Рис. 15 Рис. 16

Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче (рис. 15), проекции на одной из плоскостей проекции совпадают (А 1 ºВ 1 ; С 2 ºD 2), а на другой проекции они распадаются на две отдельные (А 2 ;В 2) , (С 2 ;D 2) (рис.16). Из двух совпавших на одной из проекций точек, принадлежащих разным геометрическим элементам, на проекции видна та, у которой другая проекция расположена дальше от оси Х.

На рис.16 видно, что

Z A >Z B ® (×) A 1 на проекции видима, а (×) В­ 1 – невидима;

y C >y D ® (×) C 2 на проекции видима, а (×) D 2 - невидима.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рис.17).

Точке пересечения фронтальных проекций прямых соответствуют две точки Е и F, из которых одна принадлежит прямой а, другая - прямой b. Их фронтальные проекции совпадают, т.к. в пространстве обе точки Е и F находятся на общем перпендикуляре к плоскости П 2 . Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой (рис. 17), позволяет установить, какая из двух точек ближе к зрителю.

В нашем случае - это точка Е, лежащая на прямой b. Следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а (y E >y F ® b 2 - впереди, а 2 - за ней).

Точке пересечения горизонтальных проекций соответствуют две точки К и L, расположенные на разных прямых. Фронтальная проекция дает ответ на вопрос о том, какая из двух точек выше. Как видно из чертежа точка К 2 выше L 2 . Следовательно, прямая а проходит выше прямой b.

Решаем задачу в целом (рис. 18).

2. АВСÇP=1,2(1 2 2 2 ®1 1 2 1);

3. lÇ1,2=(K 1 ®K 2) ;

4. Определим видимость.

Перпендикулярность прямой и плоскости (к задаче №4)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. В плоскости проводят две такие прямые (горизонталь и фронталь), к которым можно построить перпендикуляр.

Точка может находиться в любом из восьми октантов. Так же точка может располагаться на какой-либо плоскости проекций (принадлежать ей) или на какой-либо оси координат. На рис. 15 показаны точки, расположенные в разных четвертях пространства. Точка В находится в первом октанте. Она удалена от плоскости проекций П 1 , на расстояние, равное расстоянию от ее фронтальной проекции В до оси проекций, и от плоскости П 2 на расстояние, равное расстоянию от ее горизонтальной проекции до оси проекций. При преобразовании пространственного макета горизонтальная плоскость проекций П 1 разворачивается в направлении, указанном стрелкой, и вместе с ней разворачивается горизонтальная проекция точки В , фронтальная проекция остается на месте.

Точка А находится во втором октанте. При развороте плоскостей проекций обе проекции этой точки (горизонтальная и фронтальная) на эпюре будут располагаться на одной линии связи выше оси проекций Х . По проекциям можно определить, что точка А располагается несколько ближе к плоскости проекций П 2 , чем к плоскости П 1 , поскольку ее фронтальная проекция располагается выше горизонтальной.

Точка С находится в четвертом октанте. Здесь горизонтальная и фронтальная проекции точки С располагаются ниже оси проекций. Поскольку горизонтальная проекция точки С ближе к оси проекций, чем фронтальная, то точка С располагается ближе к фронтальной плоскости проекций, аналогично проекциям точки А на фронтальной плоскости проекций.

Таким образом, по расположению проекций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т. е. можно установить, в каких углах пространства они находятся и на какие расстояния они отстоят от плоскостей проекций и т. д.

На рис. 16 представлены также точки, занимающие некоторые частные (особые положения). Точка Е принадлежит горизонтальной плоскости П 1 ; фронтальная проекция Е 2 этой точки находится на оси проекций, а горизонтальная проекция Е 1 совпадает с самой точкой.

Точка Ф принадлежит фронтальной плоскости П 2 ; горизонтальная проекция Ф 1 этой точки находится на оси проекций, а фронтальная проекция Ф 2 совпадает с ней. Точка Г принадлежит оси проекций. Обе проекции этой точки находятся на оси координат.

Если точка принадлежит плоскости проекций, то одна из ее проекций находится на оси, а другая с точкой совпадает.

Расстояние точки от фронтальной плоскости проекций называют глубиной точки, от профильной – шириной и от горизонтальной плоскости проекций – высотой . Эти параметры можно определить по отрезкам линий связи на эпюре. Например, на рис. 13 глубина точки А равна отрезку А х А 1 , ширина 0А х или А 2 А z , высота – отрезкам А х А 2 или А у А 3 . Также глубину точки можно определить по величине отрезка А z А 3 , поскольку он равен всегда отрезку А х А 1.

На рис. 17 представлены некоторые точки. Как можно заметить по данному рисунку, одна из проекций точки С , в данном случае фронтальная, принадлежит, т. е. находится, на оси х . Если записывать координаты точки С , то они будут выглядеть следующим образом: С (х, y, 0). Отсюда делаем вывод, поскольку координата точки С по оси Z (высота) равна нулю, то сама точка находится на горизонтальной плоскости проекций в месте расположения своей горизонтальной проекции.

Запись координат точки А выглядит следующим образом: А (0, 0, z). Координата точки А по оси x равна нулю, значит точка А не может располагаться на фронтальной или горизонтальной плоскостях проекций. Координата точки А и по оси y тоже равна нулю, следовательно, точка не может находиться и на профильной плоскости проекций. Отсюда делаем вывод, что точка А располагается на оси z , которая является линией пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций.

Фронтальная проекция точки К на рис. 17 располагается ниже оси x , следовательно сама точка расположена ниже горизонтальной плоскости проекций. Ниже горизонтальной плоскости располагаются октанты III и IV (см. рис. 12). А поскольку проекция К 1 расположена на эпюре ниже оси y , то делаем вывод, что сама точка К расположена в четвертом октанте пространства.

Точка В расположена в первом октанте пространства, и по расположению проекций можем судить, что точка В не принадлежит ни плоскостям проекций, ни осям координат.

Особое место в начертательной геометрии отводится конкурирующим точкам. Конкурирующими называют точки, проекции которых совпадают на какой-либо плоскости проекций. Метод конкурирующих точек используют для решения различных задач, в частности для определения видимости объектов. На рис. 18 представлены две пары конкурирующих точек: В – Т и А – Е . Точки В – Т являются горизонтально-конкурирующими, поскольку их проекции совпадают на горизонтальной плоскости проекций, а точки А – Е – фронтально-конкурирующими, поскольку их проекции совпадают на фронтальной плоскости проекций.

По рис. 18 можно определить, что на горизонтальной плоскости проекций будет видима точка В , поскольку в пространстве она располагается выше точки Т . На эпюре видимость двух горизонтально-конкурирующих точек на горизонтальной плоскости проекций определяют, сравнивая высоту фронтальных проекций этих точек: высота точки В больше, чем высота точки Т , следовательно, на горизонтальной плоскости проекций будет видима точка В , поскольку на фронтальной плоскости проекций ее проекция располагается выше проекции точки Т .

Аналогичным образом определяют видимость двух фронтально-конкурирующих точек, только в этом случае сравнивают расположение проекций двух точек на горизонтальной плоскости проекций. На рис. 18 видно, что точка А располагается в пространстве ближе к наблюдателю, чем точка Е , у точки А расстояние по оси y больше, чем у точки Е . На эпюре проекция точки А – А 1 располагается ниже, чем проекция точки Е – Е 1 , следовательно, на фронтальной плоскости проекций видима будет точка А .

Видимость профильно-конкурирующих точек определяют, сравнивая расположение проекций по оси х . Точка, у которой координата по оси х больше, будет видима на профильной плоскости проекций.

По эпюру на комплексном чертеже, имея определенные знания и навыки, легко определить расположение точки пространства относительно плоскостей проекций, осей координат или каких-либо других объектов. Умея распознавать по эпюру положения точки, можно также определить положение любого другого объекта пространства, поскольку любой геометрический объект можно представить как множество точек, расположенных определенным образом.

а б в

На рис. 19, а на видно, что точка А располагается дальше точки В от наблюдателя в пространстве и обе они расположены на одной высоте. На комплексном чертеже (рис. 19, б ) фронтальные проекции обеих точек расположены на равном расстоянии от оси х ,горизонтальная проекция точки А расположена ближе к оси х , чем проекция точки В . Поскольку положение прямой линии в пространстве задается двумя точками, соединив точки А и В прямой линией, мы получим изображение линии на чертеже. Если фронтальные проекции двух точек прямой расположены на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций, следовательно, прямая линия расположена параллельно этой плоскости (рис. 19, в ).

По скрещивающимся прямым

Две точки, горизонтальные проекции которых совпадают, назовем горизонтально-конкурирующими. Фронтальные проекции таких точек (см. точки А и В на рис. 41) не закрывают друг друга, а горизонтальные – конкурируют, т.е. не ясно, которая точка видна, а которая закрыта.

Из двух горизонтально-конкурирующих точек в пространстве видна та, которая выше, на эпюре ее фронтальная проекция выше. Значит, из двух точек А и В на рис. 41 точка А на горизонтальной плоскости проекций видна, а точка В – закрыта (не видна).

Две точки, фронтальные проекции которых совпадают, назовем фронтально-конкурирующими (см. точки C и D на рис. 41). Из двух фронтально-конкурирующих точек видна та, которая ближе, еегоризонтальная проекция на эпюре ниже.

Аналогичные пары конкурирующих точек 1, 2 и 3, 4 мы имеем на рис. 42 на скрещивающихся прямых m и n. Точки 3 и 4 – фронтально-конкурирующие, из них не видна точка 3 как более дальняя. Эта точка принадлежит прямой n (это видно на горизонтальной проекции), значит в окрестности точек 3 и 4 на фронтальной проекции прямая n находится сзади прямой m.

Точки 1 и 2 – горизонтально-конкурирующие. По их фронтальным проекциям устанавливаем, что точка 1 расположена выше точки 2 и принадлежит прямой m. Значит, на горизонтальной проекции в окрестности точек 1 и 2 прямая n – под ней, т.е. не видна.

Таким путем определяется видимость плоскостей многогранников и линейных поверхностей, т.к. легко выявляются конкурирующие точки на скрещивающихся линиях: ребрах и образующих тел.

Рис. 42

Проекции прямого угла

Если плоскость прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, например П 1 (рис. 43, рис. 44), то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения. При этом обе стороны угла параллельны плоскости П 1 . Если обе стороны прямого угла не параллельны ни одной из плоскостей, то прямой угол проецируется с искажением на все плоскости проекций.

Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в натуральную величину(рис. 45, рис. 46).

Докажем это положение.

Пусть сторона ВС угла АВС параллельна плоскости П 1 . В 1 С 1 – ее горизонтальная проекция; В 1 С 1 ║BC. А 1 – горизонтальная проекция точки А. Плоскость А 1 АВ, проецирующая прямую АВ на плоскость П 1 , перпендикулярна к ВС (т.к. ВС АВ и ВС ВВ 1). А т.к. ВС║В 1 С 1 , значит плоскость АВ В 1 С 1 . В таком случае А 1 В 1 В 1 С 1 . Итак А 1 В 1 С 1 – прямой угол. Рассмотрите, как выглядит эпюр прямого АВС, сторона ВС которого параллельна плоскости П 1 .

Рис. 43 Рис. 44

Рис. 45 Рис. 46

Аналогичные рассуждения можно провести относительно проецирования прямого угла, одна сторона которого параллельна плоскости П 2 . На рис. 47 приведены наглядное изображение и эпюр прямого угла.

Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими . Они проецируются на соответствующую плоскость проекций в одну точку в соответствии с рисунком 1.2.15. Так, А и В – горизонтально конкурирующие точки; С и D – фронтально конкурирующие точки; Е и F – профильно конкурирующие точки.

Для увеличения наглядности чертежа прибегают к некоторой условной видимости. Её можно определить с помощью конкурирующих точек. Будем считать, что направление лучей зрения совпадает с направлением проецирующих линий. Вопрос о видимости точек А и В на горизонтальной проекции решается следующим образом: видна та точка, высота которой больше.

Рисунок 1.2.15 – Конкурирующие точки

Рисунок 1.2.16 – Комплексный чертёж конкурирующих точек

В соответствии с рисунком 1.2.16 фронтальная проекция показывает, что точка А расположена выше, чем точка В . Аналогичный критерий видимости применяют к точкам С и D , и к точкам E и F . Так, точки С и D сравнивают по глубине, а точки Е и F – по широте.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний

Начертательная геометрия изучаемая студентами заочной формы обучения в первом семестре является первой частью дисциплины инженерная графика и е.. данное учебно методическое пособие посвящено именно этой части дисциплины.. при изучении курса необходимо ознакомиться с программой приобрести учебную литературу и тщательно продумать..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

По дисциплине
«Инженерная графика» Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях. Различные инженерные сооружения их отдельные конструкции, архитектурные

Основные обозначения
- Точки в пространстве обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D… или арабскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5 … - прямые или кривые линии в пространстве – с

Способы проецирования
При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов по

Центральное проецирование
Пусть

Параллельное проецирование
Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость.

Ортогональное проецирование
Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плос­кости проекций П′ (s^П’). В о

Изображение прямой линии на комплексном чертеже
Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.

Прямые частного положения
Как уже отмечалось, к прямым частного положения относятся прямые уровня, т.е. параллельные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1 это прямые h, f, p), и проецирующ

Следы прямой линии
Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным сл

Фронтальный след
Горизонтальной проекцией фронтального следа F1 является точка пересечения горизонтальной проекции прямой с осью х12. Фронтальная проекция фронтального с

Определение натуральной величины отрезка прямой
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскостям проекций производится способом прямоугольного треугольника. Как видно из р

Взаимное положение двух прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если прямые а и b пересекаются в некоторой точке K, то на основании

Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения. Доказательство (рисунок

Изображение плоскости на комплексном чертеже
Плоскость можно задать: - тремя точками, не лежащими на одной прямой; - прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; - двумя пересекающимися прямыми; - двумя пара

Главные линии плоскости
К прямым, занимающим особое положение в данной плоскости, относят: 1) Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. На комплек

Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответствующим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (в соответствии с рисунком 1.3.16 прямая

Следы плоскости
Следом плоскости называется прямая её пересечения с плоскостью проекций. На рисунке 1.3.17 плоскость W задана следами l и m: l=W ∩П2 и

Плоскости частного положения
Выше было отмечено, что к плоскостям частного положения относятся плоскости уровня (параллельные плоскости проекций) и плоскости проецирующие (перпендикулярные плоскости проекций). В первом случае

Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в плоскости Q

Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, пересекающиеся прямые с и d плоскост

Перпендикулярность прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что прямая f2, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости. На заданной плоскости в каче

Пересечение прямой линии с плоскостью
Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24. Алгоритм решения задачи осно

Пересечение двух плоскостей
В этой позиционной задаче общим элементом данных геометрических объектов является прямая линия. Её можно построить двумя способами: с помощью плоскостей-посредников частного положения, одновременно

Кривые линии
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности. Кривые линии мо

Проекционные свойства плоских кривых
Допустим, что данная кривая l лежит в некоторой плоскости W. Спроецируем кривую l на плоскость проекций П¢ по направлению s в соответствии с рисунком 1.2.27.

Ортогональная проекция окружности
Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной

Линейчатые поверхности
Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая может быть образована движением прямой линии в пространстве. В зависимости от характера движения образующей

Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо образующей при её вращении вокруг неподвижной оси. Образующая может быть как плоской, так и пр

Поверхности вращения второго порядка
При вращении кривой второго порядка вокруг её оси образуется поверхность вращения второго порядка. Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка:

Пересечение поверхности с плоскостью
Это есть позиционная задача на определение для данных геометрических объектов их общего элемента, которым является кривая линия. Для её построения используются вспомогательные плоскости-по

Конические сечения
Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями. К этим линиям относятся следующие: элл

Общий алгоритм решения задачи
Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 1.3.52). Чт

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков п

Преобразование комплексного чертежа
Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на комплексном чертеже часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоск

Способ замены плоскостей проекций
Отличительная особенность способа замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей, в которой заданы проекции объекта, к новой системе двух взаимно перпендикулярных плоско

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
Применение способа замены плоскостей проекций для решения различных задач (позиционных и метрических) основывается на четырёх основных задач. Задача 1. Сделать прямую l(l1

Способ плоскопараллельного перемещения
Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных между собой. При плоскопараллельном перемещении относ

Способ вращения
Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения. Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую

Способ вращения вокруг проецирующей оси
При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг некоторой оси. Если ось вращения расположить перпендикулярно к плоскости п

Основные задачи, решаемые способом вращения
Задача№1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.14). Рассмотрим решение задачи, вращая прямую АВ вокруг горизонтально-проецирующей прямой

Построение разверток
Разверткой поверхности называется плоская фигура, образованная последовательным совмещением поверхности с плоскостью без разрывов и складок. При развертывании поверхность рассматри

Развертка поверхности призмы
Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки». Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхност

Развертка поверхности пирамиды
Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трем сторонам. Поэтому для получения развертки пирамиды достаточно определить натуральные величины ее боковых ребер и

Развертка цилиндрической поверхности
Цилиндрические поверхности развертываются теми же способами, что и призматические. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму, а затем определяют развертк

Развертка конической поверхности
Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n-угольную пирамиду (число n от мас

Аксонометрические проекции
Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта. Аксонометрический чертёж состоит только из

Стандартные аксонометрические системы
Из частных видов аксонометрических проекций, предусмотренных государственным стандартом, чаще всего используют ортогональную изометрию, и ортогональную диметрию.

Аксонометрическая проекция окружности
Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, про

Ответы к экзамену по курсу Инженерная и компьютерная графика.

Аппарат проецирования включает проецирующие лучи, плоскость, на которую осуществляется проецирование, и проецируемый объект. Все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки S, называемой центром проекций

Методы проецирования: Центральное(), параллельное(частный случай центрального. определяется положение плоскости и направление проецирования, если прямая параллельна направлению проецирования то она проецируется в точку), Ортогональное.

Ортогональный – прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного проецирования. При котором направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции.

Свойства ортогонального проецирования:

Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:

Теорема:

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

2)Метод параллельного проецирования на 2-е взаимно перпендикулярные плоскости был изложен французским геометром Гаспаром Монжем и назван Эпюрой Монжа П1-горизонтальная П2- фронтальная П3 - профильная

3)Система прямоугольных координат называется еще декартовыми координатами по имени французкого математика декарта. Здесь три взаимно перпендикулярные плоскости называются плоскостями координат. Прямые по которым пересекаются плоскости называются осями координат. можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Координатами точки называются расстояния, отсекаемые линиями связи на осях координат. Три координаты точки задают ее положение в пространстве.

Начало координат О будет перемещаться по биссектрисе угла Х 21 О Z 23 , которую называют постоянной прямой чертежа . Ее можно задать произвольно, либо сначала построить третью проекцию А 3 , а затем провести биссектрису угла А 1 А 0 А 3 .

4) Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат (X , Y , Z ). Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О . Плоскости координат в своем пересечении образуют 8 трехгранных углов, деля пространство на 8 частей – октантов (от латинского octo – восемь).

Знаки по Номер октанта

координат I II III IV V VI VII VIII

0X + + + + - - - -

0Y + - - + + - - +

0Z + + - - + + - -

Точка общего положения - точка, находящаяся в пространстве октанта.

Точка частного положения - точка, находящаяся либо на оси проекций, либо на плоскости проекций.

Конкурирующие точки - точки, лежащие на одном проецирующем луче. Это значит, что одна из них закрывает другую, две одноименные координаты этих точек равны, а соответствующие проекции этих точек совпадают.

Симметричные точки - точки, расположенные с разных сторон на одинаковом расстоянии от оси проекций. При этом у них различаются знаки соответствующих координат.

Горизонтально конкурирующие точки - точки, расположенные так, что их проекции совпадают (т.е. конкурируют на плоскости Π 1).

Фронтально конкурирующие точки - точки, у которых совпадают проекции на плоскости Π 2 .

Профильно конкурирующие точки - точки с конкурирующими проекциями на плоскости Π 3 .

Определение видимости конкурирующих точек при проецировании - пространственное представление взаимного расположения конкурирующих точек, а именно: какая из точек находится выше или ближе к наблюдателю; какая из точек при проецировании на соответствующую плоскость "закроет" другую, конкурирующую с ней, точку, т.е. проекции каких точек окажутся видимыми или невидимыми. Например, у горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота.

Видимость конкурирующих точек на чертеже - условная запись обозначения точек и символа конкурирования на чертеже последовательности проецирования конкурирующих точек на плоскость проекций, когда проекции совпадают. Обозначение видимой проекции ставится на первом месте. Обозначение невидимой - на втором (либо берется в скобки)

5) Проекция прямой линии определяется точками

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рисунок 10). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получим проекции отрезка АВ – фронтальную (А 2 В 2) и горизонтальную (А 1 В 1). Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей π 1, π 2 , π 3 , т.е. прямая АВ не параллельна ни одной из них и не перпендикулярна к ним. Такая прямая называется прямой общего положения. Здесь каждая из проекций меньше самого отрезка А 1 В 1 <АВ , А 2 В 2 <АВ , А 3 В 3 <АВ .

Прямая линия может занимать относительно плоскостей особые (частные) положения. Рассмотрим их.

Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня . В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

1. Прямая параллельна плоскости π 1 (рисунок 11). В этом случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции, а горизонтальная проекция равна самому отрезку (А 2 В 2 ║ОХ , А 1 В 1 =│АВ │). Такая прямая называется горизонтальной и обозначается буквой “h ”.

2. Прямая параллельна плоскости π 2 (рисунок 12). В этом случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекции (С 1 D 1 ║ОХ ), а фронтальная проекция равна самому отрезку (С 2 D 2 =│CD │). Такая прямая называется фронтальной и обозначается буквой “f ”.

3. Прямая параллельна плоскости π 3 (рисунок 13). В этом случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ , а ее профильная проекция равна самому отрезку, т.е. Е 1 К 1┴ ОХ , Е 2 К 2 ┴ ОХ , Е 3 К 3┴ ЕК . Такая прямая называется профильной и обозначается буквой “p ”.

Прямые уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны третьей плоскости проекций. Такие прямые называют проецирующими. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые.

4. Прямая параллельна двум плоскостям – π 1 и π 2 . Тогда она будет перпендикулярна плоскости π 3 (рисунок 14). Проекция прямой на плоскости π 3 представит собой точку (А 3 ≡В 3), а проекции на плоскостях π 1 и π 2 будут параллельны оси ОХ (А 1 В 1 ║ОХ , А 2 В 2 ║ОХ ).

Рисунок 13

5. Прямая параллельна плоскостям π 1 и π 3 , т.е. она перпендикулярна плоскости π 2 (рисунок 15). Проекция прямой на плоскости π 2 представит собой точку (С 2 ≡D 2), а проекции на плоскостях π 1 и π 3 будут параллельны осям У и У , т.е. перпендикулярны осям Х и Z , (C 1 D 1┴ OX , C 3 D 3┴ Z ).

6. Прямая параллельна плоскостям π 2 и π 3 , т.е. она перпендикулярна плоскости π 1 (рисунок 16). Здесь проекция прямой на плоскости π 1 представит собой точку (Е 1 ≡К 1), а проекции на плоскостях π 2 и π 3 будут перпендикулярны оси ОХ и ОУ соответственно (Е 2 К 2┴ ОХ , Е 3 К 3┴ ОУ ).

Горизонталь равна отрезку – фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции

Фронталь равна отрезку - горизонтальная проекция параллельна оси проекции

Истинная величина тогда когда прямая параллельна плоскости.

Теорема Фалеса - одна из теорем планиметрии .

Формулировка теоремы:

Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки , отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.

Согласно теореме Фалеса (см. рисунок), если A 1 A 2 = A 2 A 3 , то B 1 B 2 = B 2 B 3 .

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

Если точка принадлежит некоторой прямой, то проекции этой точки лежат на соответствующих проекциях прямой. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 17). Так как прямые АА 1 , СС 1 , ВВ 1 параллельны между собой, то
.

Это вытекает из теоремы Фаллеса

Так как отношение отрезков прямой линии равно

отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок

прямой на эпюре – значит разделить в том же отношении любую его

проекцию.

6) Следами прямой линии называются

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой (рисунок 19). Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М 1) совпадает с самим следом, а фронтальная проекция этого следа М 2 лежит на оси проекции Х . Фронтальная проекция фронтального следа N 2 совпадает со следом N , а горизонтальная его проекция N 1 лежит на той же оси проекции Х . Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию А 2 В 2 до пересечения с осью Х и через точку М 2 провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А 1 В 1 . Точка М ≡М 1 – горизонтальный след прямой АВ . Аналогично находим фронтальный след N ≡N 2 .

Прямая не имеет следа на плоскости проекции в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

7)На горизонтальной проекции А1В1 как на катете строим прямоугольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекции. На чертеже эта разность определяется величиной zb-za / В результате получаем прямоугольный треугольник где гипотенуза равна длине отрезка АВ а угол между ней и большим катетом – угол наклонна данного отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекции

8)Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если две прямые в пространстве параллельны между собой, то их проекции на плоскости также параллельны между собой (рисунок 20). Обратное утверждение не всегда верно. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых

Прямые параллельны, если: точки пересечения проекция прямых линий, соединяющих концы данных отрезков, являются проекциями точка пересечения этих прямых линий.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой

Как видно из данного рисунка, точка с проекциями К 2 и К 1 принадлежит прямой АВ , а точка с проекциями L 2 и L 1 принадлежит прямой С D . Эти точки одинаково удалены от плоскости π 2 , но расстояния их от плоскости π 1 различны: точка L расположена выше, чем точка К .

9) Признаки перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей рассматриваются в стереометрии. Напомним некоторые из них: 1) две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o ; 2) если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны; 3)если прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей этой плоскости 4) если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

10) Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную линиям связи. Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Теорема 1. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.

Если ни одна из сторон не параллельна плоскости проекции Прямой угол DВС на плоскость П 2 проецируется в искаженную величину

Если плоскость γ , в которой расположен некоторый угол АВС , перпендикулярна к плоскости проекции (π 1), то он проецируется на эту плоскость проекции в виде прямой линии

2. Если проекция угла представляет угол 90 0 , то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.26 ).

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением

Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол - в виде тупого угла большей величины.

11) Плоскость на чертеже может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой

б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой

в) проекциями двух пресекающихся прямых

г) проекциями двух параллельных прямых

д) проекциями любой плоской фигуры – треугольником, многоугольником, кругом и т.д.

е) более наглядно плоскость может быть изображена при помощи следов – линий пересечения ее с плоскостями проекций

Если плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения.

Если плоскость параллельна плоскости π 1 , то такая плоскость называется горизонтальной.

Если плоскость параллельна плоскости π 2 , то такая плоскость называется фронтальной

Если плоскость параллельна плоскости π 3 , то такая плоскость называется профильной плоскостью

Если плоскость перпендикулярна плоскости π 1 (но не параллельна плоскости π 2), то такая плоскость называется горизонтально-проецирующей

Если плоскость перпендикулярна плоскости π 2 (но не параллельна плоскости π 1), то такая плоскость называется фронтально-проецирующей

Если плоскость перпендикулярна плоскости π 3 (но не перпендикулярна плоскостям π 1 и π 2), то такая плоскость называется профильно-проецирующей

Линию пересечения плоскости с плоскостью проекций называют следом

12-13) Проверка принадлежности точки плоскости.

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так на рис. 3.14 плоскость Q задана проекциями а 1 b 1 , а 2 b 2 и c 1 d 1 , c 2 d 2 параллельных прямых, точка - проекциями e 1 , e 2 . Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из плоскостей точки. Например, фронтальная проекция 1 2 2 2 вспомогательной прямой проходит через проекцию e 2 .Построив горизонтальную проекцию 1 1 2 1 вспомогательной прямой, видно, что точка Е не принадлежит плоскости Q.

Проведение любой прямой в плоскости.

Для этого достаточно (рис.3.10) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например а 1 ,а 2 и 1 1 , 1 2 , и через них провести проекции а 1 1 1 , а 2 1 2 прямой А-1. На рис. 3.11 проекции b 1 1 1 , b 2 1 2 прямой B-1проведены параллельно проекциям а 2 с 2 , а 1 с 1 стороны АС треугольника, заданного проекциями а 1 b 1 c 1 , а 2 b 2 c 2 . Прямая B-1принадлежит плоскости треугольника ABC.

Построение в плоскости некоторой точки.

Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже(рис.3.12) плоскости, заданной проекциями а 1 ,а 2 точки, b 1 c 1 , b 2 c 2 прямой, проведены проекции а 1 1 1 , а 2 1 2 вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d 1 , d 2 точки D, принадлежащей плоскости.

Построение недостающей проекции точки.

На рис.3.13 плоскость задана проекциями а 1 b 1 c 1 , а 2 b 2 c 2 треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d 2 . Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию b 2 1 2 d 2 прямой, строят ее горизонтальную проекцию b 1 1 1 и на ней отмечают горизонтальную проекцию d 1 точки.

14)Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга (см пункт 5)

15) Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Алгоритм построения точки пересечения:

Определяем видимость прямой а с помощью метода конкурирующих точек .(Точки, у которых проекции на П 1 П 1 , а точки, у которых проекции на П 2 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П 2 .)

16) Прямая линия перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым этой плоскости. Две плоскости взаимно перпендикулярны если одна из плоскостей имеет прямую линию перпендикулярную этой плоскости

Чтобы построить в проекциях прямую перпендикулярную плоскости необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла.

Прямая линия перпендикулярна плоскости если ее проекции перпендикулярны одноименным проекциям направлений горозинтали и фронтали плоскости

Взвимная перпендикулярность двух прямых