Prvá úroveň

Medián. Vizuálny sprievodca (2019)

1. Aký je medián?

Je to veľmi jednoduché!

Vezmite trojuholník:

Označte stred na jednej z jeho strán.

A pripojte sa k opačnému vrcholu!

Výsledný riadok a existuje medián.

2. Vlastnosti mediánu.

Aký druh dobré vlastnosti má medián?

1) Predstavme si, že trojuholník je pravouhlý. Sú také veci, však?

Prečo??? Čo s tým má spoločné pravý uhol?

Pozorne sledujme. Len nie trojuholník, ale...obdĺžnik. Prečo sa pýtaš?

Ale chodíte po Zemi - vidíte, že je okrúhla? Nie, samozrejme, aby ste to urobili, musíte sa pozrieť na Zem z vesmíru. Pozeráme sa teda na náš pravouhlý trojuholník „z vesmíru“.

Nakreslíme uhlopriečku:

Pamätáte si, že uhlopriečky obdĺžnika rovný A zdieľam priesečník na polovicu? (ak si nepamätáš, pozri si tému)

To znamená, že polovica druhej uhlopriečky je naša medián. Uhlopriečky sú rovnaké a ich polovice, samozrejme, tiež. To je to, čo dostaneme

Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, ale aby ste tomu uverili, zamyslite sa sami: existuje iný rovnobežník s rovnakými uhlopriečkami okrem obdĺžnika? Samozrejme, že nie! To znamená, že medián sa môže rovnať polovici strany iba v pravouhlom trojuholníku.

Pozrime sa, ako táto vlastnosť pomáha riešiť problémy.

Tu, úloha:
Do strán; . Kreslené zhora medián. Nájdite ak.

Hurá! Môžete použiť Pytagorovu vetu! Vidíte, aké je to skvelé? Keby sme to nevedeli medián rovná polovici strany

Aplikujeme Pytagorovu vetu:

2) A teraz si dajme nie jeden, ale celý tri mediány! Ako sa správajú?

Pamätaj si veľmi veľa dôležitý fakt:

ťažké? Pozri sa na obrázok:

Mediány a pretínajú sa v jednom bode.

A….(dokazujeme to v, ale zatiaľ Pamätajte!):

• - dvakrát toľko ako;
• - dvakrát toľko ako;
• - dvakrát toľko ako.

Si už unavený? Budete dosť silní na ďalší príklad? Teraz použijeme všetko, o čom sme hovorili!

Úloha: V trojuholníku sú nakreslené stredy a, ktoré sa pretínajú v bode. Nájdite ak

Nájdite pomocou Pytagorovej vety:

Teraz aplikujme poznatky o priesečníku mediánov.

Poďme si to zadefinovať. Segment, a. Ak nie je všetko jasné, pozrite sa na obrázok.

To sme už zistili.

Znamená, ; .

V probléme sa nás pýtajú na segment.

V našom zápise.

Odpoveď: .

Páčilo sa? Teraz skúste svoje znalosti o mediáne uplatniť sami!

MEDIAN. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

1. Strednica rozdeľuje stranu na polovicu.

To je všetko? Alebo možno delí niečo iné na polovicu? Predstav si to!

2. Veta: Medián delí plochu na polovicu.

prečo? Zapamätajme si najviac jednoduchá forma oblasť trojuholníka.

A tento vzorec aplikujeme dvakrát!

Pozrite, medián je rozdelený na dva trojuholníky: a. Ale! Majú rovnakú výšku -! Iba v tejto výške klesá na stranu a v - na strane pokračovania. Prekvapivo sa to tiež stáva: trojuholníky sú rôzne, ale výška je rovnaká. A teraz použijeme vzorec dvakrát.

Čo by to znamenalo? Pozri sa na obrázok. V skutočnosti sú v tejto vete dve tvrdenia. Všimli ste si to?

Prvý výrok: mediány sa pretínajú v jednom bode.

Druhé vyhlásenie: Priesečník mediánu je rozdelený v pomere, ktorý sa počíta od vrcholu.

Pokúsme sa odhaliť tajomstvo tejto vety:

Spojme bodky a. Čo sa stalo?

Teraz nakreslíme ďalšiu strednú čiaru: označte stred - vložte bodku, označte stred - vložte bodku.

Teraz - stredná čiara. Teda

1. paralelný;

Všimli ste si nejaké náhody? Obe a sú paralelné. A, a.

Čo z toho vyplýva?

1. paralelný;

Samozrejme, len pre rovnobežník!

To znamená, že ide o rovnobežník. No a čo? Pripomeňme si vlastnosti rovnobežníka. Čo viete napríklad o uhlopriečkach rovnobežníka? Je to tak, sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

Pozrime sa znova na kresbu.

To znamená, že medián je rozdelený bodkami na tri rovnaké časti. A presne to isté.

To znamená, že oba mediány boli oddelené bodom v pomere, teda a.

Čo sa stane s tretím mediánom? Vráťme sa na začiatok. Ó Bože?! Nie, teraz bude všetko oveľa kratšie. Vyhoďme medián a urobme mediány a.

Teraz si predstavte, že sme vykonali presne rovnaké úvahy ako pre mediány a. Čo potom?

Ukazuje sa, že medián rozdelí medián presne rovnakým spôsobom: v pomere, počítajúc od bodu.

Ale koľko bodov môže byť na segmente, ktorý ho delí v pomere, počítajúc od bodu?

Samozrejme, len jeden! A už sme to videli – o to ide.

Čo sa stalo na konci?

Medián rozhodne prešiel! Prešli ním všetky tri mediány. A všetci boli rozdelení v postoji, počítajúc zhora.

Tak sme vyriešili (dokázali) vetu. Riešením sa ukázal rovnobežník sediaci vo vnútri trojuholníka.

4. Vzorec pre strednú dĺžku

Ako zistiť dĺžku mediánu, ak sú strany známe? Si si istý, že to potrebuješ? Poďme otvoriť strašné tajomstvo: Tento vzorec nie je veľmi užitočný. Ale aj tak to napíšeme, ale nebudeme to dokazovať (ak máte záujem o dôkaz, pozrite si ďalšiu úroveň).

Ako môžeme pochopiť, prečo sa to deje?

Pozorne sledujme. Len nie trojuholník, ale obdĺžnik.

Uvažujme teda o obdĺžniku.

Všimli ste si, že náš trojuholník je presne polovica tohto obdĺžnika?

Nakreslíme uhlopriečku

Pamätáte si, že uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké a pretínajú priesečník? (ak si nepamätáš, pozri si tému)
Ale jedna z uhlopriečok je naša prepona! To znamená, že priesečník uhlopriečok je stredom prepony. Volalo sa to naše.

To znamená, že polovica druhej uhlopriečky je náš medián. Uhlopriečky sú rovnaké a ich polovice, samozrejme, tiež. To je to, čo dostaneme

Navyše sa to deje iba v pravouhlom trojuholníku!

Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, ale aby ste tomu uverili, pomyslite si sami: existuje nejaký iný rovnobežník s rovnakými uhlopriečkami okrem obdĺžnika? Samozrejme, že nie! To znamená, že medián sa môže rovnať polovici strany iba v pravouhlom trojuholníku. Pozrime sa, ako táto vlastnosť pomáha riešiť problémy.

Tu je úloha:

Do strán; . Medián je nakreslený z vrcholu. Nájdite ak.

Hurá! Môžete použiť Pytagorovu vetu! Vidíte, aké je to skvelé? Keby sme nevedeli, že medián je polovica strany len v pravouhlom trojuholníku, neexistuje spôsob, ako by sme mohli tento problém vyriešiť. A teraz môžeme!

Aplikujeme Pytagorovu vetu:

MEDIAN. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

1. Strednica rozdeľuje stranu na polovicu.

2. Veta: medián delí plochu na polovicu

4. Vzorec pre strednú dĺžku

Konverzná veta: ak sa medián rovná polovici strany, potom je trojuholník pravouhlý a tento medián je nakreslený k prepone.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 999 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

V druhom prípade dáme vám simulátor „6000 problémov s riešeniami a odpoveďami pre každú tému na všetkých úrovniach zložitosti“. Určite bude stačiť dostať do rúk riešenie problémov na akúkoľvek tému.

V skutočnosti je to oveľa viac ako len simulátor - celý tréningový program. V prípade potreby ho môžete využiť aj ZADARMO.

Prístup ku všetkým textom a programom je poskytovaný po CELÚ dobu existencie stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Poznámka. IN túto lekciu stanovené teoretické materiály a riešenie geometrických problémov na tému „stredná v pravouhlom trojuholníku“. Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Kurz bude takmer určite doplnený.

Vlastnosti mediánu správny trojuholník

Určenie mediánu

• Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia sa týmto bodom na dve časti v pomere 2:1, počítané od vrcholu uhla. Ich priesečník sa nazýva ťažisko trojuholníka (pomerne zriedkavo sa v problémoch používa na označenie tohto bodu výraz „ťažisko“).
• Medián rozdeľuje trojuholník na dva rovnako veľké trojuholníky.
• Trojuholník je rozdelený tromi stredmi na šesť rovnakých trojuholníkov.
• Väčšia strana trojuholníka zodpovedá menšiemu mediánu.

Geometrické problémy navrhnuté na riešenie využívajú hlavne nasledovné vlastnosti mediánu pravouhlého trojuholníka.

• Súčet štvorcov mediánov spadnutých na nohy pravouhlého trojuholníka sa rovná piatim štvorcom mediánu spadnutého na preponu (vzorec 1)
• Medián klesol na preponu pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony(Formula 2)
• Medián prepony pravouhlého trojuholníka je rovný polomeru kružnice opísanej okolo daný pravouhlý trojuholník (vzorec 2)
• Medián klesol na preponu je rovná polovici druhej odmocniny súčtu druhých mocnín nôh(Formula 3)
• Stredná hodnota znížená k prepone sa rovná podielu dĺžky nohy delenej dvoma sínusmi ostrého uhla oproti nohe (vzorec 4)
• Stredná hodnota znížená k prepone sa rovná podielu dĺžky nohy delenej dvoma kosínusmi ostrého uhla priľahlého k nohe (vzorec 4)
• Súčet druhých mocnín strán pravouhlého trojuholníka sa rovná ôsmim štvorcom mediánu zníženého na jeho preponu (vzorec 5)

Zápis vo vzorcoch:

a, b- nohy pravouhlého trojuholníka

c- prepona pravouhlého trojuholníka

Ak trojuholník označíme ako ABC, tak

BC = A

(teda strany a,b,c- sú opačné ako zodpovedajúce uhly)

m a- medián pritiahnutý k nohe a

m b- medián pritiahnutý k nohe b

m c - medián pravouhlého trojuholníka, ťahaný do prepony s

α (alfa)- uhol CAB opačná strana a

Problém s mediánom v pravouhlom trojuholníku

Stredy pravouhlého trojuholníka nakresleného na nohy sa rovnajú 3 cm a 4 cm. Nájdite preponu trojuholníka

Riešenie

Skôr ako začneme riešiť úlohu, venujme pozornosť pomeru dĺžky prepony pravouhlého trojuholníka a mediánu, ktorý je na ňu znížený. Aby sme to dosiahli, obráťme sa na vzorce 2, 4, 5 vlastnosti mediánu v pravouhlom trojuholníku. Tieto vzorce jasne označujú pomer prepony a mediánu, ktorý sa na ňu znižuje ako 1 ku 2. Preto pre pohodlie budúcich výpočtov (ktoré nijako neovplyvnia správnosť riešenia, ale zvýšia pohodlné), dĺžky nôh AC a BC označujeme premennými x a y ako 2x a 2y (nie x a y).

Zvážte pravouhlý trojuholník ADC. Uhol C je správny podľa podmienok úlohy, úsek AC je spoločný s trojuholníkom ABC a úsek CD sa rovná polovici BC podľa vlastností mediánu. Potom podľa Pytagorovej vety

AC 2 + CD 2 = AD 2

Pretože AC = 2x, CD = y (keďže medián rozdeľuje nohu na dve rovnaké časti), potom
4x 2 + y2 = 9

Súčasne zvážte pravouhlý trojuholník EBC. Má tiež pravý uhol C podľa podmienok úlohy, rameno BC je spoločné s ramenom BC pôvodného trojuholníka ABC a rameno EC sa podľa vlastnosti mediánu rovná polovici ramena AC pôvodného trojuholníka. ABC.
Podľa Pytagorovej vety:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Pretože EC = x (medián delí nohu na polovicu), BC = 2y, potom
x 2 + 4 roky 2 = 16

Keďže trojuholníky ABC, EBC a ADC sú spojené spoločnými stranami, obe výsledné rovnice spolu súvisia.
Vyriešme výslednú sústavu rovníc.
4x 2 + y2 = 9
x 2 + 4 roky 2 = 16

Medián je úsečka vedená od vrcholu trojuholníka do stredu protiľahlej strany, to znamená, že ho v priesečníku delí na polovicu. Bod, v ktorom stred pretína stranu oproti vrcholu, z ktorého vychádza, sa nazýva základňa. Každý stred trojuholníka prechádza jedným bodom, ktorý sa nazýva priesečník. Vzorec pre jeho dĺžku možno vyjadriť niekoľkými spôsobmi.

Vzorce na vyjadrenie dĺžky mediánu

• V úlohách z geometrie sa študenti často musia zaoberať segmentom, akým je napríklad stred trojuholníka. Vzorec pre jeho dĺžku je vyjadrený stranami:

kde a, b a c sú strany. Okrem toho c je strana, na ktorú pripadá medián. Takto to vyzerá jednoduchý vzorec. Pre pomocné výpočty sú niekedy potrebné mediány trojuholníka. Existujú aj iné vzorce.

• Ak sú počas výpočtu známe dve strany trojuholníka a určitý uhol α medzi nimi, potom dĺžka mediánu trojuholníka znížená na tretiu stranu bude vyjadrená nasledovne.

Základné vlastnosti

• Všetky mediány majú jeden spoločný priesečník O a sú ním delené v pomere dva ku jednej, ak sa počítajú od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
• Medián rozdeľuje trojuholník na dva ďalšie, ktorých obsah je rovnaký. Takéto trojuholníky sa nazývajú rovnaké plochy.
• Ak nakreslíte všetky stredy, trojuholník sa rozdelí na 6 rovnakých číslic, ktoré budú tiež trojuholníkmi.
• Ak sú všetky tri strany trojuholníka rovnaké, potom každý zo stredov bude tiež nadmorskou výškou a osou, to znamená kolmou na stranu, na ktorú je nakreslený, a rozdelí uhol, z ktorého vychádza.
• IN rovnoramenný trojuholník medián vypadnutý z vrcholu, ktorý je oproti strane, ktorá sa nerovná žiadnej inej, bude tiež nadmorská výška a os. Mediány poklesnuté z ostatných vrcholov sú rovnaké. To je tiež nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnoramenné.
• Ak je trojuholník základňou pravidelná pyramída, potom sa výška znížená na danú základňu premietne do priesečníka všetkých mediánov.

• V pravouhlom trojuholníku sa stred nakreslený na najdlhšiu stranu rovná polovici jeho dĺžky.
• Nech O je priesečník stredov trojuholníka. Vzorec uvedený nižšie bude platiť pre každý bod M.

• Medián trojuholníka má ďalšiu vlastnosť. Vzorec pre druhú mocninu jeho dĺžky cez druhé mocniny strán je uvedený nižšie.

Vlastnosti strán, na ktoré je nakreslený medián

• Ak spojíte ľubovoľné dva priesečníky mediánov so stranami, na ktorých sú vypustené, potom výsledný segment bude stredovou čiarou trojuholníka a bude jednou polovicou strany trojuholníka, s ktorou nemá spoločné body.
• Základy nadmorských výšok a mediánov v trojuholníku, ako aj stredy segmentov spájajúcich vrcholy trojuholníka s priesečníkom nadmorských výšok, ležia na tej istej kružnici.

Na záver je logické povedať, že jedným z najdôležitejších segmentov je medián trojuholníka. Jeho vzorec možno použiť na nájdenie dĺžok jeho ostatných strán.

1. Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

2. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

3. Celý trojuholník je rozdelený strednicami na šesť rovnakých trojuholníkov.

Vlastnosti osi trojuholníka

1. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla.

2. Osa vnútorného uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu na úsečky úmerné susedným stranám: .

3. Priesečník priesečníkov trojuholníka je stredom kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

Vlastnosti výšok trojuholníkov

1. V pravouhlom trojuholníku výška nakreslená od vrcholu pravý uhol, rozdelí ho na dva trojuholníky podobné pôvodnému.

2. B ostrý trojuholník jeho dve výšky sú odrezané podobne trojuholníky.

Vlastnosti odvesničiek trojuholníka

1. Každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od koncov tejto úsečky. Platí to aj naopak: každý bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov úsečky, leží na kolmici k nej.

2. Priesečník odvesničiek nakreslených na strany trojuholníka je stredom kružnice opísanej tomuto trojuholníku.

Vlastnosť strednej čiary trojuholníka

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s jednou z jeho strán a rovná sa polovici tejto strany.

Podobnosť trojuholníkov

Dva trojuholníky podobný ak platí jedna z nasledujúcich možností nasledujúcich podmienok, volal znaky podobnosti:

· dva uhly jedného trojuholníka sa rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka;

· dve strany jedného trojuholníka sú úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly, ktoré tieto strany zvierajú, sú rovnaké;

· tri strany jedného trojuholníka sú úmerné trom stranám iného trojuholníka.

V podobných trojuholníkoch sú príslušné čiary (nadmorské výšky, stredy, osi atď.) úmerné.

Sínusová veta

Kosínusová veta

a 2= b 2+ c 2- 2bc cos

Vzorce oblasti trojuholníka

1. Voľný trojuholník

a, b, c - strany; - uhol medzi stranami a A b; - poloobvod; R- polomer opísanej kružnice; r- polomer vpísanej kružnice; S- námestie; h a - výška nakreslená do strane a.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Správny trojuholník

a, b - nohy; c- hypotenzia; h c - výška ťahaná do strany c.

S = ch c S = ab

3. Rovnostranný trojuholník

Štvoruholníky

Vlastnosti rovnobežníka

· protiľahlé strany sú rovnaké;

· opačné uhly sú rovnaké;

· uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom;

· súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°;

Súčet štvorcov uhlopriečok sa rovná súčtu štvorcov všetkých strán:

d12 + d22 = 2 (a2 + b2).

Štvoruholník je rovnobežník, ak:

1. Jeho dve protiľahlé strany sú rovnaké a rovnobežné.

2. Opačné strany sú v pároch rovnaké.

3. Opačné uhly sú v pároch rovnaké.

4. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

Vlastnosti lichobežníka

· jeho stredná čiara je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu;

· ak je lichobežník rovnoramenný, potom sú jeho uhlopriečky rovnaké a uhly na základni sú rovnaké;

· ak je lichobežník rovnoramenný, potom okolo neho možno opísať kruh;

· ak sa súčet základov rovná súčtu strán, potom doň možno vpísať kružnicu.

Vlastnosti obdĺžnika

Uhlopriečky sú rovnaké.

Rovnobežník je obdĺžnik, ak:

1. Jeden z jeho uhlov je rovný.

2. Jeho uhlopriečky sú rovnaké.

Vlastnosti kosoštvorca

· všetky vlastnosti rovnobežníka;

Uhlopriečky sú kolmé;

Uhlopriečky sú osy jeho uhlov.

1. Rovnobežník je kosoštvorec, ak:

2. Jeho dve susedné strany sú rovnaké.

3. Jeho uhlopriečky sú kolmé.

4. Jedna z uhlopriečok je osou jej uhla.

Vlastnosti štvorca

· všetky rohy štvorca sú pravé;

· uhlopriečky štvorca sú rovnaké, vzájomne kolmé, priesečník pretína a pretína rohy štvorca.

Obdĺžnik je štvorec, ak má nejaké vlastnosti kosoštvorca.

Základné vzorce

1. Akýkoľvek konvexný štvoruholník
d 1,d 2 - uhlopriečky; - uhol medzi nimi; S- námestie.

S = d 1 d 2 hriech

Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke (pozri obr. 1).

Základné prvky trojuholníka abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

Uhly – α, β, γ tvorené tromi pármi strán. Uhly sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy s písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútornej oblasti, sa nazýva vnútorný uhol a ten, ktorý k nemu susedí, je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa berú do úvahy aj ďalšie segmenty so zaujímavými vlastnosťami: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka- sú to kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vykresliť výšku, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená od vrcholu ostrého uhla v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku od bodu k tejto čiare a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Bod, kde nadmorská výška pretína stranu trojuholníka, sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšok trojuholníkov

V pravouhlom trojuholníku nadmorská výška nakreslená od vrcholu pravého uhla ho rozdeľuje na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve nadmorské výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a v tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na pokračovanie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

Mediány(z lat. mediana – „stred“) – sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka s opačným vrcholom, spojte úsečkou.

Vlastnosti stredov trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

Bisectors(z latinského bis - dvakrát a seko - rez) sú úsečky priamej čiary uzavreté vo vnútri trojuholníka, ktoré rozdeľujú jeho uhly (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osi trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorného a vonkajšieho uhla sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína rozšírenie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jednej vnútornej a dvoch vonkajšie rohy trojuholníky sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osi vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné protiľahlé strany, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.