Vektorer och operationer på vektorer. Vektorer för dummies

Äntligen fick jag tag på ett stort och efterlängtat ämne analytisk geometri. Först, lite om den här delen av högre matematik... Nu minns du säkert en skolgeometrikurs med många satser, deras bevis, ritningar osv. Vad man ska dölja, ett oälskat och ofta obskyrt ämne för en betydande del av eleverna. Analytisk geometri kan konstigt nog verka mer intressant och tillgänglig. Vad betyder adjektivet "analytisk"? Två klyschiga matematiska fraser dyker genast upp: "grafisk lösningsmetod" och "analytisk lösningsmetod." Grafisk metod, naturligtvis, förknippas med konstruktionen av grafer och ritningar. Analytisk eller metod handlar om att lösa problem huvudsakligen genom algebraiska operationer. I detta avseende är algoritmen för att lösa nästan alla problem med analytisk geometri enkel och transparent, ofta räcker det att noggrant tillämpa de nödvändiga formlerna - och svaret är klart! Nej, det kommer naturligtvis inte att vara möjligt att göra detta utan ritningar alls, och dessutom, för en bättre förståelse av materialet, kommer jag att försöka citera dem bortom behovet.

Den nyöppnade kursen i geometri låtsas inte vara teoretiskt komplett utan fokuserar på att lösa praktiska problem. Jag kommer att ta med i mina föreläsningar endast det som ur min synvinkel är viktigt rent praktiskt. Om du behöver mer fullständig hjälp med något underavsnitt rekommenderar jag följande ganska lättillgängliga litteratur:

1) En sak som, utan skämt, flera generationer är bekanta med: Skolan lärobok i geometri, författare – L.S. Atanasyan och Company. Denna skolkläddshängare har redan gått igenom 20 (!) omtryck, vilket naturligtvis inte är gränsen.

2) Geometri i 2 volymer. Författare L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Det här är litteratur för gymnasiet, du kommer att behöva första volymen. Sällan påträffade uppgifter kan falla ut ur min syn, och handledningen kommer att vara till ovärderlig hjälp.

Båda böckerna kan laddas ner gratis online. Dessutom kan du använda mitt arkiv med färdiga lösningar, som finns på sidan Ladda ner exempel i högre matematik.

Bland verktygen föreslår jag återigen min egen utveckling - mjukvarupaket i analytisk geometri, vilket avsevärt kommer att förenkla livet och spara mycket tid.

Det förutsätts att läsaren är bekant med grundläggande geometriska begrepp och figurer: punkt, linje, plan, triangel, parallellogram, parallellepiped, kub, etc. Det är tillrådligt att komma ihåg några satser, åtminstone Pythagoras sats, hej till repeaters)

Och nu kommer vi att överväga sekventiellt: konceptet med en vektor, åtgärder med vektorer, vektorkoordinater. Jag rekommenderar att läsa vidare den viktigaste artikeln Punktprodukt av vektorer, och även Vektor och blandad produkt av vektorer. En lokal uppgift - Uppdelning av ett segment i detta avseende - kommer inte heller att vara överflödigt. Baserat på ovanstående information kan du bemästra ekvation för en linje i ett plan Med enklaste exempel på lösningar, vilket kommer att tillåta lära sig att lösa geometriproblem. Följande artiklar är också användbara: Ekvation för ett plan i rymden, Ekvationer för en linje i rymden, Grundläggande problem på en rät linje och ett plan, andra delar av analytisk geometri. Naturligtvis kommer standarduppgifter att övervägas längs vägen.

Vektor koncept. Gratis vektor

Låt oss först upprepa skoldefinitionen av en vektor. Vektor kallad regisserad ett segment för vilket dess början och slut anges:

I det här fallet är början av segmentet punkten, slutet av segmentet är punkten. Själva vektorn betecknas med . Riktningär viktigt, om du flyttar pilen till andra änden av segmentet får du en vektor, och det är det redan helt annan vektor. Det är bekvämt att identifiera begreppet vektor med rörelsen av en fysisk kropp: du måste komma överens, att gå in genom dörrarna till ett institut eller lämna dörrarna till ett institut är helt olika saker.

Det är bekvämt att betrakta enskilda punkter i ett plan eller utrymme som den så kallade noll vektor. För en sådan vektor sammanfaller slutet och början.

!!! Notera: Här och vidare kan man anta att vektorerna ligger i samma plan eller så kan man anta att de är placerade i rymden - essensen av det presenterade materialet gäller både för planet och rymden.

Beteckningar: Många märkte genast pinnen utan pil i beteckningen och sa, det finns också en pil överst! Visserligen kan du skriva det med en pil: , men det är också möjligt posten som jag kommer att använda i framtiden. Varför? Tydligen utvecklades denna vana av praktiska skäl, mina skyttar i skolan och universitetet visade sig vara för olika stora och lurviga. I pedagogisk litteratur bryr de sig ibland inte om kilskrift alls, utan markerar bokstäverna i fetstil: , vilket antyder att detta är en vektor.

Det var stilistik, och nu om sätt att skriva vektorer:

1) Vektorer kan skrivas med två latinska versaler:
och så vidare. I det här fallet den första bokstaven Nödvändigtvis anger vektorns början och den andra bokstaven anger vektorns slutpunkt.

