در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا «آخیل و لاک پشت» است. در اینجا چگونه به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در حال حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است در مورد ماهیت پارادوکس ها به یک نظر مشترک برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشدند ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از نقطه نظر ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من متوجه شدم، دستگاه ریاضی برای به کارگیری واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده‌ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می‌گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنون از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید که از نقاط مختلف فضا به طور همزمان گرفته شده است، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند) . چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی برای کاوش فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

به خوبی تفاوت بین مجموعه و چند مجموعه در ویکی پدیا توضیح داده شده است. ما نگاه می کنیم.

همانطور که می بینید، "مجموعه نمی تواند دو عنصر یکسان داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "مولتی مجموعه" می گویند. موجودات عاقل هرگز چنین منطق پوچی را درک نمی کنند. این همان سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که در آن ذهن از کلمه "به طور کامل" غایب است. ریاضیدانان مانند مربیان عادی عمل می کنند و عقاید پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در هنگام آزمایش پل در قایق زیر پل بودند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "به من فکر کن، من در خانه هستم" یا بهتر است بگوییم "ریاضیات مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند" پنهان می شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضیات را خیلی خوب خواندیم و حالا پشت میز پول نشسته ایم و حقوق می دهیم. در اینجا یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می چینیم که در آن اسکناس هایی از همان فرقه می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و «مجموعه حقوق ریاضی» را به ریاضیدان می دهیم. ما ریاضیات را توضیح می دهیم که او بقیه صورت حساب ها را فقط زمانی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه بدون عناصر یکسان با مجموعه با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اولاً منطق نمایندگان جواب می دهد: "شما می توانید آن را به دیگران اعمال کنید، اما برای من نه!" علاوه بر این، اطمینان حاصل می شود که شماره اسکناس های متفاوتی روی اسکناس های یک اسم وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، ما حقوق را در سکه حساب می کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار فیزیک را به یاد می آورد: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است ...

و حالا من جالب ترین سوال را دارم: مرزی که فراتر از عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شود کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم در اینجا حتی نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت فیلدها یکسان است، یعنی ما یک مولتی مجموعه داریم. اما اگر نام همان ورزشگاه ها را در نظر بگیریم، خیلی به دست می آید، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، مجموعه یکسانی از عناصر به طور همزمان هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. چقدر درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شولر یک آستین ترامپ را از آستین خود بیرون می آورد و شروع می کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با نظریه مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه چه تفاوتی با عناصر مجموعه دیگر دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مفهوم به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما آنها برای این کار شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه "مجموع ارقام یک عدد" را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که با آن بتوان مجموع ارقام هر عددی را پیدا کرد. از این گذشته، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم، و در زبان ریاضیات، کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به طور ابتدایی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، فرض کنید که عدد 12345 را داریم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد گرافیکی عدد تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک عکس دریافتی را به چندین عکس که دارای اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. شخصیت های گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را جمع کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن ها است که توسط ریاضیدانان استفاده می شود. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که عدد را در کدام سیستم عددی بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با تعداد زیاد 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، عدد 26 را از مقاله درباره در نظر بگیرید. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ در نظر نخواهیم گرفت، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که هنگام تعیین مساحت یک مستطیل بر حسب متر و سانتی متر، نتایج کاملاً متفاوتی دریافت کنید.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این هم دلیل دیگری بر این واقعیت است که . یک سوال برای ریاضیدانان: چگونه در ریاضیات به چیزی که عدد نیست نشان داده می شود؟ چه چیزی برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ برای شمن ها، من می توانم این اجازه را بدهم، اما برای دانشمندان، نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به‌عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عمل ریاضی به مقدار عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

آخ! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این یک آزمایشگاه برای مطالعه تقدس نامحدود ارواح در هنگام عروج به بهشت ​​است! نیمبوس در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله در بالا و فلش به پایین نر است.

اگر چنین اثری از هنر طراحی دارید که چندین بار در روز جلوی چشمانتان می‌آید،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیب چند تصویر: علامت منفی ، شماره چهار ، تعیین درجه). و من این دختر را احمقی که فیزیک نمی داند نمی دانم. او فقط یک کلیشه قوسی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. به عنوان مثال.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در سیستم اعداد هگزا دسیمال است. آن دسته از افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار عدد و حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا «آخیل و لاک پشت» است. در اینجا چگونه به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در حال حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است در مورد ماهیت پارادوکس ها به یک نظر مشترک برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشدند ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از نقطه نظر ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من متوجه شدم، دستگاه ریاضی برای به کارگیری واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده‌ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می‌گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنون از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید که از نقاط مختلف فضا به طور همزمان گرفته شده است، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند) . چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی برای کاوش فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

به خوبی تفاوت بین مجموعه و چند مجموعه در ویکی پدیا توضیح داده شده است. ما نگاه می کنیم.

همانطور که می بینید، "مجموعه نمی تواند دو عنصر یکسان داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "مولتی مجموعه" می گویند. موجودات عاقل هرگز چنین منطق پوچی را درک نمی کنند. این همان سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که در آن ذهن از کلمه "به طور کامل" غایب است. ریاضیدانان مانند مربیان عادی عمل می کنند و عقاید پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در هنگام آزمایش پل در قایق زیر پل بودند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "به من فکر کن، من در خانه هستم" یا بهتر است بگوییم "ریاضیات مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند" پنهان می شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضیات را خیلی خوب خواندیم و حالا پشت میز پول نشسته ایم و حقوق می دهیم. در اینجا یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می چینیم که در آن اسکناس هایی از همان فرقه می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و «مجموعه حقوق ریاضی» را به ریاضیدان می دهیم. ما ریاضیات را توضیح می دهیم که او بقیه صورت حساب ها را فقط زمانی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه بدون عناصر یکسان با مجموعه با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اولاً منطق نمایندگان جواب می دهد: "شما می توانید آن را به دیگران اعمال کنید، اما برای من نه!" علاوه بر این، اطمینان حاصل می شود که شماره اسکناس های متفاوتی روی اسکناس های یک اسم وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، ما حقوق را در سکه حساب می کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار فیزیک را به یاد می آورد: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است ...

و حالا من جالب ترین سوال را دارم: مرزی که فراتر از عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شود کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم در اینجا حتی نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت فیلدها یکسان است، یعنی ما یک مولتی مجموعه داریم. اما اگر نام همان ورزشگاه ها را در نظر بگیریم، خیلی به دست می آید، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، مجموعه یکسانی از عناصر به طور همزمان هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. چقدر درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شولر یک آستین ترامپ را از آستین خود بیرون می آورد و شروع می کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با نظریه مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه چه تفاوتی با عناصر مجموعه دیگر دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مفهوم به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما آنها برای این کار شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه "مجموع ارقام یک عدد" را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که با آن بتوان مجموع ارقام هر عددی را پیدا کرد. از این گذشته، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم، و در زبان ریاضیات، کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به طور ابتدایی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، فرض کنید که عدد 12345 را داریم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد گرافیکی عدد تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک عکس دریافتی را به چندین عکس که دارای اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. شخصیت های گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را جمع کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن ها است که توسط ریاضیدانان استفاده می شود. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که عدد را در کدام سیستم عددی بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با تعداد زیاد 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، عدد 26 را از مقاله درباره در نظر بگیرید. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ در نظر نخواهیم گرفت، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که هنگام تعیین مساحت یک مستطیل بر حسب متر و سانتی متر، نتایج کاملاً متفاوتی دریافت کنید.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این هم دلیل دیگری بر این واقعیت است که . یک سوال برای ریاضیدانان: چگونه در ریاضیات به چیزی که عدد نیست نشان داده می شود؟ چه چیزی برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ برای شمن ها، من می توانم این اجازه را بدهم، اما برای دانشمندان، نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به‌عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عمل ریاضی به مقدار عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

آخ! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این یک آزمایشگاه برای مطالعه تقدس نامحدود ارواح در هنگام عروج به بهشت ​​است! نیمبوس در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله در بالا و فلش به پایین نر است.

