशेवर हर साल छात्रों की नई पीढ़ियों को (या बल्कि ज़ोंबी) सिखाते हैं "कैसे सही ढंग से साबित करें" प्रसिद्ध विकर्ण विधि कैंटर का उपयोग करके सातत्य की बेशुमारता, इस विधि की तार्किक प्रकृति को बिल्कुल नहीं समझना!

सचमुच, "एक पैथोलॉजिकल घटना जिससे, ब्रौवर के अनुसार, आने वाली पीढ़ियां भयभीत हो जाएंगी"! - या, बल्कि, वे "अपनी आत्मा की गहराई से" हँसेंगे, लेकिन ... "जब तक मैं पूरी तरह से गिर नहीं जाता।" - किसके ऊपर? - मुझे लगता है कि उन 90% से अधिक "कामकाजी" गणितज्ञों ने, जिन्होंने पूरी शताब्दी तक, "पूरी तरह से निःस्वार्थ भाव से" अपने "सभी विज्ञानों की रानी" को "बाएं गोलार्ध के रोगियों" द्वारा स्पष्ट रूप से "दुरुपयोग" के लिए छोड़ दिया। क्योंकि बीमारों पर हँसना, यहाँ तक कि बाएँ गोलार्द्ध वाले लोगों पर भी हँसना, पापपूर्ण और व्यर्थ है।”[वही]।

रूसी गणितज्ञ ने लगभग 80 साल पहले प्रस्तावित डेविड हिल्बर्ट के नाटकीय विरोधाभास की कहानी के साथ डीएमसी प्रमाण के अपने महत्वपूर्ण विश्लेषण का समापन किया। पिछली शताब्दी के 20 के दशक में, डी. हिल्बर्ट ने, कैंटर के सेट सिद्धांत में परिमित और अनंत सेटों के बीच मूलभूत अंतर को प्रदर्शित करने के लिए, "ग्रैंड होटल" नामक एक लोकप्रिय विरोधाभास का प्रस्ताव रखा। विरोधाभास की प्रस्तुति अपने आप में काफी बोझिल है, तो आइए हम इसका सार तैयार करें। "ग्रैंड होटल" विरोधाभास अनंत सेटों की एक मौलिक संपत्ति को प्रदर्शित करता है: "... यदि आप एक अनंत सेट में एक परिमित या गणनीय अनंत सेट जोड़ते हैं, तो पहले सेट की कार्डिनैलिटी नहीं बदलती है" [वही]।

डी. हिल्बर्ट के विरोधाभास के साथ डीएमके-प्रमाण की तुलना करते हुए, ए.ए. ज़ेनकिन एक उल्लेखनीय निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: सातत्य की बेशुमारता का डीएमके-प्रमाण डी. हिल्बर्ट के "ग्रैंड होटल" विरोधाभास का एक निगमनात्मक मॉडल (टार्स्की के अर्थ में) है।

डी. हिल्बर्ट के विरोधाभास में, हम एक संभावित अनंत प्रक्रिया से निपट रहे हैं, जिसमें निम्नलिखित मौलिक संपत्ति है: जब तक यह प्रक्रिया समाप्त नहीं हो जाती, “इस बात पर जोर देने का कोई (तार्किक या गणितीय) आधार नहीं है कि यह धारणा “X गणनीय है” गलत है। नतीजतन, यदि सेट Y 1 गणनीय रूप से अनंत है, तो कैंटर के प्रमेय का कथन "X गणनीय है" अप्रमाणित है।[वही]।

उपरोक्त तर्क, ए.ए. ज़ेनकिन ने निष्कर्ष निकाला, यह संकेत मिलता है “सातत्य की बेशुमारता पर कैंटर का प्रमेय अप्राप्य है। इसका मतलब यह है कि तत्वों की संख्या के आधार पर अनंत को अलग करना मिथक निर्माण है। लेकिन अगर सातत्य की बेशुमारता अप्रमाणित है, तो जी. कैंटर का ट्रांसफ़िनिट सेट का सिद्धांत न केवल "भोला" है, बल्कि एक पूर्णतः छद्म विज्ञान है, और इसलिए जी. कैंटर का ट्रांसफ़िनिट "स्वर्ग" वास्तव में किसी भी नुकसान के बिना बंद किया जा सकता है। कार्यशील" गणित।"[वही]।

जॉर्ज कैंटर के अनंत सेटों के सिद्धांत पर ए.ए. ज़ेनकिन के आलोचनात्मक शोध की प्रस्तुति को समाप्त करते हुए, मैं उनके अगले निष्कर्ष के महत्व पर जोर देना चाहूंगा। कैंटर का प्रमेय शास्त्रीय अरिस्टोटेलियन तर्क के दृष्टिकोण से गलत है।

4. ए.ए. ज़ेनकिन के स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण की आलोचना

एबी और पीबी की अवधारणा के लिए ए. ज़ेनकिन द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण, हमारे दृष्टिकोण से, पद्धतिगत रूप से गलत है।

अरस्तू का स्वयंसिद्ध और कैंटर का स्वयंसिद्ध अनंत की अवधारणा के माध्यम से तैयार किया गया है, जिसे कड़ाई से और औपचारिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। अभिगृहीतों के निरूपण के आधार पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि पीबी और एबी अनंत के प्रकार हैं, अर्थात। दयालु।

दूसरा बिंदु. अरस्तू ने शास्त्रीय तर्क (पारंपरिक) के नियमों के आधार पर पीबी और एबी की अवधारणा को अस्तित्व और सार के अपने सिद्धांत के आधार पर माना। जबकि कैंटर, अपने सेट सिद्धांत में, पाइथागोरस-प्लेटोनिक अनुसंधान कार्यक्रम से आगे बढ़े। प्लेटो का अस्तित्व और सार का सिद्धांत पेरिपेटेटिक दर्शन का विकल्प है और द्वंद्वात्मक तर्क और विपरीतताओं के संयोग के सिद्धांत के अनुरूप है।

अरस्तू ने एबी और पीबी अवधारणाओं को विरोधाभासी नहीं माना, मुख्यतः क्योंकि अनंत की अवधारणा बहुत विशिष्ट है और पारंपरिक तर्क के सिद्धांत और कानून इस पर लागू नहीं होते हैं। अरस्तू ने इसे एक नाजायज अवधारणा कहा, जो हमारी भावना या सोच को बिल्कुल भी नहीं देती। अनंत केवल संभावना में मौजूद है, वास्तविकता में नहीं। यदि यह वास्तविकता में अस्तित्व में होता, तो यह एक निश्चित (निश्चित) मात्रा, या एक सीमित मात्रा होती। इसलिए, अनंत एक संपत्ति के रूप में मौजूद है।

अरस्तू के अनुसार, अनन्तता वह जगह है जहां, एक निश्चित राशि लेने पर, आप हमेशा उसके बाद कुछ न कुछ ले सकते हैं। और जहां बाहर कुछ भी नहीं है, वह समग्र है। अनंत वह चीज़ है जो किसी चीज़ से अनुपस्थित है, उससे बाहर है। "(अनंत) पूर्ण है और अपने आप में नहीं, बल्कि दूसरे के संबंध में सीमित है; और चूंकि यह अनंत है, यह आलिंगन नहीं करता है, बल्कि आलिंगित होता है। इसलिए, यह अनंत के रूप में जानने योग्य नहीं है, क्योंकि पदार्थ [जैसे] है कोई रूप नहीं। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि अनंत संपूर्ण के बजाय एक भाग की परिभाषा में फिट बैठता है, क्योंकि पदार्थ संपूर्ण का एक हिस्सा है, जैसे तांबे की मूर्ति के लिए तांबा अगर यह संवेदी वस्तुओं को गले लगाता है, तो के दायरे में समझदार "महान" और "छोटे" को समझदार [विचारों] को अपनाना चाहिए, लेकिन अज्ञात और अनिश्चित को गले लगाना और निर्धारित करना बेतुका और असंभव है" [अरस्तू, कलेक्टेड वर्क्स 3, मॉस्को, "थॉट", 1981 , पृ.120. ].

नतीजतन, अरस्तू में अनंत की अवधारणा को उनके दर्शन की प्रमुख श्रेणियों के साथ घनिष्ठ संबंध में माना जाता है: रूप - पदार्थ, संभावना - वास्तविकता, भाग - संपूर्ण। इस संदर्भ में, एबी की अवधारणा पीबी के विरोधाभासी नहीं है, लेकिन अरिस्टोटेलियन तर्क के दृष्टिकोण से पूरी तरह से अकल्पनीय है। विरोधाभासी पीबी बल्कि परिमित की एक अवधारणा है, अनिश्चित और निश्चित के बीच एक संबंध के रूप में। यदि पीबी को भाग-संपूर्ण के संदर्भ में माना जाए तो भाग की परिभाषा इसके लिए अधिक उपयुक्त है। फिर इसके संबंध में, संपूर्ण की अवधारणा वास्तव में अनंत के साथ अधिक सुसंगत है। इस मामले में, पीबी एबी की अवधारणा के अधीनस्थ एक अवधारणा है। ठीक इसी प्रकार जी. कांटोर ने स्वयं इसकी व्याख्या की।

इस प्रकार, अरस्तू के लिए कोई केवल पीबी के एकमात्र अर्थ में अनंत की बात कर सकता है। एक अवधारणा जिसे एक अवधारणा के रूप में मान्यता नहीं दी गई है, उससे संबंधित नहीं किया जा सकता है, अर्थात। एबी. और पीबी की अवधारणा ही अस्पष्ट, अज्ञात और वास्तविकता से रहित है।

यह अनंत की अवधारणा की वह विशेष स्थिति है जिसके बारे में अरस्तू बात करते हैं जो औपचारिक तर्क के पारंपरिक संचालन को इस पर लागू करने की अनुमति नहीं देता है। पीबी की अवधारणा शब्द के सख्त अर्थ में कोई गणितीय वस्तु नहीं है।

यह तथ्य कि अनंत की अवधारणा, सख्त अर्थों में, गणित से संबंधित नहीं है, संख्या और परिमाण की परिभाषाओं से पता चलता है। हम एक बार फिर अरस्तू की परिभाषा प्रस्तुत करते हैं। “मात्रा वह है जो घटक भागों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक, चाहे दो या अधिक हों, स्वभाव से एक चीज और एक निश्चित चीज है। प्रत्येक मात्रा यदि गणनीय है तो बहुलता है, और यदि वह मापने योग्य है तो एक परिमाण है। समुच्चय एक ऐसी चीज़ है जिसे गैर-निरंतर भागों में विभाजित किया जा सकता है, और परिमाण के आधार पर निरंतर भागों में विभाजित किया जा सकता है... इन सभी मात्राओं में से सीमितसेट संख्या है सीमितदिशा और रेखा, सीमितचौड़ाई - समतल, सीमितगहराई ही शरीर है" [अरस्तू। ऑप. 4 खंडों में. खंड 1. एम.: माइस्ल, 1976, पी.164]। अरस्तू के उपरोक्त परिच्छेद से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित का मुख्य विषय परिमाण और संख्या की अवधारणा है। संख्या एक सीमित समुच्चय है, मात्रा एक सीमित ज्यामितीय स्थान (रेखा, तल, पिंड) है। असीमित सेट और असीमित स्थान अनंत हैं, मात्रा के दो रूप हैं जिनकी कोई सीमा, अंत या सीमा नहीं है। इसलिए वे अनिश्चित हैं और इसलिए, अज्ञात हैं।

इसके अतिरिक्त, अरस्तू के लिए अनंत सोच का गुण है,सबसे पहले, और भौतिकी या गणित का विषय नहीं। « अनंत के विषय में सोचने पर भरोसा करना बेतुका है, चूंकि अधिकता और कमी (में) इस मामले में) विषय में नहीं, बल्कि सोच में मौजूद हैं।आख़िरकार, हममें से प्रत्येक को मानसिक रूप से उससे कई गुना बड़ा माना जा सकता है, जो उसे अनंत तक बढ़ा देता है, लेकिन ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि कोई शहर से बाहर है या उसके पास कुछ परिमाण है जिससे कोई ऐसा सोचता है, बल्कि इसलिए कि ऐसा [वास्तव में] होता है; और यह तथ्य [कि कोई इस तरह सोचता है] [उसके लिए] एक आकस्मिक परिस्थिति होगी” [उक्त]। यदि किसी वस्तु में अनंत का अस्तित्व नहीं है, तो हम क्या स्वयंसिद्ध करते हैं - सोच की गतिविधि?गणित का इससे क्या लेना-देना है? आख़िरकार, इसका विषय शुद्ध मात्रा है: संख्या और परिमाण?

कैंटर ने पाइथागोरस की परंपरा का अनुसरण करते हुए वास्तविक अनंत की अवधारणा का निर्माण किया, जैसा कि अरस्तू ने गवाही दी, "संख्याओं से मात्राएँ बनाईं।" कैंटर का मानना ​​है कि एक सतत मात्रा को अविभाज्य इकाइयों के वास्तविक सेट के रूप में एक संख्या द्वारा मापा जा सकता है। यह स्पष्ट है कि अरस्तू के लिए ऐसा दृष्टिकोण पूरी तरह से अस्वीकार्य है। उसके लिए, कोई मात्रा केवल विभाज्य भागों में विभाजित होती है। इसलिए, कोई मात्रा अविभाज्य से नहीं बन सकती। अन्यथा, गति के विरोधाभास के बारे में ज़ेनो की अप्रोच का समाधान नहीं होगा, और गति की संभावना, समय और स्थान की निरंतरता की व्याख्या करना भी असंभव होगा।

ज़ेनकिन के अनुसार, कैंटर के स्वयंसिद्ध के अनुसार, यह इस प्रकार है कि वह संभावित अनंतता से इनकार करता है। कैंटर ने न केवल पीबी को नकारा, बल्कि उसे वास्तव में अनंत भी नहीं माना। उसके लिए, PB एक परिवर्तनशील परिमित मान है। इसके अलावा, उनका मानना ​​था कि यदि आप पीबी लेते हैं, तो इससे भी अधिक आपको एबी लेना चाहिए।

निष्कर्ष इस प्रकार है. ज़ेनकिन द्वारा तैयार किए गए अरस्तू और कैंटर के सिद्धांत, अरस्तू और कैंटर की पीबी और एबी की अवधारणा के वास्तविक दृष्टिकोण को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं। दोनों स्वयंसिद्धों में, अरस्तू के स्वयंसिद्ध (IV शताब्दी ईसा पूर्व) में: "सभी अनंत सेट संभावित रूप से अनंत सेट हैं," और कैंटर के वास्तविक रूप से मौजूदा और विरोधाभासी सिद्धांत (XIX शताब्दी ईस्वी) में सौ से अधिक वर्षों से: "सभी अनंत सेट हैं।" वास्तव में अनंत सेट" [ए.ए. ज़ेनकिन देखें। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], "अनंत सेट" की सामान्य अवधारणा को इसके प्रकार के माध्यम से परिभाषित किया गया है। अरस्तू के स्वयंसिद्ध में - संभावित अनंत सेटों के माध्यम से, कैंटर के स्वयंसिद्ध में - वास्तव में अनंत सेटों के माध्यम से। न तो पीबी और न ही एबी की अवधारणा शब्द के सख्त अर्थ में गणितीय वस्तुएं हैं, क्योंकि वे केवल संभावना में मौजूद हैं, अज्ञात और अनिश्चित हैं। एबी और पीबी की अवधारणाएं न तो एक संख्या हैं और न ही एक मात्रा, बल्कि हमारी अमूर्त तर्कसंगत सोच की एक संपत्ति हैं।

उपरोक्त सभी का ज़ेनकिन के काम के उस हिस्से से कोई लेना-देना नहीं है, जिसमें शास्त्रीय तर्क के आधार पर, वह साबित करता है कि सातत्य की बेशुमारता पर कैंटर का प्रमेय अप्राप्य है। ज़ेनकिन ने दिखाया कि कैंटर की विकर्ण विधि (डीएमके), जो प्रमेय के प्रमाण का आधार बनती है, पाइथागोरस और यूक्लिड के लिए प्रसिद्ध प्रति-उदाहरण का एक विशिष्ट संस्करण है। और डी. हिल्बर्ट का प्रसिद्ध "ग्रैंड होटल" विरोधाभास जी. कैंटर द्वारा सातत्य की बेशुमारता के डीएमसी प्रमाण का एक निगमनात्मक मॉडल (ए. टार्स्की के अर्थ में) है। इस मॉडल के आधार पर, ज़ेनकिन ने निष्कर्ष निकाला कि डीएमसी प्रमाण शास्त्रीय तर्क के दृष्टिकोण से गलत है। इसलिए, कोई अनगिनत सेट नहीं हैं, और सभी अनंत सेटों की प्रमुखता समान है। इस प्रकार, जी. कैंटर की संपूर्ण भव्य "टीचिंग ऑफ़ द ट्रांसफ़िनिट" ध्वस्त हो जाती है।

इस प्रकार, सातत्य की बेशुमारता पर प्रमेय और उस पर आधारित ट्रांसफ़िनिट संख्याओं के कैंटर के सिद्धांत के सावधानीपूर्वक अध्ययन से जो मुख्य निष्कर्ष निकलता है, वह यह है कि अरस्तू के शास्त्रीय तर्क के आधार पर इसकी मिथ्याता को काफी आसानी से खारिज किया जा सकता है (जैसा कि ए.ए. ज़ेनकिन ने दिखाया है)। .

और कोई कम महत्वपूर्ण नहीं, अंतिम निष्कर्ष। कैंटर का सिद्धांत यूरोपीय गणित में एक आकस्मिक घटना नहीं है, बल्कि संख्या और परिमाण की अवधारणाओं की पहचान करने का एक स्वाभाविक परिणाम है, जिसके कारण गणित का क्रमिक अंकगणितीकरण, इसकी अटकलबाजी और अत्यधिक अमूर्तता हुई।

5. संभावित अनंत का रहस्य

एक समान रूप से महत्वपूर्ण प्रश्न, जो ज़ेनकिन ने सातत्य की बेशुमारता पर कैंटर के प्रमेय की असंगति को साबित करते समय अनजाने में उठाया था, सीधे गणित में मान्यता प्राप्त संभावित अनंत के सार से संबंधित है।

1920 के दशक में, डेविड हिल्बर्ट ने "ग्रैंड होटल" (इसके बाद, संक्षेप में, जीओ) नामक एक लोकप्रिय विरोधाभास का प्रस्ताव रखा, जो कैंटर के (साथ ही आधुनिक स्वयंसिद्ध) सेट सिद्धांत में परिमित और अनंत सेटों के बीच मूलभूत अंतर को दर्शाता है। हम स्वयं विरोधाभास प्रस्तुत नहीं करेंगे, क्योंकि यह काफी बोझिल है। इसकी सामग्री यह है कि यह अनंत सेटों की मुख्य संपत्ति को बहुत स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है: यदि एक अनंत सेट में एक परिमित या गणनीय अनंत सेट जोड़ा जाता है, तो पहले सेट की कार्डिनैलिटी नहीं बदलती है।

ज़ेनकिन दिखाता है कि सातत्य की बेशुमारता का डीएमसी प्रमाण डी. हिल्बर्ट के जीओ विरोधाभास [ए.ए.'' का एक निगमनात्मक मॉडल (टार्स्की के अर्थ में) है। जॉर्ज कैंटर का अनंत स्वर्ग: सर्वनाश की दहलीज पर बाइबिल की कहानियां। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.com2com.ru/alexzen/]।

यह स्थापित करने के बाद कि डीएनए विधि में कैंटर एबी का नहीं, बल्कि पीबी प्रक्रिया का उपयोग करता है, ज़ेनकिन ने नोट किया कि कोई भी इस प्रमेय के कथन की सच्चाई को नहीं जान पाएगा, क्योंकि एक अनंत प्रक्रिया में अंतिम तत्व नहीं होता है।

ज़ेनकिन ने कैंटर की वास्तविक अनंतता को दिखाया ज़रूरीडीएमसी की स्थिति सातत्य की बेशुमारता का प्रमाण, वास्तव में, दर्शाती है संभावित- अंतहीन "तर्क"। "इससे यह सिद्ध होता है" मौजूदासातत्य की बेशुमारता पर कैंटर के प्रमाण प्रमेय के ढांचे में "और" अनंत "(तार्किक और एल्गोरिदमिक रूप से) हैं असंगतअवधारणाएँ, और, इसलिए, अवधारणा " मौजूदा" और " अंतिम» एल्गोरिदमिक रूप से हैं समान"[वही]. और यदि यह एक संभावित अंतहीन कथन है, तो इसकी सत्यता स्थापित नहीं की जा सकती, क्योंकि एक अंतहीन प्रक्रिया का कोई अंतिम तत्व नहीं होता है। ज़ेनकिन का यह निष्कर्ष हमारी धारणा की पुष्टि करता है कि पीबी की अवधारणा परिमित की अवधारणा का विरोधाभासी है, न कि एबी की।

"इस प्रकार," ज़ेनकिन लिखते हैं, " पहली बार साबित हुआअरस्तू, यूक्लिड, लीबनिज़ और कई अन्य (सूची-1 देखें) उत्कृष्ट तर्कशास्त्रियों, गणितज्ञों और दार्शनिकों की महान सहज दूरदर्शिता (और चेतावनी!) कि " वास्तविक अनन्तता" है आंतरिक रूप से विरोधाभासीअवधारणा (कुछ इस तरह खत्म(कैंटर द्वारा) अनंत") और इसलिए गणित में इसका उपयोग अस्वीकार्य है" [उक्त]।

दुर्भाग्य से, वास्तविक (पूर्ण, यानी पूर्ण, परिमित) अनंत की अवधारणा की आंतरिक असंगतता को साबित करना, इसकी स्पष्ट तात्कालिक असंगतता के कारण, एक निश्चित सीमा तक, एक निरर्थक प्रयास है। शास्त्रीय अरिस्टोटेलियन तर्क के ढांचे के भीतर, यह बिल्कुल असंभव है। सट्टा (द्वंद्वात्मक) तर्क के संदर्भ में, जो विरोधाभास के नियम को नकारता है, यह काफी स्वीकार्य है।

ज़ेनकिन ने यह भी पता लगाया कि सातत्य अगणनीयता प्रमेय के कैंटर के विकर्ण प्रमाण का विहित रूप लीयर विरोधाभास के विहित अनंत रूप (पी2) के समान है:

"कोई कहता है, 'मैं झूठा हूं।' - क्या वह झूठा है? यदि वह झूठा है, तो झूठा होने का दावा करके झूठ बोलता है; इसलिए वह झूठा नहीं है. परन्तु यदि वह झूठा नहीं है, तो जब वह दावा करता है कि वह झूठा है, तो वह सच कह रहा है; इसलिए, वह झूठा है, या, संक्षेप में (यहाँ A = "मैं झूठा हूँ"): और [ØA® A] (P1)" [उक्त।]

ज़ेनकिन यह भी नोट करते हैं, "झूठे विरोधाभास का मॉडलिंग किसी एनालॉग कंप्यूटर पर नहीं करना साबित होता है।" कि इस विरोधाभास का कोई सीमित रूप नहीं है, बल्कि निम्नलिखित अनंत रूप है A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) और इसे पूरा करने के लिए कोई तार्किक और गणितीय कारण, कारण या आधार नहीं हैं संभावित-एक अंतहीन प्रक्रिया" [वही]।

परिणामस्वरूप, रूसी गणितज्ञ एक दिलचस्प निष्कर्ष निकालते हैं। “इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि यह अनंत रूप (पी2) है जो आवश्यक और का एहसास कराता है पर्याप्तविरोधाभास की घटना की स्थितियाँ (सख्त तार्किक और गणितीय अर्थ में)। इस मामले में, इस विरोधाभास का सच्चा "शब्दार्थ" यह बिल्कुल नहीं है कि "मैं झूठा हूं" कथन "सच्चा या गलत नहीं हो सकता", बल्कि यह कथन, इसके विपरीत, एक साथ है सत्य और असत्य दोनों"एक ही समय में, एक ही स्थान पर और एक ही सम्मान में।" दूसरे शब्दों में, "झूठे" विरोधाभास के रूप में (पी2), सत्य और झूठ मिश्रित और मिश्रित होते हैं, जिसका अर्थ है कि सत्य और झूठ अप्रभेद्य हो जाते हैं" [वही]।

इससे असहमत होना कठिन है. प्लेटो के अनुसार, अनंत वह है जिसमें अनिश्चित मात्रात्मक विशेषता होती है और सख्त परिभाषा की अनुमति नहीं होती है। वह अनंत को "अनिश्चित बाइनरी" कहता है, इसके हमेशा दो अर्थ होते हैं और यह एक अर्थ नहीं ले सकता, निर्णय नहीं ले सकता“... अनंत का अस्तित्व उसी तरह हो सकता है जैसे दिन का अस्तित्व है या एक प्रतियोगिता के रूप में - इस अर्थ में कि वह है हमेशा अलग और अलग हो जाता है» [पी.पी. गैडेन्को। विज्ञान के साथ यूनानी दर्शन का इतिहास। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html]।

सवाल उठता है कि प्लेटो की "हमेशा अन्य और अन्य बनने" की प्रक्रिया के रूप में अनंत की अवधारणा का तार्किक अर्थ क्या है? हमारी राय में, संभावित अनंत की अवधारणा में ही एक सिद्धांत निहित है जो विरोधाभास के नियम को नकारता है। यह "कुछ या अन्य" के बजाय "अन्य और अन्य", अनिश्चितता का सिद्धांत है। यदि अरस्तू की व्याख्या में विरोधाभास का नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: "एक ही चीज़ का एक ही चीज़ में और एक ही अर्थ में निहित होना और न होना असंभव है," तो, पीबी की परिभाषा के साथ हमारे मामले में, "एक और एक ही समान" का अर्थ प्लेटो में "अन्य" की अवधारणा के समान है। परिणामस्वरूप, प्लेटो की परिभाषा में, हम एक ऐसे कथन से निपट रहे हैं जो विरोधाभास के नियम को नकारता है। उदाहरण के लिए, संभावित अनंत के उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला पर विचार करें: 1, 2, 3, 4, 5...। यदि हम पड़ोसी संख्याओं का कोई युग्म लें, तो परिमाण में उनके तीनों प्रकार के संबंधों का सत्य होना असंभव है: 3 > 4, 4 > 3, या 3 = 4। यदि हम परिमित संख्या 4 लेते हैं, तो, उदाहरण के लिए, इसके परिमाण के संदर्भ में, यह स्वयं से बड़ा नहीं हो सकता है। जबकि, अनंत संख्या श्रृंखला में, संख्या का मान हमेशा बदलता रहता है, और हम विरोधाभास के नियम को निश्चितता के नियम के रूप में लागू नहीं कर सकते हैं।इसलिए, प्राकृतिक श्रृंखला की सभी संख्याएँ संभावित अनंत में समान रूप से अंतर्निहित हैं: 1, और दूसरा (2), और दूसरा (3), और दूसरा (4)। अत: विच्छेद चिह्न के स्थान पर समुच्चयबोधक चिह्न लगाना चाहिए। और विरोधाभास के नियम के स्थान पर संयोगिता विरोध के नियम की शुरूआत विरोधाभासों को जन्म देती है। विरोधाभास क्या है? यह एक विरोधाभासी प्रस्ताव है.

और अंत में, झूठा विरोधाभास का एक उदाहरण। कोई कहता है: "मैं झूठ बोल रहा हूँ।" अगर वह इसके बारे में झूठ बोल रहा है, तो उसने जो कहा वह झूठ है, और इसलिए वह झूठ नहीं बोल रहा है। अगर वह झूठ नहीं बोलता,उसने जो कहा वह सच है, और इसलिए वह झूठ बोल रहा है। किसी भी मामले में, यह पता चलता है कि वह एक ही समय में झूठ बोल रहा है और झूठ नहीं बोल रहा है [तार्किक शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक। एन.आई. कोंडाकोव। विज्ञान। एम., 1976. पृ.433]. इस विरोधाभास में हम विरोधाभास के नियम के सचेतन उल्लंघन से निपट रहे हैं। किसी के लिए झूठ बोलना और एक ही संबंध में झूठ न बोलना असंभव है। और यह उल्लंघन विरोधाभास की संरचना में अंतर्निहित है।

इस प्रकार, जैसा कि ज़ेनकिन दिखाता है, और यह शास्त्रीय तर्क के आधार पर इस विरोधाभास के विश्लेषण से पता चलता है, विरोधाभास के कानून का उल्लंघन संभावित अनंत की अवधारणा की सामग्री में निहित है, जो विरोधाभास की घटना की ओर ले जाता है।. यदि हम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं, तो श्रृंखला बनाने वाली प्रत्येक प्राकृतिक संख्या प्राकृतिक संख्याओं की अनंत श्रृंखला में शामिल भी है और शामिल नहीं है। सबसे पहले, एक संख्या, उदाहरण के लिए 5, तब प्रवेश करती है जब हम गणना के दौरान उस तक पहुंचते हैं, और फिर इसे संख्या 6 से बदल दिया जाता है और इसी तरह। निश्चितता लगातार बदल रही है, और इसलिए, असंभव, विरोधाभासों का उद्भव संभव है।

यदि एबी की अवधारणा में इस अवधारणा की असंगतता और विरोधाभास स्पष्ट है, तो पीबी की अवधारणा में यह छिपा हुआ है।

पीबी की प्रकृति को समझते हुए, कोई अंकगणित और ज्यामितीय अनंत की अवधारणाओं को नजरअंदाज नहीं कर सकता है। आइए इन अवधारणाओं को अधिक विस्तार से देखें।

प्राकृतिक संख्याओं का क्रम 1, 2, 3,…, (1)

अनंत समुच्चय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रस्तुत करता है। हेगेल के समय से, प्राकृतिक श्रृंखला 1+1+1+... की अंकगणितीय अनंतता को, इसकी व्यर्थता के कारण, "बुरा" या "बुरा" अनंत कहा गया है।

ज्यामितीय अनन्तता में एक खंड का आधे में असीमित विभाजन होता है। पास्कल ने ज्यामितीय अनंत के बारे में निम्नलिखित लिखा: “ऐसा कोई भी ज्यामिति नहीं है जो यह विश्वास नहीं करता कि अंतरिक्ष अनंत से विभाज्य है। वह इसके बिना नहीं रह सकता, जैसे कोई व्यक्ति आत्मा के बिना नहीं रह सकता। और फिर भी ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जो अनंत विभाज्यता को समझता हो..." [ ए.पी. स्टाखोव "गोल्डन सेक्शन" के संकेत के तहत: एक छात्र छात्र के बेटे का बयान। अध्याय 5. माप का एल्गोरिथम सिद्धांत। 5.5. गणित में अनंत की समस्या. संभावित और वास्तविक अनंतता. - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm]।

वास्तव में, यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न है जिसे वर्तमान में प्रचलित मानवकेंद्रित प्रतिमान के ढांचे के भीतर हल नहीं किया जा सकता है।

डी. गिल्बर्ट लिखते हैं, "प्राकृतिक घटनाओं और पदार्थ द्वारा बनाई गई पहली अनुभवहीन छाप किसी निरंतर, निरंतर चीज़ की छाप है।" यदि हमारे सामने धातु का एक टुकड़ा या एक निश्चित मात्रा में तरल पदार्थ है, तो यह विचार हम पर थोप दिया जाता है कि वे असीम रूप से विभाज्य हैं, चाहे उनका टुकड़ा कितना भी छोटा क्यों न हो, फिर से वही गुण रखते हैं। लेकिन जहां भी पदार्थ के भौतिकी में अनुसंधान के तरीकों में पर्याप्त सुधार किया गया है, हम इस विभाज्यता की सीमाओं का सामना करते हैं, जो हमारे अनुभव की अपूर्णता में नहीं, बल्कि स्वयं वस्तु की प्रकृति में निहित है, ताकि कोई सीधे तौर पर इसका अनुभव कर सके। असीम लघुता से मुक्ति के रूप में आधुनिक विज्ञान की प्रवृत्ति; अब पुरानी थीसिस "नेचुरा नॉन फैसिट सॉल्टस" (प्रकृति छलांग नहीं लगाती है) की तुलना इसके विपरीत करना संभव होगा: "प्रकृति छलांग लगाती है" [गिल्बर्ट डी. अनंत पर। स्कैनिंग स्रोत: गिल्बर्ट डी. अनंत के बारे में //उनका। ज्यामिति की नींव. - एम.-एल., 1948.491 पी. (मैथेमेटिसचेन एनालेन, खंड 95 से संक्षिप्त लेख) - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm ]।

“अनंत विभाज्यता केवल गणित में मौजूद है। यह प्रकृति में कहीं भी, भौतिकी और रसायन विज्ञान के प्रयोगों में नहीं पाया जाता है - इसलिए, यह केवल एक गणितीय विचार है - गणितीय सोच का एक उत्पाद! अनंत ब्रह्मांड का विचार कांट से पहले और उसके बाद भी लंबे समय तक हावी रहा। लेकिन यह विचार हमारे अनुभव और अनुभूति की प्रक्रिया की सीमाओं का दूसरा पहलू है” [उक्त]।

आधे में एक खंड की असीमित विभाज्यता के रूप में ज्यामितीय अनंत की संपत्ति ज्यामिति के ढांचे के भीतर अघुलनशील है, लेकिन इसके लिए दर्शन और धर्मशास्त्र की भागीदारी की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, एक खंड को विभाजित करने की प्रक्रिया तर्कसंगत सोच की मौलिक संपत्ति को व्यक्त करती है - अध्ययन के तहत वस्तु का विनाश (विभाजन)। समझ अपनी वस्तुओं के संबंध में विभाजनकारी ढंग से कार्य करती है, जिससे निश्चितता प्राप्त होती है।

दूसरी बात. किसी खंड की अनंत विभाज्यता इस तथ्य के कारण है कि एक ज्यामितीय खंड निरंतर मात्रा का एक रूप है। और मात्रा स्वयं गुणवत्ता के प्रति उदासीन संवेदी चीजों का एक अमूर्तन है।

वस्तुगत भौतिक संसार में कोई शुद्ध मात्रा नहीं है, सभी चीजों का एक माप होता है और, इसके लिए धन्यवाद, वे स्वयं के समान हैं और दूसरों से भिन्न हैं। माप गुणवत्ता और मात्रा की प्रत्यक्ष एकता है। एक ज्यामितीय खंड में हम विशालता से निपट रहे हैं, यानी। अपनी गुणात्मक परिभाषा से परे जाने वाला एक उपाय। किसी भी वस्तुनिष्ठ वस्तु के गुणात्मक अस्तित्व की सीमाएँ होती हैं। यदि वे नष्ट हो जाएं तो वस्तु ही नष्ट हो जाती है। इसलिए, एक समझदार (सीमित) चीज़ को संभावित (बुरी) अनंत की स्थिति में विभाजित नहीं किया जा सकता है। किसी चीज़ की गुणात्मक निश्चितता विभाजन की इस प्रक्रिया का विरोध करती है। उदाहरण के लिए, लकड़ी के एक टुकड़े को तब तक विभाजित किया जा सकता है जब तक कि विभाजन के टुकड़े इस पेड़ के गुणों को बरकरार रखते हैं, यानी। सेल्युलोज अणु की आणविक सीमा तक। सेलूलोज़ अणु का आगे विभाजन किसी अन्य चीज़ को विभाजित करने की प्रक्रिया है, इसलिए, लकड़ी को विभाजित करने की प्रक्रिया की एक निचली सीमा होती है - सेलूलोज़ अणु। परमाणु स्तर पर आणविक विखंडन की सीमा कम होगी। तत्वों के विशिष्ट परमाणुओं के विभाजन से उपपरमाण्विक भागों आदि के स्तर तक विभाजन होगा। नतीजतन, वस्तुनिष्ठ चीजों का कोई भी विभाजन सीमित है। यदि हम गुणवत्ता और माप को ध्यान में रखे बिना विभाजन की प्रक्रिया पर विचार करें तो विभाजन की प्रक्रिया वास्तव में अंतहीन हो जाती है। लेकिन फिर हम क्या माप रहे हैं? परिमित वस्तुओं का अमूर्तन ही पदार्थ है। एक वस्तुनिष्ठ, संवेदी वस्तु के रूप में पदार्थ (प्राकृतिक, देशी, अपरिवर्तित वास्तविकता में) मौजूद नहीं है, यह ज्यामितीय खंड के समान ही अमूर्त विचार का उत्पाद है;

इस प्रकार, ज्यामितीय खंड और पदार्थ दोनों खराब (संभावित) अनंत तक विभाज्य हैं। लेकिन यहां हम वास्तविक समझदार चीजों के साथ नहीं, बल्कि शुद्ध मात्रा के साथ काम कर रहे हैं, जिसका अपने आप में कोई माप नहीं है, और इसलिए लगातार अपनी सीमाओं से परे चला जाता है। यह कोई संयोग नहीं है कि हेगेल ने "द साइंस ऑफ लॉजिक" में लिखा है कि मात्रा की अवधारणा में इसकी सीमाओं से परे जाने की आवश्यकता शामिल है।

अरस्तू की परिभाषा पर लौटते हुए: "मात्रा वह है जो घटक भागों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक, चाहे दो या दो से अधिक हों, स्वभाव से एक चीज और एक निश्चित चीज है..." [अरस्तू। ऑप. 4 खंडों में. खंड 1. एम.: माइस्ल, 1976, पृ.164], यह स्पष्ट है कि गणित शुद्ध मात्रा से संबंधित है, अर्थात। भौतिकी द्वारा अध्ययन की जाने वाली सीमित चीजों की संवेदी मात्रा के साथ नहीं, बल्कि एक अमूर्त शुद्ध अथाह मात्रा के साथ - संख्या और परिमाण। इसलिए, भौतिकी के विषय के रूप में कामुक प्रकृति में न तो वास्तविक और न ही संभावित अनंतता है। संसार व्यापक और गहन दोनों अर्थों में सीमित है। यह कोई संयोग नहीं है कि अरस्तू ने इस पर ध्यान दिया अनंत को इंद्रियों या मन को नहीं दिया जाता है, और इसे एक नाजायज अवधारणा कहा जाता है. परमेश्वर ने सृजित संसार में हर चीज़ को माप, संख्या और परिमाण (पवित्र शास्त्र) के अनुसार व्यवस्थित किया।

ज्ञान के रूपों के अपने पदानुक्रम में, अरस्तू ने, तत्वमीमांसा के बाद (जिसके द्वारा उन्होंने सख्त अर्थों में धर्मशास्त्र को शाश्वत के विज्ञान के रूप में समझा) पहले दर्शनशास्त्र के रूप में, भौतिकी को रखा, और उसके बाद गणित को रखा। और यह बिल्कुल उचित है, क्योंकि गणित का विषय - शुद्ध मात्रा, की जड़ें कामुक भौतिक प्रकृति में हैं। इसका विषय अमूर्त मात्रा के रूप में संख्या और परिमाण है। ऐतिहासिक विकासगणित में अमूर्त रूप ने इस तथ्य को जन्म दिया कि इसके अध्ययन का मुख्य विषय आदर्श गणितीय वस्तुओं का क्षेत्र बन गया: संख्या, मात्रा, बिंदु, रेखा, सेट, आदि, जो कई मायनों में वास्तविक भौतिक वस्तुओं की दुनिया से मेल नहीं खाता है। . संभावित अनंत की अवधारणा उनमें से एक है। अत: यहां जो निष्कर्ष निकलता है वह यह है कि सबसे पहले गणित और प्राकृतिक विज्ञान की विशेषताओं और सीमाओं को स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है। और, दूसरी बात, प्रकृति (भौतिकी, जीव विज्ञान, आदि) के अध्ययन में तत्काल विषय की सामग्री पर भरोसा करना और आगे बढ़ना आवश्यक है, न कि प्राथमिक गणितीय मॉडल से। और यद्यपि गणित के इतिहास में रिवर्स इंटरैक्शन के कई उदाहरण हैं, फिर भी, इस अभ्यास में कई मौलिक अपवाद हैं।

6. जी. कैंटर द्वारा संख्या सिद्धांत और समुच्चय सिद्धांत

“संख्या सिद्धांत का विषय मेल खाता है

सभी गणित का विषय (अध्ययन का)।

ए.एम. विनोग्राडोव

ऐतिहासिक रूप से, संख्या की अवधारणा का गठन इसकी संरचना में नए प्रकार की संख्याओं (सेट) को शामिल करने के कारण मात्रा के सामान्यीकरण (विस्तार) के औपचारिक संचालन के आधार पर हुआ।

संख्या के बारे में पहला विचार लोगों, जानवरों, फलों, विभिन्न उत्पादों आदि की गिनती से उत्पन्न हुआ। परिणाम प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, ...

व्यक्तिगत वस्तुओं की गिनती करते समय, एक सबसे छोटी संख्या होती है, और इसे शेयरों में विभाजित करना आवश्यक नहीं होता है, और कभी-कभी यह असंभव होता है, लेकिन मात्राओं के मोटे माप के साथ भी 1 को शेयरों में विभाजित करना आवश्यक होता है। ऐतिहासिक रूप से, संख्या की अवधारणा का पहला विस्तार प्राकृतिक संख्या में भिन्नात्मक संख्याओं का योग है। भिन्नात्मक संख्याओं का परिचय माप करने की आवश्यकता से जुड़ा है। किसी भी मात्रा के माप में उसकी तुलना किसी अन्य मात्रा से की जाती है जो गुणात्मक रूप से उसके साथ सजातीय होती है और माप की एक इकाई के रूप में ली जाती है। यह तुलना माप विधि के लिए विशिष्ट, मापे गए मूल्य पर माप की एक इकाई को "अलग रखने" और ऐसी देरी की संख्या की गणना करने के ऑपरेशन के माध्यम से की जाती है। माप की इकाई के रूप में लिए गए एक खंड को अलग करके, तरल की मात्रा - एक मापने वाले बर्तन का उपयोग करके, आदि को अलग करके लंबाई को इस प्रकार मापा जाता है।

एक अंश एक इकाई या कई समान भागों का एक हिस्सा (शेयर) है।

द्वारा निरूपित: जहाँ m और n पूर्णांक हैं; - अंश की कमी; - विस्तार। 10n के हर वाले भिन्न, जहां n एक पूर्णांक है, दशमलव कहलाते हैं।

के बीच दशमलव विशेष स्थानआवधिक अंशों पर कब्जा करें: - शुद्ध आवधिक अंश, - मिश्रित आवधिक अंश

संख्या की अवधारणा का और अधिक विस्तार गणित (बीजगणित) के विकास के कारण हुआ है। 17वीं शताब्दी में डेसकार्टेस। एक ऋणात्मक संख्या की अवधारणा का परिचय देता है, जिसने खंडों की दिशा के रूप में इसकी ज्यामितीय व्याख्या दी। डेसकार्टेस की विश्लेषणात्मक ज्यामिति की रचना, जिसने एक समीकरण की जड़ों को भुज अक्ष के साथ एक निश्चित वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में मानना ​​संभव बना दिया, अंततः एक समीकरण की सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के बीच मूलभूत अंतर को मिटा दिया; उनकी व्याख्या मूलतः एक जैसी ही निकली।

पूर्णांक (धनात्मक और ऋणात्मक), भिन्न (धनात्मक और ऋणात्मक) और शून्य को परिमेय संख्याएँ कहा जाता है। किसी भी परिमेय संख्या को परिमित एवं आवर्ती भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

लगातार बदलते चरों के अध्ययन के लिए परिमेय संख्याओं का समुच्चय अपर्याप्त निकला। यहां यह पता चला कि संख्या की अवधारणा का एक नया विस्तार आवश्यक था, जिसमें तर्कसंगत संख्याओं के सेट से वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं के सेट में संक्रमण शामिल था। वास्तविक संख्याओं का परिचय तर्कसंगत संख्याओं में अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने से हुआ: अपरिमेय संख्याएँ अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं।

बीजगणित में असंगत खंडों (एक वर्ग की भुजा और विकर्ण) को मापते समय अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं - जड़ें निकालते समय एक अनुवांशिक, अपरिमेय संख्या का एक उदाहरण π, ई है;

वास्तविक संख्या की अवधारणा की एक स्पष्ट परिभाषा गणितीय विश्लेषण के संस्थापकों में से एक, आई. न्यूटन द्वारा "सामान्य अंकगणित" में दी गई है: "संख्या से हम इकाइयों के एक सेट को इतना नहीं समझते हैं जितना कि कुछ मात्रा के अमूर्त संबंध को समझते हैं। उसी प्रकार की एक अन्य मात्रा को, जिसे हमने एक इकाई के रूप में लिया है।'' यह सूत्रीकरण एक वास्तविक संख्या, तर्कसंगत या अपरिमेय, की एकीकृत परिभाषा प्रदान करता है। बाद में, 70 के दशक में. 19वीं सदी में, आर. डेडेकाइंड, जी. कैंटर और के. वीयरस्ट्रैस के कार्यों में निरंतरता की अवधारणा के गहन विश्लेषण के आधार पर वास्तविक संख्या की अवधारणा को स्पष्ट किया गया था।

डेडेकाइंड के अनुसार, एक सीधी रेखा की निरंतरता का गुण यह है कि यदि सीधी रेखा बनाने वाले सभी बिंदुओं को दो वर्गों में विभाजित किया जाए ताकि प्रथम वर्ग का प्रत्येक बिंदु दूसरे वर्ग के प्रत्येक बिंदु के बाईं ओर स्थित हो (" रेखा को दो भागों में तोड़ें), तो या तो दूसरे वर्ग में पहले में सबसे दाहिना बिंदु है, या दूसरे वर्ग में सबसे बायां बिंदु है, अर्थात वह बिंदु जिस पर रेखा का "विच्छेदन" हुआ।

सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय में निरंतरता का गुण नहीं होता है। यदि सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दो वर्गों में विभाजित किया जाए ताकि प्रथम वर्ग की प्रत्येक संख्या दूसरे वर्ग की प्रत्येक संख्या से कम हो, तो ऐसे विभाजन (डेडेकाइंड का "अनुभाग") के साथ यह पता चल सकता है कि प्रथम वर्ग में सबसे बड़ी संख्या नहीं होगी, और दूसरे में - सबसे कम। यह मामला होगा, उदाहरण के लिए, यदि प्रथम वर्ग में सभी नकारात्मक तर्कसंगत संख्याएं, शून्य और सभी शामिल हैं सकारात्मक संख्या, जिसका वर्ग दो से कम है, और दूसरे से - सभी सकारात्मक संख्याएँ, जिनका वर्ग दो से बड़ा है। ऐसे अनुभाग को अपरिमेय कहा जाता है। फिर एक अपरिमेय संख्या की निम्नलिखित परिभाषा दी गई है: परिमेय संख्याओं के समुच्चय में प्रत्येक अपरिमेय खंड से एक अपरिमेय संख्या जुड़ी होती है, जिसे प्रथम वर्ग की किसी भी संख्या से बड़ा और उच्च वर्ग की किसी भी संख्या से कम माना जाता है। परिमेय और अपरिमेय सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में पहले से ही निरंतरता का गुण होता है।

वास्तविक संख्या की अवधारणा के लिए कैंटर का औचित्य डेडेकाइंड से भिन्न है, लेकिन यह निरंतरता की अवधारणा के विश्लेषण पर भी आधारित है। डेडेकाइंड और कैंटर दोनों की परिभाषाएँ वास्तविक अनंत के अमूर्तन का उपयोग करती हैं। इस प्रकार, डेडेकाइंड के सिद्धांत में, एक अपरिमेय संख्या सभी तर्कसंगत संख्याओं की समग्रता में एक खंड के माध्यम से निर्धारित की जाती है, जिसे संपूर्ण के रूप में दिया गया माना जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओं को एक संख्या रेखा पर आलेखित किया जा सकता है। संख्या अक्ष (संख्या रेखा):

ए) उस पर चुनी गई दिशा के साथ एक क्षैतिज रेखा;

बी) मूल - बिंदु 0;

ग) पैमाने की इकाई

[महान सोवियत विश्वकोश। - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number]।

आज तक, संख्याओं के सामान्यीकरण के सात आम तौर पर स्वीकृत स्तर हैं: प्राकृतिक, तर्कसंगत, वास्तविक, जटिल, वेक्टर, मैट्रिक्स और ट्रांसफ़िनिट संख्याएँ। कुछ वैज्ञानिक कार्यों को कार्यात्मक संख्याओं के रूप में मानने और संख्याओं के सामान्यीकरण की डिग्री को बारह स्तरों तक विस्तारित करने का प्रस्ताव करते हैं

[अनिश्चेंको एवगेनी अलेक्जेंड्रोविच। "गणित की मूल अवधारणा के रूप में संख्या।" - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://www.referat.ru/referats/view/7401 ]।

रूसी वैज्ञानिक ओज़ोलिन ई.ई. एक महत्वपूर्ण विचार व्यक्त किया जो गणितीय समुदाय में आधुनिक बौद्धिक माहौल को बहुत सटीक रूप से व्यक्त करता है। सभी जानते हैं कि संख्या सिद्धांत गणित की सबसे जटिल और महत्वपूर्ण शाखा है। हालाँकि, संख्या सिद्धांत की अनदेखी की गई लगती है। जबकि इस सिद्धांत में सबसे छोटे बदलाव गणित के सभी क्षेत्रों में "तूफान" पैदा कर सकते हैं [ओज़ोलिन ई.ई. (ओजेस) अक्टूबर 2004। संख्या की अवधारणा. - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://ozes-world.naroad.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm]।

इसके अलावा, - ई.ई. ओज़ोलिन आश्चर्य के साथ लिखते हैं, - इस तथ्य के बावजूद कि प्राचीन यूनानियों को संख्याओं के बारे में सब कुछ नहीं पता था, एक दुखद तथ्य यह है कि "आधुनिक गणितज्ञों (अन्य सभी का उल्लेख नहीं) के पास संख्या की अवधारणाएं और ज्ञान है जो कभी-कभी हीन होता है प्राचीन यूनानी वाले।

आप देखिये, यह पहले से ही बकवास है” [उक्त]।

इस विचार की पुष्टि करने के लिए, ई.ई. ओज़ोलिन संख्या की अवधारणा के निर्माण के सिद्धांतों का ऐतिहासिक विश्लेषण करता है और निम्नलिखित निष्कर्ष पर आता है। यूरोपीय गणित, विशेष रूप से 13वीं शताब्दी के बाद से, थेल्स के गोले के घोंसले के सिद्धांत के अनुसार संख्या की अवधारणा का निर्माण करता है, "अर्थात, प्राकृतिक संख्याओं का सेट पूर्णांकों के सेट में अंतर्निहित है, पूर्णांकों का सेट में अंतर्निहित है" तर्कसंगत संख्याओं का सेट, तर्कसंगत संख्याओं का सेट वास्तविक संख्याओं के सेट में अंतर्निहित है, वास्तविक संख्याओं का सेट जटिल संख्याओं के सेट में अंतर्निहित है, आदि)" [उक्त]। "और, इस तथ्य के बावजूद कि कर्ट गोडेल, औपचारिक तर्क के दृष्टिकोण से (1931 में), और मैं, मेटामैथेमेटिक्स के दृष्टिकोण से, लंबे समय से सिद्ध और पुन: सिद्ध कर चुके हैं कि नेस्टेड क्षेत्रों की पांच-परत संरचना नहीं हो सकती है पूर्ण और तार्किक रूप से सही, हम फिर से और एक बार फिर हमें कथित निष्पक्ष बयानों के रूप में गलत "स्कूल हठधर्मिता" का सामना करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं तर्कसंगत संख्याओं का एक उपसमूह हैं।

इसलिए मैं एक बार फिर आपका ध्यान इस बात की ओर दिलाना चाहता हूं कि ऐसा नहीं हो सकता. उदाहरण के लिए, गणित के ढांचे के भीतर, हम केवल प्राकृतिक संख्या 1 (एक) से तर्कसंगत संख्या 1.00 (0) से एक की औपचारिक समानता के बारे में बात कर सकते हैं। इसके अलावा, इन संख्याओं का तार्किक, गणितीय (और भौतिक!) अर्थ पूरी तरह से अलग है। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक इकाई एक संख्या है, जो किसी मौजूदा इकाई में जोड़ने पर अगली संख्या देती है, एक तर्कसंगत इकाई एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर, यह संख्या अपना अर्थ नहीं बदलती है!!! एक इकाई कैसे अर्थ बदल सकती है” [वही] ???

"इसके अलावा," ई.ई. ओज़ोलिन जारी रखते हैं, "प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याएं पूरी तरह से अलग-अलग धातु संरचनाओं से संबंधित हैं। इसलिए, हम इन संख्याओं के औपचारिक गणितीय संबंध के बारे में बात भी नहीं कर सकते।

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं के बीच तार्किक अंतर की जिस समस्या को मैंने रेखांकित किया है वह "लानत देने लायक नहीं है।" और अधिकांश गणितज्ञ, भले ही वे मुझसे सहमत हों, शायद कहेंगे कि "अफ्रीका में इकाइयाँ इकाइयाँ हैं, और इससे क्या फर्क पड़ता है कि उनमें कौन सा गणितीय और तार्किक अर्थ डाला गया है, समान या भिन्न" [वही]।

लेकिन ऐसा दृष्टिकोण एक बड़ी ग़लतफ़हमी है - एक "स्कूली शिक्षा का हानिकारक मिथक", जिसका कोई गणितीय या तार्किक आधार नहीं है। "और करीब से और अधिक विस्तृत जांच करने पर, यह पता चलता है कि प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं के तार्किक अर्थ में अंतर काफी गंभीर परिणाम देता है व्यावहारिक अनुप्रयोगगणित" [उक्त]।

और निष्कर्ष में, ई.ई. ओज़ोलिन निम्नलिखित स्पष्ट निष्कर्ष निकालते हैं: " ... गणित एक बहुत ही स्वतंत्र विज्ञान है, और गणित की कठोरता केवल स्पष्ट है। गणित में, आप कोई भी, सबसे अविश्वसनीय स्वयंसिद्ध संरचना बना सकते हैं, और उनका अध्ययन कर सकते हैं, चाहे वे वास्तविकता से कितने भी अर्थहीन और अमूर्त क्यों न हों। दूसरे शब्दों में, जी भर कर आविष्कार करें और प्रयास करें। मेटामैथमैटिक्स में ऐसा करना लगभग असंभव है, और मेटामैथमैटिक्स की सभी संरचनाएं किसी न किसी तरह से वास्तविकता से जुड़ी हुई हैं। यह भले ही विरोधाभासी लगे, लेकिन वास्तविकता "हमारी कल्पना" से कहीं अधिक समृद्ध है।“[वही]।

अपने शोध के तात्कालिक विषय पर लौटते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं। सभी प्रकार की संख्याएँ ( संख्या सेट) अलग-अलग तार्किक प्रकृति और गणितीय गुण हैं। इसलिए, प्रत्यक्ष सामान्यीकरण द्वारा संख्याओं का सिद्धांत बनाना पद्धतिगत रूप से गलत है। इस निष्कर्ष का प्राथमिक संबंध प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं से संबंधित है। प्राकृतिक संख्याओं की इकाई और वास्तविक संख्याओं की इकाई की उत्पत्ति और गणितीय गुण पूरी तरह से भिन्न होते हैं। आप रूलर से सेबों की संख्या नहीं माप सकते; केवल गिनना जानने और हाथ में रूलर न होने पर मेज की लंबाई मापना भी उतना ही असंभव है। एक को दूसरे से कम करना असंभव है। पूर्व की इकाई अविभाज्य है, जबकि बाद की इकाई आवश्यक रूप से विभाज्य है। प्राकृतिक पूर्णांक वास्तव में सख्त अर्थों में संख्याएँ हैं, जबकि वास्तविक संख्याएँ परिमाण जैसे मात्रा के रूप से संबंधित होती हैं। संख्या और मात्रा के रूप का भ्रम, पाइथागोरस के समय से, गणित में आधुनिक संकट का मुख्य स्रोत है और जी. कैंटर द्वारा ज्यामिति और सेट सिद्धांत के अंकगणित के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्त है, के विचार के बाद से ​अविभाज्य गणितीय वस्तुओं से विभाज्य गणितीय वस्तुओं का निर्माण जी. कैंटर द्वारा वास्तविक अनंत की अवधारणा के निर्माण का आधार है।

एक और नोट. आधुनिक गणितज्ञ न केवल संख्या की प्रकृति को नहीं समझते हैं, जैसा कि ई. ओज़ोलिन ने सही कहा है, बल्कि मात्रा की तार्किक और गणितीय प्रकृति और गणित की अन्य मूलभूत अवधारणाओं (उदाहरण के लिए, सेट) को भी नहीं समझते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध गणितज्ञ मात्रा के बारे में क्या लिखते हैं:

"मात्रा बुनियादी गणितीय अवधारणाओं में से एक है, जिसका अर्थ गणित के विकास के साथ कई सामान्यीकरणों के अधीन रहा है," ए.एन. लिखते हैं। कोलमोगोरोव [कोलमोगोरोव ए.एन. परिमाण। - टीएसबी। - टी. 7. - एम., 1951. पी. 340]। "यह... सिद्धांत - परिमाण का सिद्धांत - शायद सभी गणित की पुष्टि में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है," प्रमुख सोवियत गणितज्ञ वी.एफ. ने लिखा। कगन [कगन वी.एफ. ज्यामिति पर निबंध. - एम.: मॉस्को यूनिवर्सिटी, 1963. पी. 109]।

आइए उत्तरार्द्ध पर ध्यान दें, जिसमें परिमाण की अवधारणा का अर्थ सबसे सुसंगत और स्पष्ट है। "...एक गणितज्ञ के लिए," वी.एफ. कगन ने लिखा, "एक मूल्य पूरी तरह से परिभाषित होता है जब कई तत्व और तुलना मानदंड इंगित किए जाते हैं" [उक्त, पी. 107]। दूसरे शब्दों में, मात्रा सजातीय वस्तुओं का एक समूह है, जिसके तत्वों की तुलना हमें "बराबर", "अधिक", "कम" शब्दों का उपयोग करने की अनुमति देती है। एक प्रतिप्रश्न उठता है: यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के एक निश्चित सेट की तुलना उसी प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे निश्चित सेट से करते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 5 और संख्या 7, तो क्या हम उन पर उपरोक्त शर्तें लागू कर सकते हैं? सवाल अलंकारिक है. मात्रा की अवधारणा की प्रस्तावित परिभाषा, वास्तव में, इंगित करती है कि इसका लेखक इन दो मूलभूत अवधारणाओं (संख्याओं और मात्राओं) के बीच बिल्कुल भी अंतर नहीं करता है। सेट सिद्धांत के समर्थकों और स्वयं कैंटर ने भी शिकायत की कि इस सिद्धांत की मूल अवधारणा को परिभाषित करना भी कठिन था। ई. ओज़ोलिन ने अपने लेख में लिखा है कि गणित को एक विषय के रूप में परिभाषित करना बहुत कठिन है [ओज़ोलिन ई.ई. (ओजेस) अक्टूबर 2004। संख्या की अवधारणा. - [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। यूआरएल: http://ozes-world.naroad.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm]।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि ये सभी संदेह निराधार हैं, फिर से अरस्तू की ओर लौटना आवश्यक है, जो कई परिभाषाओं में हमारे प्रश्नों का व्यापक उत्तर देता है।

“मात्रा वह है जो घटक भागों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक, चाहे दो या अधिक हों, स्वभाव से एक चीज और एक निश्चित चीज है। प्रत्येक मात्रा एक समुच्चय है यदि वह गणनीय है, और एक परिमाण है यदि वह मापने योग्य है। समुच्चय एक ऐसी चीज़ है जिसे परिमाण के आधार पर गैर-निरंतर भागों में विभाजित किया जा सकता है - निरंतर भागों में... इन सभी मात्राओं में से, एक सीमित समुच्चय एक संख्या है, एक सीमित लंबाई एक रेखा है, एक सीमित चौड़ाई एक समतल है, एक सीमित गहराई एक शरीर है" [अरस्तू। ऑप. चार खंडों में. टी.1. तत्वमीमांसा। पृ.164]

अरस्तू के इस अंश से. हमें निम्नलिखित सख्त परिभाषाएँ प्राप्त होती हैं।

गणित एक विज्ञान है जिसका विषय शुद्ध मात्रा है।

मात्रा एक ऐसी चीज़ है जो घटक भागों में विभाजित होती है, जिनमें से प्रत्येक, चाहे दो या अधिक हों, स्वभाव से एक चीज़ और एक निश्चित चीज़ होती है।

समुच्चय एक ऐसी मात्रा है जो गणनीय है, अर्थात्। गैर-निरंतर भागों में विभाजित।

परिमाण एक मात्रा है जो मापने योग्य है, अर्थात। निरंतर भागों में विभाजित

संख्या एक सीमित समुच्चय है।

रेखा - सीमित लंबाई.

समतल - सीमित चौड़ाई।

शरीर - सीमित गहराई.

इन प्रावधानों से यह निम्नानुसार है:

संख्या की इकाई का कोई आयाम नहीं है, यह गिनती की इकाई है, अर्थात्। अविभाज्य क्योंकि हम केवल पूर्ण संख्याओं में ही गिनती करते हैं।

मात्रा की इकाई सदैव विभाज्य होती है।

संख्या की इकाई अमूर्त मात्रा का शुद्धतम रूप है, अर्थात। यह ज्यामितीय स्थान के प्रति उदासीन एक रूप है।

मात्रा की इकाई शुद्ध मात्रा प्लस ज्यामितीय स्थान है।

ज्यामितीय स्थान भौतिक वास्तविकता का एक अमूर्त रूप है। भौतिक यथार्थ में गुणात्मक निश्चितता एवं विस्तार होता है। यदि हम भौतिक वास्तविकता की गुणात्मक निश्चितता से अमूर्त होते हैं, तो हमें ज्यामितीय स्थान मिलता है।

औपचारिक रूप से, संख्या की इकाई और परिमाण की इकाई दोनों ही संख्याएँ हैं, लेकिन इन संख्याओं का सार और गणितीय गुण अलग-अलग हैं। संख्या की एक इकाई से परिमाण की एक इकाई प्राप्त करना असंभव है। जबकि एक मात्रा से शुद्ध संख्या प्राप्त की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, ज्यामितीय स्थान - आयाम से अमूर्त होना आवश्यक है। अरस्तू के भौतिकी में इन बिंदुओं पर अच्छी तरह से चर्चा की गई है।

नतीजतन, किसी संख्या से (सख्त अर्थ में) मात्रा प्राप्त करना असंभव है। और चूँकि अंकगणित का विषय संख्या की अवधारणा है, और ज्यामिति का विषय मात्रा है, तो ज्यामिति को अंकगणित तक कम नहीं किया जा सकता है। ये भौतिक संसार की मात्रात्मक निश्चितता के अस्तित्व के विभिन्न तरीके हैं।

इस प्रकार, आधुनिक गणित का आधार एक गहरी ग़लतफ़हमी है - संख्या और परिमाण, अंकगणित और ज्यामिति की अवैध पहचान। परिमाण की अवधारणा अधिक मौलिक है क्योंकि इससे हम संख्या की अवधारणा प्राप्त कर सकते हैं। इसके अलावा, यह अवधारणा गणित को भौतिकी से "जोड़ती" है और अनुचित औपचारिकता और सट्टा निर्माण में बाधा उत्पन्न करती है। इसलिए, ज्यामिति के अंकगणितीकरण ने गणित के विषय का पतन, इसकी औपचारिकता (बोरबकाइजेशन) और अनंत संख्याओं के सिद्धांत को जन्म दिया। गणित का अंकगणितीकरण, संक्षेप में, गणित के विषय को एक संख्या में कम करने की प्रक्रिया है।

व्याख्यान 12: सेट सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

किसी प्रणाली को तत्वों के संग्रह के रूप में मानने से इसके गणितीय विवरण के लिए सेट सिद्धांत के उपकरण का उपयोग करना संभव हो जाता है। इसके अलावा, कई महत्वपूर्ण मामलों में, गणितीय तर्क के उपकरण का उपयोग करके तत्वों के बीच कनेक्शन को आसानी से वर्णित किया जाता है।

समुच्चय की अवधारणा गणित की उन मूलभूत अवधारणाओं में से एक है जिसकी प्रारंभिक अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक परिभाषा देना कठिन है। इसलिए, हम स्वयं को समुच्चय की अवधारणा की वर्णनात्मक व्याख्या तक ही सीमित रखेंगे।

अनेककुछ पूरी तरह से अलग-अलग वस्तुओं का एक संग्रह है जिसे एक संपूर्ण माना जाता है। सेट सिद्धांत के निर्माता, जॉर्ज कैंटर ने सेट की निम्नलिखित परिभाषा दी: "एक सेट कई चीजें हैं जिनके बारे में हम समग्र रूप से सोचते हैं।"

एक सेट बनाने वाली व्यक्तिगत वस्तुओं को कहा जाता है तत्वोंभीड़.

सेटों को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और इन सेटों के तत्वों को लैटिन वर्णमाला के छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। सेट घुंघराले ब्रेसिज़ ( ) में लिखे गए हैं।

यह निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करने के लिए प्रथागत है:

• ए ∈ एक्स - "तत्व ए सेट एक्स से संबंधित है";
• ए ∉ एक्स - "तत्व ए सेट एक्स से संबंधित नहीं है";
• ∀ मनमानी, व्यापकता का एक परिमाणक है, जो "किसी भी", "जो कुछ भी", "सभी के लिए" को दर्शाता है;
• ∃ - अस्तित्व परिमाणक: ∃y ∈ B - "सेट बी से एक तत्व y है";
• ∃! - अस्तित्व और विशिष्टता का परिमाणक: ∃!b ∈ C - "सेट C से एक अद्वितीय तत्व b है";
• : - "ऐसा है कि; संपत्ति होना";
• → - परिणाम का प्रतीक, का अर्थ है "आवश्यक";
• ⇔ - तुल्यता का परिमाणक, तुल्यता - "तब और केवल तभी।"

वहां कई हैं अंतिमऔर अनंत. सेट कहलाते हैं अंतिम, यदि इसके तत्वों की संख्या सीमित है, अर्थात यदि कोई प्राकृत संख्या n है, जो समुच्चय के तत्वों की संख्या है। ए=(ए 1, ए 2,ए 3, ..., ए एन)। सेट कहा जाता है अनंत, यदि इसमें अनंत संख्या में तत्व शामिल हैं। बी=(बी 1 ,बी 2 ,बी 3 , ...). उदाहरण के लिए, रूसी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय एक परिमित समुच्चय है। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

एक परिमित समुच्चय M में तत्वों की संख्या को समुच्चय M की कार्डिनैलिटी कहा जाता है और इसे |M| द्वारा दर्शाया जाता है। खालीसेट - एक सेट जिसमें एक भी तत्व नहीं है - ∅। दो सेट कहलाते हैं बराबर, यदि उनमें समान तत्व शामिल हैं, अर्थात एक ही सेट हैं. सेट X ≠ Y के बराबर नहीं हैं यदि X में ऐसे तत्व हैं जो Y से संबंधित नहीं हैं, या यदि Y में ऐसे तत्व हैं जो X से संबंधित नहीं हैं। सेट समानता प्रतीक में निम्नलिखित गुण हैं:

• एक्स=एक्स; - रिफ्लेक्सिविटी
• यदि X=Y, Y=X - समरूपता
• यदि X=Y,Y=Z, तो X=Z परिवर्तनशीलता है।

समुच्चयों की समानता की इस परिभाषा के अनुसार, हम स्वाभाविक रूप से यह प्राप्त करते हैं कि सभी रिक्त समुच्चय एक दूसरे के बराबर हैं, या एक ही बात है कि केवल एक ही रिक्त समुच्चय है।

उपसमुच्चय। समावेशन संबंध.

एक समुच्चय X, समुच्चय Y का एक उपसमुच्चय है यदि समुच्चय

यदि इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि Y में X के तत्वों के अलावा अन्य तत्व भी शामिल हैं, तो सख्त समावेशन प्रतीक ⊂ का उपयोग किया जाता है: X⊂Y। प्रतीकों ⊂ और ⊆ के बीच का संबंध अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है:

X⊂Y ⇔ X⊆Y और X≠Y

आइए उपसमुच्चय के कुछ गुणों पर ध्यान दें जो परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. X⊆Х (रिफ्लेक्सिविटी);
2. → X⊆Z (परिवर्तनशीलता);
3. ∅ ⊆ एम. यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि खाली सेट किसी भी सेट का एक उपसमुच्चय है।

इसके उपसमुच्चय के संबंध में मूल समुच्चय A कहलाता है पूरासेट और I द्वारा निरूपित किया जाता है।

समुच्चय A का कोई भी उपसमुच्चय A, A का उचित समुच्चय कहलाता है।

किसी दिए गए समुच्चय X के सभी उपसमुच्चय और रिक्त समुच्चय ∅ से युक्त समुच्चय कहलाता है बूलियन X और β(X) द्वारा निरूपित किया जाता है। बूलियन की शक्ति |β(X)|=2 n .

गणनीय समुच्चय- यह एक समुच्चय A है, जिसके सभी तत्वों को एक अनुक्रम (शायद अनंत) a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... में क्रमांकित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक तत्व को केवल एक संख्या n प्राप्त हो और प्रत्येक प्राकृत संख्या n हमारे समुच्चय के एक और केवल एक तत्व को एक संख्या के रूप में दी जाएगी।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के समतुल्य समुच्चय को गणनीय समुच्चय कहा जाता है।

उदाहरण।पूर्णांक 1, 4, 9, ..., n 2 के वर्गों का समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं N के समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय है। यह समुच्चय गणनीय है, क्योंकि इसे प्राकृतिक श्रृंखला के साथ एक-से-एक पत्राचार में लाया जाता है। प्रत्येक तत्व को प्राकृतिक श्रृंखला की उस संख्या की संख्या निर्दिष्ट करके, वह जो वर्ग है।

सेट को परिभाषित करने के 2 मुख्य तरीके हैं।

• गणना (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n ));
• विवरण - उन विशिष्ट गुणों को इंगित करता है जो सेट के सभी तत्वों में मौजूद हैं।

एक समुच्चय पूर्णतः उसके तत्वों द्वारा परिभाषित होता है।

एक गणना केवल परिमित सेट निर्दिष्ट कर सकती है (उदाहरण के लिए, एक वर्ष में महीनों का एक सेट)। अनंत समुच्चय को केवल उसके तत्वों के गुणों का वर्णन करके परिभाषित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q=(n/m, m, n∈Z, m≠0) का वर्णन करके परिभाषित किया जा सकता है।

विवरण के साथ सेट निर्दिष्ट करने की विधियाँ:

ए) एक सृजन प्रक्रिया निर्दिष्ट करनाउन सेटों को इंगित करना जिनसे इस प्रक्रिया का पैरामीटर चलता है - पुनरावर्ती, आगमनात्मक.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1, k=1,2,3,...) - फाइबोनैचि संख्याओं का सेट।

(तत्वों का एक सेट x इस प्रकार है कि x 1 =1, x 2 =1 और मनमाना x k+1 (k=1,2,3,... के लिए) की गणना सूत्र x k+2 =x k + x द्वारा की जाती है k+1) या X=)