Komplexa siffror

Imaginär Och komplexa tal. Abskiss och ordinata

komplext tal. Konjugera komplexa tal.

Operationer med komplexa tal. Geometrisk

representation av komplexa tal. Komplext plan.

Modul och argument för ett komplext tal. Trigonometrisk

komplex talform. Operationer med komplexa

tal i trigonometrisk form. Moivres formel.

Grundläggande information om imaginär Och komplexa tal ges i avsnittet "Imaginära och komplexa tal". Behovet av dessa tal av en ny typ uppstod vid lösning av andragradsekvationer för falletD< 0 (здесь D– diskriminant av en andragradsekvation). Under lång tid hittade dessa siffror ingen fysisk tillämpning, varför de kallades "imaginära" siffror. Men nu används de mycket inom olika fysikområden.

och teknik: elektroteknik, hydro- och aerodynamik, elasticitetsteori m.m.

Komplexa siffror skrivs i formen:a+bi. Här a Och b – reella tal , A i – tänkt enhet, dvs. e. i 2 = –1. Antal a kallad abskissa,a b – ordinatakomplext tala + bi.Två komplexa tala+bi Och a–bi kallas konjugera komplexa tal.

Huvudavtal:

1. Verkligt talAkan också skrivas i formenkomplext tal:a+ 0 i eller en – 0 i. Spelar till exempel 5 + 0i och 5-0 ibetyder samma nummer 5 .

2. Komplext tal 0 + bikallad rent imaginärt antal. Spela inbibetyder detsamma som 0 + bi.

3. Två komplexa tala+bi Ochc + dianses lika oma = c Och b = d. Annat komplexa tal är inte lika.

Tillägg. Summan av komplexa tala+bi Och c + dikallas ett komplext tal (a+c ) + (b+d ) i.Således, när du lägger till komplexa tal, deras abskissor och ordinater läggs till separat.

Denna definition motsvarar reglerna för operationer med vanliga polynom.

Subtraktion. Skillnaden mellan två komplexa tala+bi(minskad) och c + di(subtrahend) kallas ett komplext tal (a–c ) + (b–d ) i.

Således, När man subtraherar två komplexa tal subtraheras deras abskissor och ordinater separat.

Multiplikation. Produkt av komplexa tala+bi Och c + di kallas ett komplext tal:

(ac–bd ) + (annons+bc ) i.Denna definition följer av två krav:

1) siffror a+bi Och c + dimåste multipliceras som algebraisk binomialer,

2) nummer ihar huvudegenskapen:i 2 = – 1.

EXEMPEL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Därför, arbete

två konjugerade komplexa tal är lika med det reella

ett positivt tal.

Division. Dividera ett komplext tala+bi (delbart) med en annanc + di(delare) - betyder att hitta den tredje siffrane + fi(chatt), som när multipliceras med en divisorc + di, resulterar i utdelningena + bi.

Om divisorn inte är noll är division alltid möjlig.

EXEMPEL Hitta (8+i ) : (2 – 3 i) .

Lösning Låt oss skriva om detta förhållande som en bråkdel:

Multiplicera dess täljare och nämnare med 2 + 3i

OCH Efter att ha utfört alla transformationer får vi:

Geometrisk representation av komplexa tal. Reella tal representeras av punkter på tallinjen:

Här är poängen Abetyder siffran –3, punktB– nummer 2, och O- noll. Däremot representeras komplexa tal av punkter på koordinatplanet. För detta ändamål väljer vi rektangulära (kartesiska) koordinater med samma skalor på båda axlarna. Sedan det komplexa taleta+bi kommer att representeras av en prick P med abskiss a och ordinata b (se bild). Detta koordinatsystem kallas komplext plan .

