प्रथम स्तर

माध्यिका। दृश्य मार्गदर्शक (2019)

1. माध्यिका क्या है?

यह बहुत सरल है!

एक त्रिकोण लें:

इसके एक तरफ मध्य को चिह्नित करें।

और विपरीत शीर्ष से जुड़ें!

परिणामी पंक्ति और एक माध्यिका है.

2. माध्यिका के गुण.

क्या अच्छे गुणक्या मध्यिका के पास है?

1) आइए कल्पना करें कि त्रिभुज है आयताकार.ऐसी चीजें हैं, है ना?

क्यों??? समकोण का इससे क्या लेना-देना है?

आइए ध्यान से देखें. महज़ एक त्रिभुज नहीं, बल्कि... एक आयत। तुम क्यों पूछ रहे हो?

लेकिन आप पृथ्वी पर चलते हैं - क्या आप देखते हैं कि यह गोल है? नहीं, निःसंदेह, ऐसा करने के लिए आपको अंतरिक्ष से पृथ्वी को देखना होगा। तो हम अपने समकोण त्रिभुज को "अंतरिक्ष से" देखते हैं।

आइए एक विकर्ण बनाएं:

क्या आपको याद है कि एक आयत के विकर्ण बराबरऔर शेयर करनाचौराहे की जगह आधे में? (यदि याद न हो तो विषय पर नजर डालें)

इसका मतलब है कि दूसरे विकर्ण का आधा हिस्सा हमारा है MEDIAN. बेशक, विकर्ण बराबर हैं, और उनके आधे भी। वही हमें मिलेगा

हम इस कथन को सिद्ध नहीं करेंगे, लेकिन इस पर विश्वास करने के लिए स्वयं सोचें: क्या आयत के अलावा समान विकर्णों वाला कोई अन्य समांतर चतुर्भुज है? बिल्कुल नहीं! खैर, इसका मतलब है कि माध्यिका केवल एक समकोण त्रिभुज में आधी भुजा के बराबर हो सकती है।

आइए देखें कि यह संपत्ति समस्याओं को हल करने में कैसे मदद करती है।

यहाँ, काम:
पक्षों के लिए; . ऊपर से खींचा गया MEDIAN. यदि खोजें.

हुर्रे! आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं! देखो यह कितना बढ़िया है? यदि हम यह नहीं जानते MEDIANआधी भुजा के बराबर

हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

2) और अब हमें केवल एक नहीं, बल्कि पूरा का पूरा लेना चाहिए तीन मध्यिकाएँ! वे कैसा व्यवहार करते हैं?

बहुत याद है महत्वपूर्ण तथ्य:

कठिन? तस्वीर पर देखो:

माध्यिकाएँ और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

और...(हम इसे साबित करते हैं, लेकिन अभी के लिए याद करना!):

• - दुगने से ज्यादा;
• - दुगने से ज्यादा;
• - दुगने से ज्यादा।

क्या आप अभी तक थके हुए हैं? क्या आप अगले उदाहरण के लिए पर्याप्त मजबूत होंगे? अब हम वह सब कुछ लागू करेंगे जिसके बारे में हमने बात की थी!

काम: त्रिभुज में माध्यिकाएं खींची जाती हैं, जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि खोजें

आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजें:

आइए अब माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में ज्ञान को लागू करें।

आइए इसे परिभाषित करें। खंड, ए. यदि सब कुछ स्पष्ट नहीं है, तो चित्र देखें।

वह हमें पहले ही मिल चुका है.

मतलब, ; .

समस्या में हमसे एक खंड के बारे में पूछा जाता है।

हमारे नोटेशन में.

उत्तर: .

पसंद किया? अब माध्यिका के बारे में अपने ज्ञान को स्वयं लागू करने का प्रयास करें!

माध्यिका। औसत स्तर

1. माध्यिका भुजा को आधे में विभाजित करती है।

बस इतना ही? या शायद वह किसी और चीज़ को आधे में बाँट देती है? कल्पना करो कि!

2. प्रमेय: माध्यिका क्षेत्रफल को आधे में विभाजित करती है।

क्यों? आइए सबसे याद रखें अराल तरीकात्रिभुज का क्षेत्रफल.

और हम इस सूत्र को दो बार लागू करते हैं!

देखिए, माध्यिका दो त्रिभुजों में विभाजित है: और। लेकिन! उनकी ऊंचाई समान है -! केवल इस ऊंचाई पर यह किनारे की ओर गिरता है, और - निरंतरता पक्ष पर. हैरानी की बात यह है कि ऐसा भी होता है: त्रिकोण अलग-अलग हैं, लेकिन ऊंचाई समान है। और अब हम इस फॉर्मूले को दो बार लागू करेंगे.

इसका क्या मतलब होगा? तस्वीर पर देखो। वास्तव में, इस प्रमेय में दो कथन हैं। क्या आपने इस पर ध्यान दिया?

पहला कथन:माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

दूसरा कथन:माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष से गिनती करते हुए अनुपात में विभाजित किया गया है।

आइए इस प्रमेय के रहस्य को जानने का प्रयास करें:

आइए बिंदुओं को जोड़ें और. क्या हुआ?

अब एक और मध्य रेखा खींचते हैं: मध्य को चिह्नित करें - एक बिंदु लगाएं, मध्य को चिह्नित करें - एक बिंदु लगाएं।

अब - मध्य रेखा. वह है

1. समानांतर;

कोई संयोग देखा? दोनों और समानांतर हैं. और और।

इससे क्या निष्कर्ष निकलता है?

1. समानांतर;

बेशक, केवल एक समांतर चतुर्भुज के लिए!

इसका अर्थ यह है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है। तो क्या हुआ? आइए समांतर चतुर्भुज के गुणों को याद करें। उदाहरण के लिए, आप समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बारे में क्या जानते हैं? यह सही है, वे प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित हैं।

आइए ड्राइंग को फिर से देखें।

अर्थात् माध्यिका को बिन्दुओं द्वारा तीन बराबर भागों में बाँट दिया जाता है। और बिल्कुल वैसा ही.

इसका मतलब यह है कि दोनों माध्यिकाओं को अनुपात में एक बिंदु से अलग किया गया था, अर्थात, और।

तीसरी माध्यिका का क्या होगा? चलिए शुरुआत पर वापस चलते हैं। हाय भगवान्?! नहीं, अब सब कुछ बहुत छोटा होगा. आइए माध्यिका को बाहर निकालें और माध्यिकाएं बनाएं और।

अब कल्पना करें कि हमने मध्यस्थों के लिए बिल्कुल वही तर्क लागू किया है। तो क्या?

यह पता चला है कि माध्यिका माध्यिका को बिल्कुल उसी तरह से विभाजित करेगी: एक अनुपात में, बिंदु से गिनती करते हुए।

लेकिन एक खंड पर कितने बिंदु हो सकते हैं जो इसे बिंदु से गिनती करते हुए अनुपात में विभाजित करते हैं?

बेशक, केवल एक! और हम इसे पहले ही देख चुके हैं - यही बात है।

अंत में क्या हुआ?

मध्य निश्चित रूप से गुजर गया! तीनों माध्यिकाएं इससे होकर गुजरीं। और हर कोई ऊपर से गिनती करते हुए, दृष्टिकोण में विभाजित था।

इसलिए हमने प्रमेय को हल (साबित) किया। समाधान एक त्रिभुज के अंदर बैठे एक समांतर चतुर्भुज के रूप में निकला।

4. माध्यिका लंबाई का सूत्र

यदि भुजाएँ ज्ञात हों तो माध्यिका की लंबाई कैसे ज्ञात करें? क्या आप निश्चित हैं कि आपको इसकी आवश्यकता है? चलो, खोलो भयानक रहस्य: यह फार्मूला बहुत उपयोगी नहीं है. लेकिन फिर भी, हम इसे लिखेंगे, लेकिन हम इसे साबित नहीं करेंगे (यदि आप प्रमाण में रुचि रखते हैं, तो अगला स्तर देखें)।

हम कैसे समझ सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?

आइए ध्यान से देखें. महज़ एक त्रिभुज नहीं, बल्कि एक आयत।

तो आइए एक आयत पर विचार करें।

क्या आपने देखा है कि हमारा त्रिभुज इस आयत का ठीक आधा है?

आइए एक विकर्ण बनाएं

क्या आपको याद है कि एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और प्रतिच्छेद बिंदु को समद्विभाजित करते हैं? (यदि याद न हो तो विषय पर नजर डालें)
लेकिन विकर्णों में से एक हमारा कर्ण है! इसका मतलब यह है कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु कर्ण का मध्य है। इसे हमारा कहा जाता था.

इसका मतलब यह है कि दूसरे विकर्ण का आधा भाग हमारी माध्यिका है। बेशक, विकर्ण बराबर हैं, और उनके आधे भी। वही हमें मिलेगा

इसके अलावा, यह केवल समकोण त्रिभुज में होता है!

हम इस कथन को सिद्ध नहीं करेंगे, लेकिन इस पर विश्वास करने के लिए स्वयं सोचें: क्या आयत के अलावा समान विकर्णों वाला कोई अन्य समांतर चतुर्भुज है? बिल्कुल नहीं! खैर, इसका मतलब है कि माध्यिका केवल एक समकोण त्रिभुज में आधी भुजा के बराबर हो सकती है। आइए देखें कि यह संपत्ति समस्याओं को हल करने में कैसे मदद करती है।

यहाँ कार्य है:

पक्षों के लिए; . माध्यिका शीर्ष से खींची गई है। यदि खोजें.

हुर्रे! आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं! देखो यह कितना बढ़िया है? यदि हम नहीं जानते कि माध्यिका आधी भुजा है केवल एक समकोण त्रिभुज में, हमारे पास इस समस्या को हल करने का कोई तरीका नहीं है। और अब हम कर सकते हैं!

हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

माध्यिका। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. माध्यिका भुजा को आधे में विभाजित करती है।

2. प्रमेय: माध्यिका क्षेत्रफल को आधे में विभाजित करती है

4. माध्यिका लंबाई का सूत्र

व्युत्क्रम प्रमेय:यदि माध्यिका आधी भुजा के बराबर है, तो त्रिभुज समकोण है और यह माध्यिका कर्ण की ओर खींची गई है।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

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टिप्पणी. में यह सबकप्रस्थान करना सैद्धांतिक सामग्रीऔर "एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका" विषय पर ज्यामिति की समस्याओं को हल करना। यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। पाठ्यक्रम लगभग निश्चित रूप से पूरक होगा।

माध्यिका के गुण सही त्रिकोण

माध्यिका का निर्धारण

• एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु से कोण के शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित हो जाती हैं। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है (समस्याओं में अपेक्षाकृत कम ही इस बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए "सेंट्रोइड" शब्द का उपयोग किया जाता है),
• माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान आकार के त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• एक त्रिभुज तीन माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित होता है।
• त्रिभुज की बड़ी भुजा छोटी माध्यिका से मेल खाती है।

समाधान के लिए प्रस्तावित ज्यामिति समस्याएं मुख्य रूप से निम्नलिखित का उपयोग करती हैं एक समकोण त्रिभुज की माध्यिका के गुण.

• एक समकोण त्रिभुज के पादों पर गिराए गए माध्यिकाओं के वर्गों का योग कर्ण पर गिराए गए माध्यिकाओं के पांच वर्गों के बराबर होता है (सूत्र 1)
• माध्यिका एक समकोण त्रिभुज के कर्ण तक गिर गई आधे कर्ण के बराबर(फॉर्मूला 2)
• एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की माध्यिका होती है चारों ओर घिरे वृत्त की त्रिज्या के बराबरदिया गया समकोण त्रिभुज (सूत्र 2)
• कर्ण तक गिराई गई माध्यिका है पैरों के वर्गों के योग के आधे वर्गमूल के बराबर(फॉर्मूला 3)
• कर्ण से नीचे का माध्य पैर की लंबाई के भागफल के बराबर होता है जो पैर के विपरीत न्यून कोण की दो ज्याओं से विभाजित होता है (सूत्र 4)
• कर्ण से नीचे का माध्य पैर की लंबाई के भागफल के बराबर होता है जो पैर से सटे न्यून कोण की दो कोज्याओं से विभाजित होता है (फॉर्मूला 4)
• एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके कर्ण पर गिराई गई माध्यिका के आठ वर्गों के बराबर होता है (सूत्र 5)

सूत्रों में संकेतन:

ए, बी- एक समकोण त्रिभुज के पैर

सी- समकोण त्रिभुज का कर्ण

यदि हम एक त्रिभुज को ABC के रूप में निरूपित करते हैं, तो

बीसी = ए

(वह है पक्ष ए, बी, सी- संगत कोणों के विपरीत हैं)

एम ए- माध्यिका को पैर ए की ओर खींचा गया

एम बी- माध्यिका को पैर बी तक खींचा गया

एम सी - एक समकोण त्रिभुज की माध्यिका, कर्ण की ओर खींचा गया

α (अल्फा)- कोण CAB विपरीत भुजा a

समकोण त्रिभुज में माध्यिका के बारे में समस्या

पैरों पर खींचे गए समकोण त्रिभुज की माध्यिकाएँ क्रमशः 3 सेमी और 4 सेमी के बराबर हैं। त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए

समाधान

समस्या को हल करना शुरू करने से पहले, आइए एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और उस पर स्थित माध्यिका के अनुपात पर ध्यान दें। ऐसा करने के लिए, आइए सूत्र 2, 4, 5 की ओर मुड़ें एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका के गुण. ये सूत्र कर्ण और माध्यिका के अनुपात को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं, जिसे इस पर 1 से 2 के रूप में उतारा जाता है। इसलिए, भविष्य की गणना की सुविधा के लिए (जो किसी भी तरह से समाधान की शुद्धता को प्रभावित नहीं करेगा, बल्कि इसे और अधिक बना देगा) सुविधाजनक), हम पैरों AC और BC की लंबाई को चर x और y द्वारा 2x और 2y के रूप में निरूपित करते हैं (x और y नहीं)।

समकोण त्रिभुज ADC पर विचार करें। समस्या की स्थितियों के अनुसार कोण C सही है, पाद AC त्रिभुज ABC के साथ उभयनिष्ठ है, और पाद CD माध्यिका के गुणों के अनुसार आधे BC के बराबर है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

एसी 2 + सीडी 2 = एडी 2

चूँकि AC = 2x, CD = y (चूंकि माध्यिका पैर को दो बराबर भागों में विभाजित करती है), तो
4x 2 + y 2 = 9

साथ ही, समकोण त्रिभुज EBC पर विचार करें। समस्या की स्थितियों के अनुसार इसका एक समकोण C भी है, पाद BC मूल त्रिभुज ABC के पाद BC के साथ उभयनिष्ठ है, और पाद EC, माध्यिका के गुण के अनुसार, मूल त्रिभुज के पाद AC के आधे के बराबर है एबीसी.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
ईसी 2 + बीसी 2 = बीई 2

चूँकि EC = x (माध्यिका पैर को आधे में विभाजित करती है), BC = 2y, तो
x 2 + 4y 2 = 16

चूँकि त्रिभुज ABC, EBC और ADC उभयनिष्ठ भुजाओं से जुड़े हुए हैं, इसलिए दोनों परिणामी समीकरण भी संबंधित हैं।
आइए समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य तक खींचा गया एक खंड है, अर्थात यह इसे चौराहे के बिंदु पर आधे में विभाजित करता है। वह बिंदु जिस पर माध्यिका उस शीर्ष के विपरीत पक्ष को काटती है जहां से वह निकलती है, आधार कहलाता है। त्रिभुज की प्रत्येक माध्यिका एक बिंदु से होकर गुजरती है, जिसे प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है। इसकी लंबाई का सूत्र कई प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है।

माध्यिका की लंबाई व्यक्त करने के सूत्र

• अक्सर ज्यामिति की समस्याओं में, छात्रों को एक त्रिभुज की माध्यिका जैसे खंड से निपटना पड़ता है। इसकी लंबाई का सूत्र भुजाओं के रूप में व्यक्त किया गया है:

जहाँ a, b और c भुजाएँ हैं। इसके अलावा, c वह पक्ष है जिस पर माध्यिका पड़ती है। यह है जो ऐसा लग रहा है सरल सूत्र. सहायक गणनाओं के लिए कभी-कभी त्रिभुज की माध्यिकाओं की आवश्यकता होती है। और भी सूत्र हैं.

• यदि गणना के दौरान किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच स्थित एक निश्चित कोण α ज्ञात हो, तो त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई, तीसरी भुजा से नीचे, निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी।

मूल गुण

• सभी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन O एक उभयनिष्ठ बिंदु है और यदि शीर्ष से गिना जाए तो वे इसके द्वारा दो से एक के अनुपात में विभाजित होते हैं। इस बिंदु को त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।
• माध्यिका त्रिभुज को दो अन्य भागों में विभाजित करती है जिनका क्षेत्रफल बराबर है। ऐसे त्रिभुजों को समान क्षेत्रफल कहते हैं।
• यदि आप सभी माध्यिकाएँ खींचते हैं, तो त्रिभुज 6 समान आकृतियों में विभाजित हो जाएगा, जो त्रिभुज भी होंगे।
• यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हैं, तो प्रत्येक माध्यिका भी एक ऊँचाई और एक समद्विभाजक होगी, अर्थात, जिस तरफ वह खींचा गया है, उस तरफ लंबवत है, और उस कोण को समद्विभाजित करता है जहाँ से वह निकलता है।
• में समद्विबाहु त्रिकोणकिसी ऐसे शीर्ष से गिरी हुई माध्यिका, जो ऐसी भुजा के विपरीत है जो किसी अन्य के बराबर नहीं है, एक ऊंचाई और एक समद्विभाजक भी होगी। अन्य शीर्षों से गिराई गई माध्यिकाएं बराबर होती हैं। समद्विबाहु के लिए यह भी एक आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त है।
• यदि त्रिभुज आधार है नियमित पिरामिड, फिर किसी दिए गए आधार से कम की गई ऊंचाई को सभी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु तक प्रक्षेपित किया जाता है।

• एक समकोण त्रिभुज में, सबसे लंबी भुजा पर खींची गई माध्यिका उसकी लंबाई के आधे के बराबर होती है।
• मान लीजिए O त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। नीचे दिया गया सूत्र किसी भी बिंदु M के लिए सत्य होगा।

• त्रिभुज की माध्यिका का एक और गुण होता है। भुजाओं के वर्गों के माध्यम से इसकी लंबाई के वर्ग का सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उन पक्षों के गुण जिन पर माध्यिका खींची गई है

• यदि आप माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन के किन्हीं दो बिंदुओं को उन भुजाओं से जोड़ते हैं जिन पर वे गिराए गए हैं, तो परिणामी खंड त्रिभुज की मध्य रेखा होगी और त्रिभुज की उस भुजा का आधा भाग होगा जिसके साथ इसमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।
• एक त्रिभुज में ऊँचाईयों और माध्यिकाओं के आधार, साथ ही त्रिभुज के शीर्षों को ऊँचाईयों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले खंडों के मध्यबिंदु, एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं।

अंत में, यह कहना तर्कसंगत है कि सबसे महत्वपूर्ण खंडों में से एक त्रिभुज का माध्यिका है। इसके सूत्र का उपयोग इसकी अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

1. माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण.

3. संपूर्ण त्रिभुज अपनी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित होता है।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

1. किसी कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है।

2. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के आनुपातिक खंडों में विभाजित करता है:।

3. किसी त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

त्रिभुज ऊंचाई के गुण

1. एक समकोण त्रिभुज में, शीर्ष से खींची गई ऊँचाई समकोण, इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

2. बी न्यून त्रिकोणइसकी दो ऊंचाइयां समान रूप से कटी हुई हैं त्रिभुज।

एक त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक के गुण

1. किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित प्रत्येक बिंदु उसके लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है।

2. त्रिभुज की भुजाओं पर खींचे गए लम्ब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र होता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा का गुण

किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी एक भुजा के समानांतर और उस भुजा के आधे के बराबर होती है।

त्रिभुजों की समानता

दो त्रिकोण समानयदि निम्न में से कोई एक सत्य है निम्नलिखित शर्तें, बुलाया समानता के लक्षण:

· एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं;

· एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं, और इन भुजाओं से बने कोण बराबर होते हैं;

· एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

समरूप त्रिभुजों में, संगत रेखाएँ (ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक, आदि) आनुपातिक होती हैं।

ज्या का प्रमेय

कोसाइन प्रमेय

एक 2= बी 2+ सी 2- 2ईसा पूर्वओल

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. मुक्त त्रिभुज

ए, बी, सी -भुजाएँ; - भुजाओं के बीच का कोण एऔर बी; - अर्ध-परिधि; आर-परिबद्ध वृत्त त्रिज्या; आर-अंकित वृत्त की त्रिज्या; एस-वर्ग; हा -ऊँचाई तक खींचा गया ओर ए.

एस = आह ए

स = अब पाप

एस = जनसंपर्क

2. सही त्रिकोण

ए, बी -पैर; सी-कर्ण; एच सी -ऊँचाई को किनारे की ओर खींचा गया सी.

एस = सीएच सी एस = एबी

3. समान भुजाओं वाला त्रिकोण

चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज के गुण

· सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं;

· सम्मुख कोण बराबर होते हैं;

· विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है;

· एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है;

विकर्णों के वर्गों का योग सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

डी 1 2 +डी 2 2 =2(ए 2 +बी 2).

एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है यदि:

1. इसकी दो विपरीत भुजाएँ समान एवं समान्तर हैं।

2. सम्मुख भुजाएँ जोड़े में बराबर होती हैं।

3. सम्मुख कोण जोड़े में बराबर होते हैं।

4. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

एक ट्रेपेज़ॉइड के गुण

· इसकी मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर होती है;

· यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसके विकर्ण बराबर हैं और आधार पर कोण बराबर हैं;

· यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है;

· यदि आधारों का योग भुजाओं के योग के बराबर हो तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है.

आयत गुण

विकर्ण बराबर हैं.

एक समांतर चतुर्भुज एक आयत है यदि:

1. इसका एक कोण सीधा है.

2. इसके विकर्ण बराबर होते हैं।

एक समचतुर्भुज के गुण

· समांतर चतुर्भुज के सभी गुण;

विकर्ण लंबवत हैं;

विकर्ण इसके कोणों के समद्विभाजक हैं।

1. एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है यदि:

2. इसकी दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं।

3. इसके विकर्ण लम्बवत् हैं।

4. विकर्णों में से एक इसके कोण का समद्विभाजक है।

एक वर्ग के गुण

· वर्ग के सभी कोने सही हैं;

· एक वर्ग के विकर्ण बराबर, परस्पर लंबवत होते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु वर्ग के कोनों को समद्विभाजित करता है।

एक आयत एक वर्ग है यदि इसमें समचतुर्भुज की कोई विशेषता है।

मूल सूत्र

1. कोई उत्तल चतुर्भुज
घ 1,डी 2 -विकर्ण; - उनके बीच का कोण; एस-वर्ग।

एस = डी 1 डी 2 पाप

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है, या तीन कड़ियों वाली एक बंद टूटी हुई रेखा है, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनी एक आकृति है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज एबीसी के मूल तत्व

चोटियों - बिंदु ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

एंगल्स - α, β, γ तीन जोड़ी भुजाओं से बनते हैं। कोणों को अक्सर शीर्षों की तरह ही ए, बी और सी अक्षरों से निर्दिष्ट किया जाता है।

किसी त्रिभुज की भुजाओं से बना और उसके आंतरिक क्षेत्र में पड़ने वाले कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और उससे सटे कोण को त्रिभुज का आसन्न कोण कहा जाता है (2, पृष्ठ 534)।

त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, दिलचस्प गुणों वाले अन्य खंडों पर भी विचार किया जाता है: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

ऊंचाई

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर डाले गए लम्ब हैं।

ऊँचाई आलेखित करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) त्रिभुज की एक भुजा वाली एक सीधी रेखा खींचिए (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची गई है);

2) खींची गई रेखा के विपरीत स्थित शीर्ष से इस रेखा तक 90 डिग्री का कोण बनाते हुए एक खंड बनाएं।

वह बिंदु जहाँ ऊँचाई त्रिभुज की भुजा को काटती है, कहलाता है ऊंचाई का आधार (चित्र 2 देखें)।

त्रिभुज ऊंचाई के गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसके दो शीर्षलंब समरूप त्रिभुजों को इससे काट देते हैं।

यदि त्रिभुज तीव्र है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित होते हैं, और एक अधिक त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन शीर्षलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु को कहा जाता है ऑर्थोसेंटर त्रिकोण.

मंझला

माध्यिकाओं(लैटिन मेडियाना से - "मध्य") - ये त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) भुजा के मध्य का पता लगाएं;

2) उस बिंदु को जो त्रिभुज की भुजा के मध्य में विपरीत शीर्ष के साथ है, एक खंड से जोड़ें।

त्रिभुज माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण.

सम्पूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(लैटिन बीआईएस से - दो बार और सेको - कट) एक त्रिभुज के अंदर घिरे सीधी रेखा खंड हैं जो इसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

समद्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कदम उठाने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली एक किरण बनाएं और इसे दो बराबर भागों (कोण का समद्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले एक खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा के विस्तार को काटता है, तो ADBD=ACBC होता है।

एक आंतरिक और दो के समद्विभाजक बाहरी कोनेत्रिभुज एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन बाह्यवृत्तों में से एक का केंद्र है।

किसी त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाह्य कोण के समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाह्य कोण का समद्विभाजक त्रिभुज की विपरीत भुजा के समानांतर नहीं होता है।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोणों के समद्विभाजक समानांतर नहीं हैं विपरीत दिशाएं, तो उनके आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।