V predchádzajúcej lekcii sme študovali násobenie polynómu monomom. Napríklad súčin jednočlenu a a polynómu b + c nájdeme takto:

a(b + c) = ab + bc

V niektorých prípadoch je však vhodnejšie vykonať inverznú operáciu, ktorú možno nazvať odstránením spoločného faktora zo zátvoriek:

ab + bc = a(b + c)

Napríklad musíme vypočítať hodnotu polynómu ab + bc pre hodnoty premenných a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Ak ich dosadíme priamo do výrazu, dostaneme

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

V tomto prípade sme polynóm ab + bc reprezentovali ako súčin dvoch faktorov: a a b + c. Táto akcia sa nazýva faktorizácia polynómu.

Okrem toho každý z faktorov, do ktorých je polynóm expandovaný, môže byť zase polynóm alebo monomiál.

Zoberme si polynóm 14ab - 63b 2. Každý z jeho základných monomilov môže byť reprezentovaný ako produkt:

Je vidieť, že oba polynómy majú spoločný faktor 7b. To znamená, že ho možno vyňať zo zátvoriek:

14ab – 63b 2 = 7b*2a – 7b*9b = 7b(2a-9b)

Či je multiplikátor správne umiestnený mimo držiakov, môžete skontrolovať opačným postupom – otvorením držiakov:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Je dôležité pochopiť, že polynóm môže byť často rozšírený niekoľkými spôsobmi, napríklad:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Zvyčajne sa snažia extrahovať, zhruba povedané, „najväčší“ monomiál. To znamená, že rozšíria polynóm, takže zo zostávajúceho polynómu sa už nedá nič vybrať. Takže pri rozklade

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

v zátvorkách zostáva súčet monomílov, ktoré majú spoločný faktor c. Ak to vezmeme aj von, v zátvorkách nezostanú žiadne spoločné faktory:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Pozrime sa podrobnejšie na to, ako nájsť spoločné faktory monomilov. Rozložme súčet

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Pozostáva z troch termínov. Najprv sa pozrime na číselné kurzy pred nimi. Sú to 8, 12 a 16. V 3. hodine 6. ročníka sa diskutovalo o téme GCD a algoritme na jeho nájdenie. Toto je najväčší spoločný deliteľ. Číselný koeficient spoločného multiplikátora bude presne GCD číselných koeficientov členov polynómu. V tomto prípade je číslo 4.

Ďalej sa pozrieme na stupne týchto premenných. Spoločným faktorom je, že písmená musia mať minimálne právomoci, ktoré sa vyskytujú v podmienkach. Takže premenná a v polynóme má stupne 3, 2 a 4 (minimálne 2), takže spoločný faktor bude a 2. Premenná b má minimálny stupeň 3, takže spoločný faktor bude b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

V dôsledku toho zostávajúce členy 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 nemajú ani jednu spoločnú písmenovú premennú a ich koeficienty 2, 3 a 4 nemajú spoločných deliteľov.

Zo zátvoriek je možné vyňať nielen monoméry, ale aj polynómy. Napríklad:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Ešte jeden príklad. Je potrebné rozšíriť výraz

5t (8r. - 3x) + 2s (3x - 8r.)

Riešenie. Pripomeňme, že znamienko mínus obráti znamienka v zátvorkách, takže

-(8r - 3x) = -8r + 3x = 3x - 8r

To znamená, že môžeme nahradiť (3x - 8y) s - (8y - 3x):

5t (8r - 3x) + 2s (3x - 8r) = 5t (8r - 3x) + 2*(-1)s(8r - 3x) = (8r - 3x)(5t - 2s)

Odpoveď: (8r - 3x)(5t - 2s).

Pamätajte, že subtrahend a minuend je možné zameniť zmenou znamienka pred zátvorkami:

(a - b) = - (b - a)

Platí to aj naopak: znamienko mínus, ktoré je už pred zátvorkami, možno odstrániť súčasnou zámenou podstrany a podradníka:

Táto technika sa často používa pri riešení problémov.

Metóda zoskupovania

Uvažujme o ďalšom spôsobe faktorizácie polynómu, ktorý pomáha rozšíriť polynóm. Nech je nejaký výraz

ab - 5a + bc - 5c

Nie je možné odvodiť faktor spoločný pre všetky štyri monomiály. Tento polynóm si však môžete predstaviť ako súčet dvoch polynómov a v každom z nich vytiahnite premennú zo zátvoriek:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Teraz môžeme odvodiť výraz b - 5:

a(b - 5) + c (b - 5) = (b - 5) (a + c)

Prvý termín sme „zoskupili“ s druhým a tretí so štvrtým. Preto sa opísaná metóda nazýva metóda zoskupovania.

Príklad. Rozviňme polynóm 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Riešenie. Zoskupenie 1. a 2. termínu nie je možné, pretože nemajú spoločný faktor. Preto vymeňme monomily:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Rozdiely 3y - b a b - 3y sa líšia len v poradí premenných. V jednej zo zátvoriek ho možno zmeniť posunutím znamienka mínus zo zátvoriek:

(b – 3 roky) = – (3 roky – b)

Použime túto náhradu:

2x(3r - b) + a(b - 3r) = 2x(3r - b) - a(3r - b) = (3r - b)(2x - a)

V dôsledku toho sme získali identitu:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Odpoveď: (3r - b)(2x - a)

Môžete zoskupiť nielen dva, ale vo všeobecnosti ľubovoľný počet výrazov. Napríklad v polynóme

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

môžeme zoskupiť prvé tri a posledné 3 monomiály:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3r + z)

Teraz sa pozrime na úlohu so zvýšenou zložitosťou

Príklad. Rozviňte kvadratický trinom x 2 - 8x +15.

Riešenie. Tento polynóm pozostáva len z 3 monomov, a preto, ako sa zdá, zoskupenie nebude možné. Môžete však vykonať nasledujúcu náhradu:

Potom môže byť pôvodný trojčlen reprezentovaný takto:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Poďme zoskupiť výrazy:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

Odpoveď: (x - 5) (x - 3).

Samozrejme, nie je ľahké uhádnuť náhradu - 8x = - 3x - 5x vo vyššie uvedenom príklade. Ukážme inú líniu uvažovania. Musíme rozšíriť polynóm druhého stupňa. Ako si pamätáme, pri násobení polynómov sa ich mocniny sčítavajú. To znamená, že aj keď dokážeme rozdeliť kvadratický trinóm na dva faktory, ukáže sa, že ide o dva polynómy 1. stupňa. Napíšme súčin dvoch polynómov prvého stupňa, ktorých vodiace koeficienty sú rovné 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Tu označujeme a a b ako nejaké ľubovoľné čísla. Aby sa tento súčin rovnal pôvodnej trojčlenke x 2 - 8x +15, je potrebné zvoliť vhodné koeficienty pre premenné:

Pomocou výberu môžeme určiť, že čísla a = - 3 a b = - 5 spĺňajú túto podmienku

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

ktoré možno vidieť otvorením zátvoriek.

Pre jednoduchosť sme uvažovali iba o prípade, keď vynásobené polynómy 1. stupňa majú vodiace koeficienty rovné 1. Mohli by sa však rovnať napríklad 0,5 a 2. V tomto prípade by expanzia vyzerala trochu inak:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0,5x - 2,5)

Ak však vyberieme koeficient 2 z prvej zátvorky a vynásobíme ho druhou, dostaneme pôvodnú expanziu:

(2x - 6) (0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3) (x - 5)

V uvažovanom príklade sme kvadratický trinóm rozšírili na dva polynómy prvého stupňa. V budúcnosti to budeme musieť robiť často. Za zmienku však stojí, že niektoré kvadratické trinómy, napr.

je nemožné rozložiť týmto spôsobom na súčin polynómov. To sa preukáže neskôr.

Aplikácia faktoringových polynómov

Faktorizácia polynómu môže uľahčiť niektoré operácie. Nech je potrebné vypočítať hodnotu výrazu

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Vyberme číslo 2 a stupeň každého termínu sa zníži o jeden:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Označme sumu

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

pre x. Potom možno vyššie napísanú rovnosť prepísať:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

Máme rovnicu, vyriešme ju (pozri lekciu rovnice):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Teraz vyjadrime množstvo, ktoré hľadáme, pomocou x:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Pri riešení tohto problému sme zvýšili číslo 2 len na 9. mocninu a všetky ostatné operácie umocňovania boli z výpočtov eliminované súčiniteľom polynómu. Podobne môžete vytvoriť vzorec výpočtu pre ďalšie podobné sumy.

Teraz vypočítajme hodnotu výrazu

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

je deliteľné 73. Všimnite si, že čísla 9 a 81 sú mocniny troch:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Keď to vieme, urobme náhradu v pôvodnom výraze:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Vyberieme 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Súčin 3 12 ,73 je deliteľný 73 (keďže je ním deliteľný jeden z faktorov), preto sa týmto číslom delí aj výraz 81 4 - 9 7 + 3 12.

Na preukázanie totožnosti možno použiť faktoring. Dokážme napríklad rovnosť

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)

Aby sme vyriešili identitu, transformujeme ľavú stranu rovnosti odstránením spoločného faktora:

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a) (a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a) ((a 2 + 2a) + (a + 2 ) = (a 2 + 3a) (a (a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a) (a + 1) (a + 2) = a (a + 3) (a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ešte jeden príklad. Dokážme, že pre všetky hodnoty premenných x a y je výraz

(x - y) (x + y) - 2x (x - y)

nie je kladné číslo.

Riešenie. Vyberme spoločný činiteľ x - y:

(x - y) (x + y) - 2x (x - y) = (x - y) (x + y - 2x) = (x - y) (y - x)

Upozorňujeme, že sme získali súčin dvoch podobných dvojčlenov, ktoré sa líšia iba v poradí písmen x a y. Ak by sme vymenili premenné v jednej zo zátvoriek, dostali by sme súčin dvoch rovnakých výrazov, teda štvorec. Ak však chcete zameniť x a y, musíte pred zátvorku umiestniť znamienko mínus:

(x - y) = -(y - x)

Potom môžeme napísať:

(x - y) (y - x) = -(y - x) (y - x) = -(y - x) 2

Ako viete, druhá mocnina akéhokoľvek čísla je väčšia alebo rovná nule. To platí aj pre výraz (y - x) 2. Ak je pred výrazom mínus, potom musí byť menšie alebo rovné nule, to znamená, že to nie je kladné číslo.

Polynomické rozšírenie pomáha riešiť niektoré rovnice. Používa sa nasledujúce vyhlásenie:

Ak jedna časť rovnice obsahuje nulu a druhá je súčinom faktorov, potom by sa každý z nich mal rovnať nule.

Príklad. Vyriešte rovnicu (s - 1) (s + 1) = 0.

Riešenie. Na ľavej strane je napísaný súčin jednočlenov s - 1 a s + 1 a na pravej strane nula. Preto sa nula musí rovnať buď s - 1 alebo s + 1:

(s - 1) (s + 1) = 0

s - 1 = 0 alebo s + 1 = 0

s = 1 alebo s = -1

Každá z dvoch získaných hodnôt premennej s je koreňom rovnice, to znamená, že má dva korene.

Odpoveď: -1; 1.

Príklad. Vyriešte rovnicu 5w 2 - 15w = 0.

Riešenie. Vezmime si 5w:

Opäť je práca napísaná na ľavej strane a nula na pravej strane. Pokračujme v riešení:

5w = 0 alebo (w - 3) = 0

w = 0 alebo w = 3

Odpoveď: 0; 3.

Príklad. Nájdite korene rovnice k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Riešenie. Poďme zoskupiť výrazy:

k3 - 8k2 + 3k-24 = 0

(k3 - 8k2) + (3k-24) = 0

k2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k3 + 3) (k - 8) = 0

k2 + 3 = 0 alebo k - 8 = 0

k2 = -3 alebo k = 8

Všimnite si, že rovnica k 2 = - 3 nemá riešenie, pretože žiadne druhé číslo nie je menšie ako nula. Preto je jediným koreňom pôvodnej rovnice k = 8.

Príklad. Nájdite korene rovnice

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

Riešenie: Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu a potom ich zoskupte:

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0

(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0

(2u - 12) (u + 3) = 0

2u - 12 = 0 alebo u + 3 = 0

u = 6 alebo u = -3

Odpoveď: - 3; 6.

Príklad. Vyriešte rovnicu

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t2 - 5t) 2 - (30t - 6t2) = 0

(t2 – 5t)(t2 – 5t) + 6(t2 – 5t) = 0

(t2 - 5t) (t2 - 5t + 6) = 0

t2 - 5t = 0 alebo t2 - 5t + 6 = 0

t = 0 alebo t-5 = 0

t = 0 alebo t = 5

Teraz prejdime k druhej rovnici. Opäť tu máme kvadratickú trojčlenku. Ak ho chcete zahrnúť do faktorov pomocou metódy zoskupovania, musíte ho prezentovať ako súčet 4 výrazov. Ak vykonáte náhradu - 5t = - 2t - 3t, môžete výrazy ďalej zoskupiť:

t2 - 5t + 6 = 0

t2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t-2)-3(t-2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T-3 = 0 alebo t-2 = 0

t = 3 alebo t = 2

V dôsledku toho sme zistili, že pôvodná rovnica má 4 korene.

Vo všeobecnosti si táto úloha vyžaduje kreatívny prístup, pretože neexistuje univerzálna metóda na jej riešenie. Ale skúsme dať pár tipov.

V drvivej väčšine prípadov je faktorizácia polynómu založená na dôsledku Bezoutovej vety, to znamená, že koreň sa nájde alebo vyberie a stupeň polynómu sa zníži o jednu delením . Hľadá sa koreň výsledného polynómu a proces sa opakuje až do úplného rozšírenia.

Ak koreň nemožno nájsť, potom sa použijú špecifické metódy rozšírenia: od zoskupovania až po zavedenie ďalších vzájomne sa vylučujúcich výrazov.

Ďalšia prezentácia je založená na zručnostiach riešenia rovníc vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi.

Vymedzenie spoločného faktora.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď sa voľný člen rovná nule, čiže polynóm má tvar .

Je zrejmé, že koreň takéhoto polynómu je , to znamená, že polynóm môžeme reprezentovať v tvare .

Táto metóda nie je nič iné ako uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Príklad.

Faktor polynómu tretieho stupňa.

Riešenie.

Je zrejmé, čo je koreňom polynómu, tj X možno vyňať zo zátvoriek:

Poďme nájsť korene kvadratického trinomu

teda

Začiatok stránky

Rozdelenie polynómu s racionálnymi koreňmi.

Najprv uvažujme o metóde rozšírenia polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , koeficient najvyššieho stupňa sa rovná jednej.

V tomto prípade, ak má polynóm celé číslo, potom sú deliteľmi voľného člena.

Príklad.

Riešenie.

Skontrolujeme, či sú neporušené korene. Ak to chcete urobiť, zapíšte si deliteľa čísla -18 : . To znamená, že ak má polynóm celé číslo, patria medzi zapísané čísla. Skontrolujme tieto čísla postupne pomocou Hornerovej schémy. Jeho výhoda spočíva aj v tom, že nakoniec získame koeficienty expanzie polynómu:

teda x=2 A x = -3 sú korene pôvodného polynómu a môžeme ho reprezentovať ako súčin:

Zostáva rozšíriť kvadratický trinom.

Diskriminant tejto trojčlenky je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene.

odpoveď:

komentár:

Namiesto Hornerovej schémy by sa dal použiť výber koreňa a následné delenie polynómu polynómom.

Teraz zvážte rozšírenie polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , pričom koeficient najvyššieho stupňa sa nerovná jednej.

V tomto prípade môže mať polynóm zlomkové racionálne korene.

Príklad.

Zvážte výraz.

Riešenie.

Vykonaním premennej zmeny y=2x, prejdime k polynómu s koeficientom rovným jednej na najvyššom stupni. Ak to chcete urobiť, najprv vynásobte výraz číslom 4 .

Ak má výsledná funkcia celočíselné korene, potom patria medzi deliteľov voľného člena. Zapíšme si ich:

Poďme postupne vypočítať hodnoty funkcie g(y) v týchto bodoch, kým sa nedosiahne nula.

teda y = -5 je koreň , je teda koreňom pôvodnej funkcie. Rozdeľme polynóm stĺpcom (rohom) na dvojčlen.

teda

Neodporúča sa pokračovať v kontrole zostávajúcich deliteľov, pretože je jednoduchšie rozložiť výsledný kvadratický trinom

teda

Neznáme polynómy. Veta o rozdelení polynómov pri sčítaní neznámych. Kanonické usporiadanie polynómu.

Uvádza sa 8 príkladov faktoringových polynómov. Zahŕňajú príklady riešenia kvadratických a bikvadratických rovníc, príklady recipročných polynómov a príklady hľadania celých koreňov polynómov tretieho a štvrtého stupňa.

Obsah

Pozri tiež: Metódy faktorizácie polynómov
Korene kvadratickej rovnice
Riešenie kubických rovníc

1. Príklady s riešením kvadratickej rovnice

Príklad 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Vyberieme x 2 mimo zátvoriek:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korene rovnice:
, .

.

Príklad 1.2

Faktor polynómu tretieho stupňa:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Vyberme x zo zátvoriek:
.
Riešenie kvadratickej rovnice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant: .
Keďže diskriminant je nula, korene rovnice sú násobky: ;
.

Odtiaľ dostaneme faktorizáciu polynómu:
.

Príklad 1.3

Faktor polynómu piateho stupňa:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.

Vyberieme x 3 mimo zátvoriek:
.
Riešenie kvadratickej rovnice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant: .
Keďže diskriminant je menší ako nula, korene rovnice sú zložité: ;
, .

Faktorizácia polynómu má tvar:
.

Ak nás zaujíma faktorizácia s reálnymi koeficientmi, potom:
.

Príklady faktorizácie polynómov pomocou vzorcov

Príklady s bikvadratickými polynómami

Príklad 2.1

Faktor bikvadratického polynómu:
X 4 + x 2 - 20.

Aplikujme vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Príklad 2.2

Faktor polynóm, ktorý sa redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.

Aplikujme vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Príklad 2.3 s opakujúcim sa polynómom

Faktor recipročného polynómu:
.

Recipročný polynóm má nepárny stupeň. Preto má koreň x = - 1 . Vydeľte polynóm x - (-1) = x + 1. V dôsledku toho dostaneme:
.
Urobme náhradu:
, ;
;


;
.

Príklady faktorizácie polynómov s celočíselnými koreňmi

Príklad 3.1

Faktor polynómu:
.

Predpokladajme, že rovnica

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 – 6 3 2 + 11 3 – 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Takže sme našli tri korene:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Keďže pôvodný polynóm je tretieho stupňa, nemá viac ako tri korene. Keďže sme našli tri korene, sú jednoduché. Potom
.

Príklad 3.2

Faktor polynómu:
.

Predpokladajme, že rovnica

má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2 (člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
-2, -1, 1, 2 .
Tieto hodnoty nahrádzame jednu po druhej:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Takže sme našli jeden koreň:
X 1 = -1 .
Rozdeľte polynóm x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


potom
.

Teraz musíme vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2 (člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahradíme x = -1 :
.

Takže sme našli ďalší koreň x 2 = -1 . Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.

Polynóm je výraz pozostávajúci zo súčtu monomov. Tie sú súčinom konštanty (čísla) a koreňa (alebo koreňov) výrazu na mocninu k. V tomto prípade hovoríme o polynóme stupňa k. Rozšírenie polynómu zahŕňa transformáciu výrazu, v ktorom sú členy nahradené faktormi. Pozrime sa na hlavné spôsoby vykonania tohto druhu transformácie.

Metóda rozšírenia polynómu izoláciou spoločného činiteľa

Táto metóda je založená na zákonoch distribučného zákona. Takže mn + mk = m * (n + k).

• Príklad: expandovať 7r 2 + 2uy a 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7r 2 + 2uy = y * (7r + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m2 – 6m + 2l).

Faktor, ktorý je nevyhnutne prítomný v každom polynóme, však nemusí byť vždy nájdený, takže táto metóda nie je univerzálna.

Metóda rozšírenia polynómu založená na skrátených vzorcoch násobenia

Skrátené vzorce násobenia sú platné pre polynómy akéhokoľvek stupňa. Vo všeobecnosti výraz transformácie vyzerá takto:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kde k je zástupca prirodzené čísla.

V praxi sa najčastejšie používajú vzorce pre polynómy druhého a tretieho rádu:

u 2 – l 2 = (u – l) (u + l),

u 3 – l 3 = (u – l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 – ul + l 2).

• Príklad: rozšírenie 25p 2 – 144b 2 a 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64 m 3 – 8 l 3 = (4 m) 3 – (2 l) 3 = (4 m – 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m – 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2 ).

Metóda polynomického rozšírenia - zoskupenie členov výrazu

Táto metóda má určitým spôsobom niečo spoločné s technikou odvodenia spoločného faktora, má však určité rozdiely. Najmä pred izoláciou spoločného faktora by sa mali monomiály zoskupiť. Zoskupenie je založené na pravidlách kombinačných a komutatívnych zákonov.

Všetky monomiály uvedené vo výraze sú rozdelené do skupín, z ktorých každá má spoločnú hodnotu, takže druhý faktor bude rovnaký vo všetkých skupinách. Vo všeobecnosti možno túto metódu rozkladu znázorniť ako výraz:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Príklad: rozložené 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Metóda polynomickej expanzie - vytvorenie dokonalého štvorca

Táto metóda je jednou z najúčinnejších pri rozširovaní polynómu. V počiatočnom štádiu je potrebné určiť monomály, ktoré sa môžu „zrútiť“ na druhú mocninu rozdielu alebo súčtu. Ak to chcete urobiť, použite jeden zo vzťahov:

(p – b) 2 = p 2 – 2 pb + b 2,

• Príklad: rozviňte výraz u 4 + 4u 2 – 1.

Spomedzi jeho monomiálov vyberieme členy, ktoré tvoria úplný štvorec: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Dokončite transformáciu pomocou skrátených pravidiel násobenia: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

To. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5) (u 2 + 2 + √5).

Aby sme mohli faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa mohlo ďalej znižovať. Rozšírenie polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako dva. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Článok bude pokrývať všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.

teória

Veta 1

Keď ľubovoľný polynóm so stupňom n, ktorý má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n sú korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu x i, i = 1, 2, …, n a pre komplexné koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.

Keď koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, z čoho dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Komentujte

Korene polynómu sa môžu opakovať. Zoberme si dôkaz algebrickej vety, dôsledok Bezoutovej vety.

Základná veta algebry

Veta 2

Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.

Bezoutova veta

Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom dostaneme

Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1.

Dôsledok Bezoutovej vety

Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s, potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.

Rozdelenie kvadratického trinomu

Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť na lineárne faktory. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).

To ukazuje, že samotná expanzia sa redukuje na následné riešenie kvadratickej rovnice.

Príklad 1

Faktor kvadratického trinomu.

Riešenie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte pomocou vzorca nájsť hodnotu diskriminantu, potom dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtiaľ to máme

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po kontrole sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozklad bol vykonaný správne.

Príklad 2

Faktor kvadratického trinomu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .

Riešenie

Zistíme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Príklad 3

Vynásobte polynóm 2 x 2 + 1.

Riešenie

Teraz musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotná expanzia môže byť znázornená ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4

Rozlož kvadratickú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .

Riešenie

Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Po získaní koreňov píšeme

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentujte

Ak je diskriminačná hodnota záporná, potom polynómy zostanú polynómami druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozširovať na lineárne faktory.

Metódy faktorizácie polynómu stupňa vyššieho ako dva

Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu koreňa x 1 a znížiť jeho stupeň delením polynómom o 1 delením (x - x 1). Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.

Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma zahŕňa riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 = 0, potom je možné polynóm znázorniť ako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 5

Faktor polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Riešenie

Vidíme, že x 1 = 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme odstrániť x zo zátvoriek celého výrazu. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Potom z toho vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient najvyššieho stupňa je 1.

Keď má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.

Príklad 6

Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Riešenie

Zvážme, či existujú úplné korene. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete to skontrolovať pomocou Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:

Z toho vyplýva, že x = 2 a x = - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Pristúpime k rozvoju kvadratického trinómu v tvare x 2 + 2 x + 3.

Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.

odpoveď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentujte

Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Prejdime k úvahe o expanzii polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z ktorých najvyššia sa rovná jednej.

Tento prípad nastáva pre racionálne zlomky.

Príklad 7

Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Riešenie

Je potrebné nahradiť premennú y = 2 x, mali by ste prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé číslo, potom je ich umiestnenie medzi deliteľmi voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Prejdime k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme vo výsledku dostali nulu. Chápeme to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Zistíme, že y = - 5 je koreňom rovnice v tvare y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x = y 2 = - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.

Príklad 8

Je potrebné rozdeliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

Riešenie

Zapíšme si to a získame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie výsledný kvadratický trojčlen v tvare x 2 + 7 x + 3 rozložiť na faktor. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho vyplýva

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé techniky faktorizácie polynómu

Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozšírené alebo reprezentované ako súčin.

Metóda zoskupovania

Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho mimo zátvorky.

Príklad 9

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Riešenie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Pre kontrolu vezmite hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby ste vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozšírenia a riešenia.

Je potrebné zoskupiť:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu ho musíte reprezentovať ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentujte

Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje žiadna špecifická metóda riešenia, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.

Príklad 10

Faktor polynóm x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Riešenie

Daný polynóm nemá korene z celého čísla. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktorizácii to dostaneme

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie skrátených vzorcov na násobenie a Newtonovho binomu na faktor polynómu

Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, ktorá metóda by sa mala pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť čiaru pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.

Príklad 11

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Je potrebné previesť výraz do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .

To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Pozrime sa na výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadni rytieri, takže by sme mali znova použiť vzorec rozdielu štvorcov. Dostaneme vyjadrenie formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12

Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Riešenie

Začnime transformovať výraz. Chápeme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu

Pri nahradení premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozloží.

Príklad 13

Faktor polynóm tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .

Riešenie

Podľa podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3. Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že sme dosiahli požadovaný rozklad.

Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter