ทฤษฎีกราฟและการประยุกต์ ทฤษฎีกราฟแบร์จ เค. แนวคิดพื้นฐานและงาน
ในทางไม่เป็นทางการ กราฟอาจถือเป็นชุดของจุดและเส้นที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ โดยมีหรือไม่มีลูกศรก็ได้
งานแรกของทฤษฎีกราฟในฐานะวินัยทางคณิตศาสตร์ถือเป็นงานเขียนของออยเลอร์ (1736) ซึ่งพิจารณาปัญหาของสะพานเคอนิงสเบิร์ก ออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะข้ามสะพานเมืองทั้งเจ็ดแห่งและกลับไปยังจุดเริ่มต้นโดยการข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว ทฤษฎีกราฟได้รับแรงผลักดันครั้งต่อไปเกือบ 100 ปีต่อมาพร้อมกับการพัฒนางานวิจัย เครือข่ายไฟฟ้า, ผลึกศาสตร์, เคมีอินทรีย์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ
เราเจอกราฟตลอดเวลาโดยไม่สังเกตเลย ตัวอย่างเช่น กราฟคือแผนภาพของเส้นทางรถไฟใต้ดิน จุดบนสถานีและเส้นแสดงถึงเส้นทางรถไฟ ด้วยการค้นคว้าเกี่ยวกับบรรพบุรุษของเราและสืบย้อนไปยังบรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกล เราจึงสร้างสิ่งที่เรียกว่าแผนภูมิต้นไม้ครอบครัว และต้นไม้ต้นนี้คือกราฟ
กราฟทำหน้าที่เป็นวิธีที่สะดวกในการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ ก่อนหน้านี้เราเคยใช้กราฟเพื่อแสดงความสัมพันธ์แบบไบนารี่ที่มีขอบเขตจำกัดด้วยสายตา
แต่กราฟไม่ได้เป็นเพียงภาพประกอบเท่านั้น เช่น พิจารณากราฟที่แสดงโครงข่ายถนนระหว่างกัน การตั้งถิ่นฐานคุณสามารถกำหนดเส้นทางจากจุด A ไปยังจุด B ได้ หากมีเส้นทางดังกล่าวหลายเส้นทาง คุณจะต้องเลือกเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดในแง่หนึ่ง เช่น เส้นทางที่สั้นที่สุดหรือปลอดภัยที่สุด เพื่อแก้ปัญหาการเลือก จำเป็นต้องคำนวณกราฟบางอย่าง เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว จะสะดวกในการใช้เทคนิคพีชคณิตและจำเป็นต้องทำให้แนวคิดของกราฟเป็นทางการ
วิธีทฤษฎีกราฟใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์แยกส่วน เป็นไปไม่ได้ที่จะทำโดยไม่มีสิ่งเหล่านี้เมื่อวิเคราะห์และสังเคราะห์ตัวแปลงแยกต่างๆ: บล็อกการทำงานของคอมพิวเตอร์ ชุดซอฟต์แวร์ ฯลฯ
ปัจจุบัน ทฤษฎีกราฟครอบคลุมเนื้อหาจำนวนมากและกำลังพัฒนาอย่างแข็งขัน เมื่อนำเสนอ เราจะจำกัดตัวเองให้แสดงผลลัพธ์เพียงบางส่วนเท่านั้น และให้ความสำคัญกับคำอธิบายและเหตุผลของอัลกอริธึมการวิเคราะห์กราฟที่แพร่หลายซึ่งใช้ในทฤษฎีภาษาทางการ
คำจำกัดความพื้นฐาน
กราฟดังที่กล่าวไปแล้วในตัวอย่าง เป็นวิธีหนึ่งในการ "แสดงภาพ" การเชื่อมต่อระหว่างวัตถุบางอย่าง การเชื่อมต่อเหล่านี้สามารถ "กำหนดทิศทาง" ได้ เช่น ในแผนผังลำดับวงศ์ตระกูล หรือ "ไม่กำหนดทิศทาง" (เครือข่ายแบบสองทาง) ถนน) ด้วยเหตุนี้ ในทฤษฎีกราฟจึงมีกราฟอยู่สองประเภทหลัก: กราฟกำกับ (หรือกำกับ) และกราฟไม่มีทิศทาง
วิธีการนำเสนอ
จนถึงตอนนี้ เราได้กำหนดกราฟแบบมีทิศทางและแบบไม่มีทิศทาง โดยแสดงกราฟเหล่านั้นโดยใช้ภาพวาด คุณสามารถกำหนดกราฟเป็นคู่ของชุดได้ตามคำจำกัดความ แต่วิธีนี้ค่อนข้างยุ่งยากและเป็นที่สนใจทางทฤษฎีมากกว่า การพัฒนาแนวทางอัลกอริธึมเพื่อวิเคราะห์คุณสมบัติของกราฟต้องใช้วิธีอื่นในการอธิบายกราฟที่เหมาะสำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติมากกว่า รวมถึงการใช้คอมพิวเตอร์ มาดูวิธีทั่วไปสามวิธีในการแสดงกราฟกัน
ต้นไม้
คำจำกัดความ 5.5 ต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางคือกราฟที่เชื่อมต่อกันและไม่มีทิศทางแบบวนรอบ คำจำกัดความ 5.6 ต้นไม้ที่มีทิศทางเป็นกราฟที่มีทิศทางที่ไม่แสดงรูปร่าง โดยที่ครึ่งองศาของจุดยอดใดๆ จะต้องไม่เกิน 1 และมีจุดยอดเพียงจุดเดียวเท่านั้น เรียกว่ารากของต้นไม้ที่มีทิศทาง ซึ่งครึ่งหนึ่งขององศาคือ 0
ต้นไม้ที่ทอดข้ามน้ำหนักน้อยที่สุด
ปัญหาต่อไปนี้เป็นที่รู้จักในทฤษฎีกราฟว่าปัญหาสไตเนอร์: ให้คะแนน n คะแนนบนระนาบ; คุณต้องเชื่อมต่อพวกมันเข้ากับส่วนตรงในลักษณะที่ความยาวรวมของส่วนนั้นน้อยที่สุด
วิธีการเคลื่อนที่ข้ามจุดยอดกราฟอย่างเป็นระบบ
ปัญหาสำคัญในทฤษฎีกราฟคือปัญหาการวิเคราะห์ทั่วโลกของกราฟทั้งแบบไม่มีทิศทางและแบบมีทิศทาง งานเหล่านี้ได้แก่ งานค้นหาวงรอบหรือรูปทรง การคำนวณความยาวของเส้นทางระหว่างคู่จุดยอด รายการเส้นทางที่มีคุณสมบัติบางอย่าง เป็นต้น การวิเคราะห์กราฟทั่วโลกควรแยกความแตกต่างจากการวิเคราะห์เฉพาะที่ ตัวอย่างที่เป็นปัญหาในการกำหนดชุดของบรรพบุรุษและผู้สืบทอดของจุดยอดคงที่ของกราฟกำกับ
ปัญหาเส้นทางในกราฟกำกับแบบถ่วงน้ำหนัก
กราฟมอร์ฟิซึม
สำหรับกราฟกำกับ (V, E) เซต E ของส่วนโค้งถือได้ว่าเป็นกราฟของความสัมพันธ์ความสามารถในการเข้าถึงโดยตรงแบบไบนารีที่กำหนดบนเซตของจุดยอด ในกราฟที่ไม่มีทิศทาง (V, E) เซต E ของขอบคือเซตของคู่ที่ไม่เรียงลำดับ สำหรับแต่ละคู่ที่ไม่เรียงลำดับ (u, v) ∈ E เราสามารถสรุปได้ว่าจุดยอด u และ v เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ไบนารีแบบสมมาตร p กล่าวคือ (u, v) ∈ р และ (v, u) ∈ р.
การเรียงลำดับโทโพโลยี
คำนิยาม 5.17 เครือข่ายแบบกำหนดทิศทาง (หรือเพียงแค่เครือข่าย) เป็นกราฟแบบกำหนดทิศทางแบบไร้รูปทรง* เนื่องจากเครือข่ายเป็นกราฟไร้รูปทรง จึงสามารถแสดงได้ว่ามีจุดยอด (โหนด) ของเครือข่ายที่มีองศานอกเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับจุดยอด (โหนด) ที่มีศูนย์ในองศา แบบแรกเรียกว่า sinks หรือเอาท์พุตของเครือข่าย และแบบหลังเรียกว่าแหล่งที่มาหรืออินพุตของเครือข่าย
องค์ประกอบของไซโคลเมติกส์
เมื่ออภิปรายถึงอัลกอริธึมการค้นหาเชิงลึกก่อนในกราฟที่ไม่มีทิศทาง จะมีการพิจารณาคำถามในการค้นหาสิ่งที่เรียกว่าวงจรพื้นฐานของกราฟด้วย ในกรณีนี้ วงจรพื้นฐานถูกเข้าใจว่าเป็นวงจรที่มีขอบย้อนกลับเพียงอันเดียว และมีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวงจรพื้นฐานและขอบกลับกัน ต้นไม้ (สร้างฟอเรสต์ขอบสูงสุดของกราฟต้นฉบับ) และแบบผกผัน และในกรณีทั่วไป พาร์ติชันนี้สามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ขึ้นอยู่กับอัลกอริธึมการค้นหาเชิงลึกก่อน การค้นหาเชิงลึกก่อนเป็นเพียงวิธีหนึ่งในการนำพาร์ติชันดังกล่าวไปใช้
หนังสือของ K. Berge เป็นหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟในภาษารัสเซีย ขณะเดียวกันใน ปีที่ผ่านมาความสนใจในทฤษฎีเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วทั้งในส่วนของนักคณิตศาสตร์และตัวแทนจากสาขาวิชาที่หลากหลาย สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีทฤษฎีกราฟประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหามากมายในทฤษฎีวงจรไฟฟ้า ทฤษฎีห่วงโซ่การขนส่ง ทฤษฎีข้อมูล ไซเบอร์เนติกส์ ฯลฯ
ในหนังสือของ Berge มีการนำเสนอทฤษฎีกราฟตามลำดับ โดยเริ่มจากพื้นฐานจริงๆ สันนิษฐานว่าผู้อ่านมีความรู้ทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยแม้ว่าเขาจะมีวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์อยู่บ้างก็ตาม ข้อความนี้มีตัวอย่างมากมายที่มักจะตลกขบขัน หนังสือเล่มนี้สามารถใช้ในการศึกษาทฤษฎีกราฟเบื้องต้นได้ นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจะพบสิ่งที่น่าสนใจมากมายในนั้น
อัลกอริทึมสำหรับระบุวัฏจักรออยเลอเรียนโดยตรง
[เฟลอรี]. ให้เราพิจารณา multigraph G ที่เชื่อมต่อกันซึ่งจุดยอดทั้งหมดมีระดับเท่ากันและเราจะพยายามวาดมันด้วยจังหวะเดียวโดยไม่ต้องใช้การแก้ไขในส่วนที่วาดไว้แล้วของวิถีในระหว่างกระบวนการก่อสร้าง ก็เพียงพอที่จะปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้:
1 เราออกจากจุดยอดตามอำเภอใจ a; เราขีดฆ่าแต่ละขอบที่ผ่านไป
2 เราไม่เคยไปตามขอบดังกล่าว และซึ่งขณะนี้อยู่ระหว่างการพิจารณาคือคอคอด (เช่น เมื่อนำออก กราฟที่เกิดจากขอบที่ไม่ได้ข้ามจะแยกออกเป็นสององค์ประกอบที่เชื่อมต่อกัน โดยมีแต่ละขอบอย่างน้อยหนึ่งอัน)
ตามกฎข้อนี้ เราจะอยู่ในตำแหน่งที่ดีเสมอ เพราะเมื่อเราอยู่ที่ x = a กราฟ (ของขอบที่ไม่ถูกข้าม) จะมีจุดยอดที่เป็นระดับคี่สองจุด: x และ a; ถ้าจุดยอดแยกทิ้งไป กราฟที่เชื่อมต่อกันจะยังคงอยู่ ซึ่งตามทฤษฎีบทที่ 1 มีสายโซ่ออยเลอร์เริ่มต้นที่ x
เนื้อหา
การแนะนำ
บทที่ 1 คำจำกัดความพื้นฐาน
ชุดและการแมปหลายค่า
กราฟ. เส้นทางและรูปทรง
วงจรและวัฏจักร
บทที่ 2 การศึกษาเบื้องต้นเกี่ยวกับความเป็นระเบียบเสมือน
ลำดับเสมือนที่กำหนดโดยกราฟ
กราฟและฐานอุปนัย
บทที่ 3 ฟังก์ชันลำดับและฟังก์ชัน
Grundy สำหรับกราฟที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ข้อควรพิจารณาทั่วไปเกี่ยวกับกราฟอนันต์
ฟังก์ชันลำดับ
ฟังก์ชั่นที่หยาบกร้าน
การดำเนินการบนกราฟ
บทที่ 4 จำนวนพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ
เลขไซโคลเมติก
หมายเลขสี
หมายเลขความมั่นคงภายใน
หมายเลขความเสถียรภายนอก
บทที่ 5 กราฟเคอร์เนล
ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์
การประยุกต์ใช้กับฟังก์ชัน Grundy
บทที่ 6 เกมกราฟ
เกมนิม
คำจำกัดความทั่วไปของเกม (พร้อมข้อมูลครบถ้วน)
กลยุทธ์
บทที่ 7 ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด
กระบวนการตามขั้นตอน ลักษณะทั่วไปบางประการ
บทที่ 8 เครือข่ายการขนส่ง
ปัญหาการไหลสูงสุด ปัญหาการไหลน้อยที่สุด
ปัญหาการไหลที่เข้ากันได้กับชุดค่า
เครือข่ายการขนส่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด
บทที่ 9 ทฤษฎีบทว่าด้วยครึ่งกำลัง
การเข้าและออกกึ่งระดับ
บทที่ 10 การจับคู่กราฟอย่างง่าย
ปัญหาการจับคู่สูงสุด
การขาดกราฟอย่างง่าย
อัลกอริทึมของฮังการี
ลักษณะทั่วไปของกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุด
การประยุกต์ทฤษฎีเมทริกซ์
บทที่ 11 ปัจจัย
เส้นทางแฮมิลตันและรูปทรงแฮมิลตัน
การหาปัจจัย
การหากราฟบางส่วนด้วยค่าครึ่งองศาที่กำหนด
บทที่ 12 ศูนย์กราฟ
ศูนย์
รัศมี
บทที่ 13 เส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนา
คุณสมบัติทั่วไปของกราฟที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาโดยไม่มีการวนซ้ำ
เส้นผ่านศูนย์กลาง
บทที่ 14 กราฟ Adjacency Matrix
การประยุกต์ใช้การดำเนินการเมทริกซ์แบบธรรมดา
การนับปัญหา
ปัญหาผู้นำ
การใช้การดำเนินการบูลีน
บทที่ 15 เมทริกซ์เหตุการณ์
เมทริกซ์โมดูลาร์เดียวโดยสมบูรณ์
ระบบโมดูลาร์เดียวโดยสมบูรณ์
เมทริกซ์แบบไซโคลมาติก
บทที่ 16 ต้นไม้และต้นไม้บรรพบุรุษ
ต้นไม้
การวิจัยเชิงวิเคราะห์
แกรนด์ทรีส์
บทที่ 17 ปัญหาของออยเลอร์
วงรอบออยเลอร์ รูปทรงของออยเลอร์
บทที่ 18 การจับคู่กราฟที่กำหนดเอง
ทฤษฎีวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
การหากราฟบางส่วนด้วยองศาจุดยอดที่กำหนด
การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ
การสมัครหมายเลขความมั่นคงภายใน
บทที่ 19 แฟกทอรอยด์
วัฏจักรแฮมิลตันและแฟกทอรอยด์
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของแฟกทอรอยด์
บทที่ 20 การเชื่อมต่อกราฟ
จุดประกบ
กราฟที่ไม่มีข้อต่อ
กราฟที่เชื่อมต่อกับ h
บทที่ 21 กราฟระนาบ
คุณสมบัติพื้นฐาน
ลักษณะทั่วไป
เพิ่มเติม
I. นอกทฤษฎีทั่วไป เกม
ครั้งที่สอง เกี่ยวกับงานขนส่ง
สาม. เรื่อง การใช้แนวคิดที่เป็นไปได้ในโครงข่ายการคมนาคมขนส่ง
IV. ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขและสมมติฐานที่ไม่ได้รับการพิสูจน์
V. เกี่ยวกับหลักการพื้นฐานบางประการของการนับ (J. Riguet)
วี. เพิ่มเติมจากการแปลภาษารัสเซีย (A.A. Zykov และ G.I. Kozhukhin)
วรรณกรรม
ทฤษฎีกราฟและหนังสือของ C. Berge (คำหลังการแปลภาษารัสเซีย)
ดัชนีตัวละคร
ดัชนีชื่อ
ดัชนีหัวเรื่อง
ดาวน์โหลด e-book ฟรีในรูปแบบที่สะดวกรับชมและอ่าน:
ดาวน์โหลดหนังสือ Graph Theory and Its Applications, Berge K. - fileskachat.com ดาวน์โหลดฟรีรวดเร็วและฟรี
กลับไปข้างหน้า
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
อุปกรณ์:
- ชั้นเรียนคอมพิวเตอร์พร้อมเทคโนโลยีที่ทันสมัย เครื่องฉายวิดีโอ หน้าจอ
- คอมพิวเตอร์ที่ใช้ระบบปฏิบัติการ Windows XP, โปรแกรมไมโครซอฟต์ออฟฟิศ 2003 พาวเวอร์พอยท์;
- อุปกรณ์บอร์ด (หัวข้อบทเรียน เงื่อนไขใหม่) เอกสารประกอบคำบรรยาย
แผนการเรียน.
ครั้งที่สอง การนำเสนอวัสดุใหม่ (10 นาที)
สาม. การแก้ไขวัสดุ การปฏิบัติงาน (15-20 นาที)
IV. สรุปบทเรียน (2 นาที)
วี. การบ้าน.
ฉัน. เวลาจัดงาน- อัพเดทความรู้.
สวัสดี! บทเรียนของเราเรียกว่า "กราฟ" เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่อง "กราฟ" เรียนรู้วิธีพรรณนาและแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้
II การนำเสนอเนื้อหาใหม่
งานชิ้นแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟเป็นของ Leonhard Euler (1736) แม้ว่าคำว่า "กราฟ" จะเปิดตัวครั้งแรกในปี 1936 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี Dénes König กราฟเป็นชื่อที่กำหนดให้กับโครงร่างที่ประกอบด้วยจุดและส่วนของเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ (ตัวอย่างกราฟแสดงในรูปที่ 1)
ด้วยความช่วยเหลือของกราฟการแก้ปัญหาที่กำหนดไว้ในความรู้สาขาต่าง ๆ มักจะง่ายขึ้น: ในระบบอัตโนมัติ, อิเล็กทรอนิกส์, ฟิสิกส์, เคมี ฯลฯ ด้วยความช่วยเหลือของกราฟ, ไดอะแกรมของถนน, ท่อส่งก๊าซ, เครือข่ายความร้อนและไฟฟ้า . กราฟช่วยในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์
กราฟ – (จากภาษากรีก กราโฟ – ฉันเขียน) เป็นวิธีการแสดงองค์ประกอบของวัตถุและการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้นด้วยสายตา สิ่งเหล่านี้เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถแก้ไขปัญหาภายนอกที่แตกต่างกันมากมาย
กราฟคือแบบจำลองข้อมูลบางประเภท
กราฟประกอบด้วยจุดยอดหรือโหนดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้งหรือส่วน - ขอบ เส้นสามารถกำหนดทิศทางได้ นั่นคือ มีลูกศร (ส่วนโค้ง) หากไม่ได้ชี้ไป ก็มีขอบ จุดยอดสองจุดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้งหรือขอบเรียกว่าจุดติดกัน
ตัวอย่างกราฟ (สไลด์ 4, 5, 6)
ภารกิจที่ 1 (สไลด์ 7):
การสื่อสารในอวกาศได้ถูกสร้างขึ้นระหว่างดาวเคราะห์ทั้งเก้าดวงในระบบสุริยะ จรวดที่กำหนดจะบินในเส้นทางต่อไปนี้:
โลก - ดาวพุธ; ดาวพลูโต - ดาวศุกร์; โลก - ดาวพลูโต; ดาวพลูโต - ดาวพุธ; ดาวพุธ - ดาวศุกร์; ดาวยูเรนัส - ดาวเนปจูน; ดาวเนปจูน - ดาวเสาร์; ดาวเสาร์ – ดาวพฤหัสบดี; ดาวพฤหัสบดี - ดาวอังคาร; ดาวอังคาร-ดาวยูเรนัส
เป็นไปได้ไหมที่จะบินด้วยจรวดธรรมดาจากโลกสู่ดาวอังคาร?
วิธีแก้ไข: ลองวาดแผนภาพของเงื่อนไข เราจะแสดงดาวเคราะห์เป็นจุด และเส้นทางจรวดเป็นเส้น
ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนทันทีว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบินจากโลกไปยังดาวอังคาร
จุดยอดสองจุดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้งหรือขอบเรียกว่าจุดติดกัน แต่ละขอบหรือส่วนโค้งเชื่อมโยงกับตัวเลข ตัวเลขสามารถระบุระยะห่างระหว่างการตั้งถิ่นฐาน เวลาของการเปลี่ยนจากจุดสูงสุดหนึ่งไปอีกจุดสูงสุดหนึ่ง ฯลฯ
ภารกิจที่ 2 (9 สไลด์) – วิธีแก้ปัญหาที่บอร์ด Masha มาที่สวนสัตว์และต้องการเห็นสัตว์ต่างๆ ให้ได้มากที่สุด เธอควรใช้เส้นทางไหน? เหลือง แดง เขียว?
ภารกิจที่ 3 (11 สไลด์) – วิธีแก้ปัญหาที่บอร์ด ห้าทีมฟุตบอล A, B, C, D, D จะต้องแข่งขันกันเอง เล่น A กับ B, C, D แล้ว; B กับ A, C, D มีการแข่งขันไปแล้วกี่นัด? เหลือเวลาเล่นอีกเท่าไหร่?
การนำเสนอกราฟ (สไลด์ 12)
กราฟสามารถนำเสนอเป็นรายการส่วนโค้ง (AB; 7) แบบกราฟิกหรือใช้ตาราง
| รายการส่วนโค้ง | แบบฟอร์มกราฟิก | แบบฟอร์มตาราง | ||||||||||||||||
| (เอบี; 7), |  |
|
สาม. วัสดุเสริมแรง: ขอให้นักเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่มและทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้น ทำงานใน กลุ่มเล็ก ๆนักเรียนอภิปรายแบบจำลองตามความรู้เชิงทฤษฎีที่ได้รับเมื่อเริ่มบทเรียน สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ถึงการทำซ้ำและการรวมวัสดุ
ภารกิจที่ 2 (สไลด์ 13)
IV. สรุปบทเรียน
พวกคุณเรียนรู้คำศัพท์ใหม่อะไรในวันนี้? (กราฟ จุดยอดของกราฟ ขอบของกราฟ)
จุดยอดของกราฟสามารถแสดงถึงอะไรได้บ้าง? (เมือง วัตถุที่เชื่อมต่อกัน)
ขอบของกราฟหมายถึงอะไร (เส้นทาง การเคลื่อนไหว ทิศทาง)
ยกตัวอย่างว่าในชีวิตเราจะเจอพวกเขาได้ที่ไหน?
กราฟแสดงออกมาอย่างไร?
V. การบ้าน. (สไลด์ 15)
ทฤษฎีกราฟเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องที่ศึกษาวัตถุที่แสดงเป็นองค์ประกอบเดี่ยว (จุดยอด) และการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้น (ส่วนโค้ง ขอบ)
ทฤษฎีกราฟมีต้นกำเนิดมาจากการแก้ปัญหาสะพานเคอนิกสเบิร์กในปี ค.ศ. 1736 โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ลีโอนาร์ด ออยเลอร์(1707-1783: เกิดที่สวิตเซอร์แลนด์ อาศัยและทำงานในรัสเซีย)
ปัญหาเกี่ยวกับสะพานเคอนิกสเบิร์ก
มีสะพานเจ็ดแห่งในเมือง Königsberg ของปรัสเซียนบนแม่น้ำพรีกัล เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาเส้นทางเดินข้ามสะพานแต่ละแห่งและเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดเดียวกัน
กราฟที่มีเส้นทางที่เริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดยอดเดียวกันและผ่านไปตามขอบทั้งหมดของกราฟเพียงครั้งเดียวเรียกว่ากราฟออยเลอร์
ลำดับของจุดยอด (อาจซ้ำกัน) ที่เรียกว่าเส้นทางที่ต้องการผ่าน เช่นเดียวกับเส้นทางนั้นเองวงจรออยเลอร์ .
ปัญหาบ้านสามหลังสามบ่อ
มีบ้านสามหลังและบ่อน้ำสามแห่งตั้งอยู่บนเครื่องบิน วาดเส้นทางจากบ้านแต่ละหลังไปยังแต่ละบ่อเพื่อไม่ให้เส้นทางตัดกัน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้ว (แสดงให้เห็นว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา) โดย Kuratovsky (พ.ศ. 2439 - 2522) ในปี พ.ศ. 2473
ปัญหาสี่สี การแบ่งระนาบออกเป็นพื้นที่ที่ไม่ตัดกันเรียกว่า โดยบัตร- พื้นที่แผนที่จะถูกเรียกว่าติดกันหากมีเส้นขอบร่วมกัน ภารกิจคือการระบายสีแผนที่ในลักษณะที่ไม่มีพื้นที่สองแห่งที่อยู่ติดกันถูกทาสีด้วยสีเดียวกัน ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 เป็นที่รู้กันว่ามีสี่สีเพียงพอสำหรับสิ่งนี้ สมมติฐานยังไม่ได้รับการพิสูจน์
แก่นแท้ของวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับการเผยแพร่คือการลองใช้ตัวอย่างโต้แย้งที่เป็นไปได้จำนวนมากแต่มีจำนวนจำกัด (ประมาณ 2,000) กับทฤษฎีบทสี่สี และแสดงให้เห็นว่าไม่มีกรณีเดียวที่เป็นตัวอย่างโต้แย้ง การค้นหานี้เสร็จสิ้นโดยโปรแกรมภายในเวลาประมาณพันชั่วโมงของการทำงานของซูเปอร์คอมพิวเตอร์
ไม่สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาผลลัพธ์ "ด้วยตนเอง" ได้ - ขอบเขตของการแจงนับอยู่นอกเหนือขอบเขตความสามารถของมนุษย์ นักคณิตศาสตร์หลายคนตั้งคำถามว่า "การพิสูจน์ด้วยโปรแกรม" ดังกล่าวถือเป็นข้อพิสูจน์ที่ถูกต้องได้หรือไม่ ท้ายที่สุดอาจมีข้อผิดพลาดในโปรแกรม...
ดังนั้นเราจึงสามารถพึ่งพาทักษะการเขียนโปรแกรมของผู้เขียนเท่านั้นและเชื่อว่าพวกเขาทำทุกอย่างถูกต้อง
คำจำกัดความ 7.1 นับ ช= ช(วี, อี) คือชุดของเซตจำกัดสองเซต: V – เรียกว่า จุดยอดหลายแห่งและเซต E ของคู่องค์ประกอบจาก V คือ EIV'V เรียกว่า ขอบหลายอัน, หากคู่นั้นไม่ได้เรียงลำดับหรือ ส่วนโค้งมากมาย,หากสั่งเป็นคู่.
ในกรณีแรกคือกราฟ ช(วี, อี) เรียกว่า ไม่มุ่งเน้นในครั้งที่สอง – มุ่งเน้น
ตัวอย่าง. กราฟที่มีเซตของจุดยอด V = (a,b,c) และเซตของขอบ E =((a, b), (b, c))
ตัวอย่าง. กราฟที่มี V = (a,b,c,d,e) และ E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (ซีดี)),
ถ้า e=(v 1 ,v 2), еОЕ แล้วเขาจะบอกว่าขอบคือ e เชื่อมต่อจุดยอด v 1 และ v 2
จุดยอดสองจุด v 1,v 2 ถูกเรียก ที่อยู่ติดกันหากมีขอบเชื่อมต่อกัน ในสถานการณ์นี้ แต่ละจุดยอดจะถูกเรียก บังเอิญ ขอบที่สอดคล้องกัน .
ซี่โครงสองอันที่แตกต่างกัน ที่อยู่ติดกันถ้ามีจุดยอดร่วมกัน ในสถานการณ์นี้ แต่ละขอบจะถูกเรียกว่า บังเอิญ จุดยอดที่สอดคล้องกัน .
จำนวนจุดยอดกราฟ ชมาแสดงกันเถอะ โวลต์และจำนวนขอบคือ จ:
.
การแสดงทางเรขาคณิตของกราฟมีดังนี้:
1) จุดยอดของกราฟคือจุดในอวกาศ (บนระนาบ)
2) ขอบของกราฟที่ไม่มีทิศทาง – ส่วน;
3) ส่วนโค้งของกราฟกำกับ – ส่วนควบคุม
คำจำกัดความ 7.2ถ้าอยู่ในขอบ e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 เกิดขึ้น แล้วขอบ e จะถูกเรียก วนซ้ำ- หากกราฟอนุญาตให้มีการวนซ้ำ กราฟนั้นจะเรียกว่า กราฟที่มีลูป หรือ นามแฝง .
หากกราฟอนุญาตให้มีมากกว่าหนึ่งขอบระหว่างสองจุดยอด กราฟนั้นจะเรียกว่า มัลติกราฟ .
หากแต่ละจุดยอดของกราฟและ/หรือขอบมีป้ายกำกับ กราฟดังกล่าวจะถูกเรียก ทำเครื่องหมาย (หรือ โหลดแล้ว - โดยปกติจะใช้ตัวอักษรหรือจำนวนเต็มเป็นเครื่องหมาย
คำจำกัดความ 7.3กราฟ ช (วี , อี ) เรียกว่า กราฟย่อย (หรือ ส่วนหนึ่ง ) กราฟ ช(วี,อี), ถ้า วี วี, อี อี- ถ้า วี = วี, ที่ ช เรียกว่า การขยายกราฟย่อย ช.
ตัวอย่าง 7 . 1 . โดยให้กราฟไม่มีทิศทาง
คำจำกัดความ 7.4เรียกว่ากราฟ สมบูรณ์ , ถ้า ใดๆ จุดยอดทั้งสองของมันเชื่อมต่อกันด้วยขอบ เติมกราฟด้วย nจุดยอดแสดงโดย เค n .
นับเค 2 , ถึง 3, ถึง 4 และเค 5 .
คำจำกัดความ 7.5กราฟ ช=ช(วี, อี) ถูกเรียก มีใบเลี้ยงคู่ , ถ้า วีสามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตที่ไม่ต่อเนื่องได้ วี=กบีดังนั้นแต่ละขอบจึงมีรูปแบบ ( โวลต์ ฉัน , โวลต์ เจ), ที่ไหน โวลต์ ฉัน กและ โวลต์ เจ บี.
แต่ละขอบเชื่อมต่อจุดยอดจาก A ไปยังจุดยอดจาก B แต่ไม่มีจุดยอดสองจุดจาก A หรือจุดยอดสองจุดจาก B เชื่อมต่อกัน
เรียกว่ากราฟทวิภาคี ใบเลี้ยงคู่ที่สมบูรณ์ นับ เค ม , n, ถ้า กประกอบด้วย มยอดเขา, บีประกอบด้วย nจุดยอดและสำหรับแต่ละรายการ โวลต์ ฉัน ก, โวลต์ เจ บีเรามี ( โวลต์ ฉัน , โวลต์ เจ)อี.
ดังนั้นสำหรับทุกคน โวลต์ ฉัน ก, และ โวลต์ เจ บีมีขอบเชื่อมต่อพวกมันไว้
ก 12 K 23 K 22 K 33
ตัวอย่าง 7 . 2 . สร้างกราฟทวิภาคีที่สมบูรณ์ เค 2.4 และกราฟเต็ม เค 4 .
กราฟหน่วยn-ลูกบาศก์มิติใน n .
จุดยอดของกราฟคือเซตไบนารี่ n มิติ ขอบเชื่อมต่อจุดยอดที่แตกต่างกันในพิกัดเดียว
ตัวอย่าง: 
ปริศนาที่ใช้งานได้จริงต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติในหมู่ชาวเมืองKönigsberg: เป็นไปได้ไหมที่จะข้ามสะพานทั้งหมดข้ามแม่น้ำ Pregolya โดยไม่ผ่านสะพานใดเลยสองครั้ง? ในปี 1736 นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เริ่มสนใจปัญหานี้ และในจดหมายถึงเพื่อนคนหนึ่ง ได้ให้ข้อพิสูจน์อันเข้มงวดว่าไม่สามารถทำได้ ในปีเดียวกันนั้น เขาได้พิสูจน์สูตรที่น่าทึ่งซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนจุดยอด ใบหน้า และขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมในพื้นที่สามมิติ สูตรนี้เป็นจริงอย่างลึกลับสำหรับกราฟที่เรียกว่า "ระนาบ" ผลลัพธ์ทั้งสองนี้วางรากฐานสำหรับทฤษฎีกราฟและแสดงให้เห็นทิศทางการพัฒนาจนถึงทุกวันนี้ได้เป็นอย่างดี
เกี่ยวกับหลักสูตร
หลักสูตรนี้ทำหน้าที่เป็นการแนะนำเกี่ยวกับ ทฤษฎีสมัยใหม่กราฟ กราฟในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์ในปัญหาทางทฤษฎีและปฏิบัติหลายประการ บางทีประเด็นก็คือความซับซ้อนของโครงสร้างนั้นสอดคล้องกับความสามารถของสมองของเราเป็นอย่างดี มันเป็นโครงสร้างที่มองเห็นได้และมีโครงสร้างชัดเจน แต่ในทางกลับกัน ก็สมบูรณ์พอที่จะจับภาพปรากฏการณ์ที่ไม่สำคัญมากมายได้ หากเราพูดถึงแอปพลิเคชัน แน่นอนว่าเครือข่ายขนาดใหญ่จะนึกถึงทันที: อินเทอร์เน็ต แผนที่ถนน ความครอบคลุม การสื่อสารเคลื่อนที่และอื่น ๆ เครื่องมือค้นหาเช่น Yandex และ Google ขึ้นอยู่กับอัลกอริธึมกราฟ นอกจากวิทยาการคอมพิวเตอร์แล้ว กราฟยังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในด้านชีวสารสนเทศศาสตร์ เคมี และสังคมวิทยาอีกด้วย ในหลักสูตรของเรา แน่นอนว่าเราจะพูดถึงปัญหาคลาสสิก แต่เราจะพูดถึงผลลัพธ์และแนวโน้มล่าสุดด้วย เช่น เกี่ยวกับทฤษฎีกราฟเอ็กซ์ตรีม
รูปแบบ
หลักสูตรนี้ประกอบด้วยสัปดาห์การฝึกอบรม 7 สัปดาห์และการสอบ เพื่อที่จะแก้ไขปัญหาการทดสอบส่วนใหญ่ได้สำเร็จ การเรียนรู้เนื้อหาที่ครอบคลุมในการบรรยายก็เพียงพอแล้ว สัมมนาครอบคลุมมากขึ้น งานที่ซับซ้อนซึ่งจะน่าสนใจสำหรับผู้ฟังที่คุ้นเคยกับพื้นฐานของทฤษฎีกราฟอยู่แล้ว
แหล่งข้อมูล
- V. A. Emelichev, O. I. Melnikov, V. I. Sarvanov, R. I. Tyshkevich บรรยายเรื่องทฤษฎีกราฟ อ.: บ้านหนังสือ “ลิโบรคม”, 2552.
- อ. A. ซีคอฟ ทฤษฎีกราฟจำกัด โนโวซีบีสค์: Nauka, 1969.
- ม. สวามี, ก. ธุลาสิรามัน. กราฟ เครือข่าย และอัลกอริธึม อ.: มีร์, 1984.
- เอ็ม. อายเนอร์, จี. เอ็ม. ซีกเลอร์ หลักฐานจากหนังสือ ฉบับที่สี่. สปริงเกอร์, 2009.
- บี. บอลโลบาส. ทฤษฎีกราฟสมัยใหม่ สปริงเกอร์, 1998.
- เจ.เอ. บอนดี้, ยู.เอส.อาร์. เมอร์ตี้ ทฤษฎีกราฟ สปริงเกอร์, 2008.
ความต้องการ
เนื้อหานำเสนอจากพื้นฐานและ ภาษาที่สามารถเข้าถึงได้- วัตถุประสงค์ของหลักสูตรนี้ไม่เพียงแต่แนะนำให้คุณรู้จักกับประเด็นและวิธีการของทฤษฎีกราฟเท่านั้น แต่ยังเพื่อพัฒนาวัฒนธรรมการคิดทางคณิตศาสตร์ในหมู่นักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้อีกด้วย ดังนั้นหลักสูตรนี้จึงเปิดสอนให้กับนักเรียนหลากหลายกลุ่ม หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาความรู้ทางคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว ระดับโรงเรียนและ ความรู้พื้นฐานเชิงผสม
โปรแกรมหลักสูตร
- แนวคิดของกราฟและประเภทของกราฟ
- การใช้งานต่างๆนับ: จากสะพานKönigsbergไปจนถึงอินเทอร์เน็ต
- การเชื่อมต่อกราฟ กราฟย่อย และระดับจุดยอด
- คำจำกัดความของต้นไม้ที่เทียบเท่า
- Planarity และเกณฑ์ Kuratowski
- สูตรของออยเลอร์
- จำนวนโครมาติกของกราฟระนาบ
- การแจงนับต้นไม้: รหัสพรูเฟอร์และสูตรของเคย์ลีย์
- สูตรสำหรับจำนวนกราฟวงจรเดียว
- วัฏจักรออยเลอร์และเกณฑ์ออยเลอร์
- วัฏจักรแฮมิลตัน เกณฑ์ Dirac และเกณฑ์ Chvatal
- การจับคู่ ทฤษฎีบทของฮอลล์และเคอนิก
- ทฤษฎีกราฟสุดขั้ว ทฤษฎีบทของทูราน
- อะนาล็อกของทฤษฎีบทของ Turan สำหรับกราฟบนเครื่องบิน
- ทฤษฎีของแรมซีย์ การออกเดทในหมู่คนหกคน
- การกำหนดหมายเลขแรมซีย์
- ขอบเขตล่างและบนสำหรับหมายเลขแรมซีย์
ผลการเรียนรู้
เมื่อสำเร็จหลักสูตรแล้ว นักเรียนจะคุ้นเคยกับแนวคิดของกราฟ ประเภท ลักษณะ และคุณสมบัติของกราฟต่างๆ ผู้ฟังจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาของการระบายสีตามปกติและความเป็นไปได้ในการวาดกราฟที่กำหนดบนระนาบที่ไม่มีขอบตัดกัน และยังจะได้เรียนรู้ด้วย วิธีทางที่แตกต่างระบุต้นไม้และเขียนรายการ ในที่สุด ผู้ฟังจะคุ้นเคยกับแนวความคิดเกี่ยวกับวัฏจักรออยเลอร์และแฮมิลตัน การจับคู่ และกระทั่งพูดถึงปัญหาในทฤษฎีกราฟสุดขั้ว