Слайд 2

a2+b2=c2 c a b П

Слайд 3

Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1.

Слайд 4

Слайд 5

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

Слайд 6

Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Слайд 7

Аддитивные доказательства. Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Доказательство Эйнштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Слайд 8

На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF. Докажите теорему с помощью этого разбиения. D E

Слайд 9

Доказательства методом достроения. Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Слайд 10

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. F

Слайд 11

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что ABC подобен ACM, следует, что b2 = c*b1; (1) из того, что ABC подобен BCM, следует, что a2 = c*a1. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

Слайд 12

На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. Доказательство Гарфилда.

Слайд 13

Биография Пифагора. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермо, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу.

Слайд 14

Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но, влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой(удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

Слайд 15

А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена(«пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас. ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Посмотреть все слайды

План урока Организационный момент Организационный момент Повторение Повторение Сообщение о жизни Пифагора Самосского Сообщение о жизни Пифагора Самосского Историческая справка о теореме Пифагора Историческая справка о теореме Пифагора Работа над теоремой Работа над теоремой Решение задач с применением теоремы Решение задач с применением теоремы Подведение итога урока Подведение итога урока Домашнее задание Домашнее задание

Пифагор Самосский Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. В семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен.

Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры.Пифагор Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.Пифагор Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». История теоремы Пифагора Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: Δ ABC, С = 90° Доказать: Доказательство: D Рассматривая cos B, получаем: Складывая (1) и (2), получаем: Рассматривая cos B, получаем: Опустим из вершины прямого угла высоту СД

Ход урока:

Здравствуйте, садитесь. Меня зовут Людмила Александровна, я рада всех Вас видеть (слайд 1).

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

Немецкий писатель-романист Шамиссо.

Эти слова посвящены одной из известнейших теорем математики. Теореме Пифагора (слайд 2).

Перед Вами портрет великого Пифагора (слайд 3). Он известен как древнегреческий философ и педагог. Пифагор - это прозвище, данное ему за красноречие («Пифагор» - значит «убеждающий речью»). Сам он ничего не писал, а все его мысли записывали ученики. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности - её простота, красота и значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста и имеет огромное значение, потому что она применяется в различных областях, а тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о её широком применении. Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса», как получившая наибольшее число доказательств.

Тема нашего урока «Различные способы доказательства теоремы Пифагора».

Как вы считаете, чем мы с Вами будем заниматься на уроке?

(учащиеся формулируют цель урока).

Конечно же каждый из вас понимает, что за один урок невозможно рассмотреть 500 доказательств, но еще с двумя доказательствами теоремы, помимо рассмотренного вами ранее мы познакомимся.

Вы уже рассмотрели эту теорему, поэтому давайте повторим (слайд 4).

1. К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

2. Как звучит теорема Пифагора?

3. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6см и 8см?

4. Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5см, катет 3см. Найти длину второго катета?

Проводится обсуждение и проверка по ответам.

Учитель: Молодцы, мы с вами очень хорошо справились с заданием.

А знаете ли Вы, что доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», потому что некоторые слабые ученики бежали от геометрии. Они, не пытаясь понять доказательство, просто его зазубривали. Поэтому, возникали различные карикатуры, которые сопровождали доказательство теоремы (слайд 5).

Я думаю, что мы с Вами сможем преодолеть все трудности, и не будем спасаться бегством при рассмотрении доказательств этой теоремы.

Сейчас мы с Вами проведем небольшую лабораторную работу. (Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число и классная работа).

(кто-то работает у доски).

Вам нужно (слайд 6):

Начертить в тетрадях прямоугольный треугольник со сторонами 3; 4 и 5 см;
Построить на катетах и гипотенузе квадраты;
Найти площади построенных квадратов.

Оказывается, что мы с Вами рассмотрели один из частных случаев доказательства теоремы Пифагора (слайд 7).

У каждого из Вас лежат листочки с таблицами, которые называются Пифагоровыми тройками (слайд 8).

Пифагоровы тройки

Эти числа обладают рядом интересных особенностей, познакомимся с ними: один из «катетов» должен быть кратным трём;

один из «катетов» должен быть равен четырём;

одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

С помощью предложенных таблиц решите следующие задачи (слайд 9).

«Всё есть число», «Числа правят миром» - изречения Пифагорам (слайд 10). Он считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Нужно отметить, что все Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры. Давайте немного отвлечемся и поговорим о числовой мистике.

Число 1 означало огонь,

4 - воздух,

Сумма этих чисел 10 - весь мир,

5 - любовь.

Проведем физкультминутку и получим заряд энергии от чисел.

Раз, два - встать пора,

Три, четыре - руки шире,

Пять, шесть - тихо сесть,

Семь, восемь - лень отбросим.

Энергией мы зарядились, а сейчас рассмотрим еще одно геометрическое доказательство теоремы (слайд 11). Изобразите пожалуйста чертеж в своих тетрадях.

Этот способ доказательства рассмотрел индийский математик Бхаскара. В пояснение к доказательству он написал только одну строчку: «Смотри!» Другие ученые предположили, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников и площади квадрата. Давайте, восстановим это доказательство. Кто желает выступить в роли учёного?

Получаем: c²=4ab/2+(a-b)²

c=2ab+a²-2ab+b²

Как вы считаете, доказали мы, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов?

Очень хорошо. Мы надеемся, что ты станешь великим математиком.

А теперь давайте решим ещё несколько задач (слайд 12).

Домашнее задание (слайд 13): Найти интересное, на ваш взгляд, доказательство теоремы Пифагора и красочно его оформить. Лучшими работами оформим стенд.

Скажите, пожалуйста, сколько всего существует доказательств теорем Пифагора?
А сколько доказательств теорем теперь знаете Вы?
Сформулируйте ещё раз теорему.

На следующих уроках вы рассмотрите практическое применение рассмотренной нами теоремы.

По окончанию урока я попрошу каждого из Вас подойти к доске и прикрепить карточку с одним из предложенных Вам чисел. «10»(целый мир), если урок понравился; «5»(любовь) - если, что-то не понравилось и «1»(огонь) - если урок не понравился.

(слайд 14). Благодарю Вас всех за урок, мне было очень приятно с вами сотрудничать.

1. Вводная часть 2. Исторический экскурс Рассказ о Пифагоре; Из истории теоремы Пифагора 4. Доказательство теоремы 5. Теорема обратная теореме Пифагора 6. Задачи по готовым чертежам 7. Старинные задачи 8. Самопроверка – одна из самых знаменитых положений геометрии. Хотя она и названа именем великого древнегреческого математика и философа, жившего более 25 веков тому назад, история ее началась задолго до самого Пифагора. Исторический экскурс Рассказ о Пифагоре Говоря о Пифагоре, следует сразу отметить, что о его жизни известно немного. Мы знаем, что в 6 в. до н.э. в Др.Греции жил ученый по имени Пифагор, родом из Самоса. В молодости он много путешествовал по странам Востока, где изучал разные науки. Вернувшись на родину, Пифагор основал философскую школу, так называемый пифагорейский союз. Пифагорейцами были сделаны важные открытия в области арифметики и геометрии. Исторический экскурс Из истории теоремы Пифагора Интересна история теоремы Пифагора. Она была известна задолго до Пифагора. Эта теорема встречалась за 1200 лет до него. Возможно еще тогда не знали доказательство, а отношения между гипотенузой и катетом устанавливали опытным путем. Пифагор нашел доказательство этого соотношениям. Сохранилось древнее поверие, что Пифагор в честь своего открытия принес жертву богам быка. Позже были найдены различные доказательства теоремы, в настоящее время их более 100. Учащиеся средних веков считали доказательство этой теоремы трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих»,т.к. слабые ученики бежали от геометрии. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство теоремы Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. (рис. 1). Докажем что c 2 = a 2 + b 2 . Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рис.2. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ a*b,и квадрата со стороной c, поэтому S = 4* ½ a*b + с 2 = 2a*b + с 2 . Таким образом (a+b) 2 = 2a*b + с 2 , откуда: с 2 = a 2 + b 2 . Теорема доказана. Существует теорема, обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. С помощью готовых чертежей вычислить, если возможно : Сторону АС треугольника АВС Сторону MN треугольника KMN Сторону KP треугольника KPR Диагональ BD квадрата BCDF Рассмотрим несколько старинных задач на применение теоремы Пифагора Задача 1 (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого) Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать. Решение задачи 1 Решение. Треугольник ABC – прямоугольный. Пусть BC = x стоп, тогда по теореме Пифагора AC 2 + BC 2 = AB 2 , 117 2 + x 2 = 125 2 ; x 2 = 125 2 – 117 2 , x 2 = (125-117)*(125+117), x 2 = 8*242, x = 44. Ответ: 44 стопы Задача 2 (индийского математика XII в. Бхаскары) На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота? Решение задачи 2 Решение : Пусть AB – высота тополя, тогда AB = AC + CD. Найдем CD. Треугольник ABC – прямоугольный. По теореме Пифагора CD 2 = AC 2 + AD 2 , CD 2 = 3 2 + 4 2 , откуда CD = 5 футов. Значит, AB = 3 + 5 = 8футов Ответ : 8 футов Задача 3 (из древнеиндийского трактата) Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Решение задачи 3 Решение: Треугольник ABC – прямоугольный, AB = AC + ½ Тогда по теореме Пифагора AB 2 = AC 2 + CB 2 , (AC + ½) 2 = AC 2 + 2 2 , AC = 3¾ фута Ответ: 3¾ фута http://th-pif.narod.ru На этом сайте вы сможете найти сведения об истории открытия и доказательства теоремы Пифагора, а так же о самом Пифагоре. Здесь приведены около 30 различных доказательств этой теоремы от древнейндийского математика Басхары до векторного доказательства. Вы сможете узнать, как использовали свойства и теорему прямоугольного треугольника древние египтяне, архитекторы средневековья и как она используется в наше время. Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Выполнила: ученица 8 «А»класса МБОУ «ООШ №26» г. Энгельса Люсина Алёна. Учитель: Еремеева Елена Борисовна История теоремы. Чу-пей 500-200 лет до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы. В древнекитайской книге Чу-пей (англ.) (кит. 周髀算經) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. История теоремы. Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. История теоремы. Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор (годами жизни которого принято считать 570-490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл считал,что не существует явного упоминания,что Пифагор был автором теоремы. Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики». По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора. Формулировки теоремы. Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c). Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Формулировки теоремы. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Доказательства. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Доказательство через равнодополняемость Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке справа. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab, и квадрата со стороной c , поэтому S=4 · ab+c 2 =2ab+c 2 . Таким образом, (a+b) 2 =2ab+c 2 , откуда a 2 +b 2 =c 2 . Теорема доказана. Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства - симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Здесь изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Доказательства методом достроения «Колесо с лопастями» Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Доказательство ан-Найризия В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Доказательство Бхаскари Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Доказательство Гарфилда Здесь три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором. Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора. Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. «Колесо с лопастями» Доказательство ан-Найризия Доказательство Гарфилда Атанасян Л.С. ,Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред.шк./авт.-сост. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.//.-М.: Просвещение,1994. Погорелов А.В., Геометрия: учебн. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений.-6-е изд.-М.: Просвещение, 1996. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /глав. ред. М.Д. Аксенова. м: Аванта +, 2002. Энциклопедический словарь юного математика /сост. А.П. Савин. -М.: Педагогика, 1989. http://bankreferatov.ru/ http://kvant.ru/ http://th p if.narod.ru/formul.html Все о шторах. Дизайн, оформление, идеи 2024 © provolp.ru