Modul komplext tal är längden på vektornOP, representerar ett komplext tal på koordinaten ( omfattande) plan. Modulen för ett komplext tala+bi betecknas | a+bi| eller brev r

Använda kalkylatorn

För att utvärdera ett uttryck måste du ange en sträng som ska utvärderas. När du anger siffror är avgränsaren mellan heltals- och bråkdelen en prick. Du kan använda parenteser. Operationer på komplexa tal är multiplikation (*), division (/), addition (+), subtraktion (-), exponentiering (^) och andra. Du kan använda exponentiella och algebraiska former för att skriva komplexa tal. Ange imaginär enhet i det är möjligt utan multiplikationstecknet i andra fall krävs multiplikationstecknet, till exempel mellan parenteser eller mellan ett tal och en konstant. Konstanter kan också användas: talet π anges som pi, exponent e, alla uttryck i indikatorn måste omges av parenteser.

Exempelrad för beräkning: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), som motsvarar uttrycket \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkylatorn kan använda konstanter, matematiska funktioner, ytterligare operationer och mer komplexa uttryck du kan bekanta dig med dessa funktioner på sidan med allmänna regler för användning av miniräknare på denna sida.

Webbplatsen är under uppbyggnad, vissa sidor kanske inte är tillgängliga.

Nyheter

07.07.2016
Lade till en kalkylator för att lösa system av icke-linjära algebraiska ekvationer: .

30.06.2016
Sajten har en responsiv design, sidor visas adekvat både på stora skärmar och på mobila enheter.

Sponsor

RGROnline.ru – omedelbar lösning för elteknikarbete online.

Låt oss komma ihåg den nödvändiga informationen om komplexa tal.

Komplext talär ett uttryck för formen a + bi, Var a, bär reella tal, och i- den så kallade imaginär enhet, en symbol vars kvadrat är lika med –1, dvs i 2 = –1. Antal a kallad riktig del och numret b - imaginär del komplext tal z = a + bi. Om b= 0, då istället a + 0i de skriver helt enkelt a. Man kan se att reella tal är ett specialfall av komplexa tal.

Aritmetiska operationer på komplexa tal är desamma som på reella tal: de kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Addition och subtraktion sker enligt regeln ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, och multiplikation följer regeln ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (annons + b.c)i(här används det så i 2 = –1). Antal = a – bi kallad komplext konjugat Till z = a + bi. Jämställdhet z · = a 2 + b 2 låter dig förstå hur man delar ett komplext tal med ett annat (icke-noll) komplext tal:

(Till exempel, .)

Komplexa tal har en bekväm och visuell geometrisk representation: nummer z = a + bi kan representeras av en vektor med koordinater ( a; b) på det kartesiska planet (eller, vilket är nästan samma sak, en punkt - slutet av en vektor med dessa koordinater). I det här fallet avbildas summan av två komplexa tal som summan av motsvarande vektorer (som kan hittas med hjälp av parallellogramregeln). Enligt Pythagoras sats, längden på vektorn med koordinater ( a; b) är lika med . Denna mängd kallas modul komplext tal z = a + bi och betecknas med | z|. Vinkeln som denna vektor gör med x-axelns positiva riktning (räknat moturs) kallas argument komplext tal z och betecknas med Arg z. Argumentet är inte unikt definierat, utan endast upp till addition av en multipel av 2 π radianer (eller 360°, om det räknas i grader) - trots allt är det klart att en rotation med en sådan vinkel runt origo inte kommer att förändra vektorn. Men om vektorn av längd r bildar en vinkel φ med den positiva riktningen av x-axeln, då är dess koordinater lika med ( r cos φ ; r synd φ ). Härifrån visar det sig trigonometrisk notation komplext tal: z = |z| · (cos(Arg z) + i synd (Arg z)). Det är ofta bekvämt att skriva komplexa tal i denna form, eftersom det förenklar beräkningarna avsevärt. Att multiplicera komplexa tal i trigonometrisk form är mycket enkelt: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i synd (Arg z 1 + Arg z 2)) (när man multiplicerar två komplexa tal multipliceras deras moduler och deras argument adderas). Härifrån följer Moivres formler: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i synd( n· (Arg z))). Med hjälp av dessa formler är det lätt att lära sig hur man extraherar rötter av vilken grad som helst från komplexa tal. n:te roten av z- det här är ett komplext tal w, Vad w n = z. Det är klart att , och , var k kan ta vilket värde som helst från uppsättningen (0, 1, ..., n– 1). Det betyder att det alltid finns exakt n rötter n e graden av ett komplext tal (på planet är de belägna vid det regelbundna hörnet n-gon).

Klass 12 . Komplexa siffror.

12.1. Definition av komplexa tal i algebraisk form. Jämförelse och representation av komplexa tal på det komplexa planet. Komplex parning. Addition, multiplikation, division av komplexa tal.

12.2. Modul, argument för ett komplext tal.

12.3. Trigonometriska och exponentiella former för att skriva ett komplext tal.

12.4. Höjning till en heltalspotens och extrahera roten av ett komplext tal.

Definition av komplexa tal i algebraisk form. Jämförelse och representation av komplexa tal på det komplexa planet. Komplex parning. Addition, multiplikation, division av komplexa tal.

Ett komplext tal i algebraisk form är talet

Där
kallad imaginär enhet Och
- reella tal:
kallad verklig (riktig) del;
- imaginär del komplext tal . Formens komplexa tal
kallas rent imaginära siffror. Mängden av alla komplexa tal betecknas med bokstaven .

Per definition,

Mängden av alla reella tal är en del av uppsättningen
: . Å andra sidan finns det komplexa tal som inte hör till mängden
Och
.
.

Till exempel,

, därför att Komplexa tal i algebraisk form uppstår naturligt när man löser andragradsekvationer med en negativ diskriminant.
.

Exempel 1

. Lös ekvationen

,
.

Lösning. , Därför har den givna andragradsekvationen komplexa rötter

,

,
.

Exempel 2 ,

. Hitta de verkliga och imaginära delarna av komplexa tal
Följaktligen de verkliga och imaginära delarna av numret Vilket komplext tal som helst
representeras av en vektor på det komplexa planet , som representerar ett plan med ett kartesiskt koordinatsystem
. Början av vektorn ligger vid punkten
, och slutet är vid punkten med koordinater
(Figur 1.) Axel .

kallas den reella axeln och axeln
- imaginär axel för det komplexa planet
Komplexa tal jämförs med varandra endast med tecken
. . .
Om minst en av likheterna:.

kränks alltså Uppteckningar av typ
inte vettigt
Per definition komplex
antal
kallas det komplexa konjugatet av ett tal

.

Du kan utföra operationer på komplexa tal som addition (subtraktion), multiplikation och division.

1. Addition av komplexa tal gjort så här:

Egenskaper för tilläggsoperationen:

- egenskap av kommutativitet;

- egenskap hos associativitet.

Det är lätt att se att geometriskt tillägg av komplexa tal
betyder tillägg av de som motsvarar dem på planet vektorer enligt parallellogramregeln.

Antal subtraktion operation bland gjort så här:

2. Multiplikation av komplexa tal gjort så här:

Egenskaper för multiplikationsoperationen:

- egenskap av kommutativitet;

- egenskap hos associativitet;

- distributionslagen.

3. Division av komplexa tal endast möjligt med
och görs så här:

.

Exempel 3. Hitta
, Om .

Exempel 4. Kalkylera
, Om .

z, eftersom
.

.(aj!)

Det är inte svårt att kontrollera (det föreslås att du gör detta själv) giltigheten av följande påståenden:

Modul, argument för ett komplext tal.

Modulen för ett komplext tal
(modul betecknas med ) är ett icke-negativt tal
, dvs.
.

Geometrisk betydelse - längden på vektorn som representerar talet på det komplexa planet .
Ekvation definierar mängden av alla tal (vektorer per
.

), vars ändar ligger på enhetscirkeln
Komplext talargument betecknas med
(argument ) detta är en vinkel
i radianer mellan den reella axeln på det komplexa planet och antal , och
positivt om det räknas från till moturs, och negativt om
positivt om det räknas från mätt från axeln.

medurs Talargumentet alltså
bestäms tvetydigt, upp till en term
, Var . Definitivt ett sifferargument
bestäms inom en omgång av enhetscirkeln . på planet
Vanligtvis behöver du hitta
,inom intervallet detta värde kallas huvudvärdet för talargumentet
.

Och
och är utsedd tal
kan hittas från ekvationen , medan Nödvändigtvis måste beaktas , i vilken fjärdedel av planet ligger slutet av vektorn
:

- punkt
Om (första fjärdedelen av planet

- punkt
), Det ; (andra fjärdedelen av planet

- punkt
), Det; (första fjärdedelen av planet

- punkt
(3:e fjärdedelen av planet (4:e fjärdedelen av planet

), Det.
Faktum är att talets modul och argument
, dessa är polära koordinater
poäng bestäms inom en omgång av enhetscirkeln .

- slutet av vektorn Exempel 5

.

. Hitta modulen och huvudvärdet för talargumentet:
Argument för siffror som ligger på yxor , som separerar fjärdedelarna 1,2,3,4 i det komplexa planet .

, kan hittas omedelbart från de grafiska representationerna av dessa siffror på planet

Trigonometriska och exponentiella former för att skriva ett komplext tal. Multiplikation och division av komplexa tal i trigonometrisk och exponentiell notation. komplext tal
Trigonometrisk notation

, (2)

Där har formen: - modul, - komplext talargument

. Denna representation av komplexa tal följer av likheterna.(exponentiell) form av att skriva ett komplext tal
Trigonometrisk notation

, (3)

Där har formen: - nummerargument . Möjligheten att representera komplexa tal i exponentiell form (3) följer av den trigonometriska formen (2) och Eulers formel:

. (4)

Denna formel har bevisats under loppet av TFKP (Theory of Functions of a Complex Variable).

Exempel 6. Hitta trigonometriska och exponentiella former för komplexa tal: från exempel 5.

Lösning. Låt oss använda resultaten av exempel 5, där modulerna och argumenten för alla angivna siffror finns.

,

.

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

3)

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

5)

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Trigonometrisk form av ett tal ,

.

7)

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av ett tal .

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Den exponentiella formen av att skriva komplexa tal leder till följande geometriska tolkning av operationerna för multiplikation och division av komplexa tal. Låta
- exponentiella former av tal
.

1. När komplexa tal multipliceras multipliceras deras moduler och deras argument adderas.

2. När man dividerar ett komplext tal per nummer det visar sig vara ett komplext tal , modul vilket är lika med förhållandet mellan moduler , och argumentet - skillnader
sifferargument
.

Höjning till en heltalspotens och extrahera roten av ett komplext tal.

Per definition,

När den höjs till en hel makt komplext tal
, bör du fortsätta så här: hitta först modulen och argument detta nummer; införa i demonstrativ form
;
hitta

genom att utföra följande sekvens av åtgärder

Var . (5) Kommentar.
Argument
tal
hör kanske inte till intervallet . I det här fallet, enligt det erhållna värdet

hitta den huvudsakliga betydelsen
argument
tal
, lägga till (eller subtrahera) ett tal

med denna betydelse
, till hörde till intervallet .

.. Hitta Och
Efter detta måste du ersätta i formler (5)
.

1)
=
på Exempel 7

2)
, Om
.
.
.

(se nummer från exempel 6).

, Var
.

3)
, Om
.
.

Därför, kan ersättas med och, vilket betyder

Där Vi kommer att ersätta
på .
Därför,

Rotutvinning

e graden

från ett komplext tal

utförs enligt Moivre-Laplace formel

§ 1. Komplexa tal: definitioner, geometrisk tolkning, handlingar i algebraisk, trigonometrisk och exponentiell form

Definition av ett komplext tal

Komplexa jämlikheter

Geometrisk representation av komplexa tal

Modul och argument för ett komplext tal

Algebraiska och trigonometriska former av ett komplext tal

Exponentiell form av ett komplext tal

Exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal

Självtestfrågor

Ordlista

§ 1. Komplexa tal: definitioner, geometrisk tolkning, handlingar i algebraisk, trigonometrisk och exponentiell form

Definition av ett komplext tal ( Ange definitionen av ett komplext tal)

Ett komplext tal z är ett uttryck av följande form:

Komplext tal i algebraisk form,(1)

där x, y Î;

- komplext konjugerat tal nummer z ;

- motsatt nummer nummer z ;

- komplex noll ;

– så här betecknas mängden komplexa tal.

1)z = 1 + iÞRe z= 1, Im z = 1, = 1 – jag, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞRe z= –1, Im z = , = –1 – jag, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ om jag z= 0, alltså z = x- verkligt tal;

4)z = 0 + 3i = 3iÞRe z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ om Re z= 0, alltså z = iy - rent imaginärt tal.

från ett komplext tal (Formulera innebörden av komplex jämlikhet)

1) ;

2) .

En komplex jämlikhet är likvärdig med ett system med två verkliga likheter. Dessa verkliga likheter erhålls från den komplexa jämlikheten genom att separera de verkliga och imaginära delarna.

1) ;

2) .

Geometrisk representation av komplexa tal ( Vad är den geometriska representationen av komplexa tal?)

Komplext tal z representeras av en punkt ( x , y) på det komplexa planet eller radievektorn för denna punkt.

Tecken z under andra kvartalet innebär att det kartesiska koordinatsystemet kommer att användas som ett komplext plan.

Modul och argument för ett komplext tal ( Vad är modul och argument för ett komplext tal?)

Modulen för ett komplext tal är ett icke-negativt reellt tal

.(2)

Geometriskt är modulen för ett komplext tal längden på vektorn som representerar talet z, eller polär radie för en punkt ( x , y).

Rita följande siffror på det komplexa planet och skriv dem i trigonometrisk form.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

det vill säga för z = 0 blir det

, j inte definierad.

Aritmetiska operationer på komplexa tal (Ge definitioner och lista de grundläggande egenskaperna för aritmetiska operationer på komplexa tal.)

Addition (subtraktion) av komplexa tal

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

det vill säga när man adderar (subtraherar) komplexa tal, adderas (subtraheras) deras reella och imaginära delar.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Grundläggande egenskaper för addition

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Multiplicera komplexa tal i algebraisk form

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

det vill säga multiplikationen av komplexa tal i algebraisk form utförs enligt regeln om algebraisk multiplikation av ett binomial med ett binomial, följt av ersättning och reduktion av liknande i reella och imaginära termer.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Multiplicera komplexa tal i trigonometrisk form

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + i synd j 1)× r 2 (cos j 2 + i synd j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i synd j 1cos j 2 + i 2 synd j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – synd j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + synd j 1cos j 2))

Produkten av komplexa tal i trigonometrisk form, det vill säga när komplexa tal multipliceras i trigonometrisk form, multipliceras deras moduler och deras argument adderas.

Grundläggande egenskaper för multiplikation

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativitet;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - associativitet;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - fördelningsförmåga med avseende på addition;

4)z x0 = 0; z×1 = z ;

Division av komplexa tal

Division är den omvända operationen av multiplikation, alltså

Om z × z 2 = z 1 och z 2¹ 0, sedan .

När du utför division i algebraisk form multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med det komplexa konjugatet av nämnaren:

Division av komplexa tal i algebraisk form.(7)

När du utför division i trigonometrisk form delas modulerna upp och argumenten subtraheras:

Att dividera komplexa tal i trigonometrisk form.(8)

2)
.

Att höja ett komplext tal till en naturlig kraft

Det är bekvämare att utföra exponentiering i trigonometrisk form:

Moivres formel, (9)

det vill säga när ett komplext tal höjs till en naturlig potens, höjs dess modul till denna potens, och argumentet multipliceras med exponenten.

Beräkna (1 + i)10.

Anteckningar

1. När du utför operationerna multiplikation och höjning till en naturlig potens i trigonometrisk form, kan vinkelvärden utöver ett helt varv erhållas. Men de kan alltid reduceras till vinklar eller genom att släppa ett heltal av hela varv med hjälp av periodicitetsegenskaperna för funktionerna och .

2. Betydelse kallas huvudvärdet för argumentet för ett komplext tal;

i detta fall betecknas värdena för alla möjliga vinklar med ;

det är uppenbart att .

Extrahera roten till en naturlig grad från ett komplext tal

Eulers formler(16)

för vilka trigonometriska funktioner och en reell variabel uttrycks genom en exponentialfunktion (exponent) med en rent imaginär exponent.

§ 2. Hela funktioner (polynom) och deras grundläggande egenskaper. Lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal

Två polynom av samma grad när identiskt lika med varandra om och endast om deras koefficienter sammanfaller för samma potenser av variabeln x, det vill säga

Bevis

w Identitet (3) är giltig för "xО (eller "xО)

Þ det gäller för ; ersätta , vi får en = miljarder .

Låt oss ömsesidigt upphäva villkoren i (3) en Och miljarder och dividera båda delarna med x :

Denna identitet gäller även för " x inklusive när x = 0

Þ antagande x= 0, vi får en – 1 = miljarder – 1.

Låt oss ömsesidigt avbryta villkoren i (3") en– 1 och a n– 1 och dividera båda sidor med x, som ett resultat får vi

Om vi ​​fortsätter resonemanget på samma sätt får vi det en – 2 = miljarder –2, …, A 0 = b 0.

Således har det bevisats att den identiska likheten för 2-x polynom innebär att deras koefficienter sammanfaller i samma grader x .

Det omvända påståendet är med rätta uppenbart, d.v.s. om två polynom har samma koefficienter, så är de identiska funktioner, därför sammanfaller deras värden för alla värden i argumentet, vilket betyder att de är identiskt lika. Fastighet 1 är helt bevisad. v

När man dividerar ett polynom Pn (x) av skillnaden ( x – X 0) resten är lika med Pn (x 0), dvs

Bezouts sats,(4)

Där Qn – 1(x) - heltalsdelen av division, är ett polynom av grad ( n – 1).

Bevis

w Låt oss skriva divisionsformeln med en rest:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Där Qn – 1(x) - polynom av grad ( n – 1),

A- resten, som är ett tal på grund av den välkända algoritmen för att dividera ett polynom med ett binomial "i en kolumn".

Denna jämlikhet gäller för " x inklusive när x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (X 0), etc. v

En konsekvens av Bezouts teorem. Om att dividera ett polynom med ett binomial utan rest

Om antalet X 0 är noll i ett polynom, då divideras detta polynom med skillnaden ( x – X 0) utan rest, dvs

Þ .(5)

1) , sedan P 3(1) º 0

2) därför att P 4(–2) º 0

3) därför att P 2(–1/2) º 0

Dela upp polynom i binomial "i en kolumn":

_

_

_

_

_

Varje polynom av grad n ³ 1 har minst en nolla, reell eller komplex

Beviset för detta teorem ligger utanför vår kurs. Därför accepterar vi satsen utan bevis.

Låt oss arbeta med denna sats och Bezouts sats med polynomet Pn (x).

Efter n-flertillämpning av dessa satser får vi det

Där a 0 är koefficienten vid x n V Pn (x).

En följd av algebras fundamentalsats. Om sönderdelningen av ett polynom till linjära faktorer

Vilket gradpolynom som helst på uppsättningen av komplexa tal kan delas upp i n linjära faktorer, det vill säga

Expansion av ett polynom till linjära faktorer, (6)

där x1, x2, ... xn är nollorna i polynomet.

Dessutom, om k nummer från uppsättningen X 1, X 2, … xn sammanfaller med varandra och med talet a, sedan i produkten (6) multiplikatorn ( x– a) k. Sedan numret x= a kallas k-faldig noll av polynomet Pn ( x) . Om k= 1, då anropas noll enkel noll i polynomet Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - enkel noll, x 2 = 4 - trippel noll;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- noll multiplicitet 4.

Egenskap 4 (om antalet rötter i en algebraisk ekvation)

Alla algebraiska ekvationer Pn(x) = 0 av grad n har exakt n rötter på mängden komplexa tal, om vi räknar varje rot lika många gånger som dess multiplicitet.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - algebraisk ekvation av andra graden

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- två rötter;

2)x 3 + 1 = 0 - algebraisk ekvation av tredje graden

Þ x 1,2,3 = - tre rötter;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, eftersom P 3(1) = 0.

Dela polynomet P 3(x) till ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Ursprunglig ekvation

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - enkel rot, x 2 = –1 - dubbelrot.

1) – parade komplexa konjugerade rötter;

Varje polynom med reella koefficienter bryts upp i produkten av linjära och kvadratiska funktioner med reella koefficienter.

Bevis

w Låt x 0 = a + bi- noll av ett polynom Pn (x). Om alla koefficienter för detta polynom är reella tal, är det också noll (genom egenskap 5).

Låt oss beräkna produkten av binomialer :

komplex talpolynomekvation

Mottaget ( x – a)2 + b 2 - kvadrattrinomial med reella koefficienter.

Således leder vilket par av binomial som helst med komplexa konjugerade rötter i formel (6) till ett kvadratiskt trinomium med reella koefficienter. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal ( Ge exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal)

1. Algebraiska ekvationer av första graden:

, är den enda enkla roten.

2. Andragradsekvationer:

, – har alltid två rötter (olika eller lika).

1) .

3. Binomiala gradsekvationer:

, – har alltid olika rötter.

,

Svar: , .

4. Lös kubikekvationen.

En ekvation av tredje graden har tre rötter (reella eller komplexa), och du måste räkna varje rot lika många gånger som dess multiplicitet. Eftersom alla koefficienter i denna ekvation är reella tal, kommer de komplexa rötterna av ekvationen, om några, att vara parkomplexa konjugat.

Genom urval hittar vi den första roten i ekvationen, eftersom .

Som en följd av Bezouts sats. Vi beräknar denna division "i en kolumn":

_
_
_

När vi nu representerar polynomet som en produkt av en linjär och en kvadratisk faktor, får vi:

.

Vi hittar andra rötter som rötter till en andragradsekvation:

Svar: , .

5. Konstruera en algebraisk ekvation av minsta grad med reella koefficienter, om det är känt att talen x 1 = 3 och x 2 = 1 + iär dess rötter, och x 1 är en dubbelrot, och x 2 - enkelt.

Talet är också roten till ekvationen, eftersom ekvationens koefficienter måste vara reella.

Totalt har den nödvändiga ekvationen 4 rötter: x 1, x 1,x 2, . Därför är dess grad 4. Vi komponerar ett polynom av 4:e graden med nollor x

11. Vad är en komplex nolla?

13. Formulera innebörden av komplex jämlikhet.

15. Vad är modul och argument för ett komplext tal?

17. Vad är argumentet för ett komplext tal?

18. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

19. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

27. Ge definitioner och lista huvudegenskaperna för aritmetiska operationer på komplexa tal.

28. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

29. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

31. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

32. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

34. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

35. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

61. Lista huvudegenskaperna hos polynom.

63. Ange egenskapen för att dividera ett polynom med skillnaden (x – x0).

65. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

66. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

67. ⌂ .

69. Ange satsen: algebras grundläggande sats.

70. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

71. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

75. Ange egenskapen för antalet rötter i en algebraisk ekvation.

78. Ange egenskapen för nedbrytningen av ett polynom med reella koefficienter till linjära och kvadratiska faktorer.

Ordlista

Den k-faldiga nollan för ett polynom är... (sid. 18)

ett algebraiskt polynom kallas... (sid. 14)

en algebraisk ekvation av n:e graden kallas... (sid. 14)

den algebraiska formen av ett komplext tal kallas... (s. 5)

argumentet för ett komplext tal är... (sida 4)

den reella delen av ett komplext tal z är... (sidan 2)

ett komplext konjugerat tal är... (sida 2)

komplex noll är... (sida 2)

ett komplext tal kallas... (sida 2)

en rot av grad n av ett komplext tal kallas... (sid. 10)

roten till ekvationen är... (sid. 14)

polynomets koefficienter är... (sid. 14)

den imaginära enheten är... (sidan 2)

den imaginära delen av ett komplext tal z är... (sidan 2)

modulen för ett komplext tal kallas... (sid. 4)

nollpunkten för en funktion kallas... (sid. 14)

exponentialformen av ett komplext tal kallas... (sid. 11)

ett polynom kallas... (sid. 14)

en enkel nolla i ett polynom kallas... (sid. 18)

det motsatta talet är... (sida 2)

graden av ett polynom är... (sid. 14)

den trigonometriska formen av ett komplext tal kallas... (s. 5)

Moivres formel är... (s. 9)

Eulers formler är... (sidan 13)

hela funktionen heter... (sid. 14)

ett rent imaginärt tal är... (sid. 2)