กราฟของฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้ากี่จุด? ความนูนของฟังก์ชัน
สามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (a, b) จากนั้นจะมีเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ 
แผนภูมินี้ ( 
) และแทนเจนต์ไม่ขนานกับแกน OY เนื่องจากสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ 
, แน่นอน.
การกำหนด
บน (a, b) มีการปล่อยพุ่งลง (ขึ้นไป) หากไม่ได้อยู่ต่ำกว่า (ไม่สูงกว่า) แทนเจนต์ใดๆ กับกราฟของฟังก์ชันบน (a, b) 
(
) ที่ทุกจุดของช่วงเวลานี้ ดังนั้นเส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชันจะนูน (เว้า) ในช่วงเวลานี้
เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันถ้าอยู่ที่จุดนั้น 
กราฟมีค่าแทนเจนต์ และมีค่าใกล้เคียงของจุดดังกล่าว 
ซึ่งภายในกราฟของฟังก์ชันด้านซ้ายและขวาของจุดนั้นมี 
เห็นได้ชัดว่า ณ จุดเปลี่ยนเว้า แทนเจนต์จะตัดกราฟของฟังก์ชันเนื่องจากด้านหนึ่งของจุดนี้กราฟจะอยู่เหนือแทนเจนต์และอีกด้านหนึ่ง - ด้านล่างนั่นคือ ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดเปลี่ยนเว้า กราฟของฟังก์ชันจะส่งผ่านทางเรขาคณิตจากด้านหนึ่งของเส้นสัมผัสกันไปยังอีกด้านหนึ่งและ "โค้งงอ" เหนือมัน จึงเป็นที่มาของชื่อ "จุดเปลี่ยน"
อนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่อง แล้ว 
.
ไม่มีจุดเปลี่ยนที่ (0, 0) 
ที่ 
- ดังนั้นความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์อันดับสองต่อศูนย์จึงเป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการผันกลับเท่านั้น 
มันมี 
มีอนุพันธ์อันดับสองในบางย่านของจุด ยกเว้นจุดนั้นเอง และมีการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น 
- จากนั้น หากภายในย่านใกล้เคียงที่ระบุ มีสัญญาณที่แตกต่างกันไปทางซ้ายและขวาของจุด กราฟของฟังก์ชันก็จะมีการเบี่ยงเบนที่จุดนั้น 
สำหรับความนูน ความเว้า จุดเปลี่ยนเว้า 
, 
=
ไม่มีอยู่จริงเมื่อใด 
)
)
หรือจุดใกล้ความไม่ต่อเนื่องของชนิดที่ 2 มักปรากฏว่ากราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้เส้นตรงใดๆ อย่างใกล้ชิดตามที่ต้องการ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าเส้นตรง
คำจำกัดความ 1
เรียกว่าเส้นกำกับของเส้นโค้ง L หากระยะห่างจากจุดบนเส้นโค้งถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ออกไปตามเส้นโค้งจนถึงระยะอนันต์ เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง, แนวนอน, เฉียง 
เรียกว่าเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน ถ้าขีดจำกัดด้านเดียวอย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับ 
นั่นคือหรือ 
มีเส้นกำกับแนวตั้ง 
, เพราะ 
, ก 
.
ถ้า 
.
.
(
) เรียกว่าเส้นกำกับเอียงของกราฟของฟังก์ชันที่ 
ถ้า 
; 
.
- x=0 – เส้นกำกับแนวตั้ง
.
- เส้นกำกับเฉียง 
และวางแผนมัน 
ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่-
-
+
+
ย
-4
ทีอาร์
0
บทสรุป.
คุณลักษณะที่สำคัญของวิธีการพิจารณาคือขึ้นอยู่กับการตรวจจับและการศึกษาเป็นหลัก คุณสมบัติลักษณะในพฤติกรรมของเส้นโค้ง สถานที่ที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปได้อย่างราบรื่นจะไม่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด และไม่มีความจำเป็นสำหรับการศึกษาดังกล่าว แต่สถานที่ที่ฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะในพฤติกรรมนั้นต้องได้รับการวิจัยเต็มรูปแบบและการแสดงกราฟิกที่แม่นยำที่สุด คุณลักษณะเหล่านี้ได้แก่ จุดสูงสุด ต่ำสุด จุดความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน ฯลฯ
การกำหนดทิศทางของความเว้าและการเว้าตลอดจนวิธีการค้นหาเส้นกำกับที่ระบุทำให้สามารถศึกษาฟังก์ชันได้ละเอียดยิ่งขึ้นและรับแนวคิดกราฟที่แม่นยำยิ่งขึ้น
แนวคิดเรื่องความนูนของฟังก์ชัน
พิจารณาฟังก์ชัน \(y = f\left(x \right),\) ซึ่งถือว่าต่อเนื่องในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right].\) ฟังก์ชัน \(y = f\ เรียกว่า left(x \right )\) นูนลง (หรือเพียงแค่ นูน) หากจุดใดๆ \((x_1)\) และ \((x_2)\) จาก \(\left[ (a,b) \right]\) ความไม่เท่าเทียมกัน \ หากความไม่เท่าเทียมกันนี้เข้มงวดสำหรับ \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) โดยที่ \((x_1) \ne (x_2),\) จากนั้นฟังก์ชัน \(f\left(x \right) \) ถูกเรียก นูนลงอย่างเคร่งครัด
ฟังก์ชันนูนขึ้นถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ถูกเรียก นูนขึ้น (หรือ เว้า) หากจุดใดๆ \((x_1)\) และ \((x_2)\) ของส่วน \(\left[ (a,b) \right]\) ความไม่เท่าเทียมกัน \ หากความไม่เท่าเทียมกันนี้เข้มงวดสำหรับ \ ใดๆ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) โดยที่ \((x_1) \ne (x_2),\) จากนั้นฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา) \) ถูกเรียก นูนขึ้นอย่างเคร่งครัด บนส่วน \(\left[ (a,b) \right].\)
การตีความทางเรขาคณิตของความนูนของฟังก์ชัน
คำจำกัดความที่แนะนำของฟังก์ชันนูนมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย
สำหรับฟังก์ชันนั้น นูนลง (รูปที่ \(1\)) จุดกึ่งกลาง \(B\) ของคอร์ดใดๆ \((A_1)(A_2)\) อยู่ สูงกว่า
ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชัน นูนขึ้น (รูปที่ \(2\)) จุดกึ่งกลาง \(B\) ของคอร์ดใดๆ \((A_1)(A_2)\) อยู่ ด้านล่างจุดที่สอดคล้องกัน \((A_0)\) ของกราฟฟังก์ชันหรือเกิดขึ้นพร้อมกับจุดนี้
ฟังก์ชันนูนมีคุณสมบัติทางภาพอื่นซึ่งเกี่ยวข้องกับตำแหน่ง แทนเจนต์ ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) คือ นูนลง บนเซ็กเมนต์ \(\left[ (a,b) \right]\) ถ้าหากกราฟของมันอยู่ไม่ต่ำกว่าแทนเจนต์ที่วาดไปที่จุดใดๆ \((x_0)\) ของเซ็กเมนต์ \(\left [ (a ,b) \right]\) (รูปที่ \(3\))
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) คือ นูนขึ้น บนเซกเมนต์ \(\left[ (a,b) \right]\) ถ้ากราฟของมันอยู่ไม่สูงกว่าค่าแทนเจนต์ที่วาดไปที่จุดใดๆ \((x_0)\) ของเซ็กเมนต์ \(\left [ (a ,b) \right]\) (รูปที่ \(4\)) คุณสมบัติเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นทฤษฎีบทและสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คำจำกัดความของความนูนของฟังก์ชัน
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการนูน
ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง \(f"\left(x \right)\) อยู่ในช่วง \(\left[ (a,b) \right], \) และอนุพันธ์อันดับสอง \(f""\left(x \right)\) - ในช่วงเวลา \(\left((a,b) \right).\) ดังนั้นเกณฑ์ที่เพียงพอต่อไปนี้สำหรับความนูนจึงใช้ได้:
ถ้า \(f""\left(x \right) \ge 0\) สำหรับ \(x \in \left((a,b) \right),\) ทั้งหมด แล้วฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา )\) นูนลง บนส่วน \(\left[ (a,b) \right];\)
ถ้า \(f""\left(x \right) \le 0\) สำหรับ \(x \in \left((a,b) \right),\) ทั้งหมด แล้วฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา )\) นูนขึ้น บนส่วน \(\left[ (a,b) \right].\)
ขอให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นสำหรับกรณีของฟังก์ชันนูนลง ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) มีอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เป็นลบในช่วงเวลา \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) ให้เราแสดงด้วย \((x_0)\) จุดกึ่งกลางของส่วน \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) สมมติว่าความยาวของ ส่วนนี้เท่ากับ \(2h.\) จากนั้นพิกัด \((x_1)\) และ \((x_2)\) สามารถเขียนเป็น: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] ให้เราขยายฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ที่จุด \((x_0)\) ให้เป็นอนุกรม Taylor โดยมีเทอมที่เหลืออยู่ในรูปลากรองจ์ . เราได้นิพจน์ต่อไปนี้: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
ลองบวกทั้งสองความเท่าเทียมกัน: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] เนื่องจาก \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองทางด้านขวาจึงไม่เป็นลบ . ดังนั้น \ หรือ \ นั่นคือ ตามคำจำกัดความ ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) นูนลง
.
โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความนูนของฟังก์ชัน (นั่นคือ ทฤษฎีบทโดยตรงที่ ตัวอย่างเช่น จากเงื่อนไขความนูนลงมาจะเป็นไปตามที่ \(f""\left(x \right) \ge 0\)) พอใจเฉพาะความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดเท่านั้น ในกรณีที่มีการนูนอย่างเข้มงวด โดยทั่วไปแล้วเงื่อนไขที่จำเป็นคือไม่พอใจ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน \(f\left(x \right) = (x^4)\) มีลักษณะนูนลงอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ณ จุด \(x = 0\) อนุพันธ์อันดับสองของมันจะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ อสมการที่เข้มงวด \(f""\left(x \right) \gt 0\) ไม่ถือในกรณีนี้
คุณสมบัติของฟังก์ชันนูน
ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันนูน โดยสมมติว่าฟังก์ชันทั้งหมดถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right].\)
ถ้าฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) นูนขึ้น (ขึ้น) แล้วฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งจะนูนออกมา การรวมกันเชิงเส้น \(af + bg,\) โดยที่ \(a\), \(b\) เป็นจำนวนจริงบวก ก็จะนูนลง (ขึ้นด้านบน) เช่นกัน
ถ้าฟังก์ชัน \(u = g\left(x \right)\) นูนลง และฟังก์ชัน \(y = f\left(u \right)\) นูนลงและไม่ลดลง ดังนั้น ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) ก็จะนูนลงเช่นกัน
ถ้าฟังก์ชัน \(u = g\left(x \right)\) นูนขึ้น และฟังก์ชัน \(y = f\left(u \right)\) นูนลงและไม่เพิ่มขึ้น ดังนั้น ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) จะนูนลง
สูงสุดในท้องถิ่น ฟังก์ชันนูนขึ้นที่กำหนดในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right],\) ก็เช่นกัน มูลค่าสูงสุด ในส่วนนี้
ขั้นต่ำในท้องถิ่น ฟังก์ชันนูนลงที่กำหนดในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right],\) ก็เช่นกัน ค่าต่ำสุด ในส่วนนี้
คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ จุดเปลี่ยนเว้าและช่วงนูนของกราฟฟังก์ชันด้วยการออกแบบโซลูชันใน Word ไม่ว่าฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว f(x1,x2) จะนูนหรือไม่นั้น ให้ตัดสินใจโดยใช้เมทริกซ์ Hessian
กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:
ทิศทางความนูนของกราฟของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน
คำจำกัดความ: เส้นโค้ง y=f(x) เรียกว่านูนลงในช่วงเวลา (a; b) หากเส้นโค้งอยู่เหนือเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้คำจำกัดความ: เส้นโค้ง y=f(x) กล่าวกันว่านูนขึ้นในช่วงเวลา (a; b) ถ้าเส้นโค้งอยู่ต่ำกว่าเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้ 
คำจำกัดความ: ช่วงที่กราฟของฟังก์ชันนูนขึ้นหรือลง เรียกว่า ช่วงนูนของกราฟของฟังก์ชัน
ความนูนขึ้นหรือลงของเส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) มีลักษณะเฉพาะด้วยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง: หากในช่วงเวลาหนึ่ง f''(x) > 0 แสดงว่าเส้นโค้งนั้นนูนออกมา ลงในช่วงเวลานี้ ถ้า f’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
คำจำกัดความ: จุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่แยกช่วงนูนของทิศทางตรงกันข้ามของกราฟนี้เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า 
เฉพาะจุดวิกฤติของประเภทที่สองเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้ เช่น จุดที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) หายไปหรือมีความต่อเนื่อง
กฎสำหรับการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)
- ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) .
- ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันประเภทที่สอง y=f(x) เช่น จุดที่ f''(x) หายไปหรือประสบกับความไม่ต่อเนื่อง
- ตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) ในช่วงที่จุดวิกฤติที่พบแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f(x) ถ้าจุดวิกฤต x 0 แยกช่วงนูนของทิศทางตรงกันข้าม แล้ว x 0 คือค่า Abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน
- คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยนเว้า
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาช่วงนูนและจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งต่อไปนี้: f(x) = 6x 2 –x 3
วิธีแก้: หา f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x
มาหาจุดวิกฤตของอนุพันธ์อันดับสองโดยการแก้สมการ 12-6x=0 x=2 . 
ฉ(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
คำตอบ: ฟังก์ชันจะนูนขึ้นด้านบนสำหรับ x∈(2; +∞) ; ฟังก์ชันจะนูนลงมาที่ x∈(-∞; 2) ; จุดเปลี่ยนเว้า (2;16) .
ตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้าหรือไม่: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันนูนและโค้ง: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
เมื่อเราสร้างกราฟฟังก์ชัน การระบุช่วงนูนและจุดเปลี่ยนเว้าเป็นสิ่งสำคัญ เราต้องการพวกมันพร้อมกับช่วงเวลาของการลดลงและการเพิ่มขึ้น เพื่อแสดงฟังก์ชันในรูปแบบกราฟิกอย่างชัดเจน
การทำความเข้าใจหัวข้อนี้ต้องอาศัยความรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร และวิธีการประเมินตามลำดับ รวมถึงความสามารถในการแก้ไข ประเภทต่างๆความไม่เท่าเทียมกัน
ในตอนต้นของบทความ มีการกำหนดแนวคิดพื้นฐานไว้ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างทิศทางของความนูนกับค่าของอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลาหนึ่ง ต่อไป เราจะระบุเงื่อนไขที่สามารถกำหนดจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟได้ ข้อโต้แย้งทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีแก้ไขปัญหา
คำจำกัดความ 1ในทิศทางลงในช่วงเวลาหนึ่ง ในกรณีที่กราฟไม่ต่ำกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้
คำจำกัดความ 2
ฟังก์ชันที่ต้องการสร้างความแตกต่างคือนูนขึ้นไปในช่วงเวลาหนึ่ง หากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดอยู่ไม่สูงกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้
ฟังก์ชันนูนลงสามารถเรียกว่าฟังก์ชันเว้าได้เช่นกัน คำจำกัดความทั้งสองแสดงไว้อย่างชัดเจนในกราฟด้านล่าง:
คำจำกัดความ 3
จุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน– นี่คือจุด M (x 0 ; f (x 0)) ซึ่งมีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันโดยขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของอนุพันธ์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 โดยที่ทางด้านซ้าย และด้านขวาของกราฟของฟังก์ชันจะมีทิศทางของความนูนต่างกัน
พูดง่ายๆ ก็คือ จุดเปลี่ยนเว้าคือตำแหน่งบนกราฟที่มีเส้นสัมผัสกัน และทิศทางของความนูนของกราฟเมื่อผ่านจุดนี้จะเปลี่ยนทิศทางของความนูน หากคุณจำไม่ได้ว่าการมีอยู่ของแทนเจนต์แนวตั้งและไม่ใช่แนวตั้งอยู่ภายใต้เงื่อนไขใด เราขอแนะนำให้ทำซ้ำส่วนแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชันที่มีจุดเปลี่ยนเว้าหลายจุด ซึ่งไฮไลต์ด้วยสีแดง ให้เราชี้แจงว่าไม่จำเป็นต้องมีจุดเปลี่ยนเว้า บนกราฟของฟังก์ชันหนึ่งสามารถมีได้หนึ่ง สอง หลายหลาย หลายอนันต์ หรือไม่มีก็ได้
ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงทฤษฎีบทที่คุณสามารถกำหนดช่วงนูนบนกราฟของฟังก์ชันเฉพาะได้
คำจำกัดความที่ 4
กราฟของฟังก์ชันจะนูนออกมาในทิศทางลงหรือขึ้น หากฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน y = f (x) มีอนุพันธ์จำกัดอันดับสองบน ช่วงเวลาที่กำหนด x โดยมีเงื่อนไขว่าอสมการ f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) เป็นจริง
เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณสามารถค้นหาช่วงเวลาของความเว้าและความนูนบนกราฟใดๆ ของฟังก์ชันได้ ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 บนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง
ให้เราชี้แจงว่าจุดเหล่านั้นที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสอง แต่มีการกำหนดฟังก์ชัน y = f (x) จะรวมอยู่ในช่วงนูนและเว้า
ลองดูตัวอย่างปัญหาเฉพาะเจาะจงเพื่อดูว่าจะนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้อย่างไรให้ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 1
เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . พิจารณาว่ากราฟจะนูนและเว้าในช่วงใด
สารละลาย
โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือทั้งเซต ตัวเลขจริง- เริ่มต้นด้วยการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง
y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
เราเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นพร้อมกับโดเมนของฟังก์ชันเอง ซึ่งหมายความว่าเพื่อระบุช่วงเวลาของความนูน เราจำเป็นต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x ) ≤ 0
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
เราพบว่ากราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะมีความเว้าในส่วน [2; + ∞) และความนูนบนส่วน (- ∞; 2 ] .
เพื่อความชัดเจน เรามาวาดกราฟของฟังก์ชันและทำเครื่องหมายส่วนที่นูนเป็นสีน้ำเงินและส่วนที่เว้าเป็นสีแดง
คำตอบ:กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะมีความเว้าบนส่วน [ 2 ; + ∞) และความนูนบนส่วน (- ∞; 2 ] .
แต่จะทำอย่างไรถ้าโดเมนของนิยามของอนุพันธ์อันดับสองไม่ตรงกับขอบเขตของนิยามของฟังก์ชัน? ข้อสังเกตที่ทำไว้ข้างต้นจะเป็นประโยชน์สำหรับเรา: เราจะรวมจุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่มีขอบเขตจำกัดในส่วนเว้าและส่วนนูนด้วย
ตัวอย่างที่ 2
เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = 8 x x - 1 . กำหนดว่ากราฟจะเว้าในช่วงใดและจะนูนในช่วงใด
สารละลาย
ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)
ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:
ปี " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 ปี "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3
โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองคือเซต x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) เราเห็นว่า x เท่ากับ 0 จะเป็นโดเมนของฟังก์ชันเดิม แต่ไม่ใช่โดเมนของอนุพันธ์อันดับสอง จุดนี้จะต้องรวมไว้ในส่วนเว้าหรือส่วนนูน
หลังจากนี้ เราจำเป็นต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 บนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนด เราใช้วิธีช่วงเวลาสำหรับสิ่งนี้: โดยที่ x = - 1 - 2 3 3 data - 2, 1547 หรือ x = - 1 + 2 3 3 data 0, 1547 ตัวเศษ 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 กลายเป็น 0 และตัวส่วนเป็น 0 เมื่อ x เป็นศูนย์หรือหนึ่ง
ลองพล็อตจุดผลลัพธ์บนกราฟและกำหนดเครื่องหมายของนิพจน์ในทุกช่วงเวลาที่จะรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม พื้นที่นี้แสดงโดยการแรเงาบนกราฟ หากค่าเป็นบวก เราจะทำเครื่องหมายช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายบวก หากเป็นลบก็จะทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ
เพราะฉะนั้น,
ฉ "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และ f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)
เรารวมจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ก่อนหน้า x = 0 และรับคำตอบที่ต้องการ กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะนูนลงมาที่ 0 - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และขึ้นไป – สำหรับ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
ลองวาดกราฟโดยทำเครื่องหมายส่วนที่นูนเป็นสีน้ำเงินและส่วนเว้าเป็นสีแดง เส้นกำกับแนวตั้งจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นประสีดำ
คำตอบ:กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะนูนลงมาที่ 0 - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และขึ้นไป – สำหรับ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
เงื่อนไขสำหรับการโก่งตัวของกราฟฟังก์ชัน
เริ่มต้นด้วยการกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการโก่งกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง
คำจำกัดความที่ 5
สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งเป็นกราฟที่มีจุดเปลี่ยนเว้า ที่ x = x 0 จะมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องกัน ดังนั้นค่าความเท่าเทียมกัน f "" (x 0) = 0 จะยังคงมีอยู่
กำลังพิจารณา เงื่อนไขนี้เราควรมองหาจุดเปลี่ยนเว้าระหว่างจุดที่อนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเป็น 0 เงื่อนไขนี้จะไม่เพียงพอ: ไม่ใช่ทุกประเด็นที่เหมาะกับเรา
นอกจากนี้โปรดทราบด้วยว่าตาม คำจำกัดความทั่วไปเราจะต้องมีเส้นสัมผัสแนวตั้งหรือไม่ใช่แนวตั้ง ในทางปฏิบัติ หมายความว่าหากต้องการหาจุดเปลี่ยนเว้า คุณควรหาจุดนั้นที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดเปลี่ยนเป็น 0 ดังนั้นในการค้นหาจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้า เราจำเป็นต้องนำ x 0 ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดยที่ lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ และ lim x → x 0 + 0 ฉ " (x) = ∞ ส่วนใหญ่แล้ว จุดเหล่านี้คือจุดที่ตัวส่วนของอนุพันธ์อันดับแรกกลายเป็น 0
เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของจุดเปลี่ยนเว้าในกราฟของฟังก์ชัน
เราพบค่าทั้งหมดของ x 0 ที่สามารถใช้เป็นจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้าได้ หลังจากนี้ เราจำเป็นต้องใช้เงื่อนไขการผันกลับที่เพียงพอประการแรก
คำนิยาม 6
สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งต่อเนื่องกันที่จุด M (x 0 ; f (x 0)) ยิ่งไปกว่านั้น มันมีแทนเจนต์ ณ จุดนี้ และฟังก์ชันเองก็มีอนุพันธ์อันดับสองอยู่ใกล้จุดนี้ x 0 ในกรณีนี้ หากอนุพันธ์อันดับสองมีเครื่องหมายตรงกันข้ามทางซ้ายและขวา จุดนี้ถือได้ว่าเป็นจุดเปลี่ยนเว้า
เราเห็นว่าเงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนี้ การมีอยู่ของมันในบริเวณใกล้กับจุด x 0 ก็เพียงพอแล้ว
สะดวกในการนำเสนอทุกสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นในรูปแบบของลำดับการกระทำ
- ก่อนอื่น คุณต้องหาจุดหักเหทั้งหมด x 0 ของจุดเปลี่ยนเว้าที่เป็นไปได้ โดยที่ f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
- มาดูกันว่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนสัญญาณที่จุดใด ค่าเหล่านี้คือค่าขาดของจุดเปลี่ยนเว้าและจุด M (x 0 ; f (x 0)) ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านั้นคือจุดเปลี่ยนเว้าเอง
เพื่อความชัดเจน เราจะวิเคราะห์ปัญหาสองประการ
ตัวอย่างที่ 3
เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x พิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันนี้จะมีจุดเปลี่ยนและจุดนูนตรงจุดใด
สารละลาย
ฟังก์ชันที่ระบุถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เราคำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2
ทีนี้ ลองหาโดเมนของนิยามของอนุพันธ์อันดับ 1 กัน ยังเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดด้วย ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ และ lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ไม่สามารถพอใจกับค่าใด ๆ ของ x 0 .
เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:
ปี " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3
เราพบจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้าที่เป็นไปได้สองจุด - 2 และ 3 สิ่งที่เราต้องทำคือตรวจสอบว่าจุดใดที่อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย ลองวาดเส้นจำนวนแล้ววาดจุดเหล่านี้ลงไป หลังจากนั้นเราจะวางเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลาผลลัพธ์
ส่วนโค้งแสดงทิศทางความนูนของกราฟในแต่ละช่วงเวลา
อนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม (จากบวกเป็นลบ) ที่จุดที่มี abscissa 3 ผ่านมันจากซ้ายไปขวา และยังทำสิ่งนี้ (จากลบไปบวก) ที่จุดที่มี abscissa 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสรุปได้ว่า x = - 2 และ x = 3 คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน พวกเขาจะสอดคล้องกับจุดกราฟ - 2; - 4 3 และ 3; - 15 8 .
ลองมาดูภาพของแกนตัวเลขและสัญญาณผลลัพธ์ตามช่วงเวลาอีกครั้งเพื่อสรุปเกี่ยวกับจุดเว้าและนูน ปรากฎว่าส่วนนูนจะอยู่ที่ส่วน - 2; 3 และความเว้าบนส่วนต่างๆ (- ∞; - 2 ] และ [ 3; + ∞)
วิธีแก้ไขปัญหาแสดงไว้อย่างชัดเจนในกราฟ: สีฟ้า– ความนูน สีแดง – ความเว้า สีดำ หมายถึง จุดเปลี่ยนเว้า
คำตอบ:ส่วนนูนจะอยู่ที่ส่วน - 2; 3 และความเว้าบนส่วนต่างๆ (- ∞; - 2 ] และ [ 3; + ∞)
ตัวอย่างที่ 4
เงื่อนไข:คำนวณ abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .
สารละลาย
โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราคำนวณอนุพันธ์:
y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5
ต่างจากฟังก์ชันตรงที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งจะไม่ถูกกำหนดด้วยค่า x เท่ากับ 3 แต่:
ลิม x → 3 - 0 ปี " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ ลิม x → 3 + 0 ปี " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
ซึ่งหมายความว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งของกราฟจะผ่านจุดนี้ไป ดังนั้น 3 อาจเป็นจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า
เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง นอกจากนี้เรายังพบโดเมนของคำจำกัดความและจุดที่เปลี่ยนเป็น 0:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 หยาบคาย 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 data 0.4675
ตอนนี้เรามีจุดเปลี่ยนที่เป็นไปได้อีกสองจุด เรามาพล็อตพวกมันทั้งหมดบนเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายช่วงเวลาผลลัพธ์ด้วยเครื่องหมาย:
ป้ายจะเปลี่ยนเมื่อผ่านจุดที่ระบุแต่ละจุดซึ่งหมายความว่าเป็นจุดเปลี่ยนทั้งหมด
คำตอบ:ลองวาดกราฟของฟังก์ชัน โดยกำหนดจุดเว้าเป็นสีแดง ส่วนนูนเป็นสีน้ำเงิน และจุดเปลี่ยนเว้าเป็นสีดำ:
เมื่อทราบเงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับการผันเว้า เราสามารถกำหนดจุดที่จำเป็นซึ่งไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสอง จากนี้เงื่อนไขแรกถือได้ว่าเป็นสากลที่สุดและเหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้ไข ประเภทต่างๆงาน
โปรดทราบว่ายังมีเงื่อนไขการผันกลับอีกสองเงื่อนไข แต่สามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อมีอนุพันธ์จำกัดที่จุดที่ระบุเท่านั้น
หากเรามี f "" (x 0) = 0 และ f """ (x 0) ≠ 0 แล้ว x 0 จะเป็น abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ y = f (x)
ตัวอย่างที่ 5
เงื่อนไข:ให้ฟังก์ชัน y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 พิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีจุดเปลี่ยนที่จุดที่ 3 หรือไม่ 4 5 .
สารละลาย
สิ่งแรกที่ต้องทำคือต้องแน่ใจว่าจุดนี้จะอยู่ในกราฟของฟังก์ชันนี้
ปี (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
ฟังก์ชันที่กำหนดถูกกำหนดไว้สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง มาคำนวณอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองกัน:
y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
เราพบว่าอนุพันธ์อันดับสองจะเป็น 0 ถ้า x เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขการกลับทิศทางที่จำเป็นสำหรับจุดนี้จะเป็นที่พอใจ ตอนนี้เราใช้เงื่อนไขที่สอง: ค้นหาอนุพันธ์อันดับสามแล้วดูว่าจะเปลี่ยนเป็น 0 ที่ 3 หรือไม่:
ปี " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10
อนุพันธ์อันดับสามจะไม่หายไปจากค่า x ใดๆ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าจุดนี้จะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน
คำตอบ:ลองแสดงวิธีแก้ปัญหาในภาพประกอบ:
สมมติว่า f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 และ f (n + 1) (x 0) ≠ 0 ในกรณีนี้ สำหรับเลขคู่ เราจะได้ว่า x 0 คือจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ y = f (x)
ตัวอย่างที่ 6
เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = (x - 3) 5 + 1 คำนวณจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ
สารละลาย
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เราคำนวณอนุพันธ์: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . เนื่องจากจะมีการกำหนดค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ด้วย แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งจะมีอยู่ที่จุดใดก็ได้ในกราฟ
ทีนี้มาคำนวณว่าอนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเป็น 0 ได้อย่างไร:
y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
เราพบว่าที่ x = 3 กราฟของฟังก์ชันอาจมีจุดเปลี่ยนเว้า ลองใช้เงื่อนไขที่สามเพื่อยืนยันสิ่งนี้:
ปี " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , ปี " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 ปี (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , ปี (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 ปี (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , ปี (5) (3 ) = 120 ≠ 0
เรามี n = 4 ตามเงื่อนไขที่เพียงพอข้อที่สาม นี่คือเลขคู่ ซึ่งหมายความว่า x = 3 จะเป็นค่าขาดของจุดเปลี่ยนเว้าและจุดกราฟของฟังก์ชัน (3; 1) สอดคล้องกับค่านั้น
คำตอบ:นี่คือกราฟของฟังก์ชันนี้ซึ่งมีจุดนูน ความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้ากำกับไว้:
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter