y = sin x fonksiyonu nasıl çizilir? İlk olarak, aralıktaki sinüs grafiğine bakalım.

Bir defterden 2 hücre uzunluğunda tek bir segment alıyoruz. Oy ekseninde bir tane işaretleyin.

Kolaylık olması için π / 2 sayısını 1,5'e yuvarlarız (yuvarlama kurallarının gerektirdiği şekilde 1,6'ya değil). Bu durumda, π / 2 uzunluğunda bir segment 3 hücreye karşılık gelir.

Ox ekseninde, birim segmentleri değil, π / 2 uzunluğundaki segmentleri (her 3 hücrede) işaretleriz. Buna göre, π uzunluğundaki bir segment 6 hücreye, π / 6 - 1 hücre uzunluğundaki bir segmente karşılık gelir.

Bu birim segment seçimiyle, bir kutudaki bir defter yaprağında gösterilen grafik, y = sin x fonksiyonunun grafiğine mümkün olduğunca karşılık gelir.

Aralıkta bir sinüs değerleri tablosu oluşturalım:

Elde edilen noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz:

y = sin x tek bir fonksiyon olduğundan, sinüs grafiği orijin - O noktasına (0; 0) göre simetriktir. Bu gerçeği hesaba katarak, grafiği sola, ardından -π noktalarını çizmeye devam edeceğiz:

y = sin x işlevi, T = 2π periyoduyla periyodiktir. Bu nedenle, [-π; π] aralığında alınan fonksiyonun grafiği, sağa ve sola doğru sonsuz sayıda tekrarlanır.

Bu derste, y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine daha yakından bakacağız. Dersin başında, koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik bir fonksiyonun tanımını vereceğiz ve fonksiyonun bir daire ve bir doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda, bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit görevi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik Fonksiyonlar

Ders: y = sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir işlevi düşünürken, her bir bağımsız değişken değerini tek bir işlev değerine atamak önemlidir. Bu uygunluk kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir.Nokta, sayının sinüsü olarak adlandırılan tek bir ordinata sahiptir (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri, tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından gelir.

Şekil gösteriyor ki dan beri bu, birim çemberin noktasının koordinatıdır.

Bir fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Argüman, radyan cinsinden ölçülen merkez açıdır. Eksende, radyan cinsinden gerçek sayıları veya açıları, eksende işlevin karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Fonksiyonun grafiğini sitede bulduk Ama sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı üzerinde görüntüleyebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu şudur: Bu, grafiğin bir segmentte elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanına devam edilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Kapsam:

2) Değer aralığı:

3) İşlev garip:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin y ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değerler aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değerler aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Azalan aralıklar:

11) Asgari puanlar:

12) Minimum işlev:

13) Maksimum puan:

14) Maksimum işlev:

Fonksiyonun özelliklerini ve grafiğini inceledik. Özellikler, problemler çözülürken tekrar tekrar kullanılacaktır.

bibliyografya

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için ders kitabı (profil seviyesi), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için problem kitabı (profil seviyesi), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (ileri matematik çalışması olan okullarda ve sınıflardaki öğrenciler için ders kitabı) .- M.: Eğitim, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Aydınlanma, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (MI Skanavi editörlüğünde) .- M.: Yüksekokul, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky VB, Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirdeki görevler ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir rehber) .- M.: Eğitim, 2003.

8. Karp A.P. Cebirdeki problemlerin toplanması ve analiz ilkeleri: ders kitabı. 10-11 sınıflar için ödenek derinleşme ile ders çalışma Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ödev

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için problem kitabı (profil seviyesi), ed.

AG Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().

, Yarışma "Ders için sunum"

ders sunumu

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgi amaçlıdır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Demir paslanır, kendine fayda bulmaz,
durgun su soğukta çürür veya donar,
ve insanın aklı, kendisine bir fayda bulamayan, kurur.
Leonardo da Vinci

Kullanılan teknolojiler: problem öğrenme, eleştirel düşünme, iletişimsel iletişim.

Hedefler:

• Öğrenmeye bilişsel ilginin gelişimi.
• y = sin x fonksiyonunun özelliklerinin incelenmesi.
• Çalışılan teorik materyale dayanarak y = sin x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için pratik becerilerin oluşumu.

Görevler:

1. Belirli durumlarda y = sin x fonksiyonunun özellikleri hakkında mevcut bilgi potansiyelini kullanın.

2. y = sin x fonksiyonunun analitik ve geometrik modelleri arasında bilinçli bağlantı kurulmasını uygulayın.

Çözüm bulma konusunda inisiyatif, belirli bir istek ve ilgi geliştirin; karar verme yeteneği, orada durmayın, bakış açınızı savunun.

Öğrencilerde bilişsel aktivite, sorumluluk duygusu, birbirine saygı, karşılıklı anlayış, karşılıklı destek, özgüven geliştirmek; iletişim kültürü.

Dersler sırasında

Aşama 1. Temel bilgilerin gerçekleştirilmesi, yeni materyalleri inceleme motivasyonu

"Derse girmek".

Tahtaya yazılmış 3 ifade vardır:

1. Trigonometrik denklem sin t = a her zaman bir çözüme sahiptir.
2. Simetriyi y eksenine dönüştürerek tek bir fonksiyon çizilebilir.
3. Trigonometrik fonksiyon, bir ana yarım dalga kullanılarak çizilebilir.

Öğrenciler çiftler halinde tartışırlar: İfadeler doğru mu? (1 dakika). İlk tartışmanın sonuçları (evet, hayır) daha sonra "Önce" sütunundaki tabloya girilir.

Öğretmen dersin amaç ve hedeflerini belirler.

2. Bilginin güncellenmesi (trigonometrik daire modelinde önden).

s = sin t işleviyle zaten tanıştık.

1) t değişkeni hangi değerleri alabilir. Bu işlevin kapsamı nedir?

2) sin t ifadesinin değerleri hangi aralıktadır? s = sin t fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

3) sin t = 0 denklemini çözün.

4) İlk çeyrek boyunca hareket eden bir noktanın koordinatına ne olur? (ordinat artar). İkinci çeyrek boyunca hareket ettiğinde bir noktanın koordinatına ne olur? (ordinat yavaş yavaş azalır). Bu, işlevin monotonluğu ile nasıl ilişkilidir? (s = sin t fonksiyonu segmentte artar ve segmentte azalır).

5) s = sin t fonksiyonunu bizim için alışılmış formda yazalım y = sin x (genel koordinat sistemi xOy'de oluşturacağız) ve bu fonksiyonun değerlerinin bir tablosunu derleyelim.

NS	0
NS	0			1			0

2. aşama. Algı, kavrama, birincil pekiştirme, istemsiz ezberleme

4. Aşama Bilginin ve faaliyet yöntemlerinin birincil sistemleştirilmesi, yeni durumlarda aktarılması ve uygulanması

6.No. 10.18 (b, c)

Aşama 5. Son kontrol, düzeltme, değerlendirme ve öz değerlendirme

7. İfadelere (dersin başlangıcına) dönün, y = sin x trigonometrik fonksiyonunun özelliklerini kullanmayı tartışın ve tablodaki "Sonra" sütununu doldurun.

8. D / z: s.10, No. 10.7 (a), 10.8 (b), 10.11 (b), 10.16 (a)

FONKSİYON GRAFİKLERİ

sinüs fonksiyonu

- bir çok r tüm gerçek sayılar

Fonksiyon değerleri seti- segment [-1; 1], yani sinüs fonksiyonu - sınırlı.

İşlev garip: sin (−x) = - tüm х ∈ için sin x r.

periyodik fonksiyon

günah (x + 2π k) = günah x, burada k ∈ Z tüm х ∈ için r.

günah x = 0 x = π k, k ∈ için Z.

günah x> 0(pozitif) tüm x ∈ (2π k, π + 2π k), k ∈ için Z.

günah x< 0 (negatif) tüm x ∈ (π + 2π k, 2π + 2π k), k ∈ için Z.

kosinüs fonksiyonu

İşlev kapsamı- bir çok r tüm gerçek sayılar

Fonksiyon değerleri seti- segment [-1; 1], yani kosinüs fonksiyonu - sınırlı.

İşlev bile: cos (−x) = tüm х ∈ için cos x r.

periyodik fonksiyon en küçük pozitif dönem 2π ile:

cos (x + 2π k) = cos x, nerede k ∈ Z tüm х ∈ için r.

çünkü x = 0 NS
çünkü x> 0 hepsi için
çünkü x< 0 hepsi için
fonksiyon artıyor-1'den 1'e aralıklarla:
fonksiyon azalıyor-1'den 1'e aralıklarla:
sin x = 1 fonksiyonunun en büyük değeri noktalarda:
sin x = -1 fonksiyonunun en küçük değeri noktalarda:

teğet işlevi

Fonksiyon değerleri seti- tam sayı doğrusu, yani teğet - fonksiyon sınırsız.

İşlev garip: tg (−x) = - tgx
Fonksiyon grafiği OY eksenine göre simetriktir.

periyodik fonksiyon en küçük pozitif dönem π ile, yani tg (x + π k) = tgx, k ∈ Z etki alanındaki tüm x için.

kotanjant fonksiyonu

Fonksiyon değerleri seti- tam sayı doğrusu, yani kotanjant - fonksiyon sınırsız.

İşlev garip: ctg (−x) = - ctg x etki alanındaki tüm x'ler için.
Fonksiyon grafiği OY eksenine göre simetriktir.

periyodik fonksiyon en küçük pozitif dönem π ile, yani ctg (x + π k) = ctgx, k ∈ Z etki alanındaki tüm x için.

arksinüs fonksiyonu

İşlev kapsamı- segment [-1; 1]

Fonksiyon değerleri seti- -π / 2 yay x π / 2 segmenti, yani ark sinüs fonksiyonu sınırlı.

İşlev garip: arcsin (−x) = - tüm х ∈ için arcsin x r.
Fonksiyon grafiği orijine göre simetriktir.

Tüm tanım alanı üzerinde.

ark kosinüs fonksiyonu

İşlev kapsamı- segment [-1; 1]

Fonksiyon değerleri seti- segment 0 arccos x π, yani. ters kosinüs - fonksiyon sınırlı.

fonksiyon artıyor tüm tanım alanı üzerinde.

arktanjant işlevi

İşlev kapsamı- bir çok r tüm gerçek sayılar

Fonksiyon değerleri seti- segment 0 π, yani arktanjant - fonksiyon sınırlı.

İşlev garip: arctan (−x) = - tüm х ∈ için arctan x r.
Fonksiyon grafiği orijine göre simetriktir.

fonksiyon artıyor tüm tanım alanı üzerinde.

ark kotanjant fonksiyonu

İşlev kapsamı- bir çok r tüm gerçek sayılar

Fonksiyon değerleri seti- segment 0 π, yani. ark kotanjantı - fonksiyon sınırlı.

Fonksiyon ne çift ne de tektir.
Fonksiyonun grafiği ne orijine ne de Oy eksenine göre asimetriktir.

fonksiyon azalıyor tüm tanım alanı üzerinde.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Fonksiyon y = sin (x. Tanımlar ve özellikler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, eleştirilerinizi, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. 7-10. sınıflar için etkileşimli yapım görevleri
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:

• Y = sin (X) fonksiyonunun özellikleri.
• Fonksiyon grafiği.
• Bir grafik ve ölçeği nasıl oluşturulur.
• Örnekler.

Sinüs özellikleri. Y = günah (X)

Beyler, sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarını zaten öğrendik. Onları hatırlıyor musun?

Y = sin (X) fonksiyonuna daha yakından bakalım.

Bu fonksiyonun bazı özelliklerini yazalım:
1) Tanım alanı - bir dizi gerçek sayı.
2) İşlev garip. Tek bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım. Eşitlik şu şekildeyse bir fonksiyona tek denir: y (-x) = - y (x). Hayalet formüllerinden hatırladığımız gibi: sin (-x) = - sin (x). Tanım yerine getirildi, bu nedenle Y = sin (X) tek bir fonksiyondur.
3) Y = sin (X) fonksiyonu segmentte artar ve segmentte azalır [π / 2; π]. İlk çeyrek boyunca (saat yönünün tersine) hareket ettiğimizde, ordinat artar ve ikinci çeyrek boyunca hareket ettiğimizde azalır.

4) Y = sin (X) fonksiyonu yukarıda ve aşağıda sınırlandırılmıştır. Bu özellik şu gerçeği izler:
-1 ≤ günah (X) ≤ 1
5) Fonksiyonun en küçük değeri -1'dir (x = - π / 2 + πk'de). Fonksiyonun en büyük değeri 1'dir (x = π / 2 + πk'de).

Y = sin (X) fonksiyonunun grafiğini çizmek için 1-5 özelliklerini kullanalım. Özelliklerimizi kullanarak grafiğimizi sırayla oluşturacağız. Bir segment üzerinde bir grafik oluşturmaya başlayalım.

Ölçeğe özellikle dikkat edilmelidir. Ordinat ekseninde 2 hücreye eşit bir birim segmenti ve apsis ekseninde - π / 3'e eşit bir birim segmenti (iki hücre) almak daha uygundur (şekle bakın).

sinüs x fonksiyonunu çizin, y = sin (x)

Segmentimizde fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

Üçüncü özelliği de göz önünde bulundurarak puanlarımıza göre bir grafik oluşturalım.

Hayalet formüller için dönüştürme tablosu

Fonksiyonumuzun tek olduğunu söyleyen ikinci özelliği kullanalım, yani orijine göre simetrik olarak yansıtılabilir:

Günah (x + 2π) = günah (x) biliyoruz. Bu, segmentte [- π; π] grafik, [π; 3π] veya veya [-3π; - π] vb. Bir önceki şekildeki grafiği tüm apsis ekseni üzerinde dikkatlice yeniden çizmek bize kalır.

Y = sin (X) fonksiyonunun grafiğine sinüzoid denir.

Oluşturulan grafiğe göre birkaç özellik daha yazalım:
6) Y = sin (X) fonksiyonu, formun herhangi bir segmentinde artar: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k bir tamsayıdır ve herhangi bir aralıkta azalır: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k bir tamsayıdır.
7) Fonksiyon Y = sin (X) sürekli bir fonksiyondur. Fonksiyonun grafiğine bakalım ve fonksiyonumuzun süreklilik anlamına gelen süreksizliği olmadığından emin olalım.
8) Değer aralığı: segment [- 1; 1]. Bu, fonksiyonun grafiğinden de açıkça görülmektedir.
9) Fonksiyon Y = sin (X) periyodik bir fonksiyondur. Grafiğe tekrar bakalım ve fonksiyonun bazı aralıklarla aynı değerleri aldığını görelim.

Sinüs problemlerine örnekler

1. sin (x) = x-π denklemini çözün

Çözüm: Fonksiyonun 2 grafiğini oluşturalım: y = sin (x) ve y = x-π (şekle bakın).
Grafiklerimiz bir A noktasında kesişiyor (π; 0), cevap bu: x = π

2. y = sin (π / 6 + x) -1 fonksiyonunu çizin

Çözüm: y = sin (x) fonksiyonunun grafiği π / 6 birim sola ve 1 birim aşağı kaydırılarak istenilen grafik elde edilir.

Çözüm: Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım ve [π / 2; 5π / 4].
Fonksiyonun grafiği, en büyük ve en küçük değerlere segmentin uçlarında sırasıyla π / 2 ve 5π / 4 noktalarında ulaşıldığını göstermektedir.
Cevap: sin (π / 2) = 1 en büyük değerdir, sin (5π / 4) = en küçük değerdir.

Bağımsız çözüm için sinüs problemleri

• Denklemi çözün: günah (x) = x + 3π, günah (x) = x-5π
• Çizim fonksiyonu y = günah (π / 3 + x) -2
• Çizim fonksiyonu y = günah (-2π / 3 + x) +1
• Bir aralıkta y = sin (x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun
• y = sin (x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini [- π / 3; 5π / 6]