Karışık sayılar

Hayali ve Karışık sayılar. apsis ve ordinat

karmaşık sayı. Eşlenik karmaşık sayılar.

Karmaşık sayılarla işlemler. Geometrik

karmaşık sayıların temsili. Karmaşık uçak.

Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı. Trigonometrik

karmaşık sayı formu Karmaşık işlemler

trigonometrik formdaki sayılar. Moivre'nin formülü.

hakkında ilk bilgiler hayali ve Karışık sayılar "Hayali ve karmaşık sayılar" bölümünde verilmiştir. Durum için ikinci dereceden denklemleri çözerken yeni bir türdeki bu sayılara duyulan ihtiyaç ortaya çıktı.NS< 0 (здесь NS- ikinci dereceden denklemin diskriminantı). Uzun bir süre bu sayılar fiziksel kullanım bulamadı, bu nedenle onlara "hayali" sayılar denildi. Ancak, şimdi fiziğin çeşitli alanlarında çok yaygın olarak kullanılmaktadırlar.

ve teknoloji: elektrik mühendisliği, hidro ve aerodinamik, esneklik teorisi, vb.

Karışık sayılar şöyle yazılır:bir + iki... Buraya a ve B – gerçek sayılar , a ben – hayali birim, yani e. ben 2 = –1. Sayı a aranan apsis, a b - ordinatkarmaşık sayıbir + bi.iki karmaşık sayıbir + iki ve a - bi arandı Birleşmiş Karışık sayılar.

Temel anlaşmalar:

1. Gerçek sayıaşeklinde de yazılabilirkarmaşık sayı:bir + 0 ben veya a - 0 ben. Örneğin, 5 + 0 kaydederben ve 5 - 0 benaynı sayı demek 5 .

2. Karmaşık sayı 0 + ikiaranan tamamen hayali sayı. Kayıtiki0 ile aynı anlama gelir + iki.

3. İki karmaşık sayıbir + iki vec + dieğer eşit kabul edilirbir = c ve b = d... Aksi halde karmaşık sayılar eşit değildir.

Ek. karmaşık sayıların toplamıbir + iki ve c + dikarmaşık sayı (bir + c ) + (b + d ) ben.Böylece, eklerken karmaşık sayılar, apsisleri ve koordinatları ayrı ayrı eklenir.

Bu tanım, sıradan polinomlarla ilgili kuralları takip eder.

Çıkarma. iki karmaşık sayının farkıbir + iki(azaltılmış) ve c + di(çıkarılan) karmaşık sayı olarak adlandırılır (AC ) + (b - d ) ben.

Böylece, iki karmaşık sayıyı çıkarırken, apsisleri ve koordinatları ayrı ayrı çıkarılır.

Çarpma işlemi. Karmaşık sayıların ürünübir + iki ve c + di karmaşık sayı denir:

(ac - bd ) + (reklam + bc ) ben.Bu tanım iki gereksinimden kaynaklanmaktadır:

1) sayılar bir + iki ve c + dicebir gibi çarpılmalıdır iki terimli,

2) sayı benana özelliği vardır:ben 2 = – 1.

ÖRNEK ( bir + iki )(a - bi) = bir 2 + b 2 . Buradan, İş

iki eşlenik karmaşık sayı gerçek sayıya eşittir

pozitif bir sayı.

Bölüm. karmaşık sayıyı bölmebir + iki (bölünebilir) başka biri tarafındanc + di(bölücü) - üçüncü sayıyı bulmak demektire + ben(sohbet), bölenle çarpılırc + di, temettü ile sonuçlanırbir + bi.

Bölen sıfır değilse, bölme her zaman mümkündür.

ÖRNEK Bul (8 +ben ) : (2 – 3 ben) .

Çözüm Bu oranı kesir olarak yeniden yazalım:

Pay ve paydasını 2 + 3 ile çarpmakben

VE tüm dönüşümleri tamamladıktan sonra şunu elde ederiz:

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar, sayı doğrusunda noktalarla gösterilir:

Buradaki nokta Asayı –3, nokta anlamına gelirB- 2 numara ve Ö- sıfır. Buna karşılık, karmaşık sayılar koordinat düzleminde noktalarla temsil edilir. Bunun için her iki eksende de aynı ölçeklerde dikdörtgen (Kartezyen) koordinatlar seçiyoruz. Daha sonra karmaşık sayıbir + iki bir nokta ile temsil edilecek apsisli P a ve ordinat b (bkz. şekil). Bu koordinat sistemine denir. karmaşık düzlem .

Modül karmaşık sayı vektörün uzunluğudurOPkoordinatta karmaşık bir sayıyı temsil eden ( Entegre) uçak. Karmaşık sayı modülübir + iki| ile gösterilir bir + iki| veya mektup r

Hesap makinesini kullanma

Bir ifadeyi değerlendirmek için değerlendirilecek bir dize girmelisiniz. Sayıları girerken, tamsayı ve kesirli kısımlar arasındaki ayırıcı noktadır. Parantez kullanabilirsiniz. Karmaşık sayılarla ilgili işlemler çarpma (*), bölme (/), toplama (+), çıkarma (-), üs alma (^) ve diğerleridir. Üstel ve cebirsel formlar, karmaşık sayılar için gösterim olarak kullanılabilir. Hayali bir birim tanıtın bençarpma işareti olmadan da mümkündür, diğer durumlarda, örneğin parantezler arasında veya bir sayı ile bir sabit arasında çarpma işareti gereklidir. Sabitler de kullanılabilir: π sayısı pi olarak girilir, üs e, üs içindeki herhangi bir ifade parantez içine alınmalıdır.

Hesaplanacak bir dize örneği: (4.5 + i12) * (3.2i-2.5) / e ^ (i1.25 * pi)\ [\ frac ((4 (,) 5 + i12) (3 (,) 2i-2 (,) 5)) (e ^ (i1 (,) 25 \ pi)) \] ifadesine karşılık gelen ,

Hesap makinesi sabitleri, matematiksel işlevleri, ek işlemleri ve daha karmaşık ifadeleri kullanabilir, bu sitedeki hesap makinelerini kullanmayla ilgili genel kurallar sayfasında bu olasılıklara aşina olabilirsiniz.

Site yapım aşamasındadır, bazı sayfalar kullanılamayabilir.

Haberler

07.07.2016
Doğrusal olmayan cebirsel denklem sistemlerini çözmek için hesap makinesi eklendi:.

30.06.2016
Site duyarlı bir tasarıma sahip, sayfalar hem büyük monitörlerde hem de mobil cihazlarda yeterince görüntüleniyor.

Sponsor

RGRONLINE.ru - çevrimiçi elektrik mühendisliği işleri için anında çözüm.

§ 1. Karmaşık sayılar: tanımlar, geometrik yorumlama, cebirsel, trigonometrik ve üstel formlardaki eylemler

Karmaşık bir sayının tanımı

karmaşık eşitlikler

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi

Karmaşık sayı modülü ve argüman

Karmaşık bir sayının cebirsel ve trigonometrik formları

Karmaşık bir sayının üstel formu

Euler formülleri

§ 2. Tüm fonksiyonlar (polinomlar) ve temel özellikleri. Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme

Derecenin cebirsel denkleminin tanımı

Polinomların temel özellikleri

Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme örnekleri

Kendi kendine test soruları

Sözlük

§ 1. Karmaşık sayılar: tanımlar, geometrik yorumlama, cebirsel, trigonometrik ve üstel formlardaki eylemler

Karmaşık bir sayının tanımı ( Karmaşık bir sayının tanımını formüle edin)

Karmaşık bir z sayısı, aşağıdaki formun bir ifadesidir:

Cebirsel biçimde karmaşık sayı, (1)

nerede x, y Î;

- karmaşık eşlenik sayı z sayısı ;

- zıt sayı z sayısı ;

- karmaşık sıfır ;

- karmaşık sayılar kümesi bu şekilde gösterilir.

1)z = 1 + benÞ Yeniden z= 1, ben z = 1, = 1 – ben, = –1 – ben ;

2)z = –1 + benÞ Yeniden z= –1, ben z = , = –1 – ben, = –1 –ben ;

3)z = 5 + 0ben= 5 Þ Yeniden z= 5, ben z = 0, = 5 – 0ben = 5, = –5 – 0ben = –5

Þ eğer ben z= 0, o zaman z = x- gerçek Numara;

4)z = 0 + 3ben = 3benÞ Yeniden z= 0, ben z = 3, = 0 – 3ben = –3ben , = –0 – 3ben = – 3ben

Þ eğer Re z= 0, o zaman z = ben - saf hayali sayı.

karmaşık eşitlikler (Karmaşık eşitliğin anlamını formüle edin)

1) ;

2) .

Bir karmaşık eşitlik, iki gerçek eşitlik sistemine eşdeğerdir. Bu reel eşitlikler, gerçel ve sanal kısımlara bölünerek karmaşık eşitlikten elde edilir.

1) ;

2) .

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi ( Karmaşık sayıların geometrik gösterimi nedir?)

