Свойства на страните на остроъгълния триъгълник. Видове триъгълници
Най-простият многоъгълник, който се изучава в училище, е триъгълник. Той е по-разбираем за учениците и среща по-малко трудности. Въпреки факта, че има различни видове триъгълници, които имат специални свойства.
Каква форма се нарича триъгълник?
Образувана от три точки и отсечки. Първите се наричат върхове, вторите се наричат страни. Освен това и трите сегмента трябва да бъдат свързани така, че да се образуват ъгли между тях. Оттук и името на фигурата "триъгълник".
Разлики в имената в ъглите
Тъй като те могат да бъдат остри, тъпи и прави, видовете триъгълници се определят от тези имена. Съответно има три групи такива фигури.
- Първо. Ако всички ъгли на триъгълник са остри, тогава той ще се нарича остър. Всичко е логично.
- Второ. Един от ъглите е тъп, което означава, че триъгълникът е тъп. Не може да бъде по-просто.
- трето. Има ъгъл, равен на 90 градуса, който се нарича прав ъгъл. Триъгълникът става правоъгълен.
Разлики в имената отстрани
В зависимост от характеристиките на страните се разграничават следните видове триъгълници:
общият случай е скален, при който всички страни са с произволна дължина;
равнобедрен, две страни на който имат еднакви числени стойности;
равностранен, дължините на всичките му страни са еднакви.
Ако проблемът не посочва конкретен тип триъгълник, тогава трябва да нарисувате произволен. В който всички ъгли са остри, а страните са с различна дължина.
Свойства, общи за всички триъгълници
- Ако съберете всички ъгли на триъгълник, ще получите число, равно на 180º. И няма значение какъв тип е. Това правило важи винаги.
- Числената стойност на която и да е страна на триъгълник е по-малка от другите две, събрани заедно. Освен това е по-голяма от тяхната разлика.
- Всеки външен ъгълима стойността, която се получава чрез добавяне на две вътрешни, които не са съседни на него. Освен това винаги е по-голям от вътрешния, съседен на него.
- Най-малкият ъгъл винаги е срещу по-малката страна на триъгълника. И обратно, ако страната е голяма, тогава ъгълът ще бъде най-голям.
Тези свойства винаги са валидни, независимо какви видове триъгълници се разглеждат в задачите. Всичко останало следва от специфични характеристики.
Свойства на равнобедрен триъгълник
- Ъглите, които са съседни на основата, са равни.
- Височината, която е начертана към основата, също е медиана и ъглополовяща.
- Височините, медианите и ъглополовящите, които са построени към страничните страни на триъгълника, са съответно равни една на друга.
Свойства на равностранен триъгълник
Ако има такава фигура, тогава всички свойства, описани малко по-горе, ще бъдат верни. Защото равностранен винаги ще бъде равнобедрен. Но не и обратното равнобедрен триъгълникне е задължително да е равностранен.
- Всичките му ъгли са равни един на друг и имат стойност 60º.
- Всяка медиана на равностранен триъгълник е неговата надморска височина и ъглополовяща. Освен това всички те са равни помежду си. За да се определят техните стойности, има формула, която се състои от произведението на страната и корен квадратен от 3, делено на 2.
Свойства на правоъгълен триъгълник
- Два остри ъгъла дават сбор от 90º.
- Дължината на хипотенузата винаги е по-голяма от тази на който и да е от катетите.
- Числената стойност на медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на нейната половина.
- Кракът е равен на същата стойност, ако лежи срещу ъгъл от 30º.
- Височината, която се изтегля от върха със стойност 90º, има определена математическа зависимост от краката: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Тук: a, b - крака, n - височина.
Задачи с различни видове триъгълници
номер 1. Даден е равнобедрен триъгълник. Неговият периметър е известен и е равен на 90 cm, за да се намерят страните му. Като допълнително условие: страничната страна е 1,2 пъти по-малка от основата.
Стойността на периметъра директно зависи от количествата, които трябва да бъдат намерени. Сумата от трите страни ще даде 90 см. Сега трябва да запомните знака на триъгълника, според който той е равнобедрен. Тоест двете страни са равни. Можете да създадете уравнение с две неизвестни: 2a + b = 90. Тук a е страната, b е основата.
Сега е време за едно допълнително условие. След него се получава второто уравнение: b = 1.2a. Можете да замените този израз в първия. Оказва се: 2a + 1.2a = 90. След трансформации: 3.2a = 90. Следователно a = 28.125 (cm). Сега е лесно да разберете основата. Това се прави най-добре от второто условие: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
За да проверите, можете да добавите три стойности: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Това е вярно.
Отговор: Страните на триъгълника са 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
номер 2. Страната на равностранен триъгълник е 12 см. Трябва да изчислите височината му.
Решение. За да намерите отговора, достатъчно е да се върнете към момента, в който са описани свойствата на триъгълника. Това е формулата за намиране на височина, медиана и ъглополовяща на равностранен триъгълник.
n = a * √3 / 2, където n е височината, а a е страната.
Заместването и изчислението дават следния резултат: n = 6 √3 (cm).
Няма нужда да запомняте тази формула. Достатъчно е да запомните, че височината разделя триъгълника на два правоъгълника. Освен това се оказва крак, а хипотенузата в него е страната на първоначалния, вторият крак е половината от известната страна. Сега трябва да запишете Питагоровата теорема и да изведете формула за височина.
Отговор: височината е 6 √3 cm.
номер 3. Като се има предвид, че MKR е триъгълник, в който са известни страните MR и KR, трябва да намерим стойността на ъгъл P.
Решение. Ако направите чертеж, става ясно, че MR е хипотенузата. Освен това е два пъти по-голям от страната на KR. Отново трябва да се обърнете към свойствата. Един от тях е свързан с ъглите. От него става ясно, че ъгълът на KMR е 30º. Това означава, че желаният ъгъл P ще бъде равен на 60º. Това следва от друго свойство, което гласи, че сумата от два остри ъгъла трябва да е равна на 90º.
Отговор: ъгъл P е 60º.
номер 4. Трябва да намерим всички ъгли на равнобедрен триъгълник. За него е известно, че външният ъгъл от ъгъла при основата е 110º.
Решение. Тъй като е даден само външният ъгъл, това е, което трябва да използвате. С вътрешния образува разгънат ъгъл. Това означава, че общо те ще дадат 180º. Тоест ъгълът в основата на триъгълника ще бъде равен на 70º. Тъй като е равнобедрен, вторият ъгъл има същата стойност. Остава да изчислим третия ъгъл. Съгласно свойство, общо за всички триъгълници, сумата от ъглите е 180º. Това означава, че третият ще бъде определен като 180º - 70º - 70º = 40º.
Отговор: ъглите са 70º, 70º, 40º.
номер 5. Известно е, че в равнобедрен триъгълник ъгълът срещу основата е 90º. На основата има отбелязана точка. Отсечката, която го свързва с прав ъгъл, го разделя в съотношение 1 към 4. Трябва да намерите всички ъгли на по-малкия триъгълник.
Решение. Един от ъглите може да бъде определен веднага. Тъй като триъгълникът е правоъгълен и равнобедрен, тези, които лежат в основата му, ще бъдат 45º всеки, тоест 90º/2.
Второто от тях ще ви помогне да намерите връзката, известна в условието. Тъй като е равно на 1 към 4, тогава частите, на които е разделено, са само 5. Така че, за да разберете по-малък ъгълтриъгълник се нуждае от 90º/5 = 18º. Остава да разберем третото. За да направите това, трябва да извадите 45º и 18º от 180º (сумата от всички ъгли на триъгълника). Изчисленията са прости и получавате: 117º.
Стандартни обозначения
Триъгълник с върхове А, бИ ° Ссе обозначава като (виж фигурата). Триъгълникът има три страни:
Дължините на страните на триъгълника се обозначават с малки букви с латински букви(a, b, c):
Триъгълникът има следните ъгли:
Стойностите на ъглите в съответните върхове традиционно се обозначават с гръцки букви (α, β, γ).
Признаци за равенство на триъгълници
Триъгълник на евклидовата равнина може да бъде еднозначно определен (до конгруентност) от следните триплети основни елементи:
- a, b, γ (равенство на двете страни и ъгълът между тях);
- a, β, γ (равенство на страната и два съседни ъгъла);
- a, b, c (равенство на три страни).
Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:
- по крака и хипотенузата;
- на два крака;
- по крака и остър ъгъл;
- по хипотенузата и острия ъгъл.
Някои точки в триъгълника са „сдвоени“. Например, има две точки, от които всички страни се виждат или под ъгъл от 60°, или под ъгъл от 120°. Те се наричат Торичели точки. Има и две точки, чиито проекции върху страните лежат във върховете на правилен триъгълник. Това - точки Аполоний. Точки и такива се наричат Точки на Brocard.
Директен
Във всеки триъгълник центърът на тежестта, ортоцентърът и центърът на описаната окръжност лежат на една и съща права линия, т.нар. Линията на Ойлер.
Правата, минаваща през центъра на описаната окръжност и точката на Лемоан, се нарича Ос Brocard. Върху него лежат точките на Аполоний. Точката на Торичели и точката на Лемоан също лежат на една права. Основите на външните ъглополовящи на ъглите на триъгълник лежат на една и съща права, т.нар. ос на външни ъглополовящи. Пресечните точки на правите, съдържащи страните на ортотриъгълник с правите, съдържащи страните на триъгълника, също лежат на една и съща права. Тази линия се нарича ортоцентрична ос, тя е перпендикулярна на правата на Ойлер.
Ако вземем точка върху описаната окръжност на триъгълник, тогава нейните проекции върху страните на триъгълника ще лежат на една и съща права линия, т.нар. Симсън е правтази точка. Линиите на Симсън от диаметрално противоположни точки са перпендикулярни.
Триъгълници
- Триъгълник с върхове в основите, прекаран през дадена точка, се нарича севиан триъгълниктази точка.
- Триъгълник с върхове в проекциите на дадена точка върху страните се нарича копкаили триъгълник на педалатази точка.
- Триъгълник с върхове във вторите точки на пресичане на прави, прекарани през върховете и дадена точка с описаната окръжност, се нарича обиколен триъгълник. Окръжният триъгълник е подобен на триъгълника с копка.
Кръгове
- Вписан кръг- кръг, докосващ трите страни на триъгълника. Тя е единствената. Центърът на вписаната окръжност се нарича инцентър.
- Околна окръжност- окръжност, минаваща през трите върха на триъгълник. Описаната окръжност също е уникална.
- Excircle- кръг, докосващ едната страна на триъгълника и продължението на другите две страни. В един триъгълник има три такива кръга. Техният радикален център е центърът на вписаната окръжност на медиалния триъгълник, т.нар Точката на Спайкър.
Средите на трите страни на триъгълник, основите на трите му височини и средите на трите отсечки, свързващи върховете му с ортоцентъра, лежат на една окръжност, наречена кръг от девет точкиили кръг на Ойлер. Центърът на окръжността с девет точки лежи върху правата на Ойлер. Окръжност от девет точки се допира до вписана окръжност и три вписани окръжности. Точката на допир между вписаната окръжност и окръжността от девет точки се нарича Точка на Фойербах. Ако от всеки връх положим навън от триъгълника прави линии, съдържащи страните, ортези, равни по дължина на противоположните страни, тогава получените шест точки лежат на една и съща окръжност - Кръг на Конуей. Три окръжности могат да бъдат вписани във всеки триъгълник по такъв начин, че всяка от тях да докосва две страни на триъгълника и две други окръжности. Такива кръгове се наричат Кръгове на Малфати. Центровете на описаните окръжности на шестте триъгълника, на които триъгълникът е разделен от медиани, лежат на една окръжност, която се нарича обиколка на Ламун.
Триъгълникът има три кръга, които докосват двете страни на триъгълника и описаната окръжност. Такива кръгове се наричат полувписаниили Вериерски кръгове. Отсечките, свързващи точките на допиране на окръжностите на Верие с описаната окръжност, се пресичат в една точка, т.нар. Точката на Верие. Той служи като център на хомотетия, която трансформира описаната окръжност във вписана окръжност. Допирните точки на окръжностите на Верие със страните лежат на права линия, която минава през центъра на вписаната окръжност.
Отсечките, свързващи точките на допиране на вписаната окръжност с върховете, се пресичат в една точка, т.нар. Точка Gergonne, а сегментите, свързващи върховете с точките на допиране на вписаните окръжности, са вътре Точка Нагел.
Елипси, параболи и хиперболи
Вписана коника (елипса) и нейният перспектор
Безкраен брой коники (елипси, параболи или хиперболи) могат да бъдат вписани в триъгълник. Ако впишем произволна коника в триъгълник и свържем допирателните точки с противоположни върхове, то получените прави ще се пресичат в една точка, т.нар. перспективакойки. За всяка точка от равнината, която не лежи на страна или на нейното продължение, в тази точка има вписана коника с перспектор.
Описаната елипса на Щайнер и цевианите, преминаващи през нейните фокуси
Можете да впишете елипса в триъгълник, който докосва страните си в средата. Такава елипса се нарича вписана елипса на Щайнер(неговата перспектива ще бъде центърът на триъгълника). Описаната елипса, която допира правите, минаващи през върховете, успоредни на страните, се нарича описана от елипса на Щайнер. Ако трансформираме триъгълник в правилен триъгълник с помощта на афинна трансформация („изкривяване“), тогава неговата вписана и описана елипса на Щайнер ще се трансформира във вписана и описана окръжност. Линиите на Чевиан, прекарани през фокусите на описаната елипса на Щайнер (точки на Скутин), са равни (теорема на Скутин). От всички описани елипси, описаната елипса на Щайнер има най-малка площ, а от всички вписани най-голяма площ има вписаната елипса на Щайнер.
Елипса на Брокар и нейният перспективор - точка на Льомоан
Нарича се елипса с фокуси в точките на Brocard Елипса на Брокард. Неговата перспектива е точката на Льомоан.
Свойства на вписана парабола
Парабола на Киперт
Перспективите на вписаните параболи лежат върху описаната елипса на Щайнер. Фокусът на вписана парабола лежи върху описаната окръжност, а директрисата минава през ортоцентъра. Парабола, вписана в триъгълник и чиято директриса е директриса на Ойлер, се нарича Парабола на Киперт. Нейният перспектор е четвъртата пресечна точка на описаната окръжност и описаната елипса на Щайнер, т.нар. точка на Щайнер.
Хипербола на Киперт
Ако описаната хипербола минава през точката на пресичане на височините, тогава тя е равностранна (т.е. нейните асимптоти са перпендикулярни). Пресечната точка на асимптотите на равностранна хипербола лежи върху кръга от девет точки.
Трансформации
Ако линиите, минаващи през върховете и някаква точка, която не лежи отстрани, и техните продължения се отразяват спрямо съответните ъглополовящи, тогава техните образи също ще се пресичат в една точка, която се нарича изогонално спрегнатиоригиналната (ако точката лежи върху описаната окръжност, тогава получените линии ще бъдат успоредни). Много двойки забележителни точки са изогонално спрегнати: центърът на описаната окръжност и ортоцентърът, центроидът и точката на Лемоан, точките на Брокар. Точките на Аполоний са изогонално спрегнати на точките на Торичели, а центърът на вписаната окръжност е изогонално спрегнат на себе си. Под действието на изогоналното спрежение правите линии се трансформират в описани коники, а описаните коники - в прави. Така хиперболата на Киперт и оста на Брокар, хиперболата на Йензабек и правата на Ойлер, хиперболата на Фойербах и линията на центровете на вписаната и описаната окръжност са изогонално спрегнати. Описаните окръжности на триъгълниците на изогонално спрегнати точки съвпадат. Фокусите на вписаните елипси са изогонално спрегнати.
Ако вместо симетричен севиан вземем севиан, чиято основа е толкова отдалечена от средата на страната, колкото основата на оригиналния, тогава такива севиани също ще се пресичат в една точка. Получената трансформация се нарича изотомно конюгиране. Той също така преобразува правите линии в описани коники. Точките Gergonne и Nagel са изотомично спрегнати. При афинни трансформации изотомно спрегнатите точки се трансформират в изотомно спрегнати точки. При изотомно конюгиране описаната елипса на Щайнер ще премине в безкрайно отдалечената права линия.
Ако в сегментите, отрязани от страните на триъгълника от описаната окръжност, вписваме кръгове, докосващи страните в основите на цевианите, изтеглени през определена точка, и след това свързваме допирателните точки на тези окръжности с описаната окръжност с противоположни върхове, тогава такива прави линии ще се пресичат в една точка. Извиква се трансформация на равнина, която съпоставя оригиналната точка с получената изокръгова трансформация. Композицията на изогонални и изотомични конюгати е композиция на изокръгова трансформация със себе си. Тази композиция е проективна трансформация, която оставя страните на триъгълника на място и трансформира оста на външните ъглополовящи в права линия в безкрайност.
Ако продължим страните на триъгълник на Чевиан от определена точка и вземем техните пресечни точки със съответните страни, тогава получените пресечни точки ще лежат на една права линия, т.нар. трилинейна полярнаначална точка. Ортоцентричната ос е трилинейната полярна на ортоцентъра; трилинейната поляра на центъра на вписаната окръжност е оста на външните ъглополовящи. Трилинейни поляри на точки, лежащи върху описана коника, се пресичат в една точка (за описана окръжност това е точката на Лемоан, за описана елипса на Щайнер това е центроидът). Композицията на изогонален (или изотомичен) конюгат и трилинейна полярна е двойствена трансформация (ако точка, изогонално (изотомично) конюгирана към точка, лежи върху трилинейната полярна на точка, тогава трилинейната полярна на точка изогонално (изотомно) спрегнат на точка лежи на трилинейната полярна на точка).
Кубчета
Съотношения в триъгълник
Забележка:в този раздел, , са дължините на трите страни на триъгълника, и , са ъглите, разположени съответно срещу тези три страни (противоположни ъгли).
Неравенство на триъгълник
В неизроден триъгълник сборът от дължините на двете му страни е по-голям от дължината на третата страна, в изроден триъгълник е равен. С други думи, дължините на страните на триъгълник са свързани със следните неравенства:
Неравенството на триъгълника е една от аксиомите на метриката.
Теорема за сумата на триъгълния ъгъл
Теорема за синусите
,където R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника. От теоремата следва, че ако a< b < c, то α < β < γ.
Косинусова теорема
Теорема за допирателната
Други съотношения
Дадени са метрични съотношения в триъгълник за:
Решаване на триъгълници
Изчисляването на неизвестните страни и ъгли на триъгълник въз основа на известните исторически се е наричало „решаване на триъгълници“. Използват се горните общи тригонометрични теореми.
Площ на триъгълник
Специални случаи НотацияЗа площта са валидни следните неравенства:
Изчисляване на площта на триъгълник в пространството с помощта на вектори
Нека върховете на триъгълника са в точки , , .
Нека представим вектора на площта. Дължината на този вектор е равна на площта на триъгълника и е насочена нормално към равнината на триъгълника:
Нека зададем , където , , са проекциите на триъгълника върху координатните равнини. При което
и подобно
Площта на триъгълника е.
Алтернатива е да се изчислят дължините на страните (като се използва Питагоровата теорема) и след това да се използва формулата на Heron.
Теореми за триъгълника
Теорема на Дезарг: ако два триъгълника са перспективни (правите, минаващи през съответните върхове на триъгълниците, се пресичат в една точка), тогава съответните им страни се пресичат на една и съща права.
Теорема на Сонда: ако два триъгълника са перспективни и ортологични (перпендикуляри, изтеглени от върховете на един триъгълник към страните, противоположни на съответните върхове на триъгълника, и обратно), тогава и двата центъра на ортологията (точките на пресичане на тези перпендикуляри) и центърът на перспектива лежат на една и съща права линия, перпендикулярна на оста на перспективата (права линия от теоремата на Дезарг).
Триъгълник - определение и общи понятия
Триъгълникът е прост многоъгълник, състоящ се от три страни и имащ еднакъв брой ъгли. Неговите равнини са ограничени от 3 точки и 3 сегмента, свързващи тези точки по двойки.
Всички върхове на всеки триъгълник, независимо от вида му, са обозначени с главни латински букви, а страните му са изобразени със съответните обозначения на противоположни върхове, само не с главни букви, а с малки. Така, например, триъгълник с върхове, обозначени с A, B и C, има страни a, b, c.
Ако разгледаме триъгълник в евклидовото пространство, тогава това е геометрична фигура, която се формира от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една и съща права линия.
Погледнете внимателно снимката, показана по-горе. На него точките A, B и C са върховете на този триъгълник, а отсечките му се наричат страни на триъгълника. Всеки връх на този многоъгълник образува ъгли вътре в него.
Видове триъгълници
Според размера на ъглите на триъгълниците те се разделят на такива разновидности като: Правоъгълни;
Остър ъгъл;
Тъп.
Правоъгълните триъгълници включват тези, които имат един прав ъгъл, а другите два имат остри ъгли.
Остроъгълни триъгълници са тези, при които всичките му ъгли са остри.
И ако триъгълникът има един тъп ъгъл и другите два остри ъгъла, тогава такъв триъгълник се класифицира като тъп.
Всеки от вас прекрасно разбира, че не всички триъгълници имат равни страни. А според дължината на страните триъгълниците могат да се разделят на:
равнобедрен;
равностранен;
Разнообразен.
Задача: Нарисувайте различни видоветриъгълници. Дефинирайте ги. Каква разлика виждате между тях?
Основни свойства на триъгълниците
Въпреки че тези прости многоъгълници могат да се различават един от друг по размера на техните ъгли или страни, всеки триъгълник има основните свойства, които са характерни за тази фигура.
Във всеки триъгълник:
Общият сбор от всички негови ъгли е 180º.
Ако принадлежи на равностранни, тогава всеки от ъглите му е 60º.
Равностранен триъгълник има равни и равни ъгли.
Колкото по-малка е страната на многоъгълника, толкова по-малък е ъгълът срещу него и обратно, по-големият ъгъл е срещу по-голямата страна.
Ако страните са равни, то срещу тях има равни ъгли и обратно.
Ако вземем триъгълник и разширим страната му, ще получим външен ъгъл. Тя е равна на сбора от вътрешните ъгли.
Във всеки триъгълник неговата страна, независимо коя ще изберете, ще бъде по-малка от сбора на другите 2 страни, но по-голяма от тяхната разлика:
1. а< b + c, a >b–c;
2.б< a + c, b >a–c;
3.в< a + b, c >а–б.
Упражнение
Таблицата показва вече познатите два ъгъла на триъгълника. Като знаете общата сума на всички ъгли, намерете на колко е равен третият ъгъл на триъгълника и го въведете в таблицата:
1. Колко градуса има третият ъгъл?
2. Към кой вид триъгълник принадлежи?
Тестове за еквивалентност на триъгълници
подписвам
II знак
III знак
Височина, ъглополовяща и медиана на триъгълник
Надморска височина на триъгълник - перпендикулярът, прекаран от върха на фигурата към противоположната му страна, се нарича надморска височина на триъгълника. Всички височини на триъгълник се пресичат в една точка. Пресечната точка на всичките 3 височини на триъгълника е неговият ортоцентър.
Отсечка, изтеглена от даден връх и свързваща го в средата обратната страна, е медианата. Медианите, както и височините на триъгълник, имат една обща пресечна точка, така нареченият център на тежестта на триъгълника или центроид.
Симетралата на триъгълник е сегмент, свързващ върха на ъгъл и точка от противоположната страна, а също така разделя този ъгъл наполовина. Всички ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича център на окръжността, вписана в триъгълника.
Отсечката, която свързва средните точки на 2 страни на триъгълник, се нарича средна линия.
Историческа справка
Фигура като триъгълник е била известна още в древността. Тази фигура и нейните свойства са споменати в египетски папируси преди четири хиляди години. Малко по-късно, благодарение на теоремата на Питагор и формулата на Херон, изучаването на свойствата на триъгълника се премести в повече високо ниво, но все пак това се е случило преди повече от две хиляди години.
През XV – 16-ти векТе започнаха да провеждат много изследвания върху свойствата на триъгълника и в резултат на това се появи такава наука като планиметрия, която беше наречена „Нова геометрия на триъгълника“.
Руският учен Н. И. Лобачевски направи огромен принос в познаването на свойствата на триъгълниците. По-късно трудовете му намират приложение в математиката, физиката и кибернетиката.
Благодарение на познаването на свойствата на триъгълниците възниква такава наука като тригонометрията. Оказа се, че е необходимо на човек в неговите практически нужди, тъй като използването му е просто необходимо при изготвяне на карти, измерване на площи и дори при проектиране на различни механизми.
Кой е най-известният триъгълник, който познавате? Това разбира се е Бермудският триъгълник! Получава това име през 50-те години поради географското местоположение на точките (върховете на триъгълника), в които според съществуващата теория са възникнали аномалии, свързани с него. Върховете на Бермудския триъгълник са Бермудите, Флорида и Пуерто Рико.
Задача: Какви теории за Бермудски триъгълникчу ли?
Знаете ли, че в теорията на Лобачевски, когато се събират ъглите на триъгълник, тяхната сума винаги има резултат по-малък от 180º. В геометрията на Риман сумата от всички ъгли на триъгълник е по-голяма от 180º, а в трудовете на Евклид е равна на 180 градуса.
Домашна работа
Решете кръстословица на зададена тема
Въпроси към кръстословицата:
1. Как се нарича перпендикулярът, който се тегли от върха на триъгълника към правата линия, разположена на срещуположната страна?
2. Как с една дума можете да наречете сумата от дължините на страните на триъгълник?
3. Назовете триъгълник, чиито две страни са равни?
4. Назовете триъгълник, който има ъгъл равен на 90°?
5. Как се нарича най-голямата страна на триъгълника?
6. Как се нарича страната на равнобедрен триъгълник?
7. Винаги има три от тях във всеки триъгълник.
8. Как се нарича триъгълник, в който един от ъглите е по-голям от 90°?
9. Името на сегмента, свързващ върха на нашата фигура със средата на противоположната страна?
10. В прост многоъгълник ABC главната буква A е...?
11. Как се нарича отсечката, разделяща ъгъла на триъгълник наполовина?
Въпроси по темата за триъгълниците:
1. Дефинирайте го.
2. Колко височини има?
3. Колко ъглополовящи има един триъгълник?
4. Какъв е неговият сбор от ъгли?
5. Какви видове на този прост многоъгълник познавате?
6. Назовете точките на триъгълниците, които се наричат забележителни.
7. С какъв уред можете да измерите ъгъла?
8. Ако стрелките на часовника показват 21 часа. Какъв ъгъл образуват часовите стрелки?
9. Под какъв ъгъл се обръща човек, ако му бъде дадена команда „наляво“, „кръг“?
10. Какви други дефиниции знаете, свързани с фигура, която има три ъгъла и три страни?
Когато изучават математика, учениците започват да се запознават с различни видове геометрични форми. Днес ще говорим за различни видоветриъгълници.
Определение
Геометричните фигури, които се състоят от три точки, които не са на една права, се наричат триъгълници.
Отсечките, свързващи точките, се наричат страни, а точките се наричат върхове. Върховете се обозначават с главни букви, например: A, B, C.
Страните се обозначават с имената на двете точки, от които се състоят - AB, BC, AC. Пресичайки се, страните образуват ъгли. Долната страна се счита за основа на фигурата.
Ориз. 1. Триъгълник ABC.
Видове триъгълници
Триъгълниците се класифицират по ъгли и страни. Всеки тип триъгълник има свои собствени свойства.
Има три вида триъгълници в ъглите:
- остроъгълен;
- правоъгълен;
- тъпоъгълен.
Всички ъгли остроъгълентриъгълниците са остри, т.е. градусната мярка на всеки е не повече от 90 0.
Правоъгълнатриъгълник съдържа прав ъгъл. Другите два ъгъла винаги ще бъдат остри, тъй като в противен случай сумата от ъглите на триъгълника ще надвишава 180 градуса, а това е невъзможно. Страната, която е противоположна прав ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите два катета. Хипотенузата винаги е по-голяма от катета.
Тъптриъгълникът съдържа тъп ъгъл. Тоест ъгъл, по-голям от 90 градуса. Другите два ъгъла в такъв триъгълник ще бъдат остри.
Ориз. 2. Видове триъгълници по ъглите.
Питагоровият триъгълник е правоъгълник, чиито страни са 3, 4, 5.
Освен това по-голямата страна е хипотенузата.
Такива триъгълници често се използват за изработка прости задачив геометрията. Ето защо, запомнете: ако две страни на триъгълник са равни на 3, тогава третата определено ще бъде 5. Това ще опрости изчисленията.
Видове триъгълници отстрани:
- равностранен;
- равнобедрен;
- универсален.
РавностраненТриъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. Всички ъгли на такъв триъгълник са равни на 60 0, т.е. той винаги е остър.
Равнобедрентриъгълник - триъгълник, в който само две страни са равни. Тези страни се наричат странични, а третата се нарича основа. Освен това ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни и винаги остри.
Разнообразенили произволен триъгълник е триъгълник, в който всички дължини и всички ъгли не са равни помежду си.
Ако задачата не съдържа никакви пояснения относно фигурата, тогава е общоприето, че говорим за произволен триъгълник.
Ориз. 3. Видове триъгълници по страните.
Сборът от всички ъгли на триъгълник, независимо от вида му, е 1800.
Срещу по-големия ъгъл е по-голямата страна. Освен това дължината на която и да е страна винаги е по-малка от сумата на другите две страни. Тези свойства се потвърждават от теоремата за неравенството на триъгълника.
Има концепция за златния триъгълник. Това е равнобедрен триъгълник, в който двете страни са пропорционални на основата и равни на определено число. В такава фигура ъглите са пропорционални в съотношение 2:2:1.
Задача:
Има ли триъгълник, чиито страни са 6 см, 3 см, 4 см?
Решение:
За да решите тази задача, трябва да използвате неравенството a
Какво научихме?
от от този материалОт курса по математика за 5-ти клас научихме, че триъгълниците се класифицират според техните страни и големината на техните ъгли. Триъгълниците имат определени свойства, които могат да се използват за решаване на проблеми.