ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือ ชุดหมายเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง- องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ หมายเลขซีเรียลขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ

- องค์ประกอบ “nth” ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n

มีความสัมพันธ์ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดอย่างนั้นได้ ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถกำหนดได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ

เช่น มีคนตัดสินใจทำ การจัดการเวลาส่วนบุคคลและก่อนอื่น ให้นับว่าเขาใช้เวลากับ VKontakte เท่าใดในระหว่างสัปดาห์ โดยการบันทึกเวลาลงในตาราง เขาจะได้รับลำดับที่ประกอบด้วยเจ็ดองค์ประกอบ:

บรรทัดแรกของตารางระบุจำนวนวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สองคือเวลาเป็นนาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีบน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที

2 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรเทอมที่ n

ในกรณีนี้ การพึ่งพาค่าขององค์ประกอบลำดับกับหมายเลขจะแสดงโดยตรงในรูปแบบของสูตร

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว

ในการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด เราจะแทนที่หมายเลของค์ประกอบลงในสูตรของเทอมที่ n

เราทำสิ่งเดียวกันหากเราต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ลงในสมการของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างเช่น หาก , ที่

ฉันขอทราบอีกครั้งว่าในลำดับ ไม่เหมือนกับฟังก์ชันตัวเลขใดๆ อาร์กิวเมนต์สามารถเป็นได้เฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 - ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกลำดับหมายเลข n กับค่าของสมาชิกก่อนหน้า

ในกรณีนี้ การรู้เพียงจำนวนสมาชิกของลำดับเท่านั้นที่จะหาค่าของมันนั้นไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ ,

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ เราสามารถหาค่าของสมาชิกลำดับได้ทีละคน

เริ่มจากตัวที่สาม: นั่นคือ ทุกครั้ง เพื่อค้นหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาค่าสองตัวก่อนหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่ากำเริบ , จาก คำภาษาละตินเกิดขึ้นอีก

- กลับมา

ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาทีที่มีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับตัวเลขเดียวกัน เบอร์นั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

- ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ถ้า title="d>0.

เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; 11;... ถ้า แล้วแต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าเทอมก่อนหน้า และความก้าวหน้าก็คือ.

ลดลง

ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;... ถ้า แล้วเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าก็เท่ากับ.

นิ่ง

ตัวอย่างเช่น 2;2;2;2;...

คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามาดูรูปกันดีกว่า

เราเห็นสิ่งนั้น

และในเวลาเดียวกัน

.

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้:

หารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2:

ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ติดกัน:

เราเห็นสิ่งนั้น

นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

, ที่

และด้วยเหตุนี้">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

แต่ละเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วย title="k>l

สูตรของเทอมที่ 3

เราเห็นว่าเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

และในที่สุด เราได้รับ

สูตรของเทอมที่ nสำคัญ!

สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่าน และ เมื่อรู้เทอมแรกและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณจะพบเทอมใดก็ได้

ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ ผลรวมของคำศัพท์ที่มีระยะห่างจากค่าสุดขั้วเท่ากันจะเท่ากัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเงื่อนไข n ให้ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

เรามาจัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้ากันก่อนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก จากนั้นเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n

เราได้รับ:

ดังนั้น, ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ลองพิจารณาดู การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เราพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เราพบว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;...

ก) ค้นหาเงื่อนไขความก้าวหน้า 31 ข้อ

b) พิจารณาว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

ก)เราเห็นแล้วว่า;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าของเรากัน

โดยทั่วไปแล้ว

ในกรณีของเรา นั่นเป็นเหตุผล

คำแนะนำ

การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับของรูปแบบ a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ขั้นตอนที่ d ความก้าวหน้าเห็นได้ชัดว่าคำทั่วไปของระยะที่ n ตามอำเภอใจของเลขคณิต ความก้าวหน้ามีรูปแบบ: An = A1+(n-1)d แล้วได้รู้จักสมาชิกคนหนึ่ง ความก้าวหน้า, สมาชิก ความก้าวหน้าและขั้นตอน ความก้าวหน้าคุณสามารถนั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีความก้าวหน้า แน่นอนว่าจะถูกกำหนดโดยสูตร n = (An-A1+d)/d

ตอนนี้เทอมที่ m เป็นที่รู้จักแล้ว ความก้าวหน้าและสมาชิกอีกคน ความก้าวหน้า- n แต่ n เหมือนในกรณีก่อนหน้า แต่เป็นที่รู้กันว่า n และ m ไม่ตรงกัน ความก้าวหน้าสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: d = (An-Am)/(n-m) จากนั้น n = (อัน-แอม+เอ็มดี)/d

หากทราบผลรวมขององค์ประกอบหลายรายการในสมการทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าเช่นเดียวกับตัวแรกและตัวสุดท้ายก็สามารถกำหนดจำนวนองค์ประกอบเหล่านี้ได้เช่นกัน ความก้าวหน้าจะเท่ากับ: S = ((A1+An)/2)n จากนั้น n = 2S/(A1+An) - ชเดนอฟ ความก้าวหน้า- จากข้อเท็จจริงที่ว่า An = A1+(n-1)d สูตรนี้สามารถเขียนใหม่เป็น: n = 2S/(2A1+(n-1)d) จากนี้เราสามารถแสดง n ได้โดยการแก้ สมการกำลังสอง.

ลำดับเลขคณิตคือชุดตัวเลขที่เรียงลำดับกัน ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะแตกต่างจากลำดับก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน ยกเว้นลำดับแรก ค่าคงที่นี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าหรือขั้นตอน และสามารถคำนวณได้จากเงื่อนไขที่ทราบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำแนะนำ

หากทราบค่าของเงื่อนไขที่หนึ่งและที่สองหรือคู่อื่น ๆ ที่อยู่ติดกันจากเงื่อนไขของปัญหา ให้คำนวณความแตกต่าง (d) เพียงลบค่าก่อนหน้าออกจากเทอมถัดไป ค่าผลลัพธ์อาจเป็นตัวเลขบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นหรือไม่ ในรูปแบบทั่วไป ให้เขียนคำตอบสำหรับคู่ใดๆ (aᵢ และ aᵢ₊₁) ของพจน์ใกล้เคียงของการก้าวหน้าดังนี้: d = aᵢ₊₁ - aᵢ

สำหรับเงื่อนไขคู่หนึ่งของความก้าวหน้าดังกล่าว หนึ่งในนั้นคือเงื่อนไขแรก (a₁) และอีกเงื่อนไขหนึ่งเป็นเงื่อนไขอื่นที่เลือกโดยพลการ คุณสามารถสร้างสูตรสำหรับค้นหาความแตกต่าง (d) ได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ต้องทราบหมายเลขซีเรียล (i) ของสมาชิกที่เลือกโดยพลการของลำดับ ในการคำนวณความแตกต่าง ให้บวกทั้งสองตัวเลขแล้วหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วยเลขลำดับของเทอมใดก็ได้ที่ลดลงหนึ่ง โดยทั่วไป ให้เขียนสูตรดังนี้: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)

นอกจากสมาชิกตามอำเภอใจของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเลขลำดับ i แล้ว ยังรู้จักสมาชิกอีกคนที่มีเลขลำดับ u ให้เปลี่ยนสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้าตามลำดับ ในกรณีนี้ ความแตกต่าง (d) ของความก้าวหน้าจะเป็นผลรวมของคำศัพท์ทั้งสองนี้หารด้วยความแตกต่างระหว่างกัน หมายเลขซีเรียล: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)

สูตรในการคำนวณความแตกต่าง (d) จะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้นหากเงื่อนไขของปัญหาให้ค่าของเทอมแรก (a₁) และผลรวม (Sᵢ) ของตัวเลขที่กำหนด (i) ของเทอมแรกของลำดับเลขคณิต เพื่อให้ได้ค่าที่ต้องการ ให้หารผลรวมด้วยจำนวนพจน์ที่ประกอบกัน ลบค่าของตัวเลขตัวแรกในลำดับ และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า หารค่าผลลัพธ์ด้วยจำนวนเทอมที่รวมกันเป็นผลรวม ลดลงหนึ่ง โดยทั่วไป ให้เขียนสูตรในการคำนวณค่าจำแนกดังนี้: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)

แนวคิดเรื่องลำดับตัวเลขบอกเป็นนัยว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนสอดคล้องกับค่าจริงบางค่า ชุดตัวเลขดังกล่าวอาจเป็นแบบใดก็ได้หรือมีคุณสมบัติบางอย่าง - ความก้าวหน้า ในกรณีหลัง แต่ละองค์ประกอบที่ตามมา (สมาชิก) ของลำดับสามารถคำนวณได้โดยใช้องค์ประกอบก่อนหน้า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับของค่าตัวเลขที่คำศัพท์ใกล้เคียงต่างกันด้วยจำนวนเดียวกัน ( คุณสมบัติที่คล้ายกันองค์ประกอบทั้งหมดของซีรีส์เริ่มตั้งแต่วันที่ 2 มี) เบอร์นี้– ความแตกต่างระหว่างเทอมก่อนหน้าและเทอมต่อๆ ไปจะเป็นค่าคงที่ และเรียกว่าผลต่างความก้าวหน้า

ความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้า: คำจำกัดความ

พิจารณาลำดับที่ประกอบด้วยค่า j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j อยู่ในชุด ตัวเลขธรรมชาติ N. ความก้าวหน้าทางเลขคณิตตามคำจำกัดความ คือลำดับที่ a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – ก(เจ-1) = ง. ค่า d คือความแตกต่างที่ต้องการของความก้าวหน้านี้

ง = ก(เจ) – ก(เจ-1)

ไฮไลท์:

• ความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ d > 0 ตัวอย่าง: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ความก้าวหน้าลดลงแล้วง< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ความก้าวหน้าที่แตกต่างกันและองค์ประกอบโดยพลการ

หากทราบเงื่อนไขการก้าวหน้าโดยพลการ 2 ข้อ (i-th, k-th) ดังนั้นความแตกต่างสำหรับลำดับที่กำหนดสามารถถูกกำหนดตามความสัมพันธ์:

a(i) = a(k) + (i – k)*d ซึ่งหมายถึง d = (a(i) – a(k))/(i-k)

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและระยะแรก

นิพจน์นี้จะช่วยกำหนดค่าที่ไม่รู้จักเฉพาะในกรณีที่ทราบจำนวนองค์ประกอบลำดับเท่านั้น

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและผลรวม

ผลรวมของความก้าวหน้าคือผลรวมของเงื่อนไข ในการคำนวณมูลค่ารวมขององค์ประกอบ j แรก ให้ใช้สูตรที่เหมาะสม:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j แต่เนื่องจาก a(j) = a(1) + d(j – 1) จากนั้น S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j

เลขคณิตและ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า)
สูตรการเกิดซ้ำ	สำหรับธรรมชาติใดๆ n n + 1 = n + d	สำหรับธรรมชาติใดๆ n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
คุณสมบัติลักษณะ
ผลรวมของพจน์ n แรก

ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น

ภารกิจที่ 1

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน

ตามเงื่อนไข:

1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 2

ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)

ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.

เพราะว่า ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)

เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : ข 5 = -48.

ภารกิจที่ 3

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ .

จากนี้จะเป็นดังนี้:

.

ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

คำตอบ: 95.

ภารกิจที่ 4

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4. ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก

หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้

.

อันไหนเข้า. ในกรณีนี้สะดวกในการใช้งานมากขึ้น?

ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันที 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368.

ภารกิจที่ 5

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน

ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 6

มีการเขียนคำศัพท์ต่อเนื่องหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุโดย x

เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณต้องนำเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:

.

คำตอบ : .

ภารกิจที่ 7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เพราะว่า เงื่อนไขที่กำหนดจะต้องปฏิบัติตามในระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจะแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:

.

คำตอบ: 4.

ภารกิจที่ 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุ มูลค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ หนึ่ง > -6.

ระดับรายการ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันแรก อันไหนเป็นอันที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ
จำนวนที่มีจำนวนเรียกว่าเทอมที่ 3 ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

ฯลฯ
ลำดับตัวเลขนี้เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ถูกนำมาใช้โดยนักเขียนชาวโรมันชื่อ Boethius ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจในความหมายที่กว้างกว่าว่าเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" โอนมาจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องที่ชาวกรีกโบราณศึกษา

นี่คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับหมายเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และถูกกำหนดไว้

พยายามพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และลำดับใดไม่ใช่:

ก)
ข)
ค)
ง)

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c
ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d

กลับไปที่ความก้าวหน้าที่กำหนด () แล้วลองค้นหาค่าของเทอมที่ 3 ของมัน มีอยู่ สองวิธีที่จะค้นหามัน

1. วิธีการ

เราสามารถบวกเลขความก้าวหน้าเข้ากับค่าก่อนหน้าได้จนกว่าเราจะถึงระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า เป็นการดีที่เราไม่มีอะไรจะสรุปมากนัก - มีเพียงสามค่าเท่านั้น:

ดังนั้นเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

จะเป็นอย่างไรถ้าเราจำเป็นต้องค้นหามูลค่าของระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า? การบวกจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมง และไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อบวกตัวเลข
แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์มีวิธีที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ลองดูภาพที่วาดให้ละเอียดยิ่งขึ้น... แน่นอนคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้ว ได้แก่:

ตัวอย่างเช่น ลองดูว่าค่าของเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ประกอบด้วยเท่าใด:


กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พยายามหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดด้วยตัวเองด้วยวิธีนี้

คุณคำนวณแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:

โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราเพิ่มเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นค่าก่อนหน้าตามลำดับ
มาลอง "ลดความเป็นตัวตน" กัน สูตรนี้- พาเธอไปกันเถอะ มุมมองทั่วไปและเราได้รับ:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่มหรือลดลงได้

เพิ่มขึ้น- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละมูลค่าที่ตามมาของข้อกำหนดจะมากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

จากมากไปน้อย- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละค่าของข้อกำหนดที่ตามมาจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้รับใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นและลดลงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาตรวจสอบสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: มาตรวจสอบกันว่าตัวเลขลำดับที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นอย่างไรหากเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสูตรดำเนินการทั้งในการลดลงและเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
พยายามค้นหาเงื่อนไขที่ th และ th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวเอง

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - เราจะได้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาค่า
ง่าย ๆ ที่คุณพูดและเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:

ให้เอ่อแล้ว:

จริงอย่างแน่นอน ปรากฎว่าเราพบก่อนแล้วจึงบวกเข้ากับตัวเลขแรกแล้วได้สิ่งที่เรากำลังมองหา ถ้าความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าเล็กๆ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไขล่ะ? ยอมรับว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
ทีนี้ลองคิดดูว่าจะสามารถแก้ไขปัญหานี้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรใดๆ ได้หรือไม่? ใช่แน่นอน และนั่นคือสิ่งที่เราจะพยายามนำเสนอออกมาในตอนนี้

ให้เราแสดงคำที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากสูตรในการค้นหาที่เรารู้จัก - นี่เป็นสูตรเดียวกับที่เราได้รับตั้งแต่ต้น:
, แล้ว:

• ระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
• ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

เรามาสรุปข้อกำหนดก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของเงื่อนไขก่อนหน้าและเงื่อนไขถัดไปของความก้าวหน้าคือค่าสองเท่าของเงื่อนไขความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาค่าของเทอมความก้าวหน้าด้วยค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบ คุณจะต้องบวกค่าเหล่านั้นแล้วหารด้วย

ใช่แล้ว เราได้เลขเดียวกัน มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ คำนวณมูลค่าสำหรับความก้าวหน้าด้วยตัวเอง ไม่ยากเลย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! ยังคงต้องหาสูตรเพียงสูตรเดียวซึ่งตามตำนานสามารถอนุมานได้ง่าย ๆ ด้วยตัวเองโดยหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" - Karl Gauss...

เมื่อ Carl Gauss อายุ 9 ขวบ ครูคนหนึ่งซึ่งยุ่งอยู่กับการตรวจสอบงานของนักเรียนในชั้นเรียนอื่น ได้มอบหมายงานในชั้นเรียนดังต่อไปนี้: “คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง (ตามแหล่งอื่นถึง) รวม” ลองนึกภาพความประหลาดใจของครูเมื่อนักเรียนคนหนึ่งของเขา (นี่คือคาร์ล เกาส์) นาทีต่อมาให้คำตอบที่ถูกต้องกับงาน ในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นของผู้บ้าระห่ำส่วนใหญ่ได้รับผลลัพธ์ที่ผิดหลังจากคำนวณมาเป็นเวลานาน...

คาร์ล เกาส์ วัยหนุ่มสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างที่คุณสามารถสังเกตได้ง่ายเช่นกัน
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเทอมที่ -: เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเหล่านี้ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่า เราสามารถรวมค่าทั้งหมดด้วยตนเอง แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้างานนั้นต้องการหาผลรวมของเงื่อนไขตามที่เกาส์กำลังมองหา?

ให้เราบรรยายถึงความก้าวหน้าที่มอบให้เรา ลองดูตัวเลขที่ไฮไลต์ให้ละเอียดยิ่งขึ้นแล้วลองดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับตัวเลขเหล่านั้น


คุณลองแล้วหรือยัง? คุณสังเกตเห็นอะไร? ขวา! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้บอกหน่อยเถอะว่าความก้าวหน้าที่มอบให้เรามีทั้งหมดกี่คู่? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นเอง
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสองเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากัน และคู่ที่คล้ายกันเท่ากัน เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าผลรวมทั้งหมดเท่ากับ:
.
ดังนั้น สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้:

ในปัญหาบางอย่างเราไม่รู้คำศัพท์ที่ 3 แต่เรารู้ถึงความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองแทนสูตรของเทอมที่ 3 ลงในสูตรผลรวม
คุณได้อะไร?

ทำได้ดี! ตอนนี้เรากลับมาที่ปัญหาที่ Carl Gauss ถาม: คำนวณด้วยตัวคุณเองว่าผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th เท่ากับเท่าใด และผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th

คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์พบว่าผลรวมของพจน์เท่ากัน และผลรวมของพจน์นั้น นั่นคือสิ่งที่คุณตัดสินใจ?

ในความเป็นจริง สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนตัส ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ คนที่มีไหวพริบได้ใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพ อียิปต์โบราณและโครงการก่อสร้างที่ใหญ่ที่สุดในยุคนั้น - การก่อสร้างปิรามิด... ภาพแสดงด้านใดด้านหนึ่ง

ความคืบหน้าที่นี่อยู่ที่ไหนคุณพูด? มองให้ดีและหารูปแบบจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของกำแพงพีระมิด


ทำไมไม่ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงด้านหนึ่งหากฐานเป็น บล็อกอิฐ- ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับในขณะที่เลื่อนนิ้วไปบนหน้าจอ คุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ไหม

ในกรณีนี้ ความคืบหน้าจะเป็นดังนี้:
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เรามาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (คำนวณจำนวนบล็อกได้ 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนมอนิเตอร์ได้: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา เข้าใจแล้ว? ทำได้ดีมาก คุณเชี่ยวชาญผลรวมของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนว่าคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐานได้ แต่จากอะไรล่ะ? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายจำนวนเท่าใดในการสร้างกำแพงด้วยเงื่อนไขนี้
คุณจัดการหรือไม่?
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:

การฝึกอบรม

งาน:

1. Masha กำลังมีรูปร่างดีสำหรับฤดูร้อน เธอเพิ่มจำนวนท่าสควอชทุกวัน Masha จะทำ squats กี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก?
2. ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่เป็นเท่าใด
3. เมื่อจัดเก็บบันทึก คนตัดไม้จะซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละบันทึก ชั้นบนสุดมีบันทึกน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้าหนึ่งรายการ อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนไม้กี่ท่อน ถ้ารากฐานของท่อนไม้เป็นท่อนไม้?

คำตอบ:

1. ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
   (สัปดาห์ = วัน)

   คำตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรทำ squats วันละครั้ง

2. เลขคี่ตัวแรก เลขสุดท้าย
   ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
   อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่คือครึ่งหนึ่ง เราจะมาตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรในการหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

   ตัวเลขประกอบด้วยเลขคี่
   ลองแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:

   คำตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นมีค่าเท่ากัน

3. เรามาจำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิดกันดีกว่า สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดจะลดลงหนึ่งบันทึก ดังนั้นโดยรวมแล้วจะมีหลายเลเยอร์ นั่นก็คือ
   ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

   คำตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในการก่ออิฐ

มาสรุปกัน

1. - ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้
2. การหาสูตรเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่ คือจำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
3. คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - โดยที่คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
4. ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้สองวิธี:
   
   โดยที่คือจำนวนค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่เราสามารถพูดได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถนับพวกมันได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหมายเลขสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งและเป็นจำนวนเฉพาะได้ และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่นจากชุดนี้

ตัวเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกตัวที่ 2 ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

จะสะดวกมากหากบางสูตรสามารถระบุเทอมที่ 3 ของลำดับได้ ตัวอย่างเช่นสูตร

กำหนดลำดับ:

และสูตรก็มีลำดับดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับ (เทอมแรกในที่นี้มีค่าเท่ากัน และผลต่างคือ) หรือ (, ส่วนต่าง)

สูตรเทอมที่ n

เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งในการหาเทอมที่ 3 คุณจำเป็นต้องรู้คำก่อนหน้าหรือหลายคำก่อนหน้านี้:

หากต้องการค้นหาระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรนี้ เราจะต้องคำนวณเก้าค่าก่อนหน้า เช่น ปล่อยให้มัน. แล้ว:

ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?

ในแต่ละบรรทัดที่เราบวกเข้าไป คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง อันไหน? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:

ตอนนี้สะดวกขึ้นมากแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ค้นหาสูตรสำหรับเทอมที่ n และค้นหาเทอมที่ร้อย

สารละลาย:

เทอมแรกมีค่าเท่ากัน ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:

(เหตุนี้จึงเรียกว่าความแตกต่างเพราะเท่ากับผลต่างของระยะต่อเนื่องของการก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตร:

จากนั้นเทอมที่ร้อยจะเท่ากับ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง คืออะไร?

ตามตำนานกล่าวว่า นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คาร์ล เกาส์ เมื่อตอนอายุ 9 ขวบ คำนวณจำนวนนี้ได้ภายในไม่กี่นาที เขาสังเกตเห็นว่าผลรวมของตัวแรกและตัว วันสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของวินาทีและสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของครั้งที่สามและครั้งที่ 3 จากจุดสิ้นสุดเท่ากัน และเป็นเช่นนี้ต่อไป มีคู่ดังกล่าวทั้งหมดกี่คู่? ถูกต้อง ครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดนั่นเอง ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็น:

ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวคูณสองหลักทั้งหมด

สารละลาย:

ตัวเลขแรกคือสิ่งนี้ แต่ละหมายเลขที่ตามมาจะได้มาจากการเพิ่มหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่เราสนใจจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรกและผลต่าง

สูตรของเทอมที่ 3 สำหรับความก้าวหน้านี้:

มีคำศัพท์กี่คำที่อยู่ในความก้าวหน้าหากทุกคำต้องเป็นเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

คำตอบ: .

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า เขาจะวิ่งได้ทั้งหมดกี่กิโลเมตรในหนึ่งสัปดาห์ ถ้าในวันแรกเขาวิ่ง km m?
2. นักปั่นจักรยานเดินทางหลายกิโลเมตรทุกวันมากกว่าวันก่อนหน้า วันแรกเดินทาง กม. เขาต้องเดินทางกี่วันจึงจะครบหนึ่งกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
3. ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดในแต่ละปีหากขายเป็นรูเบิลหกปีต่อมาขายเป็นรูเบิล

คำตอบ:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการจดจำความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
   .
   คำตอบ:
2. นี่คือสิ่งที่ได้รับ: , จะต้องพบ
   แน่นอนว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
   .
   แทนค่า:

   เห็นได้ชัดว่ารูตไม่พอดี ดังนั้นคำตอบก็คือ
   ลองคำนวณเส้นทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3:
   (กม.)
   คำตอบ:

3. ที่ให้ไว้: . หา: .
   ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว:
   (ถู).
   คำตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเท่ากันและเท่ากัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่ม () และลด ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เขียนโดยสูตร โดยที่ คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ช่วยให้คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดายหากทราบคำศัพท์ใกล้เคียง - โดยที่จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้าคือจำนวนใด

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการค้นหาจำนวนเงิน:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน