Ще разгледам въпроса за формулата за проекциите на граните на правоъгълен тетраедър. Предварително ще разгледам ортогоналната проекция на сегмент, лежащ в равнината α, подчертавайки два случая на местоположението на този сегмент спрямо правите l = α∩π.
Случай 1. AB∥l(фиг. 8). Отсечката A 1 B 1, която е ортогоналната проекция на сегмента AB, е равна и успоредна на сегмента AB.

Ориз. осем

Случай 2. CD⊥l(фиг. 8). Според трите перпендикулярни теореми, правата C 1 D 1, която е ортогоналната проекция на линията CD, също е перпендикулярна на правата l. Следователно ∠CEC 1 е ъгълът между равнината α и равнината на проекция π, т.е. където C 0 D = C 1 D 1... Следователно, | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Сега ще разгледам въпроса за ортогоналния триъгълник.
Площта на ортогонална проекция на триъгълник върху равнина е равна на площта на проектирания триъгълник, умножена по косинуса на ъгъла между равнината на триъгълника и равнината на проекциите.

Доказателство.Проектираната площ на триъгълника.
а) Нека една от страните, например AC, на проектирания триъгълник ABC да бъде успоредна на правата l = α∩π (фиг. 9) или да лежи върху нея.

Ориз. девет

Тогава височината му VN е перпендикулярна на правата линия l, а площта е равна, т.е.

Въз основа на горепосочените свойства на ортогоналната проекция на сегмента имам:

Съгласно трите перпендикулярни теореми, линията B 1 H 1 - ортогоналната проекция на правата BN - е перпендикулярна на правата l, следователно отсечката B 1 H 1 е височината на триъгълника A 1 B 1 C 1. Ето защо . Поради това, .
б) Нито една от страните на проектирания триъгълник ABC не е успоредна на правата линия l (фиг. 10). Начертайте права линия през всеки връх на триъгълника, успореден на правия l. Една от тези линии се намира между две други (на фигурата това е линия m) и следователно разделя триъгълника ABC на триъгълници ABD и ACD с височини съответно BH и CE, изтеглени към общата им страна AD (или неговото продължение) , който е успореден l. Линия m 1 - ортогонална проекция на права m - също разделя триъгълник А 1 В 1 С 1 - ортогонална проекция на триъгълник ABC - на триъгълници A 1 B 1 D 1 и A 1 C 1 D 1, където. Като взема предвид (9) и (10), получавам

Глава IV. Прави линии и равнини в космоса. Многогранници

§ 55. Площта на проекцията на многоъгълника.

Припомнете си, че ъгълът между права линия и равнина е ъгълът между дадена права линия и нейната проекция върху равнина (фиг. 164).

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълника върху равнината е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници, сумата от площите на които е равна на площта на многоъгълника. Следователно е достатъчно да се докаже теоремата за триъгълник.

Нека бъде /\ ABC се проектира върху равнина R... Помислете за два случая:
а) една от страните /\ ABC е успоредна на равнината R;
б) нито едната страна /\ ABC не е паралелен R.

Обмисли първи случай: нека [AB] || R.

Нека нарисуваме равнина през (AB) R 1 || Rи проектирайте ортогонално /\ ABC включен R 1 и нататък R(фиг. 165); вземете /\ ABC 1 и /\ A "B" C ".
По свойството на проекцията имаме /\ ABC 1 /\ A "B" C и следователно

С /\ ABC1 = S /\ A "B" C "

Начертайте _ | _ и сегмента D 1 C 1. Тогава _ | _, a = φ е стойността на ъгъла между равнината /\ ABC и равнина R 1. Ето защо

С /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и следователно S /\ A "B" C "= S /\ ABC cos φ.

Нека преминем към разглеждане втори случай... Нека нарисуваме самолет R 1 || Rнад този връх /\ ABC, разстоянието от което до равнината Rнай -малкият (нека бъде връх А).
Ние ще проектираме /\ ABC в самолета R 1 и R(фиг. 166); нека нейните проекции да бъдат съответно /\ AB 1 C 1 и /\ A "B" C ".

Нека (BC) стр 1 = D. Тогава

С /\ A "B" C "= S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача.През страната на основата на правилна триъгълна призма се изтегля равнина под ъгъл φ = 30 ° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на полученото сечение, ако страната на основата на призмата а= 6 см.

Нека нарисуваме напречно сечение на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, страничните й ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. Означава, /\ ABC е проекция /\ ADC, следователно

ГЕОМЕТРИЯ
Учебни планове за 10 класа

Урок 56

Тема. Област на ортогонална проекция на многоъгълник

Целта на урока: изучаване на теоремата за областта на ортогоналната проекция на многоъгълник, формиране на уменията на учениците да прилагат изучаваната теорема при решаване на задачи.

Оборудване: стереометричен комплект, модел куб.

По време на часовете

I. Проверка на домашните

1. Двама ученици възпроизвеждат решения на задачи № 42, 45 на дъската.

2. Фронтално анкетиране.

1) Дайте определение на ъгъла между две равнини, които се пресичат.

2) Какъв е ъгълът между:

а) успоредни равнини;

б) перпендикулярни равнини?

3) До каква степен ъгълът между две равнини може да се промени?

4) Вярно ли е, че равнина, която пресича успоредни равнини, ги пресича под еднакви ъгли?

5) Вярно ли е, че равнина, която пресича перпендикулярни равнини, ги пресича под еднакви ъгли?

3. Проверка на правилността на решението на задачи No 42, 45, които учениците пресъздадоха на дъската.

II. Възприемане и осъзнаване на нов материал

Възлагане на ученици

1. Докажете, че проекционната площ на триъгълник с една страна в проекционната равнина е равна на произведението на неговата площ и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и плоскостта на проекцията.

2. Докажете теоремата за случая, когато има решетъчен триъгълник с една страна, успоредна на проекционната равнина.

3. Докажете теоремата за случая, когато има решетъчен триъгълник, чиято страна не е успоредна на проекционната равнина.

4. Докажете теоремата за всеки многоъгълник.

Разрешаване на проблеми

1. Намерете площта на ортогоналната проекция на многоъгълник, чиято площ е 50 cm2, а ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 60 °.

2. Намерете площта на многоъгълник, ако площта на ортогоналната проекция на този многоъгълник е 50 cm2, а ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 45 °.

3. Площта на многоъгълника е 64 cm2, а площта на ортогоналната проекция е 32 cm2. Намерете ъгъла между равнините на многоъгълника и неговата проекция.

4. Или може би площта на ортогонална проекция на многоъгълник е равна на площта на този многоъгълник?

5. Ръбът на куба е равен на a. Намерете площта на напречното сечение на куб с равнина, преминаваща през върха на основата под ъгъл 30 ° спрямо тази основа и пресичаща всички странични ръбове. (Отговор. )

6. Задача номер 48 (1, 3) от учебника (стр. 58).

7. Проблем номер 49 (2) от учебника (стр. 58).

8. Страните на правоъгълника са 20 и 25 см. Проекцията му върху равнината е подобна на него. Намерете периметъра на проекцията. (Отговор. 72 см или 90 см.)

III. Домашна работа

§4, стр. 34; защитен въпрос номер 17; задачи № 48 (2), 49 (1) (стр. 58).

IV. Обобщение на урока

Въпрос към класа

1) Формулирайте теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник.

2) Може ли площта на ортогонална проекция на многоъгълник да бъде по -голяма от площта на многоъгълник?

3) Чрез хипотенузата AB на правоъгълния триъгълник ABC равнината α е изтеглена под ъгъл 45 ° спрямо равнината на триъгълника и перпендикуляра CO към равнината α. AC = 3 см, BC = 4 см. Посочете кои от следните твърдения са верни и кои са неправилни:

а) ъгълът между равнините ABC и α е равен на ъгъла CMO, където точка H е основата на височината CM на триъгълника ABC;

б) CO = 2,4 cm;

в) триъгълник AOC е ортогонална проекция на триъгълник ABC върху равнината α;

г) площта на триъгълника AOB е 3 cm2.

(Отговор. А) Правилно; б) грешно; в) грешно; г) правилно.)

Помислете за самолета стр и пресичащата я права линия ... Нека бъде А - произволна точка в пространството. Начертайте права линия през тази точка успоредно на права линия ... Нека бъде . Точка се нарича проекция на точката Ана самолета стрс паралелно проектиране по дадена права линия . Самолет стр върху която се проектират пространствените точки се нарича проекционна равнина.

p е проекционната равнина;

- директен дизайн; ;

; ; ;

Ортогонален дизайне специален случай на едновременно проектиране. Ортографският дизайн е паралелен дизайн, при който проектната линия е перпендикулярна на проекционната равнина. Ортогоналният дизайн е широко използван в технически чертеж, където фигура се проектира в три равнини - хоризонтална и две вертикални.

Определение: Проекция на ортографска точка Мна самолета стрнаречена база М 1перпендикулярно MM 1отпадна от точката Мна самолета стр.

Обозначаване: , , .

Определение: Ортографска проекция на фигурата Fна самолета стре множеството от всички точки на равнината, които са ортогонални проекции на множеството точки от фигурата Fна самолета стр.

Ортогоналният дизайн, като специален случай на паралелен дизайн, има същите свойства:

p е проекционната равнина;

- директен дизайн; ;

1) ;

2) , .

1. Проекциите на успоредни линии са успоредни.

ОБЛАСТ НА ПРОЕКЦИЯТА НА ФИГУРА НА САМОЛЕТ

Теорема: Площта на проектирания многоъгълник върху определена равнина е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Етап 1: Проектираната фигура е триъгълник ABC, чиято страна AC лежи в проекционната равнина a (успоредна на проекционната равнина a).

Дадено:

Докажи:

Доказателство:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теоремата за три перпендикуляра;

ВD - височина; В 1 D - височина;

5. - линеен ъгъл на двугранния ъгъл;

6. ; ; ; ;

Етап 2: Проектираната фигура е триъгълник ABC, нито една от страните на която не лежи в равнината на проекция a и не е успоредна на нея.

Дадено:

Докажи:

Доказателство:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Етап 1);

5. ; ; ;

(Етап 1);

Етап: Проектираната форма е произволен многоъгълник.

Доказателство:

Многоъгълникът е разделен с диагонали, изтеглени от един връх на краен брой триъгълници, за всеки от които теоремата е вярна. Следователно теоремата ще бъде вярна и за сумата от площите на всички триъгълници, чиито равнини образуват един и същ ъгъл с проекционната равнина.

Коментирайте: Доказаната теорема е валидна за всяка равнинна фигура, ограничена от затворена крива.

Упражнения:

1. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към проекционната равнина под ъгъл, ако неговата проекция е правилен триъгълник със страна a.

2. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към проекционната равнина под ъгъл, ако неговата проекция е равнобедрен триъгълник със странична страна 10 cm и основа 12 cm.

3. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към проекционната равнина под ъгъл, ако неговата проекция е триъгълник със страни 9, 10 и 17 cm.

4. Изчислете площта на трапец, чиято равнина е наклонена към проекционната равнина под ъгъл, ако нейната проекция е равнобедрен трапец, чиято по -голяма основа е 44 cm, страничната страна е 17 cm и диагонал е 39 см.

5. Изчислете проектираната площ на правилен шестоъгълник със страна 8 cm, чиято равнина е наклонена към проекционната равнина под ъгъл.

6. Ромб със страна 12 cm и остър ъгъл образува ъгъл с тази равнина. Изчислете проектираната площ на ромба върху тази равнина.

7. Ромб със страна 20 см и диагонал 32 см прави ъгъл с тази равнина. Изчислете проектираната площ на ромба върху тази равнина.

8. Проекцията на сенника върху хоризонталната равнина е правоъгълник със страни и. Намерете площта на сенника, ако страничните страни са равни правоъгълници, наклонени към хоризонталната равнина под ъгъл, а средната част на сенника е квадрат, успореден на проекционната равнина.

11. Упражнения на тема "Линии и равнини в космоса":

Страните на триъгълника са 20 см, 65 см, 75 см. От върха на по -големия ъгъл на триъгълника към неговата равнина се изтегля перпендикуляр, равен на 60 см. Намерете разстоянието от краищата на перпендикуляра към по -големия страна на триъгълника.

2. От точка на разстояние см от равнината се изтеглят два коси ъгъла, образуващи ъглите с равнината, равни, а помежду им - прав ъгъл. Намерете разстоянието между пресечните точки на наклонената с равнината.

3. Страната на правилен триъгълник е 12 см. Точка М се избира така, че сегментите, свързващи точка М с всички върхове на триъгълника, да образуват ъгли с неговата равнина. Намерете разстоянието от точка М до върховете и страните на триъгълника.

4. През страната на квадрата се начертава равнина под ъгъл спрямо диагонала на квадрата. Намерете ъглите, при които двете страни на квадрата са наклонени към равнината.

5. Катетът на равнобедрен правоъгълен триъгълник е наклонен към равнината а, преминавайки през хипотенузата, под ъгъл. Докажете, че ъгълът между равнината a и равнината на триъгълника е.

6. Двугранният ъгъл между равнините на триъгълниците ABC и DBC е равен. Намерете AD, ако AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Контролни въпроси по темата "Линии и равнини в космоса"

1. Избройте основните понятия за стереометрията. Формулирайте аксиомите на стереометрията.

2. Докажете последиците от аксиомите.

3. Какво е относителното положение на две прави линии в пространството? Дайте определения за пресичащи се, успоредни, пресичащи се линии.

4. Докажете знака на кръстосаните линии.

5. Какво е относителното положение на линията и равнината? Дайте определения за пресичащи се, успоредни линии и равнини.

6. Докажете критерия за паралелност на права линия и равнина.

7. Какво е взаимното положение на двете равнини?

8. Дайте определение на паралелни равнини. Докажете знака на паралелност на две равнини. Формулирайте теореми за паралелни равнини.

9. Дайте определението за ъгъла между правите линии.

10. Докажете знака за перпендикулярност на права и равнина.

11. Дайте определения за перпендикулярната основа, наклонената основа, наклонената проекция върху равнина. Формулирайте свойствата на перпендикулярно и наклонено, спуснато върху равнина от една точка.

12. Дайте определение на ъгъла между права линия и равнина.

13. Докажете трите перпендикулярни теореми.

14. Дайте определение за двугранен ъгъл, линеен ъгъл на двугранен ъгъл.

15. Докажете знака за перпендикулярност на две равнини.

16. Дайте определение за разстоянието между две различни точки.

17. Дайте определение за разстоянието от точка до права линия.

18. Дайте определение за разстоянието от точка до равнина.

19. Дайте определение за разстоянието между права линия и равнина, успоредна на нея.

20. Дайте определение за разстоянието между успоредни равнини.

21. Дайте определение за разстоянието между пресичащите се линии.

22. Дайте определение на ортогоналната проекция на точка върху равнина.

23. Дайте определението за ортогоналната проекция на фигурата върху равнината.

24. Формулирайте свойствата на проекциите върху равнината.

25. Формулирайте и докажете теорема за площта на проекцията на плосък многоъгълник.

Припомнете си, че ъгълът между права линия и равнина е ъгълът между дадена права линия и нейната проекция върху равнина (фиг. 164).

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълника върху равнината е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници, сумата от площите на които е равна на площта на многоъгълника. Следователно е достатъчно да се докаже теоремата за триъгълник.

Нека \ (\ Delta \) ABC се проектира върху равнината R... Помислете за два случая:

а) една от страните \ (\ Delta \) ABC е успоредна на равнината R;

б) никоя от страните \ (\ Delta \) ABC не е успоредна R.

Обмисли първи случай: нека [AB] || R.

Нека нарисуваме равнина през (AB) R 1 || Rи проектирайте ортогонално \ (\ Delta \) ABC на R 1 и нататък R(фиг. 165); получаваме \ (\ Delta \) ABC 1 и \ (\ Delta \) A'B'S '.

По свойството на проекция имаме \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C 'и следователно

S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C '

Начертайте ⊥ и сегмента D 1 C 1. Тогава ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ е стойността на ъгъла между равнината \ (\ Delta \) ABC и равнината R 1. Ето защо

S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ

и следователно S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.

Нека преминем към разглеждане втори случай... Нека нарисуваме самолет R 1 || Rпрез този връх \ (\ Delta \) ABC, разстоянието от което до равнината Rнай -малкият (нека бъде връх А).

Нека проектираме \ (\ Delta \) ABC в равнината R 1 и R(фиг. 166); нека нейните проекции съответно са \ (\ Delta \) AB 1 C 1 и \ (\ Delta \) A'B'S '.

Нека (ВС) \ (\ капачка \) стр 1 = D. Тогава

S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC - S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ

Задача.През страната на основата на правилна триъгълна призма се изтегля равнина под ъгъл φ = 30 ° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на полученото сечение, ако страната на основата на призмата а= 6 см.

Нека нарисуваме напречно сечение на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, страничните й ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. Следователно \ (\ Delta \) ABC е проекцията на \ (\ Delta \) ADC, следователно
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
или
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$