จำนวนเต็ม(จำนวนธรรมชาติ) - ตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับ ลำดับของทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติเรียงตามลำดับเรียกว่า เป็นธรรมชาติอยู่ข้างๆ.

มีสองวิธีในการกำหนดจำนวนธรรมชาติ - ตัวเลขเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อ:

• การนับ (การนับ)รายการ ( อันดับแรก, ที่สอง, ที่สาม, …);
• การกำหนดปริมาณรายการ ( ไม่มีรายการ, หนึ่งรายการ, สองรายการ, …).

ในกรณีแรก ชุดของจำนวนธรรมชาติเริ่มต้นจากหนึ่ง ในวินาที - จากศูนย์ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าแนวทางที่หนึ่งหรือสองนั้นดีกว่า (นั่นคือ เลขศูนย์ควรถือเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่) แหล่งข้อมูลของรัสเซียส่วนใหญ่อย่างท่วมท้นนำแนวทางแรกมาใช้ตามธรรมเนียม ตัวอย่างเช่น แนวทางที่สองใช้ในงานของบูร์บากี โดยที่จำนวนธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด นอกจากนี้ การนับแบบศูนย์ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการเขียนโปรแกรม (เช่น สำหรับการจัดทำดัชนีอาร์เรย์ การกำหนดหมายเลขบิตของคำของเครื่อง เป็นต้น)

ดังนั้น จำนวนธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้ตามแนวคิดของเซตตามกฎสองข้อ:

• $0=\backslash varไม่มีอะไร$
• $S(n)=n\backslash ถ้วย\backslash ซ้าย\backslash (n\backslash right\backslash )$

ตัวเลขที่กำหนดในลักษณะนี้เรียกว่าลำดับ

ให้เราอธิบายเลขลำดับสองสามตัวแรกและจำนวนธรรมชาติที่สอดคล้องกัน:

• $0=\backslash varไม่มีอะไร$
• $1=\backslash left\backslash (0\backslash right\backslash )=\backslash left\backslash (\backslash varnothing\backslash right\backslash )$
• $2=\backslash left\backslash (0,1\backslash right\backslash )=\backslash big\backslash (\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash (\backslash varnothing\backslash right\backslash )\backslash big\backslash )$
• $3=\backslash left\backslash (0,1,2\backslash right\backslash )=\backslash Big\backslash (\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash (\backslash varnothing\backslash right\backslash ),\backslash ;\backslash big\backslash (\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash \; (\backslash varnothing\backslash right\backslash )\backslash ใหญ่\backslash )\backslash ใหญ่\backslash )$

ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ

บางครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณกรรมต่างประเทศและวรรณกรรมแปล Peano ถูกแทนที่ด้วยสัจพจน์ที่หนึ่งและสาม $1$บน $0$- ในกรณีนี้ ศูนย์ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อนิยามผ่านคลาสของเซตที่เท่ากัน 0 จะเป็นจำนวนธรรมชาติตามนิยาม การจงใจปฏิเสธจะเป็นเรื่องผิดธรรมชาติ นอกจากนี้ สิ่งนี้จะทำให้การสร้างและการประยุกต์ทฤษฎีต่อไปมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากในการก่อสร้างส่วนใหญ่ 0 เช่นเซตว่าง ไม่ได้เป็นสิ่งที่แยกจากกัน ข้อดีอีกประการหนึ่งของการปฏิบัติต่อศูนย์ในฐานะจำนวนธรรมชาติก็คือ $\backslash N$ก่อตัวเป็นโมโนด์

ในวรรณคดีรัสเซีย เลขศูนย์มักจะถูกแยกออกจากรายการจำนวนธรรมชาติ $0\backslash ไม่ใช่\backslash คณิตศาสตร์บี(N)$และเซตของจำนวนธรรมชาติที่มีศูนย์จะแสดงเป็น $\backslash mathbb(N)\_0$- ถ้ารวมศูนย์ไว้ในคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ เซตของจำนวนธรรมชาติจะเขียนเป็น $\backslash คณิตศาสตร์(N)$และไม่มีศูนย์เช่น $\backslash mathbb(N)^*$.

ในวรรณคดีคณิตศาสตร์นานาชาติ มีหลายสิ่งที่คำนึงถึงข้างต้นและเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือ $\backslash (1,2,\backslash จุด\backslash )$มักเรียกว่าเซตของจำนวนเต็มบวกและเขียนแทนด้วย $\backslash Z\_+$- พวงของ $\backslash (0,1,\backslash จุด\backslash )$มักเรียกว่าเซตของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ และหมายถึง $\backslash Z\_(\backslash geqslant\; 0)$.

การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ

|heading3= เครื่องมือขยาย
ระบบตัวเลข |heading4= ลำดับชั้นของตัวเลข |list4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ จำนวนทั้งหมด $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ สรุปตัวเลข
$-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$	ตัวเลขจริง

$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$ จำนวนเชิงซ้อน $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ ควอเทอร์เนียน $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; จุด$ ออคโตเนี่ยน $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash จุด,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash จุด$ ซีเดเนียน |heading5= อื่นๆ
ระบบตัวเลข |heading6= ดูเพิ่มเติม

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะจำนวนธรรมชาติ

หลังจากดื่มชาแล้ว Nikolai, Sonya และ Natasha ก็ไปที่โซฟาไปยังมุมโปรดของพวกเขา ซึ่งเป็นที่ที่การสนทนาที่ใกล้ชิดที่สุดของพวกเขาเริ่มต้นขึ้นเสมอ

“ มันเกิดขึ้นกับคุณ” นาตาชาพูดกับพี่ชายของเธอเมื่อพวกเขานั่งลงบนโซฟา“ มันเกิดขึ้นกับคุณโดยดูเหมือนว่าไม่มีอะไรเกิดขึ้น - ไม่มีอะไร; อะไรที่ดีทั้งหมด? และไม่ใช่แค่น่าเบื่อ แต่เศร้าใช่ไหม?
- แล้วยังไง! - เขาพูดว่า. “มันเกิดขึ้นกับฉันว่าทุกอย่างเป็นไปด้วยดี ทุกคนร่าเริง แต่ในใจฉันว่าฉันเหนื่อยกับเรื่องทั้งหมดนี้แล้ว และทุกคนต้องตาย” ครั้งหนึ่งผมไม่ได้ไปเดินเล่นที่กรมทหาร แต่มีดนตรีเล่นอยู่...อยู่ดีๆ ก็เริ่มเบื่อ...
- โอ้ ฉันรู้แล้ว ฉันรู้ ฉันรู้” นาตาชาหยิบขึ้นมา – ฉันยังเด็กอยู่ สิ่งนี้เกิดขึ้นกับฉัน คุณจำได้ไหมว่าครั้งหนึ่งฉันถูกลงโทษเรื่องลูกพลัม และพวกคุณทุกคนก็เต้นรำ และฉันนั่งอยู่ในห้องเรียนและร้องไห้ ฉันจะไม่มีวันลืม ฉันรู้สึกเศร้าและรู้สึกเสียใจสำหรับทุกคน และตัวฉันเอง และฉันรู้สึกเสียใจสำหรับทุกคน และที่สำคัญที่สุด ไม่ใช่ความผิดของฉัน” นาตาชากล่าว “คุณจำได้ไหม?
“ ฉันจำได้” นิโคไลกล่าว “ฉันจำได้ว่าฉันมาหาคุณทีหลังและอยากปลอบใจคุณ และฉันก็รู้สึกละอายใจ พวกเราตลกมาก ฉันมีของเล่นหัวกลมอยู่แล้ว และฉันก็อยากจะมอบมันให้กับคุณ คุณจำได้ไหม?
“ คุณจำได้ไหม” นาตาชาพูดด้วยรอยยิ้มครุ่นคิดนานมาแล้วเรายังน้อยมากลุงเรียกเราเข้าไปในออฟฟิศกลับมาถึงบ้านเก่าและมันก็มืด - เรามาและทันใดนั้นก็มี ยืนอยู่ตรงนั้น...
“อารัป” นิโคไลจบด้วยรอยยิ้มร่าเริง “ฉันจำไม่ได้ได้ยังไง” แม้ตอนนี้ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นแบล็คมัวร์ หรือเราเห็นมันในความฝัน หรือมีคนบอกเรา
- เขาหงอก จำไว้ ฟันขาว - เขายืนมองเรา...
– คุณจำซอนย่าได้ไหม? - นิโคไลถาม...
“ใช่ ใช่ ฉันก็จำอะไรบางอย่างได้เช่นกัน” ซอนย่าตอบอย่างเขินอาย...
“ฉันถามพ่อและแม่เกี่ยวกับแบล็คมัวร์นี้” นาตาชากล่าว - พวกเขาบอกว่าไม่มีแบล็กมอร์ แต่จำไว้!
- โอ้ฉันจำฟันของเขาได้อย่างไร
- แปลกแค่ไหนก็เหมือนความฝัน ฉันชอบมัน.
“คุณจำได้ไหมว่าพวกเรากลิ้งไข่กันในห้องโถง แล้วจู่ๆ หญิงชราสองคนก็เริ่มหมุนตัวอยู่บนพรม” มันเป็นหรือไม่? จำได้ไหมว่ามันดีแค่ไหน?
- ใช่. คุณจำได้ไหมว่าพ่อในเสื้อคลุมขนสัตว์สีน้ำเงินยิงปืนที่ระเบียง? “พวกเขาพลิกตัวกลับ ยิ้มด้วยความยินดี ความทรงจำ ไม่ใช่ความทรงจำเก่าๆ ที่น่าเศร้า แต่เป็นความทรงจำในวัยเยาว์ ความประทับใจจากอดีตอันไกลโพ้น ที่ซึ่งความฝันผสานเข้ากับความเป็นจริง และหัวเราะอย่างเงียบๆ ชื่นชมยินดีกับบางสิ่งบางอย่าง
Sonya ก็ตามหลังพวกเขาเช่นเคยแม้ว่าความทรงจำของพวกเขาจะเป็นเรื่องธรรมดาก็ตาม
ซอนยาจำสิ่งที่พวกเขาจำได้ได้ไม่มากนัก และสิ่งที่เธอจำได้ไม่ได้กระตุ้นความรู้สึกบทกวีที่พวกเขาประสบในตัวเธอ เธอแค่สนุกไปกับความสุขของพวกเขาและพยายามเลียนแบบมัน
เธอเข้าร่วมเฉพาะเมื่อพวกเขาจำการมาเยือนครั้งแรกของ Sonya ได้เท่านั้น Sonya บอกว่าเธอกลัว Nikolai อย่างไรเพราะเขามีสายอยู่ที่แจ็คเก็ตและพี่เลี้ยงก็บอกเธอว่าพวกเขาจะเย็บเธอเป็นสายด้วย
“ และฉันจำได้ว่าพวกเขาบอกฉันว่าคุณเกิดภายใต้กะหล่ำปลี” นาตาชากล่าว“ และฉันจำได้ว่าตอนนั้นฉันไม่กล้าเชื่อ แต่ฉันรู้ว่ามันไม่เป็นความจริงและฉันก็เขินอายมาก ”
ในระหว่างการสนทนานี้จาก ประตูหลังศีรษะของสาวใช้โผล่ออกมาจากโซฟา “คุณคะ พวกเขาเอาไก่มาด้วย” เด็กสาวพูดด้วยเสียงกระซิบ
“ไม่จำเป็น Polya บอกให้ฉันถือมัน” นาตาชากล่าว
ในระหว่างการสนทนาบนโซฟา ดิมม์เลอร์ก็เข้าไปในห้องและเข้าไปหาพิณที่ยืนอยู่ตรงมุมห้อง เขาถอดผ้าออกแล้วพิณก็ส่งเสียงเท็จ
“Eduard Karlych โปรดเล่น Nocturiene อันเป็นที่รักของฉันโดย Monsieur Field” เสียงของเคาน์เตสเฒ่าดังมาจากห้องนั่งเล่น
ดิมม์เลอร์ตีคอร์ดและหันไปหานาตาชา นิโคไล และซอนยา แล้วพูดว่า: "คนหนุ่มสาว พวกเขานั่งเงียบๆ แค่ไหน!"
“ใช่ เรากำลังปรัชญา” นาตาชาพูด มองไปรอบๆ สักครู่แล้วสนทนาต่อ การสนทนาตอนนี้เกี่ยวกับความฝัน
ดิมเมอร์เริ่มเล่น นาตาชาเขย่งเท้าอย่างเงียบ ๆ เดินขึ้นไปที่โต๊ะหยิบเทียนออกมาแล้วกลับมานั่งเงียบ ๆ แทนเธอ ห้องโดยเฉพาะโซฟาที่พวกเขานั่งอยู่นั้นมืดทว่า หน้าต่างบานใหญ่แสงสีเงินของทั้งเดือนตกลงบนพื้น
“คุณรู้ไหม ฉันคิดว่า” นาตาชาพูดด้วยเสียงกระซิบ โดยขยับเข้าใกล้นิโคไลและซอนยามากขึ้น เมื่อดิมเลอร์ทำเสร็จแล้วและยังคงนั่งอยู่ ดึงสายออกอย่างอ่อนแรง ดูเหมือนจะไม่ตัดสินใจว่าจะจากไปหรือเริ่มต้นสิ่งใหม่ “ซึ่งเมื่อคุณจำได้ แบบนั้นเธอจำได้ เธอจำได้ทุกอย่าง” เธอจำได้มากจนจำสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนที่ฉันจะอยู่ในโลก...
“ นี่คือ Metampsic” Sonya ผู้เรียนดีมาโดยตลอดและจดจำทุกสิ่งกล่าว – ชาวอียิปต์เชื่อว่าจิตวิญญาณของเราอยู่ในสัตว์และจะกลับไปเป็นสัตว์
“ไม่ เธอก็รู้ ฉันไม่เชื่อว่าเราเป็นสัตว์” นาตาชาพูดด้วยเสียงกระซิบเดียวกัน แม้ว่าดนตรีจะจบลงแล้ว “แต่ฉันรู้แน่ว่าเราเป็นนางฟ้าที่นี่และที่นั่นที่ไหนสักแห่ง และนั่นคือเหตุผลว่าทำไม เราจำทุกอย่างได้” ...
- ฉันสามารถเข้าร่วมกับคุณได้ไหม? - Dimmler ซึ่งเดินเข้ามาหาอย่างเงียบ ๆ และนั่งลงข้างพวกเขากล่าว
- ถ้าเราเป็นนางฟ้าแล้วทำไมเราถึงตกต่ำลงล่ะ? - นิโคไลกล่าว - ไม่ เป็นไปไม่ได้!
“ไม่ต่ำกว่าใครบอกคุณว่าต่ำกว่านั้น?... ทำไมฉันถึงรู้ว่าฉันเคยเป็นอะไรมาก่อน” นาตาชาคัดค้านด้วยความมั่นใจ - ท้ายที่สุดแล้ว จิตวิญญาณนั้นเป็นอมตะ... ดังนั้น ถ้าฉันมีชีวิตอยู่ตลอดไป ฉันก็ใช้ชีวิตแบบเมื่อก่อนนั่นแหละ มีชีวิตอยู่ชั่วนิรันดร์
“ใช่ แต่มันยากสำหรับเราที่จะจินตนาการถึงความเป็นนิรันดร์” ดิมเลอร์กล่าว ซึ่งเข้าหาคนหนุ่มสาวด้วยรอยยิ้มที่ดูถูกเหยียดหยาม แต่ตอนนี้พูดอย่างเงียบๆ และจริงจังเหมือนที่พวกเขาทำ
– เหตุใดจึงยากที่จะจินตนาการถึงความเป็นนิรันดร์? - นาตาชากล่าว - วันนี้ก็จะเป็น พรุ่งนี้ก็จะเป็น จะเป็นตลอดไป เมื่อวานก็เป็น และเมื่อวานก็เป็น...
- นาตาชา! ตอนนี้ถึงตาคุณแล้ว “ ร้องเพลงให้ฉันหน่อยสิ” ได้ยินเสียงของคุณหญิง - ที่คุณนั่งลงเหมือนผู้สมรู้ร่วมคิด
- แม่! “ฉันไม่อยากทำแบบนั้น” นาตาชาพูด แต่ในขณะเดียวกันเธอก็ลุกขึ้นยืน
พวกเขาทั้งหมดแม้แต่ Dimmler วัยกลางคนก็ไม่ต้องการขัดจังหวะการสนทนาและลุกจากมุมโซฟา แต่นาตาชาลุกขึ้นยืนและนิโคไลก็นั่งลงที่กระดูกไหปลาร้า เช่นเคย นาตาชาเริ่มร้องเพลงโปรดของแม่โดยยืนอยู่กลางห้องโถงและเลือกสถานที่ที่ได้เปรียบที่สุดสำหรับการสะท้อนเสียง
เธอบอกว่าเธอไม่อยากร้องเพลง แต่เธอไม่ได้ร้องเพลงมานานแล้ว และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา วิธีการร้องเพลงของเธอในเย็นวันนั้นก็นานมาแล้ว Count Ilya Andreich จากออฟฟิศที่เขาคุยกับ Mitinka ได้ยินเธอร้องเพลงและเหมือนนักเรียนรีบไปเล่นจบบทเรียนเขาสับสนในคำพูดของเขาออกคำสั่งกับผู้จัดการและในที่สุดก็เงียบไป และมิทินกาก็ฟังอย่างเงียบ ๆ ด้วยรอยยิ้มยืนอยู่หน้านับ นิโคไลไม่ได้ละสายตาจากน้องสาวของเขาและสูดลมหายใจร่วมกับเธอ Sonya กำลังฟังอยู่และคิดว่าเธอกับเพื่อนของเธอมีความแตกต่างกันมากเพียงใด และเป็นไปไม่ได้เลยที่เธอจะมีเสน่ห์เหมือนลูกพี่ลูกน้องของเธอจากระยะไกล เคาน์เตสเฒ่านั่งด้วยรอยยิ้มเศร้าและน้ำตาในดวงตาของเธอและส่ายหัวเป็นครั้งคราว เธอคิดถึงนาตาชาและวัยเยาว์ของเธอและว่ามีบางสิ่งที่ผิดธรรมชาติและน่ากลัวในการแต่งงานของนาตาชากับเจ้าชายอังเดรที่กำลังจะเกิดขึ้นนี้
ดิมม์เลอร์นั่งลงข้างคุณหญิงและหลับตาฟัง
“ไม่ เคาน์เตส” เขาพูดในที่สุด “นี่คือพรสวรรค์ของชาวยุโรป เธอไม่มีอะไรจะเรียนรู้ ความนุ่มนวล ความอ่อนโยน ความแข็งแกร่งนี้…”
- อา! “ ฉันกลัวเธอแค่ไหนฉันกลัวแค่ไหน” เคาน์เตสกล่าวโดยจำไม่ได้ว่าเธอกำลังคุยกับใคร สัญชาตญาณของความเป็นแม่บอกเธอว่านาตาชามีบางอย่างมากเกินไป และสิ่งนี้จะไม่ทำให้เธอมีความสุข นาตาชายังร้องเพลงไม่จบเมื่อ Petya วัย 14 ปีผู้กระตือรือร้นวิ่งเข้าไปในห้องพร้อมกับข่าวว่ามัมมี่มาถึงแล้ว
นาตาชาหยุดกะทันหัน
- คนโง่! - เธอตะโกนใส่น้องชาย วิ่งขึ้นไปบนเก้าอี้ ล้มลงบนเก้าอี้ ร้องไห้หนักมากจนหยุดไม่ได้นาน
“ไม่มีอะไรค่ะแม่ ไม่มีอะไรจริงๆ แบบนี้ Petya ทำให้ฉันกลัว” เธอพูดและพยายามยิ้ม แต่น้ำตายังคงไหลและเสียงสะอื้นก็สำลักคอของเธอ
แต่งตัวคนรับใช้ หมี เติร์ก เจ้าของโรงแรม สุภาพสตรี น่ากลัวและตลก นำความเย็นชาและความสนุกสนานมาด้วย ในตอนแรกรวมตัวกันอย่างขี้อายในโถงทางเดิน จากนั้นพวกเขาก็ถูกบังคับให้เข้าไปในห้องโถงโดยซ่อนตัวหนึ่งไว้ข้างหลัง และในตอนแรกอย่างเขินอาย จากนั้นเพลง การเต้นรำ การร้องเพลงประสานเสียง และเกมคริสต์มาสก็เริ่มขึ้นอย่างร่าเริงและเป็นกันเองมากขึ้นเรื่อยๆ เคาน์เตสจำใบหน้าได้และหัวเราะเยาะคนที่แต่งตัวประหลาดจึงเข้าไปในห้องนั่งเล่น นับ Ilya Andreich นั่งอยู่ในห้องโถงด้วยรอยยิ้มอันสดใสซึ่งเห็นชอบจากผู้เล่น เยาวชนหายไปที่ไหนสักแห่ง
ครึ่งชั่วโมงต่อมา หญิงชราสวมห่วงก็ปรากฏตัวขึ้นในห้องโถงระหว่างมัมมี่คนอื่นๆ นั่นคือนิโคไล Petya เป็นคนตุรกี Payas คือ Dimmler, hussar คือ Natasha และ Circassian คือ Sonya มีหนวดและคิ้วไม้ก๊อกทาสี
หลังจากแสดงท่าทีประหลาดใจ รับรู้ผิด และชมเชยจากผู้ที่ไม่ได้แต่งตัว คนหนุ่มสาวพบว่าเครื่องแต่งกายดีมากจนต้องนำไปให้คนอื่นดู
นิโคไลซึ่งต้องการพาทุกคนไปตามถนนที่ยอดเยี่ยมด้วยทรอยกาของเขาเสนอให้พาคนรับใช้ที่แต่งตัวดีสิบคนไปด้วยเพื่อไปหาลุงของเขา
- ไม่ ทำไมคุณถึงทำให้เขาอารมณ์เสียล่ะตาเฒ่า! - คุณหญิงกล่าว - และเขาไม่มีที่จะหันไป ไปที่ Melyukovs กันเถอะ
Melyukova เป็นแม่หม้ายที่มีลูกหลายวัย รวมทั้งผู้ปกครองและครูสอนพิเศษด้วย ซึ่งอาศัยอยู่ห่างจาก Rostov สี่ไมล์

จำนวนเต็ม– ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุ เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด บางครั้งเรียกว่าอนุกรมธรรมชาติ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 เป็นต้น .

ในการเขียนตัวเลขธรรมชาติจะใช้ตัวเลขสิบหลัก: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 คุณสามารถเขียนจำนวนธรรมชาติใดก็ได้โดยใช้ตัวเลขเหล่านี้ สัญกรณ์ตัวเลขนี้เรียกว่าทศนิยม

ชุดตัวเลขธรรมชาติสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด ไม่มีจำนวนใดที่จะเป็นจำนวนสุดท้ายเพราะว่า หมายเลขสุดท้ายคุณสามารถเพิ่มหนึ่งรายการและรับหมายเลขที่มากกว่าที่คุณต้องการอยู่แล้ว ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่าไม่มีจำนวนใดมากที่สุดในอนุกรมธรรมชาติ

สถานที่ของตัวเลขธรรมชาติ

เมื่อเขียนตัวเลขใดๆ โดยใช้ตัวเลข ตำแหน่งที่ตัวเลขปรากฏในตัวเลขนั้นมีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น เลข 3 หมายถึง 3 หน่วย หากปรากฏที่ตำแหน่งสุดท้ายของตัวเลข 3 สิบ ถ้าเธออยู่ตำแหน่งสุดท้ายในจำนวนนั้น 400 ถ้าเธออยู่อันดับสามนับจากท้ายสุด

หลักสุดท้ายหมายถึงหลักหน่วย หลักสุดท้ายหมายถึงหลักสิบ และเลข 3 จากท้ายหมายถึงหลักร้อย

ตัวเลขหลักเดียวและหลายหลัก

ถ้าหลักใดๆ ของตัวเลขมีเลข 0 แสดงว่าไม่มีหน่วยในหลักนี้

เลข 0 ใช้แทนเลขศูนย์ ศูนย์คือ "ไม่ใช่หนึ่ง"

ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แม้ว่านักคณิตศาสตร์บางคนจะคิดแตกต่างออกไป

ถ้าตัวเลขประกอบด้วยหลักเดียวเรียกว่าหลักเดียว ถ้าประกอบด้วยสองเรียกว่าสองหลัก ถ้าประกอบด้วยสามเรียกว่าสามหลัก เป็นต้น

ตัวเลขที่ไม่ใช่หลักเดียวจะเรียกว่าหลายหลัก

คลาสตัวเลขสำหรับการอ่านจำนวนธรรมชาติที่มีค่ามาก

หากต้องการอ่านจำนวนธรรมชาติจำนวนมาก ตัวเลขจะแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก โดยเริ่มจากขอบด้านขวา กลุ่มเหล่านี้เรียกว่าชั้นเรียน

ตัวเลขสามหลักแรกบนขอบด้านขวาประกอบเป็นคลาสหน่วย สามหลักถัดไปคือคลาสหลักพัน และสามหลักถัดไปคือคลาสล้าน

ล้าน – หนึ่งพัน ใช้ตัวย่อว่าล้านเพื่อบันทึก

พันล้าน = หนึ่งพันล้าน สำหรับการบันทึกให้ใช้ตัวย่อ พันล้าน = 1,000,000,000

ตัวอย่างการเขียนและการอ่าน

จำนวนนี้มี 15 หน่วยในระดับพันล้าน, 389 หน่วยในระดับล้าน, ศูนย์หน่วยในระดับพัน และ 286 หน่วยในระดับหน่วย

ตัวเลขนี้อ่านได้ดังนี้: 15 พันล้าน 389 ล้าน 286

อ่านตัวเลขจากซ้ายไปขวา ผลัดกันเรียกจำนวนหน่วยของแต่ละชั้นเรียนแล้วเติมชื่อชั้นเรียน

สามารถใช้ตัวเลขธรรมชาติในการนับได้ (แอปเปิ้ล 1 ผล แอปเปิ้ล 2 ผล ฯลฯ)

จำนวนเต็ม(ตั้งแต่ lat. ธรรมชาติ- เป็นธรรมชาติ; ตัวเลขธรรมชาติ) - ตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อนับ (เช่น 1, 2, 3, 4, 5...) ลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่จัดเรียงจากน้อยไปมากเรียกว่า เป็นธรรมชาติอยู่ข้างๆ.

มีสองวิธีในการกำหนดจำนวนธรรมชาติ:

• การนับ (การนับ)รายการ ( อันดับแรก, ที่สอง, ที่สาม, ที่สี่, ที่ห้า"…);
• ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่เกิดขึ้นเมื่อใด การกำหนดปริมาณรายการ ( 0 รายการ, 1 รายการ, 2 รายการ, 3 รายการ, 4 รายการ, 5 รายการ"…)

ในกรณีแรก ชุดของจำนวนธรรมชาติจะเริ่มต้นจากหนึ่ง ในวินาทีที่สอง - จากศูนย์ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าแนวทางที่หนึ่งหรือสองนั้นดีกว่า (นั่นคือ เลขศูนย์ควรถือเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่) แหล่งข้อมูลของรัสเซียส่วนใหญ่อย่างท่วมท้นนำแนวทางแรกมาใช้ตามธรรมเนียม ตัวอย่างเช่น วิธีที่สองใช้ในงานของนิโคลัส บูร์บากิ โดยที่จำนวนธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด

จำนวนลบและไม่ใช่จำนวนเต็ม (ตรรกยะ, จำนวนจริง, ...) ไม่ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ

เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นเรื่องปกติที่จะต้องแสดงสัญลักษณ์ N (\displaystyle \mathbb (N)) (จาก lat. ธรรมชาติ- เป็นธรรมชาติ). เซตของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด เนื่องจากสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n (\displaystyle n) มีจำนวนธรรมชาติมากกว่า n (\displaystyle n)

การมีศูนย์ทำให้ง่ายต่อการกำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่างๆ ในเลขคณิตจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นแนวทางแรกจึงแนะนำแนวคิดที่เป็นประโยชน์ ขยายขอบเขตธรรมชาติออกไปรวมถึงศูนย์ด้วย อนุกรมแบบขยายจะแสดงแทน N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) หรือ Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0))

สัจพจน์ที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดเซตของจำนวนธรรมชาติได้

สัจพจน์ของ Peano สำหรับจำนวนธรรมชาติ

บทความหลัก: สัจพจน์ของ Peano

เราจะเรียกเซต N (\displaystyle \mathbb (N) ) ว่าเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ ถ้าองค์ประกอบบางตัวได้รับการแก้ไข 1 (หน่วย) ที่เป็นของ N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )) และฟังก์ชัน S (\displaystyle S) ที่มีโดเมน N (\displaystyle \mathbb (N) ) และช่วง N (\displaystyle \mathbb (N) ) (เรียกว่าฟังก์ชันการสืบทอด; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติ (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. จำนวนที่อยู่หลังจำนวนธรรมชาติก็เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน (ถ้า x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) แล้ว S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. เราไม่เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใดๆ (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. ถ้าจำนวนธรรมชาติ a (\displaystyle a) ตามหลังทั้งจำนวนธรรมชาติ b (\displaystyle b) และจำนวนธรรมชาติ c (\displaystyle c) ทันที ดังนั้น b = c (\displaystyle b=c) (ถ้า S (b ) = a (\displaystyle S(b)=a) และ S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) จากนั้น b = c (\displaystyle b=c));
5. (ความจริงของการเหนี่ยวนำ) ถ้าประโยค (คำสั่ง) P (\displaystyle P) ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติ n = 1 (\displaystyle n=1) ( ฐานการเหนี่ยวนำ) และหากจากการสันนิษฐานว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่ง n (\displaystyle n) ก็จะตามมาว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป (\displaystyle n) ( สมมติฐานอุปนัย) ดังนั้น ประโยคนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (ให้ P (n) (\displaystyle P(n)) เป็นภาคแสดงที่มีตำแหน่งเดียว (เอกภาค) โดยมีพารามิเตอร์เป็นจำนวนธรรมชาติ n (\displaystyle n) จากนั้น ถ้า P (1 ) (\displaystyle P(1)) และ ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\ลูกศรขวา P(S(n)) ))) จากนั้น ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n)))

สัจพจน์ที่แสดงไว้สะท้อนความเข้าใจตามสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับอนุกรมธรรมชาติและเส้นจำนวน

ข้อเท็จจริงพื้นฐานก็คือสัจพจน์เหล่านี้กำหนดจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ (ลักษณะการจัดหมวดหมู่ของระบบสัจพจน์ของพีอาโน) กล่าวคือ สามารถพิสูจน์ได้ (ดูข้อพิสูจน์สั้นๆ ด้วย) ว่าถ้า (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) และ (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) เป็นแบบจำลองสองแบบสำหรับระบบสัจพจน์ของ Peano ดังนั้นพวกมันจึงจำเป็นต้องมี isomorphic กล่าวคือ ตรงนั้น เป็นการแมปแบบกลับด้านได้ (bijection) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) โดยที่ f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1)=(\tilde (1))) และ f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f (x ))) สำหรับทั้งหมด x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) )

ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแก้ไขเป็น N (\displaystyle \mathbb (N) ) รูปแบบเฉพาะใดๆ ของเซตของจำนวนธรรมชาติ

นิยามเซตทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติ (คำจำกัดความแบบเฟรจ-รัสเซล)

ตามทฤษฎีเซต วัตถุเดียวสำหรับการก่อสร้างใดๆ ระบบทางคณิตศาสตร์เป็นชุด

ดังนั้น จำนวนธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้ตามแนวคิดของเซตตามกฎสองข้อ:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\))

ตัวเลขที่กำหนดในลักษณะนี้เรียกว่าลำดับ

ให้เราอธิบายเลขลำดับสองสามตัวแรกและจำนวนธรรมชาติที่สอดคล้องกัน:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ ขวา\)(\ใหญ่ \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ

บางครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณกรรมต่างประเทศและวรรณกรรมแปล สัจพจน์ของ Peano ตัวแรกและตัวที่สามจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ ในกรณีนี้ ศูนย์ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อนิยามผ่านคลาสของเซตที่เท่ากัน ศูนย์จะเป็นจำนวนธรรมชาติตามนิยาม การจงใจปฏิเสธจะเป็นเรื่องผิดธรรมชาติ นอกจากนี้ สิ่งนี้จะทำให้การสร้างและการประยุกต์ทฤษฎีต่อไปมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากในการก่อสร้างส่วนใหญ่ 0 เช่นเซตว่าง ไม่ได้เป็นสิ่งที่แยกจากกัน ข้อดีอีกประการหนึ่งของการปฏิบัติต่อศูนย์ในฐานะจำนวนธรรมชาติก็คือ ทำให้ N (\displaystyle \mathbb (N) ) กลายเป็นโมโนด์

ในวรรณคดีรัสเซีย โดยปกติแล้วศูนย์จะไม่รวมอยู่ในจำนวนธรรมชาติ (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )) และเซตของจำนวนธรรมชาติที่มีศูนย์จะแสดงเป็น N 0 (\displaystyle \mathbb (ยังไม่มีข้อความ) _(0) ) . ถ้ารวมศูนย์ไว้ในคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ เซตของจำนวนธรรมชาติจะเขียนเป็น N (\displaystyle \mathbb (N) ) และไม่มีศูนย์ - เป็น N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

ในวรรณกรรมคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติ เมื่อคำนึงถึงสิ่งข้างต้นและเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือ เซต ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) มักเรียกว่าเซตของจำนวนเต็มบวกและเขียนแทน Z + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . เซต ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) มักเรียกว่าเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และเขียนแทนด้วย Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

ตำแหน่งของเซตของจำนวนธรรมชาติ (N (\displaystyle \mathbb (N) )) ระหว่างเซตของจำนวนเต็ม (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )) จำนวนตรรกยะ (Q (\displaystyle \mathbb (Q) ))) ตัวเลขจริง(R (\displaystyle \mathbb (R))) และ ตัวเลขอตรรกยะ(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

ขนาดของเซตของจำนวนธรรมชาติ

ขนาดของเซตอนันต์มีลักษณะเฉพาะด้วยแนวคิด "ภาวะเชิงการนับของเซต" ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของจำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัดไปจนถึงเซตอนันต์ ในขนาด (นั่นคือ ภาวะเชิงการนับ) เซตของจำนวนธรรมชาติจะมีขนาดใหญ่กว่าเซตจำกัดใดๆ แต่จะน้อยกว่าช่วงใดๆ ตัวอย่างเช่น ช่วง (0, 1) (\displaystyle (0,1)) เซตของจำนวนธรรมชาติมีภาวะเชิงการนับเท่ากับเซตของจำนวนตรรกยะ เซตที่มีจำนวนเชิงการนับเดียวกันกับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่าเซตนับได้ ดังนั้นเซตของเงื่อนไขของลำดับใดๆ จึงสามารถนับได้ ในเวลาเดียวกัน มีลำดับที่จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวปรากฏเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นยูเนี่ยนนับได้ของเซตนับได้ที่ไม่ร่วม (เช่น N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\right)))

การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ

การดำเนินการแบบปิด (การดำเนินการที่ไม่ได้รับผลลัพธ์จากชุดของจำนวนธรรมชาติ) กับจำนวนธรรมชาติรวมถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป: เทอม + เทอม = ผลรวม;
• การคูณ: ปัจจัย × ปัจจัย = สินค้า;
• การยกกำลัง: a b (\displaystyle a^(b)) โดยที่ a (\displaystyle a) เป็นฐานของดีกรี b (\displaystyle b) เป็นเลขชี้กำลัง ถ้า a (\displaystyle a) และ b (\displaystyle b) เป็นจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติ

นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาการดำเนินการอีกสองรายการ (จากมุมมองที่เป็นทางการ การดำเนินการดังกล่าวไม่ใช่การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ ทุกคนคู่ตัวเลข (บางทีก็มี บางทีไม่มี)):

• การลบ: minuend - subtrahend = ความแตกต่าง ในกรณีนี้ ค่า minuend ต้องมากกว่าค่า subtrahend (หรือเท่ากับค่าดังกล่าว หากเราถือว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ)
• การหารด้วยเศษ: เงินปันผล / ตัวหาร = (ผลหาร, เศษ) ผลหาร p (\displaystyle p) และส่วนที่เหลือ r (\displaystyle r) จากการหาร a (\displaystyle a) ด้วย b (\displaystyle b) ได้รับการนิยามไว้ดังนี้: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) และ 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r สามารถแสดงเป็น a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) กล่าวคือ จำนวนใดๆ ก็ตามที่สามารถพิจารณาเป็นบางส่วนได้ และส่วนที่เหลือ a (\displaystyle a)

ควรสังเกตว่าการดำเนินการบวกและการคูณเป็นพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนของจำนวนเต็มถูกกำหนดอย่างแม่นยำผ่านการดำเนินการไบนารีของการบวกและการคูณ

คุณสมบัติพื้นฐาน

• การสับเปลี่ยนของการบวก:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a)

• การสับเปลี่ยนของการคูณ:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a)

• การเชื่อมโยงเพิ่มเติม:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c))

• การเชื่อมโยงการคูณ:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c))

• การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases)))

โครงสร้างพีชคณิต

การบวกจะเปลี่ยนเซตของจำนวนธรรมชาติให้กลายเป็นเซมิกรุ๊ปที่มีหน่วย โดยบทบาทของหน่วยจะมีบทบาท 0 - การคูณยังเปลี่ยนเซตของจำนวนธรรมชาติให้กลายเป็นกลุ่มกึ่งที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีองค์ประกอบเอกลักษณ์อยู่ 1 - การใช้การปิดที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวก-ลบและการคูณ-หาร จะได้กลุ่มของจำนวนเต็ม Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) และจำนวนตรรกยะ ตัวเลขบวก Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) ตามลำดับ

คำจำกัดความทางทฤษฎีเซต

ขอให้เราใช้คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติเป็นคลาสสมมูลของเซตจำกัด ถ้าเราแสดงถึงคลาสที่เทียบเท่าของเซต กสร้างขึ้นโดยการบิดเบี้ยว โดยใช้วงเล็บเหลี่ยม: [ ก] การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานมีการกำหนดไว้ดังนี้:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - การแยกเซตออกจากกัน
• A × B (\displaystyle A\times B) - ผลคูณทางตรง;
• AB (\displaystyle A^(B)) - ชุดของการแมปจาก บีวี ก.

สามารถแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการผลลัพธ์ในคลาสได้รับการแนะนำอย่างถูกต้องนั่นคือไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกองค์ประกอบของคลาสและตรงกับคำจำกัดความแบบอุปนัย

จำนวนธรรมชาติคืออะไร? ประวัติ ขอบเขต คุณสมบัติ

คณิตศาสตร์ถือกำเนิดขึ้นจากปรัชญาทั่วไปราวศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช จ. และตั้งแต่นั้นมา ชัยชนะของเธอก็เริ่มต้นขึ้นในการเดินขบวนรอบโลก แต่ละขั้นตอนของการพัฒนาทำให้เกิดสิ่งใหม่ - การนับเบื้องต้นพัฒนาขึ้น เปลี่ยนเป็นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล หลายศตวรรษผ่านไป สูตรเริ่มสับสนมากขึ้นเรื่อยๆ และช่วงเวลาก็มาถึงเมื่อ "คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่สุดเริ่มต้นขึ้น - ตัวเลขทั้งหมดหายไปจากมัน" แต่พื้นฐานคืออะไร?

การเริ่มต้นของเวลา

ตัวเลขธรรมชาติปรากฏขึ้นพร้อมกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ครั้งแรก กระดูกสันหลังหนึ่งซี่ สองหนาม สามหนาม... ปรากฏขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พัฒนาระบบตัวเลขตำแหน่งแรก
คำว่า "ตำแหน่ง" หมายความว่าตำแหน่งของแต่ละหลักในตัวเลขนั้นถูกกำหนดไว้อย่างเคร่งครัดและสอดคล้องกับอันดับของมัน เช่น ตัวเลข 784 และ 487 เป็นตัวเลขเดียวกันแต่ตัวเลขไม่เท่ากันเนื่องจากตัวแรกมี 7 ร้อย ในขณะที่ตัวที่สองมีเพียง 4 เท่านั้น นวัตกรรมของอินเดียถูกหยิบยกขึ้นมาโดยชาวอาหรับซึ่งนำตัวเลขมาสู่รูปแบบ ที่เรารู้ตอนนี้

ในสมัยโบราณมีการให้ตัวเลข ความหมายลึกลับ, นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดพีทาโกรัสเชื่อว่าตัวเลขดังกล่าวเป็นรากฐานของการสร้างโลกควบคู่ไปกับองค์ประกอบพื้นฐาน ได้แก่ ไฟ น้ำ ดิน อากาศ หากเราพิจารณาทุกอย่างจากทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แล้วจำนวนธรรมชาติคืออะไร? ฟิลด์ของจำนวนธรรมชาติแสดงเป็น N และเป็นชุดตัวเลขอนันต์ที่เป็นจำนวนเต็มและบวก: 1, 2, 3, … + ∞ ไม่รวมศูนย์ ใช้เพื่อนับรายการและระบุลำดับเป็นหลัก

จำนวนธรรมชาติในคณิตศาสตร์คืออะไร? สัจพจน์ของ Peano

ฟิลด์ N เป็นฟิลด์พื้นฐานที่ใช้คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เมื่อเวลาผ่านไป ฟิลด์ของจำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนเชิงซ้อน.

งานของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Giuseppe Peano ทำให้การจัดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมเป็นไปได้ บรรลุความเป็นทางการและเตรียมทางสำหรับการสรุปเพิ่มเติมที่นอกเหนือไปจากพื้นที่สนาม N จำนวนธรรมชาติคืออะไรได้รับการชี้แจงก่อนหน้านี้ ในภาษาง่ายๆด้านล่างนี้เราจะพิจารณาคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ตามสัจพจน์ของ Peano

• หนึ่งถือเป็นจำนวนธรรมชาติ
• จำนวนที่ตามหลังจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ
• ไม่มีจำนวนธรรมชาติอยู่หน้าหนึ่ง
• ถ้าเลข b ตามหลังทั้งเลข c และเลข d แล้ว c=d
• สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ ซึ่งในทางกลับกันจะแสดงให้เห็นว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร: หากข้อความบางข้อความที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เป็นจริงสำหรับตัวเลข 1 เราก็ถือว่ามันใช้ได้กับตัวเลข n จากสนามของตัวเลขธรรมชาติ N เช่นกัน ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n =1 จากช่องของจำนวนธรรมชาติ N

การดำเนินการพื้นฐานสำหรับสนามจำนวนธรรมชาติ

เนื่องจากฟิลด์ N เป็นฟิลด์แรกสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ทั้งโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของการดำเนินการจำนวนหนึ่งด้านล่างจึงเป็นของมัน พวกเขาถูกปิดและไม่ ข้อแตกต่างหลักๆ ก็คือ การดำเนินการแบบปิดจะรับประกันว่าจะคงผลลัพธ์ไว้ภายในเซต N ไม่ว่าจะเกี่ยวข้องกับตัวเลขใดก็ตาม ก็เพียงพอแล้วที่จะเป็นธรรมชาติ ผลลัพธ์ของการโต้ตอบเชิงตัวเลขอื่นๆ จะไม่ชัดเจนอีกต่อไปและขึ้นอยู่กับประเภทของตัวเลขที่เกี่ยวข้องในนิพจน์โดยตรง เนื่องจากอาจขัดแย้งกับคำจำกัดความหลัก ดังนั้นการดำเนินการปิด:

• นอกจากนี้ – x + y = z โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในฟิลด์ N
• การคูณ - x * y = z โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในฟิลด์ N
• การยกกำลัง – xy โดยที่ x, y รวมอยู่ในฟิลด์ N

การดำเนินการที่เหลือซึ่งผลลัพธ์อาจไม่อยู่ในบริบทของคำจำกัดความของ "จำนวนธรรมชาติคืออะไร" มีดังนี้

คุณสมบัติของตัวเลขที่อยู่ในฟิลด์ N

การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเป็นสิ่งเล็กน้อยที่สุด แต่ก็สำคัญไม่น้อยไปกว่ากัน

• สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกคือ x + y = y + x โดยที่ตัวเลข x, y จะรวมอยู่ในช่อง N หรือที่รู้จักกันดีว่า "ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไข"
• สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณคือ x * y = y * x โดยที่ตัวเลข x, y จะรวมอยู่ในช่อง N
• สมบัติเชิงผสมของการบวกคือ (x + y) + z = x + (y + z) โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในฟิลด์ N
• คุณสมบัติการจับคู่ของการคูณคือ (x * y) * z = x * (y * z) โดยที่ตัวเลข x, y, z จะรวมอยู่ในฟิลด์ N
• คุณสมบัติการกระจาย – x (y + z) = x * y + x * z โดยที่ตัวเลข x, y, z จะรวมอยู่ในฟิลด์ N

โต๊ะพีทาโกรัส

ขั้นตอนแรกๆ ในความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับโครงสร้างทั้งหมดของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา หลังจากที่พวกเขาเข้าใจด้วยตนเองแล้วว่าตัวเลขใดเรียกว่าจำนวนธรรมชาติคือตารางพีทาโกรัส ถือได้ว่าไม่เพียงแต่จากมุมมองของวิทยาศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นอนุสรณ์สถานทางวิทยาศาสตร์ที่มีค่าที่สุดอีกด้วย

ตารางสูตรคูณนี้มีการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งเมื่อเวลาผ่านไป โดยลบศูนย์ออกจากตารางแล้ว และตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 แสดงถึงตัวมันเอง โดยไม่คำนึงถึงคำสั่ง (หลักร้อย หลักพัน...) เป็นตารางที่ส่วนหัวของแถวและคอลัมน์เป็นตัวเลข และเนื้อหาของเซลล์ที่พวกมันตัดกันจะเท่ากับผลคูณของมัน

ในการฝึกสอนในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา มีความจำเป็นต้องท่องจำตารางพีทาโกรัส "ตามลำดับ" กล่าวคือ การท่องจำมาก่อน ไม่รวมการคูณด้วย 1 เนื่องจากผลลัพธ์เป็นตัวคูณ 1 หรือมากกว่า ในขณะเดียวกัน ในตารางด้วยตาเปล่า คุณสามารถสังเกตเห็นรูปแบบ: ผลคูณของตัวเลขเพิ่มขึ้นหนึ่งขั้น ซึ่งเท่ากับชื่อของเส้น ดังนั้นปัจจัยที่สองแสดงให้เราเห็นว่าเราต้องดำเนินการปัจจัยแรกกี่ครั้งเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ ระบบนี้สะดวกกว่าวิธีปฏิบัติในยุคกลางมาก แม้จะเข้าใจว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไรและไม่สำคัญเพียงใด ผู้คนก็สามารถทำให้การนับในแต่ละวันซับซ้อนขึ้นได้โดยใช้ระบบที่ใช้ระบบที่ใช้ระบบซึ่งใช้กำลังสอง

ซับเซตเป็นแหล่งกำเนิดของคณิตศาสตร์

บน ช่วงเวลานี้สนามของจำนวนธรรมชาติ N ถือเป็นสับเซตหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น แต่ไม่ได้ทำให้พวกมันมีคุณค่าน้อยลงในทางวิทยาศาสตร์ เลขธรรมชาติเป็นสิ่งแรกที่เด็กเรียนรู้เมื่อศึกษาตัวเองและโลกรอบตัว หนึ่งนิ้ว สองนิ้ว... ต้องขอบคุณเขาที่ทำให้คน ๆ หนึ่งพัฒนาขึ้น การคิดอย่างมีตรรกะตลอดจนความสามารถในการระบุสาเหตุและอนุมานผล ปูทางไปสู่การค้นพบครั้งยิ่งใหญ่

อภิปราย: จำนวนธรรมชาติ

ความขัดแย้งรอบศูนย์

ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ... ดูเหมือนว่าคนโบราณจะไม่รู้จักศูนย์เลย และ TSB จะไม่ถือว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ ตามนั้นครับ อย่างน้อยนี่เป็นข้อความที่ขัดแย้งกัน เราจะพูดอะไรที่เป็นกลางกว่านี้เกี่ยวกับศูนย์ได้ไหม หรือมีข้อโต้แย้งที่น่าสนใจ? --.:อัจวอล:. 18:18 น. 9 กันยายน 2547 (UTC)

ย้อนกลับการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด --สูงสุด 20:24, 9 กันยายน 2547 (UTC)

ครั้งหนึ่ง French Academy ได้ออกพระราชกฤษฎีกาพิเศษให้รวม 0 ไว้ในชุดของจำนวนธรรมชาติ นี่เป็นมาตรฐาน ในความคิดของฉัน ไม่จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของ "จำนวนธรรมชาติของรัสเซีย" แต่ต้องปฏิบัติตามมาตรฐานนี้ โดยธรรมชาติแล้วควรกล่าวถึงว่ากาลครั้งหนึ่งไม่ได้เป็นเช่นนั้น (ไม่เพียง แต่ในรัสเซียเท่านั้น แต่ทุกที่) Tosha 23:16, 9 กันยายน 2547 (UTC)

French Academy ไม่ใช่คำสั่งสำหรับเรา นอกจากนี้ยังไม่มีความเห็นที่เป็นที่ยอมรับเกี่ยวกับเรื่องนี้ในวรรณคดีคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ ดูตัวอย่าง --Maxal 23:58, 9 กันยายน 2547 (UTC)

ที่ไหนสักแห่งตรงนั้นเขียนว่า: “หากคุณกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับประเด็นที่เป็นข้อขัดแย้ง ให้พยายามนำเสนอทุกมุมมอง โดยให้ลิงก์ไปยัง ความคิดเห็นที่แตกต่างกัน" เกาะเบส 23:15, 25 ธันวาคม 2547 (UTC)

ฉันไม่เห็นปัญหาที่เป็นข้อโต้แย้งที่นี่ แต่ฉันเห็นว่า: 1) การดูหมิ่นผู้เข้าร่วมคนอื่นๆ ด้วยการเปลี่ยนแปลง/ลบข้อความของพวกเขาอย่างมีนัยสำคัญ (เป็นธรรมเนียมที่จะต้องหารือเกี่ยวกับพวกเขาก่อนที่จะทำการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญ) 2) แทนที่คำจำกัดความที่เข้มงวด (ระบุจำนวนสมาชิกของเซต) ด้วยคำจำกัดความที่คลุมเครือ (มีความแตกต่างอย่างมากระหว่าง "การกำหนดหมายเลข" และ "การแสดงปริมาณ" หรือไม่) ดังนั้นฉันจึงย้อนกลับไปอีกครั้ง แต่ฉันจะแสดงความคิดเห็นครั้งสุดท้าย --สูงสุด 23:38 น. 25 ธันวาคม 2547 (UTC)

การไม่เคารพคือวิธีที่ฉันพิจารณาเงินใต้โต๊ะของคุณ ดังนั้นอย่าพูดถึงเรื่องนั้นเลย การแก้ไขของฉัน ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญบทความมันแค่กำหนดคำจำกัดความสองประการอย่างชัดเจน บทความฉบับก่อนหน้านี้ได้กำหนดคำจำกัดความของ "ไม่มีศูนย์" เป็นคำจำกัดความหลัก และ "มีศูนย์" เป็นคำจำกัดความประเภทหนึ่งที่ขัดแย้งกัน สิ่งนี้ไม่เป็นไปตามข้อกำหนดของ Wikipedia เลย (ดูคำพูดด้านบน) และบังเอิญว่ามันไม่ครบถ้วนสมบูรณ์ สไตล์วิทยาศาสตร์การนำเสนอในเวอร์ชันก่อนหน้า ฉันเพิ่มคำว่า "ภาวะเชิงการนับของเซต" เพื่อเป็นการอธิบาย "การแสดงแทนปริมาณ" และ "การแจงนับ" เป็น "การนับเลข" และถ้าคุณไม่เห็นความแตกต่างระหว่าง "การนับเลข" และ "การแสดงปริมาณ" ฉันขอถามหน่อยว่าทำไมคุณถึงแก้ไขบทความทางคณิตศาสตร์? เกาะเบส 23:58, 25 ธันวาคม 2547 (UTC)

สำหรับ "ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญ" - เวอร์ชันก่อนหน้านี้เน้นย้ำว่าความแตกต่างในคำจำกัดความนั้นอยู่ที่การระบุแหล่งที่มาของศูนย์ถึงจำนวนธรรมชาติเท่านั้น ในเวอร์ชันของคุณ คำจำกัดความจะถูกนำเสนอว่าแตกต่างอย่างสิ้นเชิง ส่วนคำจำกัดความ “พื้นฐาน” ก็ควรจะเป็นเช่นนั้น เพราะบทความนี้ค่ะ ภาษารัสเซีย Wikipedia ซึ่งหมายความว่าโดยพื้นฐานแล้วคุณต้องยึดติดกับสิ่งที่คุณพูด เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในโรงเรียนคณิตศาสตร์ของรัสเซีย- ฉันเพิกเฉยต่อการโจมตี --สูงสุด 00:15 น. 26 ธันวาคม 2547 (UTC)

ในความเป็นจริงความแตกต่างที่ชัดเจนเพียงอย่างเดียวคือศูนย์ อันที่จริงนี่คือความแตกต่างที่สำคัญอย่างแน่นอนซึ่งมาจากความเข้าใจที่แตกต่างกันเกี่ยวกับธรรมชาติของจำนวนธรรมชาติ: ในเวอร์ชันเดียว - เป็นปริมาณ; ในอีกทางหนึ่ง - เป็นตัวเลข นี้ อย่างแน่นอนแนวคิดที่แตกต่าง ไม่ว่าคุณจะพยายามปกปิดความจริงที่ว่าคุณไม่เข้าใจสิ่งนี้มากแค่ไหนก็ตาม

เกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่าในวิกิพีเดียภาษารัสเซียจำเป็นต้องอ้างอิงมุมมองของรัสเซียเป็นมุมมองที่โดดเด่น ดูอย่างระมัดระวังที่นี่ ดูบทความภาษาอังกฤษเกี่ยวกับคริสต์มาส ไม่ได้บอกว่าควรฉลองคริสต์มาสในวันที่ 25 ธันวาคม เพราะนั่นคือวิธีการเฉลิมฉลองในอังกฤษและสหรัฐอเมริกา ให้ความเห็นทั้งสองไว้ที่นั่น (และแตกต่างกันไม่มากไม่น้อยไปกว่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขธรรมชาติ "มีศูนย์" และ "ไม่มีศูนย์") และไม่มีคำใดคำหนึ่งว่าข้อใดเป็นจริงกว่ากัน

ในบทความเวอร์ชันของฉัน มุมมองทั้งสองถูกกำหนดให้เป็นอิสระและมีสิทธิเท่าเทียมกันในการดำรงอยู่ มาตรฐานรัสเซียระบุด้วยคำที่คุณอ้างถึงข้างต้น

บางทีด้วย จุดปรัชญาในแง่ของแนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติจริงๆ อย่างแน่นอนแตกต่างกัน แต่บทความนี้เสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ โดยความแตกต่างทั้งหมดคือ 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) หรือ 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) มุมมองที่โดดเด่นหรือไม่นั้นเป็นเรื่องละเอียดอ่อน ฉันชื่นชมวลีนี้ สังเกตได้ในโลกตะวันตกส่วนใหญ่ในวันที่ 25 ธันวาคมจากบทความภาษาอังกฤษเกี่ยวกับคริสต์มาสเป็นการแสดงออกถึงมุมมองที่โดดเด่นแม้ว่าจะไม่ได้ระบุวันที่อื่นไว้ในย่อหน้าแรกก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในบทความเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติฉบับที่แล้วยังไม่มีคำแนะนำโดยตรงเกี่ยวกับวิธีการเช่นกัน จำเป็นเพื่อกำหนดจำนวนธรรมชาติ มีเพียงคำจำกัดความที่ไม่มีศูนย์เท่านั้นที่ถูกนำเสนอว่าเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า (ในรัสเซีย) ไม่ว่าในกรณีใดถือเป็นการดีที่พบว่ามีการประนีประนอม --สูงสุด 00:53, 26 ธันวาคม 2547 (UTC)

สำนวน "ในวรรณคดีรัสเซีย 0 มักจะถูกแยกออกจากจำนวนธรรมชาติ" ค่อนข้างน่าแปลกใจ สุภาพบุรุษ 0 ไม่ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นทั่วโลก เท่าที่ฉันอ่านภาษาฝรั่งเศสเดียวกันนั้นกำหนดการรวมศูนย์ไว้โดยเฉพาะ แน่นอนว่า N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) ถูกใช้บ่อยกว่า แต่ถ้าเช่น ฉันชอบผู้หญิง ฉันจะไม่เปลี่ยนผู้ชายเป็นผู้หญิง ดรูอิด. 23-02-2014

ความไม่เป็นที่นิยมของจำนวนธรรมชาติ

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าจำนวนธรรมชาติเป็นวิชาที่ไม่เป็นที่นิยมในงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ (บางทีอาจไม่ใช่อย่างน้อยก็เนื่องมาจากขาดคำจำกัดความทั่วไป) จากประสบการณ์ของฉัน ฉันมักจะเห็นคำศัพท์ในบทความทางคณิตศาสตร์ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและ จำนวนเต็มบวก(ซึ่งตีความได้อย่างไม่คลุมเครือ) มากกว่า จำนวนเต็ม. ฝ่ายที่เกี่ยวข้องโปรดแสดงข้อตกลง (dis) ของคุณกับข้อสังเกตนี้ หากการสังเกตนี้พบการสนับสนุน ก็ควรระบุในบทความ --สูงสุด 01:12, 26 ธันวาคม 2547 (UTC)

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าคุณมีสิทธิ์ในส่วนสรุปของข้อความของคุณ ทั้งหมดนี้เป็นเพราะความแตกต่างในคำจำกัดความ ในบางกรณี ฉันเองก็ชอบที่จะระบุ "จำนวนเต็มบวก" หรือ "จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ" แทน "ธรรมชาติ" เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อนเกี่ยวกับการรวมศูนย์ และโดยทั่วไปแล้วฉันเห็นด้วยกับส่วนปฏิบัติการ เกาะ Bes 01:19, 26 ธันวาคม 2547 (UTC) ในบทความ - ใช่บางทีมันอาจจะเป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตาม ในข้อความที่ยาวกว่า รวมถึงตำแหน่งที่ใช้แนวคิดบ่อย ๆ ก็มักจะใช้ จำนวนเต็มอย่างไรก็ตาม ก่อนอื่นให้อธิบายจำนวนธรรมชาติ "อะไร" ที่เรากำลังพูดถึง - มีหรือไม่มีศูนย์ก็ได้ โลกิ 19:31 30 กรกฎาคม 2548 (UTC)

ตัวเลข

การใส่ชื่อตัวเลข (หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ) ไว้ในส่วนท้ายของบทความนี้คุ้มค่าหรือไม่? จะดีกว่าไหมถ้าใส่สิ่งนี้ลงในบทความ Number อย่างไรก็ตาม ในความคิดของฉัน บทความนี้ควรมีลักษณะทางคณิตศาสตร์มากกว่า คุณคิดว่า? --โลกิ 19:32 30 กรกฎาคม 2548 (UTC)

โดยทั่วไป แปลกที่คุณจะได้จำนวนธรรมชาติธรรมดาจากเซต *ว่าง* ได้อย่างไร โดยทั่วไปไม่ว่าคุณจะรวมความว่างเปล่าเข้ากับความว่างเปล่ามากแค่ไหนก็จะไม่มีอะไรออกมานอกจากความว่างเปล่า! นี่ไม่ใช่คำจำกัดความอื่นเลยใช่ไหม โพสต์เมื่อเวลา 21:46 น. 17 กรกฎาคม 2552 (มอสโก)

การจัดหมวดหมู่ของระบบสัจพจน์ของ Peano

ฉันได้เพิ่มข้อสังเกตเกี่ยวกับธรรมชาติของระบบสัจพจน์ของ Peano ซึ่งถือเป็นพื้นฐานในความคิดของฉัน โปรดจัดรูปแบบลิงก์ไปยังหนังสือให้ถูกต้อง [[ผู้เข้าร่วม: A_Devyatkov 06:58, 11 มิถุนายน 2010 (UTC)]]

สัจพจน์ของ Peano

ในวรรณกรรมต่างประเทศเกือบทั้งหมดและในวิกิพีเดีย สัจพจน์ของ Peano เริ่มต้นด้วย "0 เป็นจำนวนธรรมชาติ" อันที่จริงในต้นฉบับเขียนไว้ว่า "1 เป็นจำนวนธรรมชาติ" อย่างไรก็ตาม ในปี 1897 Peano ได้ทำการเปลี่ยนแปลงและเปลี่ยน 1 เป็น 0 ซึ่งเขียนไว้ใน "Formulaire de mathematiques", Tome II - No. 2 หน้า 81 นี่คือลิงค์ไปยังเวอร์ชันอิเล็กทรอนิกส์ในหน้าที่ต้องการ:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (ภาษาฝรั่งเศส)

คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีอยู่ใน "Rivista di matematica" เล่ม 6-7, 1899, หน้า 76 นอกจากนี้ยังมีลิงก์ไปยังเวอร์ชันอิเล็กทรอนิกส์ในหน้าที่ต้องการ:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (ภาษาอิตาลี)

0=0

“สัจพจน์ของเครื่องเล่นแผ่นเสียงดิจิทัล” คืออะไร?

ฉันต้องการย้อนกลับบทความไปเป็นเวอร์ชันที่ได้รับการตรวจตราล่าสุด ประการแรก มีคนเปลี่ยนชื่อสัจพจน์ของ Peano เป็นสัจพจน์ของ Piano ซึ่งเป็นสาเหตุที่ลิงก์หยุดทำงาน ประการที่สอง Tvorogov บางรายได้เพิ่มข้อมูลจำนวนมากลงในบทความซึ่งในความคิดของฉันไม่เหมาะสมอย่างยิ่งในบทความนี้ เขียนในลักษณะที่ไม่เป็นสารานุกรม นอกจากนี้ยังให้ผลลัพธ์ของ Tvorogov และลิงก์ไปยังหนังสือของเขาเอง ฉันขอยืนยันว่าควรลบหัวข้อเกี่ยวกับ "สัจพจน์ของเครื่องเล่นแผ่นเสียงดิจิทัล" ออกจากบทความนี้ ปล. เหตุใดหัวข้อเกี่ยวกับเลขศูนย์จึงถูกลบออก ดี 14:58, 12 มีนาคม 2557 (UTC)

ไม่ครอบคลุมหัวข้อนี้ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่ชัดเจนของจำนวนธรรมชาติ

กรุณาอย่าเขียนบาปเช่น " ตัวเลขธรรมชาติ (จำนวนธรรมชาติ) คือตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับ“ไม่มีอะไรเกิดขึ้นตามธรรมชาติในสมอง สิ่งที่คุณใส่ไว้ก็จะอยู่ที่นั่น

เด็กอายุ 5 ขวบจะอธิบายได้อย่างไรว่าจำนวนใดเป็นจำนวนธรรมชาติ ท้ายที่สุดแล้ว ยังมีคนที่ต้องอธิบายราวกับว่าพวกเขาอายุห้าขวบ จำนวนธรรมชาติแตกต่างจากจำนวนปกติอย่างไร? จำเป็นต้องมีตัวอย่าง! 1, 2, 3 เป็นธรรมชาติ และ 12 เป็นธรรมชาติ และ -12? และสามในสี่หรือเช่น 4.25 โดยธรรมชาติ? 95.181.136.132 15:09 น. 6 พฤศจิกายน 2557 (UTC)

• ตัวเลขธรรมชาติเป็นแนวคิดพื้นฐาน ซึ่งเป็นนามธรรมดั้งเดิม ไม่สามารถกำหนดได้ คุณสามารถเจาะลึกปรัชญาได้เท่าที่คุณต้องการ แต่ในท้ายที่สุดคุณต้องยอมรับ (ยอมรับในศรัทธา?) ตำแหน่งเลื่อนลอยที่เข้มงวด หรือยอมรับว่าไม่มีคำจำกัดความที่แน่นอน จำนวนธรรมชาติเป็นส่วนหนึ่งของระบบที่เป็นทางการที่ประดิษฐ์ขึ้น แบบจำลองที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้น (หรือพระเจ้า) ฉันพบบทความที่น่าสนใจในหัวข้อนี้ คุณชอบตัวเลือกนี้อย่างไร เช่น “ระบบ Peano เฉพาะใดๆ เรียกว่าอนุกรมธรรมชาติ นั่นคือแบบจำลองของทฤษฎีสัจพจน์ของ Peano” รู้สึกดีขึ้น? RomanSuzi 17:52, 6 พฤศจิกายน 2014 (UTC)
  • ดูเหมือนว่าด้วยแบบจำลองและทฤษฎีสัจพจน์ของคุณ คุณแค่ทำให้ทุกอย่างซับซ้อนเท่านั้น อย่างดีที่สุด สองในพันคนจะเข้าใจคำจำกัดความนี้ เลยคิดว่าย่อหน้าแรกไม่มีประโยค" ด้วยคำพูดง่ายๆ: จำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งรวม" คำจำกัดความนี้ฟังดูเป็นเรื่องปกติสำหรับคนส่วนใหญ่ และไม่มีเหตุผลที่จะสงสัยในคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ เพราะหลังจากอ่านบทความแล้วฉันก็ไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร เป็น และหมายเลข 807423 เป็นตัวเลขธรรมชาติหรือตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ประกอบขึ้นเป็นตัวเลขนี้ เช่น 8 0 7 4 2 3 มักจะเกิดภาวะแทรกซ้อนเท่านั้น ข้อมูลเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติควรอยู่ในหน้านี้และไม่ได้อยู่ในลิงก์ไปยังหน้าอื่นมากมาย 7 พฤศจิกายน 2557 (UTC)
    • มีความจำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างสองงาน: (1) ชัดเจน (แม้ว่าจะไม่เข้มงวดก็ตาม) อธิบายให้ผู้อ่านที่อยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์ว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไรเพื่อที่เขาจะได้เข้าใจถูกต้องไม่มากก็น้อย; (2) ให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของจำนวนธรรมชาติ โดยยึดตามคุณสมบัติพื้นฐานของมัน คุณสนับสนุนตัวเลือกแรกอย่างถูกต้องในคำนำ แต่เป็นสิ่งที่ให้ไว้ในบทความอย่างแม่นยำ: จำนวนธรรมชาติคือรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการนับ: หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตัวอย่างของคุณ (807423) สามารถรับได้อย่างแน่นอนเมื่อ การนับ ซึ่งหมายความว่านี่เป็นจำนวนธรรมชาติด้วย ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมคุณถึงสับสนกับตัวเลขและวิธีการเขียนตัวเลข นี่เป็นหัวข้อแยกต่างหาก ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำจำกัดความของตัวเลข คำอธิบายเวอร์ชันของคุณ: “ จำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งรวม“ไม่ดีเพราะไม่สามารถนิยามให้น้อยลงได้ แนวคิดทั่วไป(จำนวนธรรมชาติ) ถึงจำนวนทั่วไปมากกว่า (จำนวน) ที่ยังไม่ได้กำหนดไว้ มันยากสำหรับฉันที่จะจินตนาการถึงผู้อ่านที่รู้ว่าจำนวนเต็มบวกคืออะไร แต่ไม่รู้ว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร LGB 12:06 7 พฤศจิกายน 2557 (UTC)
      • ไม่สามารถกำหนดจำนวนธรรมชาติในรูปของจำนวนเต็มได้ RomanSuzi 17:01 7 พฤศจิกายน 2557 (UTC)

• “ไม่มีอะไรเกิดขึ้นตามธรรมชาติในสมอง” การศึกษาล่าสุดแสดง (ฉันไม่พบลิงก์ใด ๆ ในขณะนี้) ว่าสมองของมนุษย์พร้อมที่จะใช้ภาษา ดังนั้นโดยธรรมชาติแล้ว ในยีนของเรามีความพร้อมที่จะเชี่ยวชาญภาษาอยู่แล้ว สำหรับจำนวนธรรมชาติ นี่คือสิ่งที่จำเป็น คุณสามารถแสดงแนวคิดของ "1" ได้ด้วยมือของคุณ จากนั้นคุณสามารถเพิ่มแท่งไม้ รับ 2, 3 และอื่นๆ โดยการเหนี่ยวนำ หรือ: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII แต่บางทีคุณอาจมีข้อเสนอแนะเฉพาะสำหรับการปรับปรุงบทความโดยอิงจากแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ RomanSuzi 17:57, 6 พฤศจิกายน 2014 (UTC)

จำนวนธรรมชาติในคณิตศาสตร์คืออะไร?

วลาดิเมียร์ z

ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับจำนวนวัตถุและนับปริมาณ ในการนับเลข จะใช้จำนวนเต็มบวก โดยเริ่มจาก 1

และในการนับจำนวนนั้นยังรวม 0 ไว้ด้วย ซึ่งบ่งชี้ว่าไม่มีวัตถุ

แนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติจะมีเลข 0 หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์ หากจะนำเสนอสิ่งใดๆ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หากกำหนดให้ต้องมี 0 ในชุดของจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้จะถูกกำหนดและถือว่าเป็นความจริง (สัจพจน์) ที่ไม่เปลี่ยนรูปภายในกรอบของทฤษฎีนี้ คำจำกัดความของเลข 0 ทั้งบวกและลบ ใกล้เคียงกันมาก หากเราถือว่าคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบทั้งหมด คำถามก็จะเกิดขึ้น เลข 0 คืออะไร - บวกหรือลบ?

ใน การประยุกต์ใช้จริงตามกฎแล้ว จะใช้คำจำกัดความแรกที่ไม่รวมตัวเลข 0

ดินสอ

ตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับ (จำนวน) วัตถุ หรือเพื่อระบุจำนวนวัตถุหรือเพื่อระบุ หมายเลขซีเรียลวัตถุในรายการ ผู้เขียนบางคนใส่ศูนย์ไว้ในแนวคิดเรื่อง "ตัวเลขธรรมชาติ" โดยไม่ตั้งใจ บ้างก็ใช้สูตร "จำนวนธรรมชาติและศูนย์" สิ่งนี้ไม่มีหลักการ เซตของจำนวนธรรมชาตินั้นเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติที่มีขนาดใหญ่ใดๆ คุณสามารถดำเนินการบวกกับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งแล้วได้จำนวนที่มากขึ้นอีก

จำนวนลบและไม่ใช่จำนวนเต็มจะไม่รวมอยู่ในชุดของจำนวนธรรมชาติ

เทือกเขาซายัน

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับ พวกเขาสามารถเป็นบวกและทั้งหมดเท่านั้น สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรในตัวอย่าง? เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ใช้สำหรับการนับ เราจึงลองคำนวณบางอย่างกัน คุณสามารถนับอะไรได้บ้าง? ตัวอย่างเช่นผู้คน เราสามารถนับคนได้ดังนี้ 1 คน 2 คน 3 คน เป็นต้น ตัวเลข 1, 2, 3 และอื่นๆ ที่ใช้ในการนับจะเป็นตัวเลขธรรมชาติ เราไม่เคยพูดว่า -1 (ลบหนึ่ง) คน หรือ 1.5 (หนึ่งครึ่ง) คน (ขออภัยการเล่นสำนวน :) ดังนั้น -1 และ 1.5 (เช่นเดียวกับจำนวนลบและเศษส่วนทั้งหมด) จึงไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ

ลอเรไล

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุ

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคือหนึ่ง คำถามมักเกิดขึ้นว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ ไม่ ไม่ได้อยู่ในแหล่งที่มาของรัสเซียส่วนใหญ่ แต่ในประเทศอื่นๆ เลข 0 ถือเป็นเลขธรรมชาติ...

โมเรลจูบา

ตัวเลขธรรมชาติในคณิตศาสตร์หมายถึงตัวเลขที่ใช้ในการนับบางสิ่งหรือบางคนตามลำดับ จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดถือเป็นหนึ่ง ในกรณีส่วนใหญ่ 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ ตัวเลขติดลบจะไม่รวมอยู่ที่นี่ด้วย

สวัสดีชาวสลาฟ

จำนวนธรรมชาติหรือที่เรียกว่าจำนวนธรรมชาติ คือจำนวนที่เกิดขึ้นในลักษณะปกติเมื่อทำการนับจำนวนเหล่านั้นและมากกว่าศูนย์ ลำดับของจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวซึ่งจัดเรียงจากน้อยไปหามาก เรียกว่าอนุกรมธรรมชาติ

เอเลน่า นิกิตยัค

คำว่าจำนวนธรรมชาติถูกใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ จำนวนเต็มบวกเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดถือเป็น “0” ในการคำนวณสิ่งใดๆ ก็ตาม จะใช้จำนวนธรรมชาติที่เหมือนกันเหล่านี้ เช่น 1,2,3... และอื่นๆ

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับ นั่นคือ 1, 2, 3, 4, 5 และอื่นๆ ที่เป็นตัวเลขธรรมชาติ

สิ่งเหล่านี้จำเป็นต้องเป็นจำนวนบวกที่มากกว่าศูนย์

จำนวนเศษส่วนก็ไม่อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติเช่นกัน

-กล้วยไม้-

ต้องใช้จำนวนธรรมชาติในการนับบางสิ่ง เป็นชุดของจำนวนบวกเท่านั้น โดยเริ่มจากหนึ่ง สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น คุณสามารถคำนวณอะไรก็ได้ด้วยจำนวนธรรมชาติ

มาร์เลนา

ตัวเลขธรรมชาติคือจำนวนเต็มที่เรามักใช้ในการนับวัตถุ ศูนย์เช่นนี้จะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากปกติแล้วเราจะไม่ใช้ในการคำนวณ

Inara-pd

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับ หนึ่ง สอง สาม และอื่นๆ

จำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นจากความต้องการเชิงปฏิบัติของมนุษย์

ตัวเลขธรรมชาติเขียนโดยใช้ตัวเลขสิบหลัก

ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติคืออะไร?

เนาเมนโก

ตัวเลขธรรมชาติก็คือตัวเลข ใช้ในการนับและนับวัตถุตามธรรมชาติ (ดอกไม้ ต้นไม้ สัตว์ นก ฯลฯ)

เรียกว่าจำนวนเต็ม ตัวเลขธรรมชาติ จำนวนตรงข้ามและศูนย์

อธิบาย. สิ่งที่เป็นธรรมชาติผ่านจำนวนเต็มนั้นไม่ถูกต้อง!! -

ตัวเลขสามารถเป็นเลขคู่ได้ - หารด้วย 2 ลงตัว และเลขคี่ - หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้

เลขเฉพาะก็คือตัวเลข มีตัวหารเพียง 2 ตัว - ตัวหนึ่งและตัวมันเอง...
สมการแรกของคุณไม่มีคำตอบ สำหรับวินาทีที่สอง x=6 6 เป็นจำนวนธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติ (จำนวนธรรมชาติ) คือตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับ (ทั้งในแง่ของการแจงนับและในแง่ของแคลคูลัส)

เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะเขียนแทนด้วย \mathbb(N) เซตของจำนวนธรรมชาตินั้นเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะมีจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า

แอนนา เซเมนเชนโก้

ตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการนับ (ทั้งในแง่ของการแจกแจงและในแง่ของแคลคูลัส)
มีสองวิธีในการกำหนดจำนวนธรรมชาติ - ตัวเลขที่ใช้ใน:
การลงรายการ (ลำดับเลข) รายการ (ที่หนึ่ง สอง สาม ...);
การกำหนดจำนวนรายการ (ไม่มีรายการ หนึ่งรายการ สองรายการ ...) นำมาใช้ในงานของบูร์บากิ ซึ่งจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด
จำนวนลบและไม่ใช่จำนวนเต็ม (ตรรกยะ, จำนวนจริง, ...) ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะแสดงด้วยเครื่องหมาย เซตของจำนวนธรรมชาตินั้นเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะมีจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า

ตัวเลขธรรมชาติและสมบัติของมัน

ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุในชีวิต เมื่อเขียนจำนวนธรรมชาติใดๆ จะใช้ตัวเลข $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

ลำดับของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งแต่ละจำนวนถัดไปซึ่งมากกว่าจำนวนก่อนหน้า $1$ จะก่อตัวเป็นจำนวนธรรมชาติ แถวซึ่งขึ้นต้นด้วย 1 (เนื่องจากอันหนึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด) และไม่มี มูลค่าสูงสุด, เช่น. ไม่มีที่สิ้นสุด

ศูนย์ไม่ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ

คุณสมบัติของความสัมพันธ์แบบสืบทอด

คุณสมบัติทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติและการดำเนินการตามคุณสมบัติสี่ประการของความสัมพันธ์แบบสืบทอดซึ่งกำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2434 โดย D. Peano:

หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใดๆ

จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะตามด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียวเท่านั้น

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนที่ไม่ใช่ $1$ จะตามมาด้วยจำนวนธรรมชาติเพียงตัวเดียวเท่านั้น

เซตย่อยของจำนวนธรรมชาติที่มีตัวเลข $1$ และตามด้วยตัวเลขแต่ละตัวที่ตามมา จะประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด

หากรายการของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยตัวเลขหนึ่งหลัก จะเรียกว่าตัวเลขหลักเดียว (เช่น $2,6.9$ เป็นต้น) หากรายการประกอบด้วยตัวเลขสองหลัก จะเรียกว่าตัวเลขสองหลัก (เช่น $12 ,18,45$) ฯลฯ ในทำนองเดียวกัน สองหลัก สามหลัก สี่หลัก ฯลฯ ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขเรียกว่าหลายค่า

คุณสมบัติของการบวกของจำนวนธรรมชาติ

สมบัติการสับเปลี่ยน: $a+b=b+a$

ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่

คุณสมบัติรวมกัน: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

หากต้องการบวกผลรวมของตัวเลขสองตัวเข้ากับตัวเลข คุณสามารถเพิ่มเทอมแรกได้ก่อน จากนั้นจึงบวกเทอมที่สองเข้ากับผลรวมผลลัพธ์

การเพิ่มศูนย์จะไม่เปลี่ยนตัวเลข และถ้าคุณบวกตัวเลขใดๆ เข้ากับศูนย์ คุณจะได้รับตัวเลขที่เพิ่มเข้าไป

คุณสมบัติการลบ

คุณสมบัติในการลบผลรวมจากตัวเลข $a-(b+c) =a-b-c$ ถ้า $b+c ≤ a$

หากต้องการลบผลรวมออกจากตัวเลข คุณสามารถลบเทอมแรกออกจากตัวเลขนี้ก่อน จากนั้นจึงลบเทอมที่สองออกจากผลต่างที่ได้

คุณสมบัติของการลบตัวเลขออกจากผลรวม $(a+b) -c=a+(b-c)$ ถ้า $c ≤ b$

หากต้องการลบตัวเลขออกจากผลรวม คุณสามารถลบออกจากเทอมหนึ่งแล้วบวกอีกเทอมเข้ากับผลต่างที่ได้

หากคุณลบศูนย์ออกจากตัวเลข ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากคุณลบออกจากตัวเลข คุณจะได้ศูนย์

คุณสมบัติของการคูณ

การสื่อสาร $a\cdot b=b\cdot a$

ผลคูณของตัวเลขสองตัวจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงตัวประกอบใหม่

คำเชื่อม $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณสามารถคูณด้วยตัวประกอบแรกก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบที่สอง

เมื่อคูณด้วยหนึ่ง ผลคูณจะไม่เปลี่ยนแปลง $m\cdot 1=m$

เมื่อคูณด้วยศูนย์ ผลคูณจะเป็นศูนย์

เมื่อไม่มีวงเล็บในเครื่องหมายผลิตภัณฑ์ การคูณจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คุณสมบัติของการคูณสัมพันธ์กับการบวกและการลบ

สมบัติการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

หากต้องการคูณผลรวมด้วยตัวเลข คุณสามารถคูณแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

ตัวอย่างเช่น $5(x+y)=5x+5y$

คุณสมบัติการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

หากต้องการคูณผลต่างด้วยตัวเลข ให้คูณเครื่องหมายลบและลบด้วยตัวเลขนี้ แล้วลบส่วนที่สองจากผลคูณแรก

ตัวอย่างเช่น $5(x-y)=5x-5y$

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

สำหรับจำนวนธรรมชาติ $a$ และ $b$ ความสัมพันธ์ใดความสัมพันธ์หนึ่งจากสามความสัมพันธ์เท่านั้นที่สามารถตอบสนองได้: $a=b$, $a

จำนวนที่ปรากฏก่อนหน้าในชุดปกติจะถือว่าน้อยกว่า และจำนวนที่ปรากฏในภายหลังจะถือว่ามากกว่า ศูนย์มีค่าน้อยกว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่างที่ 1

เปรียบเทียบตัวเลข $a$ และ $555$ หากทราบว่ามีจำนวน $b$ อยู่จำนวนหนึ่ง และมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: $a

สารละลาย: ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ระบุ เพราะ ตามเงื่อนไข $a

ในเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติที่มีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนจะมีจำนวนน้อยที่สุด

ในทางคณิตศาสตร์ สับเซตเป็นส่วนหนึ่งของเซต เซตหนึ่งเรียกว่าสับเซตของอีกเซตหนึ่ง ถ้าแต่ละสมาชิกของเซตย่อยนั้นเป็นสมาชิกของเซตที่ใหญ่กว่าด้วย

บ่อยครั้งในการเปรียบเทียบตัวเลข พวกเขาพบความแตกต่างและเปรียบเทียบกับศูนย์ หากผลต่างมากกว่า $0$ แต่ตัวเลขแรกมากกว่าตัวเลขที่สอง หากผลต่างน้อยกว่า $0$ แสดงว่าตัวเลขแรก น้อยกว่าสอง.

การปัดเศษของจำนวนธรรมชาติ

เมื่อไม่ต้องการความแม่นยำเต็มที่หรือเป็นไปไม่ได้ ตัวเลขจะถูกปัดเศษ นั่นคือจะถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่ปิดโดยมีเลขศูนย์ที่ท้าย

จำนวนธรรมชาติจะถูกปัดเศษเป็นสิบ ร้อย พัน ฯลฯ

เมื่อปัดเศษตัวเลขเป็นสิบ จะแทนที่ด้วยจำนวนที่ใกล้ที่สุดซึ่งประกอบด้วยสิบเต็ม ตัวเลขดังกล่าวจะมีหลัก $0$ อยู่ในหลักหน่วย

เมื่อปัดเศษตัวเลขให้เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด จะถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่ใกล้ที่สุดซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มร้อย ตัวเลขดังกล่าวจะต้องมีหลัก $0$ อยู่ในหลักสิบและหลัก ฯลฯ

ตัวเลขที่มีการปัดเศษนี้เรียกว่าค่าโดยประมาณของตัวเลขด้วยความแม่นยำของตัวเลขที่ระบุ ตัวอย่างเช่น หากคุณปัดเศษตัวเลข $564$ เป็นสิบ เราจะพบว่าคุณสามารถปัดเศษลงแล้วได้ $560$ หรือ ด้วยส่วนเกินและรับ $570$

กฎการปัดเศษของจำนวนธรรมชาติ

หากทางด้านขวาของหลักที่มีการปัดเศษตัวเลข มีหลัก $5$ หรือมีหลักที่มากกว่า $5$ ดังนั้น $1$ จะถูกเพิ่มเข้าไปในหลักของหลักนี้ มิฉะนั้นตัวเลขนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ทางด้านขวาของตัวเลขที่มีการปัดเศษจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์