Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .

Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ребра правилна пирамидаравни една на друга, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонален разрез се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.

2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.

3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За да изчислите обема на произволна пирамида, правилната формула е:

Където V- сила на звука;

S база– базова площ;

з– височина на пирамидата.

За правилна пирамида следните формули са правилни:

Където стр– основен периметър;

з а– апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S база– базова площ;

V– обем на правилна пирамида.

Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида е част от правилна пирамида, затворена между основата и сечаща равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Причинипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонален разрез е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни следните формули:

(4)

Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;

S пълен– обща повърхност;

S страна– площ на страничната повърхност;

з- височина;

V– обем на пресечена пирамида.

За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:

Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

з а– апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинеен сегмент BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 см 3.

Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и ОМ– радиус, вписан в окръжност:

MK = DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. По теоремата за площта ортогонална проекцияплоска фигура получаваме:

По същия начин означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме

е многостен, който се образува от основата на пирамидата и успоредно на нея сечение. Можем да кажем, че пресечена пирамида е пирамида с отрязан връх. Тази фигура има много уникални свойства:

• Страничните стени на пирамидата са трапецовидни;
• Страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са с еднаква дължина и са наклонени към основата под същия ъгъл;
• Основите са подобни многоъгълници;
• В правилната пресечена пирамида лицата са еднакви равнобедрени трапеци, чиято площ е равна. Те също са наклонени към основата под един ъгъл.

Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на нейните страни:

Тъй като страните на пресечена пирамида са трапецовидни, за да изчислите параметрите, ще трябва да използвате формулата трапецовидна площ. За правилна пресечена пирамида можете да приложите различна формула за изчисляване на площта. Тъй като всички негови страни, лица и ъгли в основата са равни, можем да приложим периметрите на основата и апотемата и също така да изведем площта през ъгъла в основата.

Ако според условията в правилна пресечена пирамида са дадени апотемата (височината на страната) и дължините на страните на основата, тогава площта може да се изчисли чрез полупродукта на сумата от периметрите на основите и апотемата:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на пресечена пирамида.
Дадена е правилна петоъгълна пирамида. апотема л= 5 см, дължината на ръба в голямата основа е а= 6 см, а ръбът е на по-малката основа b= 4 см. Изчислете площта на пресечената пирамида.

Първо, нека намерим периметрите на основите. Тъй като ни е дадена петоъгълна пирамида, разбираме, че основите са петоъгълници. Това означава, че в основата има фигура с пет еднакви страни. Нека намерим периметъра на по-голямата основа:

По същия начин намираме периметъра на по-малката основа:

Сега можем да изчислим площта на правилна пресечена пирамида. Заместете данните във формулата:

Така изчислихме площта на правилна пресечена пирамида през периметрите и апотемата.

Друг начин за изчисляване на страничната повърхност на правилна пирамида е формулата през ъглите в основата и площта на самите тези основи.

Нека разгледаме примерно изчисление. Помним това тази формулаважи само за правилна пресечена пирамида.

Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Ръбът на долната основа е a = 6 cm, а ръбът на горната основа е b = 4 cm. Двустенният ъгъл при основата е β = 60°. Намерете площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида.

Първо, нека изчислим площта на основите. Тъй като пирамидата е правилна, всички ръбове на основите са равни един на друг. Като се има предвид, че основата е четириъгълник, разбираме, че ще е необходимо да се изчисли площ на площада. Това е произведение на ширина и дължина, но когато се повдигнат на квадрат, тези стойности са еднакви. Нека намерим площта на по-голямата основа:


Сега използваме намерените стойности, за да изчислим площта на страничната повърхност.

Познавайки няколко прости формули, ние лесно изчислихме площта на страничния трапец на пресечена пирамида, използвайки различни стойности.

На този урокще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилна пресечена пирамида и ще проучим техните свойства.

Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника е взета точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената многостенна повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълна пирамида

Нека разрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).

Ориз. 2. Пресечена пирамида

Основни елементи:

Горна основа;

ABC долна основа;

Странично лице;

Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава това е височината на пресечената пирамида.

Свойствата на пресечена пирамида произтичат от метода на нейното изграждане, а именно от успоредността на равнините на основите:

Всички странични стени на пресечена пирамида са трапецовидни. Помислете например за ръба. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те пресичат страничната повърхност на оригиналната AVR пирамида по успоредни прави линии), но в същото време не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични стени на пресечената пирамида.

Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:

Имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. Например триъгълниците и RAB са подобни поради успоредността на равнините и , коефициент на сходство:

В същото време триъгълниците и RVS са сходни с коефициента на сходство:

Очевидно коефициентите на подобие за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.

Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).

Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида

Определение.

Пирамидата се нарича правилна, ако нейната основа е правилен n-ъгълник, а върхът й е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центъра на вписаната и описаната окръжност).

IN в такъв случайВ основата на пирамидата лежи квадрат, а върхът се проектира в пресечната точка на нейните диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида има ABCD - долна основа, - горна основа. Височината на оригиналната пирамида е RO, пресечената пирамида е (фиг. 4).

Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида

Определение.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от която и да е точка на една основа към равнината на втората основа.

Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).

Определение.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.

Ясно е, че всички странични ръбове на пресечената пирамида са равни един на друг, т.е. страничните лица са равни равнобедрени трапеци.

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора от периметрите на основите и апотемата.

Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):

И така, трябва да докажем:

Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сумата от площите на страничните повърхности - трапецовидни. Тъй като трапецовете са еднакви, имаме:

Площта на равнобедрен трапец е произведението на половината от сбора на основите и височината; апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:

Q.E.D.

За n-ъгълна пирамида:

Където n е броят на страничните стени на пирамидата, a и b са основите на трапеца и е апотема.

Страни на основата на правилна пресечена четириъгълна пирамида равна на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.

Ориз. 5. Илюстрация към задача 1

Решение. Нека илюстрираме условието:

Попитан от: , ,

През точка O прекарваме права линия MN, успоредна на двете страни на долната основа, и по същия начин през точката прекарваме права (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите в основите на пресечената пирамида са успоредни, получаваме трапец, равен на страничните лица. Освен това неговата страна ще минава през средните точки на горния и долния ръб на страничните стени и ще бъде апотемата на пресечената пирамида.

Ориз. 6. Допълнителни конструкции

Нека разгледаме получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Трябва да намерите страната, която е апотема на дадена пресечена пирамида. Нека начертаем перпендикуляр на MN. От точката спускаме перпендикуляра NQ. Откриваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това Египетски триъгълник, използвайки Питагоровата теорема определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.

Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Като използвате примера на триъгълна пирамида, докажете, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.

Доказателство. Нека да илюстрираме:

Ориз. 7. Илюстрация към задача 2

Дадена е пирамидата RABC. PO - височина на пирамидата. Пирамидата се нарязва на равнина, получава се пресечена пирамида и. Точка - пресечната точка на височината на РО с равнината на основата на пресечената пирамида. Необходимо е да се докаже:

Ключът към решението е свойството на успоредни равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии са успоредни. Оттук: . Паралелността на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристикае, че коефициентите на подобие на тези триъгълници са еднакви:

Q.E.D.

Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата е разчленена от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.

Решение. Нека да илюстрираме:

Ориз. 8. Илюстрация към задача 3

ACB е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадена пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Съгласно свойството на успоредните равнини (две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:

Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата, знаем съответната формула:

Сега от правоъгълен триъгълник RNM, използвайки Питагоровата теорема, намираме RM - апотема на оригиналната пирамида:

От първоначалното съотношение:

Сега знаем всички елементи за намиране на площта на страничната повърхност на пресечена пирамида:

И така, ние се запознахме с концепциите за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни определения, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за площта на страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.

Библиография

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и нива на профил) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователна подготовка образователни институции/ Шаригин И.Ф.: Дропа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Домашна работа