Number เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมที่ใช้ในการหาปริมาณวัตถุ ตัวเลขเกิดขึ้นในสังคมดึกดำบรรพ์โดยเกี่ยวข้องกับความต้องการของผู้คนในการนับสิ่งของ เมื่อเวลาผ่านไป เมื่อวิทยาศาสตร์พัฒนาขึ้น ตัวเลขก็กลายเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด

ในการแก้ปัญหาและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่างๆ คุณต้องเข้าใจว่ามีตัวเลขประเภทใดบ้าง ประเภทของตัวเลขหลัก ได้แก่: จำนวนเต็ม, จำนวนเต็ม , จำนวนตรรกยะ , จำนวนจริง

จำนวนเต็ม- ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่ได้จากการนับวัตถุตามธรรมชาติ หรือโดยการนับวัตถุเหล่านั้น (“ตัวแรก”, “ที่สอง”, “ที่สาม”...) เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน อักษรละติน เอ็น (คุณสามารถจำได้ตาม คำภาษาอังกฤษเป็นธรรมชาติ). ก็สามารถพูดได้ว่า เอ็น ={1,2,3,....}

จำนวนทั้งหมด- เป็นตัวเลขจากเซต (0, 1, -1, 2, -2, ....) ชุดนี้ประกอบด้วยสามส่วน ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ จำนวนเต็มลบ (ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ) และตัวเลข 0 (ศูนย์) จำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษรละติน ซี - ก็สามารถพูดได้ว่า ซี ={1,2,3,....}.

สรุปตัวเลขคือตัวเลขที่แสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เพื่อบ่งชี้ สรุปตัวเลขมีการใช้อักษรละติน ถาม - จำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ นอกจากนี้ ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ ได้แก่: ,,

ตัวเลขจริง- เป็นตัวเลขที่ใช้วัดปริมาณต่อเนื่อง พวงของ ตัวเลขจริงเขียนแทนด้วยอักษรละติน R จำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ได้มาจากการดำเนินการต่างๆ กับจำนวนตรรกยะ (เช่น การหยั่งราก การคำนวณลอการิทึม) แต่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะได้แก่,,.

จำนวนจริงใดๆ สามารถแสดงบนเส้นจำนวนได้:

สำหรับชุดตัวเลขที่แสดงข้างต้น ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

นั่นคือเซตของจำนวนธรรมชาติจะรวมอยู่ในเซตของจำนวนเต็มด้วย ชุดของจำนวนเต็มจะรวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนตรรกยะก็รวมอยู่ในเซตของจำนวนจริงด้วย ข้อความนี้สามารถแสดงตัวอย่างได้โดยใช้วงกลมออยเลอร์

พวงของคือเซตของวัตถุใดๆ ที่เรียกว่า องค์ประกอบของเซตนี้

ตัวอย่างเช่น: เด็กนักเรียนมากมาย รถหลายคัน ตัวเลขมากมาย .

ในทางคณิตศาสตร์ เซตถือว่ากว้างกว่ามาก เราจะไม่เจาะลึกหัวข้อนี้มากเกินไปเนื่องจากเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงและในตอนแรกสามารถสร้างความยากลำบากในการเรียนรู้ได้ เราจะพิจารณาเฉพาะส่วนหนึ่งของหัวข้อที่เราได้จัดการไปแล้วเท่านั้น

เนื้อหาบทเรียน

การกำหนด

ชุดส่วนใหญ่มักแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละตินและองค์ประกอบด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ในกรณีนี้ องค์ประกอบจะอยู่ในวงเล็บปีกกา

เช่น ถ้าเพื่อนของเราชื่อ ทอม จอห์น และลีโอ จากนั้นเราสามารถกำหนดกลุ่มเพื่อนที่จะองค์ประกอบได้ ทอม จอห์น และลีโอ

เรามาแทนเพื่อนของเราหลายคนโดยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เอฟ(เพื่อน) จากนั้นใส่เครื่องหมายเท่ากับและระบุรายชื่อเพื่อนของเราในวงเล็บปีกกา:

F = (ทอม, จอห์น, ลีโอ)

ตัวอย่างที่ 2- ลองเขียนเซตตัวหารของเลข 6 กัน.

ให้เราแสดงชุดนี้ด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น ด้วยตัวอักษร ดี

จากนั้นเราใส่เครื่องหมายเท่ากับและแสดงรายการองค์ประกอบของชุดนี้ในวงเล็บปีกกา นั่นคือเราแสดงรายการตัวหารของหมายเลข 6

ง = (1, 2, 3, 6)

หากองค์ประกอบบางอย่างอยู่ในชุดที่กำหนด ความเป็นสมาชิกนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เช่น ตัวหาร 2 อยู่ในเซตตัวหารของเลข 6 (เซต ดี- มันเขียนแบบนี้:

อ่านว่า: “2 อยู่ในเซตตัวหารของเลข 6”

หากองค์ประกอบบางอย่างไม่ได้อยู่ในชุดที่กำหนด การไม่เป็นสมาชิกนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายสมาชิกที่มีเครื่องหมายกากบาท ∉ เช่น ตัวหาร 5 ไม่อยู่ในเซต ดี- มันเขียนแบบนี้:

อ่านว่า: "5 ไม่ได้อยู่ในชุดตัวหารเลข 6″

นอกจากนี้ ชุดสามารถเขียนได้โดยการแสดงองค์ประกอบต่างๆ โดยตรง โดยไม่ต้องใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ วิธีนี้จะสะดวกหากชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนน้อย ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดชุดขององค์ประกอบหนึ่งชุด ให้องค์ประกอบนี้เป็นเพื่อนของเรา ปริมาณ:

( ปริมาณ )

ลองนิยามเซตที่ประกอบด้วยเลข 2 หนึ่งตัวกัน

{ 2 }

ลองกำหนดชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 2 และ 5

{ 2, 5 }

เซตของจำนวนธรรมชาติ

นี่เป็นชุดแรกที่เราเริ่มทำงานด้วย ตัวเลขธรรมชาติ ได้แก่ ตัวเลข 1, 2, 3 เป็นต้น

จำนวนธรรมชาติปรากฏขึ้นเนื่องจากต้องการให้คนนับวัตถุอื่นๆ เหล่านั้น เช่น นับจำนวนไก่ วัว ม้า จำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับ

ในบทเรียนที่แล้วเมื่อเราใช้คำว่า "ตัวเลข"ส่วนใหญ่มักจะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีความหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ เอ็น.

ตัวอย่างเช่น ชี้ให้เห็นว่าเลข 1 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนเลข 1 จากนั้นใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เพื่อระบุว่าหน่วยนั้นเป็นของเซต เอ็น

1 ∈ เอ็น

อ่านว่า: “อันหนึ่งอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ”

เซตของจำนวนเต็ม

ชุดของจำนวนเต็มประกอบด้วยค่าบวกทั้งหมด และ รวมถึงตัวเลข 0

ชุดของจำนวนเต็มจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ซี .

ตัวอย่างเช่น ให้เราชี้ให้เห็นว่าตัวเลข −5 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

−5 ∈ ซี

ให้เราชี้ให้เห็นว่า 10 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

10 ∈ ซี

ให้เราชี้ให้เห็นว่า 0 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

ในอนาคตเราจะเรียกตัวเลขทั้งบวกและลบทั้งหมดเป็นวลีเดียว - จำนวนทั้งหมด.

เซตของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเดียวกัน เศษส่วนทั่วไปซึ่งเรายังคงศึกษาอยู่จนทุกวันนี้

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก- ตัวเศษของเศษส่วน ข- ตัวส่วน

ตัวเศษและส่วนสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมทั้งจำนวนเต็มด้วย (ยกเว้นศูนย์ เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการถึงสิ่งนั้นแทน กคือหมายเลข 10 แต่แทน ข- หมายเลข 2

10 หารด้วย 2 เท่ากับ 5 เราจะเห็นว่าเลข 5 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 5 จะรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

เห็นได้ง่ายว่าเลข 5 ใช้กับเซตจำนวนเต็มด้วย ดังนั้นชุดของจำนวนเต็มจึงรวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะไม่เพียงแต่จะรวมถึงเศษส่วนธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป −2, −1, 0, 1, 2 ด้วย

ทีนี้ลองจินตนาการแบบนั้นแทน กหมายเลขคือ 12 แต่แทน ข- หมายเลข 5

12 หารด้วย 5 เท่ากับ 2.4 เราจะเห็นว่าเศษส่วนทศนิยม 2.4 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าจะรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะด้วย จากนี้ เราสรุปได้ว่าชุดของจำนวนตรรกยะไม่เพียงแต่รวมถึงเศษส่วนและจำนวนเต็มธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงเศษส่วนทศนิยมด้วย

เราคำนวณเศษส่วนแล้วได้คำตอบ 2.4 แต่เราสามารถเน้นเศษส่วนนี้ทั้งหมดได้:

เมื่อคุณแยกเศษส่วนทั้งหมดออก คุณจะได้จำนวนคละ เราเห็นว่าจำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะจะรวมจำนวนคละด้วย

ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปว่าเซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วย:

• จำนวนทั้งหมด
• เศษส่วนทั่วไป
• ทศนิยม
• ตัวเลขผสม

ชุดของจำนวนตรรกยะจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ถาม.

ตัวอย่างเช่น เราชี้ให้เห็นว่าเศษส่วนเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนเศษส่วนนั้นเอง จากนั้นใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เพื่อระบุว่าเศษส่วนนั้นเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ ถาม

ให้เราชี้ให้เห็นว่าเศษส่วนทศนิยม 4.5 เป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

4,5 ∈ ถาม

ให้เราชี้ให้เห็นว่าจำนวนคละเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ ถาม

บทเรียนเบื้องต้นเกี่ยวกับฉากต่างๆ เสร็จสมบูรณ์แล้ว ในอนาคตเราจะพิจารณาฉากให้ดีขึ้นมาก แต่สำหรับตอนนี้สิ่งที่เราพูดคุยกัน บทเรียนนี้จะเพียงพอแล้ว

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

จากหลากหลายชนิดมากมาย ชุดสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือสิ่งที่เรียกว่า ชุดตัวเลขนั่นคือเซตที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลข เห็นได้ชัดว่าในการทำงานกับพวกเขาอย่างสบายใจ คุณจะต้องสามารถจดบันทึกไว้ได้ เราจะเริ่มบทความนี้ด้วยสัญกรณ์และหลักการเขียนเซตตัวเลข ต่อไป มาดูวิธีการแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

การนำทางหน้า

การเขียนชุดตัวเลข

เริ่มจากสัญกรณ์ที่ยอมรับกันก่อน ดังที่คุณทราบ อักษรตัวใหญ่ของอักษรละตินใช้เพื่อแสดงถึงชุดต่างๆ ชุดตัวเลขซึ่งเป็นกรณีพิเศษของชุดก็ถูกกำหนดเช่นกัน ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับชุดตัวเลข A, H, W เป็นต้น สิ่งที่สำคัญที่สุดคือเซตของธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนฯลฯ ได้มีการนำเอาการกำหนดของตนเองมาใช้:

• N – เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
• Z – เซตของจำนวนเต็ม
• Q – เซตของจำนวนตรรกยะ
• J – เซตของจำนวนอตรรกยะ
• R – เซตของจำนวนจริง
• C คือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

จากตรงนี้ ชัดเจนว่าคุณไม่ควรแทนเซตที่ประกอบด้วยตัวเลข 5 และ −7 สองตัวเป็น Q การกำหนดนี้จะทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากตัวอักษร Q มักจะหมายถึงเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด หากต้องการแสดงชุดตัวเลขที่ระบุ ควรใช้ตัวอักษร "เป็นกลาง" อื่น ๆ เช่น A

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสัญลักษณ์ ขอให้เรานึกถึงสัญลักษณ์ของเซตว่างด้วย นั่นคือเซตที่ไม่มีองค์ประกอบ แสดงด้วยเครื่องหมาย ∅

ให้เรานึกถึงการกำหนดว่าองค์ประกอบนั้นอยู่ในชุดหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้เครื่องหมาย ∈ - เป็นของ และ ∉ - ไม่เป็นของ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ 5∈N หมายความว่าตัวเลข 5 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ และ 5.7∉Z - เศษส่วนทศนิยม 5.7 ไม่ได้อยู่ในเซตของจำนวนเต็ม

และให้เราจำสัญกรณ์ที่นำมาใช้เพื่อรวมชุดหนึ่งเข้าไว้ในอีกชุดหนึ่งด้วย เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต N รวมอยู่ในเซต Z ดังนั้นหมายเลขเซต N จึงรวมอยู่ใน Z ซึ่งแสดงเป็น N⊂Z คุณยังสามารถใช้สัญลักษณ์ Z⊃N ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนเต็ม Z ทั้งหมดจะมีเซต N ด้วย ความสัมพันธ์ที่ไม่รวมและไม่รวมจะถูกระบุด้วย ⊄ และ ตามลำดับ เครื่องหมายการรวมแบบไม่เข้มงวดของแบบฟอร์ม ⊆ และ ⊇ ก็ใช้เช่นกัน ซึ่งหมายถึง รวม หรือ เกิดขึ้นพร้อมกัน และ รวมถึง หรือ เกิดขึ้นพร้อมกัน ตามลำดับ

เราได้พูดคุยเกี่ยวกับสัญกรณ์แล้ว มาดูคำอธิบายของเซตตัวเลขกันดีกว่า ในกรณีนี้เราจะพูดถึงเฉพาะกรณีหลักที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติเท่านั้น

เริ่มจากชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัดและจำนวนน้อย สะดวกในการอธิบายชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัดโดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด องค์ประกอบตัวเลขทั้งหมดเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคและปิดล้อมด้วย ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบทั่วไป กฎสำหรับการอธิบายชุด- ตัวอย่างเช่น ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลข 0, −0.25 และ 4/7 สามตัวสามารถอธิบายได้เป็น (0, −0.25, 4/7)

บางครั้ง เมื่อจำนวนองค์ประกอบของชุดตัวเลขค่อนข้างมาก แต่องค์ประกอบเป็นไปตามรูปแบบที่กำหนด ก็จะใช้จุดไข่ปลาเพื่ออธิบาย ตัวอย่างเช่น เซตของเลขคี่ทั้งหมดตั้งแต่ 3 ถึง 99 สามารถเขียนเป็น (3, 5, 7, ..., 99)

ดังนั้นเราจึงเข้าใกล้คำอธิบายของชุดตัวเลขอย่างราบรื่นจำนวนองค์ประกอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด บางครั้งสามารถอธิบายได้โดยใช้วงรีเดียวกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น อธิบายเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด: N=(1, 2. 3, …)

พวกเขายังใช้คำอธิบายของชุดตัวเลขโดยระบุคุณสมบัติขององค์ประกอบต่างๆ ในกรณีนี้ จะใช้สัญกรณ์ (x| properties) ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ (n| 8·n+3, n∈N) ระบุเซตของจำนวนธรรมชาติที่เมื่อหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 3 ชุดเดียวกันนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็น (11,19, 27, ...)

ในกรณีพิเศษ เซตตัวเลขที่มีจำนวนองค์ประกอบไม่สิ้นสุดคือเซตที่รู้จัก เช่น เซต N, Z, R เป็นต้น หรือช่วงตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ชุดตัวเลขจะแสดงเป็น ยูเนี่ยนส่วนประกอบของช่วงตัวเลขและชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัด (ซึ่งเราพูดถึงข้างต้น)

ลองแสดงตัวอย่าง ให้ชุดตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข −10, −9, −8.56, 0, ตัวเลขทั้งหมดของเซกเมนต์ [−5, −1,3] และตัวเลขของเส้นจำนวนเปิด (7, +∞) เนื่องจากคำจำกัดความของเซตของเซต เซตตัวเลขที่ระบุจึงสามารถเขียนเป็นได้ {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) - สัญกรณ์นี้จริงๆ แล้วหมายถึงเซตที่มีสมาชิกทุกตัวของเซต (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] และ (7, +∞)

ในทำนองเดียวกัน เมื่อรวมช่วงจำนวนต่างๆ และชุดของตัวเลขแต่ละตัวเข้าด้วยกัน จึงสามารถอธิบายชุดตัวเลขใดๆ (ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง) ได้ ที่นี่เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุใดจึงมีการแนะนำช่วงเวลาตัวเลขเช่นช่วงเวลา, ครึ่งช่วง, ส่วน, รังสีตัวเลขเปิดและรังสีตัวเลข: ทั้งหมดเหล่านี้ประกอบกับสัญลักษณ์สำหรับชุดของตัวเลขแต่ละตัวทำให้สามารถอธิบายชุดตัวเลขใด ๆ ผ่าน สหภาพของพวกเขา

โปรดทราบว่าเมื่อเขียนชุดตัวเลข ตัวเลขที่เป็นส่วนประกอบและช่วงตัวเลขจะเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก นี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นแต่เป็นที่ต้องการ เนื่องจากชุดตัวเลขที่เรียงลำดับจะง่ายต่อการจินตนาการและพรรณนาบนเส้นพิกัด โปรดทราบว่าบันทึกดังกล่าวไม่ได้ใช้ช่วงตัวเลขด้วย องค์ประกอบทั่วไปเนื่องจากบันทึกดังกล่าวสามารถถูกแทนที่ด้วยการรวมช่วงตัวเลขโดยไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน ตัวอย่างเช่น การรวมกันของชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบร่วม [−10, 0] และ (−5, 3) คือช่วงครึ่งเวลา [−10, 3) เช่นเดียวกับการรวมกันของช่วงเวลาตัวเลขที่มีขอบเขตเดียวกันตัวอย่างเช่นสหภาพ (3, 5]∪(5, 7] เป็นเซต (3, 7] เราจะอาศัยสิ่งนี้แยกกันเมื่อเราเรียนรู้ที่จะ หาจุดตัดและการรวมกันของชุดตัวเลข

การแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

ในทางปฏิบัติ จะสะดวกในการใช้ภาพเรขาคณิตของชุดตัวเลข - เปิดภาพ เช่น เมื่อใด การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึง ODZ จึงจำเป็นต้องพรรณนาชุดตัวเลขเพื่อค้นหาจุดตัดและ/หรือการรวม ดังนั้นจึงมีประโยชน์ที่จะมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับความแตกต่างทั้งหมดของการแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของเส้นพิกัดกับจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่าเส้นพิกัดนั้นเป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ดังนั้น ในการพรรณนาชุดของจำนวนจริงทั้งหมด คุณต้องวาดเส้นพิกัดโดยแรเงาตามความยาวทั้งหมด:

และบ่อยครั้งพวกเขาไม่ได้ระบุที่มาและส่วนของหน่วยด้วยซ้ำ:

ตอนนี้เรามาพูดถึงภาพของเซตตัวเลข ซึ่งแสดงถึงจำนวนจำกัดของตัวเลขแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ลองพรรณนาชุดตัวเลข (−2, −0.5, 1.2) ภาพเรขาคณิตของชุดนี้ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสามตัว −2, −0.5 และ 1.2 จะเป็นจุดสามจุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกัน:

โปรดทราบว่าโดยปกติแล้วเพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องวาดภาพอย่างแน่นอน บ่อยครั้งที่การวาดแผนผังก็เพียงพอแล้ว ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องรักษามาตราส่วน ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องรักษาตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดที่สัมพันธ์กันเท่านั้น: จุดใดๆ ที่มีพิกัดน้อยกว่าจะต้องอยู่ที่ ด้านซ้ายของจุดที่มีพิกัดที่ใหญ่กว่า ภาพวาดก่อนหน้านี้จะมีลักษณะเป็นแผนผังดังนี้:

แยกช่วงตัวเลข (ช่วง ช่วงครึ่ง ช่วงรังสี ฯลฯ) ออกจากชุดตัวเลขทุกประเภท ซึ่งแสดงถึงภาพเรขาคณิต เราตรวจสอบรายละเอียดในส่วนนี้ เราจะไม่พูดซ้ำตัวเองที่นี่

และยังคงเป็นเพียงการอาศัยภาพของชุดตัวเลขซึ่งเป็นการรวมกันของช่วงตัวเลขและชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว ไม่มีอะไรยุ่งยากที่นี่: ตามความหมายของสหภาพในกรณีเหล่านี้ บนเส้นพิกัดจำเป็นต้องพรรณนาส่วนประกอบทั้งหมดของชุดของชุดตัวเลขที่กำหนด เป็นตัวอย่าง เรามาแสดงรูปภาพของชุดตัวเลขกัน (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (บันทึก 2 5, 5)∪(17, +∞) :

และให้เราพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อชุดตัวเลขที่แสดงแทนชุดจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจุดหนึ่งจุดหรือหลายจุด ชุดดังกล่าวมักจะระบุตามเงื่อนไขเช่น x≠5 หรือ x≠−1, x≠2, x≠3.7 เป็นต้น ในกรณีเหล่านี้ ในเชิงเรขาคณิต เส้นพิกัดเหล่านี้จะแทนเส้นพิกัดทั้งหมด ยกเว้นจุดที่สอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดเหล่านี้จะต้อง "ดึงออก" ออกจากเส้นพิกัด มีลักษณะเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางว่างเปล่า เพื่อความชัดเจน ให้เราพรรณนาชุดตัวเลขที่สอดคล้องกับเงื่อนไข (ชุดนี้มีอยู่แล้ว):

สรุป. ตามหลักการแล้ว ข้อมูลจากย่อหน้าก่อนหน้าควรอยู่ในมุมมองเดียวกันของการบันทึกและการพรรณนาชุดตัวเลขเหมือนกับมุมมองของช่วงเวลาตัวเลขแต่ละช่วง: การบันทึกชุดตัวเลขควรให้ภาพบนเส้นพิกัดทันทีและจากภาพบน เส้นพิกัดเราควรพร้อมที่จะอธิบายชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันได้อย่างง่ายดายผ่านการรวมกันของแต่ละช่วงและชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.

การทำความเข้าใจตัวเลข โดยเฉพาะจำนวนธรรมชาติ เป็นหนึ่งใน "ทักษะ" ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด อารยธรรมหลายแห่ง แม้แต่อารยธรรมสมัยใหม่ ก็ได้ให้คุณสมบัติลึกลับบางอย่างมาจากตัวเลข เนื่องจากมีความสำคัญอย่างมากในการอธิบายธรรมชาติ แม้ว่า วิทยาศาสตร์สมัยใหม่และคณิตศาสตร์ไม่ได้ยืนยันคุณสมบัติ "มหัศจรรย์" เหล่านี้ ความสำคัญของทฤษฎีจำนวนก็ไม่อาจปฏิเสธได้

ในอดีต จำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งปรากฏขึ้นก่อน จากนั้นจึงบวกเศษส่วนอย่างรวดเร็วและจำนวนอตรรกยะบวกเข้าไป จำนวนศูนย์และจำนวนลบถูกนำมาใช้หลังจากเซตย่อยของเซตของจำนวนจริง ชุดสุดท้ายซึ่งเป็นชุดจำนวนเชิงซ้อนปรากฏเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เท่านั้น

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตัวเลขไม่ได้ถูกนำมาใช้ตามลำดับประวัติศาสตร์ แม้ว่าจะค่อนข้างใกล้เคียงกันก็ตาม

จำนวนธรรมชาติ $\mathbb(N)$

เซตของจำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็น $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ และมักจะเติมด้วยศูนย์เพื่อแสดงถึง $\mathbb(N)_0$

$\mathbb(N)$ กำหนดการดำเนินการของการบวก (+) และการคูณ ($\cdot$) ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับ $a,b,c\in \mathbb(N)$ ใดๆ:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(N)$ ถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการบวกและการคูณ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ สับเปลี่ยน
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ การเชื่อมโยง
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ การกระจายตัว
5. $a\cdot 1=a$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ

เนื่องจากชุด $\mathbb(N)$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการบวก การบวกศูนย์เข้ากับชุดนี้จึงทำให้แน่ใจได้ว่าจะมีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก

นอกเหนือจากการดำเนินการทั้งสองนี้แล้ว ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ($

1. $a b$ การผ่าตัดไตรโคโตมี
2. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq a$ แล้ว $a=b$ ความไม่สมมาตร
3. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq c$ แล้ว $a\leq c$ จะเป็นสกรรมกริยา
4. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a+c\leq b+c$
5. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a\cdot c\leq b\cdot c$

จำนวนเต็ม $\mathbb(Z)$

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

การแก้สมการ $a+x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักเป็นจำนวนธรรมชาติ และ $x$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องมีคำนำ การดำเนินการใหม่- การลบ(-) หากมีจำนวนธรรมชาติ $x$ ที่เป็นไปตามสมการนี้ แล้ว $x=b-a$ อย่างไรก็ตาม สมการเฉพาะนี้ไม่จำเป็นต้องมีคำตอบบนเซต $\mathbb(N)$ ดังนั้นการพิจารณาเชิงปฏิบัติจึงต้องขยายชุดของจำนวนธรรมชาติเพื่อรวมคำตอบของสมการนั้นด้วย สิ่งนี้นำไปสู่การแนะนำชุดจำนวนเต็ม: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$

เนื่องจาก $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ จึงสมเหตุสมผลที่จะถือว่าการดำเนินการที่แนะนำก่อนหน้านี้ $+$ และ $\cdot$ และความสัมพันธ์ $ 1 $0+a=a+0=a$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ มีตัวเลขตรงข้าม $-a$ สำหรับ $a$

คุณสมบัติ 5.:
5. ถ้า $0\leq a$ และ $0\leq b$ แล้ว $0\leq a\cdot b$

เซต $\mathbb(Z)$ จะถูกปิดภายใต้การดำเนินการลบเช่นกัน นั่นคือ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$

จำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ตอนนี้ ให้พิจารณาสมการในรูปแบบ $a\cdot x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักว่าเป็นจำนวนเต็ม และ $x$ เป็นที่รู้จัก เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาเป็นไปได้ จำเป็นต้องเริ่มดำเนินการหาร ($:$) และวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ $x=b:a$ นั่นคือ $x=\frac(b)(a)$ . ปัญหาเกิดขึ้นอีกครั้งว่า $x$ ไม่ได้เป็นของ $\mathbb(Z)$ เสมอไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องขยายชุดของจำนวนเต็ม นี่เป็นการแนะนำชุดของจำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$ ที่มีองค์ประกอบ $\frac(p)(q)$ โดยที่ $p\in \mathbb(Z)$ และ $q\in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(Z)$ เป็นเซตย่อยที่แต่ละสมาชิก $q=1$ ดังนั้น $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ และการดำเนินการของการบวกและการคูณจะขยายไปยังเซตนี้ตาม กฎต่อไปนี้ซึ่งรักษาคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดไว้ในชุด $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

มีการแนะนำแผนกดังต่อไปนี้:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

บนเซต $\mathbb(Q)$ สมการ $a\cdot x=b$ มีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละ $a\neq 0$ (ไม่ได้กำหนดไว้ว่าการหารด้วยศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีองค์ประกอบผกผัน $\frac(1)(a)$ หรือ $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ก)\cdot a=a)$

ลำดับของเซต $\mathbb(Q)$ สามารถขยายได้ดังนี้:
$\frac(p_1)(q_1)

เซต $\mathbb(Q)$ มีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่ง: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะสองตัวที่อยู่ติดกัน ต่างจากเซตของจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

จำนวนอตรรกยะ $\mathbb(I)$

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ:
$\sqrt(2) \ประมาณ 1.41422135...$
$\pi\ประมาณ 3.1415926535...$

เนื่องจากระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ ก็มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปอย่างผิดพลาดว่าเซตของจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นมากจนไม่จำเป็นต้องขยายออกไปอีก แม้แต่พีทาโกรัสก็ยังทำผิดพลาดในสมัยของเขา อย่างไรก็ตาม ผู้ร่วมสมัยของเขาได้หักล้างข้อสรุปนี้แล้วเมื่อศึกษาคำตอบของสมการ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) บนเซตของจำนวนตรรกยะ ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดเรื่องรากที่สอง จากนั้นคำตอบของสมการนี้จะอยู่ในรูปแบบ $x=\sqrt(2)$ สมการเช่น $x^2=a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ทราบ และ $x$ เป็นจำนวนที่ไม่ทราบ ไม่ได้มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนตรรกยะเสมอไป และอีกครั้งที่จำเป็นต้องขยายสมการ ชุด. ชุดของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น และตัวเลขเช่น $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... เป็นของชุดนี้

จำนวนจริง $\mathbb(R)$

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง เนื่องจาก $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ จึงมีเหตุผลอีกครั้งที่จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่นำมาใช้ยังคงรักษาคุณสมบัติไว้ในชุดใหม่ การพิสูจน์อย่างเป็นทางการในเรื่องนี้เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนจริงจึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ ในพีชคณิต วัตถุดังกล่าวเรียกว่าเขตข้อมูล ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงเรียกว่าเขตข้อมูลเรียงลำดับ

เพื่อให้นิยามของเซตของจำนวนจริงสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกเซต $\mathbb(Q)$ และ $\mathbb(R)$ สมมติว่า $S$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตจำนวนจริง องค์ประกอบ $b\in \mathbb(R)$ เรียกว่าขอบเขตบนของเซต $S$ ถ้า $\forall x\in S$ เก็บ $x\leq b$ จากนั้นเราบอกว่าชุด $S$ นั้นมีขอบเขตอยู่ด้านบน ขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของชุด $S$ เรียกว่า supremum และเขียนแทนด้วย $\sup S$ แนวคิดของขอบเขตล่าง ชุดขอบเขตด้านล่าง และ infinum $\inf S$ ได้รับการแนะนำในทำนองเดียวกัน ตอนนี้สัจพจน์ที่หายไปมีการกำหนดดังนี้:

สับเซตที่ไม่ว่างและมีขอบเขตบนของเซตจำนวนจริงจะมีค่าสูงสุด
นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์ของจำนวนจริงที่กำหนดในลักษณะข้างต้นนั้นไม่ซ้ำกัน

จำนวนเชิงซ้อน$\mathbb(C)$

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ โดยที่ $i = \sqrt(-1)$ หรือ $i^2 = -1$

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงถึงคู่ลำดับของจำนวนจริงทั้งหมด นั่นคือ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ ซึ่งการดำเนินการของ การบวกและการคูณมีการกำหนดไว้ดังนี้:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่หลายรูปแบบ ซึ่งรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือ $z=a+ib$ โดยที่ $(a,b)$ คือคู่ของจำนวนจริง และตัวเลข $i=(0,1)$ เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

มันง่ายที่จะแสดงว่า $i^2=-1$ การขยายเซต $\mathbb(R)$ ไปยังเซต $\mathbb(C)$ ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้ รากที่สองของจำนวนลบซึ่งเป็นเหตุให้เกิดเซตของจำนวนเชิงซ้อน มันง่ายที่จะแสดงว่าเซตย่อยของเซต $\mathbb(C)$ กำหนดโดย $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, เป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดสำหรับจำนวนจริง ดังนั้น $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ หรือ $R\subset\mathbb(C)$

โครงสร้างพีชคณิตของเซต $\mathbb(C)$ ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวกและการคูณมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. การสับเปลี่ยนของการบวกและการคูณ
2. ความสัมพันธ์ของการบวกและการคูณ
3. $0+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก
4. $1+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ
5. การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก
6. มีการผกผันเพียงตัวเดียวสำหรับทั้งการบวกและการคูณ

สถานะ สถาบันการศึกษา

เฉลี่ย อาชีวศึกษา

ภูมิภาคตูลา

"วิทยาลัยวิศวกรรมเครื่องกลอเล็กซินสกี้"

ตัวเลข

ชุด

ออกแบบโดย

ครู

นักคณิตศาสตร์

Khristoforova M.Yu.

ตัวเลข - แนวคิดพื้นฐาน , ใช้สำหรับ ลักษณะการเปรียบเทียบ และชิ้นส่วนของพวกเขา ป้ายเขียนเพื่อแสดงตัวเลขได้แก่ , และ ทางคณิตศาสตร์ .

แนวคิดเรื่องจำนวนเกิดขึ้นในสมัยโบราณจากความต้องการในทางปฏิบัติของผู้คนและพัฒนาในกระบวนการพัฒนามนุษย์ ภูมิภาค กิจกรรมของมนุษย์ขยายตัวและด้วยเหตุนี้ความต้องการคำอธิบายเชิงปริมาณและการวิจัยจึงเพิ่มขึ้น ในตอนแรก แนวคิดเรื่องจำนวนถูกกำหนดโดยความต้องการในการนับและการวัดที่เกิดขึ้นในกิจกรรมการปฏิบัติของมนุษย์ ซึ่งมีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ต่อมา ตัวเลขกลายเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ และความต้องการของวิทยาศาสตร์นี้จะเป็นตัวกำหนด การพัฒนาต่อไปแนวคิดนี้

ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลขเรียกว่าตัวเลข

ตัวอย่างของชุดตัวเลขได้แก่:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - ชุดของจำนวนธรรมชาติ;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - ชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - ชุดของจำนวนเต็ม;

ถาม=(ม/n: ม ซีเอ็น N) คือเซตของจำนวนตรรกยะ

เซต R ของจำนวนจริง

มีความสัมพันธ์ระหว่างชุดเหล่านี้

เอ็น โซ ซี ถาม ร.

ตัวเลขของแบบฟอร์มยังไม่มีข้อความ = (1, 2, 3, ....) ถูกเรียกว่าเป็นธรรมชาติ . จำนวนธรรมชาติปรากฏขึ้นโดยสัมพันธ์กับความจำเป็นในการนับวัตถุ

ใดๆ ที่ยิ่งใหญ่กว่าความสามัคคีสามารถแสดงเป็นผลของพลังได้ จำนวนเฉพาะ, และ วิธีเดียวเท่านั้นขึ้นกับลำดับปัจจัย ตัวอย่างเช่น 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

ถ้าม, เอ็น, เค - จำนวนธรรมชาติ แล้วเมื่อใดม - n = เค พวกเขาพูดอย่างนั้นm - minuend, n - subtrahend, k - ความแตกต่าง; ที่ม: n = เค พวกเขาพูดอย่างนั้นm - เงินปันผล, n - ตัวหาร, k - ผลหาร, ตัวเลขม เรียกอีกอย่างว่าทวีคูณ ตัวเลขเอ็น, และหมายเลขn - ตัวหาร ตัวเลขม. ถ้าเป็นจำนวนม- หลายจำนวนเอ็น, แล้วก็มีจำนวนธรรมชาติเค ดังนั้นม. = KN.

จากตัวเลขที่ใช้เครื่องหมายและวงเล็บทางคณิตศาสตร์ประกอบกันนิพจน์ตัวเลข หากคุณดำเนินการตามที่ระบุในนิพจน์ตัวเลขโดยปฏิบัติตามลำดับที่ยอมรับ คุณจะได้รับหมายเลขที่เรียกว่าค่าของการแสดงออก .

ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์: การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน ภายในวงเล็บใดๆ การคูณและการหารจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติม หารด้วยจำนวนธรรมชาติไม่ได้เอ็น, เหล่านั้น. ไม่มีสิ่งนั้นจำนวนธรรมชาติ k อะไรม. = KN, แล้วพวกเขาก็พิจารณาการหารด้วยเศษ: m = np + r, ที่ไหนm - เงินปันผล, n - ตัวหาร (m>n), p - ผลหาร, r - ส่วนที่เหลือ .

ถ้าตัวเลขมีตัวหารเพียงสองตัว (ตัวเลขนั้นเองและตัวเดียว) จะถูกเรียกเรียบง่าย : ถ้าตัวเลขมีตัวหารมากกว่าสองตัว จะถูกเรียกคอมโพสิต

จำนวนธรรมชาติประกอบใดๆ ก็สามารถเป็นได้แยกตัวประกอบ และมีเพียงทางเดียวเท่านั้น เมื่อนำตัวเลขมาแยกตัวประกอบเฉพาะ ให้ใช้สัญญาณของการแบ่งแยก .

ก และข สามารถพบได้ตัวหารร่วมมาก. มันถูกกำหนดไว้ง(ก,ข) ถ้าเป็นตัวเลขก และข เป็นอย่างนั้นง(ก,ข) = 1, แล้วตัวเลขก และข ถูกเรียกว่าเรียบง่ายซึ่งกันและกัน

สำหรับจำนวนธรรมชาติที่กำหนดก และข สามารถพบได้ตัวคูณร่วมน้อย. มันถูกกำหนดไว้เค(ก,ข) ผลคูณร่วมใดๆ ของตัวเลขก และข หารด้วยเค(ก,ข)

ถ้าเป็นตัวเลขก และb ค่อนข้างสำคัญ , เช่น.ง(ก,ข) = 1, ที่K(ก,ข) = ab

ตัวเลขของแบบฟอร์ม:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) ถูกเรียกว่า จำนวนเต็ม , เหล่านั้น. จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ ที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติและเป็นเลข 0

จำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3, 4, 5.... เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเต็มบวก ตัวเลข -1, -2, -3, -4, -5, ... ซึ่งตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติ เรียกว่าจำนวนเต็มลบ

ตัวเลขที่สำคัญ ตัวเลขคือตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นศูนย์นำหน้า

กลุ่มของตัวเลขที่ทำซ้ำตามลำดับหลังจุดทศนิยมในรูปแบบทศนิยมเรียกว่าระยะเวลาและเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่มีจุดดังกล่าวเรียกว่าเป็นระยะๆ . หากระยะเวลาเริ่มต้นทันทีหลังจุดทศนิยม เศษส่วนจะถูกเรียกบริสุทธิ์เป็นระยะ - หากมีตำแหน่งทศนิยมอื่นระหว่างจุดทศนิยมกับจุด เศษส่วนนั้นจะถูกเรียกผสมเป็นระยะ .

เรียกตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มหรือเศษส่วนไม่มีเหตุผล .

จำนวนอตรรกยะแต่ละจำนวนจะแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ

เซตของอันมีขอบเขตและอนันต์ทั้งหมด ทศนิยมเรียกว่ามากมาย ตัวเลขจริง : มีเหตุมีผลและไม่ลงตัว

เซต R ของจำนวนจริงมีคุณสมบัติดังนี้

1. มีการเรียงลำดับ: สำหรับจำนวน α และ b ที่แตกต่างกันสองตัวใดๆ ความสัมพันธ์แบบใดแบบหนึ่งจากสองค่าจะเป็นดังนี้:

2. เซต R มีความหนาแน่น: ระหว่างเซต R ใดๆ ตัวเลขที่แตกต่างกัน a และ b มีเซตของจำนวนจริง x จำนวนอนันต์ กล่าวคือ จำนวนที่เป็นไปตามอสมการ a<х

ดังนั้น ถ้าก

(ก 2ก< ก+ขก+ข<2b  2 ก ก<(a+b)/2

จำนวนจริงสามารถแสดงเป็นจุดบนเส้นจำนวนได้ ในการกำหนดเส้นจำนวน คุณจะต้องทำเครื่องหมายจุดบนเส้นซึ่งจะตรงกับตัวเลข 0 - จุดเริ่มต้น จากนั้นเลือกส่วนของหน่วยและระบุทิศทางที่เป็นบวก

แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับตัวเลข ซึ่งกำหนดเป็นความยาวของส่วนจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่เป็นปัญหา โดยจะใช้ส่วนของหน่วยเป็นหน่วยวัด ตัวเลขนี้เป็นพิกัดของจุด หากจุดหนึ่งถูกพาไปทางขวาของจุดกำเนิด พิกัดของจุดนั้นจะเป็นค่าบวก และหากไปทางซ้ายจะเป็นค่าลบ ตัวอย่างเช่น จุด O และ A มีพิกัด 0 และ 2 ตามลำดับ ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ 0(0), A(2)