เวกเตอร์และการดำเนินการกับเวกเตอร์ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง

ในที่สุดฉันก็ได้หัวข้อที่กว้างใหญ่และรอคอยมานาน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในส่วนนี้... ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด เชิงวิเคราะห์หรือ วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน - แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับโรงเรียนมัธยมปลาย คุณจะต้องมี เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบบ่อยอาจหลุดลอยไปจากสายตาของฉัน และบทช่วยสอนจะเป็นประโยชน์อันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้ คุณสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันกับโซลูชันสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้ในหน้านี้ ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

ในบรรดาเครื่องมือต่างๆ ฉันขอเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์, และนอกจากนี้ยังมี เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรืออวกาศตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา บางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนอักษรรูปลิ่มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ซึ่งหมายความว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก อย่างจำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้สั้นลงได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" นี้หรือนั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และจริงๆ แล้ว ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ มีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบ แต่ทุกอย่างถูกต้อง - คุณสามารถเพิ่มส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่าเพิ่งรีบดีใจไป เพราะนิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ พวงของ ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์...” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นของการประยุกต์ใช้ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนครอบคลุมการกระทำและกฎเกณฑ์หลายประการด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกจากกัน จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎ ขอแนะนำให้ใส่ความหมายทางกายภาพลงไป: ปล่อยให้ร่างกายบางส่วนเดินทางไปตามเวกเตอร์ แล้วไปตามเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นภายในเวลาที่กำหนด.

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน- โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ขอให้เราพรรณนาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและพล็อตมันจากจุดกำเนิดของพิกัด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้: แทนที่จะใช้ความเท่าเทียมและการตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:มุมตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนพื้นผิว ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรมีความชัดเจนสำหรับหลาย ๆ คน ข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั่นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนมันอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:

และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และในที่สุดก็: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ฉันจำไม่ได้ว่าที่ไหนในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , - ทำตามรูปวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมใช้ได้ผลในสถานการณ์เหล่านี้อย่างชัดเจนเพียงใด

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เคร่งครัดเป็นอันดับสองเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความเรียบง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: - มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้ สามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน) – จดบันทึก;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นี่อาจเป็นความรู้ทางทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อดูดซึมเนื้อหาได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันทราบว่าเนื้อหาบนไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับเรขาคณิตเนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายให้กับรูปแบบการนำเสนอทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นข้อดีต่อความเข้าใจของคุณ เรื่อง. หากต้องการรับข้อมูลทางทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ, จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามนั้นฟรี ดังนั้นหากต้องการหรือจำเป็น เราก็สามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนเครื่องบินได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ.
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ.
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ.
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง พยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วนของเส้น - นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่มีประเด็นสำคัญอีกสองสามประเด็นที่ฉันต้องการชี้แจง:

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

ให้ความสนใจกับ เทคนิคที่สำคัญ – ลบตัวคูณออกจากใต้รูท- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) กระบวนการนี้มีลักษณะเช่นนี้โดยละเอียด: - แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

บ่อยครั้งที่รากสร้างจำนวนที่ค่อนข้างมาก เช่น จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: - หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: - หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . ผลที่ตามมา:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ มักพบรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำกว่าและไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎการดำเนินการด้วยพลังในรูปแบบทั่วไปมีอยู่ในตำราพีชคณิตของโรงเรียน แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว

งานสำหรับโซลูชันอิสระที่มีส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .

เวกเตอร์หน่วย- นี้ เวกเตอร์ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ซึ่งเท่ากับความสามัคคี เพื่อแสดงถึงเวกเตอร์หน่วย เราจะใช้ตัวห้อย e กแล้วเวกเตอร์หน่วยของมันจะเป็นเวกเตอร์ กจ. เวกเตอร์หน่วยนี้มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้นเอง กและโมดูลของมันมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ a e = 1

อย่างชัดเจน, ก= ก กอี (ก - โมดูลเวกเตอร์ ก)- สิ่งนี้ตามมาจากกฎที่ใช้ดำเนินการคูณสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์

เวกเตอร์หน่วยมักเกี่ยวข้องกับแกนพิกัดของระบบพิกัด (โดยเฉพาะกับแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) แนวทางเหล่านี้ เวกเตอร์ตรงกับทิศทางของแกนที่สอดคล้องกัน และจุดกำเนิดของมันมักจะรวมกับจุดกำเนิดของระบบพิกัด

