โครงร่างการบรรยาย

1. การเสียรูป กฎของฮุคระหว่างแรงอัดกลางแท่ง

2. ลักษณะทางกลของวัสดุภายใต้แรงตึงและแรงอัดจากส่วนกลาง

ลองพิจารณาองค์ประกอบแท่งโครงสร้างในสองสถานะ (ดูรูปที่ 25):

แรงตามยาวภายนอก เอฟหากไม่มี ความยาวเริ่มต้นของแท่งและขนาดตามขวางจะเท่ากันตามลำดับ ลและ ข, พื้นที่หน้าตัด กเท่ากันตลอดความยาว ล(เส้นทึบแสดงรูปร่างด้านนอกของไม้วัด)

แรงดึงตามยาวภายนอกที่พุ่งไปตามแกนกลางมีค่าเท่ากับ เอฟความยาวของไม้เรียวเพิ่มขึ้น ∆ ลในขณะที่ขนาดตามขวางลดลงตามจำนวน Δ ข(รูปร่างด้านนอกของแกนในตำแหน่งที่ผิดรูปจะแสดงด้วยเส้นประ)

ล Δ ล

รูปที่ 25 การเสียรูปตามยาวตามขวางของแกนระหว่างแรงตึงจากศูนย์กลาง

ความยาวก้านที่เพิ่มขึ้น ∆ ลเรียกว่าการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ ซึ่งก็คือค่า Δ ข– การเสียรูปตามขวางโดยสมบูรณ์ ค่า ∆ ลสามารถตีความได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ตามยาว (ตามแกน z) ของส่วนท้ายของท่อนไม้ หน่วยวัด Δ ลและ ∆ ขเช่นเดียวกับขนาดเริ่มต้น ลและ ข(ม. มม. ซม.) ในการคำนวณทางวิศวกรรมจะใช้ กฎถัดไปสัญญาณของ ∆ ล: เมื่อส่วนของแกนถูกยืดออก ความยาวและค่า Δ จะเพิ่มขึ้น ลเชิงบวก; ถ้าอยู่บนส่วนของท่อนไม้ที่มีความยาวเริ่มต้น ลแรงอัดภายในเกิดขึ้น เอ็นแล้วค่า Δ ลเป็นลบ เนื่องจากความยาวของส่วนนั้นเพิ่มขึ้นเป็นลบ

หากการเสียรูปสัมบูรณ์ Δ ลและ ∆ ขประกอบกับ ขนาดเริ่มต้น ลและ ขจากนั้นเราจะได้ความผิดปกติสัมพัทธ์:

– การเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์;

– การเสียรูปตามขวางสัมพัทธ์

การเสียรูปสัมพัทธ์ไม่มีมิติ (ตามกฎแล้ว

น้อยมาก) โดยทั่วไปเรียกว่า e.o. ง. – หน่วยของการเสียรูปสัมพัทธ์ (เช่น ε = 5.24·10 -5 e.o. ง.)

ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนของความเครียดตามยาวสัมพัทธ์ต่อความเครียดตามขวางสัมพัทธ์เป็นค่าคงที่ของวัสดุที่สำคัญมากที่เรียกว่าอัตราส่วนความเครียดตามขวางหรือ อัตราส่วนของปัวซอง(ตามชื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส)

อย่างที่คุณเห็นอัตราส่วนของปัวซองจะแสดงลักษณะความสัมพันธ์ในเชิงปริมาณระหว่างค่าของการเสียรูปตามขวางสัมพัทธ์และการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์ของวัสดุแท่งเมื่อใช้แรงภายนอกตามแกนเดียว ค่าของอัตราส่วนปัวซองถูกกำหนดโดยการทดลองและสำหรับ วัสดุต่างๆมีระบุไว้ในหนังสืออ้างอิง สำหรับวัสดุไอโซโทรปิกทั้งหมด ค่าจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.5 (สำหรับไม้ก๊อกใกล้กับ 0 สำหรับยางและยางใกล้กับ 0.5) โดยเฉพาะเหล็กแผ่นรีดและ อลูมิเนียมอัลลอยด์ในการคำนวณทางวิศวกรรม มักใช้กับคอนกรีต

รู้คุณค่าของการเสียรูปตามยาว ε (เช่น จากผลลัพธ์ของการวัดระหว่างการทดลอง) และอัตราส่วนของปัวซองสำหรับวัสดุเฉพาะ (ซึ่งสามารถนำมาจากหนังสืออ้างอิง) คุณสามารถคำนวณค่าของความเครียดตามขวางสัมพัทธ์

โดยที่เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าการเปลี่ยนรูปตามยาวและตามขวางจะมีเครื่องหมายพีชคณิตตรงกันข้ามเสมอ (หากแกนขยายออกไปด้วยจำนวน Δ ลแรงดึงจากนั้นการเปลี่ยนรูปตามยาวจะเป็นค่าบวกเนื่องจากความยาวของแกนได้รับการเพิ่มขึ้นในเชิงบวก แต่ในขณะเดียวกันมิติตามขวาง ขลดลงเช่น ได้รับการเพิ่มขึ้นเป็นลบΔ ขและความเครียดตามขวางเป็นลบ ถ้าไม้เรียวถูกบีบอัดด้วยแรง เอฟในทางกลับกัน การเปลี่ยนรูปตามยาวจะกลายเป็นลบ และการเสียรูปตามขวางจะกลายเป็นบวก)