2) Vektorer skrivs också med små latinska bokstäver:
I synnerhet kan vår vektor omdesignas för korthetens skull med en liten latinsk bokstav.

Längd eller modul en vektor som inte är noll kallas segmentets längd. Längden på nollvektorn är noll. Logisk.

Vektorns längd indikeras av modultecknet: ,

Vi kommer att lära oss hur man hittar längden på en vektor (eller så upprepar vi den, beroende på vem) lite senare.

Detta var grundläggande information om vektorer, bekant för alla skolbarn. Inom analytisk geometri, den s.k gratis vektor.

För att uttrycka det enkelt - vektorn kan plottas från vilken punkt som helst:

Vi är vana vid att kalla sådana vektorer lika (definitionen av lika vektorer kommer att ges nedan), men ur en rent matematisk synvinkel är de SAMMA VEKTOR eller gratis vektor. Varför gratis? För när du löser problem, kan du "fästa" den eller den "skolvektorn" till ALLA punkt på planet eller utrymmet du behöver. Detta är en väldigt cool funktion! Föreställ dig ett riktat segment med godtycklig längd och riktning - det kan "klonas" ett oändligt antal gånger och när som helst i rymden existerar det faktiskt ÖVERALLT. Det finns ett sådant studentordspråk: Varje föreläsare bryr sig om vektorn. Det är trots allt inte bara ett kvickt rim, allt är nästan korrekt - ett regisserat segment kan läggas till där också. Men skynda dig inte att glädjas, det är eleverna själva som ofta lider =)

Så, gratis vektor- Det här många identiska riktade segment. Skoldefinitionen av en vektor, som ges i början av stycket: "Ett riktat segment kallas en vektor..." innebär specifik ett riktat segment taget från en given uppsättning, som är knuten till en specifik punkt i planet eller rymden.

Det bör noteras att ur fysikens synvinkel är konceptet med en fri vektor i allmänhet felaktigt, och tillämpningspunkten spelar roll. Faktum är att ett direkt slag av samma kraft på näsan eller pannan, tillräckligt för att utveckla mitt dumma exempel, medför andra konsekvenser. Dock, ofri vektorer finns också under vyshmat (gå inte dit :)).

Åtgärder med vektorer. Kolinearitet av vektorer

En skolgeometrikurs täcker ett antal åtgärder och regler med vektorer: addition enligt triangelregeln, addition enligt parallellogramregeln, vektordifferensregel, multiplikation av en vektor med ett tal, skalärprodukt av vektorer osv. Som utgångspunkt upprepar vi två regler som är särskilt relevanta för att lösa problem med analytisk geometri.

Regeln för att lägga till vektorer med hjälp av triangelregeln

Betrakta två godtyckliga icke-nollvektorer och:

Du måste hitta summan av dessa vektorer. På grund av det faktum att alla vektorer anses vara fria kommer vi att avsätta vektorn från avsluta vektor:

Summan av vektorer är vektorn. För en bättre förståelse av regeln är det tillrådligt att lägga en fysisk betydelse i den: låt någon kropp resa längs vektorn och sedan längs vektorn. Sedan är summan av vektorer vektorn för den resulterande banan med början vid avgångspunkten och slutet vid ankomstpunkten. En liknande regel formuleras för summan av ett valfritt antal vektorer. Som de säger, kroppen kan gå sin väg mycket magert längs en sicksack, eller kanske på autopilot - längs den resulterande vektorn av summan.

Förresten, om vektorn skjuts upp från startade vektor, då får vi motsvarande parallellogramregel tillägg av vektorer.

Först om vektorers kollinearitet. De två vektorerna kallas kolinjär, om de ligger på samma linje eller på parallella linjer. Grovt sett talar vi om parallella vektorer. Men i förhållande till dem används alltid adjektivet "collinear".

Föreställ dig två kolinjära vektorer. Om pilarna för dessa vektorer är riktade i samma riktning, anropas sådana vektorer samregisserad. Om pilarna pekar i olika riktningar, kommer vektorerna att vara det motsatta riktningar.

Beteckningar: collinearitet av vektorer skrivs med den vanliga parallellitetssymbolen: , medan detaljering är möjlig: (vektorer är samriktade) eller (vektorer är motsatt riktade).

Arbetet en vektor som inte är noll på ett tal är en vektor vars längd är lika med , och vektorerna och är samriktade mot och motsatt riktade mot .

Regeln för att multiplicera en vektor med ett tal är lättare att förstå med hjälp av en bild:

Låt oss titta på det mer detaljerat:

1) Riktning. Om multiplikatorn är negativ, då vektorn ändrar riktning till motsatsen.

2) Längd. Om multiplikatorn finns inom eller , då längden på vektorn minskar. Således är vektorns längd hälften av vektorns längd. Om multiplikatorns modul är större än en, då längden på vektorn ökar tidvis.

3) Observera att alla vektorer är kolinjära, medan en vektor uttrycks genom en annan, till exempel . Det omvända är också sant: om en vektor kan uttryckas genom en annan, så är sådana vektorer nödvändigtvis kolinjära. Således: om vi multiplicerar en vektor med ett tal får vi kolinjär(i förhållande till originalet) vektor.

4) Vektorerna är samriktade. Vektorer och är också samregisserade. Vilken vektor som helst i den första gruppen är motsatt riktad med avseende på vilken vektor som helst i den andra gruppen.

Vilka vektorer är lika?

Två vektorer är lika om de är i samma riktning och har samma längd. Observera att codirectionality innebär kollinearitet av vektorer. Definitionen skulle vara felaktig (redundant) om vi sa: "Två vektorer är lika om de är kolinjära, samriktade och har samma längd."

Med tanke på begreppet en fri vektor är lika vektorer samma vektor, som diskuterats i föregående stycke.

Vektorkoordinater på planet och i rymden

Den första punkten är att överväga vektorer på planet. Låt oss avbilda ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem och plotta det från koordinaternas ursprung enda vektorer och:

Vektorer och ortogonal. Ortogonal = vinkelrät. Jag rekommenderar att du långsamt vänjer dig vid termerna: istället för parallellitet och vinkelräthet använder vi orden resp. kolinearitet Och ortogonalitet.

Beteckning: Ortogonaliteten hos vektorer skrivs med den vanliga vinkelräta symbolen, till exempel: .

Vektorerna som övervägs kallas koordinatvektorer eller orts. Dessa vektorer bildas grund på ett plan. Vad en grund är tror jag är intuitivt tydligt för många mer detaljerad information finns i artikeln Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer Med enkla ord definierar grunden och ursprunget för koordinater hela systemet - detta är en slags grund på vilken ett fullt och rikt geometriskt liv kokar.

Ibland kallas den konstruerade basen ortonormala grund av planet: "orto" - eftersom koordinatvektorerna är ortogonala betyder adjektivet "normaliserad" enhet, dvs. längden på basvektorerna är lika med en.

Beteckning: grunden skrivs vanligtvis inom parentes, inom vilken i strikt ordning basvektorer listas, till exempel: . Koordinatvektorer det är förbjudet ordna om.

Några plan vektor det enda sättet uttryckt som:
, Var - tal som kallas vektorkoordinater på denna grund. Och själva uttrycket kallad vektornedbrytningpå grundval .

Middag serveras:

Låt oss börja med den första bokstaven i alfabetet: . Ritningen visar tydligt att när en vektor sönderdelas till en bas, används de som just diskuterats:
1) regeln för att multiplicera en vektor med ett tal: och ;
2) addition av vektorer enligt triangelregeln: .

Plotta nu vektorn mentalt från vilken annan punkt som helst på planet. Det är ganska uppenbart att hans förfall kommer att "följa honom obevekligt". Här är det, vektorns frihet - vektorn "bär allt med sig." Denna egenskap är naturligtvis sann för alla vektorer. Det är lustigt att själva grundvektorerna (fria) inte behöver ritas ut från ursprunget, den ena kan till exempel ritas längst ner till vänster och den andra längst upp till höger, och ingenting kommer att förändras! Det är sant att du inte behöver göra detta, eftersom läraren också kommer att visa originalitet och dra dig en "kredit" på en oväntad plats.

Vektorer illustrerar exakt regeln för att multiplicera en vektor med ett tal, vektorn är samriktad med basvektorn, vektorn är riktad motsatt basvektorn. För dessa vektorer är en av koordinaterna lika med noll, du kan noggrant skriva det så här:

Och grundvektorerna, förresten, är så här: (i själva verket uttrycks de genom sig själva).

Och slutligen: , . Förresten, vad är vektorsubtraktion, och varför pratade jag inte om subtraktionsregeln? Någonstans i linjär algebra, jag kommer inte ihåg var, jag noterade att subtraktion är ett specialfall av addition. Således skrivs expansionerna av vektorerna "de" och "e" lätt som en summa: , . Följ ritningen för att se hur tydligt den gamla goda additionen av vektorer enligt triangelregeln fungerar i dessa situationer.

Formens övervägda sönderdelning kallas ibland vektornedbrytning i ortsystemet(dvs i ett system av enhetsvektorer). Men detta är inte det enda sättet att skriva en vektor. Följande alternativ är vanligt:

Eller med ett likhetstecken:

Själva basvektorerna skrivs enligt följande: och

Det vill säga att vektorns koordinater anges inom parentes. I praktiska problem används alla tre notationsalternativen.

Jag tvivlade på om jag skulle tala, men jag säger det ändå: vektorkoordinater kan inte ordnas om. Strikt på första plats vi skriver ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn, strikt på andra plats vi skriver ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn. Det är faktiskt två olika vektorer.

Vi räknade ut koordinaterna på planet. Låt oss nu titta på vektorer i tredimensionell rymd, nästan allt är sig likt här! Det kommer bara att lägga till ytterligare en koordinat. Det är svårt att göra tredimensionella ritningar, så jag begränsar mig till en vektor, som jag för enkelhetens skull avsätter ursprunget:

Några 3D rymdvektor det enda sättet expandera på ortonormal basis:
, var är koordinaterna för vektorn (talet) i denna bas.

Exempel från bilden: . Låt oss se hur vektorreglerna fungerar här. Multiplicera först vektorn med siffran: (röd pil), (grön pil) och (hallonpil). För det andra, här är ett exempel på att lägga till flera, i detta fall tre, vektorer: . Sumvektorn börjar vid den initiala utgångspunkten (början av vektorn) och slutar vid den sista ankomstpunkten (slutet av vektorn).

Alla vektorer av tredimensionellt rymd är naturligtvis också fria försök att mentalt avsätta vektorn från vilken annan punkt som helst, och du kommer att förstå att dess nedbrytning "kommer att förbli med den."

Liknar det platta fallet, förutom att skriva versioner med konsoler används ofta: antingen .

Om en (eller två) koordinatvektorer saknas i expansionen, så sätts nollor i deras ställe. Exempel:
vektor (noggrannt ) – låt oss skriva ;
vektor (noggrannt) – skriv ner;
vektor (noggrannt ) – låt oss skriva .

Basvektorerna skrivs enligt följande:

Detta är kanske all den minsta teoretiska kunskap som krävs för att lösa problem med analytisk geometri. Det kan finnas många termer och definitioner, så jag rekommenderar att tekannor läser om och förstår denna information igen. Och det kommer att vara användbart för alla läsare att hänvisa till den grundläggande lektionen då och då för att bättre tillgodogöra sig materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal bas, vektornedbrytning - dessa och andra begrepp kommer ofta att användas i framtiden. Jag skulle vilja notera att webbplatsens material inte räcker för att klara ett teoretiskt test eller ett kollokvium i geometri, eftersom jag noggrant krypterar alla satser (och utan bevis) - till skada för den vetenskapliga presentationsstilen, men ett plus för din förståelse för ämnet. För att få detaljerad teoretisk information, vänligen böj dig för professor Atanasyan.

Och vi går vidare till den praktiska delen:

De enklaste problemen med analytisk geometri.
Åtgärder med vektorer i koordinater

Det är mycket lämpligt att lära sig hur man löser de uppgifter som kommer att övervägas helt automatiskt, och formlerna memorera, du behöver inte ens komma ihåg det med flit, de kommer ihåg det själva =) Detta är mycket viktigt, eftersom andra problem med analytisk geometri är baserade på de enklaste elementära exemplen, och det kommer att vara irriterande att lägga extra tid på att äta bönder . Det finns ingen anledning att fästa de översta knapparna på din tröja, många saker är bekanta för dig från skolan.

Presentationen av materialet kommer att följa en parallell kurs – både för planet och för rymden. Av den anledningen att alla formler... du kommer att se själv.

Hur hittar man en vektor från två punkter?

Om två punkter i planet och ges, så har vektorn följande koordinater:

Om två punkter i rymden och ges, så har vektorn följande koordinater:

Som är, från koordinaterna för slutet av vektorn du måste subtrahera motsvarande koordinater början av vektorn.

Utöva: För samma punkter, skriv ner formlerna för att hitta vektorns koordinater. Formler i slutet av lektionen.

Exempel 1

Med tanke på två punkter i planet och . Hitta vektorkoordinater

Lösning: enligt lämplig formel:

Alternativt kan följande post användas:

Esteter kommer att bestämma detta:

Själv är jag van vid den första versionen av inspelningen.

Svar:

Enligt villkoret var det inte nödvändigt att konstruera en ritning (vilket är typiskt för problem med analytisk geometri), men för att förtydliga några punkter för dummies kommer jag inte att vara lat:

Du måste definitivt förstå skillnaden mellan punktkoordinater och vektorkoordinater:

Punktkoordinater– dessa är vanliga koordinater i ett rektangulärt koordinatsystem. Jag tror att alla vet hur man ritar punkter på ett koordinatplan från 5:e-6:e klass. Varje punkt har en strikt plats på planet, och de kan inte flyttas någonstans.

Koordinaterna för vektorn– detta är dess expansion enligt grunden, i det här fallet. Vilken vektor som helst är gratis, så om så önskas eller behövs kan vi enkelt flytta den bort från någon annan punkt på planet. Det är intressant att för vektorer behöver du inte alls bygga axlar eller ett rektangulärt koordinatsystem, du behöver bara en bas, i detta fall en ortonormal grund av planet.

Posterna för koordinater för punkter och koordinater för vektorer verkar vara likartade: , och betydelsen av koordinater absolut olik, och du bör vara väl medveten om denna skillnad. Denna skillnad gäller förstås även rymden.

Mina damer och herrar, låt oss fylla våra händer:

Exempel 2

a) Poäng och ges. Hitta vektorer och .
b) Poäng ges Och . Hitta vektorer och .
c) Poäng och ges. Hitta vektorer och .
d) Poäng ges. Hitta vektorer .

Kanske räcker det. Detta är exempel för dig att bestämma själv, försök att inte försumma dem, det kommer att löna sig ;-). Det finns ingen anledning att göra ritningar. Lösningar och svar i slutet av lektionen.

Vad är viktigt när man löser analytiska geometriproblem? Det är viktigt att vara EXTREMT FÖRSIKTIG för att undvika att göra det mästerliga misstaget "två plus två är lika med noll". Jag ber genast om ursäkt om jag gjort ett misstag någonstans =)

Hur hittar man längden på ett segment?

Längden, som redan noterats, indikeras av modultecknet.

Om två punkter i planet är givna och , kan längden på segmentet beräknas med hjälp av formeln

Om två punkter i rymden och ges, kan längden på segmentet beräknas med hjälp av formeln

Notera: Formlerna kommer att förbli korrekta om motsvarande koordinater byts ut: och , men det första alternativet är mer standard

Exempel 3

Lösning: enligt lämplig formel:

Svar:

För tydlighetens skull kommer jag att göra en ritning

Segment – detta är inte en vektor, och du kan naturligtvis inte flytta den någonstans. Dessutom, om du ritar i skala: 1 enhet. = 1 cm (två anteckningsbokceller), då kan det resulterande svaret kontrolleras med en vanlig linjal genom att direkt mäta segmentets längd.

Ja, lösningen är kort, men det finns ytterligare ett par viktiga punkter i den som jag skulle vilja förtydliga:

För det första lägger vi i svaret dimensionen: "enheter". Villkoret säger inte VAD det är, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Därför skulle en matematiskt korrekt lösning vara den allmänna formuleringen: "enheter" - förkortat som "enheter."

För det andra, låt oss upprepa skolmaterialet, vilket inte bara är användbart för den aktuella uppgiften:

Vänligen notera viktig teknik – ta bort multiplikatorn under roten. Som ett resultat av beräkningarna har vi ett resultat och bra matematisk stil innebär att man tar bort faktorn under roten (om möjligt). Mer detaljerat ser processen ut så här: . Att låta svaret vara som det är skulle naturligtvis inte vara ett misstag – men det vore säkert en brist och ett tungt vägande argument för att käbbla från lärarens sida.

Här är andra vanliga fall:

Ofta producerar roten ett ganska stort antal, till exempel . Vad ska man göra i sådana fall? Med hjälp av kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med 4: . Ja, det var helt uppdelat, så här: . Eller kanske talet kan delas med 4 igen? . Således: . Den sista siffran i numret är udda, så att dividera med 4 för tredje gången fungerar uppenbarligen inte. Låt oss försöka dividera med nio: . Som ett resultat:
Redo.

Slutsats: om vi under roten får ett tal som inte kan extraheras som en helhet, då försöker vi ta bort faktorn under roten - med hjälp av en kalkylator kontrollerar vi om talet är delbart med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

När man löser olika problem stöter man ofta på rötter, försök alltid ta fram faktorer under roten för att undvika ett lägre betyg och onödiga problem med att slutföra sina lösningar baserat på lärarens kommentarer.

Låt oss också upprepa kvadratrötter och andra krafter:

Reglerna för att arbeta med makter i allmän form kan hittas i en skolalgebra-lärobok, men jag tror att allt eller nästan allt redan är klart från de exempel som ges.

Uppgift för oberoende lösning med ett segment i rymden:

Exempel 4

Poäng och ges. Hitta längden på segmentet.

Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen.

Hur hittar man längden på en vektor?

Om en plan vektor ges, beräknas dess längd med formeln.

Om en rymdvektor ges, så beräknas dess längd med formeln .

Enhetsvektor- Det här vektor, vars absoluta värde (modul) är lika med enhet. För att beteckna en enhetsvektor kommer vi att använda sänkt e Så, om en vektor ges A, då kommer dess enhetsvektor att vara vektorn A e. Denna enhetsvektor är riktad i samma riktning som vektorn själv A, och dess modul är lika med ett, det vill säga a e = 1.

Tydligen, A= a A e (a - vektor modul A). Detta följer av regeln genom vilken operationen att multiplicera en skalär med en vektor utförs.

Enhetsvektorer ofta förknippad med koordinataxlarna för ett koordinatsystem (i synnerhet med axlarna för ett kartesiskt koordinatsystem). Anvisningarna för dessa vektorer sammanfaller med riktningarna för motsvarande axlar, och deras ursprung kombineras ofta med koordinatsystemets ursprung.

Låt mig påminna dig om det Kartesiskt koordinatsystem i rymden kallas traditionellt en trio av ömsesidigt vinkelräta axlar som skär varandra i en punkt som kallas koordinaternas ursprung. Koordinataxlar betecknas vanligtvis med bokstäverna X, Y, Z och kallas abskissaxel, ordinataaxel respektive applikataxel. Descartes själv använde bara en axel, på vilken abskissar ritades. Merit of use system yxor tillhör hans elever. Därför frasen Kartesiskt koordinatsystem historiskt fel. Det är bättre att prata rektangulär koordinatsystem eller ortogonalt koordinatsystem. Vi kommer dock inte att ändra traditioner och i framtiden kommer vi att anta att kartesiska och rektangulära (ortogonala) koordinatsystem är ett och samma.

Enhetsvektor, riktad längs X-axeln, betecknas i, enhet vektor, riktad längs Y-axeln, betecknas j, A enhet vektor, riktad längs Z-axeln, betecknas k. Vektorer i, j, k kallas orts(Fig. 12, vänster), de har singelmoduler, dvs
i = 1, j = 1, k = 1.

Yxor och enhetsvektorer rektangulärt koordinatsystem i vissa fall har de olika namn och beteckningar. Abskissaxeln X kan alltså kallas tangentaxeln och dess enhetsvektor betecknas τ (grekisk liten bokstav tau), ordinataaxeln är normalaxeln, dess enhetsvektor betecknas n, applikataxeln är den binormala axeln, dess enhetsvektor betecknas b. Varför byta namn om essensen förblir densamma?

Faktum är att till exempel inom mekanik, när man studerar kroppars rörelse, används det rektangulära koordinatsystemet väldigt ofta. Så om själva koordinatsystemet är stationärt, och förändringen i koordinaterna för ett rörligt föremål spåras i detta stationära system, betecknas vanligtvis axlarna X, Y, Z och deras enhetsvektorer respektive i, j, k.

Men ofta, när ett objekt rör sig längs någon form av krökt bana (till exempel i en cirkel), är det bekvämare att överväga mekaniska processer i koordinatsystemet som rör sig med detta objekt. Det är för ett sådant rörligt koordinatsystem som andra namn på axlar och deras enhetsvektorer används. Det är bara som det är. I det här fallet är X-axeln riktad tangentiellt till banan vid den punkt där detta objekt för närvarande befinner sig. Och då kallas denna axel inte längre för X-axeln, utan tangentaxeln, och dess enhetsvektor är inte längre betecknad i, A τ . Y-axeln är riktad längs banans krökningsradie (vid rörelse i en cirkel - till mitten av cirkeln). Och eftersom radien är vinkelrät mot tangenten kallas axeln för normalaxeln (vinkelrät och normal är samma sak). Enhetsvektorn för denna axel anges inte längre j, A n. Den tredje axeln (tidigare Z) är vinkelrät mot de två föregående. Detta är en binormal med en ort b(Fig. 12, höger). Förresten, i det här fallet sådana rektangulärt koordinatsystem ofta kallad "naturlig" eller naturlig.

I geometri är en vektor ett riktat segment eller ett ordnat par av punkter i den euklidiska rymden. Ortom vektorär enhetsvektorn för ett normaliserat vektorrum eller en vektor vars norm (längd) är lika med ett.

Du kommer att behöva

Kunskaper i geometri.

Instruktioner

Först måste du beräkna längden vektor. Som bekant, längd (modul) vektor lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av koordinaterna. Låt en vektor med koordinater: a(3, 4) ges. Då är dess längd |a| = (9 + 16)^1/2 eller |a|=5.

För att hitta ort vektor a, du måste dela var och en med dess längd. Resultatet blir en vektor som kallas en ort eller enhetsvektor. För vektor a(3, 4) ort kommer att vara vektorn a(3/5, 4/5). Vektor a` kommer att vara enhet för vektor A.

För att kontrollera om orten hittas korrekt kan du göra följande: hitta längden på den resulterande orten om den är lika med en, så hittades allt korrekt om inte, så har ett fel smugit sig in i beräkningarna. Låt oss kontrollera om ort a` hittas korrekt. Längd vektor a` är lika med: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Så, längden vektor a` är lika med ett, vilket betyder att enhetsvektorn hittades korrekt.

Det kommer också att finnas problem för dig att lösa på egen hand, som du kan se svaren på.

Vektor koncept

Innan du lär dig allt om vektorer och operationer på dem, gör dig redo att lösa ett enkelt problem. Det finns en vektor för ditt entreprenörskap och en vektor för dina innovativa förmågor. Entreprenörskapets vektor leder dig till mål 1, och vektorn för innovativa förmågor leder dig till mål 2. Spelets regler är sådana att du inte kan röra dig längs dessa två vektorers riktning samtidigt och uppnå två mål samtidigt. Vektorer interagerar, eller på ett matematiskt språk, någon operation utförs på vektorer. Resultatet av denna operation är vektorn "Resultat", som leder dig till mål 3.

Säg mig nu: resultatet av vilken operation på vektorerna "Entreprenörskap" och "Innovativa förmågor" är vektorn "Resultat"? Om du inte kan berätta direkt, bli inte avskräckt. När du går igenom den här lektionen kommer du att kunna svara på den här frågan.

Som vi redan har sett ovan kommer vektorn nödvändigtvis från en viss punkt A i en rak linje till någon punkt B. Följaktligen har varje vektor inte bara ett numeriskt värde - längd, utan också ett fysiskt och geometriskt värde - riktning. Från detta kommer den första, enklaste definitionen av en vektor. Så, en vektor är ett riktat segment som kommer från en punkt A till saken B. Den betecknas enligt följande: .

Och att börja olika operationer med vektorer , måste vi bekanta oss med ytterligare en definition av en vektor.

En vektor är en typ av representation av en punkt som måste nås från någon startpunkt. Till exempel brukar en tredimensionell vektor skrivas som (x, y, z) . I mycket enkla termer betyder dessa siffror hur långt du behöver gå i tre olika riktningar för att komma till en punkt.

Låt en vektor ges. Samtidigt x = 3 (höger hand pekar åt höger), y = 1 (vänster hand pekar framåt) z = 5 (under spetsen finns en trappa som leder upp). Med hjälp av dessa data hittar du en punkt genom att gå 3 meter i den riktning som din högra hand visar, sedan 1 meter i den riktning som din vänstra hand visar, och sedan väntar en stege på dig och när du stiger 5 meter hittar du till slut dig själv vid slutpunkten.

Alla andra termer är förtydliganden av förklaringen som presenteras ovan, nödvändiga för olika operationer på vektorer, det vill säga lösa praktiska problem. Låt oss gå igenom dessa mer rigorösa definitioner, med fokus på typiska vektorproblem.

Fysiska exempel vektorkvantiteter kan vara förskjutningen av en materialpunkt som rör sig i rymden, hastigheten och accelerationen för denna punkt, såväl som kraften som verkar på den.

Geometrisk vektor presenteras i tvådimensionellt och tredimensionellt rum i formen riktningssegment. Detta är ett segment som har en början och ett slut.

Om A- början av vektorn, och B- dess slut, då betecknas vektorn med symbolen eller en liten bokstav . I figuren indikeras slutet av vektorn med en pil (Fig. 1)

Längd(eller modul) av en geometrisk vektor är längden på segmentet som genererar den

De två vektorerna kallas lika , om de kan kombineras (om riktningarna sammanfaller) genom parallell överföring, dvs. om de är parallella, riktade i samma riktning och har lika långa.

Inom fysiken övervägs det ofta fästa vektorer, specificerad av appliceringspunkt, längd och riktning. Om applikationspunkten för vektorn inte spelar någon roll, kan den överföras, med bibehållen längd och riktning, till vilken punkt som helst i rymden. I detta fall anropas vektorn gratis. Vi kommer överens om att endast överväga fria vektorer.

Linjära operationer på geometriska vektorer

Multiplicera en vektor med ett tal

Produkt av en vektor per nummerär en vektor som erhålls från en vektor genom att sträcka ut (at ) eller komprimera (at ) med en faktor, och vektorns riktning förblir densamma om , och ändras till motsatt om . (Fig. 2)

Av definitionen följer att vektorerna och = alltid är placerade på en eller parallella linjer. Sådana vektorer kallas kolinjär. (Vi kan också säga att dessa vektorer är parallella, men i vektoralgebra är det vanligt att säga "kollinjär.") Det omvända är också sant: om vektorerna är kolinjära, så är de relaterade av relationen

Följaktligen uttrycker likhet (1) villkoret för kollineariteten hos två vektorer.

Addition och subtraktion av vektorer

När du lägger till vektorer måste du veta det belopp vektorer och kallas en vektor, vars början sammanfaller med början av vektorn, och slutet - med slutet av vektorn, förutsatt att början av vektorn är fäst vid slutet av vektorn. (Fig. 3)

Denna definition kan fördelas över vilket ändligt antal vektorer som helst. Låt dem ges i rymden n fria vektorer. När flera vektorer adderas, tas deras summa vara den avslutande vektorn, vars början sammanfaller med början av den första vektorn och slutet med slutet av den sista vektorn. Det vill säga om du fäster början av vektorn till slutet av vektorn, och början av vektorn till slutet av vektorn osv. och slutligen till slutet av vektorn - början av vektorn, då är summan av dessa vektorer den avslutande vektorn , vars början sammanfaller med början av den första vektorn, och slutet - med slutet av den sista vektorn. (Fig. 4)

Termerna kallas komponenter av vektorn, och den formulerade regeln är polygonregel. Denna polygon kanske inte är platt.

När en vektor multipliceras med talet -1 erhålls den motsatta vektorn. Vektorerna och har samma längder och motsatta riktningar. Deras summa ger noll vektor, vars längd är noll. Riktningen för nollvektorn är inte definierad.

I vektoralgebra finns det inget behov av att överväga subtraktionsoperationen separat: att subtrahera en vektor från en vektor innebär att den motsatta vektorn adderas till vektorn, dvs.

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

det vill säga vektorer kan adderas och multipliceras med tal på samma sätt som polynom (i synnerhet även problem med att förenkla uttryck). Vanligtvis uppstår behovet av att förenkla linjärt liknande uttryck med vektorer innan produkterna av vektorer beräknas.

Exempel 2. Vektorer och fungerar som diagonaler för parallellogrammet ABCD (Fig. 4a). Uttryck genom och vektorerna , , och , som är sidorna av detta parallellogram.

Lösning. Skärningspunkten för diagonalerna i ett parallellogram halverar varje diagonal. Vi hittar längderna på vektorerna som krävs i problemformuleringen antingen som hälften av summan av vektorerna som bildar en triangel med de nödvändiga, eller som hälften av skillnaderna (beroende på riktningen på vektorn som fungerar som diagonalen), eller, som i det senare fallet, halva summan tagen med ett minustecken. Resultatet är de vektorer som krävs i problemformuleringen:

Det finns all anledning att tro att du nu har svarat korrekt på frågan om vektorerna "Entreprenörskap" och "Innovativa förmågor" i början av denna lektion. Rätt svar: en additionsoperation utförs på dessa vektorer.

Lös vektorproblem själv och titta sedan på lösningarna

Hur hittar man längden på summan av vektorer?

Detta problem upptar en speciell plats i operationer med vektorer, eftersom det involverar användning av trigonometriska egenskaper. Låt oss säga att du stöter på en uppgift som följande:

Vektorlängderna anges och längden på summan av dessa vektorer. Hitta längden på skillnaden mellan dessa vektorer.

Lösningar på detta och andra liknande problem och förklaringar till hur man löser dem finns i lektionen " Vektoraddition: längden på summan av vektorer och cosinussatsen ".

Och du kan kontrollera lösningen på sådana problem på Onlineräknare "Okänd sida av en triangel (vektoraddition och cosinussats)" .

Var finns produkterna av vektorer?

Vektor-vektorprodukter är inte linjära operationer och betraktas separat. Och vi har lektioner "Skalär produkt av vektorer" och "Vektor och blandade produkter av vektorer".

