แทนเจนต์ย้อนกลับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน- เหล่านี้คืออาร์คไซน์, อาร์กโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์

ก่อนอื่นเรามาให้คำจำกัดความกันก่อน

อาร์คไซน์หรือ เราสามารถบอกได้ว่านี่คือมุมที่อยู่ในส่วนที่เป็นไซน์ เท่ากับจำนวนก.

โคไซน์ส่วนโค้งหมายเลข a เรียกว่าตัวเลขเช่นนั้น

อาร์คแทนเจนต์หมายเลข a เรียกว่าตัวเลขเช่นนั้น

อาร์คโคแทนเจนต์หมายเลข a เรียกว่าตัวเลขเช่นนั้น

มาดูรายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันใหม่สี่ฟังก์ชันนี้กันดีกว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

จำไว้ว่าเราเคยเจอกันแล้ว

เช่น เลขคณิต รากที่สองจากตัวเลข a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a

ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a คือตัวเลข c เช่นนั้น

โดยที่

เราเข้าใจว่าทำไมนักคณิตศาสตร์จึงต้อง "ประดิษฐ์" ฟังก์ชันใหม่ๆ ตัวอย่างเช่น การแก้สมการคือ และ เราไม่สามารถเขียนมันลงไปได้หากไม่มีสัญลักษณ์รากที่สองทางคณิตศาสตร์พิเศษ

แนวคิดของลอการิทึมกลายเป็นสิ่งจำเป็นในการเขียนคำตอบเช่นสมการดังกล่าว: การแก้สมการนี้คือ จำนวนอตรรกยะนี่คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก 2 ถึงได้ 7

มันเหมือนกันกับสมการตรีโกณมิติ เช่น เราต้องการแก้สมการ

เห็นได้ชัดว่าคำตอบของมันสอดคล้องกับจุดบนวงกลมตรีโกณมิติซึ่งมีพิกัดเท่ากับ และชัดเจนว่านี่ไม่ใช่ค่าตารางของไซน์ จะเขียนวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร?

ที่นี่เราไม่สามารถทำอะไรได้หากไม่มีฟังก์ชันใหม่ ซึ่งแสดงถึงมุมที่มีไซน์เท่ากับ หมายเลขที่กำหนดก. ใช่ทุกคนเดาได้แล้ว นี่คืออาร์คซีน

มุมที่เป็นของเซกเมนต์ที่มีไซน์เท่ากันคืออาร์คไซน์ของหนึ่งในสี่ และนี่หมายความว่าชุดคำตอบของสมการของเราที่ตรงกับจุดที่ถูกต้องบนวงกลมตรีโกณมิติคือ

และคำตอบชุดที่สองของสมการของเราคือ

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา สมการตรีโกณมิติ - .

ยังคงต้องรอดูต่อไป - เหตุใดคำจำกัดความของอาร์คไซน์จึงระบุว่านี่คือมุมที่เป็นของกลุ่ม?

ความจริงก็คือว่ามีหลายมุมที่ไม่สิ้นสุดซึ่งมีไซน์เท่ากับ ตัวอย่างเช่น . เราต้องเลือกหนึ่งในนั้น เราเลือกอันที่อยู่ในเซ็กเมนต์

ลองดูที่วงกลมตรีโกณมิติ คุณจะเห็นว่าในแต่ละส่วนแต่ละมุมสอดคล้องกับค่าไซน์ที่แน่นอนและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น และในทางกลับกัน ค่าใดๆ ของไซน์จากเซกเมนต์จะสอดคล้องกัน ความหมายเดียวมุมบนส่วน ซึ่งหมายความว่าในส่วนคุณสามารถกำหนดฟังก์ชันโดยรับค่าจากถึงได้

ทำซ้ำคำจำกัดความอีกครั้ง:

อาร์คไซน์ของตัวเลขคือตัวเลข , ดังนั้น

การกำหนด: พื้นที่คำจำกัดความอาร์กซีนคือเซ็กเมนต์

คุณคงจำวลีที่ว่า “arcsines live on the right” ได้ อย่าลืมว่ามันไม่ได้อยู่ทางขวาเท่านั้น แต่ยังอยู่ในเซ็กเมนต์ด้วย

เราพร้อมที่จะสร้างกราฟฟังก์ชันแล้ว

ตามปกติเราจะพล็อตค่า x บนแกนนอนและค่า y บนแกนตั้ง

เพราะเหตุนั้น x จึงอยู่ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง 1

ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = arcsin x คือเซกเมนต์

เราบอกว่า y อยู่ในกลุ่ม ซึ่งหมายความว่าช่วงของค่าของฟังก์ชัน y = arcsin x คือส่วน

โปรดทราบว่ากราฟของฟังก์ชัน y=arcsinx จะพอดีภายในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น และ

เช่นเคยเมื่อพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคย เรามาเริ่มกันที่ตารางกันก่อน

ตามคำนิยาม อาร์คไซน์ของศูนย์คือตัวเลขจากส่วนที่ไซน์มีค่าเท่ากับศูนย์ หมายเลขนี้คืออะไร? - เห็นได้ชัดว่านี่คือศูนย์

ในทำนองเดียวกัน อาร์คไซน์ของ 1 คือตัวเลขจากส่วนที่ไซน์มีค่าเท่ากับ 1 เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้

เราดำเนินการต่อ: - นี่คือตัวเลขจากส่วนที่มีไซน์เท่ากับ . ใช่แล้ว

			0
			0

การสร้างกราฟของฟังก์ชัน

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1. ขอบเขตคำจำกัดความ

2. ช่วงของค่า

3. กล่าวคือ ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

4. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ของเธอ ค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับ - บรรลุได้ที่ และค่าสูงสุดเท่ากับ , ที่

5. กราฟของฟังก์ชัน และ ? คุณไม่คิดว่าพวกมัน "ถูกสร้างขึ้นตามรูปแบบเดียวกัน" - เช่นเดียวกับสาขาด้านขวาของฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชัน หรือเหมือนกับกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

ลองนึกภาพว่าเราตัดส่วนเล็กๆ จากหนึ่งไปอีกหนึ่งจากคลื่นไซน์ธรรมดา แล้วหมุนเป็นแนวตั้ง - แล้วเราจะได้กราฟอาร์คไซน์

สิ่งที่สำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลานี้คือค่าของอาร์กิวเมนต์ จากนั้นสำหรับอาร์กไซน์จะมีค่าของฟังก์ชัน ควรจะเป็นเช่นนั้น! ท้ายที่สุดแล้ว ไซน์และอาร์คไซน์เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ตัวอย่างอื่นๆ ของคู่ของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันคือ at และ เช่นเดียวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

โปรดจำไว้ว่ากราฟของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดฟังก์ชัน เราต้องการเพียงส่วนที่แต่ละค่าของมุมสอดคล้องกับค่าโคไซน์ของมันเอง และเมื่อรู้โคไซน์ เราก็จะสามารถหามุมได้โดยไม่ซ้ำกัน ส่วนจะเหมาะกับเรา

โคไซน์ส่วนโค้งของตัวเลขคือตัวเลข , ดังนั้น

ง่ายต่อการจดจำ: “โคไซน์ส่วนโค้งอาศัยอยู่จากด้านบน” และไม่ใช่แค่จากด้านบนเท่านั้น แต่อยู่บนเซ็กเมนต์ด้วย

การกำหนด: พื้นที่คำจำกัดความส่วนโค้งคือส่วน

เห็นได้ชัดว่าเซ็กเมนต์ถูกเลือกเพราะค่าโคไซน์แต่ละค่าจะถูกใช้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าโคไซน์แต่ละค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 สอดคล้องกับค่ามุมเดียวจากช่วงเวลา

อาร์คโคไซน์ไม่เป็นคู่หรือ ฟังก์ชั่นคี่- แต่เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ที่ชัดเจนดังต่อไปนี้:

ลองพลอตฟังก์ชันกัน

เราต้องการส่วนของฟังก์ชันที่เป็นแบบโมโนโทนิก กล่าวคือ จะใช้แต่ละค่าเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เรามาเลือกส่วนกัน ในส่วนนี้ ฟังก์ชันจะลดลงแบบซ้ำซาก นั่นคือ ความสอดคล้องระหว่างชุดเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ค่า x แต่ละค่ามีค่า y ที่สอดคล้องกัน ในส่วนนี้มีฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์ นั่นคือฟังก์ชัน y = arccosx

มาเติมตารางโดยใช้คำจำกัดความของอาร์คโคไซน์กันดีกว่า

โคไซน์ส่วนโค้งของตัวเลข x ที่อยู่ในช่วงนั้นจะเป็นตัวเลข y ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

ซึ่งหมายความว่า เนื่องจาก ;

เพราะ ;

เพราะ ,

			0
					0

นี่คือกราฟโคไซน์ส่วนโค้ง:

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1. ขอบเขตคำจำกัดความ

2. ช่วงของค่า

ฟังก์ชั่นนี้ ปริทัศน์- ไม่เป็นคู่หรือคี่

4. ฟังก์ชั่นลดลงอย่างมาก มูลค่าสูงสุดเท่ากับ ฟังก์ชัน y = arccosx รับที่ และค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับศูนย์รับที่

5. ฟังก์ชันและมีการผกผันซึ่งกันและกัน

อันถัดไปคืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์

อาร์กแทนเจนต์ของตัวเลขคือตัวเลข , ดังนั้น

การกำหนด: . พื้นที่นิยามของอาร์กแทนเจนต์คือช่วงเวลา

เหตุใดจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา - จุด - ไม่รวมอยู่ในคำจำกัดความของอาร์กแทนเจนต์ แน่นอน เนื่องจากไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้ ไม่มีจำนวนใดที่เท่ากับแทนเจนต์ของมุมใดๆ เหล่านี้

มาสร้างกราฟของอาร์กแทนเจนต์กันดีกว่า ตามคำจำกัดความ อาร์กแทนเจนต์ของตัวเลข x คือตัวเลข y ที่อยู่ในช่วงค่านั้น

วิธีสร้างกราฟชัดเจนอยู่แล้ว เนื่องจากอาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ เราจึงดำเนินการดังนี้:

เราเลือกส่วนของกราฟของฟังก์ชันโดยที่ความสอดคล้องระหว่าง x และ y เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง นี่คือช่วงเวลา C ในส่วนนี้ฟังก์ชันจะใช้ค่าจากถึง

จากนั้นฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันมีโดเมนของคำจำกัดความซึ่งจะเป็นเส้นจำนวนทั้งหมดจากถึงและช่วงของค่าจะเป็นช่วง

วิธี,

แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับค่า x ที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด? กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันนี้มีพฤติกรรมอย่างไรเมื่อ x มีแนวโน้มบวกอนันต์?

เราสามารถถามตัวเองด้วยคำถาม: ค่าแทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์สำหรับจำนวนใดในช่วงเวลา? - เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้

ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่า x ที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดกราฟอาร์กแทนเจนต์จะเข้าใกล้เส้นกำกับแนวนอน

ในทำนองเดียวกัน ถ้า x เข้าใกล้ลบอนันต์ กราฟอาร์กแทนเจนต์จะเข้าใกล้เส้นกำกับแนวนอน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1. ขอบเขตคำจำกัดความ

2. ช่วงของค่า

3. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

4. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด

6. ฟังก์ชันและเป็นสิ่งที่ผกผันร่วมกัน - แน่นอนเมื่อพิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลา

ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันและเขียนกราฟของมัน

อาร์คโคแทนเจนต์ของตัวเลขคือตัวเลข , ดังนั้น

กราฟฟังก์ชัน:

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1. ขอบเขตคำจำกัดความ

2. ช่วงของค่า

3. ฟังก์ชันมีรูปแบบทั่วไป นั่นคือ ไม่เป็นคู่หรือคี่

4. ฟังก์ชั่นลดลงอย่างมาก

5. เส้นกำกับโดยตรงและ - แนวนอนของฟังก์ชันนี้

6. ฟังก์ชัน และ จะผกผันร่วมกันหากพิจารณาในช่วงเวลา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน(ฟังก์ชันวงกลม ฟังก์ชันส่วนโค้ง) - ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โดยปกติจะประกอบด้วย 6 ฟังก์ชั่น:

อาร์คซีน(ชื่อ: อาร์คซิน x; อาร์คซิน x- นี่คือมุม บาปซึ่งเท่ากับ x),
อาร์คโคซีน(ชื่อ: อาร์คคอส x; อาร์คคอส xคือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ xและอื่นๆ)
อาร์กแทนเจนต์(ชื่อ: อาร์คแทน เอ็กซ์หรือ อาร์คแทน เอ็กซ์),
อาร์คโคแทนเจนต์(ชื่อ: อาร์คซีจี xหรือ อาร์คคอต xหรือ อาร์คโคแทน เอ็กซ์),
ลึกลับ(ชื่อ: อาร์คเซค x),
อาร์คโคซีแคนต์(ชื่อ: อาร์คโคเซค xหรือ อาร์คซีซี x).

อาร์คซีน (y = อาร์คซิน x) - ฟังก์ชันผกผันถึง บาป (x = บาป y - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่งคืนค่ามุมตามค่าของมัน บาป.

โคไซน์ส่วนโค้ง (y = อาร์คคอส x) - ฟังก์ชันผกผันถึง เพราะ (x = เพราะ y เพราะ.

อาร์คแทนเจนต์ (y = อาร์คแทน x) - ฟังก์ชันผกผันถึง ทีจี (x = แทน y) ซึ่งมีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่งคืนค่ามุมตามค่าของมัน ทีจี.

อาร์คโคแทนเจนต์ (y = ส่วนโค้ง x) - ฟังก์ชันผกผันถึง กะรัต (x = cotg y) ซึ่งมีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่งคืนค่ามุมตามค่าของมัน กะรัต.

อาร์คเซค- อาร์คเซแคนต์ ส่งคืนค่ามุมตามค่าของเซแคนต์ของมัน

อาร์คโคเซค- อาร์คโคซีแคนต์ ส่งกลับค่ามุมตามค่าของโคซีแคนต์

เมื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดที่ระบุ ค่าของมันจะไม่ปรากฏในตารางสุดท้าย ฟังก์ชั่น อาร์คเซคและ อาร์คโคเซคไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในส่วน (-1,1) แต่ อาร์คซินและ อาร์คคอสถูกกำหนดเฉพาะในช่วงเวลา [-1,1] เท่านั้น

ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเกิดขึ้นจากชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันโดยเพิ่มคำนำหน้า "arc-" (จาก Lat. ส่วนโค้ง เรา- ส่วนโค้ง) นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในเชิงเรขาคณิต ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสัมพันธ์กับความยาวของส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย (หรือมุมที่สนับสนุนส่วนโค้งนี้) ซึ่งสอดคล้องกับส่วนใดส่วนหนึ่งหรืออีกส่วนหนึ่ง

บางครั้งเข้า วรรณกรรมต่างประเทศเช่นเดียวกับเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์ ให้ใช้สัญลักษณ์ เช่น บาป−1, คอส−1สำหรับอาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ และอื่นๆ ถือว่าไม่ถูกต้องทั้งหมด เนื่องจาก มีแนวโน้มที่จะสับสนกับการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง −1 (« −1 » (ลบยกกำลังแรก) กำหนดฟังก์ชัน x = ฉ -1 (ย), ฟังก์ชันผกผัน ย = ฉ(x)).

ความสัมพันธ์พื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับช่วงเวลาที่สูตรถูกต้อง

สูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ให้เราแสดงค่าใด ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดย อาร์คซิน x, อาร์คคอส เอ็กซ์, อาร์คแทน x, อาร์คคอต xและเก็บสัญกรณ์ไว้: อาร์คซิน x, อาร์คอส x, อาร์คแทน เอ็กซ์, อาร์คคอต xสำหรับค่านิยมหลักของพวกเขา ความเชื่อมโยงระหว่างพวกเขาจะแสดงออกโดยความสัมพันธ์ดังกล่าว

ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักนำเสนอในการสอบปลายภาคของโรงเรียนและในการสอบเข้าในมหาวิทยาลัยบางแห่ง การศึกษาโดยละเอียดของหัวข้อนี้สามารถทำได้เฉพาะในวิชาเลือกหรือ วิชาเลือก- หลักสูตรที่นำเสนอนี้ออกแบบมาเพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนแต่ละคนอย่างเต็มที่เท่าที่จะเป็นไปได้ และปรับปรุงการเตรียมการทางคณิตศาสตร์ของเขา

หลักสูตรนี้ใช้เวลา 10 ชั่วโมง:

1.ฟังก์ชัน arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ชั่วโมง)

2.การดำเนินการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (4 ชั่วโมง)

3. การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ (2 ชั่วโมง)

บทที่ 1 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชัน y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x

เป้าหมาย: ครอบคลุมประเด็นนี้โดยสมบูรณ์

1.ฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

a) สำหรับฟังก์ชัน y = sin x บนเซกเมนต์จะมีฟังก์ชันผกผัน (ค่าเดียว) ซึ่งเราตกลงที่จะเรียกอาร์คไซน์และแสดงว่ามันเป็นดังนี้: y = arcsin x กราฟของฟังก์ชันผกผันจะสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันหลักเทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด I - III

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

1) โดเมนของคำจำกัดความ: เซ็กเมนต์ [-1; 1];

2)ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลง: ส่วน;

3)ฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x คี่: อาร์คซิน (-x) = - อาร์คซิน x;

4) ฟังก์ชัน y = arcsin x เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

5) กราฟตัดแกน Ox, Oy ที่จุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา a = arcsin ตัวอย่างนี้สามารถกำหนดรายละเอียดได้ดังนี้ หาข้อโต้แย้ง a ซึ่งอยู่ในช่วงจากถึงซึ่งมีไซน์เท่ากับ

สารละลาย. มีอาร์กิวเมนต์จำนวนนับไม่ถ้วนที่มีไซน์เท่ากับ ตัวอย่างเช่น: ฯลฯ แต่เราสนใจเฉพาะข้อโต้แย้งที่อยู่ในส่วนนั้นเท่านั้น นี่จะเป็นข้อโต้แย้ง ดังนั้น, .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา .สารละลาย.เราได้รับข้อโต้แย้งในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่ 1 .

b) การออกกำลังกายในช่องปาก ค้นหา: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0 ตัวอย่างคำตอบ: , เพราะ - นิพจน์สมเหตุสมผลหรือไม่: ; อาร์คซิน 1.5; ?

c) จัดเรียงจากน้อยไปหามาก: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9

ครั้งที่สอง ฟังก์ชัน y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (คล้ายกัน)

บทที่ 2 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน, กราฟ

เป้าหมาย: เปิด บทเรียนนี้จำเป็นต้องพัฒนาทักษะในการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในการสร้างกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้ D (y), E (y) และการแปลงที่จำเป็น

ในบทเรียนนี้ แบบฝึกหัดทั้งหมดประกอบด้วยการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ โดเมนของค่าของฟังก์ชันประเภท: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos

คุณควรสร้างกราฟของฟังก์ชัน: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 อาร์คซิน 2x; c) y = อาร์คซิน;

d) y = อาร์คซิน; e) y = อาร์คซิน; e) y = อาร์คซิน; ก) y = | อาร์คซิน | -

ตัวอย่าง.เรามาพลอต y = arcco กัน

คุณสามารถรวมแบบฝึกหัดต่อไปนี้ในการบ้านของคุณ: สร้างกราฟของฟังก์ชัน: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | -

กราฟของฟังก์ชันผกผัน

บทเรียนที่ 3 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ:
การดำเนินการเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เป้าหมาย: เพื่อขยายความรู้ทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับผู้ที่เข้าสู่สาขาวิชาพิเศษและมีข้อกำหนดที่เพิ่มขึ้นสำหรับการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์) โดยแนะนำความสัมพันธ์พื้นฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

วัสดุสำหรับบทเรียน

การดำเนินการตรีโกณมิติอย่างง่ายบางอย่างในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน: บาป (อาร์คซิน x) = x, ฉัน xi ? 1; cos (arсcos x) = x, ฉัน xi? 1; tg (arctg x)= x , x IR; กะรัต (arcctg x) = x , x I R

การออกกำลังกาย.

ก) tg (1.5 + ส่วนโค้ง 5) = - ctg (ส่วนโค้ง 5) = .

CTG (ส่วนโค้ง x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6) ให้ arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6;

cos (อาร์คซิน x) = ; บาป (อาร์คคอส x) = .

หมายเหตุ: เราใช้เครื่องหมาย “+” ที่ด้านหน้าของรูทเพราะ a = arcsin x พอใจ

c) บาป (1.5 + อาร์คซิน) คำตอบ: ;

d) ctg ( + arctg 3) คำตอบ: ;

จ) tg ( – arcctg 4) คำตอบ: .

จ) cos (0.5 + อาร์คคอส) คำตอบ: .

คำนวณ:

ก) บาป (2 อาร์คแทน 5) .

ให้ arctan 5 = a แล้ว sin 2 a = หรือบาป (2 อาร์คแทน 5) = ;

b) cos ( + 2 อาร์คซิน 0.8) คำตอบ: 0.28

ค) ส่วนโค้ง + ส่วนโค้ง

ให้ a = อาร์กแทน, b = อาร์กแทน

จากนั้น tg(a + b) = .

d) บาป(อาร์คซิน + อาร์คซิน)

e) พิสูจน์ว่าสำหรับทุกคน x ฉัน [-1; 1] อาร์คซิน x + อาร์คคอส x = จริง

การพิสูจน์:

อาร์คซิน x = – อาร์คคอส x

บาป (อาร์คซิน x) = บาป ( – อาร์คคอส x)

x = คอส (อาร์คคอส x)

วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:บาป (อาร์คคอส), คอส (อาร์คซิน), คอส (อาร์คซิน ()), บาป (อาร์คท์จี (- 3)), tg (อาร์คคอส), กะรัต (อาร์คคอส)

สำหรับ วิธีแก้ปัญหาบ้าน: 1) บาป (อาร์คซิน 0.6 + อาร์กแทน 0); 2) อาร์คซิน + อาร์คซิน ; 3) CTG ( – อาร์คคอส 0.6); 4) cos (2 ส่วนโค้ง 5) ; 5) บาป (1.5 – อาร์คซิน 0.8); 6) ส่วนโค้ง 0.5 – ส่วนโค้ง 3

บทเรียนที่ 4 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: การดำเนินการเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เป้าหมาย: ในบทเรียนนี้ สาธิตการใช้อัตราส่วนในการแปลงนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

วัสดุสำหรับบทเรียน

ปากเปล่า:

ก) บาป (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (ส่วนโค้ง 5), ctg (ส่วนโค้ง 5);

ค) บาป (arctg -3), cos (arcсtg());

ง) tg (อาร์คคอส), ctg (อาร์คคอส())

เป็นลายลักษณ์อักษร:

1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน + อาร์คซิน)

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg ( - อาร์คซิน 0.6) = - tg (อาร์คซิน 0.6) =

งานอิสระจะช่วยระบุระดับความเชี่ยวชาญของเนื้อหา

1) tg (อาร์กต์จี 2 – อาร์กต์จี)

2) คอส( - อาร์กแทน2)

3) อาร์คซิน + อาร์คคอส

1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน)

2) บาป (1.5 - อาร์คแทน 3)

3) arcctg3 – ส่วนโค้ง 2

สำหรับ การบ้านเราสามารถแนะนำ:

1) CTG (อาร์คท์จี + อาร์คท์จี + อาร์คท์จี); 2) บาป 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) บาป (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) บาป(2 อาร์คแทน); 5) tg ( (อาร์ซิน ))

บทเรียนที่ 5 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เป้าหมาย: เพื่อสร้างความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับการดำเนินการตรีโกณมิติผกผันในฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยมุ่งเน้นที่การเพิ่มความเข้าใจในทฤษฎีที่กำลังศึกษา

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ถือว่าปริมาณเนื้อหาทางทฤษฎีที่จะท่องจำนั้นมีจำกัด

สื่อการสอน:

คุณสามารถเริ่มเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ ได้โดยศึกษาฟังก์ชัน y = arcsin (sin x) และวาดกราฟของมัน

3. แต่ละ x I R เกี่ยวข้องกับ y I เช่น<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่: sin(-x) = - sin x; อาร์คซิน(บาป(-x)) = - อาร์คซิน(บาป x)

6. กราฟ y = arcsin (sin x) บน:

ก) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ข)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

บาป y = บาป ( – x) = บาป x , 0<= - x <= .

ดังนั้น,

หลังจากสร้าง y = arcsin (sin x) บนแล้ว เราจะดำเนินการต่ออย่างสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดบน [- ; 0] เมื่อพิจารณาจากความแปลกของฟังก์ชันนี้ เมื่อใช้คาบ เราจะดำเนินต่อไปตามเส้นจำนวนทั้งหมด

จากนั้นเขียนความสัมพันธ์บางอย่าง: อาร์คซิน (sin a) = a ถ้า<= a <= ; arccos (cos ก ) = ก ถ้า 0<= a <= - arctg (tg a) = a ถ้า< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

และทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้:a) arccos(บาป 2).ตอบ: 2 - ; b) อาร์คซิน (cos 0.6) คำตอบ: - 0.1; c) arctg (tg 2) คำตอบ: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6) ตอบ: 0.9; จ) อาร์คคอส (cos ( - 2)) คำตอบ: 2 - ; e) อาร์คซิน (บาป ( - 0.6)) คำตอบ: - 0.6; ก.) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )) ตอบ: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6) คำตอบ: - 0.6; - อาร์คแทน x; จ) อาร์คคอส + อาร์คคอส

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นแบบคาบ ฟังก์ชันผกผันจึงไม่ซ้ำกัน ดังนั้นสมการ y = บาป xสำหรับค่าที่กำหนด มีรากมากมายนับไม่ถ้วน อันที่จริง เนื่องจากคาบของไซน์ ถ้า x เป็นรากเช่นนั้น ก็เป็นอย่างนั้น x + 2πn(โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม) จะเป็นรากของสมการด้วย ดังนั้น, ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมีหลายค่า- เพื่อให้ง่ายต่อการทำงานร่วมกับพวกเขาจึงมีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับความหมายหลักของพวกเขา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาไซน์: y = บาป x- บาป xหากเรา จำกัด อาร์กิวเมนต์ x ไว้ที่ช่วงเวลา จากนั้นฟังก์ชัน y = เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่าย ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันเฉพาะซึ่งเรียกว่าอาร์กไซน์: x =.

อาร์คซิน วาย

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เราหมายถึงค่าหลักซึ่งถูกกำหนดโดยคำจำกัดความต่อไปนี้ อาร์คไซน์ ( ย =อาร์คซิน x ) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ ( x=
บาป อาร์คไซน์ ( อาร์คโคไซน์ (อาร์คคอส x ) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ ( ) คือฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ (อบอุ่นสบาย
) มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า อาร์คไซน์ ( อาร์กแทนเจนต์ (อาร์คแทน เอ็กซ์ ) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ ( ) คือฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ (อบอุ่นสบาย
ใช่ อาร์คไซน์ ( อาร์คโคแทนเจนต์ (อาร์คซีจี x ) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ ( ) คือฟังก์ชันผกผันของโคแทนเจนต์ (กะรัต

) มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

อาร์คไซน์ ( ย =

อาร์คไซน์ ( อาร์คโคไซน์ (

อาร์คไซน์ ( อาร์กแทนเจนต์ (

อาร์คไซน์ ( อาร์คโคแทนเจนต์ (

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้มาจากกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยการสะท้อนกระจกเทียบกับเส้นตรง y = x ดูหัวข้อ ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่คุณควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับช่วงเวลาที่สูตรถูกต้องอาร์คซิน(บาป x) = x
ที่
บาป(อาร์คซิน x) = xอาร์คซิน(บาป x) = x
ส่วนโค้ง(cos x) = x

cos(อาร์คคอส x) = xอาร์คซิน(บาป x) = x
อาร์คแทน(tg x) = x
tg(อาร์คท์จี x) = xอาร์คซิน(บาป x) = x
arcctg(ctg x) = x

CTG(อาร์ซีทีจี x) = x

สูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ดูสิ่งนี้ด้วย:

ที่มาของสูตรสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สูตรผลรวมและผลต่าง

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่
อ้างอิง:

ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

09.07.2015 8936 0

บทที่ 32-33 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เป้า:

พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและการนำไปใช้ในการเขียนคำตอบของสมการตรีโกณมิติ

I. การสื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

มาเริ่มการสนทนาในหัวข้อนี้ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1มาแก้สมการกัน:

ก) บาป x = 1/2; b) บาป x = กก) บนแกนพิกัด เราพล็อตค่า 1/2 และสร้างมุม x1และ x2 ซึ่ง บาป xก) บนแกนพิกัด เราพล็อตค่า 1/2 และสร้างมุม = 1/2. ในกรณีนี้ x1 + x2 = π โดยที่ x2 = π –- เมื่อใช้ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเราจะพบค่า x1 = π/6 จากนั้นลองคำนึงถึงคาบของฟังก์ชันไซน์แล้วเขียนคำตอบของสมการนี้:

โดยที่ k ∈ Zบาป x = a เหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า แน่นอนว่าตอนนี้ค่า a ถูกพล็อตไปตามแกนพิกัด มีความจำเป็นต้องกำหนดมุม x1 ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เราตกลงที่จะแทนมุมนี้ด้วยสัญลักษณ์อาร์คซิน ก. จากนั้นสามารถเขียนคำตอบของสมการนี้ได้ในรูปแบบสองสูตรนี้สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว:สิ่งนั้น

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่เหลือถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกัน

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องกำหนดขนาดของมุมจากค่าที่ทราบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ปัญหาดังกล่าวมีหลายค่า - มีมุมจำนวนนับไม่ถ้วนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีค่าเท่ากับค่าเดียวกัน ดังนั้น ขึ้นอยู่กับความน่าเบื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จึงมีการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันต่อไปนี้เพื่อกำหนดมุมโดยเฉพาะ

อาร์กไซน์ของจำนวน a (อาร์คซิน ซึ่งมีไซน์เท่ากับ a นั่นคือ

โคไซน์ส่วนโค้งของตัวเลขเอ(อาร์คคอส ก) คือมุม a จากช่วงเวลาที่โคไซน์เท่ากับ a นั่นคือ

อาร์กแทนเจนต์ของตัวเลขก(arctg ก) - มุมดังกล่าว a จากช่วงเวลาซึ่งแทนเจนต์เท่ากับ a นั่นคือทีจีเอ = ก.

อาร์คโคแทนเจนต์ของจำนวนก(arcctg a) คือมุม a จากช่วงเวลา (0; π) ซึ่งโคแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a นั่นคือซีทีจี ก = ก

ตัวอย่างที่ 2

มาหากัน:

เมื่อคำนึงถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 3

มาคำนวณกัน

ให้มุม a = อาร์คซิน 3/5 แล้วตามคำจำกัดความบาป = 3/5 และ - ดังนั้นเราจึงต้องหาเพราะ ก. เมื่อใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เราจะได้:นำมาพิจารณาว่า cos a ≥ 0 ดังนั้น

คุณสมบัติฟังก์ชัน	การทำงาน
คุณสมบัติฟังก์ชัน	y = อาร์คซิน x	y = อาร์คคอส x	y = อาร์คแทน x	y = ส่วนโค้ง x
โดเมน	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
ช่วงของค่า	y ∈ [ -π/2 ; พาย /2 ]	ใช่ ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
ความเท่าเทียมกัน	แปลก	ไม่มีคู่หรือคี่	แปลก	ไม่มีคู่หรือคี่
ฟังก์ชันศูนย์ (y = 0)	ที่ x = 0	ที่ x = 1	ที่ x = 0	ใช่ ≠ 0
ช่วงของความคงตัวของสัญญาณ	y > 0 สำหรับ x ∈ (0; 1], ที่< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 สำหรับ x ∈ [-1; 1)	y > 0 สำหรับ x ∈ (0; +∞) ที่< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 สำหรับ x ∈ (-∞; +∞)
โมโนโทน	เพิ่มขึ้น	จากมากไปน้อย	เพิ่มขึ้น	จากมากไปน้อย
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ	บาป y = x	เพราะ y = x	ทีจี วาย = x	ซีทีจี y = x
กำหนดการ

ให้เรายกตัวอย่างทั่วไปจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างที่ 4

ลองหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกัน

ในการที่จะนิยามฟังก์ชัน y ได้ จำเป็นต้องตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเทียบเท่ากับระบบอสมการวิธีแก้ของอสมการแรกคือช่วง x∈ (-∞; +∞) วินาที -ช่วงนี้ และเป็นคำตอบของระบบอสมการและเป็นขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 5

ลองหาพื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันกัน

ลองพิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชันดู z = 2x - x2 (ดูรูป)

ชัดเจนว่า z ∈ (-∞; 1] โดยพิจารณาว่าข้อโต้แย้งนั้น z ฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์จะแตกต่างกันไปภายในขีดจำกัดที่ระบุ จากข้อมูลในตารางที่เราได้รับดังนั้นพื้นที่แห่งการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างที่ 6

ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน y =อาร์คจี x คี่ อนุญาตจากนั้น tg a = -x หรือ x = - tg a = tg (- a) และ ดังนั้น - a = ส่วนโค้ง x หรือ a = - ส่วนโค้ง เอ็กซ์ ดังนั้นเราจึงเห็นว่านั่นคือ y(x) เป็นฟังก์ชันคี่

ตัวอย่างที่ 7

ให้เราแสดงผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทั้งหมด

อนุญาต เห็นได้ชัดว่า แล้วตั้งแต่

มาแนะนำมุม เพราะ ที่

ดังนั้นเช่นเดียวกัน และ

ดังนั้น,

ตัวอย่างที่ 8

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = กันดีกว่า cos(อาร์คซิน x)

ให้เราแสดงว่า a = arcsin x แล้ว ลองคำนึงว่า x = sin a และ y = cos a นั่นคือ x 2 + y2 = 1 และข้อจำกัดของ x (x∈ [-1; 1]) และ y (y ≥ 0) จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = cos(อาร์คซิน x) เป็นรูปครึ่งวงกลม

ตัวอย่างที่ 9

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = กันดีกว่าอาร์คคอส (cos x )

เนื่องจากฟังก์ชัน cos x เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา [-1; 1] จากนั้นฟังก์ชัน y จะถูกกำหนดบนแกนตัวเลขทั้งหมดและแตกต่างกันไปในแต่ละส่วน โปรดจำไว้ว่า y =อาร์คคอส(cosx) = x บนส่วน; ฟังก์ชัน y เป็นเลขคู่และเป็นคาบโดยมีคาบ 2π เมื่อพิจารณาว่าฟังก์ชันมีคุณสมบัติเหล่านี้เพราะ x ตอนนี้การสร้างกราฟเป็นเรื่องง่าย

ให้เราสังเกตความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์บางประการ:

ตัวอย่างที่ 10

มาหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันกันมาแสดงกันเถอะ แล้ว มาฟังฟังก์ชันกันดีกว่า ฟังก์ชันนี้มีจุดต่ำสุด z = π/4 และมันเท่ากับ ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดนั้น z = -π/2 และมีค่าเท่ากัน ดังนั้นและ

ตัวอย่างที่ 11

มาแก้สมการกัน

ลองมาพิจารณาว่า จากนั้นสมการจะมีลักษณะดังนี้:หรือ ที่ไหน ตามคำจำกัดความของอาร์กแทนเจนต์เราได้รับ:

2. การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 1 คุณสามารถหาคำตอบของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดได้

สมการ	สารละลาย


tgx = ก
ซีทีจี x = ก

ตัวอย่างที่ 12

มาแก้สมการกัน

เนื่องจากฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ เราจึงเขียนสมการในรูปแบบคำตอบของสมการนี้:เราหามันได้จากที่ไหน?

ตัวอย่างที่ 13

มาแก้สมการกัน

ใช้สูตรที่กำหนดเขียนคำตอบของสมการ:และเราจะพบ

โปรดทราบว่าในกรณีพิเศษ (a = 0; ±1) เมื่อแก้สมการบาป x = a และ cos x = และง่ายกว่าและสะดวกกว่าในการใช้ไม่ใช่สูตรทั่วไป แต่เขียนวิธีแก้ปัญหาตามวงกลมหน่วย:

สำหรับสมการ sin x = 1 คำตอบ

สำหรับสมการ sin x = 0 คำตอบ x = π k;

สำหรับสมการ sin x = -1 คำตอบ