การฉายภาพลูกบาศก์ใน 4 มิติ บล็อกของภรรยาในอุดมคติ

Tesseract เป็นไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - ลูกบาศก์ในอวกาศสี่มิติ
ตามพจนานุกรม Oxford คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี 1888 โดย Charles Howard Hinton (1853-1907) ในหนังสือของเขา ยุคใหม่ความคิด" ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่าเตตราคิวบ์ (กรีก τετρα - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ.
เทสเซอร์แรคธรรมดาในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นจุดนูน (±1, ±1, ±1, ±1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = เทสเซอร์แรคถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน x_i= +- 1, i=1,2,3,4 ซึ่งเป็นจุดตัดกัน โดยตัวเทสเซอร์แรคจะกำหนดใบหน้าสามมิติ (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) แต่ละคู่ของใบหน้าสามมิติที่ไม่ขนานกันจะตัดกันเป็นใบหน้าสองมิติ (สี่เหลี่ยม) และต่อๆ ไป ในที่สุด เทสเซอร์แรคก็มี 8 มิติ ใบหน้า, ใบหน้าสองมิติ 24 ใบหน้า, ขอบ 32 ด้าน และจุดยอด 16 จุด
คำอธิบายยอดนิยม
ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ทิ้งพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบินเราได้สามอัน ลูกบาศก์วัดซีดีบากห์เฟอ. และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM
AB ส่วนด้านเดียวทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เป็นด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีขอบเขต 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 4 จุด ลูกบาศก์มี 8 จุด ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด โดยเป็น 8 จุดยอดของลูกบาศก์เดิม และ 8 จุดยอดเลื่อนไปในมิติที่ 4 มีขอบ 32 ด้าน แต่ละด้านมี 12 ด้านเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของลูกบาศก์เดิม และอีก 8 ขอบจะ "วาด" จุดยอดทั้ง 8 จุด ซึ่งได้ย้ายไปยังมิติที่สี่แล้ว การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติจะมีเพียงหน้าเดียว (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (หน้าสองหน้าจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกย้าย และอีกสี่หน้าซึ่งอธิบายด้านของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยเป็นลูกบาศก์ดั้งเดิม 12 หน้าในสองตำแหน่ง และ 12 หน้าจากขอบทั้งสิบสอง
เช่นเดียวกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีส่วนในหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (หน้า) ของลูกบาศก์ก็มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ 6 ชิ้น ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (เทสเซอร์แรค) ด้านข้างจึงมีลูกบาศก์สามมิติ 8 ชิ้น . ช่องว่างของลูกบาศก์เทสเซอร์แรกต์คู่ตรงข้าม (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่มีลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) จะขนานกัน ในรูปเหล่านี้คือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ต่อไปได้ มากกว่ามิติข้อมูล แต่มันน่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมีลักษณะอย่างไรสำหรับพวกเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติ สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว
ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่
เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้
ด้วยการตัดใบหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม และอีก 1 อันคือหน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย
คุณสมบัติของเทสเซอร์แรคเป็นส่วนขยายของคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตมิติที่เล็กลงให้เป็นพื้นที่สี่มิติ

บากัลยาร์ มาเรีย

มีการศึกษาวิธีการแนะนำแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ (เทสเซอร์แรค) โครงสร้างและคุณสมบัติบางอย่าง คำถามเกี่ยวกับวัตถุสามมิติที่ได้รับเมื่อลูกบาศก์สี่มิติตัดกันโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับใบหน้าสามมิติ เช่นเดียวกับไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก พิจารณาอุปกรณ์เรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติที่ใช้ในการวิจัย

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

บทนำ…………………………………………………………………….2

ส่วนหลัก…………………………………………………..4

บทสรุป………….. ………………………………………………..12

อ้างอิง………………………………………………………..13

การแนะนำ

พื้นที่สี่มิติดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์มืออาชีพและผู้คนที่ห่างไกลจากการศึกษาวิทยาศาสตร์นี้มายาวนาน ความสนใจในมิติที่สี่อาจเกิดจากการสันนิษฐานว่าโลกสามมิติของเรา “จม” อยู่ในอวกาศสี่มิติ เช่นเดียวกับที่เครื่องบิน “จม” ในพื้นที่สามมิติ เส้นตรงก็ “จุ่ม” ใน ระนาบและมีจุดหนึ่งอยู่ในแนวเส้นตรง นอกจากนี้ พื้นที่สี่มิติยังมีบทบาทสำคัญใน ทฤษฎีสมัยใหม่ทฤษฎีสัมพัทธภาพ (ที่เรียกว่าอวกาศ-เวลาหรืออวกาศมินโคว์สกี้) และยังถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษอีกด้วยมิติปริภูมิแบบยุคลิด (ด้วย).

ลูกบาศก์สี่มิติ (เทสเซอร์แรค) คือวัตถุในพื้นที่สี่มิติที่มีมิติที่เป็นไปได้สูงสุด (เช่นเดียวกับลูกบาศก์ธรรมดาที่เป็นวัตถุในพื้นที่สามมิติ) โปรดทราบว่าสิ่งนี้ยังเป็นที่สนใจโดยตรง กล่าวคือ มันสามารถปรากฏในปัญหาการปรับให้เหมาะสมของการโปรแกรมเชิงเส้น (เป็นพื้นที่ที่ต้องการค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ฟังก์ชันเชิงเส้นสี่ตัวแปร) และยังใช้ในไมโครอิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิทัลด้วย (เมื่อตั้งโปรแกรมการทำงานของจอแสดงผลนาฬิกาอิเล็กทรอนิกส์) นอกจากนี้กระบวนการศึกษาลูกบาศก์สี่มิติยังช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่และจินตนาการ

ดังนั้นการศึกษาโครงสร้างและคุณสมบัติเฉพาะของลูกบาศก์สี่มิติจึงค่อนข้างมีความเกี่ยวข้อง เป็นที่น่าสังเกตว่าในแง่ของโครงสร้างลูกบาศก์สี่มิติได้รับการศึกษาค่อนข้างดี สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นคือลักษณะของส่วนต่าง ๆ ของไฮเปอร์เพลนต่างๆ ดังนั้นเป้าหมายหลักของงานนี้คือเพื่อศึกษาโครงสร้างของเทสเซอร์แรกต์ตลอดจนเพื่อชี้แจงคำถามว่าวัตถุสามมิติใดที่จะได้รับหากลูกบาศก์สี่มิติถูกผ่าโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามมิติของมัน ใบหน้ามีมิติหรือโดยไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก ไฮเปอร์เพลนในปริภูมิสี่มิติจะเรียกว่าปริภูมิย่อยสามมิติ เราสามารถพูดได้ว่าเส้นตรงบนเครื่องบินคือไฮเปอร์เพลนหนึ่งมิติ เครื่องบินในอวกาศสามมิติคือไฮเปอร์เพลนสองมิติ

เป้าหมายกำหนดวัตถุประสงค์ของการศึกษา:

1) ศึกษาข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ

2) ศึกษาคุณสมบัติของการสร้างลูกบาศก์ขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 3

3) ศึกษาโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ

4) อธิบายลูกบาศก์สี่มิติในเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิต

5) สร้างแบบจำลองการพัฒนาและการฉายภาพส่วนกลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติ

6) การใช้อุปกรณ์ของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ อธิบายวัตถุสามมิติที่เป็นผลจากจุดตัดของลูกบาศก์สี่มิติที่มีไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในใบหน้าสามมิติของมัน หรือไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักของมัน

ข้อมูลที่ได้รับในลักษณะนี้จะช่วยให้เราเข้าใจโครงสร้างของเทสเซอร์แร็กได้ดีขึ้น รวมถึงระบุการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ

ส่วนหลัก

ขั้นแรก เราจะอธิบายเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เราจะใช้ในระหว่างการศึกษานี้

1) พิกัดเวกเตอร์: ถ้า, ที่

2) สมการของไฮเปอร์เพลนกับเวกเตอร์ปกติดูเหมือนที่นี่

3) เครื่องบินและ ขนานกันก็ต่อเมื่อเท่านั้น

4) ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดถูกกำหนดดังนี้: ถ้า, ที่

5) เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์:

ก่อนอื่น เรามาดูวิธีอธิบายลูกบาศก์สี่มิติกันก่อน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี - ทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์

ถ้าเราพูดถึงวิธีการระบุทางเรขาคณิตก็แนะนำให้ติดตามกระบวนการสร้างลูกบาศก์โดยเริ่มจากมิติเป็นศูนย์ ลูกบาศก์ที่มีมิติเป็นศูนย์คือจุดหนึ่ง (โปรดทราบว่าจุดนั้นสามารถมีบทบาทเป็นลูกบอลที่มีมิติเป็นศูนย์ได้เช่นกัน) ต่อไป เราแนะนำมิติแรก (แกน x) และบนแกนที่สอดคล้องกันเราทำเครื่องหมายสองจุด (ลูกบาศก์ศูนย์สองมิติ) ซึ่งอยู่ห่างจากกัน 1 ผลลัพธ์คือส่วน - ลูกบาศก์หนึ่งมิติ ให้เราทราบทันที คุณลักษณะเฉพาะ: ขอบเขต (ปลาย) ของลูกบาศก์หนึ่งมิติ (เซ็กเมนต์) คือลูกบาศก์ศูนย์มิติสองตัว (สองจุด) ต่อไป เราจะแนะนำมิติที่สอง (แกนพิกัด) และบนระนาบเรามาสร้างลูกบาศก์มิติเดียวสองอัน (สองส่วน) ซึ่งปลายจะอยู่ห่างจากกัน 1 อัน (อันที่จริงหนึ่งในเซ็กเมนต์คือ การฉายภาพมุมฉากอื่น). โดยการเชื่อมต่อปลายที่สอดคล้องกันของเซ็กเมนต์เราจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส - ลูกบาศก์สองมิติ ขอย้ำอีกครั้งว่าขอบเขตของลูกบาศก์สองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือลูกบาศก์หนึ่งมิติสี่ชิ้น (สี่ส่วน) สุดท้ายนี้ เราจะแนะนำมิติที่สาม (แกนประยุกต์) และสร้างในอวกาศสี่เหลี่ยมสองอันในลักษณะที่หนึ่งในนั้นเป็นเส้นโครงมุมฉากของอีกอันหนึ่ง (จุดยอดที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ห่างจากกัน 1) มาเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันกับเซ็กเมนต์ - เราได้ลูกบาศก์สามมิติ เราจะเห็นว่าขอบเขตของลูกบาศก์สามมิติคือลูกบาศก์สองมิติหกลูกบาศก์ (หกสี่เหลี่ยม) โครงสร้างที่อธิบายไว้ช่วยให้เราสามารถระบุรูปแบบต่อไปนี้: ในแต่ละขั้นตอนลูกบาศก์มิติ "เคลื่อนตัว ทิ้งร่องรอย" ไว้e วัดที่ระยะ 1 ในขณะที่ทิศทางการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับลูกบาศก์ มันเป็นความต่อเนื่องอย่างเป็นทางการของกระบวนการนี้ที่ช่วยให้เราได้มาถึงแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือเราจะบังคับให้ลูกบาศก์สามมิติเคลื่อนที่ไปในทิศทางของมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับลูกบาศก์) ด้วยระยะห่าง 1 ทำหน้าที่คล้ายกับอันก่อนหน้านั่นคือโดยการเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของลูกบาศก์ เราจะได้ลูกบาศก์สี่มิติ ควรสังเกตว่าการก่อสร้างทางเรขาคณิตในพื้นที่ของเราเป็นไปไม่ได้ (เนื่องจากเป็นสามมิติ) แต่ที่นี่เราไม่พบความขัดแย้งใด ๆ จากมุมมองเชิงตรรกะ ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของลูกบาศก์สี่มิติกัน มันได้มาอย่างเป็นทางการโดยใช้การเปรียบเทียบ ดังนั้น ข้อกำหนดเชิงวิเคราะห์ของลูกบาศก์หน่วยศูนย์มิติจึงมีรูปแบบดังนี้

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยหนึ่งมิติมีรูปแบบ:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยสองมิติมีรูปแบบ:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยสามมิติมีรูปแบบ:

ตอนนี้มันง่ายมากที่จะนำเสนอการวิเคราะห์ลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ:

ดังที่เราเห็นทั้งวิธีทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์ในการกำหนดลูกบาศก์สี่มิติก็ใช้วิธีการเปรียบเทียบ

ตอนนี้โดยใช้เครื่องมือเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะพบว่าโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติคืออะไร ก่อนอื่นเรามาดูกันว่ามีองค์ประกอบอะไรบ้าง เราสามารถใช้การเปรียบเทียบอีกครั้งที่นี่ (เพื่อเสนอสมมติฐาน) ขอบเขตของลูกบาศก์หนึ่งมิติคือจุด (ลูกบาศก์ศูนย์) ของลูกบาศก์สองมิติ - ส่วน (ลูกบาศก์หนึ่งมิติ) ของลูกบาศก์สามมิติ - สี่เหลี่ยม (ใบหน้าสองมิติ) สามารถสันนิษฐานได้ว่าขอบเขตของเทสเซอร์แรกต์นั้นเป็นลูกบาศก์สามมิติ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราชี้แจงความหมายของจุดยอด ขอบ และใบหน้า เรียกมันว่าจุดยอดของลูกบาศก์กันดีกว่า จุดมุม- นั่นคือพิกัดของจุดยอดอาจเป็นศูนย์หรือหนึ่งก็ได้ ดังนั้น การเชื่อมต่อจึงถูกเปิดเผยระหว่างมิติของลูกบาศก์กับจำนวนจุดยอดของมัน ขอให้เราใช้กฎผลคูณเชิงรวมกัน - ตั้งแต่จุดยอดลูกบาศก์ที่วัดได้อย่างแน่นอนพิกัดซึ่งแต่ละค่ามีค่าเท่ากับศูนย์หรือหนึ่ง (ไม่ขึ้นอยู่กับค่าอื่น ๆ ทั้งหมด) จากนั้นจะมีทั้งหมดยอดเขา ดังนั้น สำหรับจุดยอดใดๆ พิกัดทั้งหมดจะคงที่และสามารถเท่ากับได้หรือ - หากเราแก้ไขพิกัดทั้งหมด (โดยให้แต่ละพิกัดเท่ากันหรือ โดยไม่คำนึงถึงสิ่งอื่น) ยกเว้นอันหนึ่ง เราได้เส้นตรงที่มีขอบของลูกบาศก์ คล้ายกับครั้งก่อนนับได้เลยว่ามีอยู่จริงสิ่งของ. และหากตอนนี้เราแก้ไขพิกัดทั้งหมดแล้ว (โดยให้แต่ละพิกัดเท่ากันหรือ โดยไม่ขึ้นอยู่กับอันอื่นๆ) ยกเว้นบางสองอัน เราได้ระนาบที่มีใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์ เมื่อใช้กฎของการรวมกัน เราจะพบว่ามีอยู่จริงสิ่งของ. ถัดไปในทำนองเดียวกัน - แก้ไขพิกัดทั้งหมด (ทำให้แต่ละพิกัดเท่ากันหรือ โดยไม่คำนึงถึงสิ่งอื่น) ยกเว้นสามอัน เราได้ไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์ เมื่อใช้กฎเดียวกัน เราจะคำนวณจำนวนที่แน่นอนฯลฯ นี่จะเพียงพอสำหรับการวิจัยของเรา ให้เราใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับกับโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ ในสูตรที่ได้ทั้งหมดที่เราใส่ไว้- ดังนั้น ลูกบาศก์สี่มิติจึงมี: จุดยอด 16 จุด ขอบ 32 ด้าน หน้าสองมิติ 24 หน้า และหน้าสามมิติ 8 หน้า เพื่อความชัดเจน ให้เรากำหนดองค์ประกอบทั้งหมดเชิงวิเคราะห์

จุดยอดของลูกบาศก์สี่มิติ:

ขอบของลูกบาศก์สี่มิติ ():

ใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

ใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

ตอนนี้โครงสร้างของคิวบ์สี่มิติและวิธีการกำหนดรายละเอียดเพียงพอแล้ว ให้เราดำเนินการตามเป้าหมายหลัก - เพื่อชี้แจงลักษณะของส่วนต่าง ๆ ของคิวบ์ เริ่มจากกรณีเบื้องต้นเมื่อส่วนของลูกบาศก์ขนานกับด้านสามมิติด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น พิจารณาส่วนที่มีไฮเปอร์เพลนขนานกับใบหน้าจากเรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นที่ทราบกันว่าสมการจะได้ส่วนดังกล่าวมาให้เรากำหนดส่วนที่เกี่ยวข้องในเชิงวิเคราะห์:

ดังที่เราเห็น เราได้รับข้อกำหนดเชิงวิเคราะห์สำหรับลูกบาศก์หน่วยสามมิติที่วางอยู่ในไฮเปอร์เพลน

เพื่อสร้างการเปรียบเทียบ ให้เราเขียนส่วนของลูกบาศก์สามมิติโดยระนาบเราได้รับ:

นี่คือจัตุรัสที่วางอยู่บนเครื่องบิน- การเปรียบเทียบนั้นชัดเจน

ส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง สิ่งเหล่านี้จะเป็นลูกบาศก์สามมิติเดี่ยวที่วางอยู่บนไฮเปอร์เพลนตามลำดับ

ตอนนี้เรามาดูส่วนของลูกบาศก์สี่มิติที่มีไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก ขั้นแรก เรามาแก้ปัญหานี้สำหรับลูกบาศก์สามมิติกันก่อน โดยใช้วิธีการกำหนดหน่วยลูกบาศก์สามมิติตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เขาสรุปว่าเนื่องจากเส้นทแยงมุมหลักที่สามารถนำมาใช้ได้ เช่น ส่วนที่มีปลายและ - ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ของเส้นทแยงมุมหลักจะมีพิกัด- ดังนั้น สมการของระนาบใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักจะเป็นดังนี้:

เรามากำหนดขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์กันดีกว่า- เพราะ จากนั้นเมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้:

หรือ .

ถ้าอย่างนั้น (เนื่องจากข้อจำกัด) ในทำนองเดียวกัน - ถ้า, ที่ . ดังนั้นเมื่อไรและเมื่อไหร่ ระนาบการตัดและลูกบาศก์มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว (และ ตามลำดับ) ตอนนี้ขอทราบสิ่งต่อไปนี้ ถ้า(อีกครั้งเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร) ระนาบที่สอดคล้องกันตัดกันสามหน้าพร้อมกัน เพราะมิฉะนั้น ระนาบการตัดจะขนานกับหนึ่งในนั้น ซึ่งไม่เกิดขึ้นตามเงื่อนไข ถ้าจากนั้นระนาบจะตัดทุกด้านของลูกบาศก์ ถ้าจากนั้นเครื่องบินจะตัดกับใบหน้า- ให้เรานำเสนอการคำนวณที่เกี่ยวข้อง

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรง และ. ขอบยิ่งกว่านั้น ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, และ

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้น:

ขอบเป็นเส้นตรง และ

คราวนี้เราได้รับหกส่วนที่มีจุดสิ้นสุดร่วมกันตามลำดับ:

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรง และ. ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, และ . ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, และ - นั่นคือเราได้รับสามส่วนที่มีจุดสิ้นสุดร่วมกันแบบคู่:ดังนั้นเมื่อ ค่าที่ระบุพารามิเตอร์เครื่องบินจะตัดลูกบาศก์ตามสามเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด

ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายที่ครอบคลุมของตัวเลขระนาบที่ได้รับเมื่อลูกบาศก์ถูกตัดกันโดยระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก แนวคิดหลักมีดังนี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าด้านใดที่เครื่องบินตัดกัน ชุดใดที่ตัดกัน และชุดเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ตัวอย่างเช่น หากปรากฎว่าระนาบตัดกันสามหน้าตามส่วนที่มีปลายร่วมเป็นคู่ ส่วนนั้นก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่งพิสูจน์โดยการคำนวณความยาวของส่วนโดยตรง) จุดยอดซึ่งเป็นปลายเหล่านี้ ของเซ็กเมนต์

การใช้อุปกรณ์เดียวกันและแนวคิดเดียวกันในการศึกษาส่วนต่างๆ ข้อเท็จจริงต่อไปนี้สามารถอนุมานได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง:

1) เวกเตอร์ของหนึ่งในเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์หน่วยสี่มิติมีพิกัด

2) ไฮเปอร์เพลนใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์สี่มิติสามารถเขียนได้ในรูปแบบ.

3) ในสมการของไฮเปอร์เพลนตัดฉาก พารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 4;

4) เมื่อใด และ ไฮเปอร์เพลนซีแคนต์และลูกบาศก์สี่มิติมีจุดร่วมหนึ่งจุด (และ ตามลำดับ);

5) เมื่อใด หน้าตัดจะทำให้เกิดจัตุรมุขปกติ

6) เมื่อใด ในหน้าตัดผลลัพธ์จะเป็นทรงแปดหน้า

7) เมื่อใด ส่วนตัดขวางจะทำให้เกิดจัตุรมุขปกติ

ดังนั้นที่นี่ไฮเปอร์เพลนตัดกัน tesseract ตามระนาบซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของตัวแปรทำให้พื้นที่สามเหลี่ยมมีความโดดเด่น (การเปรียบเทียบ - เครื่องบินตัดกันลูกบาศก์ตามแนวเส้นตรงซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของ ตัวแปร แยกส่วนได้) ในกรณีที่ 5) ไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้าสามมิติสี่หน้าของเทสเซอร์แรค นั่นคือ จะได้สามเหลี่ยมสี่อันที่มีด้านร่วมเป็นคู่ หรืออีกนัยหนึ่ง กลายเป็นจัตุรมุข (วิธีการคำนวณนี้ถูกต้อง) ในกรณีที่ 6) ไฮเปอร์เพลนจะตัดพื้นผิวสามมิติแปดหน้าของเทสเซอร์แรกต์พอดี กล่าวคือ จะได้สามเหลี่ยมแปดเหลี่ยมที่มีด้านร่วมตามลำดับ หรืออีกนัยหนึ่งคือกลายเป็นทรงแปดหน้า กรณีที่ 7) คล้ายกับกรณีที่ 5 โดยสิ้นเชิง)

ให้เราอธิบายสิ่งที่ได้กล่าวไว้ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม- กล่าวคือ เราศึกษาส่วนของลูกบาศก์สี่มิติด้วยไฮเปอร์เพลนเนื่องจากข้อจำกัดด้านตัวแปร ไฮเปอร์เพลนนี้จะตัดกันใบหน้าสามมิติต่อไปนี้:ขอบ ตัดกันไปตามระนาบเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร เรามี:เราได้พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดต่อไป,เราได้สามเหลี่ยมเมื่อไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมเมื่อไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมดังนั้นจุดยอดของจัตุรมุขจึงมีพิกัดดังต่อไปนี้- เนื่องจากง่ายต่อการคำนวณ จัตุรมุขนี้จึงเป็นเรื่องปกติ

ข้อสรุป

ดังนั้นในกระบวนการวิจัยนี้ จึงมีการศึกษาข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ ศึกษาคุณสมบัติของการสร้างลูกบาศก์ขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 3 ศึกษาโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ ลูกบาศก์สี่มิติถูกศึกษา อธิบายในเชิงวิเคราะห์และเรขาคณิต, แบบจำลองของการพัฒนาและการฉายภาพส่วนกลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติถูกสร้างขึ้น, ลูกบาศก์สามมิติถูกอธิบายเชิงวิเคราะห์วัตถุที่เป็นผลมาจากจุดตัดของลูกบาศก์สี่มิติที่มีไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามมิติของมัน ใบหน้ามีมิติ หรือมีไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก

การวิจัยที่ดำเนินการทำให้สามารถระบุการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ ได้ เทคนิคการเปรียบเทียบที่สามารถนำไปใช้ในการวิจัยได้ เช่นทรงกลมมิติหรือเริมมิติ กล่าวคือทรงกลมมิติสามารถกำหนดเป็นเซตของจุดได้ปริภูมิมิติซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากัน ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงกลม ต่อไป,เริมมิติสามารถกำหนดเป็นส่วนหนึ่งได้พื้นที่มิติถูกจำกัดด้วยจำนวนขั้นต่ำไฮเปอร์เพลนแห่งมิติ ตัวอย่างเช่น เริมหนึ่งมิติคือเซ็กเมนต์ (ส่วนหนึ่งของปริภูมิหนึ่งมิติ จำกัดด้วยสองจุด) เริมสองมิติคือสามเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของปริภูมิสองมิติ จำกัดด้วยสามเส้น) เริมสามมิติคือจัตุรมุข (ส่วนหนึ่งของปริภูมิสามมิติ จำกัดด้วยระนาบสี่ระนาบ) ในที่สุด,เรากำหนดมิติเชิงเดี่ยวเป็นส่วนพื้นที่มิติจำกัดไฮเปอร์เพลนแห่งมิติ.

โปรดทราบว่าแม้จะมีการประยุกต์ใช้เทสเซอร์แร็กมากมายในบางสาขาของวิทยาศาสตร์ แต่งานวิจัยนี้ยังคงเป็นการศึกษาทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่

อ้างอิง

1) Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M.คณิตศาสตร์ชั้นสูง เล่ม 1 – ม.: Bustard, 2005 – 284 น.

2) ควอนตัม ลูกบาศก์สี่มิติ / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986

3) ควอนตัม วิธีการวาด ลูกบาศก์มิติ / Demidovich N.B. , หมายเลข 8, 1974

เริ่มต้นด้วยการอธิบายว่าปริภูมิสี่มิติคืออะไร

นี่คือปริภูมิมิติเดียว นั่นก็คือแกน OX จุดใดจุดหนึ่งจะมีพิกัดเดียว

ทีนี้ลองวาดแกน OY ตั้งฉากกับแกน OX ดังนั้นเราจึงได้ปริภูมิสองมิติ ซึ่งก็คือระนาบ XOY จุดใด ๆ บนนั้นมีพิกัดสองแบบ - แอบซิสซาและพิกัด

ลองวาดแกน OZ ตั้งฉากกับแกน OX และ OY ผลลัพธ์ที่ได้คือพื้นที่สามมิติที่จุดใดๆ มีจุดหักมุม จัดเรียงและนำไปใช้

เป็นเหตุผลที่แกนที่สี่ OQ ควรตั้งฉากกับแกน OX, OY และ OZ ในเวลาเดียวกัน แต่เราไม่สามารถสร้างแกนดังกล่าวได้อย่างแม่นยำ ดังนั้นเราจึงทำได้แต่ลองจินตนาการถึงมันเท่านั้น แต่ละจุดในพื้นที่สี่มิติมีพิกัดสี่จุด: x, y, z และ q

ทีนี้เรามาดูกันว่าลูกบาศก์สี่มิติปรากฏขึ้นอย่างไร

รูปภาพแสดงตัวเลขในอวกาศหนึ่งมิติ - เส้น

หากคุณทำการแปลเส้นนี้แบบขนานไปตามแกน OY แล้วเชื่อมต่อปลายที่สอดคล้องกันของเส้นผลลัพธ์ทั้งสองคุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ในทำนองเดียวกัน หากคุณแปลสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวแกน OZ แบบขนานและเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกัน คุณจะได้ลูกบาศก์

และถ้าเราแปลลูกบาศก์ตามแกน OQ แบบขนานและเชื่อมต่อจุดยอดของลูกบาศก์ทั้งสองนี้ เราจะได้ลูกบาศก์สี่มิติ โดยวิธีการที่เรียกว่า เทสเซอร์แรค.

คุณต้องใช้มันในการวาดลูกบาศก์บนเครื่องบิน โครงการ- สายตาดูเหมือนว่านี้:

ลองจินตนาการว่ามันลอยอยู่ในอากาศเหนือพื้นผิว โมเดลโครงลวดลูกบาศก์นั่นคือราวกับว่า "ทำจากลวด" และเหนือมันคือหลอดไฟ หากคุณเปิดหลอดไฟ ใช้ดินสอลากเงาของลูกบาศก์แล้วปิดหลอดไฟ การฉายภาพของลูกบาศก์จะปรากฎบนพื้นผิว

เรามาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ดูภาพวาดด้วยหลอดไฟอีกครั้งอย่างที่คุณเห็นรังสีทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดเดียว มันเรียกว่า จุดที่หายไปและใช้ในการสร้าง การฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ(และเกิดขึ้นแบบขนานด้วยเมื่อรังสีทั้งหมดขนานกัน ผลลัพธ์ก็คือ ความรู้สึกของปริมาตรไม่ได้ถูกสร้างขึ้น แต่จะเบากว่า และยิ่งไปกว่านั้น หากจุดที่หายไปอยู่ห่างจากวัตถุที่ฉายออกไปค่อนข้างมาก ดังนั้นความแตกต่างระหว่างการฉายภาพทั้งสองนี้จึงเห็นได้ชัดเจนเล็กน้อย) ในการฉายจุดที่กำหนดบนระนาบที่กำหนดโดยใช้จุดที่หายไป คุณจะต้องวาดเส้นตรงผ่านจุดที่หายไปและจุดที่กำหนด จากนั้นหาจุดตัดของเส้นตรงที่เกิดขึ้นกับระนาบ และในการฉายภาพที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ลูกบาศก์ คุณจะต้องฉายภาพแต่ละจุดยอดของมัน แล้วเชื่อมต่อจุดที่เกี่ยวข้องกัน ก็ควรสังเกตว่า อัลกอริธึมสำหรับการฉายพื้นที่ลงบนสเปซย่อยสามารถสรุปได้เป็นกรณีของ 4D->3D ไม่ใช่แค่ 3D->2D

อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เราไม่สามารถจินตนาการได้แน่ชัดว่าแกน OQ จะเป็นอย่างไร เช่นเดียวกับเทสเซอร์แรกต์ แต่เราอาจมีแนวคิดที่จำกัดได้หากเราฉายภาพลงบนโวลุ่มแล้ววาดบนหน้าจอคอมพิวเตอร์!

ทีนี้มาพูดถึงการฉายภาพเทสเซอร์แรกต์กัน

ทางด้านซ้ายคือเส้นโครงของลูกบาศก์บนระนาบ และทางขวาคือเส้นโครงเทสเซอร์แรกต์บนปริมาตร พวกมันค่อนข้างคล้ายกัน: การฉายภาพของลูกบาศก์ดูเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน เล็กและใหญ่ อันหนึ่งอยู่ด้านในอีกอันหนึ่ง และมีจุดยอดที่สอดคล้องกันเชื่อมต่อกันด้วยเส้น และการฉายภาพของเทสเซอร์แรคดูเหมือนลูกบาศก์สองก้อน เล็กและใหญ่ ข้างในมีอีกอันหนึ่ง และมีจุดยอดที่สอดคล้องกันเชื่อมต่อกัน แต่เราทุกคนเคยเห็นลูกบาศก์มาแล้ว และเราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่ามีทั้งสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กและสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ และสี่เหลี่ยมคางหมูสี่อันด้านบน ด้านล่าง ไปทางขวาและซ้ายของ สี่เหลี่ยมเล็ก ๆจริงๆ แล้วเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และพวกมันเท่ากัน และเทสเซอร์แรคก็เหมือนกัน และลูกบาศก์ใหญ่และลูกบาศก์เล็กและหกก้อน ปิรามิดที่ถูกตัดทอนที่ด้านข้างของลูกบาศก์เล็ก - เหล่านี้ล้วนเป็นลูกบาศก์และเท่ากัน

โปรแกรมของฉันไม่เพียงแต่สามารถวาดเส้นโครงของเทสเซอร์แรกต์ลงบนโวลุ่มเท่านั้น แต่ยังหมุนมันได้อีกด้วย มาดูวิธีการทำกัน

ก่อนอื่นฉันจะบอกคุณว่ามันคืออะไร การหมุนขนานกับระนาบ.

ลองจินตนาการว่าลูกบาศก์หมุนรอบแกน OZ จากนั้นจุดยอดแต่ละจุดจะอธิบายวงกลมรอบแกน OZ

วงกลมเป็นรูปแบน และระนาบของวงกลมแต่ละวงก็ขนานกัน และเข้า ในกรณีนี้ขนานกับระนาบ XOY นั่นคือ เราไม่เพียงสามารถพูดถึงการหมุนรอบแกน OZ เท่านั้น แต่ยังเกี่ยวกับการหมุนขนานกับระนาบ XOY ดังที่เราเห็น สำหรับจุดที่หมุนขนานกับแกน XOY มีเพียงการเปลี่ยนแปลงของ abscissa และ ordinate เท่านั้น ในขณะที่การประยุกต์ยังคงอยู่ ไม่เปลี่ยนแปลง และในความเป็นจริง เราสามารถพูดถึงการหมุนรอบเส้นตรงได้ก็ต่อเมื่อเราจัดการกับอวกาศสามมิติเท่านั้น ในอวกาศสองมิติ ทุกอย่างหมุนรอบจุดหนึ่ง ในอวกาศสี่มิติ ทุกอย่างหมุนรอบระนาบ ในอวกาศห้ามิติ เราพูดถึงการหมุนรอบปริมาตร และถ้าเราจินตนาการถึงการหมุนรอบจุดหนึ่งได้ การหมุนรอบระนาบและปริมาตรก็เป็นสิ่งที่คิดไม่ถึง และถ้าเราพูดถึงการหมุนขนานกับระนาบ ในปริภูมิ n มิติใดๆ จุดหนึ่งก็สามารถหมุนขนานกับระนาบได้

หลายท่านคงเคยได้ยินเกี่ยวกับเมทริกซ์การหมุน คูณจุดด้วยจุดนั้น เราจะได้จุดที่หมุนขนานกับระนาบด้วยมุมพี สำหรับพื้นที่สองมิติจะมีลักษณะดังนี้:

วิธีคูณ: x ของจุดที่หมุนด้วยมุม phi = โคไซน์ของมุม phi*ix ของจุดเดิม ลบไซน์ของมุม phi*ig ของจุดเดิม
ig ของจุดที่หมุนด้วยมุม phi = ไซน์ของมุม phi * ix ของจุดเดิม บวกโคไซน์ของมุม phi * ig ของจุดเดิม
Xa`=cosф*Xa - sinф*ใช่
Ya`=sinф*Xa + cosф*ใช่
โดยที่ Xa และ Ya เป็น Abscissa และจัดลำดับของจุดที่จะหมุน Xa` และ Ya` คือ Abscissa และจัดตำแหน่งของจุดที่หมุนแล้ว

สำหรับปริภูมิสามมิติ เมทริกซ์นี้มีลักษณะทั่วไปดังนี้

การหมุนขนานกับระนาบ XOY อย่างที่คุณเห็น พิกัด Z จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่มีเพียง X และ Y เท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (โดยพื้นฐานแล้ว Za`=Za)

การหมุนขนานกับระนาบ XOZ ไม่มีอะไรใหม่
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (โดยพื้นฐานแล้ว Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

และเมทริกซ์ตัวที่สาม
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (โดยพื้นฐานแล้ว Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

และสำหรับมิติที่สี่จะมีลักษณะดังนี้:

ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจแล้วว่าต้องคูณอะไร ดังนั้นฉันจะไม่ลงรายละเอียดอีก แต่ฉันสังเกตว่ามันทำสิ่งเดียวกับเมทริกซ์สำหรับการหมุนขนานกับระนาบในอวกาศสามมิติ! ทั้งสองเปลี่ยนเฉพาะพิกัดและแอปพลิเคชันเท่านั้น และอย่าแตะต้องพิกัดอื่น ดังนั้นจึงสามารถใช้ในกรณีสามมิติ โดยไม่สนใจพิกัดที่สี่

แต่ด้วยสูตรการฉายภาพ ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก ไม่ว่าฉันจะอ่านฟอรั่มไปกี่ฟอรั่ม ก็ไม่มีวิธีการฉายภาพแบบใดที่เหมาะกับฉัน อันที่ขนานกันไม่เหมาะกับฉันเนื่องจากการฉายภาพจะดูไม่สามมิติ ในสูตรการฉายภาพบางสูตร เพื่อค้นหาจุดที่คุณต้องแก้ระบบสมการ (และฉันไม่รู้ว่าจะสอนคอมพิวเตอร์แก้ปัญหาอย่างไร) สูตรอื่นๆ ฉันไม่เข้าใจ... โดยทั่วไปฉันตัดสินใจ จงคิดหาหนทางของข้าพเจ้าเอง เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้พิจารณาการฉายภาพ 2D->1D

pov หมายถึง "มุมมอง", ptp หมายถึง "ชี้ไปที่โปรเจ็กต์" (จุดที่จะฉาย) และ ptp` คือจุดที่ต้องการบนแกน OX

มุม povptpB และ ptpptp`A เท่ากันตามค่าที่สอดคล้องกัน (เส้นประขนานกับแกน OX เส้นตรง povptp คือเส้นตัดฉาก)
x ของจุด ptp` เท่ากับ x ของจุด ptp ลบด้วยความยาวของส่วน ptp`A ส่วนนี้สามารถพบได้จากสามเหลี่ยม ptpptp`A: ptp`A = ptpA/แทนเจนต์ของมุม ptpptp`A เราสามารถหาแทนเจนต์นี้ได้จากสามเหลี่ยม povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp)
คำตอบ: Xptp`=Xptp-Yptp/แทนเจนต์ของมุม ptpptp`A

ฉันไม่ได้อธิบายอัลกอริทึมนี้โดยละเอียดที่นี่ เนื่องจากมีกรณีพิเศษมากมายที่สูตรเปลี่ยนแปลงไปบ้าง หากใครสนใจดูซอร์สโค้ดของโปรแกรมทุกอย่างอธิบายไว้ในความคิดเห็น

ในการฉายจุดในอวกาศสามมิติบนระนาบ เราเพียงพิจารณาระนาบสองอัน - XOZ และ YOZ แล้วแก้ไขปัญหานี้สำหรับแต่ละระนาบ ในกรณีของอวกาศสี่มิติ จำเป็นต้องพิจารณาระนาบสามระนาบ: XOQ, YOQ และ ZOQ

และสุดท้ายเกี่ยวกับโปรแกรม มันทำงานดังนี้: เริ่มต้นจุดยอดสิบหกจุดของ tesseract -> ขึ้นอยู่กับคำสั่งที่ผู้ใช้ป้อน, หมุนมัน -> ฉายภาพลงบนโวลุ่ม -> ขึ้นอยู่กับคำสั่งที่ผู้ใช้ป้อน, หมุนการฉายภาพ -> ฉายภาพลงบน เครื่องบิน -> วาด

ฉันเขียนเส้นโครงและการหมุนด้วยตัวเอง มันทำงานตามสูตรที่ฉันเพิ่งอธิบายไป ไลบรารี OpenGL วาดเส้นและจัดการการผสมสีด้วย และพิกัดของจุดยอดเทสเซอร์แรคคำนวณได้ดังนี้:

พิกัดจุดยอดของเส้นตรงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นและความยาว 2 - (1) และ (-1)
- " - " - สี่เหลี่ยม - " - " - และขอบยาว 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) และ (-1; -1);
- " - " - คิวบ์ - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
อย่างที่คุณเห็น สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือหนึ่งบรรทัดเหนือแกน OY และอีกหนึ่งบรรทัดใต้แกน OY ลูกบาศก์คือหนึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านหน้าระนาบ XOY และอีกอันอยู่ด้านหลัง เทสเซอร์แรกต์คือลูกบาศก์หนึ่งอันอยู่อีกด้านหนึ่งของปริมาตร XOYZ และอีกอันอยู่ด้านนี้ แต่มันง่ายกว่ามากที่จะรับรู้การสลับระหว่างอันและอันลบนี้หากเขียนในคอลัมน์

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

ในคอลัมน์แรก ให้สลับหนึ่งและลบหนึ่งอัน ในคอลัมน์ที่สอง อันดับแรกมีข้อดี 2 ข้อ จากนั้นมีข้อเสีย 2 ข้อ ในตัวที่สาม - สี่ตัวบวกและสี่ตัวลบ เหล่านี้คือจุดยอดของลูกบาศก์ tesseract มีจำนวนมากเป็นสองเท่า ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเขียนลูปเพื่อประกาศ ไม่เช่นนั้นจะสับสนได้ง่ายมาก

โปรแกรมของฉันสามารถวาดแอนะกลิฟได้ด้วย เจ้าของแว่นตา 3 มิติที่มีความสุขสามารถดูภาพสามมิติได้ การวาดภาพไม่ใช่เรื่องยาก เพียงวาดสองภาพลงบนเครื่องบิน สำหรับตาข้างขวาและข้างซ้าย แต่โปรแกรมนี้มีภาพและน่าสนใจมากขึ้นและที่สำคัญที่สุดคือช่วยให้มีแนวคิดเกี่ยวกับโลกสี่มิติได้ดีขึ้น

ฟังก์ชั่นที่สำคัญน้อยกว่าคือการส่องสว่างที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งเป็นสีแดงเพื่อให้มองเห็นการเลี้ยวได้ดีขึ้น เช่นเดียวกับความสะดวกสบายเล็กน้อย - การควบคุมพิกัดของจุด "ตา" การเพิ่มและลดความเร็วในการเลี้ยว

เก็บถาวรด้วยโปรแกรม ซอร์สโค้ด และคำแนะนำการใช้งาน

τέσσερες ἀκτῖνες - สี่รังสี) - ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - ลูกบาศก์ในอวกาศสี่มิติ ชื่ออื่นๆ: 4 ลูกบาศก์, เตตราคิวบ์(จากภาษากรีกโบราณ τέτταρες - "สี่") แปดเซลล์ , ออคทาชอร์(จากภาษากรีกโบราณ οκτώ - "แปด" และ χώρος - “สถานที่ พื้นที่”) ไฮเปอร์คิวบ์(หากไม่ได้ระบุจำนวนการวัด)

ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบิน เราจะได้ลูกบาศก์สามมิติ CDBAGHFE และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM

AB ส่วนด้านเดียวทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เป็นด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีขอบเขต 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 4 จุด ลูกบาศก์มี 8 จุด ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด โดยเป็น 8 จุดยอดของลูกบาศก์เดิม และ 8 จุดยอดเลื่อนไปในมิติที่ 4 มีขอบ 32 ด้าน แต่ละด้านมี 12 ด้านเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของลูกบาศก์เดิม และอีก 8 ขอบจะ "วาด" จุดยอดทั้ง 8 จุด ซึ่งได้ย้ายไปยังมิติที่สี่แล้ว การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติจะมีเพียงหน้าเดียว (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (หน้าสองหน้าจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกย้าย และอีกสี่หน้าซึ่งอธิบายด้านของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยเป็นลูกบาศก์ดั้งเดิม 12 หน้าในสองตำแหน่ง และ 12 หน้าจากขอบทั้งสิบสอง

เช่นเดียวกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีส่วนในหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (หน้า) ของลูกบาศก์ก็มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ 6 ชิ้น ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (เทสเซอร์แรค) ด้านข้างจึงมีลูกบาศก์สามมิติ 8 ชิ้น . ช่องว่างของลูกบาศก์เทสเซอร์แรกต์คู่ตรงข้าม (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่มีลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) จะขนานกัน ในรูปเหล่านี้คือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลต่อไปสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ในจำนวนมิติที่มากขึ้นได้ แต่มันก็น่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติอย่างไร สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว

ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่

เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้

ด้วยการตัดใบหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม และอีก 1 อันคือหน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

คุณสมบัติของเทสเซอร์แรกต์แสดงถึงความต่อเนื่องของคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่มีมิติต่ำกว่าในปริภูมิสี่มิติ

พัฒนาการของเทสเซอร์แรค

เช่นเดียวกับที่พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถคลี่ออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 ช่องได้ฉันใด พื้นผิวของเทสเซอร์แรกต์ก็สามารถคลี่ออกเป็นรูปทรงสามมิติที่ประกอบด้วยลูกบาศก์แปดเหลี่ยมได้ฉันใด

มีการออกแบบเทสเซอร์แรคทั้งหมด 261 แบบ การพัฒนาของไฮเปอร์คิวบ์สามารถพบได้โดยการแจกแจง "ต้นไม้คู่" โดยที่ "ต้นไม้คู่" ( ต้นไม้ที่จับคู่) เป็นต้นไม้ที่มีจุดยอดเป็นจำนวนคู่ ซึ่งแบ่งออกเป็นคู่ๆ โดยไม่มีคู่ใดประกอบด้วยจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง "ต้นไม้คู่" ที่มีจุดยอด 8 จุดและการสแกนเทสเซอร์แรค มีต้นไม้ 8 จุดยอดทั้งหมด 23 ต้น ซึ่งเมื่อแยกออกเป็นคู่ของจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกัน จะทำให้เกิด "ต้นไม้คู่" 261 จุด 8 จุด

รูปแบบรูปกากบาทของเทสเซอร์แรคเป็นองค์ประกอบของภาพวาด "Corpus Hypercubus" ของซัลวาดอร์ ดาลี (1954)

การคาดการณ์

สู่อวกาศสองมิติ

โครงสร้างนี้เป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการได้ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะฉายภาพเทสเซอร์แร็กต์ลงในช่องว่างสองมิติหรือสามมิติ นอกจากนี้ การฉายภาพบนเครื่องบินยังช่วยให้เข้าใจตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ได้ง่ายอีกด้วย ด้วยวิธีนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะได้ภาพที่ไม่สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายในเทสเซอร์แรคอีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างการเชื่อมต่อจุดยอด ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

สู่อวกาศสามมิติ

หนึ่งในเส้นโครงของเทสเซอร์แรคบนอวกาศสามมิติแสดงถึงลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองลูกบาศก์ จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซ็กเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมี ขนาดที่แตกต่างกันในปริภูมิสามมิติ แต่ในปริภูมิสี่มิติจะมีลูกบาศก์เท่ากัน เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์เทสเซอร์แรคทั้งหมด จึงได้สร้างแบบจำลองเทสเซอร์แรคแบบหมุนได้ถูกสร้างขึ้น

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้ง 6 ชิ้นตามขอบของเทสเซอร์แรคคือภาพที่มีลูกบาศก์ 6 ลูกบาศก์เท่ากัน อย่างไรก็ตาม ลูกบาศก์เหล่านี้มีลักษณะเป็น tesseract ในขณะที่สี่เหลี่ยม (ใบหน้า) มีลักษณะเป็นลูกบาศก์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เทสเซอร์แรกต์สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ได้ เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนอนันต์ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้กลายเป็นส่วนจำนวนอนันต์

การฉายภาพเทสเซอร์แรกต์ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งไปยังอวกาศสามมิติคือขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้าที่มีเส้นทแยงมุมสี่เส้นเชื่อมต่อคู่ของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันที่มุมขนาดใหญ่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในกรณีนี้ จุดยอด 14 จุดจากทั้งหมด 16 จุดของเทสเซอร์แรคถูกฉายเข้าไปในจุดยอด 14 จุดของรูปทรงสิบสองหน้าขนมเปียกปูน และอีก 2 จุดที่เหลือจะฉายตรงตรงกลาง ในการฉายภาพลงในพื้นที่สามมิติ ความเท่าเทียมกันและความขนานของด้านหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติทั้งหมดจะยังคงอยู่

คู่สเตอริโอ

คู่สเตอริโอของเทสเซอร์แรคจะแสดงเป็นสองเส้นโครงบนระนาบของหนึ่งในตัวแปรของการแสดงสามมิติของเทสเซอร์แรค คู่สเตอริโอถูกมองในลักษณะที่ตาแต่ละข้างมองเห็นเพียงภาพเดียวเท่านั้นซึ่งมีเอฟเฟกต์สามมิติเกิดขึ้นซึ่งทำให้สามารถรับรู้การฉายภาพของเทสเซอร์แรคบนพื้นที่สามมิติได้ดีขึ้น

Tesseract ในวัฒนธรรม

ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron "อัจฉริยะเด็ก" จิมมี่ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติที่เหมือนกับกล่องพับจากนวนิยายเรื่อง Glory Road (1963) โดย Robert Heinlein
Glory Road นวนิยายของไฮน์ไลน์ บรรยายถึงกล่องไฮเปอร์ไซส์ที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
ในเรื่อง “...และพระองค์ทรงสร้างบ้านหลังเล็กๆ ที่คดเคี้ยว” (ในฉบับแปลอีกฉบับหนึ่งว่า “บ้านที่สร้างด้วยนกเป็ดน้ำ”) โดยไฮน์ไลน์ บรรยายถึงบ้านแบบอพาร์ทเมนต์แปดห้องในรูปแบบของเทสเซอร์แรคที่กางออก
เรื่องราวของ Henry Kuttner "All the Tenali are Borogov" บรรยายถึงของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้นซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับเทสเซอร์แรค
ในนวนิยาย The Tesseract ของอเล็กซ์ การ์แลนด์ในปี 1999 คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติสามมิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำเปรียบเทียบที่ออกแบบมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าระบบการรับรู้จะต้องกว้างกว่าที่รู้ได้
เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของการฉายภาพสามมิติที่เชื่อมต่อถึงกันของ "ไฮเปอร์คิวบ์" เดียว
ในซีรีส์ภาพยนตร์ Marvel Cinematic Universe Tesseract คือ องค์ประกอบสำคัญ plot สิ่งประดิษฐ์ในอวกาศที่มีรูปร่างเป็นไฮเปอร์คิวบ์
เนื้อเรื่องของภาพยนตร์เรื่อง "The Avengers" มีศูนย์กลางอยู่ที่การใช้ Tesseract cube เป็นแหล่งพลังงานจักรวาลที่ไม่สิ้นสุดเพื่อเปิดประตูสู่ "มิติ" อื่นเพื่อดำเนินการตามแผนการยึดครองโลก (เพื่อแลกกับ Tesseract, Chitauri จะส่งกองทัพให้ Loki เพื่อยึดครองโลก) อย่างไรก็ตาม เนื้อหานี้แทบจะไม่มีอะไรเหมือนกันกับทฤษฎีทั่วไปเกี่ยวกับสี่มิติเลย
ในการ์ตูนเรื่อง Deadpool ทำลายจักรวาล Marvel ตัวละครหลักด้วยความช่วยเหลือของ Arcade จอมวายร้าย เขาใช้ tesseract เพื่อจับ Kitty Pryde: ความสามารถของเธอไม่สามารถช่วยให้เธอหนีจากลูกบาศก์ได้
ละครโทรทัศน์"

Tesseract (จากภาษากรีกโบราณ τέσσερες ἀκτῖνες - สี่รังสี) เป็นไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - อะนาล็อกของลูกบาศก์ในอวกาศสี่มิติ
คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี พ.ศ. 2431 โดย Charles Howard Hinton (1853-1907) ในหนังสือของเขา A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่า tetracube (กรีก τετρα - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ

ขวดไคลน์เป็นพื้นผิวที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้แน่นอน (นั่นคือ ท่อร่วมสองมิติ) ขวดไคลน์ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี พ.ศ. 2425 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. ไคลน์ มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแถบโมเบียสและระนาบฉายภาพ เห็นได้ชัดว่าชื่อนี้มาจากการแปลผิดของคำภาษาเยอรมัน Fläche (พื้นผิว) ซึ่งใน เยอรมันปิดการสะกดคำ Flasche (ขวด); จากนั้นชื่อนี้จึงส่งคืนในรูปแบบนี้เป็นภาษาเยอรมัน

ในการสร้างแบบจำลองขวดไคลน์คุณต้องใช้ขวดที่มีรูสองรู: ที่ด้านล่างและบนผนังยืดคอออกงอมันลงแล้วร้อยผ่านรูที่ผนังขวด (สำหรับ ขวดไคลน์จริงในพื้นที่สี่มิติไม่จำเป็นต้องใช้รูนี้ แต่ถ้าไม่มีก็ไม่สามารถทำได้ในพื้นที่ยูคลิดสามมิติ) ซึ่งติดอยู่กับรูที่ด้านล่างของขวด
KleinBottle-โทโพโลยี-01.png

วัตถุนี้ไม่มี "ขอบ" ซึ่งแตกต่างจากกระจกทั่วไปตรงที่พื้นผิวสิ้นสุดกะทันหัน ไม่เหมือน บอลลูนลมร้อนคุณสามารถไปจากภายในสู่ภายนอกได้โดยไม่ต้องข้ามพื้นผิว (นั่นคือในความเป็นจริงวัตถุนี้ไม่มี "ภายใน" และไม่มี "ภายนอก")

เทสเซอร์แรคธรรมดาในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นจุดนูน (±1, ±1, ±1, ±1)
เทสเซอร์แรกนั้นถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน ซึ่งจุดตัดของเทสเซอร์แรกนั้นกำหนดใบหน้าสามมิติของมัน (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่จะตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มีใบหน้า 3 มิติ 8 ใบหน้า 24 ใบหน้า 24 ขอบ 32 ขอบ และจุดยอด 16 จุด
หนึ่งในเส้นโครงของเทสเซอร์แรคบนอวกาศสามมิติแสดงถึงลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองลูกบาศก์ จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซ็กเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมีขนาดแตกต่างกันในพื้นที่สามมิติ แต่ในพื้นที่สี่มิติจะมีขนาดเท่ากัน เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์เทสเซอร์แรคทั้งหมด จึงได้สร้างแบบจำลองเทสเซอร์แรคแบบหมุนได้ถูกสร้างขึ้น

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้ง 6 ชิ้นตามขอบของเทสเซอร์แรคคือภาพที่มีลูกบาศก์ 6 ลูกบาศก์เท่ากัน อย่างไรก็ตาม ลูกบาศก์เหล่านี้มีลักษณะเป็น tesseract ในขณะที่สี่เหลี่ยม (ใบหน้า) มีลักษณะเป็นลูกบาศก์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เทสเซอร์แรกต์สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ได้ เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนอนันต์ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้กลายเป็นส่วนจำนวนอนันต์

Tesseract ในงานศิลปะ

ใน "New Abbott Plain" ของ Edwina A. ไฮเปอร์คิวบ์ทำหน้าที่เป็นผู้บรรยาย
ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron "อัจฉริยะเด็ก" จิมมี่ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติที่เหมือนกับกล่องพับจากนวนิยาย Glory Road ของ Robert Heinlein ในปี 1963
Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์ตามนั้น อย่างน้อยในเรื่องนิยายวิทยาศาสตร์สามเรื่อง ใน "บ้านสี่มิติ" (บ้านที่สร้างด้วยนกเป็ดน้ำ, ค.ศ. 1940) เขาบรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นเป็นเทสเซอร์แรคที่ยังไม่ได้ห่อ จากนั้นเนื่องจากแผ่นดินไหว จึง "พับ" ในมิติที่สี่และกลายเป็นเทสเซอร์แรค "ของจริง"
Glory Road นวนิยายของไฮน์ไลน์ บรรยายถึงกล่องไฮเปอร์ไซส์ที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
เรื่องราวของ Henry Kuttner "All the Tenali are Borogov" บรรยายถึงของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้นซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับเทสเซอร์แรค
ในนวนิยายของอเล็กซ์ การ์แลนด์ (1999) คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำเปรียบเทียบที่ออกแบบมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าระบบการรับรู้จะต้องกว้างกว่าที่รู้ได้
เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน
ซีรีส์ทางโทรทัศน์เรื่อง Andromeda ใช้เครื่องกำเนิดเทสเซอร์แรคเป็นอุปกรณ์พล็อต ได้รับการออกแบบมาเพื่อควบคุมพื้นที่และเวลาเป็นหลัก
จิตรกรรม “การตรึงกางเขน” (Corpus Hypercubus) โดย Salvador Dali (1954)
หนังสือการ์ตูน Nextwave นำเสนอยานพาหนะที่มีโซนเทสเซอร์แรค 5 โซน
ในอัลบั้ม Voivod Nothingface หนึ่งในเพลงประกอบมีชื่อว่า "In my hypercube"
ในนวนิยาย Route Cube ของ Anthony Pearce ดวงจันทร์ดวงหนึ่งที่กำลังโคจรอยู่ของสมาคมการพัฒนาระหว่างประเทศเรียกว่าเทสเซอร์แรคต์ที่ถูกบีบอัดเป็น 3 มิติ
ในซีรีส์เรื่อง "โรงเรียน" หลุมดำ“” ในซีซั่นที่ 3 มีตอน “Tesseract” ลูคัสกดปุ่มลับ และโรงเรียนก็เริ่ม "มีรูปร่างเหมือนเทสเซอร์แรคทางคณิตศาสตร์"
คำว่า "tesseract" และอนุพันธ์ของ "tesseract" พบได้ในเรื่องราวของ Madeleine L'Engle เรื่อง "A Wrinkle in Time"
TesseracT เป็นชื่อวงดนตรีดีเจจากอังกฤษ
ในภาพยนตร์ซีรีส์ Marvel Cinematic Universe Tesseract เป็นองค์ประกอบสำคัญของโครงเรื่อง ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์ของจักรวาลที่มีรูปร่างเป็นไฮเปอร์คิวบ์
ในเรื่องราวของ Robert Sheckley เรื่อง "Miss Mouse and the Fourth Dimension" นักเขียนลึกลับซึ่งเป็นคนรู้จักของผู้เขียนพยายามมองเห็น tesseract โดยจ้องไปที่อุปกรณ์ที่เขาออกแบบเป็นเวลาหลายชั่วโมง: ลูกบอลบนขาที่มีแท่งติดอยู่ ซึ่งลูกบาศก์ถูกติดตั้งไว้ วางทับด้วยสัญลักษณ์ลึกลับทุกประเภท เรื่องราวกล่าวถึงงานของฮินตัน
_______________________________