Projektion av en vektor på en axel

Projektionen av en vektor på en axel är lika med produkten av längden av den projicerade vektorn och cosinus för vinkeln mellan vektorn och axeln:

Som bekant, projektionen av en punkt A på den räta linjen (planet) är basen av den vinkelräta som tappas från denna punkt på den räta linjen (planet).

Låta vara en godtycklig vektor (fig. 5), och och vara projektionerna av dess ursprung (punkter A) och slut (poäng B) per axel l. (För att konstruera en projektion av en punkt A) dra en rät linje genom punkten A ett plan vinkelrätt mot en rät linje. Skärningen mellan linjen och planet kommer att bestämma den erforderliga projektionen.

Vektor komponent på l-axeln kallas en sådan vektor som ligger på denna axel, vars början sammanfaller med projektionen av början, och slutet med projektionen av slutet av vektorn.

Projektion av vektorn på axeln l uppringt nummer

lika med längden av komponentvektorn på denna axel, taget med ett plustecken om komponenternas riktning sammanfaller med axelns riktning l, och med ett minustecken om dessa riktningar är motsatta.

Grundläggande egenskaper för vektorprojektioner på en axel:

1. Projektioner av lika vektorer på samma axel är lika med varandra.

2. När en vektor multipliceras med ett tal, multipliceras dess projektion med samma tal.

3. Projektionen av summan av vektorer på en axel är lika med summan av projektionerna av summan av vektorerna på samma axel.

4. Projektionen av vektorn på axeln är lika med produkten av längden av den projicerade vektorn och cosinus för vinkeln mellan vektorn och axeln:

Lösning. Låt oss projicera vektorer på axeln l enligt definitionen i den teoretiska bakgrunden ovan. Från fig. 5a är det uppenbart att projektionen av summan av vektorer är lika med summan av projektionerna av vektorer. Vi beräknar dessa prognoser:

Vi hittar den slutliga projektionen av summan av vektorer:

Förhållandet mellan en vektor och ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem i rymden

Att lära känna rektangulärt kartesiskt koordinatsystem i rymden ägde rum i motsvarande lektion, det är lämpligt att öppna det i ett nytt fönster.

I ett ordnat system av koordinataxlar 0xyz axel Oxe kallad x-axeln, axel 0y – y-axeln, och axel 0z – axeltillämpning.

Med en godtycklig poäng M utrymme ansluta vektor

kallad radie vektor poäng M och projicera det på var och en av koordinataxlarna. Låt oss beteckna storleken på motsvarande projektioner:

Tal x, y, z kallas koordinaterna för punkt M, respektive abskissa, ordinera Och ansöka, och skrivs som en ordnad punkt av siffror: M(x;y;z)(Fig. 6).

En vektor med enhetslängd vars riktning sammanfaller med axelns riktning kallas enhet vektor(eller ortom) yxor. Låt oss beteckna med

Följaktligen enhetsvektorerna för koordinataxlarna Oxe, Oj, Uns

Sats. Vilken vektor som helst kan expanderas till enhetsvektorer av koordinataxlar:

(2)

Likhet (2) kallas expansionen av vektorn längs koordinataxlarna. Koefficienterna för denna expansion är projektionerna av vektorn på koordinataxlarna. Sålunda är expansionskoefficienterna (2) för vektorn längs koordinataxlarna vektorns koordinater.

Efter att ha valt ett visst koordinatsystem i rymden bestämmer vektorn och tripletten av dess koordinater varandra unikt, så vektorn kan skrivas i formen

Representationer av vektorn i formen (2) och (3) är identiska.

Villkor för kollinearitet av vektorer i koordinater

Som vi redan har noterat kallas vektorer för kollinjära om de är relaterade av relationen

Låt vektorerna ges . Dessa vektorer är kolinjära om vektorernas koordinater är relaterade av relationen

det vill säga vektorernas koordinater är proportionella.

Exempel 6. Vektorer ges . Är dessa vektorer kolinjära?

Lösning. Låt oss ta reda på förhållandet mellan koordinaterna för dessa vektorer:

Koordinaterna för vektorerna är proportionella, därför är vektorerna kolinjära, eller, vad som är samma, parallella.

Vektor längd och riktning cosinus

På grund av den inbördes vinkelrätheten hos koordinataxlarna, vektorns längd

lika med längden på diagonalen för en rektangulär parallellepiped byggd på vektorer

och uttrycks av jämlikheten

(4)

En vektor definieras fullständigt genom att specificera två punkter (start och slut), så vektorns koordinater kan uttryckas i termer av koordinaterna för dessa punkter.

Låt, i ett givet koordinatsystem, ursprunget för vektorn vara vid punkten

och slutet är vid punkten

Från jämlikhet

Det följer att

eller i koordinatform

Därför, vektorkoordinater är lika med skillnaderna mellan samma koordinater för slutet och början av vektorn . Formel (4) i detta fall kommer att ha formen

Vektorns riktning bestäms riktning cosinus . Dessa är cosinus för vinklarna som vektorn gör med axlarna Oxe, Oj Och Uns. Låt oss beteckna dessa vinklar i enlighet därmed α , β Och γ . Sedan kan cosinuserna för dessa vinklar hittas med hjälp av formlerna

Riktningscosinuserna för en vektor är också koordinaterna för vektorn för den vektorn och därmed vektorns vektor