คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความถี่สัมพัทธ์ และความเสถียรของเหตุการณ์
ความถี่สัมพัทธ์ ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์
ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นต่อจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการจริง ในกรณีนี้, ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A ถูกกำหนดโดยสูตร
โดยที่ m คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ n คือจำนวนการทดลองทั้งหมด
การกำหนดความน่าจะเป็นไม่จำเป็นต้องทำการทดสอบจริง การหาความถี่สัมพัทธ์จะถือว่าการทดสอบได้ดำเนินการจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นจะถูกคำนวณก่อนการทดสอบ และความถี่สัมพัทธ์จะถูกคำนวณหลังการทดสอบ
การสังเกตในระยะยาวแสดงให้เห็นว่าหากการทดลองดำเนินการภายใต้สภาวะที่เหมือนกัน โดยในแต่ละการทดสอบมีจำนวนการทดสอบมากพอ ความถี่สัมพัทธ์จะแสดงคุณสมบัติของความเสถียร คุณสมบัตินี้คือว่าใน ประสบการณ์ต่างๆความถี่สัมพัทธ์เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย (ยิ่งน้อย ยิ่งทำการทดสอบมากขึ้น) โดยผันผวนไปตามจำนวนคงที่ที่แน่นอน ปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น
อย่างไรก็ตาม หากมีการกำหนดความถี่สัมพัทธ์โดยการทดลอง จำนวนผลลัพธ์ที่ได้จะถือเป็นค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้
ตัวอย่างที่ 1. มีการทดลองโยนเหรียญหลายครั้ง โดยนับจำนวนที่ปรากฏของ "ตราแผ่นดิน" ผลลัพธ์ของการทดลองหลายครั้งแสดงไว้ในตาราง
ความถี่สัมพัทธ์ไม่มีนัยสำคัญ เบี่ยงเบนไปจากเลข 0.5 และน้อยกว่า จำนวนที่มากขึ้นการทดสอบ
หากเราคำนึงว่าความน่าจะเป็นที่การปรากฏตัวของ 'Г' เมื่อโยนเหรียญ = 0.5 เราก็มั่นใจอีกครั้งว่ามันเกี่ยวข้องกัน ความถี่จะผันผวนอยู่ด้านบน
ที่สุด ด้านที่อ่อนแอคลาสสิค แนวคิดหลักคือมักเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำเสนอผลการทดสอบในรูปแบบของเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นการยากยิ่งขึ้นที่จะระบุเหตุผลที่ทำให้เราพิจารณาองค์ประกอบต่างๆ เท่าๆ กัน ด้วยเหตุนี้จึงควบคู่ไปกับความคลาสสิก มีการใช้คำจำกัดความของ ver-ti เป็นต้น
โพสต์บน Ref.rf
คำจำกัดความของ ver-ti โดยเฉพาะ ทางสถิติ:เหตุการณ์ต่างๆ ถือเป็นความจริงทางสถิติ ความถี่หรือตัวเลขที่ใกล้เคียงกัน
ในเวลาเดียวกัน คำจำกัดความของ ver-ti ทางสถิติก็มี ``-'' ในตัวของมันเอง ตัวอย่างเช่น ความคลุมเครือของ ver-ti ทางสถิติ ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา คุณภาพของความจริงของเหตุการณ์นั้นสามารถนำมาได้ไม่เพียงแค่ 0.5 แต่ยังรวมถึง 0.5069 และ 0.5016 เป็นต้น
แนวคิดของ ' เวอร์ชั่นเรขาคณิต'คอมพ์ ต่อไป:
เส้นทางไปยังพื้นที่ G จะถูกสุ่มทีละจุด โดยทั่วไปแล้วสำนวน "โยนแบบสุ่ม" เข้าใจกันในแง่ที่ว่าจุดที่ถูกโยนสามารถชนจุดใดก็ได้ในพื้นที่ G เชื่อกันว่าจะโดนจุดใดจุดหนึ่ง ส่วนหนึ่งของขอบเขต G เป็นสัดส่วนกับการวัดส่วนนี้ (ความยาว พื้นที่ ปริมาตร) และไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งและรูปร่าง
ที่. ถ้า g เป็นส่วนหนึ่งของขอบเขต G ความน่าจะเป็นที่จะเข้าสู่ขอบเขต g ตามนิยาม = P(g) = วัด g/หน่วยวัด G โปรดทราบว่ากฎ Ω ของผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมดแสดงถึงผลรวมของทุกจุดในพื้นที่ G และดังนั้นจึงประกอบด้วยชุดเหตุการณ์พื้นฐานที่ไม่มีที่สิ้นสุด => แนวคิดของ "เรขาคณิต" Ver-t' ถือได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดของ 'คลาสสิก' เชื่อในกรณีของการทดลองที่มีผลลัพธ์ไม่สิ้นสุด
งานประชุม- วิธีแก้: ให้เราเขียนโมเมนต์การมาถึงของบุคคล A และ B ด้วย x และ y การประชุมจะเกิดขึ้นถ้า |x-y|≤10
หากคุณพรรณนา x และ y เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะแสดงด้วยจุดหนึ่งในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 60
10≤y-x≤10
ปัญหาของบุฟฟ่อน- วิธีแก้ไข: ขอแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้: x – ระยะห่างจากกึ่งกลางเข็มถึงเส้นขนานที่ใกล้ที่สุด;
φ คือมุมที่เส้นขนานนี้ทำกับเข็ม
ตำแหน่งของเข็มถูกกำหนดโดยค่าเฉพาะที่กำหนดของ x และ φ ยิ่งกว่านั้น x Є(0;a), φЄ(0;π) กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดกึ่งกลางของเข็มสามารถตกไปที่จุดใดๆ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน a และ π ได้
ที่. สี่เหลี่ยมนี้ถือได้ว่าเป็นรูป G ซึ่งจุดที่แสดงถึงตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดตรงกลางเข็ม แน่นอนว่าพื้นที่ของรูปนี้ = πa
ลองหารูป g ซึ่งแต่ละจุดที่เอื้อต่อเหตุการณ์ที่เราสนใจ แทร.อ. แต่ละจุดของรูปสามารถใช้เป็นจุดกึ่งกลางของเข็มได้ซึ่งขอบจะถูกขนานกัน
เข็มจะตัดเส้นขนานที่ใกล้เคียงที่สุดกับที่กำหนดไว้: x≤l·sinφ
เหล่านั้น. หากจุดกึ่งกลางของเข็มไปโดนจุดใดๆ ของภาพที่แรเงาไว้ในรูปที่ (2) ที่. รูปที่แรเงาสามารถมองได้ว่าเป็น g มาหาพื้นที่กัน:
คำตอบ: 2 ลิตร/aπ
ความถี่สัมพัทธ์ ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "ความถี่สัมพัทธ์ ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์" 2017, 2018
หัวข้อทฤษฎีความน่าจะเป็น การทดลอง. การจำแนกประเภทของเหตุการณ์
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบที่เกิดขึ้นในการทดสอบแบบเนื้อเดียวกันหนาแน่น (MOT)
การทดสอบคือชุดของเงื่อนไขและการดำเนินการ
MY คือการทดสอบที่สามารถดำเนินการต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนดในทางทฤษฎี (การศึกษา การสำรวจทางสังคม การโยนเหรียญ)
ผลลัพธ์ของการทดสอบคือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ
เหตุการณ์คือสิ่งที่เป็นนามธรรมของผลลัพธ์ของการทดสอบ (ไม่ว่าปรากฏการณ์จะเกิดขึ้นใน MY หรือไม่ก็ตาม)
เช่น การโยนเหรียญเป็นการทดสอบ และการปรากฏของ “หัว” ถือเป็นเหตุการณ์หนึ่ง
เหตุการณ์นี้มักจะแสดงด้วย lats ขนาดใหญ่ ตัวอักษร A, B, C.
ประเภทของกิจกรรม:
1. เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นภายใต้ผลลัพธ์ของการทดสอบใด ๆ เรียกว่าเชื่อถือได้
2. เป็นไปไม่ได้ - จะไม่เกิดขึ้นภายใต้ผลลัพธ์ของการทดสอบใดๆ
3. สุ่ม - อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดสอบ
เช่น มีการโยนลูกเต๋า
เหตุการณ์ A – จำนวนคะแนนไม่ > 6: เชื่อถือได้
เหตุการณ์ B – จำนวนคะแนน > 6: เป็นไปไม่ได้
เหตุการณ์ C – 1 ถึง 6: สุ่ม
เหตุการณ์สุ่ม
1. เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน - ผู้ที่มีผลการทดสอบแต่ละรายการมีความเท่าเทียมกัน
เช่น จั่วไพ่คิง เอซ ควีน แจ็คจากสำรับไพ่
2. เป็นไปได้โดยเฉพาะ - เช่น หากมีอย่างน้อยหนึ่งรายการเกิดขึ้นในการทดสอบ
ตัวอย่างเช่น มีเด็ก 2 คนในครอบครัว: A – ชาย 2 คน, B – เด็กผู้หญิง 2 คน, C – 1 ม. และ 1 วัน
เชิงผสม สูตรพื้นฐานของเชิงผสม
Combinatorics เป็นศาสตร์แห่งการเชื่อมโยง การเชื่อมต่อเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบใด ๆ ของชุดใดชุดหนึ่ง
เช่น นักเรียนจำนวนมากนั่งอยู่ในห้องเรียน
การเชื่อมต่อทั้งหมดแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม:
1) ตำแหน่ง R-mi ขององค์ประกอบ n โดย m () เรียกว่าการเชื่อมต่อที่แตกต่างกันไม่ว่าจะในองค์ประกอบขององค์ประกอบหรือตามลำดับการเชื่อมต่อขององค์ประกอบหรือทั้งสองอย่าง
อืม = n!/(n-m)!
งาน. สามารถสร้างตัวเลข 2 หลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดจากชุดตัวเลข (1;2;3;4) และเพื่อให้ตัวเลขของตัวเลขนั้นแตกต่างกัน
และจาก 4 เป็น 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12
2) การรวมกัน การรวมกันขององค์ประกอบ n ส่วนเหนือ m คือสารประกอบเหล่านั้นที่แตกต่างกันเฉพาะในองค์ประกอบขององค์ประกอบเท่านั้น (ลำดับไม่สำคัญ)
จาก n ถึง m = n!/m!*(n-m)!
งาน. กลุ่ม 30 คนสามารถแจกจ่ายบัตรกำนัลให้กับโรงพยาบาล Ussuri ได้กี่วิธี?
C จาก 30 เป็น 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060
3) การเรียงสับเปลี่ยน (Pn) การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n คือการเชื่อมต่อที่รวมองค์ประกอบ n ทั้งหมดและแตกต่างกันตามลำดับการเชื่อมต่อเท่านั้น
งาน. นักเรียนนายร้อย 6 นายสามารถเรียงแถวบนลานสวนสนามได้กี่วิธี?
SUM RULE - หากวัตถุ a สามารถเลือกได้จากเซตด้วยวิธี s ที่แตกต่างกัน และวัตถุ b - ด้วยวิธี r ที่แตกต่างกัน ดังนั้นการเลือกองค์ประกอบ a หรือแท่งใดองค์ประกอบหนึ่งก็สามารถทำได้ด้วยวิธี r + s ที่แตกต่างกัน
กฎผลิตภัณฑ์ - หากสามารถเลือกวัตถุ a ได้ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน และหลังจากเลือกแต่ละครั้งแล้ว สามารถเลือกวัตถุ b ได้ด้วยวิธี r ที่แตกต่างกัน ดังนั้นการเลือกคู่ขององค์ประกอบสามารถทำได้ด้วยวิธี r * ที่แตกต่างกัน (a และ ข = ร * ส)
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น คุณสมบัติของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ (P(A) = m/n)
คุณสมบัติ V-TI:
1) จำนวนเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ = 1
เพราะ D เป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ ดังนั้นทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบจะสนับสนุนเหตุการณ์นั้น กล่าวคือ ม.=น.
P(D) = ม/n = ไม่มี/n = 1/
2) จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ เพราะ เหตุการณ์ N เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่มีผลลัพธ์เบื้องต้นใดที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ กล่าวคือ ม.=0.
P(D) = ม/n = 0/n = 0/
3) มีกิจกรรมสุ่ม จำนวนบวกระหว่าง 0 ถึง 1 เหตุการณ์สุ่ม S ได้รับการสนับสนุนโดยเท่านั้น จำนวนทั้งหมดองค์ประกอบ. ผลการทดสอบเช่น 0 0 ดังนั้น ค่าของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า: 0<=P(A)<=1. ความถี่สัมพัทธ์ ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นต่อจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการจริง W(A)=m/n โดยที่ m คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ n คือจำนวนการทดลองทั้งหมด ค่าแนะนำ แต่ความถี่สัมพัทธ์ได้รับการแก้ไข V ไม่ต้องการให้เกิดเหตุการณ์ แต่ความถี่สัมพัทธ์ต้องเกิดขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เหตุการณ์บางอย่างจะถูกคำนวณก่อนการทดลอง และสัมพันธ์กัน ความถี่ - หลัง ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ การสังเกตในระยะยาวแสดงให้เห็นว่าหากการทดลองดำเนินการภายใต้สภาวะที่เหมือนกัน โดยในแต่ละการทดสอบมีจำนวนการทดสอบมากพอ ความถี่สัมพัทธ์จะแสดงคุณสมบัติของความเสถียร คุณสมบัตินี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าในการทดลองต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย โดยผันผวนไปตามจำนวนคงที่ที่แน่นอน ปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น W(A) = P(A) ค่าทางสถิติของเหตุการณ์คือตัวเลขที่มีการจัดกลุ่มความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์นี้ และภายใต้สภาวะคงที่และจำนวนการทดสอบที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ความถี่สัมพัทธ์จะแตกต่างจากตัวเลขนี้เล็กน้อย คำนิยาม- ให้เข้า n
การทดลองซ้ำ (tests) เหตุการณ์บางอย่าง ก
มันมาถึงแล้ว เอ็น เอ
ครั้งหนึ่ง. ตัวเลข เอ็น เอ
เรียกว่าความถี่ของเหตุการณ์ ก
และอัตราส่วน เรียกว่าความถี่สัมพัทธ์ (หรือความถี่) ของเหตุการณ์ ก
ในชุดการทดสอบที่กำลังพิจารณา คุณสมบัติของความถี่สัมพัทธ์ ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1.
ความถี่ของเหตุการณ์ใด ๆ อยู่ในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่งนั่นคือ 2.
ความถี่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ เช่น 3.
ความถี่ของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือ 1 เช่น 4.
ความถี่ของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความถี่ (ความถี่) ของเหตุการณ์เหล่านี้ กล่าวคือ ถ้า =Ø แล้ว ความถี่มี คุณสมบัติ
เรียกว่าทรัพย์สิน เสถียรภาพทางสถิติ
: ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น (เช่น ด้วยการเพิ่มขึ้น n
) ความถี่ของเหตุการณ์จะใช้ค่าใกล้เคียงกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ ร
. คำนิยาม. ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ Aคือตัวเลขที่ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์มีความผันผวน ก
ด้วยการทดสอบ (การทดลอง) จำนวนมากพอสมควร n
. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก
ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ ร
(ก
) หรือ ร
(ก
- การปรากฏตัวของตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์ของแนวคิดเรื่อง "ความน่าจะเป็น" ร
กำหนดโดยการมีอยู่เป็นอันดับแรกในคำภาษาอังกฤษ ความน่าจะเป็น
- ความน่าจะเป็น ตามคำจำกัดความนี้ คุณสมบัติของความน่าจะเป็นทางสถิติ 1.
ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ใดๆ กอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง กล่าวคือ 2.
ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ( ก= Ø) เท่ากับศูนย์ เช่น 3.
ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ ( ก= Ω) เท่ากับความสามัคคี เช่น 4.
ความน่าจะเป็นทางสถิติของผลรวม เข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ กล่าวคือ ถ้า เอ·บี= Ø แล้ว คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ให้ทำการทดลองด้วย n
ผลลัพธ์ที่สามารถแสดงเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่เข้ากันไม่ได้เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ที่ทำให้เหตุการณ์เกิดขึ้น ก
เรียกว่าเป็นมงคลหรือเป็นมงคล กล่าวคือ เกิดขึ้น ว
ก่อให้เกิดเหตุการณ์ ก
, ว ก
. คำนิยาม- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก
เรียกว่าอัตราส่วนจำนวน ม
กรณีที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้รวมเป็นจำนวนทั้งหมด n
กรณีต่างๆ เช่น คุณสมบัติของความน่าจะเป็นแบบ "คลาสสิก" 1.
สัจพจน์ ไม่ใช่เชิงลบ
: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ กไม่เป็นลบ เช่น ร(ก) ≥ 0. 2.
สัจพจน์ การทำให้เป็นมาตรฐาน
: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง ( ก= Ω) เท่ากับความสามัคคี: 3.
สัจพจน์ บวก
: ความน่าจะเป็นของผลรวม เข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์ (หรือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้) เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ กล่าวคือ ถ้า เอ·บี=Øแล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์: ร() = 1 – ร(ก) สำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นผลรวม ใดๆ
สองเหตุการณ์ กและ ใน,สูตรถูกต้อง: หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ กและ ในไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากการทดสอบครั้งเดียวกัน เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า เอ·บี- เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เรียกว่า เข้ากันไม่ได้
หรือ เข้ากันไม่ได้
และจากนั้น ร(เอ·บี) =
0 และสูตรสำหรับความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ: หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ กและ ในสามารถเกิดขึ้นได้จากการทดสอบครั้งหนึ่งเรียกว่า เข้ากันได้
. อัลกอริธึมที่มีประโยชน์ เมื่อค้นหาความน่าจะเป็นโดยใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ควรปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้ 1. จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าการทดลองประกอบด้วยอะไร 2. ระบุให้ชัดเจนว่าเหตุการณ์เกี่ยวกับอะไร กที่จะต้องค้นหาความน่าจะเป็น 3. กำหนดอย่างชัดเจนว่าอะไรจะเป็นเหตุการณ์เบื้องต้นของปัญหาที่กำลังพิจารณา เมื่อกำหนดและกำหนดเหตุการณ์เบื้องต้นแล้ว เราควรตรวจสอบเงื่อนไขสามประการที่ต้องได้รับการตอบสนองจากชุดผลลัพธ์ กล่าวคือ โอห์ม 6. ตามคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น ให้กำหนด เมื่อแก้ไขปัญหา ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
เป็นความเข้าใจที่คลุมเครือเกี่ยวกับสิ่งที่ถือเป็นเหตุการณ์เบื้องต้น ว
และความถูกต้องของการสร้างเซตและความถูกต้องในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ โดยปกติแล้วในทางปฏิบัติ ผลลัพธ์ที่ง่ายที่สุดจะถือเป็นเหตุการณ์เบื้องต้น ซึ่งไม่สามารถ "แบ่ง" ออกเป็นเหตุการณ์ที่ง่ายกว่าได้ เป็นที่รู้กันว่าเหตุการณ์สุ่มจากการทดสอบอาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ แต่ในขณะเดียวกัน มีความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันสำหรับเหตุการณ์ที่แตกต่างกันในการทดลองใช้เดียวกัน ลองดูตัวอย่าง หากมีลูกบอลที่เหมือนกันจำนวนร้อยลูกผสมกันอย่างระมัดระวังในโกศ และในจำนวนนั้นมีเพียงสิบลูกเท่านั้นที่เป็นสีดำ และที่เหลือเป็นสีขาว จากนั้นเมื่อสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูก ก็มีโอกาสมากขึ้นที่ลูกบอลสีขาวจะปรากฏขึ้น ความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นเหตุการณ์หนึ่งหรือเหตุการณ์อื่นในการทดสอบที่กำหนดนั้นมีการวัดเป็นตัวเลขซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้และตามทฤษฎีความน่าจะเป็นเราสามารถคำนวณได้ว่าโอกาสที่จะเห็นลูกบอลสีดำหรือสีขาวนั้นเป็นอย่างไร . สมมติว่าในระหว่างการทดสอบบางอย่าง เหตุการณ์ $n$ ระดับประถมศึกษาที่เป็นไปได้เท่ากันนั้นเป็นไปได้ จากปริมาณนี้ ตัวเลข $m$ คือจำนวนของเหตุการณ์พื้นฐานที่สนับสนุนให้เหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้น จากนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ คือความสัมพันธ์ $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $ ตัวอย่างหมายเลข 1 ในโกศมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 5 ลูก ซึ่งต่างกันแค่สีเท่านั้น การทดสอบประกอบด้วยสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศ เราถือว่าเหตุการณ์ $A$ เป็น "รูปลักษณ์ของลูกบอลสีขาว" คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ในระหว่างการทดสอบ สามารถถอดลูกบอลทั้งแปดลูกออกได้ เหตุการณ์ทั้งหมดนี้เป็นเหตุการณ์เบื้องต้นเนื่องจากเข้ากันไม่ได้และรวมกลุ่มกันเป็นกลุ่ม เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุการณ์ทั้งหมดนี้เป็นไปได้เท่าเทียมกัน ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น $P\left(A\right)$ คุณสามารถใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของมันได้ จากวิธีแก้ปัญหา เรามี: $n=8$, $m=3$ และความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากลูกบอลจะเท่ากับ $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $. คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น: ดังนั้น ในกรณีทั่วไป ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นไปตามอสมการ $0\le P\left(A\right)\le 1$ คำจำกัดความ 1 สมมติว่ามีการทดลองจำนวนค่อนข้างมาก ในแต่ละกรณีมีเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าชุดการทดสอบ สมมติว่ามีการทดลอง $n$ หลายครั้ง โดยมีเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้น $m$ ครั้ง ในที่นี้ ตัวเลข $m$ เรียกว่าความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ $A$ และอัตราส่วน $\frac(m)(n) $ เรียกว่าความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ $A$ ตัวอย่างเช่น จากจำนวนถังดับเพลิง $n=20$ ที่ใช้ระหว่างเกิดเพลิงไหม้ ถังดับเพลิง $m=3$ ไม่ทำงาน (เหตุการณ์ $A$) โดยที่ $m=3$ คือความถี่สัมบูรณ์ของเหตุการณ์ $A$ และ $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ คือความถี่สัมพัทธ์ ประสบการณ์เชิงปฏิบัติและสามัญสำนึกแนะนำว่าสำหรับ $n$ ขนาดเล็ก ค่าความถี่สัมพัทธ์ไม่สามารถเสถียรได้ แต่ถ้าจำนวนการทดสอบเพิ่มขึ้น ค่าความถี่สัมพัทธ์ก็ควรจะเสถียร ตัวอย่างหมายเลข 2 โค้ชเลือกเด็กชายห้าคนจากสิบคนเพื่อเข้าร่วมทีม เขาสามารถจัดตั้งทีมได้กี่วิธีหากเด็กสองคนที่เป็นแกนกลางของทีมต้องอยู่ในทีม? ตามเงื่อนไขของภารกิจ 2 หนุ่มจะเข้าร่วมทีมทันที ดังนั้นจึงยังคงเลือกเด็กชายสามคนจากแปดคน ในกรณีนี้ เฉพาะองค์ประกอบเท่านั้นที่สำคัญ ดังนั้นบทบาทของสมาชิกในทีมทั้งหมดจึงไม่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าเรากำลังเผชิญกับชุดค่าผสม การรวมกันขององค์ประกอบ $n$ โดย $m$ คือการรวมกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ $m$ และแตกต่างกันโดยองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ แต่ไม่ใช่ตามลำดับขององค์ประกอบ จำนวนชุดค่าผสมคำนวณโดยใช้สูตร $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!} ดังนั้น จำนวนวิธีต่างๆ ในการสร้างทีมที่มีเด็กชายสามคน โดยเลือกจากเด็กชายแปดคน คือจำนวนการรวมกันของ 8 องค์ประกอบใน 3: $C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!} ตัวอย่างหมายเลข 3 บนชั้นวางในสำนักงานมีหนังสือ 15 เล่มจัดเรียงแบบสุ่ม โดย 5 เล่มเป็นพีชคณิต ครูหยิบหนังสือสามเล่มแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่หนังสืออย่างน้อยหนึ่งเล่มที่เรียนมาจะเป็นวิชาพีชคณิต เหตุการณ์ $A$ (อย่างน้อยหนึ่งในสามเล่มที่เอามาเป็นหนังสือพีชคณิต) และ $\bar(A)$ (ไม่มีหนังสือสามเล่มที่เอามาเป็นหนังสือพีชคณิต) อยู่ตรงกันข้าม ดังนั้น P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1 ดังนั้น P(A) = 1-P($\bar(A)$) ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91 ตัวอย่างหมายเลข 4 จากบริษัทร่วมทุนทั้งหมด 20 บริษัท มี 4 บริษัทที่เป็นต่างประเทศ พลเมืองซื้อหุ้นหนึ่งหุ้นจากบริษัทร่วมหุ้นหกแห่ง ความน่าจะเป็นที่หุ้น 2 หุ้นที่ซื้อจะเป็นหุ้นของบริษัทร่วมทุนในต่างประเทศเป็นเท่าใด จำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดสำหรับการเลือกบริษัทร่วมหุ้นจะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม 20 x 6 ซึ่งก็คือ $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $ จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจถูกกำหนดให้เป็นผลิตภัณฑ์ $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $ โดยที่ปัจจัยแรกระบุจำนวนการรวมกันของตัวเลือกของบริษัทร่วมหุ้นต่างประเทศจากสี่รายการ แต่การรวมกันดังกล่าวแต่ละครั้งสามารถพบเห็นได้โดยบริษัทร่วมหุ้นที่ไม่ใช่ต่างประเทศ จำนวนการรวมบริษัทร่วมหุ้นดังกล่าวจะเป็น $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$. ตัวอย่างหมายเลข 5 ในชุด 18 ส่วนมี 4 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน 5 ส่วนจะถูกเลือกโดยการสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่ 2 ใน 5 ส่วนนี้จะไม่ได้มาตรฐาน จำนวนผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมด $n$ เท่ากับจำนวนชุดค่าผสม 18 x 5 กล่าวคือ $n=C_(18)^(5) =8568$. มานับจำนวนผลลัพธ์ที่ $m$ เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ A กันดีกว่า ในบรรดารายละเอียด 5 รายการที่สุ่มมา ควรมี 3 รายการมาตรฐานและ 2 รายการที่ไม่ได้มาตรฐาน จำนวนวิธีในการเลือกชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสองชิ้นจากชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานที่มีอยู่ 4 ชิ้นจะเท่ากับจำนวนการผสม 4 คูณ 2: $C_(4)^(2) =6$ จำนวนวิธีในการเลือกชิ้นส่วนมาตรฐานสามชิ้นจากชิ้นส่วนมาตรฐานที่มีอยู่ 14 ชิ้นคือ $C_(14)^(3) =364$ กลุ่มของชิ้นส่วนมาตรฐานใดๆ สามารถรวมกับกลุ่มของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน ดังนั้นจำนวนรวมของการรวม $m$ คือ $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$. ความน่าจะเป็นที่ต้องการของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ $m$ ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นั้น ต่อจำนวน $n$ ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันและเข้ากันไม่ได้ทั้งหมด $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$ ตัวอย่างหมายเลข 6 โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 5 ลูกและลูกบอลสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่มีลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก ปล่อยให้เหตุการณ์ $$ เป็นไปตามที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาอย่างน้อยหนึ่งลูกเป็นสีขาว ลองพิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม $\bar()$ - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมานั้นไม่มีลูกบอลสีขาวสักลูกเดียว หมายความว่าลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้ง 4 ลูกเป็นสีดำ เราใช้สูตรเชิงผสม จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลสี่ลูกจากสิบเอ็ดลูก: $n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!} จำนวนวิธีในการเอาลูกบอลสีดำสี่ลูกออกจากสิบเอ็ด: $m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!} เราได้รับ: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $พี(ก)=1-\; (\บาร์(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $. คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มสี่ลูกไม่มีลูกบอลสีขาวสักลูกคือ $\frac(65)(66) $ ตามคำจำกัดความดั้งเดิม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน P(A)=m/n โดยที่ m คือจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อการเกิดเหตุการณ์ A n คือจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด สันนิษฐานว่าผลลัพธ์เบื้องต้นก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A: W(A)=m/n โดยที่ m คือจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น n คือจำนวนการทดสอบทั้งหมดที่ดำเนินการ เมื่อพิจารณาทางสถิติแล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถือเป็นความถี่สัมพัทธ์ ตัวอย่าง: โยนลูกเต๋าสองลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนด้านที่ทอยจะเป็นเลขคู่ และมีเลข 6 ปรากฏที่ด้านข้างของลูกเต๋าอย่างน้อยหนึ่งลูก วิธีแก้ไข: ที่ด้านที่หล่นของลูกเต๋า “ลูกแรก” อาจมีหนึ่งแต้ม... หกแต้มอาจปรากฏขึ้น ผลลัพธ์เบื้องต้นหกประการที่คล้ายกันนั้นเป็นไปได้เมื่อขว้างลูกเต๋า "ที่สอง" แต่ละผลลัพธ์ของการขว้าง "ครั้งแรก" สามารถนำมารวมกับผลลัพธ์ของการขว้าง "ที่สอง" แต่ละอย่างได้ จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นทั้งหมดคือ 6*6=36 ผลลัพธ์เหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ และเนื่องจากความสมมาตรของกระดูก จึงเป็นไปได้เท่าเทียมกัน 5 ท่าที่ดีสำหรับเหตุการณ์: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6; ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: P(A)=5/36 คุณยังสามารถค้นหาข้อมูลที่คุณสนใจได้ในเครื่องมือค้นหาทางวิทยาศาสตร์ Otvety.Online ใช้แบบฟอร์มการค้นหา:
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น
ความถี่สัมพัทธ์และความเสถียร
เพิ่มเติมในหัวข้อ 3 ความถี่สัมพัทธ์ ความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น: