ในบทเรียนที่แล้ว เราศึกษาการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล ตัวอย่างเช่น ผลคูณของโมโนเมียล a และพหุนาม b + c จะพบได้ดังนี้:

ก(ข + ค) = ab + bc

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี จะสะดวกกว่าที่จะดำเนินการผกผัน ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ab + bc = ก(ข + ค)

ตัวอย่างเช่น เราต้องคำนวณค่าของพหุนาม ab + bc สำหรับค่าของตัวแปร a = 15.6, b = 7.2, c = 2.8 ถ้าเราแทนมันลงในนิพจน์โดยตรง เราก็จะได้

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

ab + bc = ก(ข + ค) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

ในกรณีนี้ เราแสดงพหุนาม ab + bc เป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัว: a และ b + c การดำเนินการนี้เรียกว่าการแยกตัวประกอบพหุนาม

ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละปัจจัยที่ใช้ขยายพหุนามสามารถเป็นพหุนามหรือเอกพจน์ได้

ลองพิจารณาพหุนาม 14ab - 63b 2 กัน monomials ที่เป็นส่วนประกอบแต่ละรายการสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ได้:

จะเห็นได้ว่าพหุนามทั้งสองมีตัวประกอบร่วมกันคือ 7b ซึ่งหมายความว่าสามารถนำออกจากวงเล็บได้:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

คุณสามารถตรวจสอบว่าตัวคูณถูกวางไว้นอกวงเล็บอย่างถูกต้องหรือไม่โดยใช้การดำเนินการย้อนกลับ - เปิดวงเล็บ:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าบ่อยครั้งที่พหุนามสามารถขยายได้หลายวิธี เช่น:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = b(5a + 6d)

โดยปกติแล้วพวกเขาพยายามที่จะดึง monomial ที่ "ใหญ่ที่สุด" ออกมาโดยประมาณ นั่นคือ พวกมันขยายพหุนามออกไปจนไม่สามารถเอาอะไรออกจากพหุนามที่เหลือได้อีก ดังนั้นในระหว่างการสลายตัว

5abc + 6bcd = ข(5ac + 6cd)

ผลรวมของ monomials ที่มีปัจจัยร่วม c ยังคงอยู่ในวงเล็บ ถ้าเราเอามันออกไปด้วย ก็จะไม่เหลือปัจจัยร่วมในวงเล็บ:

ข(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการค้นหาปัจจัยทั่วไปของ monomials ให้เราแยกย่อยผลรวม

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 โวลต์ + 16a 4 b 3 ค 10

ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ก่อนอื่นเรามาดูอัตราต่อรองที่เป็นตัวเลขที่อยู่ตรงหน้ากันก่อน เหล่านี้คือ 8, 12 และ 16 ในบทที่ 3 ของชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หัวข้อของ GCD และอัลกอริทึมในการค้นหาถูกกล่าวถึง นี่คือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด คุณสามารถหาได้จากปากเปล่า ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของตัวคูณร่วมจะเป็น GCD ของค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของเงื่อนไขของพหุนามอย่างแน่นอน ในกรณีนี้ตัวเลขคือ 4

ต่อไปเราจะดูที่ระดับของตัวแปรเหล่านี้ ตามปัจจัยทั่วไป ตัวอักษรจะต้องมีอำนาจขั้นต่ำที่ปรากฏในข้อกำหนด ดังนั้น ตัวแปร a ในพหุนามมีองศา 3, 2 และ 4 (ต่ำสุด 2) ดังนั้นตัวประกอบร่วมจะเป็น 2 ตัวแปร b มีดีกรีต่ำสุดที่ 3 ดังนั้นตัวประกอบร่วมจะเป็น b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

ผลก็คือ เทอมที่เหลือ 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 ไม่มีตัวแปรตัวอักษรร่วมตัวเดียว และสัมประสิทธิ์ 2, 3 และ 4 ไม่มีตัวหารร่วม

ไม่เพียงแต่ monomials เท่านั้น แต่ยังสามารถนำพหุนามออกจากวงเล็บได้ด้วย ตัวอย่างเช่น:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

อีกตัวอย่างหนึ่ง จำเป็นต้องขยายการแสดงออก

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

สารละลาย. จำไว้ว่าเครื่องหมายลบกลับเครื่องหมายในวงเล็บเหมือนกัน

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแทนที่ (3x - 8y) ด้วย - (8y - 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

คำตอบ: (8ป - 3x)(5t - 2s)

โปรดจำไว้ว่าสามารถสลับส่วนย่อยและส่วนย่อยได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่หน้าวงเล็บ:

(ก - ข) = - (ข - ก)

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เครื่องหมายลบที่อยู่หน้าวงเล็บสามารถลบออกได้โดยการสลับเครื่องหมายลบและเครื่องหมาย minuend ไปพร้อมๆ กัน:

เทคนิคนี้มักใช้เมื่อแก้ไขปัญหา

วิธีการจัดกลุ่ม

ลองพิจารณาวิธีแยกตัวประกอบพหุนามอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะช่วยในการขยายพหุนาม ให้มีการแสดงออก

ab - 5a + bc - 5c

เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ปัจจัยร่วมจาก monomials ทั้งสี่ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถจินตนาการได้ว่าพหุนามนี้เป็นผลรวมของพหุนามสองตัว และในแต่ละพหุนามก็จะนำตัวแปรออกจากวงเล็บ:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = ก(ข - 5) + ค(ข - 5)

ตอนนี้เราสามารถหานิพจน์ b - 5 ได้:

ก(ข - 5) + ค(ข - 5) = (ข - 5)(ก + ค)

เรา "จัดกลุ่ม" เทอมแรกกับเทอมที่สอง และเทอมที่สามกับเทอมที่สี่ ดังนั้นวิธีที่อธิบายไว้จึงเรียกว่าวิธีการจัดกลุ่ม

ตัวอย่าง. ลองขยายพหุนาม 6xy + ab- 2bx- 3ay กัน

สารละลาย. การจัดกลุ่มพจน์ที่ 1 และ 2 เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากไม่มีปัจจัยร่วม ดังนั้น เรามาสลับ monomials กัน:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

ความแตกต่าง 3y - b และ b - 3y แตกต่างกันเฉพาะตามลำดับของตัวแปรเท่านั้น ในวงเล็บอันใดอันหนึ่งสามารถเปลี่ยนได้โดยการย้ายเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บ:

(ข - 3ป) = - (3ป - ข)

ลองใช้การแทนที่นี้:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

เป็นผลให้เราได้รับตัวตน:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

คำตอบ: (3y - b)(2x - a)

คุณสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ได้ไม่เพียงสองคำเท่านั้น แต่โดยทั่วไปแล้วสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์กี่คำก็ได้ ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

เราสามารถจัดกลุ่ม monomials สามตัวแรกและ 3 รายการสุดท้ายได้:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

ตอนนี้เรามาดูงานที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นกัน

ตัวอย่าง. ขยายตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 - 8x +15

สารละลาย. พหุนามนี้ประกอบด้วย monomials เพียง 3 ตัวเท่านั้น ดังนั้น ดูเหมือนว่าการจัดกลุ่มจะเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำการทดแทนดังต่อไปนี้:

จากนั้นสามารถแสดงตรีโกณมิติดั้งเดิมได้ดังนี้:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

มาจัดกลุ่มคำศัพท์กัน:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

คำตอบ: (x- 5)(x - 3)

แน่นอนว่าไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะคาดเดาการแทนที่ - 8x = - 3x - 5x ในตัวอย่างข้างต้น ให้เราแสดงเหตุผลที่แตกต่างออกไป เราต้องขยายพหุนามของดีกรี 2 ออก ดังที่เราจำได้ เมื่อคูณพหุนาม พลังของพวกมันจะเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่า แม้ว่าเราจะแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองออกเป็นสองตัวได้ แต่พวกมันก็จะกลายเป็นพหุนามสองตัวที่มีดีกรี 1 ให้เราเขียนผลคูณของพหุนามสองตัวในระดับแรกซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1:

(x + ก)(x + ข) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (ก + ข)x + ab

ในที่นี้เราแสดงว่า a และ b เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม เพื่อให้ผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตรีโกณมิติดั้งเดิม x 2 - 8x +15 จำเป็นต้องเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมสำหรับตัวแปร:

เมื่อใช้การเลือก เราสามารถระบุได้ว่าตัวเลข a = - 3 และ b = - 5 เป็นไปตามเงื่อนไขนี้

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

ซึ่งมองเห็นได้โดยการเปิดวงเล็บออก

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่พหุนามคูณของดีกรี 1 มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม อาจมีค่าเท่ากัน เช่น 0.5 และ 2 ในกรณีนี้ ส่วนขยายจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

อย่างไรก็ตาม หากนำสัมประสิทธิ์ 2 ออกจากวงเล็บแรกแล้วคูณด้วยวินาที เราจะได้ส่วนขยายดั้งเดิม:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

ในตัวอย่างที่พิจารณา เราได้ขยายกำลังสองของตรีโกณมิติเป็นพหุนามสองตัวของดีกรีแรก เราจะต้องทำสิ่งนี้บ่อยครั้งในอนาคต อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าตรีโกณมิติกำลังสองบางรายการ เช่น

มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสลายตัวในลักษณะนี้เป็นผลคูณของพหุนาม สิ่งนี้จะได้รับการพิสูจน์ในภายหลัง

การประยุกต์การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนามจะทำให้การดำเนินการบางอย่างง่ายขึ้น ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

ลองลบหมายเลข 2 ออกไปแล้วระดับของแต่ละเทอมจะลดลงหนึ่ง:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

เรามาแสดงจำนวนเงินกันเถอะ

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

สำหรับ x จากนั้นความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้:

x + 2 9 = 2(1 + x)

เราได้สมการ มาแก้กัน (ดูบทเรียนสมการ):

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

ทีนี้มาแสดงจำนวนเงินที่เรากำลังมองหาในรูปของ x:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