اگر چنین اثری از هنر طراحی دارید که چندین بار در روز جلوی چشمانتان می‌آید،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیب چند تصویر: علامت منفی ، شماره چهار ، تعیین درجه). و من این دختر را احمقی که فیزیک نمی داند نمی دانم. او فقط یک کلیشه قوسی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. به عنوان مثال.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در سیستم اعداد هگزا دسیمال است. آن دسته از افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار عدد و حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

وقتی با عبارات مختلف از جمله اعداد، حروف و متغیرها کار می کنیم، باید تعداد زیادی عملیات حسابی انجام دهیم. وقتی یک تبدیل انجام می دهیم یا مقداری را محاسبه می کنیم، رعایت ترتیب صحیح این اقدامات بسیار مهم است. به عبارت دیگر، عملیات حسابی ترتیب اجرای خاص خود را دارد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در این مقاله به شما خواهیم گفت که ابتدا چه اقداماتی را باید انجام دهید و کدام را بعد از آن. ابتدا، اجازه دهید به چند عبارت ساده نگاه کنیم که فقط شامل متغیرها یا مقادیر عددی و همچنین علائم تقسیم، ضرب، تفریق و جمع هستند. سپس نمونه هایی را با پرانتز می گیریم و در نظر می گیریم که به چه ترتیبی باید ارزیابی شوند. در قسمت سوم ترتیب صحیح تبدیل ها و محاسبات را در آن مثال هایی که شامل نشانه های ریشه ها، قدرت ها و سایر توابع می شود، خواهیم داد.

تعریف 1

در مورد عبارات بدون پرانتز، ترتیب اقدامات به طور واضح تعیین می شود:

1. تمام اقدامات از چپ به راست انجام می شود.
2. اولاً تقسیم و ضرب و ثانیاً تفریق و جمع را انجام می دهیم.

معنی این قوانین به راحتی قابل درک است. ترتیب نوشتن سنتی از چپ به راست، توالی اساسی محاسبات را تعریف می کند، و نیاز به ضرب یا تقسیم ابتدا با ماهیت این عملیات توضیح داده می شود.

بیایید چند کار را برای وضوح در نظر بگیریم. ما فقط از ساده ترین عبارات عددی استفاده کرده ایم تا تمام محاسبات به صورت ذهنی انجام شود. بنابراین می توانید به سرعت سفارش مورد نظر را به خاطر بسپارید و به سرعت نتایج را بررسی کنید.

مثال 1

شرایط. شرط:محاسبه کن چقدر 7 − 3 + 6 .

راه حل

هیچ براکتی در بیان ما وجود ندارد، ضرب و تقسیم نیز وجود ندارد، بنابراین ما تمام اقدامات را به ترتیب مشخص شده انجام می دهیم. ابتدا از هفت عدد سه کم کنید و به باقی مانده شش عدد اضافه کنید و در نتیجه ده عدد بدست می آید. در اینجا یک رکورد از کل راه حل است:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

پاسخ: 7 − 3 + 6 = 10 .

مثال 2

شرایط. شرط:به چه ترتیبی باید محاسبات در عبارت انجام شود 6:2 8:3?

راه حل

برای پاسخ به این سوال، قاعده عبارات بدون پرانتز را که قبلا فرموله کردیم را دوباره مطالعه می کنیم. ما در اینجا فقط ضرب و تقسیم داریم، یعنی ترتیب نوشتاری محاسبات را حفظ می کنیم و به ترتیب از چپ به راست می شماریم.

پاسخ:ابتدا شش را بر دو تقسیم می کنیم، حاصل را در هشت ضرب می کنیم و عدد حاصل را بر سه تقسیم می کنیم.

مثال 3

شرایط. شرط:محاسبه کنید که چقدر می شود 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

راه حل

اول، بیایید ترتیب صحیح عملیات را تعیین کنیم، زیرا ما در اینجا همه انواع اصلی عملیات حسابی - جمع، تفریق، ضرب، تقسیم را داریم. اولین کاری که باید انجام دهیم تقسیم و ضرب است. این اعمال بر یکدیگر اولویت ندارند، بنابراین آنها را به ترتیب نوشتاری از راست به چپ انجام می دهیم. یعنی 5 باید در 6 ضرب شود و 30 بدست بیاید سپس 30 بر 3 تقسیم شود و 10 به دست آید. پس از آن 4 را بر 2 تقسیم می کنیم، این می شود 2. مقادیر یافت شده را با عبارت اصلی جایگزین کنید:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

در اینجا تقسیم یا ضرب وجود ندارد، پس مابقی محاسبات را به ترتیب انجام می دهیم و به جواب می رسیم:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

پاسخ:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

تا زمانی که ترتیب انجام اقدامات کاملاً یاد گرفته شود، می توانید اعداد را روی علائم عملیات حسابی قرار دهید که نشان دهنده ترتیب محاسبه است. به عنوان مثال، برای مشکل بالا، می توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

اگر عبارات تحت اللفظی داشته باشیم، همین کار را با آنها انجام می دهیم: ابتدا ضرب و تقسیم می کنیم، سپس جمع و تفریق می کنیم.

مراحل یک و دو چیست؟

گاهی در کتب مرجع تمامی عملیات حسابی به عملیات مرحله اول و دوم تقسیم می شود. اجازه دهید تعریف مورد نیاز را بیان کنیم.

عملیات مرحله اول شامل تفریق و جمع، دوم - ضرب و تقسیم است.

با دانستن این اسامی، می‌توانیم قاعده‌ای را که قبلاً در مورد ترتیب اعمال داده شد، به صورت زیر بنویسیم:

تعریف 2

در عبارتی که پرانتز ندارد، ابتدا باید اقدامات مرحله دوم را در جهت از چپ به راست انجام دهید، سپس اقدامات مرحله اول را (در همان جهت) انجام دهید.

ترتیب ارزیابی در عبارات با پرانتز

پرانتزها خود نشانه ای هستند که ترتیب مورد نظر را برای انجام اعمال به ما می گوید. در این حالت، قانون مورد نظر را می توان به صورت زیر نوشت:

تعریف 3

اگر براکت هایی در عبارت وجود داشته باشد، ابتدا عمل در آنها انجام می شود و پس از آن ضرب و تقسیم می کنیم و سپس در جهت چپ به راست جمع و تفریق می کنیم.

در مورد خود عبارت پرانتز شده، می توان آن را جزئی از عبارت اصلی در نظر گرفت. هنگام محاسبه مقدار عبارت در پرانتز، همان رویه را برای ما مشخص می کنیم. بیایید ایده خود را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 4

شرایط. شرط:محاسبه کن چقدر 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

راه حل

این عبارت دارای پرانتز است، پس بیایید با آنها شروع کنیم. اول از همه، بیایید محاسبه کنیم که 7 − 2 · 3 چقدر خواهد بود. در اینجا باید 2 را در 3 ضرب کنیم و نتیجه را از 7 کم کنیم:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

نتیجه را در پرانتز دوم در نظر می گیریم. در آنجا فقط یک عمل داریم: 6 − 4 = 2 .

اکنون باید مقادیر به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنیم:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

بیایید با ضرب و تقسیم شروع کنیم، سپس تفریق کنیم و بدست آوریم:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

این محاسبات را کامل می کند.

پاسخ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 6.

اگر شرایط شامل عبارتی است که در آن برخی از براکت ها برخی دیگر را محصور می کنند، نگران نباشید. ما فقط باید قانون بالا را به طور مداوم برای همه عبارات پرانتز اعمال کنیم. بیایید این وظیفه را بر عهده بگیریم.

مثال 5

شرایط. شرط:محاسبه کن چقدر 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

راه حل

ما براکت هایی در داخل پرانتز داریم. ما با 3 + 1 + 4 (2 + 3) شروع می کنیم، یعنی 2 + 3. 5 می شود. مقدار باید در عبارت جایگزین شود و 3 + 1 + 4 5 محاسبه شود. یادمان باشد که ابتدا باید ضرب کنیم و سپس اضافه کنیم: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. با جایگزینی مقادیر یافت شده به عبارت اصلی، پاسخ را محاسبه می کنیم: 4 + 24 = 28 .

پاسخ: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

به عبارت دیگر، هنگام ارزیابی ارزش یک عبارت حاوی پرانتز در داخل پرانتز، از پرانتزهای داخلی شروع می کنیم و به سمت بیرونی ها می رویم.

فرض کنید باید مشخص کنیم که چقدر خواهد بود (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. با عبارت داخل پرانتز شروع می کنیم. از آنجایی که 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , عبارت اصلی را می توان به صورت (4 + (4 + 1) - 1) - 1 نوشت. دوباره به براکت های داخلی می رویم: 4 + 1 = 5 . ما به بیان رسیده ایم (4 + 5 − 1) − 1 . ما معتقدیم 4 + 5 − 1 = 8 و در نتیجه اختلاف 8 - 1 را بدست می آوریم که نتیجه آن 7 خواهد بود.

ترتیب محاسبه در عبارات با توان، ریشه، لگاریتم و سایر توابع

اگر در شرط عبارتی با درجه، ریشه، لگاریتم یا تابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت) یا توابع دیگر داشته باشیم، ابتدا مقدار تابع را محاسبه می کنیم. پس از آن طبق قوانین مشخص شده در پاراگراف های قبل عمل می کنیم. به عبارت دیگر، توابع از نظر اهمیت با عبارت محصور شده در پرانتز برابر هستند.

بیایید به مثالی از چنین محاسبه ای نگاه کنیم.

مثال 6

شرایط. شرط:پیدا کنید چقدر خواهد بود (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

راه حل

یک عبارت با درجه داریم که ابتدا باید مقدار آن را پیدا کرد. ما در نظر می گیریم: 6 2 \u003d 36. اکنون نتیجه را به عبارت جایگزین می کنیم، پس از آن شکل (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 را به خود می گیرد.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

پاسخ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

در مقاله جداگانه‌ای که به محاسبه مقادیر عبارات اختصاص دارد، نمونه‌های پیچیده‌تر دیگری از محاسبات را در مورد عبارات با ریشه، درجه و غیره ارائه می‌کنیم. توصیه می‌کنیم با آن آشنا شوید.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

دوره ابتدایی رو به پایان است، به زودی کودک به دنیای عمیق ریاضیات قدم می گذارد. اما در حال حاضر در این دوره، دانش آموز با مشکلات علم مواجه است. با انجام یک کار ساده، کودک گیج می شود، گم می شود، که در نتیجه منجر به نمره منفی برای کار انجام شده می شود. برای جلوگیری از چنین مشکلاتی، هنگام حل مثال ها، باید بتوانید به ترتیبی که باید مثال را حل کنید، حرکت کنید. با توزیع نادرست اقدامات، کودک کار را به درستی انجام نمی دهد. این مقاله قوانین اساسی برای حل مثال هایی را نشان می دهد که شامل طیف وسیعی از محاسبات ریاضی، از جمله براکت ها است. ترتیب اعمال در ریاضیات کلاس چهارم قوانین و مثال ها.

قبل از تکمیل کار، از کودک خود بخواهید تا کارهایی را که قرار است انجام دهد شماره گذاری کند. اگر مشکلی دارید لطفا کمک کنید.

برخی از قوانینی که باید هنگام حل مثال های بدون پرانتز رعایت کنید:

اگر یک کار نیاز به انجام یک سری اقدامات دارد، ابتدا باید تقسیم یا ضرب را انجام دهید، سپس. تمام اقدامات در طول نوشتن انجام می شود. در غیر این صورت نتیجه راه حل صحیح نخواهد بود.

اگر در مثال لازم است اجرا شود، به ترتیب از چپ به راست اجرا می کنیم.

27-5+15=37 (هنگام حل مثال با قانون هدایت می شویم. ابتدا تفریق و سپس جمع را انجام می دهیم).

به فرزند خود بیاموزید که همیشه کارهایی را که باید انجام شود برنامه ریزی و شماره گذاری کند.

پاسخ هر عمل حل شده در بالای مثال نوشته شده است. بنابراین هدایت اقدامات برای کودک بسیار آسان تر خواهد بود.

گزینه دیگری را در نظر بگیرید که در آن لازم است اقدامات را به ترتیب توزیع کنید:

همانطور که می بینید در هنگام حل، قاعده رعایت می شود، ابتدا به دنبال محصول می گردیم، سپس تفاوت.

اینها نمونه های ساده ای هستند که حل آنها نیازمند توجه است. بسیاری از کودکان با دیدن کاری که در آن نه تنها ضرب و تقسیم وجود دارد، بلکه براکت نیز وجود دارد، دچار گیجی می شوند. دانش آموزی که ترتیب انجام اعمال را نمی داند سوالاتی دارد که او را از انجام تکلیف باز می دارد.

همانطور که در قاعده آمده است، ابتدا یک اثر یا یک خاص و سپس هر چیز دیگری را پیدا می کنیم. اما پس از آن پرانتز وجود دارد! در این مورد چگونه باید اقدام کرد؟

حل مثال با پرانتز

بیایید یک مثال خاص بزنیم:

• هنگام انجام این کار، ابتدا مقدار عبارت محصور شده در پرانتز را پیدا کنید.
• با ضرب شروع کنید سپس اضافه کنید.
• پس از حل شدن عبارت داخل پرانتز، به اقدامات خارج از آنها می رویم.
• با توجه به ترتیب عملیات، مرحله بعدی ضرب است.
• مرحله نهایی خواهد بود.

همانطور که در مثال گویا مشاهده می کنید، تمام اقدامات شماره گذاری شده اند. برای تثبیت موضوع، از کودک دعوت کنید چندین مثال را به تنهایی حل کند:

ترتیبی که در آن مقدار عبارت باید ارزیابی شود قبلاً تنظیم شده است. کودک فقط باید تصمیم را مستقیماً اجرا کند.

بیایید کار را پیچیده کنیم. اجازه دهید کودک معنای عبارات را خودش پیدا کند.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

به فرزند خود بیاموزید که تمام وظایف را در یک نسخه پیش نویس حل کند. در این صورت دانش آموز فرصت تصحیح تصمیم اشتباه یا بلات را خواهد داشت. اصلاحات در کتاب کار مجاز نیست. هنگام انجام وظایف به تنهایی، کودکان اشتباهات خود را می بینند.

والدین نیز به نوبه خود باید به اشتباهات توجه کنند، به کودک در درک و اصلاح آنها کمک کنند. مغز دانش آموز را با حجم زیادی از وظایف بار نکنید. با چنین اقداماتی میل کودک به دانش را از بین می برید. باید در همه چیز حس تناسب وجود داشته باشد.

استراحت کنید. کودک باید حواسش پرت شود و از کلاس استراحت کند. نکته اصلی این است که همه افراد ذهنیت ریاضی ندارند. شاید یک فیلسوف معروف از فرزند شما رشد کند.

و هنگام محاسبه مقادیر عبارات، اقدامات به ترتیب خاصی انجام می شود، به عبارت دیگر، باید رعایت کنید ترتیب اقدامات.

در این مقاله متوجه خواهیم شد که کدام اقدامات باید ابتدا انجام شوند و کدام یک بعد از آنها. بیایید با ساده ترین موارد شروع کنیم، زمانی که عبارت فقط شامل اعداد یا متغیرهایی است که با علامت های مثبت، منفی، ضرب و تقسیم به هم متصل شده اند. در ادامه توضیح خواهیم داد که در عبارات با پرانتز چه ترتیبی از اجرای اقدامات باید رعایت شود. در نهایت، دنباله ای را در نظر بگیرید که در آن اقدامات در عبارات حاوی قدرت، ریشه و سایر توابع انجام می شود.

پیمایش صفحه.

ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق

مدرسه موارد زیر را ارائه می دهد قاعده ای که ترتیب انجام اقدامات را در عبارات بدون پرانتز تعیین می کند:

• اقدامات به ترتیب از چپ به راست انجام می شود،
• جایی که ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق انجام می شود.

