Вектори и операции върху вектори. Вектори за манекени

Най-накрая се докопах до една обширна и дългоочаквана тема аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност сега си спомнихте училищния курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да се крие, недолюбвана и често неясна тема за значителна част от учениците. Аналитичната геометрия, колкото и да е странно, може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното "аналитичен"? Веднага се сещат за два щамповани математически оборота: „графичен метод на решение“ и „аналитичен метод на решение“. Графичен метод, разбира се, се свързва с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченедин и същ методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични операции. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно точно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без чертежи, освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги доведа над необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически задачи. Ще включа в лекциите си само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна справка за който и да е подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, което без шега е познато на няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, авторите - L.S. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече издържа 20 (!) преиздания, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома. Авторите L.S. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за висше образование, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи може да изпаднат от полезрението ми и урокът ще ми бъде от неоценима помощ.

И двете книги са безплатни за изтегляне онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментите отново предлагам моя собствена разработка - софтуерен пакетвърху аналитична геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, успоредник, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте повторители)

И сега ще разгледаме последователно: концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати. Освен това препоръчвам да прочетете най-важната статия Точково произведение на вектори, както и Вектор и смесен продукт на вектори. Локалната задача няма да е излишна - Разделяне на сегмента в това отношение. Въз основа на горната информация можете уравнение на права линия в равнинаот най-простите примери за решения, което ще позволи научете как да решавате задачи по геометрия. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи на правата и равнината , други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Концепцията за вектор. свободен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция за вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на отсечката е точката, краят на отсечката е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката в другия край на сегмента, ще получите вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се отъждествява концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да признаете, че влизането през вратите на институт или излизането от вратите на институт са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки от равнина, пространството като т.нар нулев вектор. Такъв вектор има един и същ край и начало.

!!! Забележка: Тук и по-долу можете да приемете, че векторите лежат в една и съща равнина или можете да предположите, че са разположени в пространството - същността на представения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага обърнаха внимание на пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че поставят и стрелка отгоре! Точно така, можете да пишете със стрелка: , но допустимо и запис, който ще използвам по-късно. Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, моите стрелци в училище и университета се оказаха твърде разнообразни и рошави. В образователната литература понякога изобщо не се занимават с клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилът, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и т.н. Докато първата буква задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се пишат с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преозначен за краткост с малка латиница.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на отсечката. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака по модул: ,

Как да намерим дължината на вектор, ще научим (или повторим, за кого как) малко по-късно.

Това беше елементарна информация за вектора, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар свободен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде начертан от всяка точка:

Ние наричахме такива вектори равни (дефиницията за равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка това е СЪЩИЯ ВЕКТОР или свободен вектор. Защо безплатно? Тъй като в хода на решаването на задачи можете да „прикачите” един или друг „училищен” вектор към ВСЯКА КОЯТА И ДА Е точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка от пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има такава студентска поговорка: Всеки лектор във f ** u във вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се прикачи и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по-често =)

Така, свободен вектор- това Много идентични насочени сегменти. Училищното определение на вектор, дадено в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор ...“, предполага специфичнинасочен сегмент, взет от дадено множество, който е прикрепен към определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и точката на приложение има значение. Наистина, директен удар със същата сила по носа или по челото е достатъчен, за да развия глупавия ми пример, води до различни последствия. Въпреки това, не е безплатновектори се намират и в хода на vyshmat (не ходете там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на векторите

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правилото за разликата на векторите, умножение на вектор по число, скаларното произведение на векторите и др.Като семе, ние повтаряме две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правило за събиране на вектори според правилото на триъгълниците

Помислете за два произволни ненулеви вектора и :

Необходимо е да се намери сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ние отлагаме вектора от крайвектор:

Сборът от вектори е векторът . За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да се вложи физически смисъл в него: нека някое тяло направи път по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от векторите е векторът на получения път, започващ в точката на тръгване и завършващ в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по пътя си силно зигзагообразно, или може би на автопилот - по получения вектор на сумата.

Между другото, ако векторът се отложи от започнетевектор , тогава получаваме еквивалента правило на паралелограмадобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарнаако лежат на една и съща права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но във връзка с тях винаги се използва прилагателното "колинеарно".

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съпосочен. Ако стрелките гледат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположно насочени.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайната икона на паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са съвместно насочени) или (векторите са насочени противоположно).

работана ненулев вектор от число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са съвместно насочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножение на вектор по число е по-лесно за разбиране с картина:

Разбираме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. Така че дължината на вектора е два пъти по-малка от дължината на вектора. Ако модулният множител е по-голям от единица, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид това всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са съпосочени. Векторите и също са съпосочени. Всеки вектор от първата група е противоположен на всеки вектор от втората група.

Какви вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са съпосочени и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че ко-насочеността предполага, че векторите са колинеарни. Дефиницията ще бъде неточна (излишна), ако кажете: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, съвместно насочени и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и в пространството

Първата точка е да разгледаме вектори в равнина. Начертайте декартова правоъгълна координатна система и я отделете от началото единиченвектори и :

Вектори и ортогонална. Ортогонална = перпендикулярна. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност, използваме съответно думите колинеарностИ ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния перпендикулярен знак, например: .

Разгледаните вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори се образуват основана повърхността. Какво е основата, мисля, че е интуитивно ясно за много, по-подробна информация може да се намери в статията Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа.С прости думи основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога конструираната основа се нарича ортонормалнооснова на равнината: "орто" - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното "нормализиран" означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се пише в скоби, вътре в които в строг редосновни вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено еразменете местата.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, където - числа, които се наричат векторни координатина тази основа. Но самият израз Наречен векторно разлаганеоснова .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при декомпозиране на вектора по отношение на основата се използват току-що разгледаните:
1) правилото за умножение на вектор по число: и ;
2) събиране на вектори според правилото на триъгълника: .

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че корупцията му „ще го следва безмилостно“. Ето я, свободата на вектора – векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Смешно е, че самите базисни (безплатни) вектори не трябва да се отделят от началото, единият може да се начертае например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е нужно да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви нарисува „пропуск“ на неочаквано място.

Вектори, илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съвместно насочен с основния вектор, векторът е насочен обратно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, тя може да бъде внимателно написана, както следва:

А основните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не ви казах за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. И така, разширенията на векторите "de" и "e" се записват спокойно като сума: . Следвайте чертежа, за да видите колко добре работи старото добро събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Обмислено разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата орт(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват, както следва: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите опции за запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: векторните координати не могат да бъдат пренаредени. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор. Всъщност и са два различни вектора.

Разбрахме координатите на самолета. Сега помислете за вектори в триизмерно пространство, тук всичко е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се изпълняват триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от произхода:

Всякакви 3D космически вектор единствения начинразширяване в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадената основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила за действие тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва в началната точка на тръгване (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са безплатни, опитайте се да отложите мислено вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разширяване „остава с него“.

Подобно на корпуса на самолета, в допълнение към писането широко се използват версии със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, вместо това се поставят нули. Примери:
вектор (внимателно ) - записвам ;
вектор (внимателно) - записвам;
вектор (внимателно ) - записвам .

Основните вектори се записват, както следва:

Тук, може би, са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на задачи на аналитичната геометрия. Може би има твърде много термини и дефиниции, така че препоръчвам манекените да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател от време на време да се позовава на основния урок за по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторна декомпозиция - тези и други понятия ще бъдат често използвани в това, което следва. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като внимателно криптирам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на субекта. За подробна теоретична информация ви моля да се поклоните на професор Атанасян.

Сега да преминем към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Задачите, които ще бъдат разгледани, е много желателно да се научите как да ги решавате напълно автоматично, а формулите запомни, дори не го помнете нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пионки. Не е нужно да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Представянето на материала ще върви в паралелен ход - както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули ... ще видите сами.

Как да намерим вектор с две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и, тогава векторът има следните координати:

т.е. от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати векторно начало.

Задачата:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Като се има предвид две точки в равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следната нотация:

Естетите ще решат така:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Според условието не се изискваше да се изгради чертеж (което е типично за задачи на аналитичната геометрия), но за да обясня някои точки на манекените, няма да бъда твърде мързелив:

Трябва да се разбере разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точкиса обичайните координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да начертава точки в координатната равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго място в равнината и те не могат да бъдат преместени никъде.

Координатите на същия векторе неговото разширяване по отношение на основата , в този случай . Всеки вектор е свободен, следователно, ако желаем или е необходимо, можем лесно да го отложим от друга точка в равнината. Интересното е, че за вектори изобщо не можете да изграждате оси, правоъгълна координатна система, имате нужда само от база, в този случай, ортонормирана основа на равнината.

Записите на координатите на точките и векторните координати изглеждат подобни: , и усещане за координатиабсолютно различно, и трябва да сте наясно с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, пълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би достатъчно. Това са примери за самостоятелно решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Чертежи не се изискват. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи от аналитичната геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Предварително се извинявам ако съм допуснал грешка =)

Как да намерим дължината на отсечката?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и, тогава дължината на отсечката може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и, тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя рисунка

Раздел - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 см (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да бъде проверен с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но има няколко важни момента в него, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. Условието не казва КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим училищния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важен технически трик – изваждането на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждането на множителя изпод корена (ако е възможно). Процесът изглежда така по-подробно: . Разбира се, оставянето на отговора във формата няма да е грешка - но определено е недостатък и тежък аргумент за придирки от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често под корена се получава например достатъчно голям брой. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете се напълно, така: . Или може би числото може да се раздели отново на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Изход:ако под корена получим цяло число, което не може да бъде извлечено, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се намират корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележка на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и други степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да се намерят в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение със сегмент в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Единичен вектор- това вектор, чиято абсолютна стойност (модул) е равна на единица. За да обозначим единичен вектор, ще използваме индекса e. Така че, ако е даден вектор но, тогава неговият единичен вектор ще бъде векторът нод. Този единичен вектор сочи в същата посока като самия вектор но, и неговият модул е равен на единица, тоест a e \u003d 1.

очевидно, но= а нод (а - векторен модул но). Това следва от правилото, по което се извършва операцията за умножение на скалар по вектор.

Единични векторичесто се свързва с координатните оси на координатната система (по-специално с осите на декартовата координатна система). Насоки на тези векторисъвпадат с посоките на съответните оси и техният произход често се комбинира с началото на координатната система.

Нека ви напомня това Декартова координатна системав пространството традиционно се нарича тройка от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в точка, наречена начало. Координатните оси обикновено се означават с буквите X, Y, Z и се наричат съответно ос на абсцисите, ос на ордината и ос на приложение. Самият Декарт използва само една ос, върху която са нанесени абсцисите. достойнство за използване системибрадви принадлежи на неговите ученици. Следователно фразата Декартова координатна системаисторически погрешно. По-добре говори правоъгълна координатна системаили ортогонална координатна система. Въпреки това няма да променяме традициите и в бъдеще ще приемем, че декартовата и правоъгълната (ортогонална) координатни системи са едно и също.

Единичен вектор, насочена по оста X, се обозначава и, единичен вектор, насочена по оста Y, се обозначава j, но единичен вектор, насочена по оста Z, се обозначава к. вектори и, j, кНаречен orts(фиг. 12, вляво), имат единични модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.

оси и orts правоъгълна координатна системав някои случаи имат други имена и обозначения. И така, абсцисната ос X може да се нарече допирателна ос, а нейният единичен вектор се обозначава τ (Гръцка малка буква тау), оста y е нормалната ос, нейният единичен вектор е обозначен н, приложимата ос е оста на бинормалното, нейният единичен вектор е обозначен б. Защо да сменяме имената, ако същността остава същата?

Факт е, че например в механиката, когато се изучава движението на телата, много често се използва правоъгълна координатна система. Така че, ако самата координатна система е неподвижна и промяната в координатите на движещ се обект се проследява в тази неподвижна система, тогава обикновено осите означават X, Y, Z и техните ortsсъответно и, j, к.

Но често, когато обектът се движи по някаква криволинейна траектория (например по окръжност), е по-удобно да се разгледат механичните процеси в координатна система, движеща се с този обект. Именно за такава подвижна координатна система се използват други имена на осите и техните единични вектори. Просто е прието. В този случай оста X е насочена тангенциално към траекторията в точката, където този обект се намира в момента. И тогава тази ос вече не се нарича ос X, а допирателна ос и нейният единичен вектор вече не се обозначава и, но τ . Оста Y е насочена по радиуса на кривината на траекторията (в случай на движение в кръг - към центъра на окръжността). И тъй като радиусът е перпендикулярен на допирателната, оста се нарича ос на нормата (перпендикуляра и нормала са едно и също нещо). Ортът на тази ос вече не се обозначава j, но н. Третата ос (предишната Z) е перпендикулярна на двете предишни. Това е бинормално с вектор б(Фиг. 12, вдясно). Между другото, в този случай правоъгълна координатна системачесто наричан "естествен" или естествен.

Вектор в геометрията е насочен сегмент или подредена двойка точки в евклидовото пространство. Ортом векторе единичният вектор на нормирано векторно пространство или вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица.

Ще имаш нужда

Знания по геометрия.

Инструкция

Първо трябва да изчислите дължината вектор. Както знаете, дължината (модул) векторе равно на корен квадратен от сбора от квадратите на координатите. Нека е даден вектор с координати: a(3, 4). Тогава дължината му е |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.

За да намерите орт вектор a, е необходимо да се раздели всеки от него на неговата дължина. Резултатът ще бъде вектор, който се нарича орт или единичен вектор. За вектор a(3, 4) ort ще бъде векторът a(3/5, 4/5). Вектор a` ще бъде единичен за векторно.

За да проверите дали орта е намерена правилно, можете да направите следното: намерете дължината на получения орт, ако е равна на единица, тогава всичко е намерено правилно, ако не, тогава в изчисленията се е промъкнала грешка. Нека проверим дали ort a` е намерен правилно. Дължина вектор a` е равно на: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. И така, дължината вектор a` е равно на единица, така че единичният вектор е намерен правилно.

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Векторна концепция

Преди да научите всичко за векторите и операциите върху тях, настройте се за решаване на прост проблем. Има вектор на вашето предприятие и вектор на вашите иновативни способности. Векторът на предприемачеството ви води към Цел 1, а векторът на иновативните способности – към Цел 2. Правилата на играта са такива, че не можете да се движите в посоките на тези два вектора едновременно и да постигнете две цели наведнъж. Векторите взаимодействат или, казано математически, се извършва някаква операция върху вектори. Резултатът от тази операция е векторът "Резултат", който ви отвежда до цел 3.

Сега ми кажете: резултатът от коя операция върху векторите "Предприятие" и "Иновативни способности" е векторът "Резултат"? Ако не можете да кажете веднага, не се обезкуражавайте. Докато изучавате този урок, ще можете да отговорите на този въпрос.

Както видяхме по-горе, векторът задължително идва от някаква точка Апо права линия до някаква точка Б. Следователно всеки вектор има не само числова стойност - дължина, но и физическа и геометрична - посока. От това се получава първото, най-просто определение на вектор. И така, векторът е насочен сегмент, минаващ от точка Акъм основния въпрос Б. Той е маркиран така:

И да започна различно векторни операции , трябва да се запознаем с още една дефиниция на вектор.

Векторът е вид представяне на точка, която трябва да бъде достигната от някаква начална точка. Например, триизмерен вектор обикновено се записва като (x, y, z) . Просто казано, тези числа представляват колко далеч трябва да отидете в три различни посоки, за да стигнете до точката.

Нека е даден вектор. При което х = 3 (дясната ръка сочи надясно) г = 1 (лявата ръка сочи напред) z = 5 (под точката има стълба, водеща нагоре). От тези данни ще намерите точката, като извървите 3 метра в посоката, посочена от дясната ръка, след това 1 метър в посоката, посочена от лявата ръка, и след това ви очаква стълба и, изкачвайки се 5 метра, най-накрая ще намерите себе си в крайната точка.

Всички останали термини са уточнения на представеното по-горе обяснение, необходими за различни операции върху вектори, тоест за решаване на практически задачи. Нека да преминем през тези по-строги дефиниции, спирайки се върху типичните векторни проблеми.

Физически примеривекторните величини могат да бъдат преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея.

геометричен векторпредставени в двуизмерно и триизмерно пространство във формата насочен сегмент. Това е сегмент, който има начало и край.

Ако Ае началото на вектора и Бе неговият край, тогава векторът се обозначава със символа или една малка буква . На фигурата краят на вектора е обозначен със стрелка (фиг. 1)

Дължина(или модул) на геометричен вектор е дължината на сегмента, който го генерира

Двата вектора се наричат равни , ако могат да се комбинират (когато посоките съвпадат) чрез паралелен превод, т.е. ако са успоредни, сочат в една и съща посока и имат еднакви дължини.

Във физиката често се разглежда закрепени вектори, дадено от точката на приложение, дължината и посоката. Ако точката на приложение на вектора няма значение, тогава той може да бъде прехвърлен, като се запази дължината и посоката към всяка точка от пространството. В този случай векторът се нарича Безплатно. Съгласни сме да разгледаме само свободни вектори.

Линейни операции върху геометрични вектори

Умножете вектор по число

Векторен продукт на бройВектор се нарича вектор, получен от вектор чрез разтягане (при ) или свиване (в ) пъти, като посоката на вектора се запазва, ако , и се обръща, ако . (фиг. 2)

От определението следва, че векторите и = винаги са разположени на една или успоредна права. Такива вектори се наричат колинеарна. (Можете също да кажете, че тези вектори са успоредни, но във векторната алгебра е обичайно да се казва "колинеарно".) Обратното също е вярно: ако векторите и са колинеарни, тогава те са свързани по отношение

Следователно равенството (1) изразява условието за колинеарност на два вектора.

Векторно събиране и изваждане

Когато добавяте вектори, трябва да знаете това сумавектори и се нарича вектор, чието начало съвпада с началото на вектора, а краят съвпада с края на вектора, при условие че началото на вектора е прикрепено към края на вектора. (фиг. 3)

Тази дефиниция може да бъде разпределена върху произволен краен брой вектори. Нека в дадено пространство нсвободни вектори. При добавяне на няколко вектора тяхната сума се приема за затварящ вектор, чието начало съвпада с началото на първия вектор, а краят - с края на последния вектор. Тоест, ако началото на вектора е прикрепено към края на вектора, а началото на вектора към края на вектора и т.н. и накрая, до края на вектора - началото на вектора, тогава сумата от тези вектори е затварящият вектор , чието начало съвпада с началото на първия вектор и чийто край съвпада с края на последния вектор . (фиг. 4)

Термините се наричат компоненти на вектора, а формулираното правило е правило за многоъгълници. Този многоъгълник може да не е плосък.

Когато вектор се умножи по числото -1, се получава противоположният вектор. Векторите и имат еднаква дължина и противоположни посоки. Тяхната сума дава нулев вектор, чиято дължина е нула. Посоката на нулевия вектор не е дефинирана.

Във векторната алгебра не е необходимо да се разглежда отделно операцията на изваждане: да извадиш вектор от вектор означава да добавиш противоположния вектор към вектора, т.е.

Пример 1Опростете израза:

т.е. векторите могат да се добавят и умножават по числа по същия начин като полиномите (в частност, също и задачи за опростяване на изразите). Обикновено необходимостта от опростяване на линейно подобни изрази с вектори възниква преди изчисляването на произведенията на векторите.

Пример 2Векторите и служат като диагонали на паралелограма ABCD (фиг. 4а). Изразете по отношение на и векторите , , и , които са страните на този паралелограм.

Решение. Точката на пресичане на диагоналите на паралелограма разполовява всеки диагонал. Дължините на векторите, необходими в условието на задачата, се намират или като половината от сумите на векторите, които образуват триъгълник с желаните, или като половината от разликите (в зависимост от посоката на вектора, служещ като диагонал), или, както в последния случай, половината от сумата, взета със знак минус. Резултатът е необходимите вектори в условието на задачата:

Има всички основания да вярваме, че сега сте отговорили правилно на въпроса за векторите „Предприятие“ и „Иновативни способности“ в началото на този урок. Правилен отговор: тези вектори се подлагат на операция на събиране.

Решете проблеми върху векторите сами и след това разгледайте решенията

Как да намеря дължината на сумата от вектори?

Този проблем заема специално място в операциите с вектори, тъй като включва използването на тригонометрични свойства. Да приемем, че имате задача като следната:

Като се има предвид дължината на векторите и дължината на сбора от тези вектори. Намерете дължината на разликата на тези вектори.

Решения на този и други подобни проблеми и обяснения за тяхното решаване - в урока " Добавяне на вектори: дължината на сумата от вектори и косинусовата теорема ".

И можете да проверите решението на такива проблеми на Онлайн калкулатор "Неизвестна страна на триъгълник (векторно събиране и косинусова теорема)" .

Къде са произведенията на векторите?

Произведенията на вектор от вектор не са линейни операции и се разглеждат отделно. И имаме уроци "Точково произведение на вектори" и "Векторно и смесено произведение на вектори".

Проекция на вектор върху ос

Проекцията на вектор върху ос е равна на произведението от дължината на проектирания вектор и косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Както е известно, проекцията на точка Авърху правата (равнината) е основата на перпендикуляра, изпуснат от тази точка към правата (равнината).

Нека - произволен вектор (фиг. 5), и и - проекции на неговото начало (точки А) и край (точки Б) на ос л. (За изграждане на проекция на точка А) начертайте направо през точката Аравнина, перпендикулярна на правата. Пресечната точка на права и равнина ще определи необходимата проекция.

Компонент на вектора по оста lнаречен такъв вектор, лежащ върху тази ос, чието начало съвпада с проекцията на началото, а краят - с проекцията на края на вектора.

Проекцията на вектора върху оста лнаречен номер

равна на дължината на вектора на компонента по тази ос, взета със знак плюс, ако посоката на компонента съвпада с посоката на оста л, и със знак минус, ако тези посоки са противоположни.

Основните свойства на векторните проекции върху оста:

1. Проекциите на равни вектори върху една и съща ос са равни една на друга.

2. Когато един вектор се умножи по число, неговата проекция се умножава по същото число.

3. Проекцията на сбора от вектори върху която и да е ос е равна на сбора от проекциите върху същата ос на членовете на векторите.

4. Проекцията на вектор върху ос е равна на произведението от дължината на проектирания вектор и косинуса на ъгъла между вектора и оста:

Решение. Нека проектираме векторите върху оста лкакто е дефинирано в теоретичната справка по-горе. От фиг.5а е очевидно, че проекцията на сумата от вектори е равна на сумата от проекциите на векторите. Изчисляваме тези прогнози:

Намираме крайната проекция на сумата от вектори:

Връзка на вектор с правоъгълна декартова координатна система в пространството

Запознаване с правоъгълна декартова координатна система в пространството се проведе в съответния урок, за предпочитане го отворете в нов прозорец.

В подредена система от координатни оси 0xyzос волНаречен ос x, ос 0г – y-ос, и ос 0z – приложи ос.

с произволна точка Мкосмически вратовръзка вектор

Наречен радиус векторточки Ми го проектирайте върху всяка от координатните оси. Нека да обозначим стойностите на съответните проекции:

Числа x, y, zНаречен координати на точка М, съответно абсциса, ординатИ апликация, и се записват като подредена точка от числа: M(x; y; z)(фиг. 6).

Нарича се вектор с единична дължина, чиято посока съвпада с посоката на оста единичен вектор(или ortom) брадви. Означете с

Съответно, единичните вектори на координатните оси вол, ой, Оз

Теорема.Всеки вектор може да бъде разложен на единични вектори на координатните оси:

(2)

Равенство (2) се нарича разширение на вектора по координатните оси. Коефициентите на това разширение са проекциите на вектора върху координатните оси. Така коефициентите на разширение (2) на вектора по координатните оси са координатите на вектора.

След избора на определена координатна система в пространството, векторът и тройката от неговите координати се определят по уникален начин, така че векторът може да бъде записан във формата

Векторните представяния във формата (2) и (3) са идентични.

Състоянието на колинеарните вектори в координати

Както вече отбелязахме, векторите се наричат колинеарни, ако са свързани чрез релацията

Нека вектори . Тези вектори са колинеарни, ако координатите на векторите са свързани чрез релацията

тоест координатите на векторите са пропорционални.

Пример 6Дадени вектори . Тези вектори колинеарни ли са?

Решение. Нека разберем съотношението на координатите на тези вектори:

Координатите на векторите са пропорционални, следователно векторите са колинеарни или, което е същото, успоредни.

Дължина на вектора и косинуси на посоката

Поради взаимната перпендикулярност на координатните оси, дължината на вектора

е равна на дължината на диагонала на изграден върху векторите правоъгълен паралелепипед

и се изразява с равенството

(4)

Векторът е напълно дефиниран чрез посочване на две точки (начало и край), така че координатите на вектора могат да бъдат изразени чрез координатите на тези точки.

Нека началото на вектора в дадена координатна система е в точката

и краят е в точката

От равенство

Следва това

или в координатна форма

следователно, координатите на вектора са равни на разликите на едноименните координати на края и началото на вектора . Формула (4) в този случай приема формата

Определя се посоката на вектора косинус на посоката . Това са косинусите на ъглите, които векторът прави с осите вол, ойИ Оз. Нека да обозначим съответно тези ъгли α , β И γ . Тогава косинусите на тези ъгли могат да се намерят по формулите

Косинусите на посоката на вектор са също координатите на вектора на вектора и следователно на вектора на вектора