การพึ่งพาตัวแปร y กับตัวแปร x ซึ่งแต่ละค่าของ x สอดคล้องกัน ความหมายเดียว y เรียกว่าฟังก์ชัน สำหรับการกำหนดให้ใช้สัญลักษณ์ y=f(x) แต่ละฟังก์ชันมีคุณสมบัติพื้นฐานจำนวนหนึ่ง เช่น ความน่าเบื่อ ความเท่าเทียมกัน ระยะเวลา และอื่นๆ

ลองดูที่ทรัพย์สินพาริตีให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกแม้ว่าจะเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

2. ค่าของฟังก์ชันที่จุด x ซึ่งเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะต้องเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด -x นั่นคือสำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = f(-x)

กราฟของฟังก์ชันคู่

หากคุณพล็อตกราฟของฟังก์ชันคู่ มันจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^2 เป็นเลขคู่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=3 อะไรก็ได้ ฉ(x)=3^2=9.

ฉ(-x)=(-3)^2=9. ดังนั้น f(x) = f(-x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^2

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

กราฟของฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกว่าเป็นเลขคี่หากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O กล่าวคือ ถ้าบางจุด a อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จุดที่สอดคล้องกัน -a จะต้องอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความด้วย ของฟังก์ชันที่กำหนด

2. สำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = -f(x)

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^3 เป็นเลขคี่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=2 อะไรก็ได้ ฉ(x)=2^3=8.

ฉ(-x)=(-2)^3=-8. ดังนั้น f(x) = -f(x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^3

รูปนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าฟังก์ชันคี่ y=x^3 มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

การทำงานเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด ฟังก์ชั่น - การพึ่งพาตัวแปร ที่จากตัวแปร xถ้าแต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับค่าเดียว ที่- ตัวแปร เอ็กซ์เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ ตัวแปร ที่เรียกว่าตัวแปรตาม ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (variable x) สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรตามใช้ (variable ย) สร้างช่วงของค่าของฟังก์ชัน

กราฟฟังก์ชันเรียกเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัดซึ่ง abscissas นั้นเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดนั้นเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั่นคือค่าของ ตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนแอบซิสซา xและค่าของตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนพิกัด ย- หากต้องการสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้น คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันจะกล่าวถึงด้านล่าง!

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมของเรา - ฟังก์ชันกราฟแบบออนไลน์ หากคุณมีคำถามใดๆ ในขณะที่ศึกษาเนื้อหาในหน้านี้ คุณสามารถถามพวกเขาในฟอรัมของเราได้ตลอดเวลา นอกจากนี้ในฟอรั่มยังจะช่วยคุณแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี เรขาคณิต ทฤษฎีความน่าจะเป็น และวิชาอื่นๆ อีกมากมาย!

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น.
พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ค่านิยม เอ็กซ์ซึ่ง ย=0, เรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์- สิ่งเหล่านี้คือจุดตัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชันกับแกน Ox

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือช่วงของค่าดังกล่าว xซึ่งค่าฟังก์ชัน ยเรียกเฉพาะค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์ ฉ(-x) = ฉ(x)- กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ
1) ขอบเขตของคำจำกัดความมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด (0; 0) นั่นคือถ้าจุดนั้น กอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ แล้วจึงเป็นจุด -กยังอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย
2) สำหรับค่าใดๆ x ฉ(-x)=ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชั่นแปลก ๆมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) โดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0; 0)
2) สำหรับค่าใดๆ xที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกัน ฉ(-x)=-ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด (0; 0)

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชั่น ปริทัศน์ ไม่เป็นคู่หรือคี่

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะถูกเรียกว่ามีขอบเขตถ้ามี a จำนวนบวก M เช่นนั้น |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบหากมีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นช่วงๆ (สูตรตรีโกณมิติ)

การทำงาน ฉเรียกว่าคาบหากมีตัวเลขเช่นนั้นสำหรับค่าใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ฉ(x-T)=ฉ(x+T). ตคือคาบของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคาบทุกฟังก์ชันมีจำนวนคาบไม่สิ้นสุด ในทางปฏิบัติมักจะพิจารณาช่วงเวลาที่เป็นบวกน้อยที่สุด

ค่าของฟังก์ชันคาบจะถูกทำซ้ำหลังจากช่วงเวลาเท่ากับคาบ ใช้เมื่อสร้างกราฟ

ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเป็นคุณสมบัติหลักอย่างหนึ่ง และความเท่าเทียมกันเป็นส่วนที่น่าประทับใจของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน โดยส่วนใหญ่จะกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่เกี่ยวข้อง

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันกัน โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันที่กำลังศึกษาจะได้รับการพิจารณาแม้ว่าค่าตรงข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความนั้นค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

เรามาให้คำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้กันดีกว่า พิจารณาฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D มันจะเป็นแม้ว่าจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความก็ตาม:

• -x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตนี้เช่นกัน

• ฉ(-x) = ฉ(x)

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าว กล่าวคือ สมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด เนื่องจากหากมีจุด b บางจุดอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของคู่ ฟังก์ชัน ดังนั้นจุด b ที่สอดคล้องกันก็อยู่ในโดเมนนี้ด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้น จึงสรุปได้ว่า ฟังก์ชันคู่มีรูปแบบสมมาตรเทียบกับแกนพิกัด (Oy)

จะตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

ปล่อยให้ระบุโดยใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ตามอัลกอริทึมที่ตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง เราจะตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความก่อน เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือเป็นไปตามเงื่อนไขแรก

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่ค่าตรงข้าม (-x) สำหรับอาร์กิวเมนต์ (x)
เราได้รับ:
ชั่วโมง(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการบวกเป็นไปตามกฎการสลับสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) จึงชัดเจนว่า h(-x) = h(x) และการพึ่งพาฟังก์ชันที่ให้มานั้นเป็นเลขคู่

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) ตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราจะได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x ลบออกในที่สุดเราก็มี
ชั่วโมง(-x)=-(11^x-11^(-x))=- ชั่วโมง(x) ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่ามีฟังก์ชันที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้ได้ เรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคู่ก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

• อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน พวกเขาได้ฟังก์ชั่นที่เท่ากัน
• อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• แม้กระทั่ง;
• อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• อันเป็นผลมาจากการคูณฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
• หากคุณยกกำลังสองฟังก์ชันคี่ คุณจะได้ฟังก์ชันคู่

ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันคู่ ก็จะเพียงพอที่จะหาคำตอบสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร รากผลลัพธ์ของสมการจะต้องรวมกับจำนวนที่ตรงกันข้าม หนึ่งในนั้นต้องได้รับการตรวจสอบ

นอกจากนี้ยังใช้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 จะมีสามรากหรือไม่

หากเราคำนึงว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ ก็ชัดเจนว่าการแทนที่ x ด้วย - x จะไม่เปลี่ยนสมการที่กำหนด ตามมาว่าหากจำนวนหนึ่งเป็นราก จำนวนตรงข้ามก็จะเป็นรากด้วย ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการที่แตกต่างจากศูนย์จะรวมอยู่ในชุดการแก้ปัญหาเป็น "คู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่ 0 นั่นคือจำนวนรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้นและโดยธรรมชาติแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์นั้นไม่สามารถมีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 สามารถเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ก็ได้ จริงๆ แล้ว เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเซตรากของสมการนี้มีคำตอบ "เป็นคู่" ลองตรวจสอบว่า 0 เป็นรูตหรือไม่ เมื่อเราแทนมันลงในสมการ เราจะได้ 2=2 ดังนั้นนอกเหนือจากค่าที่ "จับคู่" แล้ว 0 ยังเป็นรากซึ่งพิสูจน์เลขคี่อีกด้วย

ฟังก์ชันเรียกว่าคู่ (คี่) ถ้าสำหรับค่าใดๆ และความเท่าเทียมกัน

.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน
.

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 6.2ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่

1)
; 2)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อ
- เราจะพบ
.

เหล่านั้น.
- ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อใด

เหล่านั้น.
- ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นเลขคี่

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับ เช่น สำหรับ

,
- ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่ เรียกมันว่าฟังก์ชันรูปแบบทั่วไปกันดีกว่า

3. ศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจ

การทำงาน
เรียกว่าการเพิ่ม (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งหากในช่วงเวลานี้แต่ละค่าที่ใหญ่กว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่กว่า (น้อยกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าโมโนโทนิก

ถ้าฟังก์ชั่น
แยกแยะได้ในช่วงเวลา
และมีอนุพันธ์ที่เป็นบวก (ลบ)
จากนั้นฟังก์ชัน
เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลานี้

ตัวอย่างที่ 6.3- ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

1)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด ลองหาอนุพันธ์กัน

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ถ้า
และ
- ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนจำนวนหารด้วยจุด
,
เป็นระยะ ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

2) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ถ้า
หรือ

.

เรากำหนดเครื่องหมายของตรีโกณมิติกำลังสองในแต่ละช่วง

ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน

ลองหาอนุพันธ์กัน
,
, ถ้า
, เช่น.
, แต่
- ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา
.

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา
- ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา
.

4. ศึกษาการทำงานที่ส่วนปลาย

จุด
เรียกว่าจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน
ถ้ามีบริเวณใกล้จุดดังกล่าว นั่นสำหรับทุกคน
จากย่านนี้ความไม่เท่าเทียมกันก็มีอยู่

.

จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าจุดสุดขีด

ถ้าฟังก์ชั่น
ตรงจุด มีจุดสุดขีด ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของจุดสุดขีด)

จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่าวิกฤต

5. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว

กฎข้อที่ 1- หากในช่วงเปลี่ยนผ่าน (จากซ้ายไปขวา) ผ่านจุดวิกฤติ อนุพันธ์
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “–” จากนั้นถึงจุดนั้น การทำงาน
มีค่าสูงสุด; ถ้าจาก "–" ถึง "+" แสดงว่าค่าต่ำสุด ถ้า
ไม่เปลี่ยนป้ายก็ไม่มีสุดขั้ว

กฎข้อที่ 2- ให้ตรงจุด
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน
เท่ากับศูนย์
และมีอนุพันธ์อันดับสองอยู่และแตกต่างจากศูนย์ ถ้า
, ที่ – จุดสูงสุดหาก
, ที่ – จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 6.4 - สำรวจฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุด:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
.

ลองหาอนุพันธ์กัน
และแก้สมการ
, เช่น.
.จากที่นี่
– จุดวิกฤติ

ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา ,
.

เมื่อผ่านจุดต่างๆ
และ
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “–” เป็น “+” ดังนั้นตามกฎข้อ 1
– คะแนนขั้นต่ำ

เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "–" ดังนั้น
– จุดสูงสุด

,
.

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลา
- ลองหาอนุพันธ์กัน
.

แก้สมการได้แล้ว
เราจะพบ
และ
– จุดวิกฤติ ถ้าเป็นตัวส่วน
, เช่น.
แล้วอนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง ดังนั้น,
– จุดวิกฤติที่สาม ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา

ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุดที่จุด
, สูงสุดเป็นคะแนน
และ
.

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องถ้า
, เช่น. ที่
.

ลองหาอนุพันธ์กัน

.

มาหาจุดวิกฤติกัน:

บริเวณใกล้เคียงของจุด
ไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่ใช่สิ่งสุดขั้ว ลองตรวจสอบจุดวิกฤตกัน
และ
.

4) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
- ลองใช้กฎข้อ 2 ค้นหาอนุพันธ์
.

มาหาจุดวิกฤติกัน:

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
และกำหนดเครื่องหมายไว้ที่จุดต่างๆ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีขั้นต่ำ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีค่าสูงสุด

ซ่อนแสดง

วิธีการระบุฟังก์ชัน

ให้สูตรกำหนดฟังก์ชัน: y=2x^(2)-3 ด้วยการกำหนดค่าใด ๆ ให้กับตัวแปรอิสระ x คุณสามารถคำนวณโดยใช้สูตรนี้ซึ่งเป็นค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม y ตัวอย่างเช่น หาก x=-0.5 เมื่อใช้สูตร เราจะพบว่าค่าที่สอดคล้องกันของ y คือ y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5

จากค่าใดๆ ที่ได้รับจากอาร์กิวเมนต์ x ในสูตร y=2x^(2)-3 คุณสามารถคำนวณได้เพียงค่าเดียวของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับค่านั้น ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นตารางได้:

x	−2	−1	0	1	2	3
ย	−4	−3	−2	−1	0	1

เมื่อใช้ตารางนี้ คุณจะเห็นว่าสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ −1 ค่าฟังก์ชัน −3 จะสอดคล้องกัน และค่า x=2 จะสอดคล้องกับ y=0 เป็นต้น สิ่งสำคัญคือต้องทราบด้วยว่าค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าในตารางสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียวเท่านั้น

สามารถระบุฟังก์ชันเพิ่มเติมได้โดยใช้กราฟ การใช้กราฟจะกำหนดว่าค่าของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กับค่า x ที่กำหนด ส่วนใหญ่แล้ว ค่านี้จะเป็นค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชั่นคือ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นเมื่อ f(-x)=f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชั่นคือ ฟังก์ชั่นคี่เมื่อ f(-x)=-f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด O (0;0)

ฟังก์ชั่นคือ ไม่ได้ด้วยซ้ำ, ไม่แปลกและถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่นทั่วไปเมื่อไม่มีความสมมาตรรอบแกนหรือจุดกำเนิด

ให้เราตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้เพื่อความเท่าเทียมกัน:

ฉ(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) โดยมีโดเมนสมมาตรที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ฉ(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -ฉ(x).

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f(x)=3x^(3)-7x^(7) เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันคาบ

ฟังก์ชัน y=f(x) ในโดเมนที่ความเท่าเทียมกัน f(x+T)=f(x-T)=f(x) ถือสำหรับ x ใดๆ เรียกว่า ฟังก์ชั่นเป็นระยะโดยมีจุด T \neq 0

การทำซ้ำกราฟของฟังก์ชันบนส่วนใดๆ ของแกน x ที่มีความยาว T

ช่วงที่ฟังก์ชันเป็นบวก นั่นคือ f(x) > 0 คือส่วนของแกนแอบซิสซาที่สอดคล้องกับจุดของกราฟฟังก์ชันซึ่งอยู่เหนือแกนแอบซิสซา

f(x) > 0 เปิด (x_(1); x_(2)) \ถ้วย (x_(3); +\infty)

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นลบ นั่นคือ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

ฉ(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ถ้วย (x_(2); x_(3))

ฟังก์ชั่นจำกัด

กั้นจากด้านล่างเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีตัวเลข A ซึ่ง f(x) \geq A ใช้สำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตจากด้านล่าง: y=\sqrt(1+x^(2)) เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 สำหรับ x ใดๆ

ล้อมรอบจากด้านบนฟังก์ชัน y=f(x), x \in X ถูกเรียกเมื่อมีตัวเลข B ซึ่ง f(x) \neq B มีค่าไม่เท่ากันสำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 สำหรับใด ๆ x \in [-1;1]

ถูก จำกัดเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีจำนวน K > 0 ซึ่งค่าอสมการ \left | ฉ(x)\ขวา | \neq K สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันจำกัด: y=\sin x ถูกจำกัดบนแกนจำนวนทั้งหมด เนื่องจาก \ซ้าย | \บาป x \right | \neq1.

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่พิจารณาเป็น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจากนั้น เมื่อค่า x ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน y=f(x) ตามมาว่าการรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) จากช่วงเวลาที่พิจารณาด้วย x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1)) > ใช่(x_(2))

ฟังก์ชันที่ลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณาเรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อค่า x ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) ตามมาว่าเมื่อพิจารณาจากช่วงเวลาภายใต้การพิจารณาค่าสองค่าโดยพลการของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) และ x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1))< y(x_{2}) .

รากของฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดที่ฟังก์ชัน F=y(x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y(x)=0)

a) ถ้า x > 0 ฟังก์ชันคู่เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันคู่จะลดลงสำหรับ x< 0

b) เมื่อฟังก์ชันเลขคู่ลดลงที่ x > 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่ x< 0

c) เมื่อฟังก์ชันคี่เพิ่มขึ้นที่ x > 0 ก็จะเพิ่มขึ้นที่ x ด้วย< 0

d) เมื่อฟังก์ชันคี่ลดลงสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันก็จะลดลงสำหรับ x ด้วย< 0

สุดขีดของฟังก์ชัน

จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งย่านใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) > f จะเป็น พอใจ (x_(0)) . y_(นาที) - การกำหนดฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด

จุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) จะเป็นที่น่าพอใจ< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: f"(x)=0 เมื่อฟังก์ชัน f(x) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_(0) จะมีจุดสุดโต่ง ณ จุดนี้

สภาพที่เพียงพอ

1. เมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แล้ว x_(0) จะเป็นจุดต่ำสุด
2. x_(0) - จะเป็นจุดสูงสุดเฉพาะเมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดที่นิ่ง x_(0) .

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ขั้นตอนการคำนวณ:

1. ค้นหาอนุพันธ์ f"(x);
2. พบจุดคงที่และจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดที่อยู่ในส่วนนั้น
3. ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ที่จุดคงที่และจุดวิกฤตและส่วนปลายของเซ็กเมนต์ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่น, และอื่น ๆ - ที่ใหญ่ที่สุด.