เมื่อแก้ไขปัญหานี้ เราได้ยกเลข 2 ขึ้นเป็นกำลัง 9 เท่านั้น และการดำเนินการยกกำลังอื่นๆ ทั้งหมดก็ถูกตัดออกจากการคำนวณโดยการแยกตัวประกอบพหุนาม ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถสร้างสูตรการคำนวณสำหรับจำนวนเงินอื่นๆ ที่คล้ายกันได้

ทีนี้ลองคำนวณค่าของนิพจน์กัน

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

หารด้วย 73 ลงตัว โปรดทราบว่าตัวเลข 9 และ 81 เป็นเลขยกกำลังของสาม:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว เรามาแทนที่นิพจน์ดั้งเดิมกันดีกว่า:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

เอา 3 12 ออกไป:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

ผลคูณ 3 12 .73 หารด้วย 73 ลงตัว (เนื่องจากตัวประกอบตัวหนึ่งหารด้วยมันลงตัว) ดังนั้นนิพจน์ 81 4 - 9 7 + 3 12 จึงหารด้วยตัวเลขนี้

การแยกตัวประกอบสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ตัวตนได้ เช่น ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

(ก 2 + 3a) 2 + 2(ก 2 + 3a) = ก(ก + 1)(ก + 2)(ก + 3)

เพื่อแก้ปัญหาอัตลักษณ์ เราจะแปลงด้านซ้ายของความเสมอภาคโดยลบปัจจัยร่วมออก:

(ก 2 + 3a) 2 + 2(ก 2 + 3a) = (ก 2 + 3a)(ก 2 + 3a) + 2(ก 2 + 3a) = (ก 2 + 3a)(ก 2 + 3a + 2 )

(ก 2 + 3a)(ก 2 + 3a + 2) = (ก 2 + 3a)(ก 2 + 2a + ก + 2) = (ก 2 + 3a)((ก 2 + 2a) + (ก + 2 ) = (ก 2 + 3a)(ก(ก + 2) + (ก + 2)) = (ก 2 + 3a)(ก + 1)(ก + 2) = ก(ก + 3)(ก + z )(ก + 2) = ก(ก + 1)(ก + 2)(ก + 3)

อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร x และ y นิพจน์

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

ไม่ใช่จำนวนบวก

สารละลาย. ลองหาปัจจัยร่วม x - y ออกมา:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

โปรดทราบว่าเราได้รับผลคูณของทวินามที่คล้ายกันสองตัว ซึ่งต่างกันเพียงลำดับตัวอักษร x และ y หากเราสลับตัวแปรในวงเล็บอันใดอันหนึ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ที่มีสองนิพจน์ที่เหมือนกัน นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่เพื่อที่จะสลับ x และ y คุณต้องใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าวงเล็บ:

(x - y) = -(y - x)

จากนั้นเราสามารถเขียน:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

ดังที่คุณทราบ กำลังสองของจำนวนใดๆ ก็ตามจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ยังใช้กับนิพจน์ (y - x) 2 ด้วย หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้านิพจน์ จะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ไม่ใช่จำนวนบวก

การขยายตัวพหุนามช่วยแก้สมการบางอย่างได้ มีการใช้คำสั่งต่อไปนี้:

ถ้าส่วนหนึ่งของสมการมีศูนย์ และอีกส่วนหนึ่งเป็นผลคูณของปัจจัย แต่ละส่วนก็ควรจะเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง. แก้สมการ (s - 1)(s + 1) = 0

สารละลาย. ผลคูณของเอกนาม s - 1 และ s + 1 เขียนไว้ทางด้านซ้าย และศูนย์เขียนไว้ทางด้านขวา ดังนั้น ศูนย์จะต้องเท่ากับ s - 1 หรือ s + 1:

(ส - 1)(ส + 1) = 0

s - 1 = 0 หรือ s + 1 = 0

s = 1 หรือ s = -1

แต่ละค่าที่ได้รับทั้งสองค่าของตัวแปร s คือรากของสมการนั่นคือมีสองราก

คำตอบ: -1; 1.

ตัวอย่าง. แก้สมการ 5w 2 - 15w = 0

สารละลาย. เอา 5w ออกไป:

อีกครั้งงานเขียนทางด้านซ้ายและศูนย์ทางด้านขวา เรามาดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

5w = 0 หรือ (w - 3) = 0

w = 0 หรือ w = 3

คำตอบ: 0; 3.

ตัวอย่าง. ค้นหารากของสมการ k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

สารละลาย. มาจัดกลุ่มคำศัพท์กัน:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

(เค 3 + 3)(เค - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 หรือ k - 8 = 0

k 2 = -3 หรือ k = 8

โปรดทราบว่าสมการ k 2 = - 3 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากจำนวนใดๆ ยกกำลังสองต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นรากเดียวของสมการดั้งเดิมคือ k = 8

ตัวอย่าง. ค้นหารากของสมการ

(2u - 5)(ยู + 3) = 7u + 21

วิธีแก้ไข: ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้าย แล้วจัดกลุ่มเงื่อนไข:

(2u - 5)(ยู + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(ยู + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(ยู + 3) - 7(ยู + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(ยู + 3) = 0

2u - 12 = 0 หรือ ยู + 3 = 0

ยู = 6 หรือ ยู = -3

คำตอบ: - 3; 6.

ตัวอย่าง. แก้สมการ

(เสื้อ 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(เสื้อ 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(เสื้อ 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(เสื้อ 2 - 5t)(เสื้อ 2 - 5t) + 6(เสื้อ 2 - 5t) = 0

(เสื้อ 2 - 5t)(เสื้อ 2 - 5t + 6) = 0

เสื้อ 2 - 5t = 0 หรือ เสื้อ 2 - 5t + 6 = 0

เสื้อ = 0 หรือ เสื้อ - 5 = 0

t=0 หรือ t=5

ตอนนี้เรามาดูสมการที่สองกัน เรามีตรีโกณมิติกำลังสองอีกครั้ง หากต้องการแยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัยโดยใช้วิธีจัดกลุ่ม คุณต้องนำเสนอเป็นผลรวมของ 4 เทอม หากคุณทำการแทนที่ - 5t = - 2t - 3t คุณสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์เพิ่มเติมได้:

เสื้อ 2 - 5t + 6 = 0

เสื้อ 2 - 2t - 3t + 6 = 0

เสื้อ(เสื้อ - 2) - 3(เสื้อ - 2) = 0

(เสื้อ - 3)(เสื้อ - 2) = 0

T - 3 = 0 หรือ t - 2 = 0

เสื้อ=3 หรือ เสื้อ=2

เป็นผลให้เราพบว่าสมการดั้งเดิมมี 4 ราก

โดยทั่วไปงานนี้ต้องใช้แนวทางที่สร้างสรรค์เนื่องจากไม่มีวิธีการสากลในการแก้ปัญหา แต่เรามาลองให้คำแนะนำเล็กน้อย

ในกรณีส่วนใหญ่อย่างท่วมท้น การแยกตัวประกอบของพหุนามขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ กล่าวคือ พบหรือเลือกรากได้ และระดับของพหุนามจะลดลงหนึ่งโดยหารด้วย ค้นหารากของพหุนามผลลัพธ์และทำซ้ำกระบวนการจนกระทั่งการขยายตัวสมบูรณ์

หากไม่พบรูท จะใช้วิธีการขยายเฉพาะ: ตั้งแต่การจัดกลุ่มไปจนถึงการแนะนำคำศัพท์เพิ่มเติมที่ไม่เกิดร่วมกัน

การนำเสนอเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับทักษะการแก้สมการระดับที่สูงกว่าด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

คร่อมปัจจัยร่วม

เริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อเทอมอิสระเท่ากับศูนย์ นั่นคือพหุนามมีรูปแบบ .

แน่นอน รากของพหุนามดังกล่าวคือ นั่นคือ เราสามารถแสดงพหุนามในรูปแบบได้

วิธีการนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่า นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ.

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรี 3.

สารละลาย.

แน่นอนว่ารากของพหุนามคืออะไร เอ็กซ์สามารถถอดออกจากวงเล็บได้:

ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองกัน

ดังนั้น,

ด้านบนของหน้า

แยกตัวประกอบพหุนามด้วยรากตรรกยะ

ขั้นแรก ลองพิจารณาวิธีการขยายพหุนามด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดจะเท่ากับหนึ่ง

ในกรณีนี้ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

ตรวจสอบว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ โดยเขียนตัวหารของตัวเลขลงไป -18 - นั่นคือ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าพวกมันอยู่ในกลุ่มตัวเลขที่เขียน มาตรวจสอบตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับโดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ ความสะดวกของมันยังอยู่ที่ว่าท้ายที่สุดแล้วเราได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนาม:

นั่นคือ, x=2และ x=-3เป็นรากของพหุนามดั้งเดิมและเราสามารถแสดงมันเป็นผลคูณได้:

มันยังคงต้องขยายตรีโกณมิติกำลังสอง

การแยกแยะของตรีนามนี้เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ:

ความคิดเห็น:

แทนที่จะใช้แผนผังของฮอร์เนอร์ เราสามารถใช้การเลือกรากและการหารพหุนามในภายหลังด้วยพหุนามได้

ตอนนี้ให้พิจารณาการขยายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ และค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดไม่เท่ากับหนึ่ง

ในกรณีนี้ พหุนามสามารถมีรากที่เป็นตรรกยะแบบเศษส่วนได้

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบนิพจน์

สารละลาย.

โดยทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร y=2xมาดูพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุดกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คูณนิพจน์ด้วย 4 .

หากฟังก์ชันผลลัพธ์มีรากเป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าฟังก์ชันเหล่านั้นอยู่ในตัวหารของพจน์อิสระ มาเขียนกัน:

ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันตามลำดับ ก(ย)ณ จุดเหล่านี้จนกระทั่งถึงศูนย์

นั่นคือ, ย=-5คือราก ดังนั้น จึงเป็นรากของฟังก์ชันดั้งเดิม ลองหารพหุนามด้วยคอลัมน์ (มุม) ให้เป็นทวินามกัน

ดังนั้น,

ไม่แนะนำให้ตรวจสอบตัวหารที่เหลือต่อ เนื่องจากจะง่ายกว่าในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองที่ได้

เพราะฉะนั้น,

พหุนามที่ไม่รู้จัก ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแจกแจงของพหุนามในส่วนที่ไม่ทราบค่า รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

มีตัวอย่างพหุนามแยกตัวประกอบ 8 ตัวอย่างมาให้ รวมถึงตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองและสมการกำลังสอง ตัวอย่างของพหุนามซึ่งกันและกัน และตัวอย่างการค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามดีกรีที่สามและสี่

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม
รากของสมการกำลังสอง
การแก้สมการลูกบาศก์

1. ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

เราเอา x ออกมา 2 นอกวงเล็บ:
.
2 + x - 6 = 0:
.
รากของสมการ:
, .

.

ตัวอย่างที่ 1.2

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

ลองเอา x ออกจากวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 + 6 x + 9 = 0:
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกเป็นศูนย์ รากของสมการจึงเป็นทวีคูณ: ;
.

จากตรงนี้ เราจะได้การแยกตัวประกอบของพหุนาม:
.

ตัวอย่างที่ 1.3

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่ 5:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

เราเอา x ออกมา 3 นอกวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 - 2 x + 10 = 0.
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ รากของสมการจึงซับซ้อน: ;
, .

การแยกตัวประกอบของพหุนามมีรูปแบบ:
.

หากเราสนใจการแยกตัวประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จริง:
.

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่มีพหุนามกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 2.1

แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง:
x 4 + x 2 - 20.

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข).

;
.

ตัวอย่างที่ 2.2

แยกตัวประกอบพหุนามที่ลดเป็นกำลังสอง:
x 8 + x 4 + 1.

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข):

;

;
.

ตัวอย่างที่ 2.3 กับพหุนามที่เกิดซ้ำ

แยกตัวประกอบพหุนามส่วนกลับ:
.

พหุนามส่วนกลับมีดีกรีคี่ จึงมีราก x = - 1 - หารพหุนามด้วย x -(-1) = x + 1
.
-
, ;
;


;
.

เป็นผลให้เราได้รับ:

มาทำการทดแทนกัน:

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีรากจำนวนเต็ม
.

ตัวอย่างที่ 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

ดังนั้นเราจึงพบรากสามประการ:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
เนื่องจากพหุนามดั้งเดิมมีดีกรีสาม จึงไม่มีรากเกินสามราก เนื่องจากเราพบรากสามอัน จึงเป็นเรื่องง่าย แล้ว
.

ตัวอย่างที่ 3.2

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีรากจำนวนเต็ม
.

ตัวอย่างที่ 3.1

มีรากทั้งหมดอย่างน้อยหนึ่งอัน แล้วมันก็เป็นตัวหารของจำนวน 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรากทั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
-2, -1, 1, 2 .
เราแทนที่ค่าเหล่านี้ทีละค่า:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

ดังนั้นเราจึงพบรากหนึ่ง:
x 1 = -1 .
หารพหุนามด้วย x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


แล้ว,
.

ตอนนี้เราต้องแก้สมการระดับที่สาม:
.
ถ้าเราสมมุติว่าสมการนี้มีรากของจำนวนเต็ม สมการนั้นจะเป็นตัวหารของตัวเลข 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรากทั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
1, 2, -1, -2 .
แทน x = ได้เลย -1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบราก x อีกอันหนึ่ง 2 = -1 -
.

อาจเป็นไปได้ที่จะหารพหุนามด้วย ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ แต่เราจะจัดกลุ่มคำศัพท์:

พหุนามคือนิพจน์ที่ประกอบด้วยผลรวมของเอกนาม อย่างหลังเป็นผลคูณของค่าคงที่ (ตัวเลข) และราก (หรือราก) ของนิพจน์ยกกำลัง k ในกรณีนี้ เราพูดถึงพหุนามดีกรี k การขยายตัวของพหุนามเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ซึ่งเงื่อนไขจะถูกแทนที่ด้วยตัวประกอบ พิจารณาวิธีหลักในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงประเภทนี้

วิธีการขยายพหุนามโดยการแยกตัวประกอบร่วม

• วิธีการนี้เป็นไปตามกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า ดังนั้น mn + mk = m * (n + k)ตัวอย่าง:

ขยาย 7y 2 + 2uy และ 2m 3 – 12m 2 + 4lm

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u)

2 ม. 3 – 12 ม. 2 + 4 ล. = 2 ม. (ม. 2 – 6 ม. + 2 ลิตร)

อย่างไรก็ตาม ปัจจัยที่จำเป็นต้องมีในแต่ละพหุนามอาจไม่สามารถพบได้เสมอไป ดังนั้นวิธีนี้จึงไม่เป็นสากล

วิธีการขยายพหุนามตามสูตรคูณแบบย่อ

สูตรการคูณแบบย่อใช้ได้กับพหุนามทุกระดับ โดยทั่วไป นิพจน์การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

uk – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1) โดยที่ k เป็นตัวแทนของ ตัวเลขธรรมชาติ

สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติคือสูตรสำหรับพหุนามของลำดับที่สองและสาม:

คุณ 2 – ล. 2 = (คุณ – ล.)(คุณ + ล.)

คุณ 3 – ล. 3 = (คุณ – ล.)(คุณ 2 + ul + ล. 2)

• วิธีการนี้เป็นไปตามกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า ดังนั้น mn + mk = m * (n + k)คุณ 3 + ลิตร 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2)

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b)

64ม. 3 – 8ล. 3 = (4ม.) 3 – (2ล.) 3 = (4ม. – 2ล.)((4ม.) 2 + 4ม. * 2ล. + (2ล.) 2) = (4ม. – 2ล.)(16ม. 2 + 8มล. + 4ล. 2 ).

วิธีการขยายพหุนาม - การจัดกลุ่มเงื่อนไขของนิพจน์

วิธีการนี้มีบางอย่างที่เหมือนกันกับเทคนิคการหาตัวประกอบร่วม แต่มีความแตกต่างบางประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ก่อนที่จะแยกปัจจัยทั่วไป ควรจัดกลุ่ม monomials ก่อน การจัดกลุ่มจะขึ้นอยู่กับกฎของกฎหมายผสมและกฎหมายสับเปลี่ยน

monomials ทั้งหมดที่นำเสนอในนิพจน์จะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มจะมีค่าทั่วไปเพื่อให้ปัจจัยที่สองจะเหมือนกันในทุกกลุ่ม โดยทั่วไป วิธีการสลายตัวนี้สามารถแสดงเป็นนิพจน์ได้:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s)

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s)

• วิธีการนี้เป็นไปตามกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า ดังนั้น mn + mk = m * (n + k)กระจายออก 14 ล้าน + 16ln – 49m – 56l

14 นาที + 16 ลิตร – 49 นาที – 56 ลิตร = (14 นาที – 49 นาที) + (16 ลิตร – 56 ลิตร) = 7 นาที * (2n – 7) + 8 ลิตร * (2n – 7) = (7 นาที + 8 ลิตร)(2n – 7)

วิธีการขยายพหุนาม - สร้างกำลังสองสมบูรณ์

วิธีนี้เป็นวิธีการหนึ่งที่มีประสิทธิผลมากที่สุดในการขยายพหุนาม ในระยะเริ่มแรกจำเป็นต้องกำหนด monomials ที่สามารถ "ยุบ" ลงในกำลังสองของผลต่างหรือผลรวมได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์แบบใดแบบหนึ่ง:

(พี – ข) 2 = หน้า 2 – 2pb + ข 2 ,

• วิธีการนี้เป็นไปตามกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า ดังนั้น mn + mk = m * (n + k)ขยายนิพจน์ u 4 + 4u 2 – 1

ในบรรดา monomials เราเลือกคำศัพท์ที่สร้างกำลังสองที่สมบูรณ์: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (ยู 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (ยู 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5

การแปลงให้สมบูรณ์โดยใช้กฎการคูณแบบย่อ: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5)

ที่. คุณ 4 + 4u 2 – 1 = (คุณ 2 + 2 – √5)(คุณ 2 + 2 + √5)

เพื่อที่จะแยกตัวประกอบ จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้สามารถลดลงได้อีก การขยายตัวของพหุนามสมเหตุสมผลเมื่อดีกรีของมันไม่ต่ำกว่าสอง พหุนามที่มีดีกรีแรกเรียกว่าเชิงเส้น

บทความนี้จะครอบคลุมแนวคิดทั้งหมดเกี่ยวกับการสลายตัว รากฐานทางทฤษฎี และวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม

ทฤษฎี

ทฤษฎีบท 1

เมื่อพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + a 1 x + a 0 แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัยคงที่โดยมีระดับสูงสุด a n และ n ปัจจัยเชิงเส้น (x - x i), i = 1, 2, ..., n จากนั้น P n (x) = ก n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 1) โดยที่ x i, i = 1, 2, …, n คือรากของพหุนาม

ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับรากของประเภทเชิงซ้อน x i, i = 1, 2, …, n และสำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน a k, k = 0, 1, 2, …, n นี่คือพื้นฐานของการสลายตัวใดๆ

เมื่อสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ a k, k = 0, 1, 2, …, n เป็นจำนวนจริง ดังนั้นรากเชิงซ้อนจะเกิดขึ้นเป็นคู่คอนจูเกต ตัวอย่างเช่น ราก x 1 และ x 2 เกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 ถือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน จากนั้นรากอื่น ๆ นั้นเป็นจำนวนจริง ซึ่งเราได้ว่าพหุนามอยู่ในรูปแบบ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 3) x 2 + p x + q โดยที่ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

ความคิดเห็น

รากของพหุนามสามารถทำซ้ำได้ ลองพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีชคณิตซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

ทฤษฎีบท 2

พหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรากอย่างน้อยหนึ่งอัน

ทฤษฎีบทของเบซูต์

หลังจากหารพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 บน (x - s) จากนั้นเราจะได้ส่วนที่เหลือซึ่งเท่ากับพหุนามที่จุด s จากนั้นเราจะได้

Pnx = กnxn + กn - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) โดยที่ Q n - 1 (x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี n - 1

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์

เมื่อรากของพหุนาม P n (x) ถูกพิจารณาว่าเป็น s แล้ว P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + ก 1 x + ก 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ข้อพิสูจน์นี้เพียงพอแล้วเมื่อใช้อธิบายวิธีแก้ปัญหา

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบ a x 2 + b x + c สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ จากนั้นเราจะได้ว่า a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นราก (เชิงซ้อนหรือจำนวนจริง)

นี่แสดงให้เห็นว่าการขยายตัวลดลงจนนำไปสู่การแก้สมการกำลังสองในภายหลัง

ตัวอย่างที่ 1

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง.

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหารากของสมการ 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตร จากนั้นเราจะได้ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 จากที่นี่เรามีสิ่งนั้น

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

จากนี้เราจะได้ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1

หากต้องการตรวจสอบ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

หลังจากตรวจสอบแล้วเราก็มาถึงสำนวนดั้งเดิม กล่าวคือเราสามารถสรุปได้ว่าการสลายตัวนั้นดำเนินไปอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 2

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11

สารละลาย

เราพบว่าจำเป็นต้องคำนวณสมการกำลังสองที่ได้ในรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0

ในการค้นหาราก คุณจำเป็นต้องกำหนดค่าของการแบ่งแยก เราเข้าใจแล้ว

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

จากนี้ เราจะได้ว่า 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

ตัวอย่างที่ 3

แยกตัวประกอบพหุนาม 2 x 2 + 1

สารละลาย

ตอนนี้เราต้องแก้สมการกำลังสอง 2 x 2 + 1 = 0 แล้วหารากของมัน เราเข้าใจแล้ว

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ฉัน x 2 = - 1 2 = - 1 2 ฉัน

รากเหล่านี้เรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อน ซึ่งหมายความว่าส่วนขยายสามารถแสดงเป็น 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i

ตัวอย่างที่ 4

สลายตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 + 1 3 x + 1 .

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 แล้วหารากของมัน

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ฉัน x 2 = - 1 3 - ง 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ฉัน 2 = - 1 - 35 · ฉัน 6 = - 1 6 - 35 6 · ฉัน

เมื่อได้รับรากแล้วเราก็เขียน

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ฉัน x - - 1 6 - 35 6 ฉัน = = x + 1 6 - 35 6 ฉัน x + 1 6 + 35 6 ฉัน

ความคิดเห็น

ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ พหุนามจะยังคงเป็นพหุนามลำดับที่สอง จากนี้ไปเราจะไม่ขยายมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

เมื่อสลายตัวจะถือว่าใช้วิธีสากล กรณีส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกค่าของรูท x 1 และลดระดับของมันด้วยการหารด้วยพหุนามด้วย 1 โดยหารด้วย (x - x 1) ผลลัพธ์พหุนามจะต้องค้นหาราก x 2 และกระบวนการค้นหาจะเป็นวัฏจักรจนกว่าเราจะได้ส่วนขยายที่สมบูรณ์

หากไม่พบรูทก็จะใช้วิธีการแยกตัวประกอบอื่น: การจัดกลุ่มข้อกำหนดเพิ่มเติม หัวข้อนี้เกี่ยวข้องกับการแก้สมการด้วยกำลังที่สูงกว่าและสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

พิจารณากรณีที่เทอมอิสระเท่ากับศูนย์ รูปแบบของพหุนามจะกลายเป็น P n (x) = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + 1 x .

จะเห็นได้ว่ารากของพหุนามดังกล่าวจะเท่ากับ x 1 = 0 จากนั้นพหุนามสามารถแสดงเป็นนิพจน์ P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + ก 1 x = = x (ก x n - 1 + ก n - 1 x n - 2 + . . . + ก 1)

วิธีนี้ถือเป็นการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 5

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม 4 x 3 + 8 x 2 - x

สารละลาย

เราจะเห็นว่า x 1 = 0 เป็นรากของพหุนามที่กำหนด จากนั้นเราสามารถลบ x ออกจากวงเล็บของนิพจน์ทั้งหมดได้ เราได้รับ:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

มาดูการหารากของกำลังสองตรีโกณมิติ 4 x 2 + 8 x - 1 กัน เรามาค้นหาความแตกต่างและรากกันดีกว่า:

ง = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + ง 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - ง 2 4 = - 1 - 5 2

แล้วมันเป็นไปตามนั้น

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

ขั้นแรกให้เราพิจารณาวิธีการสลายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดคือ 1

เมื่อพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม จะถือว่าเป็นตัวหารของพจน์อิสระ

ตัวอย่างที่ 6

ขยายนิพจน์ f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18

สารละลาย

ลองพิจารณาว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ จำเป็นต้องเขียนตัวหารของตัวเลข - 18 เราได้ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 ตามมาว่าพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ สะดวกมากและช่วยให้คุณได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนามอย่างรวดเร็ว:

ตามมาว่า x = 2 และ x = - 3 เป็นรากของพหุนามดั้งเดิม ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของรูปแบบได้:

ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

เราดำเนินการขยายตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ x 2 + 2 x + 3

เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นลบ หมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ:ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ความคิดเห็น

อนุญาตให้ใช้การเลือกรากและการหารพหุนามด้วยพหุนามแทนโครงร่างของฮอร์เนอร์ มาดูการขยายพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 ซึ่งค่าสูงสุดเท่ากับ 1

กรณีนี้เกิดขึ้นกับเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 7

แยกตัวประกอบ f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่ตัวแปร y = 2 x คุณควรเลื่อนไปยังพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุด คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคูณนิพจน์ด้วย 4 เราเข้าใจแล้ว

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

เมื่อฟังก์ชันผลลัพธ์ของรูปแบบ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 มีรากจำนวนเต็ม ตำแหน่งของพวกมันจะอยู่ในกลุ่มตัวหารของเทอมอิสระ รายการจะมีลักษณะดังนี้:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

มาดูการคำนวณฟังก์ชัน g (y) ที่จุดเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เราเข้าใจแล้ว

ก. (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ก. (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ก. (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ก. (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ก. (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 กรัม (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 กรัม (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 กรัม (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 กรัม (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1,070 กรัม (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

เราพบว่า y = - 5 คือรากของสมการในรูปแบบ y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ซึ่งหมายความว่า x = y 2 = - 5 2 คือรากของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์ 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2

สารละลาย

ลองเขียนมันลงไปแล้วรับ:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

การตรวจสอบตัวหารจะใช้เวลานาน ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่าที่จะแยกตัวประกอบผลลัพธ์ของกำลังสองในรูปตรีโกณมิติ x 2 + 7 x + 3 เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะพบการเลือกปฏิบัติ

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

มันเป็นไปตามนั้น

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

เทคนิคประดิษฐ์สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนาม

รากตรรกยะไม่มีอยู่ในพหุนามทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้วิธีการพิเศษเพื่อค้นหาปัจจัย แต่ไม่ใช่ว่าพหุนามทั้งหมดจะสามารถขยายหรือแสดงเป็นผลคูณได้

วิธีการจัดกลุ่ม

มีหลายกรณีที่คุณสามารถจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามเพื่อค้นหาตัวประกอบร่วมและนำออกจากวงเล็บได้

ตัวอย่างที่ 9

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2

สารละลาย

เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากจึงสามารถสันนิษฐานว่าเป็นจำนวนเต็มได้เช่นกัน ในการตรวจสอบให้ใช้ค่า 1, - 1, 2 และ - 2 เพื่อคำนวณค่าพหุนามที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

นี่แสดงว่าไม่มีรากจึงจำเป็นต้องใช้วิธีขยายและวิธีแก้ปัญหาแบบอื่น

มีความจำเป็นต้องจัดกลุ่ม:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

หลังจากจัดกลุ่มพหุนามดั้งเดิมแล้ว คุณต้องแสดงมันเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสองสองอัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบ เราเข้าใจแล้ว

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

ความคิดเห็น

ความเรียบง่ายของการจัดกลุ่มไม่ได้หมายความว่าการเลือกคำศัพท์นั้นง่ายพอ ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทและกฎพิเศษ

ตัวอย่างที่ 10

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2

สารละลาย

พหุนามที่กำหนดไม่มีรากจำนวนเต็ม ควรจัดกลุ่มข้อกำหนด เราเข้าใจแล้ว

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

หลังจากการแยกตัวประกอบ เราจะได้มัน

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

การใช้สูตรคูณแบบย่อและทวินามของนิวตันเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

รูปลักษณ์ภายนอกมักไม่ได้ทำให้ชัดเจนว่าควรใช้วิธีใดในระหว่างการสลายตัวเสมอไป หลังจากทำการแปลงแล้ว คุณสามารถสร้างเส้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล ไม่เช่นนั้นจะเรียกว่าทวินามของนิวตัน

ตัวอย่างที่ 11

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ให้เป็นแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ลำดับของค่าสัมประสิทธิ์ผลรวมในวงเล็บระบุด้วยนิพจน์ x + 1 4 .

ซึ่งหมายความว่าเรามี x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3

หลังจากใช้ผลต่างของกำลังสองแล้ว เราก็จะได้

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

พิจารณานิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง เห็นได้ชัดว่าไม่มีอัศวินอยู่ที่นั่น เราจึงควรใช้สูตรผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

ตัวอย่างที่ 12

แยกตัวประกอบ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

สารละลาย

มาเริ่มเปลี่ยนการแสดงออกกันเถอะ เราเข้าใจแล้ว

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณผลต่างของลูกบาศก์แบบย่อ เราได้รับ:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

วิธีการแทนที่ตัวแปรเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

เมื่อแทนที่ตัวแปร ระดับจะลดลงและพหุนามจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 13

แยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ x 6 + 5 x 3 + 6

สารละลาย

ตามเงื่อนไขชัดเจนว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน y = x 3 เราได้รับ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 ปี + 6

รากของสมการกำลังสองที่ได้คือ y = - 2 และ y = - 3 ดังนั้น

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณแบบย่อของผลรวมของลูกบาศก์ เราได้รับนิพจน์ในรูปแบบ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

นั่นคือเราได้รับการสลายตัวตามที่ต้องการ

กรณีที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยในการพิจารณาและแยกตัวประกอบพหุนามในรูปแบบต่างๆ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter