อัล-ควาเรซมี

อบู อับดุลลอฮ์ มูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-คอวาริซมี (มูฮัมหมัด บิดาของอับดุลลาห์ บุตรของมูซา ซึ่งเป็นชาวโคเรซึม) (ประมาณปี ค.ศ. 783–850) – โคเรซเมียน นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และนักภูมิศาสตร์ชาวเอเชียกลาง ผู้ก่อตั้งพีชคณิตคลาสสิก
ข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับชีวิตของนักวิทยาศาสตร์ได้รับการเก็บรักษาไว้ เกิดที่โคเรซึมในปี 783 ตามสายเลือดของเขา เขามาจากครอบครัวนักบวชโซโรแอสเตอร์ซึ่งต่อมาเปลี่ยนมานับถือศาสนาอิสลาม เขาใช้ชีวิตช่วงสำคัญในชีวิตในกรุงแบกแดด โดยเป็นหัวหน้าห้องสมุด "บ้านแห่งปัญญา" ภายใต้การปกครองของคอลีฟะห์ อัล-มามุน (813–833) ในเวลาเดียวกัน al-Marwazi, al-Fargani, Ibn Turk, al-Kindi และนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นคนอื่น ๆ ทำงานที่นั่น ในปี 827 อัล-คอวาริซมีมีส่วนร่วมในการวัดความยาวของระดับเส้นลมปราณของโลกบนที่ราบซินจาร์ ประมาณปี ค.ศ. 830 มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมีได้ผลิตบทความภาษาอาหรับเกี่ยวกับพีชคณิตฉบับแรกที่รู้จัก ภายใต้กาหลิบอัล-วาซิก (842–847) อัล-ควาริซมีเป็นผู้นำคณะสำรวจไปยังคาซาร์ การกล่าวถึงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นในปี 847
Al-Khorezmi เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดจาก “หนังสือแห่งความสมบูรณ์และการต่อต้าน” (“Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala”) จากชื่อที่มาจากคำว่า “พีชคณิต” ในส่วนทางทฤษฎีของบทความของเขา อัล-โคเรซมีได้จำแนกสมการของสมการระดับที่ 1 และ 2 และระบุประเภทสมการได้หกประเภท:
– ยกกำลังสองเท่ากับราก(ตัวอย่างที่ 5 เอ็กซ์ 2 = 10เอ็กซ์);
– สี่เหลี่ยมจำนวนเท่ากัน(ตัวอย่างที่ 5 เอ็กซ์ 2 = 80);
– รากจะเท่ากับจำนวน(ตัวอย่างที่ 4 เอ็กซ์ = 20);
– กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน(ตัวอย่าง เอ็กซ์ 2 + 10เอ็กซ์ = 39);
– กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก(ตัวอย่าง เอ็กซ์ 2 + 21 = 10เอ็กซ์);
– รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง(ตัวอย่างที่ 3 เอ็กซ์ + 4 = เอ็กซ์ 2).
การจำแนกประเภทนี้อธิบายได้จากข้อกำหนดที่ว่าทั้งสองด้านของสมการต้องมีพจน์ที่เป็นบวก ด้วยการกำหนดลักษณะสมการแต่ละประเภทและแสดงกฎสำหรับการแก้สมการด้วยตัวอย่าง อัล-โคเรซมีจึงให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตของกฎเหล่านี้สำหรับสามประเภทสุดท้าย เมื่อการแก้ปัญหาไม่ได้ลดลงเหลือเพียงการแยกรากเท่านั้น เพื่อนำสายพันธุ์ที่เป็นที่ยอมรับ al-Khorezmi แนะนำการกระทำสองประการ ประการแรก อัล-ญาบร์ ประกอบด้วยการถ่ายโอนพจน์ที่เป็นลบจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งเพื่อให้ได้พจน์ที่เป็นบวกในทั้งสองส่วน การกระทำประการที่สอง - อัล-มูกาบาลา - คือการนำพจน์ที่คล้ายกันมาในทั้งสองด้านของสมการ นอกจากนี้ อัล-คอวาริซมียังแนะนำกฎการคูณพหุนามอีกด้วย
บทความเกี่ยวกับพีชคณิตยังรวมถึง "บทเกี่ยวกับธุรกรรม" (ซึ่งกล่าวถึงกฎสำหรับการค้นหาเทอมที่ไม่รู้จักของสัดส่วนจากคำศัพท์ที่รู้จักสามคำ) และ "บทเกี่ยวกับการวัด" (ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎเกณฑ์ในการคำนวณพื้นที่ต่างๆ รูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นสูตรประมาณพื้นที่ของวงกลม และสูตรปริมาตร ปิรามิดที่ถูกตัดทอน- นอกจากนี้ยังมาพร้อมกับ "หนังสือพินัยกรรม" ซึ่งอุทิศให้กับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นระหว่างการแบ่งมรดกตามกฎหมายบัญญัติของชาวมุสลิม
พีชคณิตโดย al-Khwarizmi ซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับการพัฒนาวินัยทางวิทยาศาสตร์อิสระใหม่ ได้รับการวิจารณ์และปรับปรุงโดยนักคณิตศาสตร์ตะวันออกหลายคนในเวลาต่อมา หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลสองครั้งในศตวรรษที่ 12 เป็น ละตินและมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุโรป นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปผู้โดดเด่นแห่งศตวรรษที่ 13 เช่นเลโอนาร์โดแห่งปิซาได้รับอิทธิพลโดยตรงจากงานนี้
อัล-โคเรซมีเขียนหนังสือเรื่อง “On Indian Counting” ซึ่งมีส่วนทำให้ระบบตำแหน่งทศนิยมแพร่หลายสำหรับการบันทึกตัวเลขทั่วทั้งคอลีฟะฮ์ ไปจนถึงสเปน ในศตวรรษที่ 12 หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินและมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาเลขคณิตของยุโรปและการแนะนำตัวเลขอินโด-อารบิก ชื่อผู้แต่ง ในรูปแบบลาติน ( อัลกอริสมัส, อัลกอริทึม) ในยุโรปยุคกลางหมายถึงระบบเลขคณิตทศนิยมทั้งหมด นี่คือที่มาของคำสมัยใหม่ อัลกอริทึมใช้ครั้งแรกโดยไลบ์นิซ
“หนังสือภาพของโลก” ที่เขียนโดยอัล-คอวาริซมีถือเป็นงานทางภูมิศาสตร์ชิ้นแรกเกี่ยวกับเรื่องนี้ ภาษาอาหรับ– มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้
ข้อดีหลักของ al-Khorezmi ในประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์อยู่ที่การรวบรวมตารางตรีโกณมิติและดาราศาสตร์ (“Zij al-Khorezmi”) ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการวิจัยยุคกลางในพื้นที่นี้ทั้งในภาคตะวันออกและใน ยุโรปตะวันตก- แม้ว่าบทความ "Zij al-Khwarizmi" ส่วนใหญ่จะเป็นการดัดแปลงจาก "Brahmaguphuta-siddhanta" ของ Brahmagupta เป็นหลัก แต่ข้อมูลส่วนใหญ่ในนั้นก็มีให้ไว้ในช่วงต้นยุคเปอร์เซียของ Yazdegerd และร่วมกับชื่อภาษาอาหรับของดาวเคราะห์ของพวกเขา ชื่อเปอร์เซียมีอยู่ในตารางสมการของดาวเคราะห์ในซิจนี้ งานนี้มาพร้อมกับ "บทความเกี่ยวกับการคำนวณยุคของชาวยิว" “หนังสือพงศาวดาร” ของอัล-คอวาริซมี ที่ถูกกล่าวถึงใน แหล่งที่มาที่แตกต่างกันไม่เก็บรักษาไว้
"หนังสือเกี่ยวกับการสร้างดวงดาว" ( ดวงดาว– หนึ่งในเครื่องมือทางดาราศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดในการวัดมุม ปรากฏตัวครั้งแรกใน กรีกโบราณ) ไม่รอดและเป็นที่รู้จักจากการกล่าวถึงในแหล่งอื่นเท่านั้น จากผลงานทางดาราศาสตร์ของ al-Khorezmi ยังเป็นที่รู้จัก "Book of the Sundial" และ "Book of Action with the Help of the Astrolabe" (รวมอยู่ในงานของ al-Fargani ที่ไม่สมบูรณ์) ในปี 834 อัล-คอวาริซมีได้แยกพีชคณิตออกจากเรขาคณิต

« เขามีอิทธิพลต่อการคิดทางคณิตศาสตร์มากกว่านักเขียนยุคกลางคนอื่นๆ».

ฟิลิป ฮิตตี้, นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันผู้โด่งดัง ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (1886-1978)

ในปี 832 คอลีฟะฮ์อับบาซิด อัล-มามุนได้ก่อตั้งศูนย์การวิจัยและการสอนในเมืองหลวงของรัฐแบกแดด ซึ่งจำลองมาจากพิพิธภัณฑ์โบราณในเมืองอเล็กซานเดรีย ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อบ้านแห่งปัญญา โดยพื้นฐานแล้ว House of Wisdom คือ Academy of Sciences นักวิทยาศาสตร์หลายคนจากภูมิภาคต่างๆ ทำงานที่นั่น เอเชียกลางและอาหรับตะวันออก พวกเขามีห้องสมุดต้นฉบับโบราณมากมาย รวมทั้งหอดูดาวทางดาราศาสตร์ขนาดใหญ่ที่สร้างขึ้นเป็นพิเศษ บ้านแห่งปัญญากลายเป็นศูนย์กลางการศึกษาคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์ การแพทย์ และเคมี ในช่วงชีวิตที่สำคัญของเขาเขาเป็นหัวหน้าห้องสมุดของ "บ้านแห่งปัญญา" อบู อับดุลลอฮ์ มูฮัมหมัด บิน มูซา อัลคอวาริซมีได้รับสมญานามว่า “บิดาแห่งพีชคณิต” ต้องขอบคุณ Al-Khorezmi ที่ทำให้ยุโรปได้เรียนรู้ว่าการนับทศนิยมและตัวเลขคืออะไร เขาเป็นคนแรกที่เสนอให้แบ่งโลกออกเป็นเส้นเมอริเดียนและแนวขนาน ดังนั้นทุกจุดบนโลกจึงมีพิกัด ละติจูด และลองจิจูดที่ชัดเจน อัล-โคเรซมีเป็นผู้สร้างแบบจำลองโลกที่เชื่อถือได้ตัวแรก ซึ่งเป็นต้นแบบของโลกสมัยใหม่ และนี่คือ 700 ปีก่อนกาลิเลโอ กาลิเลอี นักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีผู้โด่งดัง

ต้องขอบคุณนักวิทยาศาสตร์มุสลิมคนนี้เป็นส่วนใหญ่ที่ทำให้โลกเป็นอย่างที่เป็นอยู่ทุกวันนี้

ผลงานของ Al-Khwarizmi ต่อคณิตศาสตร์

คำว่า "อัลกอริทึม" สมัยใหม่มาจากชื่อของ Al-Khwarizmi และมีความเกี่ยวข้องกับชื่อหนังสือของเขา " อัล-กีฏอบ อัล-มุคตะซาร์ ฟี ฮิซับ อัล-ญับร วะ-อัล-มุกาบาลา - หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินสองครั้งในศตวรรษที่ 12 และมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุโรป แปลชื่อแปลว่า “ หนังสือเรื่องสั้นเกี่ยวกับการเติมเต็มและการต่อต้าน” คำว่า “พีชคณิต” มาจากชื่อหนังสือเล่มนี้ อัลญับร หมายถึง การดำเนินการถ่ายโอนเทอมลบจากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกฟากหนึ่งเพื่อให้ได้เทอมที่เป็นบวกจากทั้งสองด้าน - อัล-มุคาบาลา" หมายถึง "ความแตกต่าง" กล่าวคือ นำคำที่คล้ายกันมาไว้ในทั้งสองข้างของสมการ งานนี้ Al-Khwarizmi กลายเป็นงานเขียนชิ้นแรกเกี่ยวกับพีชคณิต.

