Prevod grafov.

Slovný popis funkcie.

Grafická metóda.

Grafický spôsob určenia funkcie je najnázornejší a často sa používa v technike. IN matematická analýza Na ilustráciu sa používa grafický spôsob špecifikácie funkcií.

Graf funkcie f je množina všetkých bodov (x;y) súradnicovej roviny, kde y=f(x) a x „prechádza“ celým definičným oborom tejto funkcie.

Podmnožina súradnicovej roviny je grafom funkcie, ak nemá viac ako jeden spoločný bod s akoukoľvek priamkou rovnobežnou s osou Oy.

Príklad. Sú obrázky uvedené nižšie grafmi funkcií?

Výhodou grafickej úlohy je jej prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje a kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie.

Vo všeobecnosti analytické a grafické metódy definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré by ste si vo vzorci ani nevšimli.

Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, na ktorú sme sa práve pozreli.

Pokúsme sa odpovedať na otázku: "Existujú iné spôsoby, ako definovať funkciu?"

Existuje taký spôsob.

Funkciu je možné celkom jednoznačne špecifikovať slovami.

Napríklad funkcia y=2x môže byť špecifikovaná nasledujúcim slovným popisom: každá skutočná hodnota argumentu x je spojená s jej dvojitou hodnotou. Pravidlo je stanovené, funkcia je špecifikovaná.

Okrem toho môžete slovne zadať funkciu, ktorú je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, definovať pomocou vzorca.

Napríklad: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, potom y=3. Ak x=257, potom y=2+5+7=14. A tak ďalej. Je problematické zapísať to do vzorca. Ale je ľahké urobiť znamenie.

Metóda slovného opisu je pomerne zriedka používaná metóda. Ale niekedy áno.

Ak existuje zákon o zhode jedna ku jednej medzi x a y, potom existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený - vzorec, tabuľka, graf, slová - nemení podstatu veci.

Uvažujme funkcie, ktorých definičné oblasti sú symetrické vzhľadom na pôvod, t.j. pre hocikoho X z domény čísla definície (- X) tiež patrí do oblasti definície. Medzi týmito funkciami sa rozlišujú párne a nepárne.

Definícia. Funkcia f sa volá, aj keď pre ľubovoľnú X z jeho domény definície

Príklad.

Zvážte funkciu

Je to rovnomerné. Poďme si to overiť. X Pre hocikoho

sú splnené

Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie. X z jeho domény definície

Definícia. Funkcia f sa nazýva nepárna, ak je pre nejakú

Príklad. Zvážte funkciu

je to zvláštne. Poďme si to overiť.

Je to rovnomerné. Poďme si to overiť. X Pre hocikoho

Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická podľa bodu (0;0).

Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Grafy zobrazené na prvom a treťom obrázku sú symetrické okolo osi y a grafy zobrazené na druhom a štvrtom obrázku sú symetrické okolo začiatku.

Ktoré z funkcií, ktorých grafy sú zobrazené na obrázkoch, sú párne a ktoré nepárne?

Rovnosť a nepárnosť funkcie sú jednou z jej hlavných vlastností a parita zaberá pôsobivú časť kurzu školskej matematiky. Do značnej miery určuje správanie funkcie a výrazne uľahčuje konštrukciu zodpovedajúceho grafu.

Určme paritu funkcie. Všeobecne povedané, skúmaná funkcia sa berie do úvahy, aj keď pre opačné hodnoty nezávislej premennej (x) umiestnenej v jej doméne definície sa zodpovedajúce hodnoty y (funkcie) ukážu ako rovnaké.

• Uveďme prísnejšiu definíciu. Uvažujme nejakú funkciu f (x), ktorá je definovaná v oblasti D. Bude to aj vtedy, ak pre ľubovoľný bod x nachádzajúci sa v oblasti definície:

• -x (opačný bod) tiež leží v tomto rozsahu,

f(-x) = f(x). Z vyššie uvedenej definície vyplýva podmienka potrebná pre definičný obor takejto funkcie, a to symetria vzhľadom na bod O, ktorý je počiatkom súradníc, pretože ak je nejaký bod b obsiahnutý v definičnom obore dokonca funkciu

, potom v tejto oblasti leží aj príslušný bod - b. Z uvedeného teda vyplýva záver: párna funkcia má tvar symetrický podľa ordinátnej osi (Oy).

Ako v praxi určiť paritu funkcie?

Nech je špecifikovaný pomocou vzorca h(x)=11^x+11^(-x). Podľa algoritmu, ktorý priamo vyplýva z definície, najprv preskúmame jej doménu definície. Je zrejmé, že je definovaný pre všetky hodnoty argumentu, to znamená, že prvá podmienka je splnená.
Ďalším krokom je nahradiť argument (x) opačnou hodnotou (-x).
Dostaneme:
Keďže sčítanie spĺňa komutatívny (komutatívny) zákon, je zrejmé, že h(-x) = h(x) a daná funkčná závislosť je párna.

Skontrolujme paritu funkcie h(x)=11^x-11^(-x). Podľa rovnakého algoritmu dostaneme, že h(-x) = 11^(-x) -11^x. Vyňatie mínusu, nakoniec máme
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Preto je h(x) nepárne.

Mimochodom, treba pripomenúť, že existujú funkcie, ktoré nemožno klasifikovať podľa týchto kritérií, nenazývajú sa ani párne, ani nepárne.

Dokonca aj funkcie majú množstvo zaujímavých vlastností:

• v dôsledku pridania podobných funkcií získajú párnu;
• ako výsledok odčítania takýchto funkcií sa získa párna;
• dokonca, aj dokonca;
• v dôsledku vynásobenia dvoch takýchto funkcií sa získa párna;
• v dôsledku násobenia nepárnych a párnych funkcií sa získa nepárna funkcia;
• v dôsledku rozdelenia nepárnych a párnych funkcií sa získa nepárna funkcia;
• derivácia takejto funkcie je nepárna;
• Ak odmocníte nepárnu funkciu, dostanete párnu.

Paritu funkcie možno použiť na riešenie rovníc.

Na vyriešenie rovnice ako g(x) = 0, kde ľavá strana rovnice je párna funkcia, bude stačiť nájsť jej riešenia pre nezáporné hodnoty premennej. Výsledné korene rovnice musia byť kombinované s opačnými číslami. Jeden z nich podlieha overeniu.

To sa úspešne používa aj pri riešení neštandardných problémov s parametrom.

Napríklad, existuje nejaká hodnota parametra a, pre ktorú bude mať rovnica 2x^6-x^4-ax^2=1 tri korene?

Ak vezmeme do úvahy, že premenná vstupuje do rovnice v párnych mocninách, potom je jasné, že nahradením x za - x sa daná rovnica nezmení. Z toho vyplýva, že ak je určité číslo jeho koreňom, potom je koreňom aj opačné číslo. Záver je zrejmý: korene rovnice, ktoré sa líšia od nuly, sú zahrnuté v množine jej riešení v „pároch“.

Je jasné, že samotné číslo nie je 0, to znamená, že počet koreňov takejto rovnice môže byť iba párny a samozrejme pre žiadnu hodnotu parametra nemôže mať tri korene.

Ale počet koreňov rovnice 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 môže byť nepárny a pre akúkoľvek hodnotu parametra. V skutočnosti je ľahké skontrolovať, či množina koreňov tejto rovnice obsahuje riešenia „v pároch“. Skontrolujeme, či 0 je koreň. Keď to dosadíme do rovnice, dostaneme 2=2. Teda okrem „párových“ je 0 aj koreň, čo dokazuje ich nepárny počet.

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každá hodnota x zodpovedá jediný význam y sa nazýva funkcia. Na označenie použite označenie y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Pozrite sa bližšie na vlastnosť parity.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x, patriaca do definičného oboru funkcie, sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = f(-x).

Graf párnej funkcie

Ak nakreslíte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi Oy.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Zoberme si ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi Oy.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak niektorý bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom do definičného oboru musí patriť aj príslušný bod -a. danej funkcie.

2. Pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = -f(x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok súradníc. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Zoberme si ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická podľa pôvodu.

Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť

.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi
.

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Príklad 6.2. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna

1)
; 2)
; 3)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná kedy
. nájdeme
.

Tie.
. To znamená, že táto funkcia je párna.

2) Funkcia je definovaná kedy

Tie.
. Táto funkcia je teda zvláštna.

3) funkcia je definovaná pre , t.j. Pre

,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to funkcia všeobecného tvaru.

3. Štúdium funkcie pre monotónnosť.

Funkcia
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každá väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.

Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.

Ak je funkcia
diferencovateľné na intervale
a má kladnú (negatívnu) deriváciu
, potom funkciu
sa v tomto intervale zvyšuje (klesá).

Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií

1)
; 3)
.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná na celom číselnom rade. Poďme nájsť derivát.

Derivácia sa rovná nule, ak
A
. Definičnou doménou je číselná os delená bodkami
,
v intervaloch. Určme znamienko derivácie v každom intervale.

V intervale
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.

V intervale
derivácia je kladná, preto sa funkcia v tomto intervale zvyšuje.

2) Táto funkcia je definovaná, ak
alebo

.

V každom intervale určíme znamienko kvadratického trinomu.

Teda doména definície funkcie

Poďme nájsť derivát
,
, Ak
, t.j.
, Ale
. Určme znamienko derivácie v intervaloch
.

V intervale
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá
. V intervale
derivácia je kladná, funkcia sa v intervale zvyšuje
.

4. Štúdium funkcie na extréme.

Bodka
nazývaný maximálny (minimálny) bod funkcie
, ak existuje takéto okolie bodu to je pre všetkých
z tohto susedstva platí nerovnosť

.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.

Ak je funkcia
v bode má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).

Body, v ktorých je derivácia nulová alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.

5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.

Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod derivát
zmení znamienko z „+“ na „–“, potom v bode funkciu
má maximum; ak od „–“ po „+“, potom minimum; Ak
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.

Pravidlo 2. Nech v bode
prvá derivácia funkcie
rovná nule
a druhá derivácia existuje a je iná ako nula. Ak
, To – maximálny bod, ak
, To – minimálny bod funkcie.

Príklad 6.4. Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
.

Poďme nájsť derivát
a vyriešiť rovnicu
, t.j.
.Odtiaľ
– kritické body.

Určme znamienko derivácie v intervaloch ,
.

Pri prechode cez body
A
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1
- minimálny počet bodov.

Pri prechode cez bod
derivácia zmení znamienko z „+“ na „–“, takže
- maximálny bod.

,
.

2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale
. Poďme nájsť derivát
.

Po vyriešení rovnice
, nájdeme
A
– kritické body. Ak je menovateľ
, t.j.
, potom derivát neexistuje. takže,
– tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.

Preto má funkcia v bode minimum
, maximálne v bodoch
A
.

3) Funkcia je definovaná a spojitá, ak
, t.j. pri
.

Poďme nájsť derivát

.

Poďme nájsť kritické body:

Okolie bodov
nepatria do oblasti definície, preto nie sú extrémami. Poďme sa teda pozrieť na kritické body
A
.

4) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
. Použime pravidlo 2. Nájdite deriváciu
.

Poďme nájsť kritické body:

Poďme nájsť druhú deriváciu
a určiť jej znamienko v bodoch

V bodoch
funkcia má minimum.

V bodoch
funkcia má max.

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Okrem jednoduchosti aj toto univerzálna metóda pomôže zlepšiť viditeľnosť webových stránok vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určité pravidlo, ktorý sa postupne aplikuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.