ฉันขอเตือนคุณว่า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ แกนสามแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันซึ่งตัดกัน ณ จุดที่เรียกว่าจุดกำเนิดของพิกัด มักเรียกว่าแกนตั้งฉากกัน แกนพิกัดมักจะแสดงด้วยตัวอักษร X, Y, Z และเรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนพิกัด และแกนประยุกต์ ตามลำดับ เดส์การตส์เองก็ใช้แกนเดียวเท่านั้นซึ่งมีการวางแผนแอบซิสซา ข้อดีการใช้งาน ระบบขวานเป็นของลูกศิษย์ของเขา เพราะฉะนั้น ประโยคนี้ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนผิดทางประวัติศาสตร์ คุยกันดีกว่า สี่เหลี่ยม ระบบพิกัดหรือ ระบบพิกัดตั้งฉาก- อย่างไรก็ตาม เราจะไม่เปลี่ยนประเพณี และในอนาคตเราจะถือว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและสี่เหลี่ยม (มุมฉาก) เป็นหนึ่งเดียวกัน

เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน X จะแสดงแทน ฉัน, เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน Y จะแสดงแทน เจ, ก เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน Z จะแสดงไว้ เค- เวกเตอร์ ฉัน, เจ, เคถูกเรียกว่า ออร์ต(รูปที่ 12 ซ้าย) พวกเขามีโมดูลเดียวนั่นคือ
ผม = 1, เจ = 1, k = 1

ขวานและ เวกเตอร์หน่วย ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในบางกรณีอาจมีชื่อและชื่อเรียกต่างกัน ดังนั้นแกนแอบซิสซา X จึงเรียกว่าแกนแทนเจนต์ และเวกเตอร์หน่วยของมันถูกแทนด้วย τ (ตัวอักษรเทาตัวพิมพ์เล็กกรีก) แกนพิกัดคือแกนตั้งฉาก เวกเตอร์หน่วยของมันถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ nแกนประยุกต์คือแกนชีวปกติ โดยมีหน่วยเวกเตอร์แทนด้วย ข- ทำไมต้องเปลี่ยนชื่อถ้าสาระสำคัญยังคงเหมือนเดิม?

ความจริงก็คือตัวอย่างเช่นในกลศาสตร์เมื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของร่างกายจะใช้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบ่อยมาก ดังนั้น หากระบบพิกัดนั้นอยู่กับที่ และการเปลี่ยนแปลงในพิกัดของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ถูกติดตามในระบบที่อยู่นิ่งนี้ โดยปกติแล้วแกนจะถูกกำหนดให้เป็น X, Y, Z และ เวกเตอร์หน่วยตามลำดับ ฉัน, เจ, เค.

แต่บ่อยครั้งที่วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งบางประเภท (เช่นในวงกลม) จะสะดวกกว่าที่จะพิจารณากระบวนการทางกลในระบบพิกัดที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับวัตถุนี้ สำหรับระบบพิกัดเคลื่อนที่นั้นจะใช้ชื่ออื่นของแกนและเวกเตอร์หน่วยของแกนเหล่านั้น มันเป็นอย่างที่มันเป็น ในกรณีนี้ แกน X จะถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร ณ จุดที่วัตถุนี้อยู่ในปัจจุบัน จากนั้นแกนนี้ไม่เรียกว่าแกน X อีกต่อไป แต่เป็นแกนแทนเจนต์ และเวกเตอร์หน่วยของมันไม่ได้ถูกกำหนดอีกต่อไป ฉัน, ก τ - แกน Y ถูกกำหนดทิศทางตามรัศมีความโค้งของวิถี (ในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม - ไปยังศูนย์กลางของวงกลม) และเนื่องจากรัศมีตั้งฉากกับแทนเจนต์ แกนจึงเรียกว่าแกนตั้งฉาก (ตั้งฉากและตั้งฉากเป็นสิ่งเดียวกัน) เวกเตอร์หน่วยของแกนนี้ไม่แสดงอีกต่อไป เจ, ก n- แกนที่สาม (เดิมคือ Z) ตั้งฉากกับสองแกนก่อนหน้า นี่คือสิ่งมีชีวิตที่มีออร์ธ ข(รูปที่ 12 ขวา). โดยวิธีการในกรณีนี้เช่นนี้ ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมักเรียกว่า "ธรรมชาติ" หรือธรรมชาติ

ในเรขาคณิต เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทางหรือคู่ของจุดที่ได้รับการจัดลำดับในปริภูมิแบบยุคลิด ออร์ตอม เวกเตอร์คือเวกเตอร์หน่วยของปริภูมิเวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานหรือเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (ความยาว) เท่ากับ 1

คุณจะต้องการ

ความรู้เรื่องเรขาคณิต

คำแนะนำ

ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณความยาว เวกเตอร์- ดังที่ทราบกันดีว่าความยาว (โมดูลัส) เวกเตอร์เท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด กำหนดให้เวกเตอร์ที่มีพิกัด: a(3, 4) ดังนั้นความยาวของมันคือ |a| = (9 + 16)^1/2 หรือ |a|=5

เพื่อตามหาออร์ท เวกเตอร์ก คุณต้องหารแต่ละอันด้วยความยาวของมัน ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ที่เรียกว่าออร์ธหรือเวกเตอร์หน่วย สำหรับ เวกเตอร์ a(3, 4) ort จะเป็นเวกเตอร์ a(3/5, 4/5) เวกเตอร์ a` จะเป็นหน่วยของ เวกเตอร์ก.

หากต้องการตรวจสอบว่าพบออร์ตอย่างถูกต้องหรือไม่ คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: ค้นหาความยาวของออร์ตผลลัพธ์ ถ้ามันเท่ากับ 1 แสดงว่าพบทุกอย่างถูกต้อง หากไม่ แสดงว่าเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ มาตรวจสอบว่าพบ ort a` ถูกต้องหรือไม่ ความยาว เวกเตอร์ a` เท่ากับ: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1 ดังนั้น ความยาว เวกเตอร์ a` เท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าพบเวกเตอร์หน่วยได้ถูกต้อง

จะมีปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเองซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์

ก่อนที่คุณจะเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับเวกเตอร์และการดำเนินการกับเวกเตอร์ ให้เตรียมพร้อมสำหรับการแก้ปัญหาง่ายๆ มีเวกเตอร์ของความเป็นผู้ประกอบการของคุณและเวกเตอร์ของความสามารถด้านนวัตกรรมของคุณ เวกเตอร์ของการเป็นผู้ประกอบการนำคุณไปสู่เป้าหมายที่ 1 และเวกเตอร์ของความสามารถเชิงนวัตกรรมนำคุณไปสู่เป้าหมายที่ 2 กฎของเกมคือคุณไม่สามารถเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของเวกเตอร์ทั้งสองนี้พร้อมกันและบรรลุเป้าหมายสองข้อในคราวเดียว เวกเตอร์โต้ตอบหรือพูดด้วยภาษาคณิตศาสตร์ การดำเนินการบางอย่างเกิดขึ้นกับเวกเตอร์ ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้คือเวกเตอร์ "ผลลัพธ์" ซึ่งนำคุณไปสู่เป้าหมาย 3

บอกฉันที: ผลลัพธ์ของการดำเนินการใดกับเวกเตอร์ "ผู้ประกอบการ" และ "ความสามารถเชิงนวัตกรรม" คือเวกเตอร์ "ผลลัพธ์" หากบอกไม่ได้ทันทีก็อย่าท้อแท้ เมื่อคุณก้าวหน้าในบทเรียนนี้ คุณจะสามารถตอบคำถามนี้ได้

ดังที่เราได้เห็นข้างต้น เวกเตอร์จำเป็นต้องมาจากจุดใดจุดหนึ่ง กเป็นเส้นตรงถึงจุดหนึ่ง บี- ด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์แต่ละตัวจึงไม่เพียงแต่มีค่าตัวเลข - ความยาว แต่ยังมีค่าทิศทางทางกายภาพและเรขาคณิตด้วย จากนี้มาเป็นคำจำกัดความแรกที่ง่ายที่สุดของเวกเตอร์ ดังนั้นเวกเตอร์คือเซกเมนต์ทิศทางที่มาจากจุดหนึ่ง กตรงประเด็น บี- กำหนดไว้ดังนี้..

และเริ่มต้นต่างๆ การดำเนินการกับเวกเตอร์ เราต้องมาทำความรู้จักกับนิยามของเวกเตอร์อีกคำหนึ่ง

เวกเตอร์คือประเภทของการแสดงจุดที่จำเป็นต้องไปถึงจากจุดเริ่มต้นบางจุด ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สามมิติมักจะเขียนเป็น (x, y, z) . พูดง่ายๆ ก็คือ ตัวเลขเหล่านี้หมายถึงระยะทางที่คุณต้องเดินไปใน 3 ทิศทางที่แตกต่างกันเพื่อไปยังจุดหนึ่ง

ให้เวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ โดยที่ x = 3 (มือขวาชี้ไปทางขวา) ย = 1 (มือซ้ายชี้ไปข้างหน้า) z = 5 (ใต้จุดมีบันไดขึ้น) เมื่อใช้ข้อมูลนี้ คุณจะพบจุดโดยเดิน 3 เมตรในทิศทางที่มือขวาระบุ จากนั้น 1 เมตรในทิศทางที่มือซ้ายระบุ จากนั้นบันไดจะรอคุณอยู่ และเมื่อสูงขึ้น 5 เมตร คุณจะพบว่าในที่สุด ตัวคุณเองที่จุดสิ้นสุด

คำศัพท์อื่นๆ ทั้งหมดเป็นการชี้แจงคำอธิบายที่นำเสนอข้างต้น ซึ่งจำเป็นสำหรับการดำเนินการต่างๆ กับเวกเตอร์ นั่นก็คือ การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ มาดูคำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้ โดยเน้นที่ปัญหาเวกเตอร์ทั่วไป

ตัวอย่างทางกายภาพปริมาณเวกเตอร์อาจเป็นการกระจัดของจุดวัตถุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความเร่งของจุดนี้ ตลอดจนแรงที่กระทำต่อจุดนั้น

เวกเตอร์เรขาคณิตนำเสนอในพื้นที่สองมิติและสามมิติในรูปแบบ ส่วนทิศทาง- นี่คือส่วนที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ถ้า ก- จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และ บี- สิ้นสุดแล้วเวกเตอร์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์หรืออักษรตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว . ในรูป จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะแสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 1)

ความยาว(หรือ โมดูล) ของเวกเตอร์เรขาคณิตคือความยาวของส่วนที่สร้างเวกเตอร์นั้น

เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากัน หากสามารถรวมกันได้ (หากทิศทางตรงกัน) โดยการโอนแบบขนานนั่นคือ ถ้าขนานกัน มีทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน

ในวิชาฟิสิกส์ก็มักจะถือว่า เวกเตอร์ที่ปักหมุดไว้กำหนดตามจุดใช้งาน ความยาว และทิศทาง หากจุดใช้งานของเวกเตอร์ไม่สำคัญ ก็จะสามารถถ่ายโอนเวกเตอร์ไปยังจุดใดก็ได้ในอวกาศโดยคงความยาวและทิศทางไว้ ในกรณีนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ฟรี- เราจะตกลงพิจารณาเท่านั้น เวกเตอร์ฟรี.

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์เรขาคณิต

การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

ผลคูณของเวกเตอร์ ต่อหมายเลขเป็นเวกเตอร์ที่ได้มาจากเวกเตอร์โดยการยืด (at ) หรือการบีบอัด (at ) ด้วยปัจจัย และทิศทางของเวกเตอร์ยังคงเหมือนเดิม if และเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม if (รูปที่ 2)

จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์และ = อยู่บนเส้นเดียวหรือเส้นขนานเสมอ เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า คอลลิเนียร์- (เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์เหล่านี้ขนานกัน แต่ในพีชคณิตเวกเตอร์ เป็นเรื่องปกติที่จะพูดว่า "คอลลิเนียร์") ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเวกเตอร์เป็นคอลลิเนียร์ ก็มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (1) จึงเป็นการแสดงออกถึงเงื่อนไขสำหรับความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัว

การบวกและการลบเวกเตอร์

เมื่อบวกเวกเตอร์ คุณต้องรู้สิ่งนี้ จำนวนเวกเตอร์ และเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุด - ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะติดกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 3)

คำจำกัดความนี้สามารถกระจายไปตามจำนวนเวกเตอร์ที่มีจำกัดใดๆ ได้ ให้พวกเขาได้รับในอวกาศ nเวกเตอร์ฟรี เมื่อบวกเวกเตอร์หลายตัว ผลรวมของเวกเตอร์จะถือเป็นเวกเตอร์ปิด ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย นั่นคือ หากคุณแนบจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ และแนบจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เป็นต้น และสุดท้ายที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้คือเวกเตอร์ปิด จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและจุดสิ้นสุด - กับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย (รูปที่ 4)

คำศัพท์เหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ และกฎที่กำหนดขึ้นก็คือ กฎรูปหลายเหลี่ยม- รูปหลายเหลี่ยมนี้อาจไม่แบน

เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยตัวเลข -1 จะได้เวกเตอร์ที่ตรงกันข้าม เวกเตอร์และมีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม ผลรวมของพวกเขาให้ เวกเตอร์เป็นศูนย์ซึ่งมีความยาวเป็นศูนย์ ไม่ได้กำหนดทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์

ในพีชคณิตเวกเตอร์ ไม่จำเป็นต้องพิจารณาการดำเนินการลบแยกกัน การลบเวกเตอร์ออกจากเวกเตอร์หมายถึงการเพิ่มเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ กล่าวคือ

ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

นั่นคือ เวกเตอร์สามารถบวกและคูณด้วยตัวเลขได้ในลักษณะเดียวกับพหุนาม (โดยเฉพาะ ปัญหาเรื่องการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วย) โดยทั่วไปแล้ว ความจำเป็นในการลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงเส้นตรงที่มีเวกเตอร์เกิดขึ้นก่อนที่จะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2เวกเตอร์และทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD (รูปที่ 4a) แสดงผ่าน และเวกเตอร์ , , และ ซึ่งเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

สารละลาย. จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งแต่ละเส้นทแยงมุม เราค้นหาความยาวของเวกเตอร์ที่ต้องการในคำชี้แจงปัญหา ไม่ว่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของเวกเตอร์ที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมด้วยค่าที่ต้องการ หรือเป็นครึ่งหนึ่งของผลต่าง (ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ที่ทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม) หรือ เช่นในกรณีหลัง ครึ่งหนึ่งของผลรวมมีเครื่องหมายลบ ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่ต้องการในคำชี้แจงปัญหา:

มีเหตุผลทุกประการที่เชื่อได้ว่าตอนนี้คุณได้ตอบคำถามเกี่ยวกับเวกเตอร์ “การเป็นผู้ประกอบการ” และ “ความสามารถด้านนวัตกรรม” อย่างถูกต้องแล้วในตอนต้นของบทเรียนนี้ คำตอบที่ถูกต้อง: ดำเนินการบวกกับเวกเตอร์เหล่านี้

แก้ปัญหาเวกเตอร์ด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

จะหาความยาวของผลรวมของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ปัญหานี้ตรงบริเวณสถานที่พิเศษในการดำเนินการกับเวกเตอร์ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการใช้คุณสมบัติตรีโกณมิติ สมมติว่าคุณเจองานดังต่อไปนี้:

กำหนดความยาวของเวกเตอร์ และความยาวของผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ จงหาความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

แนวทางแก้ไขปัญหานี้และปัญหาอื่น ๆ ที่คล้ายกันและคำอธิบายวิธีแก้ปัญหาอยู่ในบทเรียน " การบวกเวกเตอร์: ความยาวของผลรวมของเวกเตอร์และทฤษฎีบทโคไซน์ ".

และสามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ที่ เครื่องคิดเลขออนไลน์ "ด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม (การบวกเวกเตอร์และทฤษฎีบทโคไซน์)" .

ผลคูณของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน?

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์-เวกเตอร์ไม่ใช่การดำเนินการเชิงเส้นและถือว่าแยกกัน และเรามีบทเรียน "ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์" และ "เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์"

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่ฉายภาพและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:

ดังที่ได้ทราบกันดีว่าการฉายภาพแบบจุด กบนเส้นตรง (ระนาบ) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดนี้เข้าสู่เส้นตรง (ระนาบ)

อนุญาต เป็นเวกเตอร์ที่กำหนดเอง (รูปที่ 5) และ เป็นเส้นโครงของจุดกำเนิดของมัน (จุด ก) และสิ้นสุด (คะแนน บี) ต่อแกน ล- (เพื่อสร้างเส้นโครงของจุด ก) ลากเส้นตรงผ่านจุด กระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง จุดตัดของเส้นและระนาบจะกำหนดเส้นโครงที่ต้องการ

ส่วนประกอบเวกเตอร์ บนแกน lเรียกว่าเวกเตอร์ที่วางอยู่บนแกนนี้ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยการฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน ลหมายเลขที่เรียก

เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ส่วนประกอบบนแกนนี้ โดยมีเครื่องหมายบวกถ้าทิศทางของส่วนประกอบตรงกับทิศทางของแกน ลและมีเครื่องหมายลบหากทิศทางเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโครงเวกเตอร์บนแกน:

1. เส้นโครงของเวกเตอร์ที่เท่ากันบนแกนเดียวกันจะเท่ากัน

2. เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข เส้นโครงของเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

3. เส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนใดๆ เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนเดียวกัน

4. การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่ฉายและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:

สารละลาย. ลองฉายเวกเตอร์ลงบนแกนกัน ลตามที่กำหนดไว้ในภูมิหลังทางทฤษฎีข้างต้น จากรูปที่ 5a เห็นได้ชัดว่าเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์ เราคำนวณการคาดการณ์เหล่านี้:

เราพบการฉายภาพสุดท้ายของผลรวมของเวกเตอร์:

ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในอวกาศ

ทำความรู้จัก ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในอวกาศเกิดขึ้นในบทเรียนที่เกี่ยวข้องแนะนำให้เปิดในหน้าต่างใหม่

ในระบบสั่งแกนพิกัด 0xyzแกน วัวเรียกว่า แกน x, แกน 0ปี – แกน yและแกน 0z – ใช้แกน.

ด้วยจุดใดก็ได้ มเวกเตอร์เชื่อมต่ออวกาศ

เรียกว่า เวกเตอร์รัศมีคะแนน มและฉายลงบนแกนพิกัดแต่ละแกน ให้เราแสดงขนาดของเส้นโครงที่สอดคล้องกัน:

ตัวเลข x, y, zถูกเรียกว่า พิกัดจุดเอ็มตามลำดับ แอบซิสซา, บวชและ สมัครและเขียนเป็นจุดเรียงลำดับของตัวเลข: M(x;y;z)(รูปที่ 6)

เวกเตอร์ของความยาวหน่วยซึ่งมีทิศทางตรงกับทิศทางของแกนเรียกว่า เวกเตอร์หน่วย(หรือ ออร์ตอม) แกน ให้เราแสดงโดย

ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด วัว, เฮ้ย, ออนซ์

ทฤษฎีบท.เวกเตอร์ใดๆ สามารถขยายเป็นหน่วยเวกเตอร์ของแกนพิกัดได้:

(2)

ความเท่าเทียมกัน (2) เรียกว่าการขยายตัวของเวกเตอร์ตามแนวแกนพิกัด ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวนี้คือการฉายเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว (2) ของเวกเตอร์ตามแนวแกนพิกัดจึงเป็นพิกัดของเวกเตอร์

หลังจากเลือกระบบพิกัดที่แน่นอนในอวกาศ เวกเตอร์และแฝดของพิกัดจะกำหนดซึ่งกันและกันโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นเวกเตอร์จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบได้

การแสดงเวกเตอร์ในรูปแบบ (2) และ (3) เหมือนกัน

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ในพิกัด

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว เวกเตอร์จะเรียกว่าคอลลิเนียร์หากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

ให้เวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ - เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรงถ้าพิกัดของเวกเตอร์มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์นั้นเป็นสัดส่วน

ตัวอย่างที่ 6มีการระบุเวกเตอร์ - เวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่?

สารละลาย. มาดูความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กันดีกว่า:

พิกัดของเวกเตอร์นั้นเป็นสัดส่วน ดังนั้น เวกเตอร์จึงเป็นเส้นตรงหรือที่เหมือนกันคือขนานกัน

ความยาวเวกเตอร์และโคไซน์ทิศทาง

เนื่องจากความตั้งฉากร่วมกันของแกนพิกัดความยาวของเวกเตอร์

เท่ากับความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์

และแสดงออกด้วยความเท่าเทียมกัน

(4)

เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุจุดสองจุด (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด) ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์จึงสามารถแสดงในรูปของพิกัดของจุดเหล่านี้ได้

ในระบบพิกัดที่กำหนด จุดกำเนิดของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุดนั้น

และจุดสิ้นสุดก็อยู่ที่จุดนั้น

จากความเท่าเทียมกัน

เป็นไปตามนั้น

หรือในรูปแบบประสานงาน

เพราะฉะนั้น, พิกัดเวกเตอร์เท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดเดียวกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - สูตร (4) ในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ

กำหนดทิศทางของเวกเตอร์ โคไซน์ทิศทาง - เหล่านี้คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์สร้างด้วยแกน วัว, เฮ้ยและ ออนซ์- ให้เราแสดงมุมเหล่านี้ตามนั้น α , β และ γ - จากนั้นสามารถหาโคไซน์ของมุมเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ก็เป็นพิกัดของเวกเตอร์ของเวกเตอร์นั้นด้วย และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์