ด้วยการแปลภาษาละตินทำให้เขามีชื่อเสียงในยุโรปและมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์ตะวันตก หนังสือเกี่ยวกับพีชคณิตของเขาแนะนำให้ชาวยุโรปรู้จักกับสาขาวิชาที่ไม่มีใครรู้จักมาจนบัดนี้ และทำหน้าที่เป็นตำราทางคณิตศาสตร์คลาสสิกสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยในยุโรปมานานหลายศตวรรษ Al-Khorezmi เปิดตัวพีชคณิตเป็นครั้งแรกในฐานะวิทยาศาสตร์อิสระของ วิธีการทั่วไปโซลูชั่นเชิงเส้นและ สมการกำลังสองให้จำแนกสมการเหล่านี้ อีกด้วย อัล-คอวาริซมีในปี 834 เขาได้แยกพีชคณิตออกจากเรขาคณิต

ผลงานทางดาราศาสตร์ของอัล-คอวาริซมี

ดาราศาสตร์ครองตำแหน่งผู้นำในบรรดาวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนในยุคกลางตะวันออก โดยเป็นหนึ่งในวิทยาศาสตร์ที่จำเป็นที่สุดในทางปฏิบัติ โดยที่ไม่สามารถทำเกษตรกรรมชลประทานหรือในการค้าทางทะเลและที่ดินได้ เมื่อถึงศตวรรษที่ 9 รวมถึงผลงานอิสระชิ้นแรกเกี่ยวกับดาราศาสตร์ในภาษาอาหรับ สถานที่พิเศษในหมู่พวกเขามี "zijis" - คอลเลกชันของตารางดาราศาสตร์และตรีโกณมิติ (ในเวลานั้นตรีโกณมิติเป็นส่วนหนึ่งของดาราศาสตร์) การใช้ตารางเหล่านี้ ตำแหน่งของผู้ทรงคุณวุฒิบนทรงกลมท้องฟ้า เวลาของดวงอาทิตย์ และ จันทรุปราคา- พวกเขายังทำหน้าที่วัดเวลาอีกด้วย ในบรรดา zij แรกๆ ได้แก่ zij ของ Al-Khorezmi ซึ่งเริ่มด้วยหมวดลำดับเหตุการณ์และปฏิทิน นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับ ดาราศาสตร์เชิงปฏิบัติ, เพราะ ผู้คนที่แตกต่างกันวี เวลาที่ต่างกันพวกเขาใช้ปฏิทินที่แตกต่างกัน และเมื่อทำการสังเกต การออกเดทแบบสากลเป็นสิ่งสำคัญ ผลงานของเขาเกี่ยวกับดาราศาสตร์มีพื้นฐานมาจากผลงานของนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย พระองค์ทรงคำนวณตำแหน่งของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์อย่างละเอียด สุริยุปราคา- ตารางดาราศาสตร์ของ Al-Khwarizmi ได้รับการแปลเป็น ภาษายุโรปและต่อมา - เป็นภาษาจีน ตารางตรีโกณมิติและดาราศาสตร์ (Zij al-Khwarizmi) เป็นพื้นฐานของการวิจัยในยุคกลางในสาขาดาราศาสตร์ทั้งในยุโรปตะวันออกและยุโรปตะวันตก

หนังสือของ Al-Khorezmi เกี่ยวกับดวงดาวซึ่งเป็นเครื่องมือหลักในการวัดทางดาราศาสตร์ในยุคนั้นก็มีความสำคัญเช่นกัน “ หนังสือเกี่ยวกับการสร้าง Astrolabe” ยังไม่รอดและเป็นที่รู้จักจากการกล่าวถึงในแหล่งอื่นเท่านั้น จากผลงานทางดาราศาสตร์ของ Al-Khorezmi ยังเป็นที่รู้จัก "Book of the Sundial" และ "Book of Action with the Help of the Astrolabe" (รวมอยู่ในงานของ Al-Fergani ที่ไม่สมบูรณ์) ในส่วนที่ 41-42 ของหนังสือเล่มนี้ มีการอธิบายเข็มทิศพิเศษเพื่อกำหนดเวลาอธิษฐาน

การมีส่วนร่วมของ Al-Khwarizmi ต่อภูมิศาสตร์

งานภูมิศาสตร์ของ Al-Khorezmi ยังเกี่ยวข้องกับงานคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์อีกด้วย เขาถือเป็นผู้เขียนผลงานชิ้นแรกเกี่ยวกับภูมิศาสตร์คณิตศาสตร์ Al-Khorezmi เป็นคนแรกที่อธิบายเป็นภาษาอาหรับถึงส่วนที่อาศัยอยู่ของโลกที่รู้จักในเวลานั้นโดยให้แผนที่พร้อมพิกัดที่สำคัญที่สุด การตั้งถิ่นฐานมีทั้งทะเล มหาสมุทร ภูเขา แม่น้ำ

เขาอาศัยงานกรีกในหลายๆ ด้าน (คู่มือภูมิศาสตร์ของปโตเลมี) แต่ "หนังสือภาพโลก" ของเขาไม่ได้เป็นเพียงการแปลผลงานของรุ่นก่อนๆ เท่านั้น แต่เป็นงานต้นฉบับที่มีข้อมูลใหม่จำนวนมาก หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยคำอธิบายของโลก แผนที่ และรายการพิกัดของสถานที่สำคัญที่สุด แม้ว่าแผนที่ของ Al-Khwarizmi จะมีความแม่นยำมากกว่าแผนที่ของนักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณ แต่ผลงานของเขาไม่ได้มาแทนที่ภูมิศาสตร์ของปโตเลมีที่ใช้ในยุโรป

ใช้ของคุณ การค้นพบของตัวเอง Al-Khwarizmi แก้ไขการศึกษาของปโตเลมีเกี่ยวกับภูมิศาสตร์ ดาราศาสตร์ และโหราศาสตร์ เพื่อสร้างแผนที่” โลกที่รู้จัก» Al-Khwarizmi ศึกษาผลงานของนักภูมิศาสตร์ 70 คน นอกจากนี้เขายังจัดการสำรวจทางวิทยาศาสตร์ไปยังไบแซนเทียม คาซาเรีย และอัฟกานิสถาน ภายใต้การนำของเขา คำนวณความยาวของเส้นลมปราณของโลกหนึ่งระดับ (แม่นยำมากสำหรับสมัยนั้น)

บทสรุป

ไม่สามารถพูดได้ว่าไม่มีพีชคณิตมาก่อนอัลคอวาริซมี- ในสมัยโบราณ ผู้คนแก้ปัญหาพีชคณิตง่ายๆ มีเทคนิคในการแก้ปัญหาเฉพาะของแต่ละบุคคล แต่ Al-Khorezmi เป็นคนแรกที่แนะนำพีชคณิตเป็นศาสตร์แห่งวิธีการทั่วไปในการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเชิงตัวเลข และได้จำแนกประเภทของสมการเหล่านี้

Muhammad ibn Musa Al-Khorezmi ครอบครองสถานที่สำคัญในหมู่นักวิทยาศาสตร์ของเอเชียกลางซึ่งมีชื่ออยู่ในประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่แม่นยำ ในศตวรรษที่ 9 - ในช่วงรุ่งอรุณของวิทยาศาสตร์ตะวันออกยุคกลาง - นักวิทยาศาสตร์มีส่วนช่วยอย่างมากในการพัฒนาเลขคณิตและพีชคณิต บทความเกี่ยวกับพีชคณิตของ Al-Khwarizmi เป็นหนึ่งในผลงานชิ้นแรกๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ได้รับการแปลในยุโรปจากภาษาอาหรับเป็นภาษาละติน

ชื่อพีชคณิตสมัยใหม่ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้นมาจากคำว่า "al-jabr" และคำว่า "อัลกอริทึม" มาจากชื่อ Al-Khorezmi ผลงานของ Al-Khorezmi มีอิทธิพลอย่างมากต่อนักวิทยาศาสตร์ของตะวันออกและตะวันตกมานานหลายศตวรรษและทำหน้าที่เป็นต้นแบบในการเขียนหนังสือเรียนคณิตศาสตร์มาเป็นเวลานาน

นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ชื่นชมทั้งกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์และการเผยแพร่ให้แพร่หลายของ Al-Khorezmi เป็นอย่างมาก จอร์จ ซาร์ตัน นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ชื่อดังเรียกเขาว่า "นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคของเขา และทุกสิ่งที่ถือว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล"

และที่สำคัญที่สุด Al-Khwarizmi เน้นว่าเขาเขียนหนังสือชื่อดังของเขาเกี่ยวกับพีชคณิต (Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala) เพื่อตอบสนองความต้องการในทางปฏิบัติของประชาชนในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับมรดก ทรัพย์สินในการแบ่งแยก การดำเนินคดีและการพาณิชย์ ประการแรกเขาถือว่างานของเขาเป็นการบูชาองค์ผู้ทรงมหิทธิฤทธิ์และจากนั้นก็ช่วยเหลือผู้คนเท่านั้น

ขออัลลอฮ์ทรงโปรดให้เราเป็นที่พอพระทัยต่ออัลลอฮ์และเป็นประโยชน์ต่อสังคม เอมิเนะ!

มาคัช กิติโนวาซอฟ

อัล-คอวาริซมี

คำว่า "Algorithm" มาจากคำว่า Algorithm - การสะกดภาษาละตินตั้งชื่อตาม al-Khorezmi ซึ่งเป็นที่รู้จักในยุโรปยุคกลางนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจาก Khorezm (เมืองในอุซเบกิสถานสมัยใหม่) Muhammad ben Musa ซึ่งอาศัยอยู่ในปี 783-850 เป็นที่รู้จัก

ในหนังสือของเขาเรื่อง On Indian Counting เขาได้กำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการบันทึกจำนวนธรรมชาติ
ตัวเลขที่ใช้เลขอารบิกและกฎสำหรับการกระทำที่อยู่ด้านบนในคอลัมน์

AL-KHWAREZMI - ผู้ก่อตั้งพีชคณิตอัลกอริทึม


Al-Khwarizmi (ค.ศ. 780 - 850) - ผู้ก่อตั้งพีชคณิต
คำว่า "อัลกอริทึม" มาจากชื่อของเขา
เขายังเป็นนักเขียนผลงานสำคัญในสาขาภูมิศาสตร์อีกด้วย

พีชคณิต. บางครั้งคำนี้เพียงอย่างเดียวก็เพียงพอที่จะสร้างความกลัวเข้าไปในใจของนักเรียนชั้นประถมศึกษาและมัธยมศึกษาทั่วโลก ไม่ต้องพูดถึงความสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นกับผู้ปกครองที่เริ่มกระบวนการคำนวณ "X" และ "Y" อย่างไรก็ตาม ชั้นเรียนพีชคณิตไม่ได้รวมอยู่ในหลักสูตรของนักเรียนเสมอไป โรงเรียนประถมศึกษา- ตลอดศตวรรษที่ 9 การศึกษาถือเป็นสิทธิพิเศษของชนชั้นสูงทางปัญญา ที่มาของคำว่า "พีชคณิต" รวมถึงตัววิชาเองนั้น เป็นผลมาจากความก้าวหน้าอย่างมากในการพัฒนาวิทยาศาสตร์ที่เกิดขึ้นในกรุงแบกแดดในช่วงศตวรรษที่ 9 โดยเฉพาะในรัชสมัยของคอลีฟะห์ อัล-มามุน (ค.ศ. 813) -833)

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าผู้ก่อตั้งพีชคณิตคือ อบู ญาฟาร์ มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี ซึ่งเกิดราวปี ค.ศ. 786 นักประวัติศาสตร์จำนวนหนึ่งแย้งว่าชื่อของเขาอาจบ่งชี้ว่าเขามาจากภูมิภาคโคเรซึม ซึ่งตั้งอยู่ในเอเชียกลางทางตอนใต้ของ ทะเลอารัล.

Al-Khwarizmi เกิดในยุคแห่งการเจริญรุ่งเรืองทางวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในโลกอิสลาม เมื่อวันที่ 14 กันยายน พ.ศ. 786 ฮารุน อัล-ราชิด กลายเป็นคอลีฟะห์คนที่ 5 ของราชวงศ์อับบาซิด (อัล-ควาริซมีเกิดในช่วงเวลาเดียวกัน) อาณาจักรของอัล-ราชิดขยายจากทะเลเมดิเตอร์เรเนียนไปจนถึงอินเดีย อัล-มามุน ลูกชายของเขายังคงสานต่อประเพณีของบิดาในการอุปถัมภ์การพัฒนาวิทยาศาสตร์ และก่อตั้งสถาบันที่เรียกว่า House of Wisdom ในระหว่างการครองราชย์ของพระองค์ ห้องสมุดต้นฉบับก็เปิดขึ้นเช่นกัน ซึ่งเป็นห้องสมุดสำคัญแห่งแรกที่สร้างขึ้นนับตั้งแต่มีชื่อเสียง ห้องสมุดอเล็กซานเดรีย- และมีการรวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์อันทรงคุณค่าทั้งในดินแดนของจักรวรรดิไบแซนไทน์และนอกขอบเขต นอกเหนือจากการก่อตั้ง House of Wisdom แล้ว Al-Mamun ยังก่อตั้งหอดูดาวซึ่งนักดาราศาสตร์มุสลิมมีโอกาสที่จะเพิ่มความสำเร็จของอารยธรรมก่อนหน้านี้

Banu Musa เพื่อนร่วมงานของ Al-Khwarizmi เป็นหนึ่งในนักวิชาการของ House of Wisdom ในกรุงแบกแดด ที่สถาบันการศึกษาแห่งนี้ พวกเขาศึกษาและเขียนผลงานเกี่ยวกับพีชคณิต เรขาคณิต และดาราศาสตร์ Al-Khwarizmi ซึ่ง Al-Mamun เป็นผู้อุปถัมภ์ และอุทิศผลงานสองชิ้นของเขาให้กับกาหลิบ

ประมาณปี ค.ศ. 830 มูฮัมหมัด บิน มูซาล-คอวาริซมีได้รวบรวมตำราภาษาอาหรับเกี่ยวกับพีชคณิตฉบับแรกที่รู้จัก ซึ่งเป็นการวางรากฐานของประเพณีทางคณิตศาสตร์ในโลกอาหรับที่จะคงอยู่มานานหลายศตวรรษ งานทางวิทยาศาสตร์ "Hisab al-jabrua-l-muqabala" ("หนังสือสั้นเกี่ยวกับการเติมเต็มและการเผชิญหน้า") เป็นผลงานที่มีชื่อเสียงและสำคัญที่สุดในบรรดาผลงานทั้งหมดของ Al-Khwarizmi เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าบทความของ Al-Khwarizmi นี้เป็นการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ที่จริงจังครั้งแรกในสาขาความรู้นี้ เหตุผลที่เขาเข้าหาหัวข้อนี้นั้นง่ายมาก - เขาวางแผนที่จะสอน:

“วิธีที่ง่ายที่สุดและ สิ่งที่มีประโยชน์ในทางคณิตศาสตร์ เช่น สิ่งที่บุคคลต้องการอย่างต่อเนื่องในเรื่องมรดก การรับมรดก การแบ่งทรัพย์สิน การฟ้องร้อง ความสัมพันธ์ทางการค้า หรือในการวัด ที่ดินการขุดคลอง การคำนวณทางเรขาคณิต ตลอดจนกรณีอื่นๆ”

อัล-ญะบรูอัล-มุกาบาลา ถือเป็นแนวทางเบื้องต้นสำหรับคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ ในส่วนแรกเริ่มต้นด้วยการพิจารณาสมการขององศาที่ 1 และ 2 จากนั้นในสองส่วนสุดท้ายจะย้ายไปที่ การประยุกต์ใช้จริงพีชคณิตในคำถามเกี่ยวกับการกำหนดการวัดและการสืบทอด

หนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยการแนะนำ ตัวเลขธรรมชาติแล้วก็มาถึงการนำเสนอ หัวข้อหลักส่วนแรกของหนังสือคือการแก้สมการ สมการทั้งหมดที่นำเสนอเป็นแบบเชิงเส้นหรือกำลังสอง และประกอบด้วยตัวเลข กำลังสอง และราก เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในหนังสือของ Al-Khwarizmi ทุกเล่ม การคำนวณทางคณิตศาสตร์จะถูกบันทึกด้วยความช่วยเหลือของคำเท่านั้น ดังนั้น เขาจึงไม่ได้ใช้สัญลักษณ์แม้แต่ตัวเดียว

จะลดสมการ (เชิงเส้นและกำลังสอง) ให้เหลือรูปแบบมาตรฐานหนึ่งในหกรูปแบบ:

ก) กำลังสองเท่ากับราก
b) กำลังสองเท่ากับตัวเลข
c) รากมีค่าเท่ากับตัวเลข
d) กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลขเช่น x2 + 10x = 39
e) กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก เช่น x2 + 21 = 10x
f) รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง เช่น 3x + 4 = x2

การเปลี่ยนแปลงดำเนินการผ่านสองการดำเนินการ - อัล-ญับร์ และ อัล-มุกอบาลา (ตรงกันข้าม) Al-Khwarizmi ใช้คำว่า "al-jabr" เพื่อหมายถึง "การเติมเต็ม" เพื่อแสดงถึงกระบวนการถ่ายโอนจำนวนลบจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง ดังนั้นการใช้หนึ่งในตัวอย่างของ Al-Khorezmi เองผ่าน "al-jabr" สมการ x2 = 40x - 4x2 จะลดลงเป็นรูปแบบ 5x2 = 40x คำว่า "อัล-มุเกาะบาลา" หมายถึง "ฝ่ายค้าน" และอัล-คอวาริซมีใช้เพื่ออ้างถึงกระบวนการลดพจน์ที่เท่ากันทั้งสองด้านของสมการ ตัวอย่างเช่น โดยการใช้การดำเนินการ al-muqabala สองครั้ง เราจะลดสมการ 50 + 3x + x2 = 29 + 10x ให้อยู่ในรูปแบบ 21 + x2 = 7x

Al-Khwarizmi ยังคงวิจัยของเขาในสาขาพีชคณิตใน Hisab al-Jabr wal-Muqabala โดยศึกษาว่าการประยุกต์ใช้กฎของพีชคณิตสามารถขยายไปสู่ โซลูชั่นทางคณิตศาสตร์วัตถุพีชคณิต ตัวอย่างเช่น แสดงวิธีการคูณนิพจน์ของแบบฟอร์ม (a + b x) (c + d x)

Al-Khwarizmi ยังได้เขียนบทความเกี่ยวกับเลขอินโด-อารบิกด้วย ข้อความภาษาอาหรับหายไป คำแปลภาษาละตินของเขา Algoritmi de numero Indorum และคำแปลภาษาอังกฤษ "Al-Khwarizmi on the Hindu Art of Calculation" ให้กำเนิด คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์"อัลกอริทึม" (จากชื่อ Al-Khwarizmi ในชื่อหนังสือ)

ในที่สุด Al-Khwarizmi เป็นผู้เขียนงานสำคัญในสาขาภูมิศาสตร์ซึ่งเขาได้กำหนดละติจูดและลองจิจูดของพื้นที่ที่มีประชากร 2,402 แห่งทั่วโลกเป็นพื้นฐานของแผนที่โลก อัล-คอวาริซมียังได้เขียนผลงานอื่นๆ ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักในหัวข้อต่างๆ เช่น โหราศาสตร์ ลำดับเหตุการณ์ และนาฬิกาแดด เขาได้รวบรวมผลงานเหล่านี้ด้วย ประวัติศาสตร์การเมือง- Al-Khwarizmi เสียชีวิตในกรุงแบกแดดในปี 850

เดวิด ชานทซ์

(อบู อับดุลลอฮ์ มูฮัมหมัด บิน มูซา อัลคอวาริซมี)(เปอร์เซีย محمد بن موسی وارزمی, Mohammad ebne Mūsā Khwārazmī, อุซเบก Abu Abdulloh Muhammad ibn Musa al-Khorazmiy, แคลิฟอร์เนีย 783, Khorezm - แคลิฟอร์เนีย 850) นักคณิตศาสตร์ สถาปนิก และนักภูมิศาสตร์ชาวเอเชียกลางผู้ยิ่งใหญ่ มีต้นกำเนิดจากตุรกี

ข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับชีวิตของนักวิทยาศาสตร์ได้รับการเก็บรักษาไว้ เขามาจากครอบครัวโคเรซึม โซโรอัสเตอร์ เขาใช้เวลาช่วงสำคัญในชีวิตในกรุงแบกแดดโดยเป็นหัวหน้าห้องสมุด "บ้านแห่งปัญญา" ภายใต้กาหลิบอัลมามุน (813-833) ในเวลาเดียวกัน al-Marwazi, al-Fargani, Ibn Turk, al-Kindi และนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นคนอื่น ๆ ทำงานที่นั่น ในปี 827 อัล-คอวาริซมีมีส่วนร่วมในการวัดความยาวของระดับเส้นลมปราณของโลกบนที่ราบซินจาร์ ภายใต้กาหลิบอัล-วาซิก (842-847) อัล-ควาริซมีได้นำคณะสำรวจไปยังคาซาร์ การกล่าวถึงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นในปี 847

Al-Khorezmi เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดจาก “หนังสือแห่งความสมบูรณ์และการต่อต้าน” (“Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala”) จากชื่อที่มาจากคำว่า “พีชคณิต”

ในส่วนทางทฤษฎีของบทความของเขา อัล-โคเรซมีได้จำแนกสมการของสมการระดับที่ 1 และ 2 และระบุประเภทสมการได้หกประเภท:

- กำลังสองเท่ากับราก

- กำลังสองเท่ากับตัวเลข

- รากมีค่าเท่ากับจำนวน

- กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน

- กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก

- รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง

บทความเกี่ยวกับพีชคณิตยังรวมถึง "บทเกี่ยวกับธุรกรรม" (ซึ่งกล่าวถึงกฎสำหรับการค้นหาเทอมที่ไม่รู้จักของสัดส่วนจากคำศัพท์ที่รู้จักสามคำ) และ "บทเกี่ยวกับการวัด" (ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎในการคำนวณพื้นที่หาร รูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นสูตรโดยประมาณสำหรับพื้นที่วงกลม และสูตรสำหรับปริมามที่ตัดทอนปริมาตร) นอกจากนี้ยังมาพร้อมกับ "หนังสือพินัยกรรม" ซึ่งอุทิศให้กับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นระหว่างการแบ่งมรดกตามกฎหมายบัญญัติของชาวมุสลิม

พีชคณิตโดย al-Khorezmi ซึ่งวางรากฐานสำหรับการพัฒนาวินัยทางวิทยาศาสตร์อิสระใหม่ ได้รับการวิจารณ์และปรับปรุงในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์ตะวันออกหลายคน (Ibn Turk, Abu Kamil, al-Karazhdi ฯลฯ) หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินสองครั้งในศตวรรษที่ 12 และมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุโรป นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปผู้โดดเด่นแห่งศตวรรษที่ 13 เช่นเลโอนาร์โดแห่งปิซาได้รับอิทธิพลโดยตรงจากงานนี้

Al-Khwarizmi เขียนหนังสือเรื่อง "On Indian Counting" ซึ่งมีส่วนทำให้ระบบการบันทึกตัวเลขตำแหน่งทศนิยมแพร่หลายไปทั่วแคว้นคอลีฟะฮ์ ไปจนถึงสเปน ในศตวรรษที่ 12 หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินและมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาเลขคณิตของยุโรปและการแนะนำตัวเลขอินโด-อารบิก ชื่อของผู้เขียนในรูปแบบลาติน (Algorismus, Algorithmus) เริ่มกำหนดระบบเลขคณิตทศนิยมทั้งหมดในยุโรปยุคกลาง นี่คือที่มาของอัลกอริทึมสมัยใหม่ซึ่งใช้ครั้งแรกโดยไลบ์นิซ

“หนังสือภาพของโลก” ที่เขียนโดยอัล-โคเรซมี ซึ่งเป็นผลงานทางภูมิศาสตร์ฉบับแรกในภาษาอาหรับ มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

ข้อดีหลักของ Al-Khorezmi ในประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์อยู่ที่การรวบรวมตารางตรีโกณมิติและดาราศาสตร์ (“Zij al-Khorezmi”) ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการวิจัยในยุคกลางในพื้นที่นี้ทั้งในยุโรปตะวันออกและตะวันตก แม้ว่า ("Zij al-Khwarizmi" ส่วนใหญ่จะเป็นการดัดแปลงมาจาก "Brahmaguphuta-siddhanta" ของ Brahmagupta เป็นหลัก แต่ข้อมูลจำนวนมากในนั้นได้รับมาเมื่อต้นยุคเปอร์เซียของ Yazdegerd และพร้อมกับชื่อภาษาอาหรับของดาวเคราะห์ เปอร์เซียของพวกเขา ชื่อต่างๆ ระบุไว้ในตารางสมการของดาวเคราะห์ใน zij นี้ "Book Chronicles" ของ al-Khorezmi ซึ่งกล่าวถึงในแหล่งต่างๆ ยังไม่รอด

Abu Ab-dal-lah Mu-ham-mad ibn Mu-sa al-Ho-rez-mi /783 - 850/ - หนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุดในยุคกลาง บ้านเกิดของเขาคือ Kho-rezm ความรู้ของคุณ al-Ho-res-mi so-vershenst-vo-val ใน "บ้านแห่งปัญญา-ros-ti" ใน Bagh-da-de สถาบันนี้เป็นสถาบันของตนเอง Aka-de-mi-ey na-uk ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับหลายคนทำงาน -skogo Vos-ka “บ้านโคลนรอสตี” มีชื่อเสียงในเรื่องของโบกาธาตุบิบลิโอเตคอยของรูโคปิเซย์โบราณและแอสโรโนมิเชสคอยคอยอ็อบ เซอร์-วา-ทู-ริ-อาย

มีผู้เล่าให้ฟังแต่วิลีว่าอัล-โฮ-เรส-มิเป็นผู้เขียนโค-ชิ-เน-นี 9 เรื่อง:

หนังสือเกี่ยวกับเลขคณิต-เม-ติ-เคของอินเดีย

หนังสือสั้นเกี่ยวกับ is-number ของ al-geb-ry และ al-mu-ka-ba-ly;

Ast-ro-no-mi-ches-ตาราง (zij);

หนังสือแผนที่โลก

หนังสือเกี่ยวกับการก่อสร้าง as-ro-la-bia;

หนังสือเกี่ยวกับการกระทำด้วยความช่วยเหลือของ ast-ro-la-bia;

หนังสือเกี่ยวกับชั่วโมงสุริยะ

บทความเกี่ยวกับคำจำกัดความของยุคของชาวยิวและวันหยุดของพวกเขา

หนังสือประวัติศาสตร์

So-chi-ne-nie al-Ho-rez-mi เกี่ยวกับ arif-me-ti-ke syg-ra-lo บทบาทที่สำคัญที่สุดในประวัติศาสตร์ของ ma-te-ma-ti-ki และ ho ข้อความภาษาอาหรับต้นฉบับ ได้สูญหายไป ตามการแปลภาษาละตินของศตวรรษที่ 12 ใน co-chi-ne-nii นี้เป็นครั้งแรกใช่-แต่ sis-te-ma-ti-ches-บางส่วนของ arif-me-ti-ki, os-no-van-noy บน de -tich-tich ระบบการคำนวณ -no-zi-tsi-on-noy

อัล-เกบ-รา-อี-เชส-กายา บุ๊ค-กา อัล-โฮ-เรซ-มิ (กี-ตับ มุก-ตา-ซับ อัล-จาบร์ และ วา-ล-มู-กา-บา-ลา) พร้อม-สโต- จากสองส่วน - te-o-re-ti-ches-koy (te-o-ria ของการแก้สมการเชิงเส้นและกำลังสองไม่ใช่-ko- คำถามเดียวกันของเรขาคณิต) และการปฏิบัติ (การใช้ al-geb- วิธีการ ra-i-ches ในการแก้ปัญหา - สถาบันเศรษฐกิจแบบเส้นเลือดแต่ต้องแข่งขัน การค้าแบบไป-ไป-แบบ และแบบกฎหมาย-แบบ-สำหรับ-ดาชา - การยกเลิกการสอบสวน การจัดเตรียม - วัสดุ, การแบ่งทรัพย์สิน, การทำธุรกรรมส่วนตัวต่าง ๆ, การได้มาซึ่งที่ดิน, การก่อสร้างท่อระบายน้ำ) โชคดีที่คำภาษาอาหรับ "al-jabr" ได้ถูกเรียกว่า "al-geb-ra" Unas-le-do-van-noe จากทางตะวันออก ma-te-ma-ti-kov หลักคำสอนเรื่องสมการเชิงเส้นและกำลังสองได้กลายเป็นระบบปฏิบัติการซึ่งเป็นการพัฒนาใหม่ของ al-geb-ry ในยุโรป La-ti-ni-zi-ro-van-ชื่อของนักวิทยาศาสตร์เข้าสู่วิทยาศาสตร์ภายใต้คำว่า "al-go-rhythm"

ส่วนทางเรขาคณิต-เมตริกของสนามแข่งมีไว้สำหรับพื้นที่และปริมาตรของตัวเลข geo-met-ri-ches (สามเหลี่ยม-นิค, ตาราง-หนู, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, พาร์-ราล-เลอ-โล-แกรม, วงกลม, ส่วนวงกลม, นิกเกิลสี่มุมที่แตกต่างกันร้อย -ro -na-mi และ ug-la-mi, pa-ral-le-le-pi-ped, รอบ qi-lin-dr, ปริซึม-ma, con-nus)

การมีส่วนร่วมของ Og-ro-men ต่อนักวิทยาศาสตร์และ as-ro-no-miya ซึ่งไม่เกี่ยวกับ ho-di-ma สำหรับ oro-sha-e-mo-go-earth le-de-lia ทะเลและ การค้าที่ดิน Zij (คอลเลกชันของ as-ro-no-mi-ches และ three-go-no-met-ri-ches-tables) al-Ho-res-mi เป็นสิ่งศักดิ์สิทธิ์ต่อ chron-no-lo-gies และ ka-len -ดา-ริว (ทิศทางทางวิทยาศาสตร์ที่สำคัญ เนื่องจากแต่ละชนชาติใช้บัญชี -mi sis-te-ma-mi time-me-no-th ที่แตกต่างกัน) หนังสือของเขาเกี่ยวกับแอส-โร-ลา-เบียมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับแอส-โร-โน-เมียในขณะนั้น

Al-Kho-rez-mi ยังมีส่วนสำคัญต่อภูมิศาสตร์ด้วย เขาได้รับการยกย่องให้เป็นผู้เขียนโซ-ชิ-โนะ-นิยะเล่มแรกตามภูมิศาสตร์ของมา-เต-มา-ติ-เชช เป็นครั้งแรกในภาษาอาหรับ ที่เขาบรรยายถึงส่วนหนึ่งของโลกที่เป็นที่รู้จักในขณะนั้น และจัดทำแผนที่ที่มีจุดประสานงานในหมู่บ้านที่สำคัญที่สุด รวมถึงทะเลและมหาสมุทร ภูเขา และแม่น้ำ มันเกี่ยวอะไรกับเขา หนังสือของแผ่นดิน– ไม่ใช่แค่การแปล co-chi-ne-pre-six-ven-ni-kov ใหม่ แต่เป็นงานต้นฉบับที่มีข้อมูลใหม่มากมาย เขา หรือกา-นิ-โซ-วาล อดีตผู้เชี่ยวชาญทางวิทยาศาสตร์ในวิ-ซัน-ติยา, คา-ซา-ริยะ, อัฟ-กา-นิส-ตัน ภายใต้การนำของเขา คุณถูกนับเป็นเมืองเดียวในโลก

แม้ว่าเขาจะมีความรู้ทางวิทยาศาสตร์มากมาย แต่ศาสตร์หลักในชีวิตของเขาก็คือ มา-เต-มา-ติ-กา อัล-โฮ-เรส-มิ นำเสนออัล-เกบ-รูเป็นครั้งแรกในฐานะศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการทั่วไปในการแก้สมการเชิงเส้นและกำลังสองของตัวเลข โดยให้คลาส-ซี-ไฟ-คา-ไอออนของสมการเหล่านี้

J. Sar-ton ผู้เป็นที่รู้จักในวงการวิทยาศาสตร์เรียกเขาว่า "ผู้ยิ่งใหญ่ในยุคนั้น และ หากคุณพิจารณาทุกอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว ก็จะเป็นหนึ่งในผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดของเรื่อง" ทุกครั้ง”

ตามคำกล่าวของมะเตรีอาลาม: Si-razh-di-nov S. , Mat-vi-ev-skaya G. Al-Ho-rez-mi - you-da-yu-shchi-sya ma-te-ma-tik และสภาพแวดล้อม as-ro-nom -ไม่ใช่-ve-kovya ม., “Pro-lighting”, 1983