قاعده بیان شده کاملاً طبیعی درک می شود. انجام اقدامات به ترتیب از چپ به راست با این واقعیت توضیح داده می شود که ما مرسوم است که سوابق را از چپ به راست نگه داریم. و اینکه ضرب و تقسیم قبل از جمع و تفریق انجام می شود با معنایی که این اعمال در خود حمل می کنند توضیح می دهد.

بیایید به چند نمونه از کاربرد این قانون نگاه کنیم. به عنوان مثال، ساده‌ترین عبارات عددی را می‌گیریم تا محاسبات حواسمان را پرت نکنند، بلکه روی ترتیب انجام اقدامات تمرکز کنیم.

مثال.

مراحل 7-3+6 را دنبال کنید.

راه حل.

عبارت اصلی شامل پرانتز و ضرب و تقسیم نیست. بنابراین باید همه اعمال را به ترتیب از چپ به راست انجام دهیم، یعنی ابتدا 3 را از 7 کم کنیم، 4 به دست می آوریم، پس از آن 6 را به اختلاف حاصل 4 اضافه می کنیم، 10 می شود.

به طور خلاصه، جواب را می توان به صورت زیر نوشت: 7−3+6=4+6=10.

پاسخ:

7−3+6=10 .

مثال.

ترتیب انجام اعمال را در عبارت 6:2·8:3 نشان دهید.

راه حل.

برای پاسخ به سوال، اجازه دهید به قاعده ای بپردازیم که ترتیب انجام اقدامات را در عبارات بدون براکت نشان می دهد. عبارت اصلی فقط شامل عملیات ضرب و تقسیم است و طبق قانون باید به ترتیب از چپ به راست انجام شود.

پاسخ:

در ابتدا 6 تقسیم بر 2 ، این ضریب در 8 ضرب می شود ، در نهایت نتیجه بر 3 تقسیم می شود.

مثال.

مقدار عبارت 17−5·6:3−2+4:2 را محاسبه کنید.

راه حل.

ابتدا، اجازه دهید تعیین کنیم که اقدامات در عبارت اصلی به چه ترتیبی باید انجام شوند. هم شامل ضرب و تقسیم و جمع و تفریق می شود. ابتدا از چپ به راست باید ضرب و تقسیم را انجام دهید. بنابراین 5 را در 6 ضرب می کنیم، 30 می گیریم، این عدد را بر 3 تقسیم می کنیم، 10 می شود. حالا 4 را بر 2 تقسیم می کنیم، 2 به دست می آید. مقدار یافت شده را به جای 5 6:3 در عبارت اصلی 10 جایگزین می کنیم و مقدار 2 را به جای 4:2 جایگزین می کنیم. 17-5 6:3-2+4:2=17-10-2+2.

در عبارت حاصل ضرب و تقسیم وجود ندارد، بنابراین باقی مانده اعمال را به ترتیب از چپ به راست انجام می دهیم: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

پاسخ:

17-5 6:3-2+4:2=7.

در ابتدا، برای اینکه هنگام محاسبه مقدار یک عبارت، ترتیب انجام اقدامات را اشتباه نگیرید، راحت است که اعداد را بالاتر از علائم اقدامات مربوط به ترتیب انجام آنها قرار دهید. برای مثال قبلی، به این صورت است: .

هنگام کار با عبارات تحت اللفظی، باید همان ترتیب عملیات - ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق - رعایت شود.

مراحل 1 و 2

در برخی از کتاب های درسی ریاضی، عملیات حسابی به عملیات مرحله اول و دوم تقسیم بندی شده است. بیایید به این موضوع بپردازیم.

تعریف.

اقدامات مرحله اولجمع و تفریق و ضرب و تقسیم نامیده می شوند اقدامات مرحله دوم.

در این عبارت، قاعده پاراگراف قبل که ترتیب انجام اقدامات را تعیین می کند، به صورت زیر نوشته می شود: اگر عبارت حاوی براکت نباشد، به ترتیب از چپ به راست، اقدامات مرحله دوم ( ابتدا ضرب و تقسیم) سپس اعمال مرحله اول (جمع و تفریق) انجام می شود.

ترتیب اجرای عملیات حسابی در عبارات با پرانتز

عبارات اغلب حاوی پرانتز برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات هستند. در این مورد قاعده ای که ترتیب انجام اقدامات را در عبارات با براکت مشخص می کند، به صورت زیر فرموله می شود: ابتدا اعمال داخل پرانتز انجام می شود و ضرب و تقسیم نیز به ترتیب از چپ به راست و سپس جمع و تفریق انجام می شود.

بنابراین، عبارات داخل پرانتز به عنوان اجزای عبارت اصلی در نظر گرفته می شوند و ترتیب اعمالی که قبلاً برای ما شناخته شده است در آنها حفظ می شود. برای وضوح بیشتر راه حل های مثال ها را در نظر بگیرید.

مثال.

مراحل داده شده 5+(7-2 3) (6-4):2 را انجام دهید.

راه حل.

عبارت حاوی براکت است، بنابراین اجازه دهید ابتدا عملیات عبارات محصور شده در این براکت ها را انجام دهیم. بیایید با عبارت 7-2 3 شروع کنیم. در آن ابتدا باید ضرب را انجام دهید و فقط پس از آن تفریق، 7−2 داریم 3=7−6=1 . ما به عبارت دوم در پرانتز 6-4 می رویم. در اینجا فقط یک عمل وجود دارد - تفریق، ما آن را 6-4=2 انجام می دهیم.

مقادیر به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین می کنیم: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2. در عبارت به دست آمده ابتدا ضرب و تقسیم را از چپ به راست انجام می دهیم و سپس تفریق را انجام می دهیم 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . در این مورد، تمام اقدامات تکمیل شده است، ما به ترتیب زیر اجرای آنها را رعایت کردیم: 5+(7-2 3) (6-4):2 .

بیایید یک راه حل کوتاه بنویسیم: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2=5+1=6.

پاسخ:

5+(7-2 3)(6-4):2=6.

این اتفاق می افتد که یک عبارت حاوی براکت هایی در داخل پرانتز است. شما نباید از این بترسید، فقط باید به طور مداوم قانون بیان شده را برای انجام اقدامات در عبارات با براکت اعمال کنید. بیایید یک مثال راه حل را نشان دهیم.

مثال.

اعمال عبارت 4+(3+1+4·(2+3)) را انجام دهید.

راه حل.

این یک عبارت با براکت است، به این معنی که اجرای اقدامات باید با عبارت داخل پرانتز شروع شود، یعنی با 3+1+4 (2+3) . این عبارت حاوی پرانتز نیز می باشد، بنابراین ابتدا باید اقداماتی را در آنها انجام دهید. بیایید این کار را انجام دهیم: 2+3=5. با جایگزینی مقدار یافت شده، 3+1+4 5 دریافت می کنیم. در این عبارت ابتدا ضرب را انجام می دهیم سپس جمع می کنیم 3+1+4 5=3+1+20=24 . مقدار اولیه پس از جایگزینی این مقدار، به شکل 4+24 در می آید و تنها برای تکمیل اقدامات باقی می ماند: 4+24=28.

پاسخ:

4+(3+1+4 (2+3))=28.

به طور کلی، وقتی پرانتزهای درون پرانتز در یک عبارت وجود دارند، اغلب راحت است که با پرانتزهای داخلی شروع کنید و به سمت بیرونی بروید.

برای مثال، فرض کنید باید عملیاتی را در عبارت (4+(4+(4−6:2)-1)-1 انجام دهیم. ابتدا اقداماتی را در براکت های داخلی انجام می دهیم، زیرا 4−6:2=4−3=1، سپس عبارت اصلی به شکل (4+(4+1)-1)-1 خواهد بود. مجدداً، عمل را در براکت های داخلی انجام می دهیم، از 4+1=5، سپس به عبارت زیر (4+5-1)-1 می رسیم. مجدداً اعمال درون پرانتز را انجام می‌دهیم: 4+5−1=8، در حالی که به اختلاف 8−1 می‌رسیم که برابر با 7 است.