مطالعه عملکرد.

1) D(y) – دامنه تعریف: مجموعه تمام آن مقادیر متغیر x. که برای آن عبارات جبری f(x) و g(x) معنی دارند.

اگر تابعی با فرمول داده شود، دامنه تعریف شامل تمام مقادیر متغیر مستقلی است که فرمول برای آن معنا دارد.

2) ویژگی های تابع: زوج/فرد، تناوب:

فردو زوجتوابعی نامیده می شوند که نمودارهای آنها با توجه به تغییرات علامت آرگومان متقارن باشد.

تابع فرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل (متقارن نسبت به مرکز مختصات) مقدار را به عکس تغییر می دهد.

حتی عملکرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل، مقدار خود را تغییر نمی‌دهد (متقارن نسبت به مقدار).

نه تابع زوج و نه فرد (تابع نمای کلی) - تابعی که تقارن ندارد. این دسته شامل توابعی است که در 2 دسته قبلی قرار نمی گیرند.

توابعی که به هیچ یک از دسته های بالا تعلق ندارند نامیده می شوند نه زوج و نه فرد(یا توابع عمومی).

توابع فرد

توان فرد که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

حتی توابع

حتی قدرت که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

تابع دوره ای- تابعی که مقادیر خود را در یک بازه آرگومان منظم تکرار می کند، یعنی با اضافه کردن تعداد ثابت غیر صفر به آرگومان، مقدار خود را تغییر نمی دهد. دوره زمانیتوابع) در کل دامنه تعریف.

3) صفر (ریشه) یک تابع نقاطی هستند که در آن ها صفر می شود.

پیدا کردن نقطه تلاقی نمودار با محور اوه. برای این کار باید مقدار را محاسبه کنید f(0). همچنین نقاط تقاطع نمودار با محور را پیدا کنید گاو نر، چرا ریشه های معادله را پیدا کنید f(ایکس) = 0 (یا مطمئن شوید که ریشه وجود ندارد).

نقاطی که نمودار محور را قطع می کند نامیده می شود تابع صفر. برای پیدا کردن صفرهای یک تابع باید معادله را حل کنید، یعنی پیدا کنید آن مقادیر "x"، که در آن تابع صفر می شود.

4) فواصل ثبات علائم، نشانه ها در آنها.

بازه هایی که تابع f(x) علامت را حفظ می کند.

فاصله پایداری علامت فاصله است در هر نقطه از آنتابع مثبت یا منفی است.

بالای محور x.

زیر محور.

5) تداوم (نقاط انقطاع، ماهیت ناپیوستگی، مجانب).

عملکرد پیوسته- یک تابع بدون "پرش"، یعنی تابعی که در آن تغییرات کوچک در آرگومان منجر به تغییرات کوچک در مقدار تابع می شود.

نقاط شکست قابل جابجایی

اگر حد تابع وجود دارد، اما تابع در این نقطه تعریف نشده است، یا حد با مقدار تابع در این نقطه منطبق نیست:

,

سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه شکست قابل جابجاییتوابع (در تحلیل پیچیده، یک نقطه منفرد قابل جابجایی).

اگر تابع را در نقطه ناپیوستگی قابل جابجایی "تصحیح" کنیم و قرار دهیم ، سپس تابعی دریافت می کنیم که در یک نقطه معین پیوسته است. این عملیات روی یک تابع نامیده می شود گسترش تابع به پیوستهیا تعریف مجدد تابع بر اساس پیوستگی، که نام نقطه را به عنوان یک نقطه توجیه می کند قابل جابجاییپارگی

نقاط ناپیوستگی نوع اول و دوم

اگر تابعی در یک نقطه معین ناپیوستگی داشته باشد (یعنی حد تابع در یک نقطه مشخص وجود نداشته باشد یا با مقدار تابع در یک نقطه معین منطبق نباشد)، برای توابع عددی دو گزینه ممکن وجود دارد. مرتبط با وجود توابع عددی محدودیت های یک طرفه:

اگر هر دو حد یک طرفه وجود داشته باشند و محدود باشند، چنین نقطه ای نامیده می شود نقطه ناپیوستگی از نوع اول. نقاط ناپیوستگی قابل جابجایی نقاط ناپیوستگی از نوع اول هستند.

اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه وجود نداشته باشد یا یک مقدار محدود نباشد، چنین نقطه ای نامیده می شود. نقطه ناپیوستگی نوع دوم.

مجانب - سر راست، که این خاصیت را دارد که فاصله یک نقطه از منحنی تا این سر راستبا دور شدن نقطه در امتداد شاخه به سمت بی نهایت به سمت صفر میل می کند.

عمودی

مجانب عمودی - خط حد .

به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به منظور تعیین نحوه رفتار تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از جهات مختلف انجام می شود. مثلا:

افقی

مجانب افقی - سر راستگونه ها، مشروط به وجود حد

.

شیب دار

مجانب مایل - سر راستگونه ها، مشروط به وجود محدودیت ها

نکته: یک تابع نمی تواند بیش از دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد.

نکته: اگر حداقل یکی از دو حد ذکر شده در بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد.

اگر در مورد 2.)، سپس، و حد با استفاده از فرمول مجانب افقی پیدا می شود، .

6) یافتن فواصل یکنواختیبازه های یکنواختی یک تابع را بیابید f(ایکس)(یعنی فواصل افزایش و کاهش). این کار با بررسی علامت مشتق انجام می شود f(ایکس). برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید f(ایکس) و نابرابری را حل کنید f(ایکس) 0. در فواصل زمانی که این نابرابری برقرار است، تابع f(ایکس)افزایش. جایی که نابرابری معکوس برقرار است f(ایکس)0، تابع f(ایکس) در حال کاهش است.

یافتن یک اکستریم موضعیبا یافتن فواصل یکنواختی، می‌توانیم فوراً نقاط انتهایی محلی را تعیین کنیم که در آن افزایش با کاهش جایگزین می‌شود، حداکثرهای محلی قرار دارند و جایی که کاهش با افزایش جایگزین می‌شود، حداقل‌های محلی قرار دارند. مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید. اگر یک تابع دارای نقاط بحرانی است که نقاط اکسترومم محلی نیستند، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است.

پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع y = f(x) در یک قطعه(ادامه)

1. مشتق تابع را پیدا کنید: f(ایکس). 2. نقاطی را که مشتق در آنها صفر است پیدا کنید: f(ایکس)=0ایکس 1, ایکس 2 ,... 3. وابستگی نقاط را تعیین کنید ایکس 1 ,ایکس 2 , … بخش [ آ; ب]: اجازه دهید ایکس 1آ;ب، آ ایکس 2آ;ب .

وابستگی متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x مطابقت دارد معنی واحد y تابع نامیده می شود. برای تعیین از علامت y=f(x) استفاده کنید. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است.

نگاهی دقیق تر به ویژگی برابری بیندازید.

یک تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند:

2. مقدار تابع در نقطه x، متعلق به حوزه تعریف تابع، باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x، تساوی زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = f(-x).

نمودار یک تابع زوج

اگر یک نمودار بسازید حتی عملکرددر مورد محور Oy متقارن خواهد بود.

برای مثال تابع y=x^2 زوج است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=3 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. بنابراین f(x) = f(-x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نمودار تابع y=x^2 آمده است.

شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است.

نمودار یک تابع فرد

تابع y=f(x) اگر دو شرط زیر را داشته باشد فرد نامیده می شود:

1. دامنه تعریف یک تابع معین باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تعریف تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تعریف تعلق داشته باشد. از تابع داده شده

2. برای هر نقطه x، برابری زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = -f(x).

نمودار یک تابع فرد با توجه به نقطه O - مبدأ مختصات متقارن است. برای مثال، تابع y=x^3 فرد است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=2 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. بنابراین f(x) = -f(x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نمودار تابع y=x^3 آمده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y=x^3 نسبت به مبدا متقارن است.

حتی عملکرد.

زوجتابعی است که علامت آن با تغییر علامت تغییر نمی کند ایکس.

ایکسبرابری برقرار است f(–ایکس) = f(ایکس). امضا کردن ایکسروی علامت تاثیر نمی گذارد y.

نمودار یک تابع زوج متقارن در مورد محور مختصات است (شکل 1).

نمونه هایی از یک تابع زوج:

y= cos ایکس

y = ایکس 2

y = –ایکس 2

y = ایکس 4

y = ایکس 6

y = ایکس 2 + ایکس

توضیح:
بیایید تابع را بگیریم y = ایکس 2 یا y = –ایکس 2 .
برای هر ارزشی ایکسعملکرد مثبت است امضا کردن ایکسروی علامت تاثیر نمی گذارد y. نمودار در مورد محور مختصات متقارن است. این یک تابع یکنواخت است.

تابع فرد

فردتابعی است که علامت آن با تغییر علامت تغییر می کند ایکس.

به عبارت دیگر، برای هر ارزشی ایکسبرابری برقرار است f(–ایکس) = –f(ایکس).

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است (شکل 2).

نمونه هایی از تابع فرد:

y= گناه ایکس

y = ایکس 3

y = –ایکس 3

توضیح:

بیایید تابع y = – را بگیریم ایکس 3 .
همه معانی درعلامت منفی خواهد داشت. این یک نشانه است ایکسعلامت را تحت تأثیر قرار می دهد y. اگر متغیر مستقل باشد عدد مثبت، تابع مثبت است، اگر متغیر مستقل یک عدد منفی باشد، تابع منفی است: f(–ایکس) = –f(ایکس).
نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است. این یک تابع فرد است.

خواص توابع زوج و فرد:

توجه داشته باشید:

همه توابع زوج یا فرد نیستند. توابعی وجود دارند که از چنین درجه بندی تبعیت نمی کنند. به عنوان مثال، تابع ریشه در = √ایکسبرای توابع زوج یا فرد اعمال نمی شود (شکل 3). هنگام فهرست کردن ویژگی‌های چنین توابعی، باید توصیف مناسبی ارائه شود: نه زوج و نه فرد.

توابع دوره ای

همانطور که می دانید تناوب عبارت است از تکرار برخی فرآیندها در یک بازه زمانی معین. توابعی که این فرآیندها را توصیف می کنند نامیده می شوند توابع دوره ای. یعنی اینها توابعی هستند که در نمودارهای آنها عناصری وجود دارد که در فواصل عددی خاصی تکرار می شوند.

تبدیل نمودارها

توصیف شفاهی عملکرد.

روش گرافیکی

روش گرافیکی تعیین یک تابع بصری ترین است و اغلب در فناوری استفاده می شود. که در تجزیه و تحلیل ریاضیروش گرافیکی تعیین توابع به عنوان یک تصویر استفاده می شود.

نمودار تابع f مجموعه تمام نقاط (x;y) صفحه مختصات است که در آن y=f(x) و x از کل دامنه تعریف این تابع عبور می کند.

زیرمجموعه ای از صفحه مختصات، نمودار تابعی است که بیش از یک نقطه مشترک با هیچ خط مستقیم موازی با محور Oy نداشته باشد.

مثال. آیا شکل های زیر نمودار توابع نشان داده شده است؟

مزیت یک کار گرافیکی وضوح آن است. می‌توانید فوراً ببینید که عملکرد چگونه عمل می‌کند، کجا افزایش می‌یابد و کجا کاهش می‌یابد. از نمودار می توانید بلافاصله برخی از ویژگی های مهم تابع را دریابید.

به طور کلی، روش های تحلیلی و گرافیکی برای تعریف یک تابع دست به دست هم می دهند. کار با فرمول به ساخت یک نمودار کمک می کند. و نمودار اغلب راه‌حل‌هایی را پیشنهاد می‌کند که حتی در فرمول متوجه آن‌ها نمی‌شوید.

تقریباً هر دانش آموزی سه روش برای تعریف یک تابع را می داند که ما به آنها نگاه کردیم.

بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم: "آیا راه های دیگری برای تعریف یک تابع وجود دارد؟"

چنین راهی وجود دارد.

تابع را می توان کاملاً بدون ابهام در کلمات مشخص کرد.

به عنوان مثال، تابع y=2x را می توان با توضیحات شفاهی زیر مشخص کرد: هر مقدار واقعی آرگومان x با مقدار دوگانه آن مرتبط است. قانون ایجاد می شود، عملکرد مشخص می شود.

علاوه بر این، می‌توانید به صورت شفاهی تابعی را مشخص کنید که تعریف آن با استفاده از یک فرمول، اگر غیرممکن نباشد، بسیار دشوار است.

به عنوان مثال: هر مقدار آرگومان طبیعی x با مجموع ارقامی که مقدار x را تشکیل می دهند مرتبط است. به عنوان مثال، اگر x=3، y=3. اگر x=257، y=2+5+7=14. و غیره. نوشتن این موضوع در یک فرمول مشکل ساز است. اما ساختن علامت آسان است.

روش توصیف کلامی روشی نسبتاً نادر است. اما گاهی اوقات می شود.

اگر یک قانون مطابقت یک به یک بین x و y وجود داشته باشد، یک تابع وجود دارد. چه قانونی، به چه شکلی بیان شده است - یک فرمول، یک لوح، یک نمودار، کلمات - ماهیت موضوع را تغییر نمی دهد.

اجازه دهید توابعی را در نظر بگیریم که حوزه‌های تعریف آن‌ها با توجه به مبدا متقارن هستند، یعنی. برای هرکس ایکساز دامنه شماره تعریف (- ایکس) نیز به حوزه تعریف تعلق دارد. از جمله این توابع هستند زوج و فرد.

تعریف.تابع f فراخوانی می شود زوج، در صورت وجود ایکساز حوزه تعریف آن

مثال.تابع را در نظر بگیرید

یکنواخت است. بگذار چک کنیم.

برای هرکس ایکسبرابری ها برآورده می شود

بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نموداری از این تابع آورده شده است.

تعریف.تابع f فراخوانی می شود فرد، در صورت وجود ایکساز حوزه تعریف آن

مثال. تابع را در نظر بگیرید

عجیب است. بگذار چک کنیم.

دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه (0;0) متقارن است.

برای هرکس ایکسبرابری ها برآورده می شود

بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نموداری از این تابع آورده شده است.

نمودارهای نشان داده شده در شکل های اول و سوم به صورت متقارن در مورد محور ارتین و نمودارهای نشان داده شده در شکل های دوم و چهارم نسبت به مبدا متقارن هستند.

کدام یک از توابعی که نمودار آنها در شکل ها نشان داده شده است زوج و کدام فرد است؟

تعریف 1. تابع فراخوانی می شود زوج (فرد ، اگر همراه با هر مقدار متغیر باشد
معنی - ایکسنیز متعلق است
و برابری برقرار است

بنابراین، یک تابع تنها در صورتی می تواند زوج یا فرد باشد که دامنه تعریف آن با مبدا مختصات روی خط اعداد متقارن باشد (عدد) ایکسو - ایکسدر همان زمان تعلق دارند
). به عنوان مثال، تابع
نه زوج است و نه فرد، زیرا محدوده تعریف آن است
در مورد منشا متقارن نیست.

تابع
حتی، زیرا
متقارن در مورد مبدا و.

تابع
عجیب است، زیرا
و
.

تابع
زوج و فرد نیست، زیرا اگرچه
و با توجه به مبدا متقارن است، برابری های (11.1) برآورده نمی شود. مثلا،.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است OU، زیرا اگر نقطه

همچنین متعلق به برنامه است. نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، زیرا اگر
متعلق به نمودار، سپس نقطه است
همچنین متعلق به برنامه است.

هنگام اثبات زوج یا فرد بودن یک تابع، عبارات زیر مفید هستند.

قضیه 1. الف) مجموع دو تابع زوج (فرد) یک تابع زوج (فرد) است.

ب) حاصل ضرب دو تابع زوج (فرد) یک تابع زوج است.

ج) حاصلضرب تابع زوج و فرد، تابع فرد است.

د) اگر f- عملکرد یکنواخت روی مجموعه ایکس، و عملکرد g در مجموعه تعریف شده است
، سپس تابع
- زوج.

د) اگر f- تابع فرد در مجموعه ایکس، و عملکرد g در مجموعه تعریف شده است
و زوج (فرد)، سپس تابع
- زوج فرد).

اثبات. برای مثال، ب) و د) را ثابت کنیم.

ب) اجازه دهید
و
- حتی توابع. سپس، بنابراین. مورد توابع فرد نیز به طور مشابه رفتار می شود
و
.

د) اجازه دهید f یک تابع زوج است. سپس.

گزاره های باقی مانده از قضیه را می توان به روشی مشابه اثبات کرد. قضیه ثابت شده است.

قضیه 2. هر عملکرد
، در مجموعه تعریف شده است ایکس، متقارن در مورد مبدا، می تواند به عنوان مجموع توابع زوج و فرد نمایش داده شود.

اثبات. تابع
را می توان در قالب نوشت

.

تابع
- حتی، زیرا
، و عملکرد
- عجیب است، زیرا. بدین ترتیب،
، جایی که
- حتی، و
- توابع فرد قضیه ثابت شده است.

تعریف 2. عملکرد
تماس گرفت تناوبی ، اگر عددی وجود دارد
، به طوری که برای هر
شماره
و
همچنین به حوزه تعریف تعلق دارند
و برابری ها برآورده می شود

چنین عددی تیتماس گرفت دوره زمانی کارکرد
.

از تعریف 1 چنین بر می آید که اگر تی- دوره عملکرد
، سپس شماره - تییکسان دوره عملکرد است
(از زمان تعویض تیبر - تیبرابری حفظ می شود). با استفاده از روش استقراء ریاضی می توان نشان داد که اگر تی- دوره عملکرد f، سپس
، همچنین یک دوره است. نتیجه این است که اگر تابعی دارای دوره باشد، دوره های بی نهایت زیادی دارد.

تعریف 3. کوچکترین دوره های مثبت یک تابع را آن می نامند اصلی دوره زمانی.

قضیه 3. اگر تی- دوره اصلی عملکرد f، سپس دوره های باقیمانده مضرب آن هستند.

اثبات. برعکس فرض کنیم، یعنی دوره ای وجود دارد کارکرد f (> 0)، چندگانه نیست تی. سپس، تقسیم بر تیبا باقی مانده، می گیریم
، جایی که
. از همین رو

به این معنا که - دوره عملکرد f، و
، و این با این واقعیت که تی- دوره اصلی عملکرد f. بیان قضیه از تناقض حاصل حاصل می شود. قضیه ثابت شده است.

به خوبی شناخته شده است که توابع مثلثاتی تناوبی هستند. دوره اصلی
و
برابر است
,
و
. بیایید دوره تابع را پیدا کنیم
. اجازه دهید
- دوره این تابع. سپس

(زیرا
.

oror
.

معنی تی، که از تساوی اول تعیین می شود، نمی تواند یک دوره باشد، زیرا به آن بستگی دارد ایکس، یعنی تابعی از ایکسو نه یک عدد ثابت. دوره از برابری دوم تعیین می شود:
. دوره های بی نهایت زیادی وجود دارد، با
کوچکترین دوره مثبت در به دست می آید
:
. این دوره اصلی عملکرد است
.

نمونه ای از تابع تناوبی پیچیده تر تابع دیریکله است

توجه داشته باشید که اگر تییک عدد گویا است، پس
و
اعداد گویا برای گویا هستند ایکسو غیرمنطقی وقتی غیر منطقی است ایکس. از همین رو

برای هر عدد گویا تی. بنابراین، هر عدد گویا تیدوره تابع دیریکله است. واضح است که این تابع دوره اصلی ندارد، زیرا موارد مثبت وجود دارد اعداد گویا، به طور دلخواه نزدیک به صفر (به عنوان مثال، یک عدد گویا را می توان انتخاب کرد nخودسرانه نزدیک به صفر).

قضیه 4. اگر تابع f در مجموعه تعریف شده است ایکسو دوره دارد تی، و عملکرد g در مجموعه تعریف شده است
، سپس یک تابع پیچیده
دوره هم دارد تی.

اثبات. بنابراین، ما داریم

یعنی بیان قضیه ثابت می شود.

به عنوان مثال، از زمانی که cos ایکس دوره دارد
، سپس توابع
پریود شدن
.

تعریف 4. توابعی که تناوبی نیستند نامیده می شوند غیر دوره ای .