วลี " ชุดตัวเลข" เป็นเรื่องธรรมดาในตำราคณิตศาสตร์ ที่นั่นคุณมักจะพบวลีเช่นนี้:

“บลา บลา บลา ซึ่งอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ”

บ่อยครั้งแทนที่จะเห็นจุดสิ้นสุดของวลี คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้ มีความหมายเหมือนกับข้อความด้านบนเล็กน้อย - ตัวเลข อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ หลายๆ คนมักไม่ใส่ใจว่าตัวแปรใดถูกกำหนดไว้ในชุดใด เป็นผลให้มีการใช้วิธีการที่ไม่ถูกต้องโดยสิ้นเชิงในการแก้ปัญหาหรือพิสูจน์ทฤษฎีบท สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติของตัวเลขที่อยู่ในชุดที่แตกต่างกันอาจแตกต่างกัน

ชุดตัวเลขมีไม่มากนัก ด้านล่างนี้คุณสามารถดูคำจำกัดความของชุดตัวเลขต่างๆ ได้

ชุดของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น: 1, 3, 20, 3057 ชุดนี้ไม่รวมเลข 0

ชุดตัวเลขนี้ประกอบด้วยจำนวนเต็มที่มากกว่าและ น้อยกว่าศูนย์, และยังเป็นศูนย์ด้วย.

ตัวอย่างเช่น: -15, 0, 139

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนตรรกยะคือชุดของเศษส่วนที่ไม่สามารถยกเลิกได้ (หากเศษส่วนถูกยกเลิก ก็จะเป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว และในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องใส่ชุดตัวเลขอื่น)

ตัวอย่างตัวเลขที่อยู่ในชุดตรรกยะ: 3/5, 9/7, 1/2

,

โดยที่ คือลำดับอันจำกัดของตัวเลขของส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขที่อยู่ในเซตของจำนวนจริง ลำดับนี้มีจำกัด กล่าวคือ จำนวนหลักในส่วนจำนวนเต็มของจำนวนจริงนั้นมีจำกัด

– ลำดับอนันต์ของตัวเลขที่อยู่ในเศษส่วนของจำนวนจริง ปรากฎว่าเศษส่วนมีจำนวนอนันต์

ตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ มิฉะนั้น จำนวนดังกล่าวอาจจัดเป็นชุดของจำนวนตรรกยะได้

ตัวอย่างของจำนวนจริง:

มาดูความหมายของรากของทั้งสองกันดีกว่า ส่วนจำนวนเต็มมีเพียง 1 หลักเท่านั้น ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้:

ในส่วนของเศษส่วน (หลังจุด) ตัวเลข 4, 1, 4, 2 และอื่นๆ จะปรากฏตามลำดับ ดังนั้นสำหรับสี่หลักแรกเราสามารถเขียนได้:

ฉันกล้าหวังว่าตอนนี้คำจำกัดความของเซตของจำนวนจริงชัดเจนขึ้น

บทสรุป

ควรจำไว้ว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถแสดงคุณสมบัติที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรนั้นอยู่ในชุดใด ดังนั้นจำพื้นฐานไว้ - พวกมันจะมีประโยชน์

ยอดดูโพสต์: 5,103

สถานะ สถาบันการศึกษา

เฉลี่ย อาชีวศึกษา

ภูมิภาคตูลา

"วิทยาลัยวิศวกรรมเครื่องกลอเล็กซินสกี้"

ตัวเลข

ชุด

ออกแบบโดย

ครู

นักคณิตศาสตร์

Khristoforova M.Yu.

ตัวเลข - แนวคิดพื้นฐาน , ใช้สำหรับ ลักษณะการเปรียบเทียบ และชิ้นส่วนของพวกเขา ป้ายเขียนเพื่อแสดงตัวเลขได้แก่ , และ ทางคณิตศาสตร์ .

แนวคิดเรื่องจำนวนเกิดขึ้นในสมัยโบราณจากความต้องการในทางปฏิบัติของผู้คนและพัฒนาในกระบวนการพัฒนามนุษย์ ภูมิภาค กิจกรรมของมนุษย์ขยายตัวและด้วยเหตุนี้ความต้องการคำอธิบายเชิงปริมาณและการวิจัยจึงเพิ่มขึ้น ในตอนแรก แนวคิดเรื่องจำนวนถูกกำหนดโดยความต้องการในการนับและการวัดที่เกิดขึ้นในกิจกรรมการปฏิบัติของมนุษย์ ซึ่งมีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ต่อมา ตัวเลขกลายเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ และความต้องการของวิทยาศาสตร์นี้จะเป็นตัวกำหนด การพัฒนาต่อไปแนวคิดนี้

ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลขเรียกว่าตัวเลข

ตัวอย่างของชุดตัวเลขได้แก่:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - ชุดของจำนวนธรรมชาติ;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - ชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - ชุดของจำนวนเต็ม;

ถาม=(ม/n: ม ซีเอ็น N) คือเซตของจำนวนตรรกยะ

เซต R ของจำนวนจริง

มีความสัมพันธ์ระหว่างชุดเหล่านี้

เอ็น โซ ซี ถาม ร.

ตัวเลขของแบบฟอร์มยังไม่มีข้อความ = (1, 2, 3, ....) ถูกเรียกเป็นธรรมชาติ . จำนวนธรรมชาติปรากฏขึ้นโดยสัมพันธ์กับความจำเป็นในการนับวัตถุ

ใดๆ ที่ยิ่งใหญ่กว่าความสามัคคีสามารถแสดงเป็นผลของพลังได้ จำนวนเฉพาะ, และ วิธีเดียวเท่านั้นขึ้นกับลำดับปัจจัย ตัวอย่างเช่น 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

ถ้าม, เอ็น, เค - จำนวนเต็ม, แล้วเมื่อไหร่ม - n = เค พวกเขาพูดอย่างนั้นm - minuend, n - subtrahend, k - ความแตกต่าง; ที่ม: n = เค พวกเขาพูดอย่างนั้นm - เงินปันผล, n - ตัวหาร, k - ผลหาร, ตัวเลขม เรียกอีกอย่างว่าทวีคูณ ตัวเลขเอ็น, และหมายเลขn - ตัวหาร ตัวเลขม. ถ้าเป็นจำนวนม- หลายจำนวนเอ็น, แล้วก็มีจำนวนธรรมชาติเค ดังนั้นม. = KN.

จากตัวเลขที่ใช้เครื่องหมายและวงเล็บทางคณิตศาสตร์ประกอบกันนิพจน์ตัวเลข หากคุณดำเนินการตามที่ระบุในนิพจน์ตัวเลขโดยปฏิบัติตามลำดับที่ยอมรับ คุณจะได้รับหมายเลขที่เรียกว่าค่าของการแสดงออก .

ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์: การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน ภายในวงเล็บใดๆ การคูณและการหารจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติม หารด้วยจำนวนธรรมชาติไม่ได้เอ็น, เหล่านั้น. ไม่มีสิ่งนั้นจำนวนธรรมชาติ k อะไรม. = KN, แล้วพวกเขาก็พิจารณาการหารด้วยเศษ: m = np + r, ที่ไหนm - เงินปันผล, n - ตัวหาร (m>n), p - ผลหาร, r - ส่วนที่เหลือ .

ถ้าตัวเลขมีตัวหารเพียงสองตัว (ตัวเลขนั้นเองและตัวเดียว) จะถูกเรียกเรียบง่าย : ถ้าตัวเลขมีตัวหารมากกว่าสองตัว จะถูกเรียกคอมโพสิต

จำนวนธรรมชาติประกอบใดๆ ก็สามารถเป็นได้แยกตัวประกอบ และมีเพียงทางเดียวเท่านั้น เมื่อนำตัวเลขมาแยกตัวประกอบเฉพาะ ให้ใช้สัญญาณของการแบ่งแยก .

ก และข สามารถพบได้ตัวหารร่วมมาก. มันถูกกำหนดไว้ง(ก,ข) ถ้าเป็นตัวเลขก และข เป็นอย่างนั้นง(ก,ข) = 1, แล้วตัวเลขก และข ถูกเรียกเรียบง่ายซึ่งกันและกัน

สำหรับจำนวนธรรมชาติที่กำหนดก และข สามารถพบได้ตัวคูณร่วมน้อย. มันถูกกำหนดไว้เค(ก,ข) ผลคูณร่วมใดๆ ของตัวเลขก และข หารด้วยเค(ก,ข)

ถ้าเป็นตัวเลขก และb ค่อนข้างสำคัญ , เช่น.ง(ก,ข) = 1, ที่K(ก,ข) = ab

ตัวเลขของแบบฟอร์ม:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) ถูกเรียก จำนวนเต็ม , เหล่านั้น. จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ ที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติและเป็นเลข 0

จำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3, 4, 5.... เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเต็มบวก ตัวเลข -1, -2, -3, -4, -5, ... ซึ่งตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติ เรียกว่าจำนวนเต็มลบ

ตัวเลขที่สำคัญ ตัวเลขคือตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์นำหน้า

กลุ่มของตัวเลขที่ทำซ้ำตามลำดับหลังจุดทศนิยมในรูปแบบทศนิยมเรียกว่าระยะเวลาและเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่มีจุดดังกล่าวเรียกว่าเป็นระยะๆ . หากระยะเวลาเริ่มต้นทันทีหลังจากจุดทศนิยม เศษส่วนจะถูกเรียกบริสุทธิ์เป็นระยะ - หากมีตำแหน่งทศนิยมอื่นระหว่างจุดทศนิยมกับจุด เศษส่วนนั้นจะถูกเรียกผสมเป็นระยะ .

เรียกตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มหรือเศษส่วนไม่มีเหตุผล .

แต่ละ จำนวนอตรรกยะแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ

เซตของอันมีขอบเขตและอนันต์ทั้งหมด ทศนิยมเรียกว่ามากมาย ตัวเลขจริง : มีเหตุมีผลและไม่ลงตัว

เซต R ของจำนวนจริงมีคุณสมบัติดังนี้

1. มีการเรียงลำดับ: สำหรับจำนวน α และ b ที่แตกต่างกันสองตัวใดๆ ความสัมพันธ์แบบใดแบบหนึ่งจากสองความสัมพันธ์จะเป็นดังนี้:

2. เซต R มีความหนาแน่น: ระหว่างเซต R ใดๆ ตัวเลขที่แตกต่างกัน a และ b มีเซตของจำนวนจริง x จำนวนอนันต์ กล่าวคือ ตัวเลขที่เป็นไปตามอสมการ a<х

ดังนั้น ถ้าก

(ก 2ก< ก+ขก+ข<2b  2 ก ก<(a+b)/2

จำนวนจริงสามารถแสดงเป็นจุดบนเส้นจำนวนได้ ในการกำหนดเส้นจำนวน คุณต้องทำเครื่องหมายจุดบนเส้นซึ่งจะตรงกับตัวเลข 0 - จุดเริ่มต้น จากนั้นเลือกส่วนของหน่วยและระบุทิศทางที่เป็นบวก

แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับตัวเลข ซึ่งกำหนดเป็นความยาวของส่วนจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่ต้องการ โดยใช้ส่วนของหน่วยเป็นหน่วยวัด ตัวเลขนี้เป็นพิกัดของจุด หากจุดหนึ่งถูกพาไปทางขวาของจุดกำเนิด พิกัดของจุดนั้นจะเป็นค่าบวก และหากไปทางซ้ายจะเป็นค่าลบ ตัวอย่างเช่น จุด O และ A มีพิกัด 0 และ 2 ตามลำดับ ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ 0(0), A(2)

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันตามแนวคิดของฟังก์ชันที่เล็กที่สุด.

แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คือ ปริมาณ เซต ฟังก์ชัน ฟังก์ชันน้อย ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล

ขนาดสิ่งใดก็ตามที่สามารถวัดและแสดงด้วยตัวเลขได้จะเรียกว่า

มากมายคือชุดขององค์ประกอบบางอย่างที่รวมกันเป็นคุณลักษณะทั่วไปบางอย่าง องค์ประกอบของเซตอาจเป็นตัวเลข ตัวเลข วัตถุ แนวคิด ฯลฯ

ชุดต่างๆ จะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ และองค์ประกอบของชุดจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก องค์ประกอบของชุดจะอยู่ในวงเล็บปีกกา

ถ้าธาตุ xเป็นของหลาย ๆ คน เอ็กซ์แล้วเขียน x∈เอ็กซ์ (∈ - เป็นของ)
ถ้าเซต A เป็นส่วนหนึ่งของเซต B ให้เขียน เอ ⊂ บี (⊂ - มี)

ชุดสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี: โดยการแจงนับและโดยการใช้คุณสมบัติการกำหนด

ตัวอย่างเช่น ชุดต่อไปนี้จะถูกระบุโดยการแจงนับ:

• A=(1,2,3,5,7) - ชุดตัวเลข
• Е=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - เซตขององค์ประกอบบางตัว x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — เซตของจำนวนธรรมชาติ
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — เซตของจำนวนเต็ม

เซต (-∞;+∞) เรียกว่า เส้นจำนวนและจำนวนใดๆ ก็คือจุดบนเส้นนี้ ให้ a เป็นจุดใดก็ได้บนเส้นจำนวน และ δ เป็นจำนวนบวก เรียกว่าช่วงเวลา (a-δ; a+δ) δ-บริเวณใกล้เคียงของจุดก.

เซต X จะถูกกำหนดขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) หากมีตัวเลข c ที่ทำให้ x ∈ X ใดๆ มีอสมการ x≤с (x≥c) อยู่ หมายเลข c ในกรณีนี้เรียกว่า ขอบบน (ล่าง)เซต X เรียกว่าเซตที่มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง ถูก จำกัด- เรียกว่าหน้าชุดบน (ล่าง) ที่เล็กที่สุด (ใหญ่ที่สุด) ขอบบน (ล่าง) ที่แน่นอนของจำนวนมากมายนี้

ชุดตัวเลขพื้นฐาน

เอ็น	(1,2,3,...,n) เซตของทั้งหมด
ซี	(0, ±1, ±2, ±3,...) ตั้งค่า จำนวนเต็มชุดของจำนวนเต็มรวมถึงชุดของจำนวนธรรมชาติด้วย
ถาม	พวงของ สรุปตัวเลข. นอกจากจำนวนเต็มแล้ว ยังมีเศษส่วนอีกด้วย เศษส่วนคือการแสดงออกของรูปแบบโดยที่ พี- จำนวนเต็ม ถาม- เป็นธรรมชาติ. เศษส่วนทศนิยมสามารถเขียนเป็น . ตัวอย่างเช่น: 0.25 = 25/100 = 1/4 จำนวนเต็มยังสามารถเขียนเป็น . ตัวอย่างเช่น ในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น "หนึ่ง": 2 = 2/1 ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ - มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นงวดไม่สิ้นสุด
ร	มากมายทุกคน ตัวเลขจริง. จำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัด ซึ่งรวมถึง: เมื่อรวมกันแล้ว ชุดสองชุด (จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ) จะรวมกันเป็นชุดของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง)

หากชุดไม่มีองค์ประกอบเดียว ระบบจะเรียกชุดนั้น ชุดเปล่าและถูกบันทึกไว้ Ø .

องค์ประกอบของสัญลักษณ์เชิงตรรกะ

สัญกรณ์ ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

ปริมาณ

ปริมาณมักใช้ในการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์

ปริมาณเรียกว่าสัญลักษณ์ตรรกะที่แสดงลักษณะขององค์ประกอบที่ตามมาในแง่ปริมาณ

• ∀- ปริมาณทั่วไป, ใช้แทนคำว่า “สำหรับทุกคน”, “สำหรับทุกคน”
• ∃- ปริมาณการดำรงอยู่, ใช้แทนคำว่า "มีอยู่", "มีอยู่" มีการใช้สัญลักษณ์ผสม ∃! ซึ่งอ่านได้เหมือนกับว่ามีเพียงหนึ่งเดียว

ตั้งค่าการดำเนินการ

สอง เซต A และ B เท่ากัน(A=B) หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน
ตัวอย่างเช่น ถ้า A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) แล้ว A=B

โดยสหภาพ (รวม)เซต A และ B คือเซต A ∪ B ที่มีสมาชิกอยู่ในเซตเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเซต
ตัวอย่างเช่น ถ้า A=(1,2,4), B=(3,4,5,6) แล้ว A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

ตามทางแยก (สินค้า)เซต A และ B เรียกว่าเซต A ∩ B ซึ่งมีสมาชิกเป็นของทั้งเซต A และเซต B
ตัวอย่างเช่น ถ้า A=(1,2,4), B=(3,4,5,2) แล้ว A ∩ B = (2,4)

โดยความแตกต่างเซต A และ B เรียกว่าเซต AB ซึ่งมีสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่ได้อยู่ในเซต B
ตัวอย่างเช่น ถ้า A=(1,2,3,4), B=(3,4,5) แล้ว AB = (1,2)

ความแตกต่างแบบสมมาตรเซต A และ B เรียกว่าเซต A Δ B ซึ่งเป็นผลรวมของความแตกต่างของเซต AB และ BA นั่นคือ A Δ B = (AB) ∪ (BA)
ตัวอย่างเช่น ถ้า A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6) แล้ว A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

คุณสมบัติของการดำเนินการชุด

คุณสมบัติการสับเปลี่ยน

ก ∪ B = B ∪ ก
ก ∩ B = B ∩ ก

คุณสมบัติที่ตรงกัน

(ก ∪ B) ∪ C = ก ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

เซตนับได้และนับไม่ได้

เพื่อเปรียบเทียบสองชุด A และ B จะมีการจัดทำความสอดคล้องกันระหว่างองค์ประกอบต่างๆ

หากการติดต่อนี้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง เซตนั้นจะเรียกว่าเซตที่เทียบเท่าหรือมีพลังเท่ากัน A B หรือ B A

ตัวอย่างที่ 1

เซตของจุดบนขา BC และด้านตรงข้ามมุมฉาก AC ของสามเหลี่ยม ABC มีกำลังเท่ากัน

เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยตัวเลข 1, 2, 3, 4, ... ใช้สำหรับการนับวัตถุ เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็น :

เอ็น = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

กฎการบวกของจำนวนธรรมชาติ

1. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ขความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก + ข = ข + ก - คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการสับเปลี่ยนของการบวก

2. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค) - คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการบวกรวม (ร่วม)

กฎการคูณของจำนวนธรรมชาติ

3. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ขความเท่าเทียมกันเป็นจริง เกี่ยวกับ = บริติชแอร์เวย์- คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการสับเปลี่ยนของการคูณ

4. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (กข)ค = ก(ขค) - คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการคูณ (ร่วม) ของการคูณ

5. สำหรับค่าใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (ก + ข)ค = เครื่องปรับอากาศ + ก่อนคริสต์ศักราช - คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการกระจายของการคูณ (สัมพันธ์กับการบวก)

6. สำหรับค่าใดๆ กความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก*1 = ก- คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการคูณด้วยหนึ่ง

ผลลัพธ์ของการบวกหรือคูณจำนวนธรรมชาติสองตัวจะเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ หรือพูดอีกอย่างหนึ่งก็คือ การดำเนินการเหล่านี้สามารถดำเนินการได้ในขณะที่ยังอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการลบและการหาร: ตัวอย่างเช่นจากเลข 3 มันเป็นไปไม่ได้ที่จะลบเลข 7 โดยยังคงอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เลข 15 ไม่สามารถหารด้วย 4 ได้ทั้งหมด

สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติลงตัว

การหารของผลรวมถ้าแต่ละเทอมหารด้วยตัวเลขลงตัว ผลรวมก็จะหารด้วยจำนวนนั้นลงตัว

การแบ่งแยกของผลิตภัณฑ์หากในผลิตภัณฑ์ตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัว ผลิตภัณฑ์นั้นก็หารด้วยจำนวนนี้เช่นกัน

เงื่อนไขเหล่านี้ทั้งสำหรับผลรวมและผลิตภัณฑ์ก็เพียงพอแล้วแต่ไม่จำเป็น ตัวอย่างเช่น ผลคูณ 12*18 หารด้วย 36 ลงตัว แม้ว่า 12 หรือ 18 หารด้วย 36 ลงตัวก็ตาม

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 2 ลงตัว จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่หลักสุดท้ายจะเป็นเลขคู่

ทดสอบการหารด้วย 5 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 5 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่หลักสุดท้ายจะเป็น 0 หรือ 5

ทดสอบการหารด้วย 10 ลงตัว.ในการที่จะหารจำนวนธรรมชาติด้วย 10 จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่หลักหน่วยจะเป็น 0

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติที่มีอย่างน้อยสามหลักหารด้วย 4 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอให้หลักสุดท้ายเป็น 00, 04, 08 หรือตัวเลขสองหลักที่เกิดจากสองหลักสุดท้ายของจำนวนนี้หารด้วย 4.

ทดสอบการหารด้วย 2 (คูณ 9) ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 3 ลงตัว (ด้วย 9) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่ผลรวมของหลักจะต้องหารด้วย 3 ลงตัว (ด้วย 9)

เซตของจำนวนเต็ม

พิจารณาเส้นจำนวนที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด โอ- พิกัดของเลขศูนย์บนนั้นจะเป็นจุด โอ- ตัวเลขที่อยู่บนเส้นจำนวนในทิศทางที่กำหนดเรียกว่าจำนวนบวก ให้จุดถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวน กด้วยพิกัด 3 มันสอดคล้องกับจำนวนบวก 3 ทีนี้ให้เราพล็อตส่วนของหน่วยจากจุดสามครั้ง โอในทิศทางตรงกันข้ามกับอันที่กำหนด จากนั้นเราก็เข้าใจประเด็น เอ"สมมาตรตรงจุด กสัมพันธ์กับต้นกำเนิด โอ- พิกัดจุด เอ"จะมีตัวเลข - 3 ตัวเลขนี้อยู่ตรงข้ามกับหมายเลข 3 ตัวเลขที่อยู่บนเส้นจำนวนในทิศทางตรงข้ามกับจำนวนที่กำหนดเรียกว่าจำนวนลบ

ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติจะประกอบกันเป็นชุดตัวเลข เอ็น" :

เอ็น" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

ถ้าเรารวมชุดเข้าด้วยกัน เอ็น , เอ็น" และชุดซิงเกิลตัน {0} แล้วเราก็จะได้ชุด ซี จำนวนเต็มทั้งหมด:

ซี = {0} ∪ เอ็น ∪ เอ็น" .

สำหรับจำนวนเต็ม กฎการบวกและการคูณข้างต้นทั้งหมดเป็นจริง ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ ยังมีการเพิ่มกฎการลบต่อไปนี้:

ก - ข = ก + (- ข) ;

ก + (- ก) = 0 .

เซตของจำนวนตรรกยะ

เพื่อให้การดำเนินการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นไปได้ จึงมีการใช้เศษส่วน:

ที่ไหน กและ ข- จำนวนเต็มและ ขไม่เท่ากับศูนย์

ถ้าเราบวกเซตของเศษส่วนบวกและลบทั้งหมดเข้ากับเซตของจำนวนเต็ม เราจะได้เซตของจำนวนตรรกยะ ถาม :

.

นอกจากนี้ จำนวนเต็มแต่ละตัวยังเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงตัวเลข 5 ในรูปแบบ โดยที่ตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม นี่เป็นสิ่งสำคัญเมื่อดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ ซึ่งหนึ่งในนั้นอาจเป็นจำนวนเต็มได้

กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติหลักของเศษส่วนหากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนที่กำหนด:

คุณสมบัตินี้ใช้เมื่อมีการลดเศษส่วน

การบวกเศษส่วนการบวกเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:

.

นั่นคือในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนนั้นจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม ในทางปฏิบัติ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน เพียงเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

การคูณเศษส่วนการคูณเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:

นั่นคือ ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง แล้วเขียนผลคูณในตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย ตัวส่วนของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณในตัวส่วนของเศษส่วนใหม่

การหารเศษส่วนการหารเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:

นั่นคือ ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง แล้วเขียนผลคูณในตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย ตัวเศษของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณในตัวส่วนของเศษส่วนใหม่

การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติการดำเนินการนี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

นั่นคือในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง ตัวเศษจะถูกยกกำลังนั้น และตัวส่วนจะถูกยกกำลังนั้น

ทศนิยมเป็นระยะ

ทฤษฎีบท.จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนคาบจำกัดหรืออนันต์ได้

ตัวอย่างเช่น,

.

กลุ่มของตัวเลขที่ทำซ้ำตามลำดับหลังจุดทศนิยมในรูปแบบทศนิยมของตัวเลขเรียกว่าจุด และเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์ที่มีจุดดังกล่าวในสัญลักษณ์นั้นเรียกว่าคาบ

ในกรณีนี้ เศษส่วนทศนิยมจำกัดใดๆ ถือเป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดโดยมีศูนย์ในช่วงเวลานั้น ตัวอย่างเช่น

ผลลัพธ์ของการบวก ลบ การคูณ และการหาร (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์) ของจำนวนตรรกยะสองตัวก็ถือเป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน

เซตของจำนวนจริง

บนเส้นจำนวนซึ่งเราพิจารณาเกี่ยวกับเซตของจำนวนเต็ม อาจมีจุดที่ไม่มีพิกัดในรูปของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเป็น 2 ดังนั้น จำนวนจึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ นอกจากนี้ยังไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเป็น 5, 7, 9 ดังนั้นตัวเลข , , จึงไม่ลงตัว จำนวนนี้ยังไม่มีเหตุผล

ไม่สามารถแสดงจำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนเป็นคาบได้ พวกมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง ร .

จำนวนเต็ม

ตัวเลขที่ใช้ในการนับเรียกว่าตัวเลขธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น $1,2,3$ เป็นต้น ตัวเลขธรรมชาติเป็นชุดของตัวเลขธรรมชาติ ซึ่งเขียนแทนด้วย $N$ การกำหนดนี้มาจากคำภาษาละติน ธรรมชาติ-เป็นธรรมชาติ.

ตัวเลขตรงข้าม

คำจำกัดความ 1

หากตัวเลขสองตัวต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น คณิตศาสตร์จะเรียกตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลขตรงข้าม

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข $5$ และ $-5$ เป็นตัวเลขที่ตรงกันข้าม เพราะว่า ต่างกันแค่สัญญาณเท่านั้น

หมายเหตุ 1

สำหรับจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรงข้ามกันและมีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น

โน้ต 2

เลขศูนย์นั้นตรงกันข้ามกับตัวมันเอง

จำนวนทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

ทั้งหมดตัวเลขคือจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และศูนย์

เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วยเซตของจำนวนธรรมชาติและค่าตรงข้าม

แทนจำนวนเต็ม $Z.$

ตัวเลขเศษส่วน

ตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ $\frac(m)(n)$ เรียกว่า เศษส่วน หรือ ตัวเลขเศษส่วน ตัวเลขเศษส่วนสามารถเขียนในรูปแบบทศนิยมได้เช่น ในรูปของเศษส่วนทศนิยม

ตัวอย่างเช่น: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ เป็นต้น

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ตัวเลขเศษส่วนสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ

สรุปตัวเลข

คำจำกัดความ 3

สรุปตัวเลขคือชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยชุดจำนวนเต็มและเศษส่วน

จำนวนตรรกยะใดๆ ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วน $\frac(a)(b)$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็ม และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ

ดังนั้นจึงสามารถเขียนจำนวนตรรกยะเดียวกันได้หลายวิธี

ตัวอย่างเช่น,

นี่แสดงว่าจำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนคาบเป็นทศนิยมอนันต์ได้

เซตของจำนวนตรรกยะแสดงด้วย $Q$

จากผลของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนตรรกยะ คำตอบที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้พิสูจน์ได้ง่าย ๆ เนื่องจากเมื่อบวก ลบ คูณและหารเศษส่วนสามัญ คุณจะได้เศษส่วนสามัญ

ตัวเลขอตรรกยะ

ในขณะที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ คุณมักจะต้องรับมือกับตัวเลขที่ไม่เป็นตรรกยะ

ตัวอย่างเช่น หากต้องการตรวจสอบการมีอยู่ของชุดตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ให้แก้สมการ $x^2=6$ รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลข $\surd 6$ และ -$\surd 6$ . ตัวเลขเหล่านี้จะไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

นอกจากนี้ เมื่อค้นหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน $3$ เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและพบว่าเส้นทแยงมุมจะเท่ากับ $\surd 18$ จำนวนนี้ก็ไม่เป็นตรรกยะเช่นกัน

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ไม่มีเหตุผล

ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบที่ไม่สิ้นสุด

จำนวนอตรรกยะที่พบบ่อยครั้งคือจำนวน $\pi $

เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนอตรรกยะ ผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นได้ทั้งจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ

ลองพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างการค้นหาผลคูณของจำนวนอตรรกยะ มาหากัน:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

โดยการตัดสินใจ

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์อาจเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะก็ได้

หากจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในเวลาเดียวกัน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนอตรรกยะ (ยกเว้นแน่นอนว่าคูณด้วย $0$)

ตัวเลขจริง

เซตของจำนวนจริงคือเซตที่ประกอบด้วยเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

เซตของจำนวนจริงเขียนแทนด้วย $R$ ในเชิงสัญลักษณ์ เซตของจำนวนจริงสามารถเขียนแทนด้วย $(-?;+?).$

เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ว่าจำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบของทศนิยมอนันต์ และจำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนคาบเป็นทศนิยมอนันต์ได้ ดังนั้น เศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดและอนันต์ใดๆ จะเป็นจำนวนจริง

เมื่อดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจะต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้:

1. เมื่อคูณและหารจำนวนบวก จำนวนผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าบวก
2. เมื่อคูณและหารจำนวนลบ จำนวนผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าบวก
3. เมื่อคูณและหารจำนวนลบและบวก จำนวนผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นลบ

จำนวนจริงสามารถเปรียบเทียบกันได้