Hypotéza rovinných rezov pri ohýbaní možno vysvetliť na príklade: aplikujme mriežku pozostávajúcu z pozdĺžnych a priečnych (kolmých na os) priamych čiar na bočnú plochu nedeformovaného nosníka. V dôsledku ohybu nosníka nadobudnú pozdĺžne čiary zakrivený obrys, zatiaľ čo priečne čiary zostanú prakticky rovné a kolmé na zakrivenú os nosníka.

Formulácia hypotézy rovinného rezu: prierezy, ktoré sú ploché a kolmé na os nosníka pred , zostávajú ploché a kolmé na zakrivenú os po jeho deformácii.

Táto okolnosť naznačuje: pri splnení hypotéza rovinného rezu, ako s a

Okrem hypotézy plochých rezov sa akceptuje predpoklad: pozdĺžne vlákna nosníka sa pri ohybe na seba netlačia.

Nazýva sa hypotéza a predpoklad rovinného rezu Bernoulliho hypotéza.

Uvažujme lúč obdĺžnikového prierezu, ktorý prechádza čistým ohybom (). Vyberieme nosníkový prvok s dĺžkou (obr. 7.8.a). V dôsledku ohýbania sa prierezy lúča otáčajú a vytvárajú uhol. Horné vlákna sú stlačené a spodné vlákna sú napínané. Polomer zakrivenia neutrálneho vlákna označujeme ako .

Bežne predpokladáme, že vlákna menia svoju dĺžku, pričom zostávajú rovné (obr. 7.8. b). Potom absolútne a relatívne predĺženie vlákno umiestnené vo vzdialenosti y od neutrálneho vlákna:

Ukážme, že pozdĺžne vlákna, ktoré pri ohybe lúča nie sú ťahané ani stláčané, prechádzajú hlavnou stredovou osou x.

Keďže dĺžka nosníka sa pri ohýbaní nemení, pozdĺžna sila (N) vznikajúca v priereze musí byť nulová. Elementárna pozdĺžna sila.

Vzhľadom na výraz :

Faktor možno odobrať zo znamienka integrálu (nezávisí od integračnej premennej).

Výraz predstavuje prierez lúča okolo neutrálnej osi x. Je nulový, keď neutrálna os prechádza ťažiskom prierezu. V dôsledku toho neutrálna os (nulová čiara) pri ohybe lúča prechádza cez ťažisko prierezu.

Je zrejmé: ohybový moment je spojený s normálovými napätiami vznikajúcimi v bodoch v priereze tyče. Elementárny ohybový moment vytvorený elementárnou silou:

,

kde je osový moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na neutrálnu os x a pomer je zakrivenie osi lúča.

Tuhosť nosníky v ohýbaní(čím väčší, tým menší je polomer zakrivenia).

Výsledný vzorec predstavuje Hookov zákon o ohybe pre tyč: Ohybový moment vyskytujúci sa v priereze je úmerný zakriveniu osi nosníka.

Vyjadrenie polomeru zakrivenia () zo vzorca Hookovho zákona pre tyč počas ohýbania a dosadenie jeho hodnoty do vzorca , získame vzorec pre normálové napätia () v ľubovoľnom bode prierezu nosníka, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti y od neutrálnej osi x: .

Vo vzorci pre normálne napätia () v ľubovoľnom bode v priereze lúča by sa mali nahradiť absolútne hodnoty ohybového momentu () a vzdialenosť od bodu k neutrálnej osi (súradnice y). Či bude napätie v danom bode ťahové alebo tlakové, sa dá ľahko určiť podľa charakteru deformácie nosníka alebo podľa diagramu ohybových momentov, ktorých súradnice sú vynesené na strane stlačených vlákien nosníka.

Zo vzorca je zrejmé: normálové napätia () sa menia pozdĺž výšky prierezu nosníka podľa lineárneho zákona. Na obr. 7.8, ukazuje diagram. Najväčšie napätia pri ohybe nosníka sa vyskytujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. Ak je v priereze lúča nakreslená čiara rovnobežná s neutrálnou osou x, potom vo všetkých jej bodoch vznikajú rovnaké normálové napätia.

Jednoduchá analýza diagramy normálneho napätia ukazuje, že keď sa lúč ohýba, materiál umiestnený v blízkosti neutrálnej osi prakticky nefunguje. Preto, aby sa znížila hmotnosť nosníka, sa odporúča zvoliť tvary prierezu, v ktorých je väčšina materiálu odstránená z neutrálnej osi, napríklad I-profil.

Ohnúť



Základné pojmy o ohýbaní

Deformácia ohybom je charakterizovaná stratou priamosti alebo pôvodného tvaru čiarou lúča (jej osou) pri pôsobení vonkajšieho zaťaženia. V tomto prípade, na rozdiel od šmykovej deformácie, čiara lúča plynulo mení svoj tvar.
Je ľahké vidieť, že odolnosť proti ohybu je ovplyvnená nielen plochou prierezu nosníka (nosník, tyč atď.), Ale aj geometrickým tvarom tohto úseku.

Pretože ohýbanie telesa (nosníka, dreva atď.) sa vykonáva vzhľadom na ktorúkoľvek os, odolnosť proti ohybu je ovplyvnená hodnotou axiálneho momentu zotrvačnosti časti telesa vzhľadom na túto os.
Pre porovnanie, pri torznej deformácii je časť telesa vystavená krúteniu vzhľadom na pól (bod), preto je odolnosť voči krúteniu ovplyvnená polárnym momentom zotrvačnosti tejto časti.

Mnoho konštrukčných prvkov sa môže ohnúť - nápravy, hriadele, nosníky, ozubenie, páky, tyče atď.

Pri pevnosti materiálov sa uvažuje o niekoľkých typoch ohybov:
- v závislosti od charakteru vonkajšieho zaťaženia pôsobiaceho na nosník existujú čistý ohyb A priečne ohýbanie;
- v závislosti od polohy roviny pôsobenia ohybového zaťaženia vzhľadom na os nosníka - rovný zákrut A šikmý ohyb.

Čisté a priečne ohýbanie lúča

Čisté ohýbanie je typ deformácie, pri ktorej sa v akomkoľvek priereze nosníka vyskytuje iba ohybový moment ( ryža. 2).
Čistá deformácia ohybom nastane napr priamy lúč v rovine prechádzajúcej cez os pôsobia dve dvojice síl rovnakej veľkosti a opačného znamienka. Potom v každom úseku nosníka budú pôsobiť iba ohybové momenty.

Ak dôjde k ohybu v dôsledku pôsobenia priečnej sily na nosník ( ryža. 3), potom sa takýto ohyb nazýva priečny. V tomto prípade v každom úseku nosníka pôsobí priečna sila aj ohybový moment (okrem úseku, na ktorý pôsobí vonkajšie zaťaženie).

Ak má nosník aspoň jednu os symetrie a rovina pôsobenia zaťažení sa s ňou zhoduje, dôjde k priamemu ohybu, ale ak táto podmienka nie je splnená, dôjde k šikmému ohybu.

Pri štúdiu ohybovej deformácie si v duchu predstavíme, že trám (drevo) pozostáva z nespočetného množstva pozdĺžnych vlákien rovnobežných s osou.
Na vizualizáciu deformácie priameho ohybu vykonáme experiment s gumenou tyčou, na ktorej je aplikovaná mriežka pozdĺžnych a priečnych čiar.
Po vystavení takéhoto lúča priamemu ohybu si možno všimnúť, že ( ryža. 1):

Priečne čiary zostanú počas deformácie rovné, ale budú sa navzájom otáčať pod uhlom;
- úseky nosníka sa na konkávnej strane roztiahnu v priečnom smere a na konvexnej strane sa zúžia;
- pozdĺžne priamky sa budú ohýbať.

Z tejto skúsenosti môžeme usúdiť, že:

Pre čisté ohýbanie platí hypotéza rovinných rezov;
- vlákna ležiace na konvexnej strane sú natiahnuté, na konkávnej strane stlačené a na hranici medzi nimi je neutrálna vrstva vlákien, ktoré sa len ohýbajú bez zmeny dĺžky.

Za predpokladu, že platí hypotéza, že na vlákna nepôsobí tlak, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe v priereze nosníka vznikajú len normálne ťahové a tlakové napätia, nerovnomerne rozložené po priereze.
Priamka priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu sa nazýva neutrálna os. Je zrejmé, že na neutrálnej osi sú normálové napätia nulové.

Ohybový moment a šmyková sila

Ako je známe z teoretická mechanika, podporné reakcie nosníkov sú určené skladaním a riešením rovníc statickej rovnováhy pre celý nosník. Pri riešení problémov odolnosti materiálov a určovaní súčiniteľov vnútornej sily v nosníkoch sme brali do úvahy reakcie spojov spolu s vonkajším zaťažením pôsobiacim na nosníky.
Na určenie súčiniteľov vnútornej sily použijeme metódu rezu a nosník znázorníme len jednou čiarou - osou, na ktorú pôsobia aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakcie).

Zoberme si dva prípady:

1. Na nosník pôsobia dve dvojice síl rovnakého a opačného znamienka.
Berúc do úvahy rovnováhu časti lúča umiestnenej vľavo alebo vpravo od časti 1-1 (obr. 2), vidíme, že vo všetkých prierezoch nastáva iba ohybový moment M a rovný vonkajšiemu momentu. Ide teda o prípad čistého ohýbania.

Ohybový moment je výsledný moment okolo neutrálnej osi vnútorných normálových síl pôsobiacich v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že ohybový moment má iný smer pre ľavú a pravú časť lúča. To poukazuje na nevhodnosť pravidla statického znamienka pri určovaní znamienka ohybového momentu.

2. Aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakčné reakcie) kolmé na os pôsobia na nosník (ryža. 3). Vzhľadom na rovnováhu častí lúča umiestnených vľavo a vpravo vidíme, že ohybový moment M musí pôsobiť v prierezoch A a šmyková sila Q.
Z toho vyplýva, že v posudzovanom prípade sú v bodoch prierezov nielen normálové napätia zodpovedajúce ohybovému momentu, ale aj tangenciálne napätia zodpovedajúce priečnej sile.

Priečna sila je výslednicou vnútorných tangenciálnych síl v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že priečna sila má opačný smer pre ľavú a pravú časť nosníka, čo poukazuje na nevhodnosť pravidla statického znamienka pri určovaní znamienka priečnej sily.

Ohyb, pri ktorom v priereze nosníka pôsobí ohybový moment a šmyková sila, sa nazýva priečny.



Pri lúči v rovnováhe s pôsobením vody plochý systém sily, algebraický súčet momentov všetkých aktívnych a reaktívnych síl vzhľadom na ľubovoľný bod sa rovná nule; preto súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
teda ohybový moment v reze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov vzhľadom na ťažisko rezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník vpravo alebo vľavo od rezu.

Pre nosník v rovnováhe pri pôsobení rovinnej sústavy síl kolmých na os (t.j. sústavy rovnobežných síl) je algebraický súčet všetkých vonkajších síl rovný nule; preto súčet vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná algebraickému súčtu síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
teda priečna sila v sekcii nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich vpravo alebo vľavo od sekcie.

Keďže pravidlá statických znakov sú neprijateľné pre stanovenie znakov ohybového momentu a šmykovej sily, zavedieme pre ne iné znakové pravidlá, a to: Ak má vonkajšie zaťaženie tendenciu ohýbať nosník svojou konvexnosťou smerom nadol, potom ohybový moment v prierez sa považuje za kladný a naopak, ak má vonkajšie zaťaženie tendenciu ohýbať nosník konvexne nahor, potom sa ohybový moment v priereze považuje za negatívny ( Obr. 4,a).

Ak súčet vonkajších síl ležiacich na ľavej strane rezu dáva výslednicu smerujúcu nahor, potom sa priečna sila v reze považuje za pozitívnu, ak výslednica smeruje nadol, potom sa priečna sila v reze považuje za negatívnu; pre časť nosníka umiestnenú napravo od rezu budú znaky šmykovej sily opačné ( ryža. 4,b). Pomocou týchto pravidiel by ste si mali v duchu predstaviť časť lúča ako pevne zovretú a spojenia ako vyradené a nahradené reakciami.

Ešte raz si všimnime, že na určenie reakcií väzieb sa používajú pravidlá znakov statiky a na určenie znakov ohybového momentu a priečnej sily pravidlá znakov odolnosti materiálov.
Znakové pravidlo pre ohybové momenty sa niekedy nazýva „dažďové pravidlo“, čo znamená, že v prípade konvexnosti smerom nadol sa vytvorí lievik, v ktorom dažďovej vody(znamienko je kladné) a naopak - ak sa pod vplyvom zaťaženia lúč ohýba oblúkom nahor, voda na ňom nezostáva (znamienko ohybových momentov je záporné).

Materiály zo sekcie "Ohýbanie":

Ohnúť nazývaná deformácia tyče, sprevádzaná zmenou zakrivenia jej osi. Tyč, ktorá sa ohýba, je tzv lúč.

V závislosti od spôsobov aplikácie zaťaženia a spôsobov zaistenia tyče môžu nastať problémy. rôzne druhy ohýbanie

Ak pod vplyvom zaťaženia vznikne v priereze tyče iba ohybový moment, potom sa ohyb nazýva čisté.

Ak v prierezoch spolu s ohybovými momentmi vznikajú aj priečne sily, potom sa nazýva ohyb priečne.

Ak vonkajšie sily ležia v rovine prechádzajúcej jednou z hlavných stredových osí prierezu tyče, ohyb sa nazýva jednoduché alebo plochý. V tomto prípade ležia zaťaženie a deformovaná os v rovnakej rovine (obr. 1).

Ryža. 1

Aby nosník mohol niesť zaťaženie v rovine, musí byť zaistený pomocou podpier: sklopné-pohyblivé, kĺbovo-pevné alebo utesnené.

Nosník musí byť geometricky nezmenený, pričom najmenší počet spojov je 3. Príklad geometricky premennej sústavy je na obr. 2a. Príkladom geometricky nemenných systémov je Obr. 2b, c.

a B C)

V nosičoch dochádza k reakciám, ktoré sú určené z podmienok statickej rovnováhy. Reakcie v podperách sú vonkajšie zaťaženia.

Vnútorné ohybové sily

Tyč zaťažená silami kolmými na pozdĺžnu os nosníka sa ohýba v rovine (obr. 3). V prierezoch vznikajú dve vnútorné sily: šmyková sila Qy a ohybový moment Mz.

Vnútorné sily sú určené rezovou metódou. Na diaľku X z bodu A Tyč je rozrezaná na dve časti rovinou kolmou na os X. Jedna z častí lúča sa vyhodí. Vzájomné pôsobenie častí nosníka je nahradené vnútornými silami: ohybový moment Mz a šmykovú silu Qy(obr. 4).

Vnútorné úsilie Mz A Qy prierez sa určí z podmienok rovnováhy.

Pre súčiastku sa zostrojí rovnovážna rovnica S:

∑r = RA – P 1 – Q y = 0.

Potom Qy = R A – P1.

Záver. Priečna sila v ľubovoľnom reze lúča sa rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl ležiacich na jednej strane prierezu. Priečna sila sa považuje za pozitívnu, ak otáča tyč vzhľadom na bod prierezu v smere hodinových ručičiek.

∑M 0 = R A ∙ X – P 1 ∙ (X - a) – Mz = 0

Potom Mz = R A ∙ X – P 1 ∙ (X – a)

1. Stanovenie reakcií R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑MB = RA ∙ e – P ∙ a = 0

2. Konštrukcia diagramov v prvej časti 0 ≤ X 1 ≤ a

Qy = RA =; Mz = RA∙ x 1

xi = 0 Mz(0) = 0

xi = a Mz (a) =

3. Konštrukcia diagramov v druhej časti 0 ≤ X 2 ≤ b

Qy = - R B = - ; Mz = R B ∙ X 2 ; X 2 = 0 Mz(0) = 0 X 2 = bMz(b) =

Pri stavbe Mz kladné súradnice budú uložené smerom k natiahnutým vláknam.

Kontrola diagramov

1. Na diagrame Qy prietrže môžu nastať len v miestach, kde pôsobia vonkajšie sily a veľkosť skoku musí zodpovedať ich veľkosti.

+ = = P

2. Na diagrame Mz Diskontinuity vznikajú v miestach, kde sa uplatňujú sústredené momenty a veľkosť skoku sa rovná ich veľkosti.

Diferenciálne závislosti medziM, QAq

Medzi ohybovým momentom, šmykovou silou a intenzitou rozloženého zaťaženia boli stanovené nasledujúce vzťahy:

q = , Qy =

kde q je intenzita rozloženého zaťaženia,

Kontrola pevnosti v ohybe nosníkov

Na posúdenie pevnosti tyče v ohybe a výber časti nosníka sa používajú podmienky pevnosti založené na normálových napätiach.

Ohybový moment je výsledný moment normálových vnútorných síl rozložených po priereze.

s = × r,

kde s je normálové napätie v ktoromkoľvek bode prierezu,

r- vzdialenosť od ťažiska úseku k bodu,

Mz– ohybový moment pôsobiaci v reze,

J z– axiálny moment zotrvačnosti tyče.

Na zabezpečenie pevnosti sa vypočítajú maximálne napätia, ktoré sa vyskytujú v bodoch prierezu najvzdialenejších od ťažiska r = ymax

s max = × ymax,

= W z a s max = .

Potom má podmienka pevnosti pre normálne napätia tvar:

s max = ≤ [s],

kde [s] je dovolené napätie v ťahu.

Začneme najjednoduchším prípadom, takzvaným čistým ohybom.

Čistý ohyb existuje špeciálny prípad ohybu, pri ktorom je priečna sila v úsekoch nosníka nulová. K čistému ohybu môže dôjsť len vtedy, keď je vlastná hmotnosť nosníka taká malá, že jej vplyv možno zanedbať. Pre nosníky na dvoch podperách príklady zaťažení spôsobujúce čisté

ohýbanie, znázornené na obr. 88. V rezoch týchto trámov, kde Q = 0, a teda M = konšt; prebieha čisté ohýbanie.

Sily v ktoromkoľvek úseku lúča pri čistom ohybe sa redukujú na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia prechádza osou lúča a moment je konštantný.

Napätie je možné určiť na základe nasledujúcich úvah.

1. Tangenciálne zložky síl pozdĺž elementárnych plôch v priereze nosníka nemožno redukovať na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia je kolmá na rovinu rezu. Z toho vyplýva, že ohybová sila v reze je výsledkom pôsobenia pozdĺž elementárnych plôch

iba normálové sily, a preto sa pri čistom ohybe napätia redukujú len na normál.

2. Aby sa úsilie na elementárnych miestach zredukovalo len na pár síl, medzi nimi musia byť pozitívne aj negatívne. Preto musia existovať ťahové aj tlakové vlákna nosníka.

3. Vzhľadom na to, že sily v rôznych rezoch sú rovnaké, napätia v zodpovedajúcich bodoch rezov sú rovnaké.

Uvažujme nejaký prvok blízko povrchu (obr. 89, a). Keďže pozdĺž jeho spodného okraja, ktorý sa zhoduje s povrchom nosníka, nepôsobia žiadne sily, nevznikajú na ňom žiadne napätia. Na hornom okraji prvku teda nevznikajú žiadne napätia, pretože inak by prvok nebol v rovnováhe Vzhľadom na výšku prvku, ktorý k nemu prilieha (obr. 89, b), dospejeme k

Rovnaký záver atď. Z toho vyplýva, že pozdĺž vodorovných hrán žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Ak vezmeme do úvahy prvky, ktoré tvoria vodorovnú vrstvu, počnúc prvkom v blízkosti povrchu nosníka (obr. 90), dospejeme k záveru, že pozdĺž bočných zvislých hrán žiadneho prvku nevznikajú žiadne napätia. Preto by mal byť stav napätia akéhokoľvek prvku (obr. 91, a) a v limite vlákien reprezentovaný tak, ako je znázornené na obr. 91,b, t.j. môže to byť buď axiálne napätie alebo axiálna kompresia.

4. Vzhľadom na symetriu pôsobenia vonkajších síl by mala časť pozdĺž stredu dĺžky nosníka po deformácii zostať plochá a kolmá na os nosníka (obr. 92, a). Z rovnakého dôvodu zostávajú úseky v štvrtinách dĺžky nosníka tiež ploché a kolmé na os nosníka (obr. 92, b), pokiaľ krajné úseky nosníka počas deformácie nezostanú ploché a kolmé na os nosníka. lúč. Podobný záver platí pre úseky v osminách dĺžky nosníka (obr. 92, c) atď. V dôsledku toho, ak počas ohýbania zostanú vonkajšie úseky nosníka ploché, potom pre ktorýkoľvek úsek zostane

Je spravodlivé tvrdenie, že po deformácii zostáva plochý a kolmý na os zakriveného nosníka. Ale v tomto prípade je zrejmé, že zmena predĺženia vlákien lúča pozdĺž jeho výšky by mala nastať nielen nepretržite, ale aj monotónne. Ak vrstvu nazývame súbor vlákien s rovnakými predĺženiami, potom z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že natiahnuté a stlačené vlákna lúča by mali byť umiestnené pozdĺž rôzne strany z vrstvy, v ktorej sú predĺženia vlákna nulové. Vlákna, ktorých predĺženie je nulové, budeme nazývať neutrálne; vrstva pozostávajúca z neutrálnych vlákien je neutrálna vrstva; čiara priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu lúča - neutrálna čiara tohto rezu. Potom, na základe predchádzajúcej úvahy, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe lúča je v každej sekcii neutrálna čiara, ktorá rozdeľuje túto sekciu na dve časti (zóny): zónu natiahnutých vlákien (natiahnutá zóna) a zóna stlačených vlákien (stlačená zóna ). V súlade s tým by v bodoch napnutej zóny úseku mali pôsobiť normálne ťahové napätia, v bodoch stlačenej zóny tlakové napätia a v bodoch neutrálnej čiary sú napätia rovné nule.

Takže s čistým ohybom lúča konštantného prierezu:

1) v úsekoch pôsobia iba normálové napätia;

2) celý úsek je možné rozdeliť na dve časti (zóny) - natiahnuté a stlačené; hranicou zón je neutrálna čiara rezu, v bodoch ktorej sú normálové napätia rovné nule;

3) ktorýkoľvek pozdĺžny prvok nosníka (v medziach akékoľvek vlákno) je vystavený axiálnemu ťahu alebo stlačeniu, takže susedné vlákna navzájom neinteragujú;

4) ak krajné časti lúča počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os, potom všetky jeho prierezy zostanú ploché a kolmé na os zakriveného lúča.

Stav napätia nosníka pri čistom ohybe

Uvažujme prvok nosníka, ktorý je vystavený čistému ohybu, na záver nachádzajúce sa medzi úsekmi m-m a n-n, ktoré sú od seba vzdialené v nekonečne malej vzdialenosti dx (obr. 93). Vzhľadom na polohu (4) predchádzajúceho odseku, úseky m- m a n - n, ktoré boli pred deformáciou rovnobežné, po ohnutí zostali ploché, budú zvierať uhol dQ a pretínajú sa pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom C, ktorý je stred zakrivenia neutrálne vlákno NN. Potom sa časť AB vlákna uzavretá medzi nimi, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti z od neutrálneho vlákna (kladný smer osi z je pri ohýbaní smerovaná ku konvexnosti lúča), sa po deformácii zmení na oblúk AB kus neutrálneho vlákna O1O2, ktorý sa zmenil na oblúk, O1O2 nezmení svoju dĺžku, zatiaľ čo vlákno AB dostane predĺženie:

pred deformáciou

po deformácii

kde p je polomer zakrivenia neutrálneho vlákna.

Preto sa absolútne predĺženie segmentu AB rovná

a relatívne predĺženie

Pretože podľa polohy (3) je vlákno AB vystavené axiálnemu napätiu, potom počas elastickej deformácie

To ukazuje, že normálové napätia pozdĺž výšky nosníka sú rozdelené podľa lineárneho zákona (obr. 94). Keďže rovnaká sila všetkých síl na všetky elementárne úseky úseku sa musí rovnať nule, potom

odkiaľ, dosadením hodnoty z (5.8), nájdeme

Ale posledný integrál je statický moment okolo osi Oy, kolmý na rovinu pôsobenia ohybových síl.

Táto os musí vzhľadom na svoju rovnosť nule prechádzať ťažiskom O rezu. Neutrálnou čiarou rezu lúča je teda priamka y, kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Nazýva sa neutrálna os časti lúča. Potom z (5.8) vyplýva, že napätia v bodoch ležiacich v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi sú rovnaké.

Prípad čistého ohybu, v ktorom ohybové sily pôsobia iba v jednej rovine, pričom spôsobujú ohyb iba v tejto rovine, je rovinný čistý ohyb. Ak uvedená rovina prechádza osou Oz, potom by sa moment elementárnych síl vzhľadom na túto os mal rovnať nule, t.j.

Ak tu dosadíme hodnotu σ z (5.8), zistíme

Integrál na ľavej strane tejto rovnosti, ako je známe, je odstredivý moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na osi y a z, takže

Osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti úseku nulový, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti tohto úseku. Ak navyše prechádzajú ťažiskom úseku, možno ich nazvať hlavnými stredovými osami zotrvačnosti úseku. Pri plochom čistom ohybe sú teda smer roviny pôsobenia ohybových síl a neutrálna os prierezu hlavnými stredovými osami zotrvačnosti tohto prierezu. Inými slovami, na získanie plochého čistého ohybu nosníka naň nemôže byť ľubovoľne aplikované zaťaženie: musí sa zredukovať na sily pôsobiace v rovine, ktorá prechádza jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcií nosníka. lúč; v tomto prípade bude ďalšou hlavnou stredovou osou zotrvačnosti neutrálna os úseku.

Ako je známe, v prípade úseku, ktorý je symetrický okolo akejkoľvek osi, je os symetrie jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti. V dôsledku toho v tomto konkrétnom prípade určite získame čistý ohyb aplikovaním vhodných zaťažení v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a osou symetrie jeho rezu. Priamka kolmá na os súmernosti a prechádzajúca ťažiskom úseku je neutrálnou osou tohto úseku.

Po určení polohy neutrálnej osi nie je ťažké nájsť veľkosť napätia v ktoromkoľvek bode rezu. V skutočnosti, keďže súčet momentov elementárnych síl vzhľadom na neutrálnu os yy sa musí rovnať ohybovému momentu, potom

odkiaľ, dosadením hodnoty σ z (5.8), zistíme

Keďže integrál je moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na os yy, potom

a z výrazu (5.8) dostaneme

Súčin EI Y sa nazýva ohybová tuhosť nosníka.

Najväčšie ťahové a najväčšie tlakové napätia v absolútnej hodnote pôsobia v bodoch úseku, pre ktorý je najväčšia absolútna hodnota z, t.j. v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. So zápisom, Obr. Máme 95

Hodnota Jy/h1 sa nazýva moment odolnosti úseku proti ťahu a označuje sa Wyr; podobne sa Jy/h2 nazýva moment odporu úseku proti stlačeniu

a označujú Wyc, tak

a preto

Ak je neutrálna os osou symetrie rezu, potom h1 = h2 = h/2, a teda Wyp = Wyc, nie je potrebné ich rozlišovať a používajú rovnaké označenie:

volaním W y jednoducho moment odporu sekcie V dôsledku toho v prípade sekcie symetrickej okolo neutrálnej osi,

Všetky vyššie uvedené závery boli získané na základe predpokladu, že prierezy nosníka, keď sú ohnuté, zostávajú ploché a kolmé na jeho os (hypotéza plochých sekcií). Ako bolo ukázané, tento predpoklad platí len v prípade, keď krajné (koncové) časti nosníka zostanú pri ohýbaní ploché. Na druhej strane z hypotézy rovinných rezov vyplýva, že elementárne sily v takýchto rezoch by mali byť rozdelené podľa lineárneho zákona. Preto pre platnosť výslednej teórie plochého čistého ohybu je potrebné, aby ohybové momenty na koncoch nosníka boli aplikované vo forme elementárnych síl rozložených po výške prierezu podľa lineárneho zákona (obr. 96), čo sa zhoduje so zákonom rozloženia napätia pozdĺž výšky priečnych nosníkov. Na základe Saint-Venantovho princípu však možno tvrdiť, že zmena spôsobu aplikácie ohybových momentov na koncoch nosníka spôsobí len lokálne deformácie, ktorých účinok ovplyvní len určitú vzdialenosť od týchto koncov (približne rovnakú do výšky sekcie). Časti umiestnené po celej dĺžke lúča zostanú ploché. V dôsledku toho uvedená teória plochého čistého ohybu pre akýkoľvek spôsob aplikácie ohybových momentov platí iba v strednej časti dĺžky nosníka, umiestnenej od jeho koncov vo vzdialenostiach približne rovnakých ako výška prierezu. Odtiaľ je zrejmé, že táto teória je zjavne nepoužiteľná, ak výška úseku presahuje polovicu dĺžky alebo rozpätia nosníka.

Rovný zákrut. Rovinný priečny ohyb Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Zostrojenie diagramov Q a M pomocou rovníc Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov (bodov) Výpočty pevnosti pri rovný zákrut nosníky Hlavné napätia pri ohýbaní. Kompletná kontrola pevnosti nosníkov Koncepcia stredu ohybu. Pojmy deformácie nosníkov a podmienky ich tuhosti Diferenciálnej rovnice zakrivená os nosníka Metóda priamej integrácie Príklady určenia posunov v nosníkoch metódou priamej integrácie Fyzický význam integračné konštanty Metóda počiatočných parametrov (univerzálna rovnica zakrivenej osi nosníka). Príklady určenia posunov v nosníku metódou počiatočných parametrov Určenie posunov pomocou Mohrovej metódy. Pravidlo A.K. Vereščagin. Výpočet Mohrovho integrálu podľa pravidla A.K. Vereshchagina Príklady určenia posunov pomocou Mohrovho integrálu Bibliografia Priame ohýbanie. Plochý priečny ohyb. 1.1. Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Priamy ohyb je typ deformácie, pri ktorej v prierezoch tyče vznikajú dva súčiniteľa vnútornej sily: ohybový moment a priečna sila. V konkrétnom prípade môže byť šmyková sila nulová, potom sa ohyb nazýva čistý. Keď plochý priečne ohýbanie všetky sily sú umiestnené v jednej z hlavných rovín zotrvačnosti tyče a kolmo na jej pozdĺžnu os, momenty sú umiestnené v rovnakej rovine (obr. 1.1, a, b). Ryža. 1.1 Priečna sila v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku na kolmicu na os nosníka. Šmyková sila v reze m-n nosníkov(Obr. 1.2, a) sa považuje za kladné, ak výslednica vonkajších síl vľavo od rezu smeruje nahor a vpravo - nadol a záporná - v opačnom prípade (obr. 1.2 b). Ryža. 1.2 Pri výpočte priečnej sily v danom reze sa vonkajšie sily ležiace vľavo od rezu berú so znamienkom plus, ak smerujú nahor, a so znamienkom mínus, ak smerujú nadol. Pre pravú stranu lúča - naopak. 5 Ohybový moment v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo stredovej osi z prierezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu. Ohybový moment pri prierez m-n lúče (obr. 1.3, a) sa považujú za pozitívne, ak výsledný moment vonkajších síl vľavo od rezu smeruje v smere hodinových ručičiek a vpravo - proti smeru hodinových ručičiek a záporný - v opačnom prípade (obr. 1.3, b). Ryža. 1.3 Pri výpočte ohybového momentu v danom reze sa momenty vonkajších síl ležiacich vľavo od rezu považujú za kladné, ak smerujú v smere hodinových ručičiek. Pre pravú stranu lúča - naopak. Znak ohybového momentu je vhodné určiť podľa charakteru deformácie nosníka. Ohybový moment sa považuje za kladný, ak sa v uvažovanom úseku odrezaná časť nosníka ohýba konvexne nadol, to znamená, že spodné vlákna sú natiahnuté. V opačnom prípade je ohybový moment v reze záporný. Medzi ohybovým momentom M, šmykovou silou Q a intenzitou zaťaženia q existujú diferenciálne vzťahy. 1. Prvá derivácia šmykovej sily pozdĺž úsečky rezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. . (1.1) 2. Prvá derivácia ohybového momentu pozdĺž úsečky rezu sa rovná priečnej sile, t.j. (1.2) 3. Druhá derivácia vzhľadom na os prierezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. (1.3) Rozložené zaťaženie smerujúce nahor považujeme za kladné. Z diferenciálnych vzťahov medzi M, Q, q vyplýva niekoľko dôležitých záverov: 1. Ak na priereze nosníka: a) je priečna sila kladná, potom sa ohybový moment zvyšuje; b) šmyková sila je negatívna, potom ohybový moment klesá; c) priečna sila je nulová, potom má ohybový moment konštantnú hodnotu (čistý ohyb); 6 d) priečna sila prechádza nulou, mení sa znamienko z plus na mínus, max M M, v opačnom prípade M Mmin. 2. Ak na časti nosníka nie je žiadne rozložené zaťaženie, potom je priečna sila konštantná a ohybový moment sa mení podľa lineárneho zákona. 3. Ak je na časti nosníka rovnomerne rozložené zaťaženie, potom sa priečna sila mení podľa lineárneho zákona a ohybový moment - podľa zákona štvorcovej paraboly, konvexne smerujúcej v smere zaťaženia ( v prípade konštrukcie diagramu M zo strany natiahnutých vlákien). 4. V reze pod sústredenou silou má diagram Q skok (o veľkosti sily), diagram M má zlom v smere sily. 5. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, má diagram M skok rovný hodnote tohto momentu. Toto sa neodráža v Q diagrame. Pri zaťažení nosníkov komplexným zaťažením sa vykreslia diagramy priečnych síl Q a ohybových momentov M Diagram Q(M) je graf znázorňujúci zákon zmeny priečnej sily (ohybového momentu) po dĺžke nosníka. Na základe analýzy diagramov M a Q sú určené nebezpečné úseky lúča. Kladné súradnice Q diagramu sú položené nahor a záporné súradnice sú položené od základnej čiary vedenej rovnobežne s pozdĺžnou osou lúča. Kladné súradnice M diagramu sú položené a záporné súradnice sú položené nahor, t.j. M diagram je konštruovaný zo strany natiahnutých vlákien. Konštrukcia diagramov Q a M pre nosníky by mala začať určením reakcií podpory. Pre nosník s jedným upnutým koncom a druhým voľným koncom možno začať s konštrukciou diagramov Q a M od voľného konca bez toho, aby sa určovali reakcie v zapustení. 1.2. Konštrukcia Q a M diagramov pomocou Beamových rovníc je rozdelená do sekcií, v ktorých funkcie pre ohybový moment a šmykovú silu zostávajú konštantné (nemajú diskontinuity). Hranicami rezov sú miesta pôsobenia sústredených síl, dvojice síl a miesta zmeny intenzity rozloženého zaťaženia. Na každom reze sa odoberie ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od začiatku súradníc a pre tento rez sa zostavia rovnice pre Q a M. Pomocou týchto rovníc sa zostrojia diagramy Q a M sily Q a ohybové momenty M pre daný nosník (obr. 1.4,a). Riešenie: 1. Stanovenie podporných reakcií. Zostavíme rovnice rovnováhy: z ktorých získame Reakcie podpier sú určené správne. Nosník má štyri časti Obr. 1.4 zaťaženie: CA, AD, DB, BE. 2. Konštrukcia diagramu Q. Rez CA. V reze CA 1 nakreslíme ľubovoľný rez 1-1 vo vzdialenosti x1 od ľavého konca nosníka. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od úseku 1-1: Znamienko mínus je brané, pretože sila pôsobiaca naľavo od úseku smeruje nadol. Výraz pre Q nezávisí od premennej x1. Diagram Q v tejto časti bude znázornený ako priamka rovnobežná s osou x. Sekcia AD. Na rez nakreslíme ľubovoľný rez 2-2 vo vzdialenosti x2 od ľavého konca nosníka. Q2 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od rezu 2-2: 8 Hodnota Q je v reze konštantná (nezávisí od premennej x2). Graf Q na reze je priamka rovnobežná s osou x. Graf DB. Na mieste nakreslíme ľubovoľnú časť 3-3 vo vzdialenosti x3 od pravého konca lúča. Q3 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od rezu 3-3: Výsledným výrazom je rovnica naklonenej priamky. Sekcia BE. Na mieste nakreslíme rez 4-4 vo vzdialenosti x4 od pravého konca lúča. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od sekcie 4-4: 4 Tu sa berie znamienko plus, pretože výsledné zaťaženie napravo od sekcie 4-4 smeruje dole. Na základe získaných hodnôt zostrojíme Q diagramy (obr. 1.4, b). 3. Konštrukcia diagramu M. Rez m1. Ohybový moment v sekcii 1-1 definujeme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 1-1. – rovnica priamky. Rez A 3 Ohybový moment v sekcii 2-2 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 2-2. – rovnica priamky. Rez DB 4 Ohybový moment v sekcii 3-3 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vpravo od sekcie 3-3. – rovnica kvadratickej paraboly. 9 Nájdeme tri hodnoty na koncoch rezu a v bode so súradnicou xk, kde rez BE 1 Ohybový moment v reze 4-4 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich napravo od rezu. 4-4. – rovnica kvadratickej paraboly, nájdeme tri hodnoty M4: Pomocou získaných hodnôt zostrojíme diagram M (obr. 1.4, c). V sekciách CA a AD je Q diagram obmedzený priamkami rovnobežnými s osou x a v sekciách DB a BE - naklonenými priamkami. V rezoch C, A a B na Q diagrame sú skoky vo veľkosti zodpovedajúcich síl, čo slúži ako kontrola správnosti Q diagramu V rezoch, kde Q  0, momenty pribúdajú zľava doprava. V oblastiach, kde Q  0, momenty klesajú. Pod sústredenými silami dochádza k zlomom v smere pôsobenia síl. Pod sústredeným momentom dochádza k skoku vo veľkosti momentu. To naznačuje správnosť konštrukcie diagramu M. Príklad 1.2 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník na dvoch podperách zaťažených rozloženým zaťažením, ktorého intenzita sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 1.5, a). Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Výslednica rozloženého zaťaženia sa rovná ploche trojuholníka, čo je diagram zaťaženia a je aplikovaný v ťažisku tohto trojuholníka. Zostavíme súčty momentov všetkých síl vzhľadom na body A a B: Zostrojenie diagramu Q. Narysujme ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od ľavej podpery. Súradnica diagramu zaťaženia zodpovedajúca rezu sa určí z podobnosti trojuholníkov Výslednica tej časti zaťaženia, ktorá sa nachádza naľavo od rezu Priečna sila v reze je rovná Priečna sila sa mení podľa zákona štvorcovej paraboly Prirovnaním rovnice priečnej sily k nule nájdeme úsečku rezu, v ktorom diagram Q prechádza nulou: Graf Q je znázornený na obr. 1,5, b. Ohybový moment v ľubovoľnom reze sa rovná Ohybový moment sa mení podľa zákona kubickej paraboly: Ohybový moment má maximálnu hodnotu v úseku, kde 0, teda v diagrame M je znázornené na obr. 1,5, c. 1.3. Zostrojenie diagramov Q a M z charakteristických rezov (bodov) Pomocou diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q a z nich vyplývajúcich záverov je vhodné zostaviť diagramy Q a M z charakteristických rezov (bez zostavovania rovníc). Pomocou tejto metódy sa hodnoty Q a M vypočítajú v charakteristických úsekoch. Charakteristické úseky sú hraničné úseky úsekov, ako aj úseky, kde má daný súčiniteľ vnútornej sily extrémnu hodnotu. V medziach medzi charakteristickými časťami je obrys 12 diagramu stanovený na základe diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q a závermi z nich vyplývajúcimi. Príklad 1.3 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník znázornený na obr. 1.6, a. Ryža. 1.6. Riešenie: Začneme zostavovať diagramy Q a M od voľného konca nosníka, pričom reakcie vo vložke nie je potrebné určovať. Nosník má tri nosné úseky: AB, BC, CD. V úsekoch AB a BC nie je rozložené zaťaženie. Šmykové sily sú konštantné. Q diagram je obmedzený na priame čiary rovnobežné s osou x. Ohybové momenty sa menia lineárne. Diagram M je ohraničený priamkami naklonenými k osi x. Na sekcii CD je rovnomerne rozložená záťaž. Priečne sily sa menia podľa lineárneho zákona a ohybové momenty - podľa zákona štvorcovej paraboly s konvexnosťou v smere rozloženého zaťaženia. Na rozhraní úsekov AB a BC sa priečna sila prudko mení. Na rozhraní úsekov BC a CD sa ohybový moment prudko mení. 1. Zostrojenie diagramu Q. Vypočítame hodnoty priečnych síl Q v hraničných rezoch rezov: Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram Q pre nosník (obr. 1, b). Z diagramu Q vyplýva, že priečna sila na reze CD je rovná nule v reze umiestnenom vo vzdialenosti qa a q od začiatku tohto rezu. V tomto úseku má ohybový moment maximálnu hodnotu. 2. Zostrojenie diagramu M. Vypočítame hodnoty ohybových momentov v hraničných rezoch rezov: Pri maximálnom momente v reze Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram M (obr. 5.6, c). Príklad 1.4 Pomocou daného diagramu ohybových momentov (obr. 1.7, a) pre nosník (obr. 1.7, b) určte pôsobiace zaťaženia a zostrojte diagram Q. Kružnica označuje vrchol štvorcovej paraboly. Riešenie: Určme zaťaženia pôsobiace na nosník. Úsek AC je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením, pretože diagram M v tomto úseku je štvorcová parabola. V referenčnom reze B pôsobí na lúč sústredený moment, pôsobiaci v smere hodinových ručičiek, pretože v diagrame M máme skok nahor o veľkosť momentu. V SV reze nosník nie je zaťažený, keďže M diagram v tomto reze je ohraničený naklonenou priamkou. Reakcia podpery B sa určí z podmienky, že ohybový moment v reze C je rovný nule, t.j. na určenie intenzity rozloženého zaťaženia vytvoríme výraz pre ohybový moment v reze A ako súčet momentov sily vpravo a prirovnať k nule Teraz určíme reakciu podpery A. Na to vytvoríme výraz pre ohybové momenty v reze ako súčet momentov síl vľavo Návrhový diagram nosníka s zaťaženie je znázornené na obr. 1,7, c. Počnúc ľavým koncom nosníka vypočítame hodnoty priečnych síl v hraničných úsekoch sekcií: Diagram Q je znázornený na obr. 1.7, d Uvažovaný problém je možné vyriešiť zostavením funkčných závislostí pre M, Q v každej sekcii. Zvoľme počiatok súradníc na ľavom konci lúča. V úseku AC je diagram M vyjadrený štvorcovou parabolou, ktorej rovnica má tvar Konštanty a, b, c zistíme z podmienky, že parabola prechádza tromi bodmi so známymi súradnicami: Dosadenie súradníc bodov do rovnice paraboly dostaneme: Výraz pre ohybový moment bude Diferenciáciou funkcie M1 získame závislosť pre priečnu silu Po derivácii funkcie Q dostaneme výraz pre intenzitu rozloženého zaťaženia. V časti NE je vyjadrenie pre ohybový moment vo forme lineárnej funkcie Na určenie konštánt a a b použijeme podmienky, že táto priamka prechádza dvoma bodmi, ktorých súradnice sú známe získame dve rovnice: ,b z ktorých máme a 20. Rovnica pre ohybový moment v reze NE bude Po dvojitej diferenciácii M2 zistíme pomocou zistených hodnôt M a Q zostrojíme diagramy o ohybové momenty a šmykové sily pre nosník. Okrem rozloženého zaťaženia pôsobia na nosník sústredené sily v troch úsekoch, kde sú na diagrame Q skoky a na diagrame M sú sústredené momenty v úseku, kde dochádza k rázu. Príklad 1.5 Pre nosník (obr. 1.8, a) určte racionálnu polohu závesu C, pri ktorej sa najväčší ohybový moment v rozpätí rovná ohybovému momentu vo vložke (v absolútnej hodnote). Zostrojte diagramy Q a M. Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Hoci celkový počet podporných článkov sa rovná štyrom, nosník je staticky určený. Ohybový moment v závese C je nulový, čo nám umožňuje vytvoriť dodatočnú rovnicu: súčet momentov ohybu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu tohto závesu je rovný nule. Zostavme súčet momentov všetkých síl napravo od závesu C. Diagram Q pre nosník je obmedzený naklonenou priamkou, keďže q = konšt. Určujeme hodnoty priečnych síl v hraničných rezoch nosníka: Os xK rezu, kde Q = 0, je určená z rovnice, z ktorej je diagram M pre nosník obmedzený štvorcovou parabolou. Výrazy pre ohybové momenty v rezoch, kde Q = 0, a vo vložke sa zapisujú takto: Z podmienky rovnosti momentov získame kvadratická rovnica relatívne k požadovanému parametru x: Reálna hodnota x2x 1,029 m číselné hodnoty priečne sily a ohybové momenty v charakteristických rezoch nosníka Obrázok 1.8, b znázorňuje diagram Q a na obr. 1.8, c – diagram M. Uvažovaný problém by sa dal vyriešiť rozdelením kĺbového nosníka na jeho základné prvky, ako je znázornené na obr. 1.8, d Na začiatku sa stanovia reakcie podpier VC a VB. Diagramy Q a M sú zostrojené pre zavesený nosník SV z pôsobenia zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Potom sa presunú k hlavnému nosníku AC a zaťažia ho dodatočnou silou VC, čo je tlaková sila nosníka CB na nosník AC. Potom sú pre lúč AC zostavené diagramy Q a M. 1.4. Pevnostné výpočty pre priamy ohyb nosníkov Pevnostné výpočty na základe normálového a šmykového napätia. Pri priamom ohybe nosníka vo svojich prierezoch vznikajú normálové a tangenciálne napätia (obr. 1.9). 18 Obr. 1.9 Normálne napätia sú spojené s ohybovým momentom, tangenciálne napätia sú spojené so šmykovou silou. Pri priamom čistom ohybe sú šmykové napätia nulové. Normálové napätia v ľubovoľnom bode prierezu nosníka sú určené vzorcom (1.4), kde M je ohybový moment v danom reze; Iz – moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na neutrálnu os z; y je vzdialenosť od bodu, kde je určené normálne napätie, k neutrálnej osi z. Normálové napätia po výške úseku sa menia podľa lineárneho zákona a svoju najväčšiu hodnotu dosahujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi Ak je úsek symetrický podľa neutrálnej osi (obr. 1.11), potom Obr. 1.11 najväčšie ťahové a tlakové napätia sú rovnaké a sú určené vzorcom,  je osový moment únosnosti prierezu pri ohybe. Pre pravouhlý prierez so šírkou b a výškou h: (1.7) Pre kruhový prierez s priemerom d: (1.8) Pre kruhový prierez   – vnútorný resp. vonkajšie priemery krúžky. Pre nosníky z plastových materiálov sú najracionálnejšie symetrické 20 profilové tvary (I-nosník, krabicový, prstencový). Pre nosníky vyrobené z krehkých materiálov, ktoré rovnako neodolajú ťahu a tlaku, sú racionálne úseky, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os z (nosník T, tvar U, asymetrický nosník I). Pre nosníky konštantného prierezu vyrobené z plastov so symetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje takto: (1.10) kde Mmax je maximálny ohybový moment v module; – prípustné napätie pre materiál. Pre nosníky konštantného prierezu z plastov s asymetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje v tomto tvare: (1.11) Pre nosníky z krehkých materiálov s prierezmi, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os, ak diagram M je jednoznačný (obr. 1.12), treba napísať dve pevnostné podmienky - vzdialenosti od neutrálnej osi k najvzdialenejším bodom natiahnutej a stlačenej zóny nebezpečného úseku, resp. P – dovolené napätia v ťahu a tlaku. Obr.1.12. 21 Ak má diagram ohybových momentov úseky rôznych znamienok (obr. 1.13), tak okrem kontroly úseku 1-1, kde pôsobí Mmax, je potrebné vypočítať najvyššie ťahové napätia pre úsek 2-2 (s najvyšším moment opačného znamienka). Ryža. 1.13 Spolu s hlavným výpočtom pomocou normálových napätí je v mnohých prípadoch potrebné skontrolovať pevnosť nosníka pomocou tangenciálnych napätí. Tangenciálne napätia v nosníkoch sa vypočítajú pomocou vzorca D.I. Zhuravského (1.13), kde Q je priečna sila v priereze uvažovaného nosníka; Szотс - statický moment vzhľadom k neutrálnej osi oblasti časti sekcie umiestnenej na jednej strane priamky vedenej cez daný bod a rovnobežnej s osou z; b – šírka prierezu na úrovni posudzovaného bodu; Iz je moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na neutrálnu os z. V mnohých prípadoch sa maximálne šmykové napätia vyskytujú na úrovni neutrálnej vrstvy nosníka (obdĺžnik, I-nosník, kruh). V takýchto prípadoch sa podmienka pevnosti pre tangenciálne napätia zapíše v tvare (1.14) kde Qmax je najväčšia priečna sila v absolútnej hodnote; – prípustné šmykové napätie pre materiál. Pre pravouhlý prierez lúča má podmienka pevnosti tvar (1.15) A je plocha prierezu lúča. Pre kruhový prierez je podmienka pevnosti prezentovaná ako (1.16) Pre I-rez je podmienka pevnosti zapísaná takto: (1. 17) kde Szo,тmсax je statický moment polovičného rezu vzhľadom na neutrálnu os; d – hrúbka steny I-nosníka. Typicky sú rozmery prierezu nosníka určené z pevnostných podmienok pri normálnom namáhaní. Kontrola pevnosti nosníkov tangenciálnymi napätiami sa vykonáva v povinné pre krátke nosníky a nosníky ľubovoľnej dĺžky, ak sú v blízkosti podpier sústredené sily veľkej veľkosti, ako aj pre drevené, nitované a zvárané nosníky. Príklad 1.6 Skontrolujte pevnosť nosníka so skriňovým prierezom (obr. 1.14) pomocou normálového a šmykového napätia, ak je MPa. Zostrojte diagramy v nebezpečnej časti lúča. Ryža. 1.14 Riešenie 23 1. Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov. Vzhľadom na ľavú stranu nosníka získame Diagram priečnych síl je znázornený na obr. 1,14, c. Diagram ohybových momentov je na obr. 5,14, g. Geometrické charakteristiky prierez 3. Najvyššie normálové napätia v reze C, kde pôsobí Mmax (modulo): MPa. Maximálne normálové napätia v nosníku sú takmer rovnaké ako prípustné. 4. Najvyššie tangenciálne napätia v sekcii C (alebo A), kde pôsobí max Q (modulo): Tu je statický moment plochy polovičného prierezu vzhľadom na neutrálnu os; b2 cm – šírka rezu na úrovni neutrálnej osi. 5. Tangenciálne napätia v bode (v stene) v reze C: Obr. 1.15 Tu je Szomc 834.5 108 cm3 statický moment plochy časti úseku umiestnenej nad čiarou prechádzajúcou bodom K1; b2 cm – hrúbka steny v úrovni bodu K1. Diagramy  a  pre rez C nosníka sú znázornené na obr. 1.15. Príklad 1.7 Pre nosník znázornený na obr. 1.16, a, potrebné: 1. Zostrojte diagramy priečnych síl a ohybových momentov pozdĺž charakteristických rezov (bodov). 2. Určte rozmery prierezu v tvare kruhu, obdĺžnika a I-nosníka z podmienky pevnosti pri normálnom namáhaní, porovnajte plochy prierezov. 3. Skontrolujte zvolené rozmery sekcií nosníka podľa tangenciálneho napätia. Dané: Riešenie: 1. Určte reakcie podpier nosníka Kontrola: 2. Zostrojenie diagramov Q a M. Hodnoty priečnych síl v charakteristických rezoch nosníka 25 Obr. 1.16 V úsekoch CA a AD je intenzita zaťaženia q = konšt. V dôsledku toho je v týchto oblastiach Q diagram obmedzený na priame čiary naklonené k osi. V sekcii DB je intenzita rozloženého zaťaženia q = 0, preto je v tejto sekcii diagram Q obmedzený na priamku rovnobežnú s osou x. Q diagram pre lúč je znázornený na obr. 1,16, b. Hodnoty ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka: V druhej sekcii určíme úsečku x2 sekcie, v ktorej Q = 0: Maximálny moment v druhej sekcii Diagram M pre nosník je znázornený na obr. 1,16, c. 2. Pevnostnú podmienku vytvoríme na základe normálových napätí, z ktorých určíme požadovaný osový moment odporu prierezu z výrazu určeného požadovaným priemerom d nosníka kruhového prierezu Plocha kruhového prierezu Pre nosník obdĺžnikového prierezu Požadovaná výška prierezu Plocha obdĺžnikového prierezu Určite požadovaný počet I-lúč. Pomocou tabuliek GOST 8239-89 zistíme najbližšiu vyššiu hodnotu osového momentu odporu 597 cm3, čo zodpovedá I-nosníku č. 33 s charakteristikou: A z 9840 cm4. Kontrola tolerancie: (podťaženie o 1 % z povolených 5 %) najbližší I-nosník č. 30 (W 2 cm3) vedie k výraznému preťaženiu (viac ako 5 %). Nakoniec akceptujeme I-nosník č. 33. Porovnáme plochy okrúhlych a pravouhlých sekcií s najmenšou plochou A I-nosníka: Z troch uvažovaných sekcií je najhospodárnejší prierez I-nosníka. 3. Vypočítame najvyššie normálové napätia v nebezpečnom úseku 27 I-nosníka (obr. 1.17, a): Normálové napätia v stene v blízkosti pásnice I-profilu Diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku I-nosníka Obr. lúč je znázornený na obr. 1,17, b. 5. Určte najvyššie šmykové napätia pre vybrané úseky nosníka. A) obdĺžnikový rez nosníky: b) kruhový rez nosníka: c) rez I-nosníkom: Tangenciálne napätia v stene pri pásnici nosníka I v nebezpečnom reze A (vpravo) (v bode 2): Diagram tangenciálnych napätí v nebezpečnej rezy I-lúča je znázornené na obr. 1,17, c. Maximálne tangenciálne napätia v nosníku nepresahujú prípustné napätia Príklad 1.8 Určte prípustné zaťaženie nosníka (obr. 1.18, a), ak je 60 MPa, sú uvedené rozmery prierezu (obr. 1.19, a). Zostrojte diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku nosníka pri prípustnom zaťažení. Obrázok 1.18 1. Stanovenie reakcií nosníkových podpier. Vzhľadom na symetriu systému 2. Konštrukcia diagramov Q a M z charakteristických rezov. Priečne sily v charakteristických rezoch nosníka: Diagram Q pre nosník je znázornený na obr. 5,18, b. Ohybové momenty v charakteristických úsekoch nosníka Pre druhú polovicu nosníka sú ordináty M pozdĺž osí symetrie. Schéma M pre nosník je znázornená na obr. 1,18, b. 3. Geometrické charakteristiky rezu (obr. 1.19). Obrázok rozdelíme na dva jednoduché prvky: I-nosník - 1 a obdĺžnik - 2. Obr. 1.19 Podľa sortimentu pre I-nosník č.20 máme Pre obdĺžnik: Statický moment prierezovej plochy vzhľadom na os z1 Vzdialenosť od osi z1 k ťažisku rezu Moment zotrvačnosti rezu vz. na hlavnú stredovú os z celého rezu podľa vzorcov pre prechod na rovnobežné osi 4. Pevnostná podmienka pre normálové napätia pre nebezpečný bod„a“ (obr. 1.19) v nebezpečnom úseku I (obr. 1.18): Po dosadení číselných údajov 5. Pri prípustnom zaťažení v nebezpečnom úseku budú normálové napätia v bodoch „a“ a „b“ rovnaké: Diagram normálových napätí pre nebezpečný úsek 1-1 je znázornené na obr. 1,19, b.