1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.

Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.

Результат - это исход эксперимента.

Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.

Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.

Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.

Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие

Число очков, скажем, больше 3.

Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.

Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.

2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.

3. Построим модель случайного эксперимента.

Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.

Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,

Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.

Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит

Элементарное событие: оно содержит только один исход.

Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов

Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.

Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.

Несовместные события: они не имеют общих исходов.

Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.

Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.

Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:

Пустое множество 0 принадлежит этому классу;

Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;

Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.

Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.

Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий

Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.

Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.

Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:

Действительное число;

Для любого

(вероятность достоверного события);

Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на

Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .

4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.

Свойство

Доказательство.

Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,

Свойство

Доказательство.

Несовместимы и Следовательно, Отсюда

5. Конструктивные способы задания вероятностей.

Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.

5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.

За вероятность примем предел

5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то

где - общее число исходов.

5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять

где - мера области - мера области

5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение

при условии

События независимы, если

Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .

Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?

Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):

вероятность выигрыша первого игрока

вероятность выигрыша второго игрока

вероятность выигрыша третьего игрока

Следовательно, шансы игроков откосятся как

Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?

Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?

Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.

Историческая справка:

Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века) – Гаусса и Пуассона.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).

Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).

Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов , т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.

Понятие случайного эксперимента

Примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А ()называется отношение числа появлений события А (
) к общему числу испытаний (N):

Например, при бросании правильной монеты дробь

при

(
-количество орлов, N –общее число бросаний )

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .

При
(наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n
).

Определение 1.1: Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов .

Пример построения пространства элементарных исходов:

Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:

Содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.

Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):

Рассмотрим следующую схему

Дискретные пространства – это пространства, в которых можно выделить отдельные исходы. В дискретных конечных можно точно указать их число.

Примеры дискретных пространств элементарных исходов

Эксперимент: однократное подбрасывание монеты

, где

Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)

Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.

Замечание : если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.

Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.

Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.

Модель можно строить по-разному:

либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.

либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.

Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию . Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом

(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для премирования премиями различными по сумме . Результат эксперимента : конкретная упорядоченная пятёрка. При выборе нам важен не только состав, но и порядок выбора, т.к. от того каким человек выбран зависит размер премии.

1860480 (столько упорядоченных различных «пятёрок» можно получить из 20 человек).

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Обобщённое правило умножения:

Пусть нужно совершить m независимых действий причём первое действие можно совершить способами, второе - способами и т.д. …. m -ое действие
способами. Тогда всю последовательность действий можно осуществить

способами

Перестановки .

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.

-число перестановок из n элементов

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения

Размещения.

Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m

Число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. , а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Сочетания.

Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.

Сочетания и размещения связаны следующим образом:

(на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,

число сочетаний из n элементов по m (число вариантов такого не упорядоченного выбора

Пример непрерывного пространства элементарных исходов

Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).

(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.

События и операции над ними:

Определение 1.2

Любой набор элементарных исходов называют событием. С обытия обозначаются большими латинскими буквами A,B,C или буквами с индексами A 1 ,A 2 ,A 3 и т.д.

Часто используется следующая терминология: говорят, что произошло (или наступило) событие А, если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов
.

Примеры событий

Вернёмся к эксперименту, состоящему в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим следующие события:

A={выпадение чётного числа очков}

В={выпадение нечётного числа очков}

C={выпадение числа очков кратного 3}

Тогда, согласно введённым ранее обозначениям,

Определение 1.3

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным . Его обозначают
также как и пространство элементарных исходов.

Пример достоверного события : при бросании игральной кости выпадает не больше 6 очков или при бросании игральной кости выпадёт хотя бы одно очко.

Определение 1.4

Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным. Его обозначают символом  .

Пример невозможного события: при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна 20.

Операции над событиями:

фразе произошло хотя бы одно из событий А или В).

Определение 1.5 События А и В называют несовместными, если их пересечением является невозможное событии, т.е. AB= .

Пример задачи на операции над событиями:

По мишени производят три выстрела. Рассмотрим события

{Попадание при i-ом выстреле}, i=1..3

Выразить с помощью теоретико-множественных операций через события A i следующие события:

А={три попадания}=

B={три промаха}=

C={хотя бы одно попадание}=

D={хотя бы один промах}=

E={не менее двух попаданий}=
+
+
+

F={не больше одного попадания}=
++
+

G={попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле}=

Идея : дальше будут задачи такого типа: вероятности событий даны и требуется, зная эти вероятности, найти вероятности событий A, B, C, D, E, F, G

§2. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Для количественного сравнения шансов наступления событий вводится понятие вероятности.

Определение 2.1 Пусть каждому событию A поставлено в соответствие число P (A ). Числовую функцию P называют вероятностью или вероятностной мерой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома неотрицательности

Аксиома нормированности

Аксиома сложения (расширенная) изучается некоторое случайное событие ...

Документ

Добавился новый тип ошибок – недостаточное количество элементов . В результате проведенных экспериментов выяснено, что дети, страдающие... конкретными примерами . Изучая характер влияния на произвольное внимание детей специального обучения элементарным ...

Образовательная программа основного общего образования Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

Образовательная программа

Результатов (исходов ) простейших случайных экспериментов ; находить вероятности простейших случайных событий ; ... Элементы логики, статистики,

Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным . (Пример: подброшенный вверх камень обязательно упадет вниз. Повышение жизненного уровня вызывает рост потребления товаров. Поломка системного блока выводит из строя компьютер.)

Эксперимент считается случайным , если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно. ТВ исследует именно случайные эксперименты, вернее модели экспериментов со случайными исходами . При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Будем рассматривать событие как результат испытания. Примеры:1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько частей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие. 2. Извлечение шара из урны – испытание, появление шара определенного цвета – событие. 3. Сдача экзамена – испытание (случайный эксперимент), получение оценки – событие.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике

И математической статистике.. Для специальности Управление информационными.. ресурсами..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует

Пространство элементарных событий
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий События

Совместные и несовместные события
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д

Свойства операций над событиями
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

Алгебра и сигма-алгебра событий
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если, то
Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Во многих случаях более удобным ока

Геометрические вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос

Аксиоматическое построение теории вероятностей
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб

Полная группа событий
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество

Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Вероятность события, вычи

Формула сложения вероятностей
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий
. Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и нез

Формула полной вероятности
Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий

Формула Байеса
Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ

Правила суммы и произведения
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди

Понятие потока событий
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью

Событий с использованием функций и плотностей распределения
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одн

Закон распределения дискретной случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()

Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо

Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения. 1. Функция распределения принимает значения из промежутка

Свойства плотности распределения вероятностей
1. Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то е

Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х

Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций,

Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл

Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия
Закон распределения случайной величины числа появлений события в схеме Бернулли име

Распределение Пуассона
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п

Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения

Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:

Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется

Нормальное распределение и его свойства
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами

Свойства функции Гаусса
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса. Исследуем поведение функции плотности вероятности

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках это

Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм»
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математичес

Многомерные случайные величины
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар

Совместная функция распределения двух случайных величин
Функция, определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству: . 2.

Непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей

Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи

Свойства коэффициента корреляции
1. 2. Если, то

Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем

Теорема Чебышева
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был

Центральная предельная теорема
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.

Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности
Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-ли

Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: · Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось

Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы. Полигоном частот

Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы

Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п

Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним

Надежность и доверительный интервал
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неи

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Тре

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему к

Проверка статистических гипотез
На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статис

Критические точки
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот

Критерий согласия Пирсона о виде распределения
Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую г

(УИР). Понятие о регрессионном анализе
Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимос

Понятие о регрессионном анализе
При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н

Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо

Показательная модель
Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос

(УИР). Понятие о корреляционном анализе
Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон

А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в каче

Оценка значимости уравнения регрессии в целом
Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф

Оценка значимости отдельных параметров регрессии
По каждому из параметров определяется его стандартная ошибка. Стандартная ошибка линейного коэффициента регрессии о

Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен

(УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в

Однородные цепи Маркова
Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния

Переходные вероятности. Матрица перехода
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния

Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния

Цепи Маркова с непрерывным временем
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные

Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний. В случае марковской

Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при

Системы массового обслуживания
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО). Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи

А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен

Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что данная система (очередь + обслужив

Многоканальные модели
Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами. В многоканальных

Базовые понятия 1 ТВ

Базовые понятия (часть1) по курсу Теория вероятностей

1. 
   Модель случайного эксперимента.
2. 
   События (случайные события) и их свойства.
3. 
   Вероятность и её свойства.
4. 
   Условная вероятность.
5. 
   Независимость событий.
6. 
   Формула полной вероятности.
7. 
   Формула Байеса.

1. 
   Модель случайного эксперимента, вероятностное пространство.

Случайный эксперимент обладает свойством статистической устойчивости : испытания могут потенциально проводиться неограниченное количество раз в идентичных условиях, при каждом испытании можно зафиксировать однозначно непредсказуемый заранее элементарный исход.

Модель такого эксперимента - согласованная тройка объектов (Ω , А ,Р ):

Ω = { ω } - пространство элементарных исходов, совокупность всех возможных элементарных исходов эксперимента. Различные элементарные исходы не пересекаются, они не могут произойти в эксперименте одновременно.

А = { А,В,… } - класс событий, полный набор интересующих нас событий.
Каждое событие – это некоторое подмножество возможных элементарных исходов эксперимента.

Р - вероятностная мера событий эксперимента.
Для каждого события А определена его вероятность Р (А ), вычисляемая по единому правилу.

1. 
   Свойства событий:

Мы говорим, что в эксперименте произошло событие А , если эксперимент привел к элементарному исходу входящему в А .

Полнота класса событий А означает:

А) с каждым событием A мы рассматриваем и его дополнение - событие, состоящее из всех возможных элементарных исходов эксперимента не вошедших в событие А ;

Б) вместе с любыми двумя событиями А и В мы рассматриваем их объединение
, и пересечение
.

Следствия:



называют достоверным событием, а называют невозможным событием.

Если = , то события А и В называют несовместными.

1. 
   Свойства вероятностей:

Способы задания вероятностной меры.

• 
  Классическая вероятность . Если

а) Количество элементов Ω конечно (Ω  ∞ ), Ω  = n .

Б) Все элементарные исходы  события (элементарные события ), ω  А .

В) Вероятности всех элементарных событий равны (равномерная вероятностная мера ), Р (ω ) = 1 / n .

Тогда вероятность любого события А определяется как доля количества элементарных исходов в А (А ) от количества элементарных исходов в Ω . Р (А ) = А  ⁄ Ω  .

• 
  Геометрическая вероятность . Если на пространстве элементарных исходов Ω задана конечная неотрицательная мера s (· ), тогда вероятность любого события А определяется как отношение меры А, s (А ), к мере Ω , s (Ω ). Р (А ) = s (А ) ⁄ s (Ω ).
• 
  Плотность распределения. Если

а) Пространство элементарных исходов  точки числовой оси (Ω = R ) или её части.

Б) Задана неотрицательная функция р (ω ), (р (ω ) ≥ 0 ), с площадью (s (· )) фигуры V Ω , ограниченной графиком р (ω ) и числовой осью Ω , равной 1 (s (V Ω ) = 1).

А) Функция р (ω ) называется плотностью распределения.

Б) Вероятность любого события А ⊆ Ω задаётся площадью s (V А ) фигуры, ограниченной графиком р (ω ) на части А числовой оси и числовой осью Ω . Р (А ) = s (V А ).

1. 
   Условная вероятность.

Вероятностью события А , при условии, что произошло событие В , (Р (В )>0 ) называют число [ Р (А  В ) ⁄ Р (В )] и обозначают его следующим образом Р В (А ) или Р (А В ), то есть:
Р В (А )= Р (А В )=[ Р (А  В ) ⁄ Р (В )] . При этом 0 ≤ Р В (А ) ≤ 1, т.к. (А  В ) ⊆ В и Р (В )>0 .

1. 
   Независимость событий.

События А и В независимы, если Р (А  В ) = Р (А ) · Р (В ).

Три события независимы в совокупности, если:
а) каждые два из них независимы, и
б) объединение каждых двух событий независимо с третьим событием.

Аналогично распространяется понятие независимости в совокупности на большее число событий.

1. 
   Полная группа событий.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… таковы, что их объединение (Н 1  Н 2 …Н к …)=Ω и они попарно несовместны (не пересекаются), (Н i Н j = Ø), то эти события образуют полную группу событий.

1. 
   Формула полной вероятности.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула полной вероятности :

Р (А )) = ∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )].

Вероятность события можно вычислять как взвешенную сумму условных вероятностей этого события при условии, что происходили события из полной группы событий, где в качестве весовых коэффициентов берутся вероятности соответствующих событий из полной группы.

1. 
   Формула Байеса.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула Байеса для пересчета вероятностей событий образующих полную группу по результатам испытания, в котором реализовалось событие А.

Р А (Н к ) = (Р (А  Н к )) ⁄ (Р (А )) = (Р (А  Н к )) ⁄ (∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )]).

1. 
   Типовые модели случайного эксперимента.

В (p ). Модель Бернулли с параметром p , испытание Бернулли с параметром p , 0 ≤ p ≤1.
Эксперимент с двумя альтернативными событиями - исходами У (успех) и Н (неудача).
Р (У) = p , Р (Н) = q = 1 p .

У(2) . Простейшая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна модели Бернулли В (½).

У(n ) илиR (n ). Классическая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с n перенумерованными шарами. Элементарный исход – элементарное событие – номер извлеченного шара. Классическая вероятность с равномерным распределением вероятностей элементарных событий.

У(n ; m ) . Урновая модель.
Извлечение шара из урны с m белыми и (n – m ) черными шарами.
Модель эквивалентна модели Бернулли В (m / n ).

1. 
   Последовательность случайных экспериментов.

В (n ; p ). Биномиальная модель . n последовательныхнезависимых испытаний Бернулли с параметром p .

У (n *n ). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с n шарами.

У (2 * 2). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна Биномиальной модели В (2; p ).

У(n *(n -1)). Последовательное извлечение без возвращения двух шаров из урны с n шарами.