แรงภายในและการเสียรูปที่เกิดขึ้นในองค์ประกอบโครงสร้างภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกถือเป็นกระบวนการเดียวที่ปัจจัยทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน ก่อนอื่น เราสนใจในความสัมพันธ์ระหว่างแรงภายในและการเสียรูป โดยเฉพาะอย่างยิ่งระหว่างการอัดแรงตึงจากศูนย์กลางขององค์ประกอบแกนโครงสร้าง ในกรณีนี้ ดังที่กล่าวข้างต้น เราจะได้รับคำแนะนำ หลักการของแซงต์-เวนองต์: การกระจาย ความพยายามภายในขึ้นอยู่กับวิธีการใช้แรงภายนอกกับแกนอย่างมีนัยสำคัญเฉพาะใกล้กับจุดโหลด (โดยเฉพาะเมื่อใช้แรงกับแกนผ่านพื้นที่เล็ก ๆ ) และในบางส่วนค่อนข้างห่างไกลจากสถานที่

การใช้แรงการกระจายแรงภายในขึ้นอยู่กับความเทียบเท่าคงที่ของแรงเหล่านี้เท่านั้นนั่นคือภายใต้การกระทำของแรงดึงหรือแรงอัดที่มีสมาธิเราจะถือว่าในปริมาตรส่วนใหญ่ของแกนการกระจายของแรงภายในจะเป็น เครื่องแบบ(ได้รับการยืนยันจากการทดลองและประสบการณ์มากมายในโครงสร้างการดำเนินงาน)

ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ Robert Hooke ได้สร้างความสัมพันธ์ตามสัดส่วน (เชิงเส้น) โดยตรง (กฎของฮุค) ของการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ Δ ลจากแรงดึง (หรือแรงอัด) เอฟ- ในศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ Thomas Young ได้กำหนดแนวคิดว่าสำหรับวัสดุแต่ละชนิดนั้นมีค่าคงที่ (ซึ่งเขาเรียกว่าโมดูลัสยืดหยุ่นของวัสดุ) ซึ่งแสดงถึงความสามารถในการต้านทานการเสียรูปภายใต้การกระทำของแรงภายนอก ในเวลาเดียวกัน จุงเป็นคนแรกที่ชี้ให้เห็นเส้นตรงนั้น กฎของฮุคเป็นจริงเฉพาะในบางพื้นที่ของการเสียรูปของวัสดุ กล่าวคือ – ระหว่างการเสียรูปแบบยืดหยุ่น.

ใน ความคิดที่ทันสมัยในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการบีบอัดแรงตึงส่วนกลางแกนเดียวของแท่ง กฎของฮุคถูกใช้ในสองรูปแบบ

1) ความเค้นปกติในหน้าตัดของแท่งที่อยู่ใต้แรงตึงตรงกลางจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์

, (กฎของฮุคประเภทที่ 1)

ที่ไหน อี– โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุภายใต้การเปลี่ยนรูปตามยาวซึ่งค่าของวัสดุต่างๆจะถูกกำหนดโดยการทดลองและแสดงอยู่ในหนังสืออ้างอิงที่ช่างเทคนิคใช้ในการคำนวณทางวิศวกรรมต่างๆ ดังนั้นสำหรับเหล็กกล้าคาร์บอนรีดจึงมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างและวิศวกรรมเครื่องกล สำหรับโลหะผสมอลูมิเนียม สำหรับทองแดง สำหรับมูลค่าวัสดุอื่นๆ อีสามารถพบได้ในหนังสืออ้างอิงเสมอ (ดูตัวอย่าง “คู่มือเกี่ยวกับความแข็งแกร่งของวัสดุ” โดย G.S. Pisarenko และคณะ) หน่วยของโมดูลัสยืดหยุ่น อีเช่นเดียวกับหน่วยวัดความเค้นปกติ ได้แก่ ป้า, MPa, นิวตัน/มม.2และอื่น ๆ.

2) หากอยู่ในรูปแบบที่ 1 ของกฎของฮุคที่เขียนไว้ข้างต้น แรงดันไฟฟ้าปกติในหน้าตัด σ แสดงออกมาในรูปของแรงตามยาวภายใน เอ็นและพื้นที่หน้าตัดของแท่ง กกล่าวคือ และการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์ – ผ่านความยาวเริ่มต้นของก้าน ลและการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ Δ ลนั่นคือหลังจากนั้น การเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายเราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ (การเสียรูปตามยาวเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงตามยาวภายใน)

(กฎของฮุคประเภทที่ 2) (18)

จากสูตรนี้จะเป็นไปตามนั้นเมื่อค่าโมดูลัสยืดหยุ่นของวัสดุเพิ่มขึ้น อีการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ของแกน Δ ลลดลง ดังนั้นความต้านทานขององค์ประกอบโครงสร้างต่อการเสียรูป (ความแข็งแกร่ง) จึงสามารถเพิ่มขึ้นได้โดยใช้วัสดุที่มีค่าโมดูลัสยืดหยุ่นสูงกว่า อี- ในบรรดาวัสดุโครงสร้างที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างและวิศวกรรมเครื่องกล มีมูลค่าสูงโมดูลัสยืดหยุ่น อีมีเหล็ก ช่วงค่า อีสำหรับ ยี่ห้อที่แตกต่างกันเหล็กขนาดเล็ก: (1.92۞2.12) 10 5 เมกะปาสคาล- สำหรับอะลูมิเนียมอัลลอยด์ เช่น ค่า อีน้อยกว่าเหล็กประมาณสามเท่า ดังนั้นเพื่อ

สำหรับโครงสร้างที่ต้องการความแข็งแกร่งเพิ่มขึ้น เหล็กเป็นวัสดุที่ต้องการ

ผลิตภัณฑ์นี้เรียกว่าพารามิเตอร์ความแข็งแกร่ง (หรือเพียงแค่ความแข็งแกร่ง) ของหน้าตัดของแท่งในระหว่างการเปลี่ยนรูปตามยาว (หน่วยการวัดความแข็งตามยาวของส่วนคือ เอ็น, เอ็น, มินนิโซตา- ขนาด ค = อี A/ลิตรเรียกว่าความแข็งตามยาวของความยาวแท่ง ล(หน่วยวัดความแข็งตามยาวของแกน) กับ – N/ม, กิโลนิวตัน/เมตร).

หากก้านมีหลายส่วน ( n) ด้วยความแข็งตามยาวแปรผันและภาระตามยาวเชิงซ้อน (ฟังก์ชันของแรงตามยาวภายในบนพิกัด z ของส่วนตัดขวางของแกน) จากนั้นการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ทั้งหมดของแกนจะถูกกำหนดโดยมากกว่า สูตรทั่วไป

โดยที่การอินทิเกรตจะดำเนินการภายในแต่ละส่วนของท่อนไม้ที่มีความยาว และทำการรวมแบบแยกส่วนในทุกส่วนของท่อนไม้ ผม=1ก่อน ฉัน = น.

กฎของฮุคถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิศวกรรมของโครงสร้าง เนื่องจากวัสดุโครงสร้างส่วนใหญ่ในระหว่างการใช้งานสามารถทนต่อความเค้นที่สำคัญมากได้โดยไม่พังทลายภายในขอบเขตของการเสียรูปแบบยืดหยุ่น

สำหรับการเปลี่ยนรูปของวัสดุแท่งที่ไม่ยืดหยุ่น (พลาสติกหรือพลาสติกยืดหยุ่น) การใช้กฎของฮุคโดยตรงถือเป็นสิ่งผิดกฎหมาย ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้สูตรข้างต้นได้ ในกรณีเหล่านี้ ควรใช้การพึ่งพาอื่นๆ ที่คำนวณได้ ซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนพิเศษของหลักสูตร "ความแข็งแกร่งของวัสดุ" "กลศาสตร์โครงสร้าง" "กลศาสตร์ของวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้ที่เป็นของแข็ง" รวมถึงในหลักสูตร "ทฤษฎีของพลาสติก" .

ให้เราพิจารณาความผิดปกติที่เกิดขึ้นระหว่างแรงดึงและแรงอัดของแท่ง เมื่อยืดออก ความยาวของแกนจะเพิ่มขึ้นและขนาดตามขวางจะลดลง เมื่อถูกบีบอัด ในทางกลับกัน ความยาวของแท่งจะลดลงและขนาดตามขวางจะเพิ่มขึ้น ในรูปที่ 2.7 เส้นประแสดงมุมมองที่ผิดรูปของแท่งที่ยืดออก

̵ - ความยาวของแกนก่อนรับน้ำหนัก

ë 1 – ความยาวของแกนหลังจากรับน้ำหนัก

b – มิติตามขวางก่อนการใช้งานโหลด

b 1 – ขนาดตามขวางหลังการให้น้ำหนัก

ความเค้นตามยาวสัมบูรณ์ ∆ë = มอร์ 1 – มอร์

ความเค้นตามขวางสัมบูรณ์ ∆b = b 1 – b

ค่าของการเสียรูปเชิงเส้นสัมพัทธ์ ε สามารถกำหนดเป็นอัตราส่วนของการยืดตัวสัมบูรณ์ ∆ë ต่อความยาวเริ่มต้นของลำแสง ë

การเสียรูปตามขวางพบได้ในทำนองเดียวกัน

เมื่อยืดออก ขนาดตามขวางจะลดลง: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในระหว่างการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น การเสียรูปตามขวางจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการเปลี่ยนรูปตามยาวเสมอ

ε′ = – νε. (2.7)

เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน ν อัตราส่วนปัวซองหรืออัตราส่วนความเครียดตามขวาง- มันแสดงถึงค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนของการเปลี่ยนรูปตามขวางต่อความยาวระหว่างความตึงตามแนวแกน

ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้เสนอแนวคิดนี้ครั้งแรกเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 อัตราส่วนปัวซองคือค่าคงที่สำหรับวัสดุภายในขีดจำกัดของการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น (เช่น การเสียรูปที่หายไปหลังจากถอดโหลดออก) สำหรับวัสดุต่างๆ อัตราส่วนของปัวซองจะแตกต่างกันไปภายในช่วง 0 ≤ ν ≤ 0.5: สำหรับเหล็ก ν = 0.28…0.32; สำหรับยาง ν = 0.5; สำหรับปลั๊ก ν = 0

มีความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการเสียรูปแบบยืดหยุ่นที่เรียกว่า กฎของฮุค:

σ = อีเอ (2.9)

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน E ระหว่างความเครียดและความเครียดเรียกว่าโมดูลัสยืดหยุ่นปกติหรือโมดูลัสของยัง มิติ E เหมือนกับแรงดันไฟฟ้า เช่นเดียวกับ ν E ยืดหยุ่นได้ ค่าคงที่ของวัสดุ- ยิ่งค่า E ยิ่งมาก สิ่งอื่นๆ ก็จะยิ่งน้อยลง การเสียรูปตามยาว สำหรับเหล็ก E = (2...2.2)10 5 MPa หรือ E = (2...2.2)10 4 kN/cm 2

เมื่อแทนค่าของ σ ตามสูตร (2.2) และ ε ตามสูตร (2.5) ลงในสูตร (2.5) เราจะได้นิพจน์สำหรับการเสียรูปแบบสัมบูรณ์

สินค้า EF มีชื่อว่า ความแข็งแกร่งของไม้ในด้านความตึงและแรงอัด.

สูตร (2.9) และ (2.10) คือ รูปร่างที่แตกต่างกันบันทึกกฎของฮุค เสนอในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 รูปแบบที่ทันสมัยการบันทึกกฎพื้นฐานของฟิสิกส์นี้ปรากฏในภายหลังมาก - ในตอนต้นของศตวรรษที่ 19

สูตร (2.10) ใช้ได้เฉพาะในพื้นที่ที่มีแรง N และความแข็ง EF คงที่เท่านั้น สำหรับแกนขั้นบันไดและแกนที่รับน้ำหนักด้วยแรงหลายแรง การยืดจะถูกคำนวณในส่วนที่มีค่า N และ F คงที่ และผลลัพธ์จะถูกสรุปด้วยพีชคณิต

หากปริมาณเหล่านี้เปลี่ยนแปลงตามกฎต่อเนื่อง ∆Al จะถูกคำนวณโดยสูตร

ในหลายกรณี เพื่อให้แน่ใจว่าเครื่องจักรและโครงสร้างทำงานได้ตามปกติ ต้องเลือกขนาดของชิ้นส่วนเพื่อให้มั่นใจในสภาวะความแข็งแกร่ง นอกเหนือจากสภาวะความแข็งแกร่งแล้ว ยังรับประกันสภาวะความแข็งแกร่งอีกด้วย

โดยที่ ∆ë – การเปลี่ยนแปลงขนาดชิ้นส่วน

[∆Al] – ค่าที่อนุญาตของการเปลี่ยนแปลงนี้

เราเน้นย้ำว่าการคำนวณความแข็งแกร่งจะช่วยเสริมการคำนวณความแข็งแกร่งเสมอ

2.4. การคำนวณแท่งโดยคำนึงถึงน้ำหนักของมันเอง

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปัญหาเกี่ยวกับการยืดแท่งไม้ด้วยพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันไปตามความยาวคือปัญหาเกี่ยวกับการยืดแท่งปริซึมภายใต้อิทธิพลของน้ำหนักของมันเอง (รูปที่ 2.8a) แรงตามยาว N x ในส่วนตัดขวางของลำแสงนี้ (ที่ระยะ x จากปลายล่าง) เท่ากับแรงโน้มถ่วงของส่วนที่อยู่ใต้ลำแสง (รูปที่ 2.8, b) เช่น

N x = γFx, (2.14)

โดยที่ γ คือน้ำหนักปริมาตรของวัสดุแท่ง

แรงตามยาวและความเค้นเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรง จนถึงค่าสูงสุดในการฝัง การเคลื่อนที่ตามแนวแกนของส่วนใดส่วนหนึ่งเท่ากับการยืดตัวของส่วนบนของคาน ดังนั้นจึงจะต้องกำหนดโดยใช้สูตร (2.12) การรวมจะดำเนินการจากค่าปัจจุบัน x ถึง x = ñ:

เราได้รับนิพจน์สำหรับส่วนที่ไม่มีกฎเกณฑ์ของไม้เรียว

ที่ x = ñ การกระจัดจะยิ่งใหญ่ที่สุด ซึ่งจะเท่ากับความยืดของแกน

รูปที่ 2.8, c, d, e แสดงกราฟของ N x, σ x และ u x

คูณตัวเศษและส่วนของสูตร (2.17) ด้วย F และรับ:

นิพจน์ γFë เท่ากับน้ำหนักของตัวเองของแท่ง G ดังนั้น

สามารถหาสูตร (2.18) ได้ทันทีจาก (2.10) หากจำได้ว่าต้องนำผลลัพธ์ของน้ำหนัก G ของตัวเองไปวางที่จุดศูนย์ถ่วงของแท่งจึงทำให้เกิดการยืดตัวเพียงครึ่งบนของแท่ง (รูปที่ .2.8 ก)

หากแท่งนอกเหนือจากน้ำหนักของมันเองยังเต็มไปด้วยแรงตามยาวที่มีความเข้มข้นความเค้นและการเสียรูปจะถูกกำหนดตามหลักการของความเป็นอิสระของการกระทำของแรงแยกจากแรงที่มีความเข้มข้นและจากน้ำหนักของมันเองหลังจากนั้นผลลัพธ์ จะถูกเพิ่มเข้ามา

หลักการของการกระทำที่เป็นอิสระของกองกำลังตามมาจากการเปลี่ยนรูปเชิงเส้นของตัวยางยืด สาระสำคัญอยู่ที่ความจริงที่ว่าค่าใด ๆ (ความเครียดการกระจัดการเปลี่ยนรูป) จากการกระทำของกลุ่มกองกำลังสามารถรับได้เป็นผลรวมของค่าที่พบจากแต่ละแรงแยกจากกัน

ลองพิจารณาแท่งตรงที่มีหน้าตัดคงที่ซึ่งยึดไว้ด้านบนอย่างแน่นหนา ให้คันเบ็ดมีความยาวและรับแรงดึงได้ เอฟ - การกระทำของแรงนี้จะทำให้ความยาวของแกนเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่กำหนด Δ (รูปที่ 9.7, ก)

เมื่อแท่งเหล็กถูกอัดด้วยแรงเท่าเดิม เอฟ ความยาวของไม้เรียวจะลดลงตามจำนวนที่เท่ากัน Δ (รูปที่ 9.7, ข).

ขนาด Δ เท่ากับความแตกต่างระหว่างความยาวของแท่งหลังการเปลี่ยนรูปและก่อนการเปลี่ยนรูป เรียกว่าการเปลี่ยนรูปเชิงเส้นสัมบูรณ์ (การยืดตัวหรือการทำให้สั้นลง) ของแท่งเมื่อยืดหรือบีบอัด

อัตราส่วนความเครียดเชิงเส้นสัมบูรณ์ Δ ความยาวเดิมของแท่งเรียกว่าการเสียรูปเชิงเส้นแบบสัมพัทธ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ε หรือ ε x (ดัชนีอยู่ที่ไหน x บ่งบอกถึงทิศทางของการเสียรูป) เมื่อก้านถูกยืดหรืออัดให้มีจำนวน ε เรียกง่ายๆ ว่าการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์ของไม้เรียว ถูกกำหนดโดยสูตร:

การศึกษาซ้ำแล้วซ้ำอีกเกี่ยวกับกระบวนการเปลี่ยนรูปของแท่งที่ถูกยืดหรืออัดในขั้นตอนยืดหยุ่นได้ยืนยันการมีอยู่ของความสัมพันธ์ตามสัดส่วนโดยตรงระหว่างความเค้นปกติและการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์ ความสัมพันธ์นี้เรียกว่ากฎของฮุคและมีรูปแบบ:

ขนาด อี เรียกว่าโมดูลัสความยืดหยุ่นตามยาวหรือโมดูลัสชนิดที่ 1 เป็นค่าคงที่ทางกายภาพ (คงที่) สำหรับวัสดุแท่งแต่ละประเภทและแสดงลักษณะความแข็งแกร่งของวัสดุ ยิ่งมีค่ามากขึ้น อี ยิ่งน้อยก็จะเกิดการเสียรูปตามยาวของแกน ขนาด อี วัดในหน่วยเดียวกับแรงดันไฟ กล่าวคือ นิ้ว ป้า , MPa ฯลฯ ค่าโมดูลัสยืดหยุ่นมีอยู่ในตารางอ้างอิงและวรรณกรรมทางการศึกษา ตัวอย่างเช่นค่าของโมดูลัสความยืดหยุ่นตามยาวของเหล็กจะเท่ากับ E = 2∙10 5 เมกะปาสคาล และไม้

E = 0.8∙10 5 MPa

เมื่อคำนวณแท่งที่มีความตึงหรือแรงอัด มักจะจำเป็นต้องกำหนดค่าของการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์หากทราบขนาดของแรงตามยาว พื้นที่หน้าตัด และวัสดุของแท่ง จากสูตร (9.8) เราพบว่า: . ให้เราแทนที่ในนิพจน์นี้ ε ค่าของมันจากสูตร (9.9) เป็นผลให้เราได้รับ = - หากเราใช้สูตรความเครียดปกติ , จากนั้นเราจะได้สูตรสุดท้ายในการพิจารณาการเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์:

ผลคูณของโมดูลัสของความยืดหยุ่นตามยาวและพื้นที่หน้าตัดของแกนเรียกว่า ความแข็งแกร่งเมื่อยืดหรือบีบอัด

จากการวิเคราะห์สูตร (9.10) เราสามารถสรุปได้ที่สำคัญ: การเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์ของแท่งระหว่างแรงดึง (การบีบอัด) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของแรงตามยาวและความยาวของแท่งและแปรผกผันกับความแข็งแกร่ง

โปรดทราบว่าสูตร (9.10) สามารถใช้ในกรณีที่ส่วนตัดขวางของแท่งและแรงตามยาวมีค่าคงที่ตลอดความยาวทั้งหมด ในกรณีทั่วไป เมื่อแท่งมีความแข็งแปรผันแบบขั้นตอนและถูกโหลดตามความยาวของแท่งด้วยแรงหลาย ๆ อัน จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และพิจารณาการเสียรูปสัมบูรณ์ของแต่ละแท่งโดยใช้สูตร (9.10)

ผลรวมเชิงพีชคณิตของการเสียรูปสัมบูรณ์ของแต่ละส่วนจะเท่ากับการเสียรูปสัมบูรณ์ของแกนทั้งหมดนั่นคือ:

การเสียรูปตามยาวของแท่งจากการกระทำของการกระจายโหลดอย่างสม่ำเสมอตามแนวแกน (ตัวอย่างเช่นจากการกระทำของน้ำหนักของมันเอง) จะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้ซึ่งเรานำเสนอโดยไม่มีการพิสูจน์:

ในกรณีของแรงดึงหรือแรงอัดของแท่ง นอกจากการเสียรูปตามยาวแล้ว การเสียรูปตามขวางยังเกิดขึ้นทั้งแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ด้วย ให้เราแสดงโดย ข ขนาดหน้าตัดของแท่งก่อนการเสียรูป เมื่อไม้เรียวถูกยืดออกด้วยแรง เอฟ ขนาดนี้ก็จะลดลงเรื่อยๆ ∆b ซึ่งเป็นการเสียรูปตามขวางสัมบูรณ์ของแท่ง ค่านี้มีเครื่องหมายลบ ในทางกลับกัน ความเครียดตามขวางสัมบูรณ์จะมี สัญญาณบวก(รูปที่ 9.8)

ลองพิจารณาคานตรงที่มีความยาวหน้าตัดคงที่ (รูปที่ 1.5) ซึ่งฝังอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและรับแรงดึงที่ปลายอีกด้านหนึ่งด้วยแรงดึง ร.อยู่ภายใต้บังคับ รลำแสงจะยาวขึ้นตามจำนวนที่กำหนด , ซึ่งเรียกว่าการยืดตัวทั้งหมด (หรือแบบสัมบูรณ์) (การเปลี่ยนรูปแบบตามยาวสัมบูรณ์)

ข้าว. 1.5. การเสียรูปของลำแสง

ที่จุดใด ๆ ของลำแสงที่พิจารณาจะมีสภาวะความเค้นเหมือนกันดังนั้นการเปลี่ยนรูปเชิงเส้นของจุดทั้งหมดจึงเหมือนกัน ดังนั้นค่า e จึงสามารถกำหนดเป็นอัตราส่วนของการยืดตัวสัมบูรณ์ต่อความยาวเดิมของลำแสงได้ กล่าวคือ

แท่งที่ทำจากวัสดุต่างกันจะมีความยาวต่างกัน ในกรณีที่ความเค้นในลำแสงไม่เกินขีดจำกัดสัดส่วน ได้มีการกำหนดประสบการณ์ไว้แล้ว การพึ่งพาครั้งต่อไป:

ที่ไหน น-แรงตามยาวในส่วนตัดขวางของลำแสง ฉ-พื้นที่หน้าตัดของคาน อี-ค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับ คุณสมบัติทางกายภาพวัสดุ.

เมื่อพิจารณาว่าความเค้นปกติในหน้าตัดของลำแสง σ = ไม่ระบุเราได้รับ ε = σ/Eจากที่ไหน σ = εE

การยืดตัวสัมบูรณ์ของลำแสงแสดงโดยสูตร

กฎของฮุคต่อไปนี้กำหนดไว้โดยทั่วไป: ความเค้นตามยาวสัมพัทธ์จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเค้นปกติ ในสูตรนี้ กฎของฮุคไม่เพียงแต่ใช้ในการศึกษาแรงดึงและแรงอัดของคานเท่านั้น แต่ยังใช้ในส่วนอื่นๆ ของหลักสูตรด้วย

ขนาด อีเรียกว่าโมดูลัสยืดหยุ่นชนิดที่ 1 นี่คือค่าคงที่ทางกายภาพของวัสดุที่แสดงลักษณะความแข็งแกร่ง ยิ่งมีค่ามากเท่าไร อียิ่งน้อยสิ่งอื่นจะเท่ากันการเปลี่ยนรูปตามยาว โมดูลัสความยืดหยุ่นแสดงอยู่ในหน่วยเดียวกับความเครียด เช่น ในปาสคาล (Pa) (เหล็ก จ=2* 10 5 MPa ทองแดง อี= 1 * 10 5 เมกะปาสคาล)

งาน อีเอฟเรียกว่าความแข็งของหน้าตัดของคานในด้านความตึงและแรงอัด

นอกเหนือจากการเสียรูปตามยาวแล้ว เมื่อมีการใช้แรงอัดหรือแรงดึงกับคาน ก็จะมีการสังเกตการเสียรูปตามขวางด้วย เมื่อคานถูกบีบอัด ขนาดตามขวางของมันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อถูกยืดออก ก็จะลดลง ถ้าขนาดตามขวางของคานก่อนจะใช้แรงอัดกับมัน รกำหนด ใน,และหลังจากใช้กำลังเหล่านี้แล้ว ข - ∆B,แล้วค่า ∆วีจะบ่งบอกถึงการเสียรูปตามขวางสัมบูรณ์ของลำแสง

อัตราส่วนคือความเครียดตามขวางสัมพัทธ์

ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าที่ความเค้นไม่เกินขีดจำกัดความยืดหยุ่น การเสียรูปตามขวางสัมพัทธ์จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการเสียรูปตามยาวสัมพัทธ์ แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน q ขึ้นอยู่กับวัสดุของไม้ เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเครียดตามขวาง (หรือ อัตราส่วนของปัวซอง ) และเป็นอัตราส่วนของแนวขวางสัมพัทธ์ต่อการเสียรูปตามยาวซึ่งถ่ายในค่าสัมบูรณ์เช่น อัตราส่วนของปัวซองพร้อมกับโมดูลัสยืดหยุ่น อีระบุคุณสมบัติความยืดหยุ่นของวัสดุ

อัตราส่วนของปัวซองถูกกำหนดโดยการทดลอง สำหรับวัสดุต่างๆ จะมีค่าตั้งแต่ 0 (สำหรับไม้ก๊อก) ถึงค่าใกล้เคียง 0.50 (สำหรับยางและพาราฟิน) สำหรับเหล็ก อัตราส่วนปัวซองคือ 0.25...0.30 สำหรับโลหะอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง (เหล็กหล่อ, สังกะสี, ทองแดง, ทองแดง)

มีค่าตั้งแต่ 0.23 ถึง 0.36

ข้าว. 1.6. ลำแสงของหน้าตัดแบบแปรผัน

การกำหนดค่าหน้าตัดของแท่งจะดำเนินการตามสภาพความแข็งแรง

โดยที่ [σ] คือความเครียดที่อนุญาต

มานิยามการกระจัดตามยาวกันดีกว่า δ กคะแนน กแกนของลำแสงที่ถูกยืดออกด้วยแรง ร(ข้าว. 1.6)

มันเท่ากับการเสียรูปสัมบูรณ์ของส่วนหนึ่งของลำแสง โฆษณาอยู่ระหว่างส่วนฝังและส่วนที่ลากผ่านจุด ง,เหล่านั้น. การเสียรูปตามยาวของลำแสงถูกกำหนดโดยสูตร

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อแรงตามยาว N และความแข็งภายในความยาวทั้งหมดของส่วนตัดขวาง อีเอฟหน้าตัดของลำแสงคงที่ ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาบนเว็บไซต์ เกี่ยวกับแรงตามยาว เอ็นมีค่าเท่ากับศูนย์ (เราไม่คำนึงถึงน้ำหนักที่ตายแล้วของคาน) และในพื้นที่ ขมันเท่าเทียมกัน อาร์นอกจากนี้พื้นที่หน้าตัดของไม้ในพื้นที่ เครื่องปรับอากาศแตกต่างจากพื้นที่หน้าตัดบนไซต์ ซีดี.ดังนั้นการเสียรูปตามยาวของพื้นที่ โฆษณาควรกำหนดเป็นผลรวมของการเสียรูปตามยาวของสามส่วน ab, ก่อนคริสต์ศักราชและ ซีดี,ซึ่งแต่ละค่านั้น เอ็นและ อีเอฟคงที่ตลอดความยาว:

แรงตามยาวบนส่วนที่พิจารณาของลำแสง

เพราะฉะนั้น,

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถกำหนดการกระจัดของจุดใด ๆ บนแกนลำแสงและใช้ค่าของมันเพื่อสร้างไดอะแกรม การเคลื่อนไหวตามยาว (epureδ) เช่น กราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนไหวเหล่านี้ตามความยาวของแกนของลำแสง

4.2.3. เงื่อนไขความแข็งแกร่ง การคำนวณความแข็งแกร่ง

เมื่อตรวจสอบความเค้นพื้นที่หน้าตัด เอฟและทราบแรงตามยาว และการคำนวณประกอบด้วยการคำนวณความเค้นที่คำนวณ (ตามจริง) σ ในส่วนคุณลักษณะขององค์ประกอบ จากนั้นเปรียบเทียบแรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่ได้รับกับแรงดันไฟฟ้าที่อนุญาต:

เมื่อเลือกส่วนกำหนดพื้นที่ที่ต้องการ [ฟ]ภาพตัดขวางขององค์ประกอบ (ขึ้นอยู่กับแรงตามยาวที่ทราบ เอ็นและความเครียดที่อนุญาต [σ]) พื้นที่หน้าตัดที่ยอมรับ เอฟต้องเป็นไปตามสภาวะความแข็งแรงตามแบบดังนี้

เมื่อกำหนดความสามารถในการรับน้ำหนักโดย ค่านิยมที่ทราบ เอฟและความเครียดที่อนุญาต [σ] ค่าที่อนุญาต [N] ของแรงตามยาวจะถูกคำนวณ:

ขึ้นอยู่กับค่าที่ได้รับ [N] จากนั้นจึงกำหนดค่าที่อนุญาตของโหลดภายนอก [ ป].

ในกรณีนี้สภาพความแรงมีรูปแบบ

ค่าของปัจจัยด้านความปลอดภัยมาตรฐานถูกกำหนดโดยมาตรฐาน ขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้าง (ทุน ชั่วคราว ฯลฯ) อายุการใช้งานที่ตั้งใจไว้ น้ำหนัก (คงที่ วงจร ฯลฯ) ความแตกต่างที่เป็นไปได้ในการผลิตวัสดุ (เช่น คอนกรีต) และประเภทของ การเสียรูป (แรงดึง แรงอัด การดัดงอ ฯลฯ) และปัจจัยอื่นๆ ในบางกรณีจำเป็นต้องลดปัจจัยด้านความปลอดภัยเพื่อลดน้ำหนักของโครงสร้าง และบางครั้งจำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยด้านความปลอดภัย - หากจำเป็น ให้คำนึงถึงการสึกหรอของชิ้นส่วนที่ถูของเครื่องจักร การกัดกร่อน และการเสื่อมสภาพของเครื่องจักร วัสดุ.

ค่าปัจจัยด้านความปลอดภัยมาตรฐานสำหรับวัสดุ โครงสร้าง และน้ำหนักต่างๆ ในกรณีส่วนใหญ่จะมีค่าดังนี้ - 2.5...5 และ - 1.5...2.5

การตรวจสอบความแข็งแกร่งขององค์ประกอบโครงสร้างในสภาวะการบีบอัดแรงดึงล้วนๆ เราหมายถึงการค้นหาคำตอบสำหรับคำถาม: ค่าของคุณลักษณะความแข็งแกร่งขององค์ประกอบ (โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุ) เพียงพอหรือไม่ อีและพื้นที่หน้าตัด ฉ)เพื่อให้ค่าสูงสุดของการกระจัดของจุดองค์ประกอบที่เกิดจากแรงภายนอก u สูงสุดไม่เกินค่าขีด จำกัด ที่ระบุ [u] เชื่อกันว่าถ้าเกิดความไม่เท่าเทียมกันสูงสุด< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

9. ความเครียดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ในความตึงเครียด (การบีบอัด) อัตราส่วนของปัวซอง

หากภายใต้อิทธิพลของแรง ลำแสงความยาวเปลี่ยนค่าตามยาวของมัน ค่านี้เรียกว่าการเปลี่ยนรูปแบบตามยาวสัมบูรณ์ (การยืดตัวแบบสัมบูรณ์หรือการทำให้สั้นลง) ในกรณีนี้จะสังเกตการเสียรูปสัมบูรณ์ตามขวางด้วย

อัตราส่วนนี้เรียกว่าความเครียดตามยาวสัมพัทธ์ และอัตราส่วนเรียกว่าความเครียดตามขวางสัมพัทธ์

อัตราส่วนนี้เรียกว่าอัตราส่วนปัวซองซึ่งเป็นตัวกำหนดคุณสมบัติยืดหยุ่นของวัสดุ

อัตราส่วนของปัวซองมีความสำคัญ (สำหรับเหล็กจะเท่ากับ )

10. กำหนดกฎของฮุคในเรื่องความตึงเครียด (การบีบอัด)

ฉันฟอร์ม. ในหน้าตัดของลำแสงภายใต้แรงตึงจากส่วนกลาง (แรงอัด) ความเค้นปกติจะเท่ากับอัตราส่วนของแรงตามยาวต่อพื้นที่หน้าตัด:

แบบฟอร์มที่สอง ความเครียดตามยาวสัมพัทธ์จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเค้นปกติ ดังนั้น

11. ความเค้นถูกกำหนดในส่วนขวางและส่วนเอียงของคานอย่างไร

– แรงเท่ากับผลคูณของความเค้นและพื้นที่ของส่วนเอียง:

12. สูตรใดที่สามารถนำมาใช้หาค่าการยืดตัวสัมบูรณ์ (การทำให้สั้นลง) ของคานได้

การยืดตัวสัมบูรณ์ (การทำให้สั้นลง) ของคาน (แกน) แสดงโดยสูตร:

, เช่น.

เมื่อพิจารณาว่าค่านี้แสดงถึงความแข็งของหน้าตัดของคานที่มีความยาว เราสามารถสรุปได้ว่า: การเสียรูปตามยาวสัมบูรณ์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงตามยาวและเป็นสัดส่วนผกผันกับความแข็งของหน้าตัด กฎหมายนี้ถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยฮุคในปี 1660

13. การเสียรูปของอุณหภูมิและความเค้นถูกกำหนดอย่างไร?

เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น ลักษณะความแข็งแรงเชิงกลของวัสดุส่วนใหญ่จะลดลง และเมื่ออุณหภูมิลดลง ลักษณะความแข็งแรงเชิงกลก็จะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเหล็กเกรด St3 ที่ และ ;

ที่ และ เช่น -

การยืดตัวของแท่งเมื่อได้รับความร้อนจะถูกกำหนดโดยสูตร โดยที่คือค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงเส้นของวัสดุของแท่ง และคือความยาวของแท่ง

ความเค้นปกติที่เกิดขึ้นในหน้าตัดขวาง เมื่ออุณหภูมิลดลง ก้านจะสั้นลงและเกิดความเค้นอัด

14. แสดงลักษณะแผนภาพแรงดึง (การบีบอัด)

ลักษณะทางกลของวัสดุถูกกำหนดโดยตัวอย่างการทดสอบและสร้างกราฟและไดอะแกรมที่สอดคล้องกัน การทดสอบที่พบบ่อยที่สุดคือการทดสอบแรงดึงแบบสถิต (แรงอัด)

ขีดจำกัดของสัดส่วน (จนถึงขีดจำกัดนี้ กฎของฮุคยังใช้ได้);

ความแข็งแรงของผลผลิตวัสดุ

ขีดจำกัดความแข็งแรงของวัสดุ

ทำลายความเครียด (ตามเงื่อนไข);

จุดที่ 5 สอดคล้องกับความเครียดที่เกิดขึ้นจริง

พื้นที่การไหลของวัสดุ 1-2;

การชุบแข็งวัสดุ 2-3 โซน

และ - ขนาดของการเปลี่ยนรูปพลาสติกและยืดหยุ่น

โมดูลัสความยืดหยุ่นในแรงดึง (แรงอัด) กำหนดเป็น: เช่น -

15. พารามิเตอร์ใดที่แสดงถึงระดับความเป็นพลาสติกของวัสดุ

ระดับความเป็นพลาสติกของวัสดุสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยค่าต่อไปนี้:

สารตกค้าง การยืดตัวสัมพัทธ์– เป็นอัตราส่วนของการเสียรูปตกค้างของตัวอย่างต่อความยาวเดิม:

ความยาวของตัวอย่างหลังการแตกคือเท่าใด ค่าของเกรดเหล็กต่างๆมีตั้งแต่ 8 ถึง 28%

การหดตัวสัมพัทธ์ที่เหลือ - เป็นอัตราส่วนของพื้นที่หน้าตัดของตัวอย่าง ณ จุดที่แตกต่อพื้นที่เดิม:

โดยที่คือพื้นที่หน้าตัดของตัวอย่างที่ฉีกขาดตรงจุดที่บางที่สุดของคอ ค่ามีตั้งแต่ไม่กี่เปอร์เซ็นต์สำหรับเหล็กกล้าคาร์บอนสูงเปราะจนถึง 60% สำหรับเหล็กกล้าคาร์บอนต่ำ

16. แก้ไขปัญหาเมื่อคำนวณแรงดึง (แรงอัด)