Po izobrazbi sem teoretični fizik, imam pa dobro matematično izobrazbo. Na magistratu je bil eden od predmetov filozofija, izbrati je bilo treba temo in oddati referat o njej. Ker se je o večini možnosti ugibalo že večkrat, sem se odločil izbrati nekaj bolj eksotičnega. Ne pretvarjam se, da sem nov, uspelo mi je le nabrati vso / skoraj vso dostopno literaturo na to temo. Filozofi in matematiki me lahko mečejo s kamni, hvaležen bom le za konstruktivno kritiko.

P.S. Zelo suhoparen jezik, a po univerzitetnem programu precej berljiv. Večinoma so definicije paradoksov vzete iz Wikipedije (poenostavljena formulacija in že pripravljena oznaka TeX).

Uvod

Tako sama teorija množic kot paradoksi, ki so ji neločljivi, so se pojavili ne tako dolgo nazaj, pred nekaj več kot sto leti. Vendar je bila v tem obdobju prehojena dolga pot; teorija množic je tako ali drugače dejansko postala osnova večine vej matematike. Njegove paradokse, povezane s Cantorjevo neskončnostjo, so uspešno razložili v dobesedno pol stoletja.

Začeti bi morali z definicijo.

Kaj je komplet? Vprašanje je precej preprosto, odgovor nanj je precej intuitiven. Nabor je niz elementov, ki jih predstavlja en sam predmet. Cantor v svojem delu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre opredeljuje: z »množino« razumemo povezavo v določeno celoto M določenih dobro razločljivih predmetov m naše kontemplacije ali našega mišljenja (ki jih bomo imenovali »elementi« niz M). Kot vidite, se bistvo ni spremenilo, razlika je le v delu, ki je odvisen od opredeljevalnega pogleda na svet. Zgodovina teorije množic, tako v logiki kot v matematiki, je zelo protislovna. Pravzaprav ga je začel Kantor v 19. stoletju, nato so Russell in drugi nadaljevali z delom.

Paradoksi (logika in teorija množic) - (grško - nepričakovano) - formalno-logična protislovja, ki nastanejo v smiselnih sklopih teorije in formalne logike ob ohranjanju logične pravilnosti sklepanja. Paradoksi nastanejo, ko sta dve medsebojno izključujoči (protislovni) sodbi enako dokazljivi. Paradoksi se lahko pojavljajo tako v okviru znanstvene teorije kot v običajnem sklepanju (na primer Russellova parafraza njegovega paradoksa o množici vseh normalnih nizov, ki jih je dal Russell: »Vaški frizer obrije vse tiste in samo tiste prebivalce svoje vasi, ki to počnejo. se ne brijte sami. Ali naj se obrije sam? "). Ker formalno-logično protislovje uniči sklepanje kot sredstvo za odkrivanje in dokazovanje resnice (v teoriji, v kateri se pojavlja paradoks, je vsaka trditev, tako resnična kot napačna, dokazljiva), se pojavi problem identificiranja virov takšnih protislovij in iskanja načine za njihovo odpravo. Problem filozofskega razumevanja specifičnih rešitev paradoksov je eden od pomembnih metodoloških problemov formalne logike in logičnih temeljev matematike.

Namen tega dela je preučiti paradokse teorije množic kot dedičev starodavnih antinomij in povsem logičnih posledic prehoda na novo raven abstrakcije – neskončnost. Naloga je upoštevati glavne paradokse, njihovo filozofsko razlago.

Osnovni paradoksi teorije množic

Brivec brije samo tiste ljudi, ki se ne brijejo sami. Ali se brije sam?

Nadaljujmo s kratkim izletom v zgodovino.

Nekateri logični paradoksi so znani že od antičnih časov, vendar jih zaradi dejstva, da je bila matematična teorija omejena na eno samo aritmetiko in geometrijo, ni bilo mogoče povezati s teorijo množic. V 19. stoletju so se razmere korenito spremenile: Kantor je v svojih delih dosegel novo raven abstrakcije. Uvedel je koncept neskončnosti, s čimer je ustvaril novo vejo matematike in s tem omogočil primerjavo različnih neskončnosti s konceptom »kardinalnosti množice«. Vendar je s tem povzročil številne paradokse. Prvi je t.i Burali-Fortijev paradoks... V matematični literaturi obstajajo različne formulacije, ki temeljijo na različni terminologiji in domnevnem nizu znanih izrekov. Tukaj je ena od formalnih definicij.

Dokaže se lahko, da če je x poljuben niz rednih številk, potem je vsota množica večja ali enaka vsakemu od elementov x... Recimo, da je to množica vseh vrstnih številk. Nato - zaporedna številka, ki je večja ali enaka kateri koli od številk v. Toda potem je in je redna številka in je že strogo večja in zato ni enaka nobeni od številk v. Toda to je v nasprotju s pogojem, da - nabor vseh rednih številk.

Bistvo paradoksa je v tem, da ko se oblikuje množica vseh rednih številk, nastane nov vrstni red, ki še ni bil med »vsemi« transkončnimi rednimi števili, ki so obstajala pred nastankom množice vseh rednih številk. Ta paradoks je odkril Cantor sam, neodvisno ga je odkril in objavil italijanski matematik Burali-Forti, napake slednjega je popravil Russell, nakar je formulacija dobila končno obliko.

Med vsemi poskusi, da bi se takšnim paradoksom izognili in jih do neke mere poskušali razložiti, si največ pozornosti zasluži ideja že omenjenega Russella. Predlagal je izključitev nepredikativnih stavkov iz matematike in logike, v katerih je definicija elementa množice odvisna od slednjega, kar povzroča paradokse. Pravilo je naslednje: "nobena množica C ne more vsebovati elementov m, definiranih samo v smislu množice C, kot tudi elementov n, ob predpostavki, da ta množica v svoji definiciji." Takšna omejitev definicije množice se izogne ​​paradoksom, a hkrati bistveno zoži področje njene uporabe v matematiki. Poleg tega to ni dovolj za razlago njihove narave in razlogov za njihov videz, ki so zakoreninjeni v dihotomiji mišljenja in jezika, v značilnostih formalne logike. Do neke mere je to omejitev mogoče zaslediti v analogiji s tem, kar so v poznejšem obdobju kognitivni psihologi in jezikoslovci začeli imenovati »kategorizacija osnovne ravni«: definicija je reducirana na najbolj enostaven za razumevanje in preučevanje koncept.

Recimo, da množica vseh množic obstaja. V tem primeru je res, da je vsaka množica t podmnožica V. Toda iz tega sledi, da kardinalnost katere koli množice ne presega kardinalnosti V. Toda na podlagi aksioma množice vseh podmnožic, za V, tako kot vsaka množica, obstaja množica vseh podmnožic in po Cantorjevem izreku, ki je v nasprotju s prejšnjo trditvijo. Posledično V ne more obstajati, kar je v nasprotju z "naivno" hipotezo, da vsak sintaktično pravilen logični pogoj definira množico, to je, da je za katero koli formulo A, ki ne vsebuje y, prosta. Potter zagotavlja izjemen dokaz odsotnosti takih protislovij na podlagi aksiomatizirane Zermelo-Fraenkeljeve teorije množic.

Oba zgornja paradoksa z logičnega vidika sta identična "Lažnivcu" ali "Bradobrau": izražena sodba ni usmerjena le na nekaj objektivnega v odnosu do njega, ampak tudi nase. Vendar pa je treba biti pozoren ne le na logično plat, ampak tudi na koncept neskončnosti, ki je tukaj prisoten. Literatura se sklicuje na delo Poincaréja, v katerem piše: "verovanje v obstoj dejanske neskončnosti ... naredi te nepredikativne definicije potrebne."
Na splošno so glavne točke:

• ti paradoksi kršijo pravilo, da jasno ločijo »sfere« predikata in subjekta; stopnja zmede je blizu zamenjavi enega koncepta z drugim;
• običajno v logiki domnevamo, da v procesu sklepanja subjekt in predikat ohranita svoj obseg in vsebino, v tem primeru
  prehod iz ene kategorije v drugo, kar ima za posledico nedoslednost;
• prisotnost besede "vse" je smiselna za končno število elementov, v primeru neskončnega števila elementov pa je lahko eden, ki
  definiranje samega sebe bo zahtevalo definiranje niza;
• kršeni so osnovni logični zakoni:
  • zakon identitete je kršen, ko se razkrije neidentičnost subjekta in predikata;
  • zakon protislovja - ko sta dve nasprotujoči si sodbi izpeljani z isto pravico;
  • zakon izključene tretjine - ko je treba to tretjino priznati in ne izključiti, saj niti prvega niti drugega ni mogoče prepoznati eno brez drugega, ker izkažejo se za enako veljavne.

Tretji paradoks je poimenovan po Russellu... Ena od možnosti opredelitve je podana spodaj.
Naj je K množica vseh množic, ki ne vsebujejo sebe kot elementa. Ali K vsebuje samega sebe kot element? Če je odgovor pritrdilen, potem po definiciji K ne bi smel biti element K - protislovje. Če ne, potem bi po definiciji K moral biti element K - spet protislovje. Ta izjava je logično izpeljana iz Cantorjevega paradoksa, ki kaže njuno razmerje. Vendar se filozofsko bistvo kaže bolj jasno, saj se "samogibanje" "konceptov dogaja tik" pred našimi očmi.

Paradoks Tristrama Shandyja:
V Sternovem romanu Življenje in mnenja gospoda Tristrama Shandyja junak odkrije, da je trajalo celo leto, da je pripovedoval dogodke prvega dne svojega življenja, in še eno leto, da je opisal drugi dan. V zvezi s tem se junak pritožuje, da se bo gradivo njegove biografije kopičilo hitreje, kot ga bo lahko obdelal, in ga nikoli ne bo mogel dokončati. »Zdaj trdim,« temu nasprotuje Russell, »da če bi živel večno in mu njegovo delo ne bi postalo breme, tudi če bi bilo njegovo življenje še naprej tako pestro kot na začetku, potem noben del njegove biografije ne bi bil so ostali nenapisani."
Dejansko bi lahko dogodke n-tega dne Shandy opisal v n-em letu in bi tako v svoji avtobiografiji vtisnil vsak dan.

Z drugimi besedami, če bi življenje trajalo neskončno, bi štelo toliko let kot dni.

Russell povleče analogijo med tem romanom in Zenonom s svojo želvo. Po njegovem mnenju je rešitev v tem, da je celota enakovredna svojemu delu v neskončnosti. tiste. le "aksiom zdrave pameti" vodi v protislovje. Vendar pa je rešitev problema na področju čiste matematike. Očitno obstajata dva niza - leta in dnevi, med katerimi se vzpostavi medsebojno korespondenco - bijekcija. Nato pod pogojem neskončnega življenja glavnega junaka obstajata dve neskončni enako močni množici, ki, če upoštevamo kardinalnost kot posplošitev koncepta števila elementov v množici, razrešuje paradoks.

Banach-Tarski paradoks (izrek) ali podvojitev žoge- izrek v teoriji množic, ki trdi, da je tridimenzionalna krogla enakovredna svojim dvema kopijama.
Dve podmnožici evklidskega prostora se imenujeta škarjasto-kongruentni, če je mogoče enega razdeliti na končno število delov, premakniti in sestaviti iz drugega.
Natančneje, dve množici A in B sta škarjasto skladni, če ju lahko predstavimo kot končno unijo disjunktnih podmnožic, tako da je za vsako i podmnožica kongruentna.

Če uporabimo izrek izbire, potem definicija zveni takole:
Aksiom izbire pomeni, da obstaja delitev površine enotne krogle na končno število delov, ki jih je mogoče zbrati v dve krogli enotnega polmera s transformacijami tridimenzionalnega evklidskega prostora, ki ne spremenita oblike te komponente.

Očitno glede na zahtevo, da so ti deli merljivi, to ni izvedljivo. Slavni fizik Richard Feynman je v svoji biografiji povedal, kako mu je nekoč uspelo zmagati v sporu o razbitju pomaranče na končno število delov in predelavi.

Na določenih točkah se ta paradoks uporablja za zavrnitev aksioma izbire, vendar je problem v tem, da je to, kar imamo za osnovno geometrijo, nepomembno. Tiste koncepte, ki jih smatramo za intuitivne, je treba razširiti na raven lastnosti transcendentalnih funkcij.

Da bi še dodatno oslabili zaupanje tistih, ki menijo, da je aksiom izbire napačen, bi morali omeniti izrek Mazurkiewicza in Sierpinskega, ki pravi, da obstaja neprazna podmnožica E evklidske ravnine, ki ima dve disjunktni podmnožici , od katerih je vsak lahko razdeljen na končno število delov, tako da jih je mogoče z izometrijami prevesti v pokritje množice E.
Poleg tega dokaz ne zahteva uporabe aksioma izbire.
Nadaljnje konstrukcije, ki temeljijo na aksiomu gotovosti, dajejo rešitev za paradoks Banach-Tarski, vendar niso tako zanimive.

• Richardov paradoks: zahteva se poimenovanje "najmanjšega števila, ki ni poimenovano v tej knjigi." Protislovje je, da je po eni strani to mogoče storiti, saj je v tej knjigi poimenovano najmanjše število. Na podlagi tega je mogoče poimenovati najmanjšega neimenovanega. Toda tu se pojavi težava: kontinuuma je nešteto; med kateri koli dve številki je mogoče vstaviti neskončen niz vmesnih številk. Po drugi strani, če bi to številko lahko poimenovali, bi samodejno prešla iz razreda, ki ni omenjen v knjigi, v omenjeni razred.
• Grelling-Nilssonov paradoks: besede ali znaki lahko označujejo neko lastnost in jo hkrati imajo ali ne. Najbolj trivialna formulacija je: ali je beseda "heterologna" (kar pomeni "neuporabna zase") heterologna? .. Zelo podobna Russellovemu paradoksu v povezavi s prisotnostjo dialektičnega protislovja: kršena je dvojnost oblike in vsebine. V primeru besed z visoko stopnjo abstrakcije se je nemogoče odločiti, ali so te besede heterologne.
• Skolemov paradoks: z uporabo Gödelovega izreka o popolnosti in Löwenheim-Skolemovega izreka dobimo, da aksiomatska teorija množic ostane resnična tudi takrat, ko bo za njeno interpretacijo predpostavljena (na voljo) samo preštevna zbirka množic. Istočasno
  aksiomatska teorija vključuje že omenjeni Cantorjev izrek, ki nas pripelje do neštetih neskončnih množic.

Reševanje paradoksov

Ustvarjanje teorije množic je povzročilo tisto, kar velja za tretjo krizo matematike, ki še ni zadovoljivo rešena za vse.
Zgodovinsko gledano je bil prvi pristop teoretičen. Temeljil je na uporabi dejanske neskončnosti, ko je veljalo, da je vsako neskončno zaporedje v neskončnosti popolno. Ideja je bila, da je bilo v teoriji množic pogosto treba operirati z množicami, ki bi lahko bile del drugih, obsežnejših množic. Uspešna dejanja v tem primeru so bila možna le v enem primeru: te množice (končne in neskončne) so dokončane. Določen uspeh je bil očiten: aksiomatska teorija Zermelo-Fraenkelovih množic, celotna matematična šola Nicolasa Bourbakija, ki obstaja že več kot pol stoletja in še vedno vzbuja veliko kritik.

Logizem je bil poskus, da bi vso znano matematiko zreducirali na izraze aritmetike, nato pa izraze aritmetike reducirali na pojme matematične logike. Frege se je s tem tesno ukvarjal, vendar je bil po končanem delu primoran opozoriti na svojo nedoslednost, potem ko je Russell opozoril na protislovja v teoriji. Isti Russell, kot je bilo že omenjeno, je poskušal izključiti uporabo nepredikativnih definicij s pomočjo "teorije tipov". Vendar so se njegovi koncepti množice in neskončnosti, pa tudi aksiom reducibilnosti, izkazali za nelogične. Glavna težava je bila, da niso bile upoštevane kvalitativne razlike med formalno in matematično logiko ter prisotnost nepotrebnih konceptov, vključno s tistimi intuitivne narave.
Posledično teorija logicizma ni mogla odpraviti dialektičnih protislovij paradoksov, povezanih z neskončnostjo. Obstajala so le načela in metode, ki so omogočile, da se znebimo vsaj nepredvidljivih definicij. Po lastnem razmišljanju je bil Russell Cantorjev dedič

Konec XIX - začetek XX stoletja. širjenje formalističnega vidika na matematiko je bilo povezano z razvojem aksiomatske metode in programa utemeljitve matematike, ki ga je predlagal D. Hilbert. Na pomen tega dejstva kaže dejstvo, da je bil prvi problem od triindvajsetih, ki ga je zastavil matematični skupnosti, problem neskončnosti. Formalizacija je bila nujna, da bi dokazali doslednost klasične matematike, »ob tem pa iz nje izključili vso metafiziko«. Glede na sredstva in metode, ki jih je uporabljal Hilbert, se je izkazalo, da je njegov cilj v osnovi neizvedljiv, vendar je imel njegov program velik vpliv na ves nadaljnji razvoj temeljev matematike. Hilbert se je dolgo ukvarjal s tem problemom, sprva je konstruiral aksiomatiko geometrije. Ker se je rešitev problema izkazala za precej uspešno, se je odločil uporabiti aksiomatsko metodo v teoriji naravnih števil. V zvezi s tem je zapisal takole: "Zasledujem pomemben cilj: jaz sem tisti, ki bi se rad ukvarjal z vprašanji temeljev matematike kot take, pri čemer bi vsako matematično izjavo spremenil v strogo razvodljivo formulo." Hkrati je bilo načrtovano, da se znebimo neskončnosti tako, da jo zmanjšamo na določeno končno število operacij. Za to se je obrnil k fiziki z njenim atomizmom, da bi pokazal celotno nedoslednost neskončnih količin. Pravzaprav je Hilbert postavil vprašanje razmerja med teorijo in objektivno realnostjo.

Bolj ali manj popolno predstavo o končnih metodah daje Hilbertov učenec J. Herbrand. Pod končnim sklepanjem razume tako sklepanje, ki izpolnjuje naslednje pogoje: logični paradoksi "- vedno se upošteva le končno in določeno število predmetov in funkcij;

Funkcije so natančno definirane in ta definicija nam omogoča, da izračunamo njihov pomen;

Nikoli ni navedeno "Ta objekt obstaja", če način njegove gradnje ni znan;

Množica vseh predmetov X katere koli neskončne zbirke se nikoli ne upošteva;

Če je znano, da je kakršno koli sklepanje ali izrek resničen za vse te X, potem to pomeni, da je to splošno sklepanje mogoče ponoviti za vsak določen X, samo to splošno sklepanje pa je treba obravnavati le kot model za izvedbo takega posebnega sklepanja. "

Vendar je Gödel v času zadnje objave na tem področju že prejel svoje rezultate, pravzaprav je znova odkril in potrdil prisotnost dialektike v procesu spoznavanja. V bistvu je nadaljnji razvoj matematike pokazal nedoslednost Hilbertovega programa.

Kaj točno je Gödel dokazal? Ločimo lahko tri glavne rezultate:

1. Gödel je pokazal nemožnost matematičnega dokaza o doslednosti katerega koli sistema, ki je dovolj obsežen, da vključuje vso aritmetiko, dokaz, ki ne bi uporabljal nobenih drugih pravil sklepanja, razen tistih, ki so na voljo v danem sistemu samem. Takšen dokaz, ki uporablja močnejše pravilo sklepanja, bi lahko bil koristen. Toda če so ta pravila sklepanja močnejša od logičnih sredstev aritmetičnega računa, potem ne bo zaupanja v doslednost predpostavk, uporabljenih v dokazu. V vsakem primeru, če uporabljene metode niso končne, bo Hilbertov program neizvedljiv. Gödel samo pokaže nedoslednost izračunov za iskanje finitističnega dokaza o doslednosti aritmetike.
2. Gödel je opozoril na temeljne omejitve možnosti aksiomatske metode: sistem Principia Mathematica, tako kot vsak sistem, s pomočjo katerega se gradi aritmetika, je v bistvu nepopoln, to pomeni, da za vsak konsistenten sistem aritmetičnih aksiomov obstajajo pravi aritmetični stavki, ki niso izpeljani iz aksiomov tega sistema.
3. Gödelov izrek kaže, da nobena razširitev aritmetičnega sistema ne more narediti popolnega, in tudi če ga napolnimo z neskončnim naborom aksiomov, potem bo v novem sistemu vedno res, vendar ne izvodljivo s pomočjo tega sistema, položaji. Aksiomatski pristop k aritmetiki naravnih števil ne more zajeti celotnega področja resničnih aritmetičnih sodb, in to, kar mislimo s postopkom matematičnega dokazovanja, ni reducirano na uporabo aksiomatske metode. Po Gödelovem izreku je postalo nesmiselno pričakovati, da je mogoče koncept prepričljivega matematičnega dokaza dati enkrat za vselej začrtane oblike.

Intuicionizem je bil zadnji v tem nizu poskusov razlage teorije množic.

V svoji evoluciji je šel skozi več stopenj - polintuicionizem, sam intuicionizem, ultraintuicionizem. Na različnih stopnjah so matematike skrbeli različni problemi, vendar je eden glavnih problemov matematike problem neskončnosti. Matematični koncepti neskončnosti in kontinuitete so bili predmet filozofske analize že od svojih začetkov (ideje atomistov, aporije Zenona iz Eleje, neskončno male metode v antiki, račun neskončno male v sodobnem času itd.). Največjo polemiko je povzročila uporaba različnih vrst neskončnosti (potencialne, dejanske) kot matematičnih objektov in njihova interpretacija. Vse te probleme je po našem mnenju povzročil globlji problem – o vlogi subjekta v znanstvenem znanju. Gre za to, da krizno stanje v matematiki generira epistemološka negotovost primerjave sveta objekta (neskončnosti) in sveta subjekta. Matematik kot subjekt ima možnost izbire sredstev znanja – bodisi potencialne bodisi dejanske neskončnosti. Uporaba potencialne neskončnosti kot postajanja ji daje možnost za izvedbo, za sestavljanje neskončnega niza konstrukcij, ki jih je mogoče zgraditi nad končnimi, brez končnega koraka, brez dokončanja konstrukcije, je le mogoče. Uporaba dejanske neskončnosti mu daje možnost dela z neskončnostjo kot že izvedljivo, popolno v svoji konstrukciji, kot je dejansko dana hkrati.

Na stopnji semi-intuicionizma problem neskončnosti še ni bil neodvisen, ampak je bil vtkan v problem konstruiranja matematičnih objektov in metod za njegovo utemeljitev. Polintuicionizem A. Poincaréja in predstavnikov pariške šole teorije Baireovih, Lebesgueovih in Borelovih funkcij je bil usmerjen proti sprejetju aksioma svobodne izbire, s pomočjo katerega se dokazuje Zermelov izrek, ki je trdil, da katero koli množico lahko naredimo popolnoma urejeno, vendar brez navedbe teoretične metode za določanje elementov katere koli podmnožice zahtevanih množic. Matematičnega objekta ni mogoče zgraditi in samega matematičnega objekta ni. Matematiki so verjeli, da lahko prisotnost ali odsotnost teoretične metode za izgradnjo zaporedja predmetov študija služi kot osnova za utemeljitev ali ovrženje tega aksioma. V ruski različici je bil pol-intuicionistični koncept v filozofskih osnovah matematike razvit v smeri, kot je efektivnizem, ki ga je razvil N.N. Luzin. Efektivizem je nasprotje osnovnim abstrakcijam Cantorjeve doktrine o neskončnem – aktualnosti, izbiri, transfinitni indukciji itd.

Za učinkovitost so gnoseološko bolj dragocene abstrakcije abstrakcije potencialne izvedljivosti kot abstrakcija dejanske neskončnosti. To omogoča uvedbo koncepta transfinitnih rednih številk (neskončnih rednih števil), ki temeljijo na učinkovitem konceptu rasti funkcij. Epistemološka nastavitev učinkovitosti za prikaz neprekinjenega (kontinuuma) je temeljila na diskretnih sredstvih (aritmetika) in deskriptivni teoriji množic (funkcij), ki jo je ustvaril N. N. Luzin. Intuicionizem Nizozemca L.E.Ya. Brouwerja, G. Weila, A. Heytinga vidi svobodno postajajoče sekvence različnih vrst kot tradicionalni predmet raziskovanja. Na tej stopnji so intuicionisti pri reševanju samih matematičnih problemov, vključno s prestrukturiranjem vse matematike na novi podlagi, postavili filozofsko vprašanje vloge matematika kot spoznavnega subjekta. Kakšen je njegov položaj, kje je bolj svoboden in aktiven pri izbiri sredstev znanja? Intuicionisti so prvi (in na stopnji polintuicionizma) kritizirali koncept dejanske neskončnosti, Cantorjevo teorijo množic, saj so v njej videli kršitev sposobnosti subjekta, da vpliva na proces znanstvenega iskanja rešitve konstruktivnega problema. . V primeru uporabe potencialne neskončnosti se subjekt ne vara, saj je zanj ideja o potencialni neskončnosti intuitivno veliko bolj jasna kot ideja dejanske neskončnosti. Za intuicionista se šteje, da predmet obstaja, če je dan neposredno matematiku ali je znan način njegove konstrukcije in oblikovanja. V vsakem primeru lahko subjekt začne postopek dokončanja številnih elementov svojega nabora. Nezgrajen objekt za intuicioniste ne obstaja. Hkrati bo subjekt, ki dela z dejansko neskončnostjo, prikrajšan za to priložnost in bo občutil dvojno ranljivost sprejetega položaja:

1) te neskončne konstrukcije ni mogoče nikoli uresničiti;
2) odloči se za delovanje z dejansko neskončnostjo kot s končnim objektom in v tem primeru izgubi specifičnost pojma neskončnosti. Intuicionizem namerno omejuje možnosti matematika s tem, da lahko konstrukcijo matematičnih objektov izvaja izključno s takšnimi sredstvi, ki so, čeprav pridobljena s pomočjo abstraktnih konceptov, učinkovita, prepričljiva, dokazljiva, funkcionalno konstruktivna prav v praksi. in so sami intuitivno jasni kot konstrukcije, konstrukcije, o zanesljivosti katerih v praksi ni dvoma. Intuicionizem, ki se opira na koncept potencialne neskončnosti in konstruktivne raziskovalne metode, se ukvarja z matematiko postajanja, teorija množic pa se nanaša na matematiko bivanja.

Za intuicionista Brouwerja kot predstavnika matematičnega empirizma je logika drugotnega pomena, kritizira njo in zakon izključene sredine.

V svojih delno mističnih delih ne zanika obstoja neskončnosti, vendar ne dopušča njene aktualizacije, le potencializacije. Glavna stvar zanj je razlaga in utemeljitev praktično uporabljenih logičnih sredstev in matematičnega sklepanja. Omejitev, ki so jo sprejeli intuicionisti, premaga dvoumnost uporabe koncepta neskončnosti v matematiki in izraža željo po premagovanju krize na temelju matematike.

Ultraintuicionizem (AN Kolmogorov, AA Markov itd.) je zadnja stopnja v razvoju intuicionizma, na kateri se njegove glavne ideje posodobijo, vsebinsko dopolnijo in preoblikujejo, ne da bi spremenili njegovo bistvo, ampak premagali pomanjkljivosti in krepili pozitivne vidike. , ki ga vodijo kriteriji matematična strogost. Slabost pristopa intuicionistov je bilo ozko razumevanje vloge intuicije kot edinega vira utemeljitve za pravilnost in učinkovitost matematičnih metod. Intuicionisti so z "intuitivno jasnostjo" kot merilo resnice v matematiki metodološko osiromašili sposobnosti matematika kot subjekta spoznavanja, njegovo dejavnost so zreducirali le na miselne operacije, ki temeljijo na intuiciji, in niso vključevali prakse v proces matematičnega spoznavanja. Ultra-intuicionistični program za utemeljitev matematike je ruska prednostna naloga. Zato so domači matematiki, ki so premagovali omejitve intuicionizma, sprejeli učinkovito metodologijo materialistične dialektike, ki človeško prakso prepoznava kot vir oblikovanja tako matematičnih konceptov kot matematičnih metod (inferenc, konstrukcij). Ultraintuicionisti so rešili problem obstoja matematičnih objektov, pri čemer se niso zanašali na nedefiniran subjektivni koncept intuicije, temveč na matematično prakso in poseben mehanizem za konstruiranje matematičnega objekta - algoritem, izražen z izračunljivo, rekurzivno funkcijo.

Ultra-intuicionizem povečuje prednosti intuicionizma, ki je sestavljen iz možnosti urejanja in posploševanja metod reševanja konstruktivnih problemov, ki jih uporabljajo matematiki katere koli smeri. Zato je intuicionizem zadnje stopnje (ultraintuicionizem) blizu konstruktivizmu v matematiki. V epistemološkem vidiku so glavne ideje in načela ultraintuicionizma: kritika klasične aksiomatike logike; uporaba in občutna krepitev (po izrecnem navodilu AA Markova) vloge abstrakcije identifikacije (miselna abstrakcija od različnih lastnosti predmetov in sočasna izolacija skupnih lastnosti predmetov) kot načina konstruiranja in konstruktivnega razumevanja abstraktnih konceptov. , matematične sodbe; dokaz doslednosti konsistentnih teorij. S formalnega vidika je uporaba abstrakcije identifikacije utemeljena s tremi lastnostmi (aksiomi) enakosti – refleksivnostjo, prehodnostjo in simetrijo.

Rešiti glavno protislovje v matematiki o problemu neskončnosti, ki je povzročilo krizo njegovih temeljev, na stopnji ultra-intuicionizma v delih A.N. Kolmogorov je predlagal izhod iz krize z reševanjem problema razmerja med klasično in intuicionistično logiko, klasično in intuicionistično matematiko. Browerjev intuicionizem kot celota je zanikal logiko, a ker noben matematik ne more brez logike, je intuicionizem še vedno ohranil prakso logičnega sklepanja, so bila dovoljena nekatera načela klasične logike, ki imajo za osnovo aksiome. S.K. Kleene, R. Wesley celo ugotavljajo, da je intuicionistično matematiko mogoče opisati v obliki neke vrste računa, račun pa je način organiziranja matematičnega znanja na podlagi logike, formalizacije in njene oblike – algoritmizacije. Nova različica razmerja med logiko in matematiko v okviru intuicionističnih zahtev po intuitivni jasnosti sodb, zlasti tistih, ki so vključevale negacijo, A.N. Kolmogorov je predlagal na naslednji način: intuicionistično logiko, tesno povezano z intuicionistično matematiko, je predstavil v obliki aksiomatskega implikativnega minimalnega računa stavkov in predikatov. Tako je znanstvenik predstavil nov model matematičnega znanja, ki presega omejitve intuicionizma v prepoznavanju le intuicije kot spoznavnega sredstva in omejitve logicizma, ki absolutizira možnosti logike v matematiki. To stališče je omogočilo v matematični obliki prikazati sintezo intuitivnega in logičnega kot osnove fleksibilne racionalnosti in njene konstruktivne učinkovitosti.

Zaključki. Tako epistemološki vidik matematičnega znanja omogoča oceno revolucionarnih sprememb na stopnji krize temeljev matematike na prelomu iz 19. v 20. stoletje. z novih pozicij v razumevanju procesa spoznavanja, narave in vloge subjekta v njem. Epistemološki subjekt tradicionalne teorije vednosti, ki ustreza obdobju prevlade množično-teoretskega pristopa v matematiki, je abstrakten, nepopoln, »delni« subjekt, predstavljen v razmerjih subjekt-objek, odtrgan od realnosti z abstrakcijami, logika, formalizem, racionalno, teoretično spoznanje svojega predmeta in razumljeno kot ogledalo, ki natančno odraža in kopira resničnost. Pravzaprav je bil subjekt izključen iz spoznanja kot resničnega procesa in rezultata interakcije z objektom. Pojav intuicionizma na areni boja med filozofskimi smermi v matematiki je pripeljal do novega razumevanja matematika kot subjekta spoznanja - osebe, ki ve, katere filozofsko abstrakcijo je treba tako rekoč na novo zgraditi. Matematik se je pojavil kot empirični subjekt, že razumljen kot celostna realna oseba, vključno z vsemi tistimi lastnostmi, od katerih so jih v epistemološkem subjektu odvrnili - empirično konkretnost, variabilnost, zgodovinskost; je delujoč in spoznajoč v resničnem znanju, ustvarjalni, intuitivni, inventivni subjekt. Filozofija intuicionistične matematike je postala osnova, temelj sodobne epistemološke paradigme, zgrajene na konceptu fleksibilne racionalnosti, v kateri je človek sestavni (integralni) subjekt spoznanja, ki ima nove kognitivne lastnosti, metode, postopke; sintetizira tako svojo abstraktno-epistemološko kot logično-metodološko naravo in obliko, hkrati pa prejme eksistencialno-antropološko in »zgodovinsko-metafizično« razumevanje.

Pomembna točka je tudi intuicija pri spoznavanju in zlasti pri oblikovanju matematičnih pojmov. Spet je boj s filozofijo, poskusi izključitve zakona izključene sredine, ki nima pomena v matematiki in izhaja vanjo iz filozofije. Vendar pa prisotnost prevelikega poudarka na intuiciji in pomanjkanje jasne matematične utemeljitve nista omogočila prenosa matematike na trdne temelje.

Po nastanku strogega koncepta algoritma v tridesetih letih prejšnjega stoletja je matematični konstruktivizem prevzel intuicionizem, katerega predstavniki so pomembno prispevali k sodobni teoriji izračunljivosti. Poleg tega so bile v sedemdesetih in osemdesetih letih prejšnjega stoletja odkrite pomembne povezave med nekaterimi idejami intuicionistov (tudi tistimi, ki so se prej zdele absurdne) in matematično teorijo toposa. Matematika, ki jo najdemo v nekaterih toposih, je zelo podobna tisti, ki so jo poskušali ustvariti intuicionisti.

Bistvo je, da večina zgornjih paradoksov v teoriji množic samopripadnosti preprosto ne obstaja. Ali je tak pristop dokončen, je sporno, bo pokazalo nadaljnje delo na tem področju.

Zaključek

Dialektično-materialistična analiza kaže, da so paradoksi posledica dihotomije jezika in mišljenja, izraz globokih dialektičnih (Gödelov izrek je omogočil manifestiranje dialektike v procesu spoznavanja) in epistemoloških težav, povezanih s pojmi predmeta in predmetno področje v formalni logiki, množica (razred) v logiki in teoriji množic, z uporabo principa abstrakcije, ki omogoča, da se upoštevajo novi (abstraktni) objekti (neskončnost), z načini definiranja abstraktnih predmetov v znanosti , itd. Zato ni mogoče dati univerzalnega načina za odpravo vseh paradoksov.

Ali je tretja kriza matematike končana (ker je bila v vzročni zvezi s paradoksi; zdaj so paradoksi sestavni del) - tukaj so mnenja različna, čeprav so bili formalno znani paradoksi odpravljeni do leta 1907. Vendar pa zdaj v matematiki obstajajo druge okoliščine, ki jih lahko štejemo za krizo ali napovedovanje krize (na primer odsotnost stroge podlage za stalni integral).

Kar zadeva paradokse, je zelo pomembno vlogo v matematiki odigral dobro znani paradoks lažnivca, pa tudi cela vrsta paradoksov v tako imenovani naivni (predhodni aksiomatični) teoriji množic, ki je povzročila krizo temeljev ( eden od teh paradoksov je imel usodno vlogo v življenju G. Fregea) ... Toda morda eden najbolj podcenjenih pojavov v sodobni matematiki, ki bi ga lahko imenovali tako paradoksalen kot krizni, je rešitev Paula Cohena za Hilbertov prvi problem iz leta 1963. Natančneje, ne samo dejstvo odločitve, ampak narava te odločitve.

Literatura

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46: 481-512, 1895.
2. I.N. Burov. Paradoksi teorije množic in dialektike. Znanost, 1976.
3. M.D. Potter. Teorija množic in njena filozofija: kritični uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Žukov N.I. Filozofske osnove matematike. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Vi se seveda šalite, gospod Feynman!: dogodivščine čudovitega človeka, ki jih je povedal R. Leightonu. CoLibri, 2008.
6. O. M. Miževič. Dva načina premagovanja paradoksov v teoriji množic G. Cantorja. Logične in filozofske študije, (3): 279--299, 2005.
7. S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONALNE MATEMATIKE. Bilten DSTU, (4), 2006.
8. Čečulin V.L. Teorija samopripadnih množic (temelji in nekatere aplikacije). Perm. država un-t. - Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Kratki zapiski predavanj o disciplini "Filozofija matematike"". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Raziskave teorije množic in neklasične logike. Znanost, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ta neskončna girlanda. Bakhrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelssohn E. Uvod v matematično logiko. Založba "Znanost", 1976.
13. DA. Bočvar. O vprašanju paradoksov matematične logike in teorije množic. Matematična zbirka, 57 (3): 369-384, 1944.

Ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen vdihne, mit erlä uternden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Obdobje razvoja (1845-1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, tvorec teorije množic, enega največjih novih pojavov v svetu znanosti, se je rodil v Sankt Peterburgu 19. februarja čl. slog (3. marec po novem slogu) 1845 Njegov oče Georg Voldemar Kantor, doma iz Kopenhagna, je v mladosti prispel v Sankt Peterburg; tam je imel posredniško pisarno pod svojim imenom, včasih pod imenom "Kantor in K." Marljiv in uspešen poslovnež je dosegel velike uspehe in zapustil po svoji smrti (1863) zelo veliko bogastvo; očitno je bil zelo spoštovan tako v Sankt Peterburgu kot pozneje v Nemčiji. Zaradi pljučne bolezni se je leta 1856 z družino preselil v Nemčijo; tam je za svojo rezidenco kmalu izbral Frankfurt na Majni, kjer je živel kot rentier. Cantorjeva mati, Maria, rojena Boehm, je izhajala iz družine, od katerih je bilo veliko nadarjenih za različna umetniška področja; njen vpliv je bil nedvomno očiten v bogati domišljiji njenega sina. Njegov dedek Ludwig Boehm je bil mojster godbe; dedkov brat Jožef, ki je živel na Dunaju, je bil učitelj slavnega virtuoznega violončelista Joachima; Marijin brat Kantor je bil tudi glasbenik, njena sestra Annette pa je imela hčer umetnico, ki je poučevala na münchenski šoli za umetnost in obrt. Umetniška žilica je opazna tudi pri bratu Georga Kantorja, Konstantinu, ki je bil nadarjen pianist, in pri sestri Sophii, ki je še posebej nagnjena k risanju.

Nadarjen fant, ki je obiskoval osnovno šolo v Sankt Peterburgu, je že zelo zgodaj pokazal strastno željo, da bi začel študirati matematiko. Njegov oče pa se s tem ni strinjal, saj je poklic inženirja štel za bolj obetaven z vidika zaslužka. Sin je sprva ubogal; nekaj časa je obiskoval gimnazijo v Wiesbadnu, pa tudi zasebne šole v Frankfurtu na Majni; nato je vstopil spomladi 1859 v deželno realno šolo Velikega vojvodstva Hesse v Darmstadtu, kjer so poučevali tudi latinščino; od tam je leta 1860 prestopil na splošni smer Višje obrtne šole (kasneje Višje tehniške šole). Njegov oče je njegovo izobraževanje usmerjal z nenavadno visokimi zahtevami; poseben pomen je pripisoval vzgoji energije, trdnosti značaja in religioznosti, ki prežema vse življenje; zlasti je poudaril pomen popolnega obvladovanja glavnih sodobnih jezikov. Oče mu je (v pismu o birmi leta 1860) naročil, naj se kljub vsej sovražnosti drži in si vedno prizadeva za svoje; Na ta klic se je sin večkrat spominjal v urah težkih preizkušenj in morda prav tej očetovi vzgoji dolgujemo dejstvo, da njegov ustvarjalni duh ni bil prezgodaj zlomljen in njegovi sadovi niso bili izgubljeni za zanamce.

Sčasoma sinova globoka naklonjenost matematiki ni mogla ne vplivati ​​na očeta, čigar pisma prav tako pričajo o njegovem spoštovanju do znanosti. V pismu iz Darmstadta z dne 25. maja 1862 in ob predstavitvi prvega ohranjenega Cantorjevega pisma je sin že lahko izrazil hvaležnost očetu za odobravajoč odnos do njegovih načrtov: »Dragi oče! Lahko si predstavljate, kako me je vaše pismo razveselilo; določa mojo prihodnost. Zadnje dni sem preživel v dvomih in negotovosti; in ni mogel priti do nobene odločitve. Dolžnost in privlačnost sta bili nenehno v boju. Zdaj sem vesel, ko vidim, da vas ne bom žaloval, če bom pri izbiri sledil svojemu nagnjenju. Upam, dragi oče, da ti še lahko prinesem veselje, ker moja duša, vse moje bitje živi v moji poklicanosti; človek počne, kar hoče in zmore, in k čemur vleče njegov neznani, skrivnostni glas! ..«

Jeseni 1862 je Kantor začel študij v Zürichu, od koder pa je po prvem semestru odšel zaradi očetove smrti. Od jeseni 1863 je študiral matematiko, fiziko in filozofijo v Berlinu, kamor je triumvirat Kummerja, Weierstrassa in Kroneckerja pritegnil najboljše talente in navdušil um (takrat še precej ozkega) kroga poslušalcev v različnih smereh. Le spomladanski semester 1866 je preživel v Göttingenu. Nedvomno je imel Weierstrass najmočnejši vpliv na njegov znanstveni razvoj. Izjemno in značilno je za širino Weierstrassovih pogledov, za njegovo odprto in pronicljivo presojo, s kakšnim sočutnim razumevanjem in kako zgodaj je cenil nekonvencionalne ideje svojega študenta in se s tem odzval na globoko spoštovanje, ki mu ga je vedno znova izkazoval. njegovo življenje kljub minljivim prepirom. Kantor v berlinskih letih ni bil le član Matematičnega društva, ampak tudi ožjega kroga mladih kolegov, ki so se tedensko srečevali v Remelovi gostilni; v ta krog so bili poleg občasnih gostov še Genoch (bodoči založnik Fortschritte (Uspeh), Lampe, Mertens, Max Simon, Tome; slednji je bil še posebej blizu Kantorju. Nadalje, dve leti starejši G A. Schwarz; pozneje pa je Cantorjeve ideje v nasprotju s svojim učiteljem Weierstrassom srečal z najmočnejšim nezaupanjem in je do konca življenja pred njimi še posebej svaril svoje učence, kot Kronecker. Dvaindvajsetletni študent je zagovarjal svoje doktorsko disertacijo na Univerzi v Berlinu, ki je nastala na podlagi poglobljenega preučevanja Disquisitiones arithmeticae ("Raziskave v aritmetiki") in "Teorije števil" pri Legendreju in jo je fakulteta ocenila kot "dissertatio docta et ingeniosa" ("Naučno in duhovito sklepanje" ") * To delo je v bližini Gaussovih formul za reševanje Diofantove enačbe sekira 2 + a "x" 2 + a "x" 2 = 0; v njem se vzpostavi določen odnos, ki ga Gauss ni izrecno podal. Podrobno razpravo o Cantorjevem delu vsebuje moja podrobna biografija, objavljena v Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinunung, letnik 39 (1930), str. 189-266, pa tudi v ločeni knjigi: "Georg Cantor", Leipzig in Berlin, 1930; posvetil jo je svojim skrbnikom (tako varuhom svojega brata in sestre). Na ustnem izpitu je prejel »magna cum laude« (»s posebnim odliko«). Od treh tez, ki jih je predlagal zagovarjati, je še posebej značilna tretja: "In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi" (V matematiki je umetnost postavljanja vprašanj pomembnejša od umetnosti njihovega reševanja. "Morda tudi rezultati, ki jih je dosegel v teoriji množic, so po pomembnosti slabši od vprašanj revolucionarnih izjav, ki so v svojem vplivu doslej presegla meje njegovih lastnih spisov.

Zdi se, da je Kantor kratek čas poučeval v Berlinu na dekliški šoli; v vsakem primeru je leta 1868 po opravljenem državnem izpitu vstopil v znano semenišče v Shelbachu, ki je usposabljalo učitelje matematike.

Doktorska disertacija, ki je Kantorju dala priložnost, da je spomladi 1869 postal zasebni docent na univerzi v Halleju, sodi skupaj z več majhnimi zapiski, objavljenimi v letih 1868-72, v prvi, aritmetični krog njegovih interesov, Te študije teorije števil pod vodstvom in z odobritvijo Kroneckerja pa za Cantorja niso bile le naključna epizoda. Nasprotno, doživel je globok notranji vpliv te discipline z njeno izjemno čistostjo in milino. To dokazuje skupaj s prvo tudi tretjo tezo, ki jo je predstavil v zagovor: "Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere"). V zgodnji čas, morda že v to obdobje, sodi tudi vzpostavitev povezav med različnimi številskoteoretičnimi funkcijami in Riemannovo zeta funkcijo (ob Riemannovem delu o praštevilih); to delo je Cantor objavil šele leta 1880 pod vplivom Lipschitzovega zapisa v pariških Comptes Rendus ("Poročila"). Cantorjeva nadaljnja teoretična zanimanja so navedena poleg njegove tabele s številkami, ki je prav tako preživela do leta 1884, vendar ni bila izvedena, načrt za objavo v Acta Mathematica, delo o kvadratnih oblikah.

E. Heine, ki je bil v času, ko je Kantor tam zagovarjal diplomsko nalogo, v Halleju navaden profesor, je takoj spoznal, da je pri njegovem mladem kolegu izjemna ostrina duha srečno združena z bogato domišljijo. Odločilnega pomena je bilo dejstvo, da ga je kmalu po Cantorjevi selitvi v Halle Heine spodbudil k študiju teorije trigonometričnih vrst. Vneto delo na to temo se ni končalo le s številnimi pomembnimi dosežki, ampak je Cantorja vodilo tudi na pot k teoriji točkovnih množic in transkončnih rednih številk. Dela, in so posvečena izpopolnjevanju ene od Riemannovih izjav o trigonometričnih vrstah (in spremljajoči polemiki z Applom, v kateri je bil podrobno obravnavan koncept enotne konvergence); Kantor v svojem prispevku dokazuje izrek o edinstvenosti trigonometrične reprezentacije * Presenetljivo je, da Kronecker, ki je imel sprva pozitiven odnos do Cantorjevega izreka edinstvenosti (prim.), pozneje ta rezultat popolnoma prezre; na primer v Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale (Predavanja o teoriji preprostih in večkratnih integralov) (1894) predstavlja vprašanje edinstvenosti kot še odprto!... Ta rezultat želi posplošiti in zavračati kakršne koli predpostavke o obnašanju serije na nekem izjemnem nizu; to ga prisili, da v svojem delu predstavi kratko skico idej, ki so "lahko uporabne za razjasnitev odnosov, ki nastanejo v vseh primerih, ko so numerične vrednosti podane v končnem ali neskončnem številu. Tukaj mejne točke in izpeljanke (končnega reda ) so uvedeni za množice točk. V ta namen Cantor po eni strani razvija svojo teorijo iracionalnih števil * ... V Heinejevem delu "Elementi teorije funkcij" (J. Math., 74, str. 172-188, 1872) so iracionalna števila uvedena na način, ki natančno sledi Cantorjevim idejam; sre uvod v Heinejev članek, pa tudi Cantorjevo delo "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("K nauku o transfinite"), ki ji je sledila teorija množic, ki je ovekovečila njegovo ime, kjer se iracionalna števila štejejo za temeljne vrste. Po drugi strani pa za prehod v geometrijo uvaja poseben aksiom (Cantorjev aksiom), ki se je hkrati in samostojno pojavil v nekoliko drugačni formulaciji v Dedekindovi knjigi Kontinuiteta in iracionalna števila.

Velja za enega najpomembnejših mejnikov v zgodovini človeške misli. Teorija množic ki ga je ustvaril, je temelj sodobne matematike.

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor se je rodil 3. marca 1845 v Sankt Peterburgu, kamor je tik pred njegovim rojstvom emigriral njegov oče, premožni danski trgovec. Zaradi pljučne bolezni je moral oče leta 1856 znova emigrirati, tokrat v Frankfurt. Tam je Georg študiral na več zasebnih šolah. Pri 15 letih je bil sprejet v šolo v Wiesbadnu.

Cantor je zgodaj pokazal vroč zanimanje za matematiko... Leta 1862 je začel študirati matematiko skupaj s filozofijo in fiziko na Univerzi v Berlinu.

Tam so bili njegovi učitelji Leopold Kronecker (1823-1891), Ernst Kummer(1810-1893) in Karl Weierstrass(1815-1897). Slednji je imel nanj največji vpliv, Kronecker, ki ga je naučil osnov teorije števil, pa je pozneje postal najstrožji kritik Cantorjevih idej. Leta 1867 je Kantor doktoriral, dve leti pozneje pa tudi mesto na univerzi v Halleju, precej pomembnem izobraževalnem središču države, ki še vedno ni bilo med najprestižnejšimi v Nemčiji. Začel je kot gostujoči profesor, kar je pomenilo, da je bila njegova plača odvisna od števila učencev v razredu. Šele leta 1879 je prejel mesto rednega profesorja.

Kantor se je pri 29 letih poročil z Wallyjem Guttmanom in objavil svojo prvo delo na teoriji množic v The Journal of Pure and Applied Mathematics, ki ga je ustanovil August Krell. V tem delu je dokazal neverjetno dejstvo: kljub dejstvu, da je množica racionalnih števil gosta na premici, je štetna, torej število elementov v njej ne presega števila naravnih števil. Dokazal je tudi (dokončno dokončanje dokazovanja leta 1891), da so realna števila v tem pogledu posebna, saj je nemogoče vzpostaviti medsebojno korespondenco med množico realnih števil in množico naravnih števil. To je bil prvi poskus vdora v trdnjavo, imenovano "neskončnost".

Leto 1877 je postalo zelo pomembno tudi za Cantorja: takrat je dokazal, da je v nasprotju s splošnim prepričanjem mogoče ugotoviti dopisovanje ena na ena... Tako kot leta 1874 je tudi Cantor ta članek predložil v Crell's Journal.

Članek je naletel na neizprosno nasprotovanje Kroneckerja, enega od urednikov revije, ki je objavo uspel preložiti na naslednje leto. Kronecker je bil odločen nasprotnik neskončnosti in jo je prepoznal le kot stenografski zapis ponavljajočih se procesov. Cantor pa je preučeval svet, poln resničnih neskončnosti, in vsakič je razmišljal o neskončnosti vse bolj zapletene strukture, npr. transkončna števila, na katerem je neprekinjeno delal v zrelih letih.

Vse kaže, da je Kantor zbolel za boleznijo, ki se danes imenuje manično-depresivni sindrom – endogena bolezen, pri kateri faze evforije zamenja depresija.

Zadnjih 20 let svojega življenja se je Kantor občasno zdravil na psihiatričnih klinikah, kamor se je obrnil na lastno željo. To mu ni preprečilo, da bi še naprej delal in objavljal svoje teorije med tečaji zdravljenja. Na kliniko so ga nazadnje sprejeli leta 1917 - edino proti njegovi volji. Kantor se je v svojih pismih pritoževal nad mrazom, osamljenostjo in slabo hrano. Kljub dejstvu, da so do takrat njegove teorije že bile široko sprejete priznanje znanstvene skupnosti 6. januarja 1918 je umrl sam in v resnično depresivnih razmerah.

Vključno z neskončnimi, glede na njihovo "moč" (posplošitev koncepta količine) prek koncepta korespondence ena proti ena med nizi. Razvrstil je množice glede na njihovo kardinalnost, opredelil pojme kardinalnih in rednih številk, aritmetiko za kardinalna in redna števila.

Georg je bil prvorojenec, najstarejši od šestih otrok. Mojstrsko je igral violino, od staršev pa je podedoval pomembne umetniške in glasbene talente. Oče družine je o svojem sinu leta 1851 zapisal: "". Ko je oče zbolel, se je družina, računajući na milejšo klimo, leta 1856 preselila v Nemčijo: najprej v Wiesbaden, nato pa v Frankfurt.

Narava ga je obdarila z željo po redu, ki prevladuje nad vsem drugim.

Leta 1860 je Georg z odliko diplomiral na realni šoli v Darmstadtu; učitelji so opazili njegovo izjemno sposobnost za matematiko, zlasti za trigonometrijo. Leta 1862 je vstopil v. Leto pozneje mu je umrl oče; Georg je po prejemu precejšnje dediščine prestopil na univerzo Humboldt v Berlinu, kjer je začel obiskovati predavanja tako znanih znanstvenikov, kot so Leopold Kronecker, Karl Weierstrass in Ernst Kummer. Poletje 1866 je preživel na univerzi v Göttingenu, največjem centru matematične misli tistega časa. Leta 1867 mu je univerza v Berlinu podelila doktorat za njegovo delo na področju teorije števil "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

Po kratkem času kot učitelj na berlinski dekliški šoli se je Cantor zaposlil na univerzi Martin Luther v Galiji, kjer je preživel vso svojo kariero. Nujno habilitacijo za poučevanje je prejel v svoji disertaciji iz teorije števil. Leta 1872 je Kantor spoznal Richarda Dedekinda, ki je postal njegov tesen prijatelj in podobno misleč. Številne Cantorjeve ideje so bile obravnavane v korespondenci z Dedekindom.

Cantor je v članku iz leta 1872 podal različico utemeljitve teorije realnih števil. V njegovem modelu je realno število opredeljeno kot razred temeljnih zaporedij racionalnih števil. V nasprotju s prej splošno sprejeto newtonovsko definicijo iz univerzalne aritmetike je bil Cantorjev pristop zgolj matematičen, brez sklicevanja na geometrijo ali druge merilne postopke. Še eno različico, prav tako čisto matematično, je istega leta objavil Dedekind (temeljila je na "Dedekindovih odsekih", glej).

Leta 1874 se je Cantor poročil z Wallyjem Gutmanom ( Vally Guttmann). Imela sta 6 otrok, zadnji se je rodil leta 1886 (4 hčerke in dva sinova). Kljub skromni akademski plači je Kantor po zaslugi dediščine, ki jo je prejel po očetu, svoji družini lahko zagotovil udobno življenje. Biografi ugotavljajo, da je Kantor tudi med svojim poročnim potovanjem v gorovju Harz preživel veliko časa v matematičnih pogovorih s svojim prijateljem Dedekindom. Istega leta 1874 je Kantor v reviji Krelle objavil članek, v katerem je predstavil koncept kardinalnosti in pokazal, da je toliko racionalnih števil kot naravnih števil, realnih števil pa je veliko več (po nasvetu Weierstrassa je ta revolucionar sklep je bil v članku omilil).

Kantor je bil leta 1872 povišan v gostujočega profesorja, leta 1879 pa je postal redni profesor. Prejeti ta naziv pri 34 letih je bil velik dosežek, vendar je Kantor sanjal o položaju na prestižnejši univerzi, na primer v Berlinu - v tistem času vodilni univerzi v Nemčiji, vendar so njegove teorije naletele na resne kritike in prestop na drugo mesto ni bilo možno.

Leta 1877 je Cantor dosegel osupljiv rezultat, ki ga je zapisal v pismu Dedekindu: množice točk segmenta in točk kvadrata imajo enako kardinalnost (kontinuum), ne glede na dolžino segmenta in širino segmenta. kvadratni. Hkrati je oblikoval in neuspešno poskušal dokazati »hipotezo kontinuuma«. Cantorjev prvi dokument, ki opisuje te ključne rezultate, se je pojavil leta 1878 in je bil naslovljen » Proti nauku o raznolikosti"(Izraz kolektorja Cantor se je kasneje spremenil v veliko). Objava članka je bila večkrat prestavljena na zahtevo ogorčenega Kroneckerja, ki je vodil oddelek za matematiko na berlinski univerzi. Kronecker, ki je veljal za predhodnika konstruktivne matematike, ni maral Cantorjeve teorije množic, saj so njeni dokazi pogosto nekonstruktivni, brez konstruiranja posebnih primerov; Kronecker je menil, da je koncept dejanske neskončnosti absurden.

Kantor je spoznal, da Kroneckerjev položaj niti ne bo dovolil, da bi zapustil galsko univerzo. Sam Cantor je bil enakega mnenja kot večina sodobnih matematikov: vsak konsistenten matematični objekt je treba šteti za veljaven in obstoječ.

Cantorjeva teorija množic je naletela na ostro kritiko številnih znanih sodobnih matematikov - Henrija Poincaréja; kasneje - Hermann Weil in Leutzen Brouwer (glej). Spomnili so, da so pred Cantorjem vsi svetniki matematike, od Aristotela do Gaussa, imeli dejansko neskončnost za nesprejemljiv znanstveni koncept. Situacijo je poslabšalo odkritje katastrofalnih protislovij v prvi različici teorije množic. Kritika je bila včasih zelo agresivna: Poincaré je na primer "kantorizem" označil za resno bolezen, ki je prizadela matematično znanost, in izrazil upanje, da se bodo prihodnje generacije ozdravile; in v javnih izjavah in osebnih napadih Kroneckerja proti Cantorju so včasih bliskali epiteti, kot so "znanstveni šarlatan", "odpadnik" in "pokvaritelj mladosti".

Ostrim kritikam nekaterih uglednih matematikov je nasprotovala svetovna slava in odobravanje drugih. Leta 1904 je Londonska kraljeva družba Cantorju podelila najvišjo matematično nagrado, Sylvestrovo medaljo. Cantor je sam verjel, da mu je teorija transkončnih števil sporočena od zgoraj. Bertrand Russell je teorijo množic pohvalil kot "enega glavnih uspehov naše dobe", David Hilbert pa je Cantorja označil za "matematičnega genija" in izjavil: "Nihče nas ne more izgnati iz raja, ki ga je ustvaril Cantor."

Leta 1881 je umrl Cantorjev kolega Eduard Heine in za seboj pustil prazno mesto. Uprava univerze je sprejela Kantorjevo ponudbo, da na to mesto povabi Richarda Dedekinda, Heinricha Webra ali Franza Mertensa (v tem vrstnem redu), vendar so na veliko Kantorjevo žalost vsi zavrnili. Posledično je prevzel mesto. Leta 1882 se je Cantorjeva komunikacija z Dedekindom končala - verjetno zaradi zamere zaradi zavrnitve njegovega položaja v Halleju.

Leta 1883 je Kantor v svojem delu objavil ključni članek »Osnove splošne doktrine raznolikosti«. Hkrati se je začel aktivno dopisovati z uglednim matematikom tistega časa - Gösto Mittag-Lefflerjem, ki je živel na Švedskem, in kmalu začel objavljati v svoji reviji "Acta mathematica"... Vendar je leta 1885 Mittag-Leffler postal zaskrbljen zaradi filozofskih implikacij in nove terminologije v enem članku, ki mu ga je poslal Cantor za objavo, in prosil Cantorja, naj umakne svoj članek, medtem ko je bil še v lektoriranju, in zapisal, da je ta članek "Približno sto let pred časom"... Kantor se je strinjal z umikom članka, vendar nikoli več Acta Mathematica ni bil objavljen in je nenadoma prekinil odnose in korespondenco z Mittag-Lefflerjem. Kantor je začel prvo obdobje depresije in več kot pet let Kantor ni objavil ničesar, razen nekaj člankov filozofske narave, pri čemer se je omejil na poučevanje.

Cantor je kmalu po obnovi (1889) v svojo teorijo takoj vnesel več pomembnih dodatkov, zlasti je z diagonalno metodo dokazal, da je množica vseh podmnožic naravnih števil nešteta, vendar nikoli ni dosegel enako visoke stopnje produktivnosti kot je imel v letih 1874-1884 ... Na koncu se je s predlogom za mir obrnil na Kroneckerja, ki ga je ta pozitivno sprejel. Kljub temu so filozofske razlike in težave, ki so jih ločevale, ostale. Medtem so nekateri matematiki, predvsem mladi, sprejeli teorijo množic, jo začeli razvijati in uporabljati pri reševanju različnih problemov. Med njimi so Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein leta 1891; takrat je bil njegov ugled tudi kljub nasprotovanju Kroneckerja zelo stabilen, zato je bil Kantor izvoljen za prvega predsednika društva. Kantor je Kroneckerja povabil k predstavitvi, vendar ponudbe ni mogel sprejeti zaradi tragične smrti njegove žene.

Epizode depresije, ki so se občasno ponavljale od leta 1884 do konca Cantorjevih dni, so nekaj časa krivile njegove sodobnike, da so zavzeli preveč agresivno stališče, zdaj pa se domneva, da so bili ti napadi najverjetneje razvoj duševne bolezni.

Znana Cantorjeva diagonalna metoda se je prvič pojavila v članku iz leta 1892. Zadnje delo, nekakšen testament znanstvenika, je bil članek "O utemeljitvi doktrine transfinitnih množic" (v dveh delih, 1895-1897). To je eno najbolj znanih Cantorjevih del, v katerem je poleg prejšnjih rezultatov teorije množic zgrajena hierarhija Alefov.

Leta 1897 se je začelo intenzivno dopisovanje med Cantorjem in Hilbertom o prvem protislovju, ugotovljenem v teoriji množic - Burali-Fortijevem paradoksu, ki je zelo vznemiril Hilberta. Kantor je izrazil mnenje, da je treba v teoriji množic razlikovati med dvema vrstama konceptov - transkončnim in absolutnim (" nedostopno«, kot je rekel), od njih so samo prvi podvrženi človeškemu razumu, v odnosu do drugega pa je možen le pristop k njihovemu razumevanju. Hilberta ta metafizika ni prepričala, saj po njegovem mnenju ni in ne more biti nerešljivih matematičnih problemov. Razprava je trajala dve leti in ni pripeljala do ničesar. Rešitev paradoksov (ki pa niso postali splošno sprejeti) je bila najdena šele 30 let pozneje, potem ko je Cantorjevo »naivno teorijo množic« zamenjal z aksiomatično, ki je iz števila pravnih pojmov izključila »nedostopne« množice.

Decembra 1899 je umrl Kantorjev 13-letni sin. Cantorjeva duševna bolezen se je poslabšala, skoraj dokončan tretji del članka »O utemeljitvi doktrine transfinitnih množic« ni bil nikoli dokončan. Do leta 1913 je Kantor poučeval na univerzi (občasno je delal dolge odmore za zdravljenje), nato pa se je upokojil. Njegovo zanimanje po letu 1899 se je nanašalo predvsem na Leibnizovo filozofijo in vprašanje avtorstva Shakespearovih iger, ki jih je Kantor že vrsto let navduševal.

Georg Cantor je umrl 6. januarja 1918 zaradi srčnega napada v psihiatrični bolnišnici v Halleju.

Kariera Cantorja Georgea Cantorja: matematik
rojstvo: Rusija "Sankt Peterburg, 3.3.1845 - 6.1
Georg Cantor je velik nemški znanstvenik in matematik. Rojen 3. marca 1845 v Rusiji Georg Cantor je znan kot ustvarjalec "teorije množic", avtor Cantorjevega izreka. Poleg tega je Georg Cantor opredelil pojme kardinalnih in rednih števil ter njihovo aritmetiko, uvedel koncept medsebojne korespondence med elementi množic, podal definicije neskončne in dobro urejene množice in dokazal, da obstaja več realnih števil. kot naravna števila itd.

Družina Georga Cantorja (1845-1918) se je iz Rusije preselila v Nemčijo, ko je bil še otrok. Tam je začel študirati matematiko. Po zagovoru disertacije iz teorije številk leta 1868 je doktoriral na Univerzi v Berlinu. Kantor je pri 27 letih objavil članek, ki je vseboval splošen zaključek izjemno zapletenega matematičnega problema – in ideje, ki so kasneje prerasle v njegovo slavno teorijo – teorijo množic. Leta 1878 je uvedel in oblikoval pomemben sistem novih pojmov, podal definicijo množice in prvo definicijo kontinuuma ter razvil načela primerjave množic. V letih 1879-1884 je sistematično predstavil načela svojega nauka o neskončnosti.

Cantorjeva vztrajna želja po razstavljanju neskončnosti kot nečesa dejansko danega je bila za tisti čas velika novica. Kantor je svojo teorijo zamislil kot popolnoma nov račun neskončne, "transfinite" (torej "superfinite") matematike. Po njegovi zamisli naj bi izdelava takšnega računa naredila revolucijo ne le v matematiki, ampak tudi v metafiziki in teologiji, kar je Cantorja zanimalo komaj bolj kot samo znanstveno raziskovanje. Bil je edini matematik in filozof, ki je verjel, da dejanska neskončnost ne le obstaja, ampak je človeku razumljiva v polnem pomenu, in to razumevanje bo pometalo matematike, v zasledovanju njih in teologe, višje in bližje Bogu. Tej nalogi je posvetil svoj obstoj. Znanstvenik je močno verjel, da ga je Bog izbral, da bi povzročil veliko revolucijo v znanosti, in to njegovo prepričanje je bilo podprto z mističnimi vizijami. Titanski poskus Georga Cantorja, čeprav dejansko, se je končal na čuden način: v teoriji so bili odkriti težko premagljivi paradoksi, ki postavljajo pod omahovanje in pomen Cantorjeve najljubše ideje – »stopnišča alepov«, zaporednega niza transkončnih števil. (Te številke so splošno znane v označbi, ki jo je sprejel: v obliki črke Aleph, prve črke hebrejske abecede.)

Nepričakovanost in izvirnost njegovega stališča je kljub vsem prednostim pristopa povzročila ostro zavrnitev njegovega dela s strani večine znanstvenikov. Desetletja se je trmasto boril s skoraj vsemi svojimi sodobniki, filozofi in matematiki, ki so zanikali legitimnost gradnje matematike na temelju dejansko neskončnega. Nekateri so to vzeli kot izziv, saj je Cantor domneval obstoj nizov ali zaporedij številk z neskončno večino elementov. Slavni matematik Poincaré je teorijo transkončnih števil označil za "bolezen", ki jo je treba matematiko nekoč pozdraviti. Poleg tega je L. Kronecker - Kantorjev učitelj in edini najbolj avtoritativnih matematikov v Nemčiji - napadel Kantorja in ga označil za "šarlatana", "odpadnika" in "izsiljevalca otrok"! Šele do leta 1890, ko so bile pridobljene aplikacije teorije množic za analizo in geometrijo, je Cantorjev koncept pridobil priznanje kot samostojna veja matematike.

Pomembno je omeniti, da je Kantor prispeval k nastanku strokovnega združenja - German Mathematical Society, ki je prispevalo k razvoju matematike v Nemčiji. Verjel je, da je njegova znanstvena kariera trpela zaradi predsodkov do njegovega dela, in upal, da bo neodvisna organizacija mladim matematikom omogočila, da samostojno presojajo nove ideje in jih začnejo razvijati. Bil je tudi pobudnik sklica prvega mednarodnega matematičnega kongresa v Zürichu.

Kantor je težko doživljal protislovja svoje teorije in težave pri sprejemanju. Od leta 1884 je trpel za globoko depresijo in se je po nekaj letih umaknil iz znanstvene dejavnosti. Kantor je umrl zaradi srčnega popuščanja v psihiatrični bolnišnici v Galleju.

Kantor je dokazal obstoj hierarhije neskončnosti, od katerih je vsaka "večja" od prejšnje. Njegov koncept transfinitnih množic, ki je preživel leta dvomov in napadov, je sčasoma prerasel v izjemno revolucionarno silo v matematiki 20. stoletja. in postal njen temeljni kamen.