Karmaşık sayı z bir nokta ile temsil edilir ( x , y) karmaşık düzlemde veya bu noktanın yarıçap vektöründe.

İmza z ikinci çeyrekte, Kartezyen koordinat sisteminin karmaşık düzlem olarak kullanılacağı anlamına gelir.

Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı ( Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı nedir?)

Karmaşık bir sayının modülü, negatif olmayan bir gerçek sayıdır

.(2)

Geometrik olarak, bir karmaşık sayının modülü, sayıyı temsil eden vektörün uzunluğudur. z veya noktanın kutup yarıçapı ( x , y).

Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde çiziniz ve trigonometrik biçimde yazınız.

1)z = 1 + ben Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

yani, z = 0 için

, J tanımsız.

Karmaşık sayılarda aritmetik işlemler (Karmaşık sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin temel özelliklerini tanımlar ve listeler.)

Karmaşık sayılarda toplama (çıkarma)

z 1 ± z 2 = (x 1 + ben 1) ± ( x 2 + ben 2) = (x 1 ± x 2) + ben (y 1 ± y 2),(5)

yani karmaşık sayılar eklerken (çıkarırken) gerçek ve sanal kısımları eklenir (çıkarılır).

1)(1 + ben) + (2 – 3ben) = 1 + ben + 2 –3ben = 3 – 2ben ;

2)(1 + 2ben) – (2 – 5ben) = 1 + 2ben – 2 + 5ben = –1 + 7ben .

Eklemenin temel özellikleri

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Cebirsel biçimde karmaşık sayıların çarpımı

z 1∙z 2 = (x 1 + ben 1)∙(x 2 + ben 2) = x 1x 2 + x 1ben 2 + ben 1x 2 + ben 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + ben (x 1y 2 + y 1x 2),

yani, karmaşık sayıların cebirsel biçimde çarpımı, bir binomun bir binom ile cebirsel çarpımı kuralına göre gerçekleştirilir, ardından benzerlerinin gerçek ve hayali terimlerle değiştirilmesi ve azaltılması.

1)(1 + ben)∙(2 – 3ben) = 2 – 3ben + 2ben – 3ben 2 = 2 – 3ben + 2ben + 3 = 5 – ben ;

2)(1 + 4ben)∙(1 – 4ben) = 1 – 42 ben 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ben)2 = 22 + 4ben + ben 2 = 3 + 4ben .

Trigonometrik biçimde karmaşık sayıların çarpımı

z 1∙z 2 = r 1 (çünkü J 1 + ben günah J 1) × r 2 (çünkü J 2 + ben günah J 2) =

= r 1r 2 (çünkü J 1cos J 2 + bençünkü J 1gün J 2 + ben günah J 1cos J 2 + ben 2 günah J 1gün J 2) =

= r 1r 2 ((çünkü J 1cos J 2 - günah J 1gün J 2) + ben(çünkü J 1gün J 2 + günah J 1cos J 2))

Trigonometrik formdaki karmaşık sayıların ürünü, yani karmaşık sayılar trigonometrik formda çarpılırken modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir.

Çarpmanın temel özellikleri

1)z 1 × z 2 = z 2 × z 1 - değiştirilebilirlik;

2)z 1 × z 2 × z 3 = (z 1 × z 2) × z 3 = z 1 × ( z 2 × z 3) - ilişkilendirme;

3)z 1 × ( z 2 + z 3) = z 1 × z 2 + z 1 × z 3 - toplamaya göre dağılım;

4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;

karmaşık sayıların bölümü

Bölme, çarpmanın tersidir, yani

Eğer z × z 2 = z 1 ve z 2 ¹ 0, öyleyse.

Cebirsel biçimde bölme yapıldığında, kesrin payı ve paydası, paydanın karmaşık eşleniği ile çarpılır:

Cebirsel biçimde karmaşık sayıların bölümü (7)

Trigonometrik biçimde bölme yaparken, modüller bölünür ve argümanlar çıkarılır:

Karmaşık sayıların trigonometrik biçimde bölünmesi.(8)

2)
.

Karmaşık bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek

Doğal üstelleştirmeyi trigonometrik biçimde yapmak daha uygundur:

Moivre formülü, (9)

yani, bir karmaşık sayı doğal bir güce yükseltildiğinde, modülü bu güce yükseltilir ve argüman üs ile çarpılır.

Hesapla (1 + ben)10.

Uyarılar

1. Trigonometrik biçimde çarpma ve doğal güce yükseltme işlemleri yapılırken, bir tam devrin sınırları dışında açılar elde edilebilir. Ancak, fonksiyonların periyodiklik özelliklerine göre her zaman açılara indirgenebilir veya tam sayıda tam devir sayısı düşürülebilir.

2. Değer karmaşık sayının argümanının ana değeri olarak adlandırılır;

olası tüm açıların değerleri;

olduğu açıktır, .

Karmaşık bir sayının doğal kökünü çıkarma

Euler formülleri (16)

hangi trigonometrik fonksiyonlar ve bir gerçek değişken, tamamen hayali bir üslü bir üstel fonksiyon (üstel) aracılığıyla ifade edilir.

§ 2. Tüm fonksiyonlar (polinomlar) ve temel özellikleri. Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme

Aynı dereceden iki polinom n ancak ve ancak katsayıları değişkenin aynı güçlerinde çakışırsa birbirine eşittir. x, yani

Kanıt

w Kimlik (3) "xÎ (veya" xÎ) için geçerlidir

Þ için geçerlidir; yerine koyarsak alırız bir = milyar .

(3) terimlerinde karşılıklı olarak yok ederiz bir ve milyar ve her iki parçayı da bölün x :

Bu kimlik aynı zamanda " x dahil olmak üzere x = 0

Þ varsayarak x= 0, alırız bir – 1 = milyar – 1.

(3 ") terimlerinde karşılıklı olarak yok ediyoruz bir- 1 ve a n- 1 ve her iki parçayı da bölün x, sonuç olarak elde ederiz

Akıl yürütmeye benzer şekilde devam edersek, şunu buluruz: bir – 2 = milyar –2, …, a 0 = B 0.

Böylece, 2-x polinomlarının özdeşliğinin, katsayılarının aynı derecede çakışmasını ima ettiği kanıtlanmıştır. x .

Converse ifadesi doğru ve açıktır, yani. iki polinomun tüm katsayıları aynıysa, bunlar aynı işlevlerdir, bu nedenle değerleri, argümanın tüm değerleri için çakışır, bu da onların özdeş eşitlikleri anlamına gelir. Özellik 1 tamamen kanıtlanmıştır. v

Bir polinomu bölerken Pn (x) farkla ( x – NS 0), kalan eşittir Pn (x 0) yani

Bezout teoremi, (4)

nerede Qn – 1(x) bölmenin tamsayı kısmıdır, derecenin bir polinomudur ( n – 1).

Kanıt

w Kalanla bölme formülünü yazalım:

Pn (x) = (x – NS 0)∙Qn – 1(x) + A ,

nerede Qn – 1(x) bir derece polinomudur ( n – 1),

A- bir polinomu iki terimli bir "sütun" ile bölmek için iyi bilinen algoritmadan kaynaklanan bir sayı olan kalan.

Bu eşitlik, " x dahil olmak üzere x = NS 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (NS 0), p.t.d. v

Bezout teoreminin sonucu. Bir polinomun kalansız bir binom ile bölünmesi üzerine

eğer numara NS 0 polinomun sıfırıdır, o zaman bu polinom farkla bölünebilir ( x – NS 0) kalansız, yani

Þ .(5)

1), çünkü P 3 (1) º 0

2), çünkü P 4 (–2) º 0

3), çünkü P 2 (–1/2) º 0

Polinomların "bir sütunda" iki terimlilere bölünmesi:

_

_

_

_

_

Derece n ³ 1 olan herhangi bir polinom, en az bir sıfır, gerçek veya karmaşık

Bu teoremin ispatı dersimizin kapsamı dışındadır. Bu nedenle, teoremi ispatsız kabul edeceğiz.

Bu teorem üzerinde ve polinom ile Bezout teoremi üzerinde çalışalım. Pn (x).

Sonrasında n-Bu teoremlerin kat uygulaması, elde ederiz

nerede a 0 katsayısı x n v Pn (x).

Cebirin ana teoreminin sonucu. Bir polinomun lineer faktörlere ayrıştırılması

Karmaşık sayılar kümesindeki herhangi bir derece polinomu n lineer faktörler, yani

Bir polinomun lineer faktörlere ayrıştırılması, (6)

burada x1, x2, ... xn polinomun sıfırlarıdır.

Ayrıca, eğer k setteki sayılar NS 1, NS 2, … xn birbiriyle ve a sayısıyla, ardından faktör ( x- a) k... sonra numara x=a denir polinomun k-kat sıfırı Pn ( x) ... Eğer k= 1, o zaman sıfır denir basit sıfır polinomu Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x- 4) 3 Þ x 1 = 2 - basit sıfır, x 2 = 4 - üç kat sıfır;

2)P 4(x) = (x – ben) 4 Þ x = ben- çokluğun sıfırı 4.

Özellik 4 (cebirsel denklemin kök sayısı üzerinde)

n derecesinin herhangi bir cebirsel denklemi Pn (x) = 0, eğer her kök kendi çokluğu kadar sayılırsa, karmaşık sayılar kümesinde tam olarak n köke sahiptir.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - ikinci derecenin cebirsel denklemi

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± ben- iki kök;

2)x 3 + 1 = 0 - üçüncü dereceden cebirsel denklem

Þ x 1,2,3 = - üç kök;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x- 1 = 0 Þ x 1 = 1, çünkü P 3(1) = 0.

polinomu böl P 3(x) üzerinde ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

orijinal denklem

P 3(x) = x 3 + x 2 – x- 1 = 0 Û ( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û ( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - basit kök, x 2 = –1 - çift kök.

1) - eşleştirilmiş karmaşık eşlenik kökler;

Gerçek katsayılı herhangi bir polinom, gerçek katsayılı doğrusal ve ikinci dereceden fonksiyonların ürününe ayrıştırılır.

Kanıt

izin ver x 0 = a + iki- polinomun sıfırı Pn (x). Bu polinomun tüm katsayıları gerçek sayılarsa, o zaman aynı zamanda sıfırdır (5 özelliği ile).

Binomların çarpımını hesaplıyoruz :

karmaşık sayı polinom denklemi

NS ( x – a)2 + B 2 - gerçek katsayılı kare trinom.

Bu nedenle, formül (6)'daki karmaşık eşlenik kökleri olan herhangi bir çift terim, gerçek katsayıları olan bir kare üç terimliye yol açar. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme örnekleri ( Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme örnekleri verin)

1. Birinci dereceden cebirsel denklemler:

, Tek basit köktür.

2. İkinci dereceden denklemler:

, - her zaman iki kökü vardır (farklı veya eşit).

1) .

3. İki terimli derece denklemleri:

, - her zaman farklı kökleri vardır.

,

Cevap: , .

4. Kübik denklemi çözün.

Üçüncü dereceden bir denklemin üç kökü (gerçek veya karmaşık) vardır ve her kök, çokluğu kadar sayılmalıdır. Bu denklemin tüm katsayıları reel sayılar olduğundan, eğer varsa denklemin karmaşık kökleri eşleştirilmiş karmaşık eşlenik olacaktır.

Seçimle, o zamandan beri denklemin ilk kökünü buluyoruz.

Bezout teoreminin doğal sonucu olarak. Bu bölümü "bir sütunda" hesaplıyoruz:

_
_
_

Şimdi polinomu lineer ve kare faktörlerinin bir ürünü olarak temsil ederek şunu elde ederiz:

.

İkinci dereceden denklemin kökleri olarak diğer kökleri buluyoruz:

Cevap: , .

5. Sayıların doğru olduğu biliniyorsa, gerçek katsayılı en küçük dereceli cebirsel denklemi yazın. x 1 = 3 ve x 2 = 1 + ben kökleridir ve x 1 bir çift köktür ve x 2 - basit.

Sayı aynı zamanda denklemin köküdür, çünkü denklemin katsayıları geçerli olmalıdır.

Toplamda, gerekli denklemin 4 kökü vardır: x 1, x 1,x 2,. Bu nedenle derecesi 4'tür. Sıfırlarla 4. dereceden bir polinom oluşturuyoruz. x

11. Karmaşık sıfır nedir?

13. Karmaşık eşitliğin anlamını formüle edin.

15. Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı nedir?

17. Karmaşık sayı argümanı nedir?

18. Formülün adı veya anlamı nedir?

19. Bu formüldeki gösterimin anlamını açıklayın:

27. Karmaşık sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin tanımlarını verin ve temel özelliklerini listeleyin.

28. Formülün adı veya anlamı nedir?

29. Bu formüldeki tanımların anlamını açıklayın:

31. Formülün adı veya anlamı nedir?

32. Bu formüldeki gösterimin anlamını açıklayın:

34. Formülün adı veya anlamı nedir?

35. Bu formüldeki tanımların anlamını açıklayın:

61. Polinomların temel özelliklerini listeler.

63. Polinomu farka (x - x0) bölme özelliğini formüle edin.

65. Formülün adı veya anlamı nedir?

66. Bu formüldeki tanımların anlamlarını açıklayın:

67. ⌂ .

69. Teoremi formüle edin Cebirin ana teoremi.

70. Formülün adı veya anlamı nedir?

71. Bu formüldeki tanımların anlamını açıklayın:

75. Bir cebirsel denklemin kök sayısı ile ilgili özelliği formüle edin.

78. Gerçek katsayıları olan bir polinomun lineer ve ikinci dereceden faktörlere ayrıştırılmasına ilişkin özelliği formüle edin.

Sözlük

Bir polinomun k-kat sıfırına ... denir (s. 18)

cebirsel bir polinom denir ... (s. 14)

n. dereceden bir cebirsel denkleme ... denir (s. 14)

karmaşık sayının cebirsel biçimine ... denir (s. 5)

karmaşık sayı argümanı ... (s. 4)

z karmaşık sayısının gerçel kısmı ... (s. 2)

karmaşık bir eşlenik sayı ... (s. 2)

karmaşık sıfır ... (sayfa 2)

karmaşık bir sayı denir ... (s. 2)

karmaşık bir sayının n'inci köküne ... denir (s. 10)

denklemin kökü denir ... (s. 14)

polinomun katsayıları ... (s. 14)

hayali birim ... (s. 2)

z karmaşık sayısının sanal kısmı ... (s. 2)

karmaşık bir sayının modülüne ... denir (s. 4)

fonksiyon sıfır olarak adlandırılır ... (s. 14)

karmaşık bir sayının üstel biçimine ... denir (s. 11)

polinom denir ... (s. 14)

bir polinomun basit sıfırına ... denir (s. 18)

zıt sayı ... (sayfa 2)

bir polinomun derecesi ... (s. 14)

karmaşık sayının trigonometrik biçimine ... denir (s. 5)

Moivre'nin formülü ... (s. 9)

Euler'in formülleri ... (s. 13)

tüm fonksiyon denir ... (s. 14)

tamamen hayali bir sayı ... (s. 2)

Karmaşık sayılarla ilgili gerekli bilgileri hatırlayalım.

Karmaşık sayı formun bir ifadesidir a + iki, nerede a, B gerçek sayılardır ve ben- Lafta hayali birim, karesi -1 olan bir karakter, yani ben 2 = -1. Sayı a aranan gerçek kısım ve sayı B - hayali kısım karmaşık sayı z = a + iki... Eğer B= 0, yerine a + 0ben basitçe yaz a... Gerçek sayıların karmaşık sayıların özel bir hali olduğu görülebilir.

Karmaşık sayılardaki aritmetik işlemler, gerçek sayılardakiyle aynıdır: birbirleriyle toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilirler. Toplama ve çıkarma kuralına göre yapılır ( a + iki) ± ( C + di) = (a ± C) + (B ± NS)ben, ve çarpma - kurala göre ( a + iki) · ( C + di) = (AC – bd) + (reklam + M.Ö)ben(sadece burada kullanılıyor ben 2 = –1). Sayı = a – iki aranan karmaşık eşlenik NS z = a + iki... eşitlik z · = a 2 + B 2, bir karmaşık sayıyı başka bir (sıfır olmayan) karmaşık sayıya nasıl böleceğinizi anlamanıza olanak tanır:

(Örneğin, .)

Karmaşık sayıların kullanışlı ve sezgisel bir geometrik gösterimi vardır: sayı z = a + iki koordinatlı bir vektörle temsil edilebilir ( a; B) Kartezyen düzlemde (veya neredeyse aynı olan bir nokta - vektörün bu koordinatlarla sonu). Bu durumda, iki karmaşık sayının toplamı, karşılık gelen vektörlerin toplamı olarak gösterilir (bu, paralelkenar kuralıyla bulunabilir). Pisagor teoremi ile vektörün koordinatlı uzunluğu ( a; B) eşittir. Bu miktar denir modül karmaşık sayı z = a + iki ve | ile gösterilir z|. Bu vektörün apsis ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıya (saat yönünün tersine sayılır) denir. argüman karmaşık sayı z ve Arg ile gösterilir z... Argüman benzersiz olarak tanımlanmamıştır, ancak yalnızca 2'nin katının eklenmesine kadar π radyan (veya derece olarak sayarsanız 360 °) - sonuçta, orijin etrafında böyle bir açıyla döndürmenin vektörü değiştirmeyeceği açıktır. Ama eğer uzunluk vektörü r bir açı oluşturur φ apsis ekseninin pozitif yönü ile, koordinatları ( rçünkü φ ; r Günah φ ). Bu yüzden ortaya çıkıyor trigonometrik gösterim karmaşık sayı: z = |z| (Çünkü (Arg z) + ben günah (Arg z)). Karmaşık sayıları bu biçimde yazmak genellikle uygundur, çünkü hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde çarpmak çok basit görünüyor: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Çünkü (Arg z 1 + Bağımsız Değişken z 2) + ben günah (Arg z 1 + Bağımsız Değişken z 2)) (iki karmaşık sayı çarpılırken modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir). bu yüzden takip et Hareket formülleri: z n = |z|n(Çünkü ( n(Arg z)) + ben günah ( n(Arg z))). Bu formülleri kullanarak, karmaşık sayılardan herhangi bir dereceye kadar köklerin nasıl çıkarılacağını öğrenmek kolaydır. z'nin N. kökü böyle karmaşık bir sayı w, ne w n = z... açık ki , Ve nerede k kümesinden (0, 1, ..., n- 1). Bu, her zaman tam olarak olduğu anlamına gelir n kökler n-bir karmaşık sayının derecesi (düzlemde, doğru sayının köşelerinde bulunurlar) n-gon).

Karmaşık sayılarla ilgili problemleri çözmek için temel tanımları anlamanız gerekir. Bu derleme makalesinin temel görevi, karmaşık sayıların ne olduğunu açıklamak ve karmaşık sayılarla ilgili temel problemleri çözme yöntemlerini sunmaktır. Yani, bir karmaşık sayı, formun bir sayısıdır. z = bir + bi, nerede bir, b- Sırasıyla karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımları olarak adlandırılan gerçek sayılar ve a = Re (z), b = Im (z).
ben hayali birim denir. ben 2 = -1... Özellikle, herhangi bir gerçek sayı karmaşık olarak kabul edilebilir: a = bir + 0i, burada a gerçek. Eğer bir = 0 ve b ≠ 0, o zaman sayı genellikle tamamen hayali olarak adlandırılır.

Şimdi karmaşık sayılarla ilgili işlemleri tanıtacağız.
İki karmaşık sayı düşünün z 1 = bir 1 + b 1 ben ve z 2 = a 2 + b 2 ben.

Düşünmek z = bir + bi.

Karmaşık sayılar kümesi, reel sayılar kümesini genişletir, bu da sırayla rasyonel sayılar kümesini vb. genişletir. Bu yerleştirme zinciri şekilde görülebilir: N - doğal sayılar, Z - tam sayılar, Q - rasyonel, R - gerçek, C - karmaşık.

Karmaşık sayı gösterimi

Cebirsel gösterim.

Karmaşık bir sayı düşünün z = bir + bi, bu karmaşık sayı yazma şekline denir cebirsel... Bu kayıt biçimini önceki bölümde ayrıntılı olarak tartışmıştık. Oldukça sık, aşağıdaki resimsel çizim kullanılır.

Trigonometrik form.

Şekil, sayının z = bir + bi farklı yazılabilir. bariz ki a = rcos (φ), b = rsin (φ), r = |z |, buradan z = rcos (φ) + rsin (φ) ben, φ ∈ (-π; π) karmaşık sayının argümanı denir. Karmaşık bir sayının böyle bir temsiline denir trigonometrik form... Trigonometrik gösterim bazen çok uygundur. Örneğin, karmaşık bir sayıyı bir tamsayıya yükseltmek için kullanmak uygundur, yani, eğer z = rcos (φ) + rsin (φ) ben, sonra z n = r n cos (nφ) + r n günah (nφ) ben, bu formül denir Moivre formülü ile.

Gösteri formu.

Düşünmek z = rcos (φ) + rsin (φ) ben- trigonometrik biçimde karmaşık bir sayı, onu farklı bir biçimde yazıyoruz z = r (cos (φ) + günah (φ) i) = yeniden iφ, son eşitlik Euler'in formülünden geliyor, bu yüzden karmaşık bir sayı yazmanın yeni bir biçimini aldık: z = yeniden iφ denilen gösterge... Bu gösterim aynı zamanda karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için de çok uygundur: z n = r n e inφ, Burada n mutlaka bir tam sayı değil, keyfi bir gerçek sayı olabilir. Bu gösterim biçimi genellikle sorunları çözmek için kullanılır.

Yüksek cebirin ana teoremi

Diyelim ki x 2 + x + 1 = 0 ikinci dereceden bir denklemimiz var. Açıkçası, bu denklemin diskriminantı negatiftir ve gerçek kökü yoktur, ancak bu denklemin iki farklı karmaşık kökü olduğu ortaya çıktı. Dolayısıyla, yüksek cebirin ana teoremi, n dereceli herhangi bir polinomun en az bir karmaşık köke sahip olduğunu iddia eder. Bundan, n dereceli herhangi bir polinomun, çokluklarını hesaba katarak tam olarak n karmaşık köke sahip olduğu sonucu çıkar. Bu teorem matematikte çok önemli bir sonuçtur ve yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu teoremin basit bir sonucu şu sonuçtur: birlikten n derecesinin tam olarak n farklı kökü vardır.

Başlıca görev türleri

Bu bölüm, karmaşık sayılarla ilgili temel basit problem türlerini kapsayacaktır. Karmaşık sayılar için problemler geleneksel olarak aşağıdaki kategorilere ayrılabilir.

• Karmaşık sayılar üzerinde en basit aritmetik işlemleri gerçekleştirme.
• Karmaşık sayılarda polinomların köklerini bulma.
• Karmaşık sayıları bir güce yükseltmek.
• Karmaşık sayılardan kök çıkarma.
• Diğer problemleri çözmek için karmaşık sayıların kullanılması.

Şimdi bu sorunları çözmek için genel tekniklere bakalım.

Karmaşık sayılarla en basit aritmetik işlemler birinci bölümde açıklanan kurallara göre yapılır, ancak karmaşık sayılar trigonometrik veya üstel formlarda sunulursa, bu durumda bunları cebirsel forma çevirebilir ve bilinen kurallara göre işlemler yapabilirsiniz.

Polinomların köklerini bulmak genellikle ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmaya gelir. İkinci dereceden bir denklemimiz olduğunu varsayalım, eğer diskriminantı negatif değilse, kökleri gerçek olacak ve bilinen bir formülle bulunacak. Diskriminant negatif ise, yani, D = -1 ∙ bir 2, nerede a- bir sayı, daha sonra diskriminant formda gösterilebilir D = (ia) 2, buradan √D = ben | bir | ve sonra ikinci dereceden bir denklemin kökleri için zaten bilinen formülü kullanabilirsiniz.

Örnek... Yukarıda bahsedilen ikinci dereceden denkleme geri dönelim x 2 + x + 1 = 0.
Ayrımcı - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Şimdi kökleri kolayca bulabiliriz:

Karmaşık sayılar birkaç şekilde bir güce yükseltilebilir. Cebirsel biçimdeki karmaşık bir sayıyı küçük bir kuvvete (2 veya 3) yükseltmeniz gerekiyorsa, bunu doğrudan çarpma ile yapabilirsiniz, ancak derece daha büyükse (problemlerde genellikle çok daha büyüktür), o zaman yapmanız gerekir. bu sayıyı trigonometrik veya üstel formlarda yazın ve zaten bilinen yöntemlerle kullanın.

Örnek... z = 1 + i'yi düşünün ve onu onuncu güce yükseltin.
Z'yi üstel biçimde yazıyoruz: z = √2 e iπ / 4.
Sonra z 10 = (√2 e iπ / 4) 10 = 32 e 10iπ / 4.
Cebirsel forma dönelim: z 10 = -32i.

Karmaşık sayılardan kök çıkarmak, üs alma işleminin ters işlemidir, bu nedenle aynı şekilde yapılır. Kökleri çıkarmak için, genellikle bir sayının üstel gösterimi kullanılır.

Örnek... Birin 3. derecesinin tüm köklerini bulun. Bunu yapmak için, z 3 = 1 denkleminin tüm köklerini bulacağız, kökleri üstel biçimde arayacağız.
Denklemde yerine koyalım: r 3 e 3iφ = 1 veya r 3 e 3iφ = e 0.
Dolayısıyla: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dolayısıyla φ = 2πk / 3.
φ = 0.2π / 3, 4π / 3'te farklı kökler elde edilir.
Bu nedenle 1, e i2π / 3, e i4π / 3 köktür.
Veya cebirsel biçimde:

Son problem türü, çok çeşitli problemleri içerir ve bunları çözmek için genel bir yöntem yoktur. Böyle bir göreve basit bir örnek verelim:

miktarı bul günah (x) + günah (2x) + günah (2x) +… + günah (nx).

Bu problemin formülasyonu karmaşık sayılarla ilgilenmese de, onların yardımıyla kolayca çözülebilir. Bunu çözmek için aşağıdaki temsiller kullanılır:


Şimdi bu temsili toplamda yerine koyarsak, problem olağan geometrik ilerlemeyi toplamaya indirgenir.

Çözüm

Karmaşık sayılar matematikte yaygın olarak kullanılmaktadır, bu derleme makalesinde, karmaşık sayılar üzerindeki temel işlemler ele alındı, çeşitli standart problem türleri açıklandı ve bunların çözümü için genel yöntemler, karmaşık sayıların olasılıkları hakkında daha ayrıntılı bir çalışma için kısaca açıklanmıştır. , özel literatür kullanılması tavsiye edilir.

Edebiyat