Fermiho energia sa rovná teplote sodíka. V kove energiou
O absolútna nula v každom zo stavov, ktorých energia nepresahuje jeden elektrón; v stavoch s nie sú žiadne elektróny. V dôsledku toho má distribučná funkcia elektrónov nad stavmi s rôznymi energiami pri absolútnej nule tvar znázornený na obr. 52.1.
Nájdite distribučnú funkciu pri teplote odlišnej od absolútnej nuly.
Podľa Kittela uvažujeme o nepružných zrážkach rovnovážneho elektrónového plynu s atómom nečistoty uloženým v kryštálovej mriežke kovu. Predpokladajme, že atóm prímesi môže byť len v dvoch stavoch, ktorých energiu dáme rovnú 0 a .
Z mnohých zrážkových procesov uvažujme ten, v dôsledku ktorého prejde elektrón zo stavu k s energiou E do stavu k s energiou . V tomto prípade atóm nečistoty prechádza z úrovne s energiou na úroveň s energiou rovnajúcou sa nule. Pravdepodobnosť prechodu do je úmerná: 1) pravdepodobnosti, že stav je obsadený elektrónom, 2) pravdepodobnosti, že stav je voľný, 3) pravdepodobnosti, že atóm prímesi je v stave s energiou e.
Pravdepodobnosť opačného procesu je úmerná výrazu
kde je pravdepodobnosť, že atóm nečistoty je v stave s energiou rovnajúcou sa nule.
Vzhľadom na princíp detailnej rovnováhy je koeficient úmernosti vo výrazoch (52.1) a (52.2) rovnaký.
V rovnovážnom stave by mali byť pravdepodobnosti prechodu rovnaké. teda
(vzali sme do úvahy, že pravdepodobnosti nájdenia atómu nečistôt na úrovniach sa riadia Boltzmannovým distribučným zákonom).
Funkčná rovnica (52.3) musí byť splnená pri akejkoľvek teplote T. To sa stane, ak položíme
kde je množstvo nezávislé od E. Podľa toho
Súčin týchto dvoch výrazov pri akejkoľvek teplote sa rovná
Po vyriešení rovnice (52.4) dostaneme pre distribučnú funkciu elektrónov nad stavmi s rôznymi energiami nasledujúci výraz:
Tento výraz sa nazýva Fermi-Diracova distribučná funkcia. Parameter sa nazýva chemický potenciál.
V súlade s významom funkcie (52.5) množstvo predstavuje priemerný počet elektrónov v stave s energiou E. Preto môže mať vzorec (52.5) tvar
(porovnaj (49.4)). Na rozdiel od (49.4) má parameter v rozdelení (52.6). kladné hodnoty(V v tomto prípade to nevedie k záporným číslam). Distribúcia (52,6) je základom štatistiky Fermi-Dirac.
Častice, ktoré sa riadia týmito štatistikami, sa nazývajú fermióny. Patria sem všetky častice s polovičným spinom.
Pre fermióny je charakteristické, že nikdy nezaberajú stav, v ktorom sa už jedna častica nachádza. Fermióny sú teda „samostatní“. Pripomeňme, že bozóny sú naopak „kolektivisti“ (pozri koniec § 49).
Parameter, ktorý má rozmer energie, sa často označuje a nazýva sa Fermiho hladina alebo Fermiho energia. V tomto zápise má funkcia (52.5) tvar
Preštudujme si vlastnosti funkcie (52.7). Na absolútnej nule
Pri 0 K sa teda Fermiho hladina EP zhoduje s hornou hladinou naplnenou elektrónmi (pozri predchádzajúci odsek).
Bez ohľadu na hodnotu teploty, keď je funkcia rovná Preto sa Fermiho hladina zhoduje s energetickou hladinou, ktorej pravdepodobnosť naplnenia sa rovná polovici.
Hodnotu EP možno zistiť z podmienky, že celkový počet elektrónov vypĺňajúcich hladiny sa musí rovnať počtu voľných elektrónov v kryštáli (je elektrónová hustota, V je objem kryštálu). Počet stavov na energetický interval sa rovná kde je hustota stavov. Priemerný počet elektrónov nachádzajúcich sa v týchto stavoch v prípade tepelnej rovnováhy je určený výrazom Integrál tohto výrazu udáva celkový počet voľných elektrónov v kryštáli:
Tento vzťah je v podstate podmienkou normalizácie funkcie
Dosadením výrazov (51.9) a (52.7) do (52.8) dostaneme
Tento vzťah nám v princípe umožňuje nájsť ako funkciu. Integrál vo výraze (52.9) sa neberie. Za predpokladu, že je možné nájsť približnú hodnotu integrálu. Výsledkom je, že pre Fermiho úroveň získame výraz
(pripomeňme, že) závisí od ; pozri (51.10)).
Z (52.10) vyplýva, že kedy nízke teploty(pre ktoré platí iba tento výraz) Fermiho hladina, hoci závisí od teploty, je veľmi slabá. Preto v mnohých prípadoch môžeme predpokladať Avšak pre pochopenie napríklad termoelektrických javov (pozri § 63) má závislosť od T zásadný význam.
Pri iných teplotách ako je absolútna nula má graf funkcie (52.7) tvar znázornený na obr. 52.2. V prípade vysokých energií (t. j. pri ktorých je splnená v oblasti „chvosta“ distribučnej krivky) možno jednotku v menovateli funkcie zanedbať. Potom nadobudne formu distribúcia elektrónov nad stavmi s rôznymi energiami
prejde do Boltzmannovej distribučnej funkcie.
Všimnite si, že viditeľný rozdiel v krivke na obr. 52.2 z grafu znázorneného na obr. 52.1, sa pozoruje len v oblasti rádu, čím vyššia je teplota, tým miernejšie ide klesajúca časť krivky.
Správanie elektrónového plynu silne závisí od vzťahu medzi teplotou kryštálu a Fermiho teplotou, ktorá sa rovná Existujú dva limitujúce prípady.
Preto aj pri izbovej teplote je elektrónový plyn v mnohých polovodičoch nedegenerovaný a riadi sa klasickou štatistikou.
3.1. Štatistický popis skupiny častíc.
Funkcia distribúcie častíc podľa stavu. Fermióny a bozóny
Podľa výsledkov teórie pásiem pevné látky Elektróny v kryštáloch je vhodné považovať za voľné častice, ktorých efektívna hmotnosť sa líši od hmotnosti voľného elektrónu. V polovodičoch sú okrem elektrónov nosičmi náboja aj kladne nabité častice – diery. V javoch, v ktorých tieto častice hrajú hlavnú úlohu (elektrická vodivosť, tepelná vodivosť, interakcia so svetlom atď.), možno teda tuhú látku považovať za plyn elektrónov a dier.
Systémy pozostávajúce z veľké množstvá identické častice sú predmetom štúdia štatistickej fyziky. Hlavnou črtou štatistických zákonov je ich pravdepodobnostná povaha. Spôsob štatistického opisu skupiny molekúl ideálneho plynu je dobre známy. Napriek tomu, že rýchlosť jednotlivej molekuly plynu je náhodná hodnota v plyne pozostávajúcom z veľké množstvo identických molekúl sa pozoruje určitý vzor v ich rozdelení rýchlostí. Pomocou metód štatistickej fyziky je vždy možné určiť, aký zlomok molekúl má rýchlosť obsiahnutú v danom rozsahu hodnôt.
Hlavnou úlohou štatistiky je určiť počet častíc, ktorých energia leží v danom intervale. Výsledkom riešenia tohto štatistického problému je nájsť funkcie distribúcie energie častíc, ktorý sa zvyčajne označuje f(E). Ak dZ- počet možných stavov súboru častíc s energiou obsiahnutou v rozsahu od E do E+dE, A dN je počet častíc v týchto stavoch, teda podľa definície
(3.1)
Funkciou distribúcie energie častíc je teda hustota naplnenia týchto stavov časticami.
Pre ideálne molekuly plynu f(E) je známy ako Maxwell-Boltzmannova distribučná funkcia:
(3.2)
Kde S- parameter nezávislý od energie; k- Boltzmannova konštanta; T- absolútna teplota.
Vzorec (3.2) sa často nazýva aj kanonická distribúcia alebo Gibbsova distribúcia. Z tejto distribúcie je možné ľahko získať tú známu z molekulová fyzika Maxwellova distribúcia molekuly ideálneho plynu podľa rýchlosti tepelného pohybu. Štatistika molekúl ideálneho plynu je založená na nasledujúcich základných princípoch:
1. Molekuly plynu sa riadia zákonmi klasickej mechaniky.
2. Molekuly plynu majú individualitu, ktorá umožňuje ich vzájomné odlíšenie. Preto, keď dve molekuly v rôznych štátov zmeniť miesta, vedie to k ich novému rozdeleniu medzi štáty (nový mikroštát).
3. Predpokladá sa, že všetky spôsoby distribúcie sú rovnako pravdepodobné.
Predpoklad, že elektrónový plyn v kovoch sa riadi štatistikou Maxwell-Boltzmann, je vyvrátený množstvom experimentálnych výsledkov. Napríklad z tohto predpokladu vyplýva, že elektróny by sa mali podieľať na tepelnej kapacite kovov, ktorá je približne o dva rády väčšia ako experimentálne pozorovaná hodnota. Rozpor je odstránený, ak vezmeme do úvahy kvantové vlastnosti častíc v kryštáloch.
Na rozdiel od klasickej Maxwellovej-Boltzmannovej štatistiky, kvantová štatistika má tento uhol pohľadu zásadná nerozlíšiteľnosť identických častíc. Preto zámena dvoch kvantových častíc nevedie k novému mikrostavu. Pre elektróny a všetky častice s polovičným spinom je tiež potrebné brať do úvahy Pauliho princíp. Podľa tohto princípu môže v jednom kvantovom stave existovať iba jedna častica. Takéto častice sa nazývajú fermióny a poslúchať Fermi-Diracova kvantová štatistika. Iné kvantové štatistiky popisujú častice s nulovým a celočíselným spinom. Tieto častice sa neriadia Pauliho princípom a v jednom stave ich môže byť ľubovoľný počet. Takéto častice sa nazývajú bozóny, kvantová štatistika, ktorá popisuje ich rozloženie energie, - Bose-Einsteinova štatistika. Porovnanie týchto troch štatistík je na obr. 3.1 na príklade rozloženia dvoch častíc cez tri stavy. Rôzne stavy častíc na tomto obrázku sú znázornené bunkami.
Všetky možné spôsoby distribúcie dvoch častíc podľa klasickej Maxwell-Boltzmannovej štatistiky v troch stavoch sú znázornené na obr. 3.1,a. Pretože častice v týchto štatistikách sú rozlíšiteľné, sú označené rôznymi farbami. Celkovo je možných deväť mikrostavov, matematická pravdepodobnosť každého z nich je 1/9. V kvantovej štatistike Bose-Einsteina a Fermi-Diraca sú mikrostavy 1 a 2, 3 a 4, 5 a 6 zásadne nerozoznateľné a každý pár takýchto stavov by sa mal považovať za jeden mikrostav. Pre bozóny je počet možných mikrostavov 6 (obr. 3.1, b) a pravdepodobnosť každého z nich je 1/6. Pre fermióny nemožno realizovať mikrostavy, v ktorých sú v každom stave dve častice. V štatistike Fermi-Dirac zostávajú iba tri možné mikrostavy, ako je znázornené na obr. 3.1, c. Pravdepodobnosť každého z nich je 1/3.
Bose-Einsteinova štatistika riadi fotóny a fonóny, ktoré hrajú dôležitú úlohu vo fyzikálnych vlastnostiach pevných látok. Bose-Einsteinova distribučná funkcia má tvar
(3.3)
Tu E V- chemický potenciál bozónovej sústavy.
Ak celkový počet častíc nie je fixný, ale musí sa určiť z podmienky termodynamickej rovnováhy, ako je to v prípade fotónov pri vyžarovaní čierneho telesa, alebo fonónov v kryštáli, chemický potenciál je nulový. V tomto prípade sa vzorec (3.3) zhoduje s Planckovým vzorcom, ktorý určuje priemerný počet fotónov v tento typ oscilácie tepelného žiarenia úplne čierneho telesa.
3.2. Fermi-Diracova distribučná funkcia. Fermiho hladina.
Fermiho energia. Vplyv teploty na Fermi-Diracovu distribúciu
Fermi-Diracova distribučná funkcia, ktorá popisuje distribúciu fermiónov medzi štátmi, má nasledujúcu formu:
, (3.4)
Tu E F- chemický potenciál fermiónového systému, t.j. prácu, ktorú treba vynaložiť na zmenu počtu častíc v systéme o jednu. V prípade elektrónov množstvo E F volal Fermiho energia.
Uvažujme o tvare Fermi-Diracovej funkcie pri teplote klesajúcej k absolútnej nule. Ako je ľahko vidieť zo vzorca (3.4), pre akúkoľvek energiu častíc väčšiu ako Fermiho energia má exponenciála v menovateli tendenciu k nekonečnu pri , teda f(E) má tendenciu k nule. To znamená, že všetky energetické stavy s E > E Fúplne zadarmo pri absolútnej nule. Ak E< E F pri , f(E) smeruje k jednote. To znamená, že všetky kvantové stavy s energiou menšou ako Fermiho energia sú úplne obsadené elektrónmi. To vysvetľuje fyzikálny význam Fermiho energie ako parametra distribúcie elektrónov medzi stavmi: Fermiho energia je maximálna možná energia elektrónov v kove pri absolútnej nulovej teplote. Energetická hladina zodpovedajúca Fermiho energii sa nazýva Fermiho hladina.
Forma Fermi-Diracovej distribučnej funkcie pri T = 0K znázornené na obr. 3.2, a. Na obr. Obrázok 3.2b ukazuje distribúciu elektrónov naprieč energetickými hladinami vo vodivom pásme kovu pri rovnakej teplote.
Ak T ¹ 0 tispotom pri energii častíc, rovnakú energiu Fermi, Fermi-Diracova distribučná funkcia sa rovná 1/2 . To znamená, že pri akejkoľvek teplote odlišnej od absolútnej nuly je hladina Fermi naplnená do polovice. Forma Fermi-Diracovej funkcie pre dvoch rozdielne teploty schematicky znázornené na obr. 3.3. Zmena charakteru distribúcie elektrónov medzi stavmi je spojená s tepelnou excitáciou elektrónov. V tomto prípade niektoré elektróny prechádzajú do stavov s energiami väčšími ako Fermiho energia. Preto sa niektoré štáty pod úrovňou Fermiho ukážu ako slobodné. V dôsledku toho funkcia f(E)"rozmazané" v blízkosti Fermiho energie. Malá časť elektrónov nachádzajúcich sa v blízkosti Fermiho hladiny je vystavená tepelnej excitácii. Fermi-Diracova funkcia sa výrazne líši od tvaru, ktorý mala pri absolútnej nule iba pri . Miera „rozmazania“ je úmerná teplote (obr. 3.3). Čím vyššia je teplota, tým výraznejšie sa mení distribučná funkcia.
Vzhľadom na to
(3.5)
exponent v menovateli je vo vzorci (3.4) výrazne väčší ako jednota. V tomto prípade môže byť jednota zanedbaná a Fermi-Diracovo rozdelenie je transformované do formy
(3.6)
Výraz (3.6) sa vo forme zhoduje s Maxwell-Boltzmannovou distribučnou funkciou.
Pravdepodobnosť, že sa nejaká energia vyrovná s energiou E zadarmo, t.j. obsadená dierou, rovná sa
(3.7)
Fermi-Diracova distribučná funkcia pre diery je teda podobná distribučnej funkcii pre elektróny, ak sa v nej zmenia znamienka exponentov. To dobre súhlasí s myšlienkou, že diery sú nosičmi kladného náboja.
Plyn nosičov náboja, ktorý sa riadi Fermi-Diracovými štatistikami, sa nazýva degenerovať. Ak sa nosiče náboja riadia štatistikou Maxwella-Boltzmanna, potom sa volajú nedegenerované.
3.3. Funkcia hustoty stavov pre elektróny a diery
Na určenie počtu častíc s energiou v danom intervale je potrebné okrem distribučnej funkcie , poznať funkciu hustoty stavov . Táto funkcia popisuje rozloženie úrovní v zodpovedajúcich zónach a určuje počet úrovní na jednotkový energetický interval. Podľa definície
(3.8)
Tu, ako predtým, dZ- počet možných stavov súboru častíc (počet úrovní) s energiou obsiahnutou v rozsahu od E do E+dE. Funkcia g(E) vypočítajme pre kubický kryštál so stranou L. Energiu elektrónu v spodnej časti vodivého pásma možno približne znázorniť ako
(3.9)
Tu energia spodnej časti vodivého pásu, je efektívna hmotnosť elektrónu v spodnej časti vodivého pásma, k- kvázi-hybnosť elektrónu, - jeho súčasti. Podľa okrajových podmienok môžu kvázimomentálne zložky nadobudnúť iba tieto diskrétne energetické hodnoty:
Každá sada čísel n x, n y, n z zodpovedá nejakému kvantovému stavu (kvantovej úrovni). V priestore vlnových vektorov každý kvantový stav zodpovedá objemu , Kde V- objem kryštálu. Tieto elementárne kubické bunky budú zaberať objem gule v priestore vlnových čísel s polomerom k, čo zodpovedá maximu možný význam vlnový vektorový modul. Vyberme sférickú vrstvu uzavretú medzi dvoma povrchmi k = konšt A k+nevie= konšt. Objem tejto vrstvy je . Vydelením tohto objemu objemom základnej bunky a vynásobením 2, keďže každý stav môže obsahovať dva elektróny s opačnými spinmi, dostaneme počet stavov v objeme guľovej vrstvy:
. (3.10)
Podľa (3.9)
Nahrádzanie hodnôt k 2 a nevie do vzorca (3.10), dostaneme
Ak vezmeme do úvahy (3.8), získame konečný výraz pre hustotu kvantových stavov elektrónov na dne vodivého pásma:
(3.11)
Energiu dier v hornej časti valenčného pásma možno zapísať aj vo forme parabolického zákona:
(3.12)
Kde Ev- energia stropu valenčného pásma, - efektívna hmotnosť otvoru. Výpočty podobné tým, ktoré sa vykonali vyššie pre elektróny, vedú k nasledujúcemu výrazu pre hustotu dier stavov funkcie blízko vrcholu valenčného pásma:
(3.13)
Treba zdôrazniť, že vzorce (3.11) a (3.13) platia len pre stavy blízke energetickým extrémom, t.j. na dne alebo strope energetickej zóny. V strednej časti zóny presná podoba funkcie g(E) neznámy. Na obr. Obrázok 3.4 schematicky znázorňuje závislosti hustoty kvantových hladín v blízkosti spodnej časti vodivého pásma a hornej časti valenčného pásma.
3.4. Koncentrácie elektrónov a dier v polovodiči.
Zákon masovej akcie. Nedegenerovaný plyn elektrónov a dier
Vypočítajme koncentráciu elektrónov vo vodivom pásme polovodiča. Počet elektrónov dN nachádza sa v dZ stavy energetického pásma podľa rovnice (3.1) určuje výraz
Vzhľadom na to dZ = g(E) dE, dostaneme
. (3.14)
Celkový počet elektrónov vo vodivom pásme zistíme integrovaním výrazu (3.14) v rámci pásma
, (3.15)
Tu E p- energia stropu vodivého pásma. Keďže Fermi-Diracova distribučná funkcia s rastúcou energiou veľmi rýchlo klesá, hornú hranicu integrácie možno považovať za rovnú nekonečnu. Ak je stupeň naplnenia energetických stavov elektrónmi vo vodivom pásme malý ( f(E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (3.4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f(E) A g(E) do rovnice (3.15) vedie k nasledujúcemu výrazu pre koncentráciu elektrónov vo vodivom pásme:
. (3.16)
Transformujme teraz výraz (3.16) do tvaru
Zmeňme premenné v integrande
V dôsledku toho dostaneme
Integrál v tomto výraze sa rovná. Preto
(3.17)
Kde
. (3.18)
Veľkosť Nc volal efektívna hustota stavov vo vodivom pásme. Tento názov je spôsobený skutočnosťou, že celková koncentrácia elektrónov skutočne distribuovaných v určitom energetickom intervale vo vodivom pásme je rovnaká, ako keby bolo pásmo obsadené Ncúrovne s rovnakou energiou E c.
Podobne možno vypočítať koncentráciu dier vo valenčnom pásme. Keďže voľný stav vo valenčnom pásme vzniká v dôsledku prechodu elektrónu z tohto stavu do vodivého pásma, potom pravdepodobnosť, že stav s energiou E neobsadené vo valenčnom pásme, rovné .
Potom koncentrácia otvorov
Tu Ev- strop valenčného pásma.
Za predpokladu, že plyn z otvorov nie je degenerovaný, získame
(3.19)
Kde efektívna hustota stavov vo valenčnom pásme
. (3.20)
Násobením výrazov (3.17) a (3.19) dostaneme
(3.21)
Kde n i- koncentrácia nosičov vlastného náboja v polovodiči, Napr= E c - Ev- šírka pásma.
Volá sa vzťah (3.21). zákon masovej akcie. Pri odvodzovaní tohto zákona sme vychádzali z predpokladu, že stupeň naplnenia energetických hladín nosičmi náboja je oveľa menší ako jednota. Tento nosný plyn sa nazýva nedegenerované a polovodiče - nedegenerované.
Vo všeobecnosti je degenerovaný plyn vo fyzike plyn, ktorého vlastnosti sa líšia od vlastností klasického ideálneho plynu v dôsledku kvantovomechanických vlastností častíc plynu. Degenerovaný plyn sa riadi kvantovou mechanikou Fermi-Dirac alebo Bose-Einstein štatistika, nedegenerovaný plyn sa riadi štatistikou Mackwell-Boltzmann. Podmienkou prechodu plynu do nedegenerovaného stavu je splnenie nerovnosti f(E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:
(3.22)
Podobný vzťah platí pre otvory s výmenou n na p A na .
Otázku, či je plyn nosičov náboja v kryštáli degenerovaný alebo nedegenerovaný, určuje iba jeho koncentrácia a teplota. Nahradením číselných hodnôt veličín zahrnutých do nerovnosti (3.22) sa dá dospieť k záveru, že pri izbovej teplote ( T~ 300 K) bude nosný plyn nedegenerovaný, ak je jeho koncentrácia výrazne nižšia ako 10 25 m -3. Táto podmienka je splnená pre takmer všetky polovodiče. Keďže koncentrácia elektrónov vo vodivom pásme kovov presahuje 10 28 m -3, elektrónový plyn kovov je vždy degenerovaný.
Zákon hromadného pôsobenia je teda splnený pre akýkoľvek nedegenerovaný polovodič bez ohľadu na úlohu nečistôt, t.j. v akomkoľvek nedegenerovanom polovodiči vedie zvýšenie koncentrácie nosičov jedného znamienka k zníženiu koncentrácie nosičov opačného znamienka. Treba tiež poznamenať, že súčin koncentrácie elektrónov a dier nezávisí od polohy Fermiho hladiny.
3.5. Fermiho hladina v polovodičoch
Koncepty Fermiho energie a Fermiho úrovne boli zavedené skôr pre kovy. Keďže v polovodičoch má distribučná funkcia elektrónov nad stavmi rovnakú formu ako v kovoch, Fermiho energia v polovodičoch má rovnakú fyzický význam: Fermiho energia je maximálna povolená energia, pod ktorou sú pri nulovej absolútnej teplote obsadené všetky energetické hladiny [ f(E)= 1] a nad ktorým sú všetky úrovne prázdne [ f(E) = 0]. Pre polovodiče, v ktorých je pri absolútnej nule valenčné pásmo úplne vyplnené a vodivé pásmo je úplne voľné, má distribučná funkcia diskontinuitu. Preto musí Fermiho hladina v polovodiči ležať na absolútnej nule v pásme.
Pre vlastný polovodič sú koncentrácie elektrónov a dier rovné ( n = p), pretože Každý elektrón opúšťajúci valenčný pás vytvára jednu dieru. Rovnosťou (3.17) a (3.19) dostaneme
Riešenie poslednej rovnosti vzhľadom na E F, dostaneme
(3.23)
Ak sú efektívne hmotnosti elektrónov a dier rovnaké [ = , = 0], Fermiho hladina vlastného polovodiča pri akejkoľvek teplote sa nachádza v strede zakázaného pásma.
Teplotná závislosť Poloha Fermiho hladiny vo vlastnom polovodiči je určená tretím členom v rovnici (3.23). Ak je efektívna hmotnosť diery vo valenčnom pásme väčšia ako efektívna hmotnosť elektrónu vo vodivom pásme, potom sa Fermiho hladina posúva so zvyšujúcou sa teplotou bližšie k spodnej časti vodivého pásma. V opačnom prípade sa Fermiho hladina posúva smerom k vrcholu valenčného pásma. Poloha Fermiho hladiny vo vlastnom polovodiči so zmenou teploty je schematicky znázornená na obr. 3.5.
Pre väčšinu polovodičov nie je efektívna hmotnosť diery oveľa väčšia ako efektívna hmotnosť elektrónu a posun Fermiho hladiny s teplotou je zanedbateľný. Avšak indium antimonid (InSb) a zakázané pásmo je malé (Eg = 0,17 eV), takže pri T > 450 K vstupuje Fermiho hladina do vodivého pásma. Pri tejto teplote prechádza polovodič do degenerovaného stavu.
Polohu Fermiho hladiny v prímesových polovodičoch možno zistiť z podmienky elektrickej neutrality kryštálu. Pre darcovský polovodič je táto podmienka napísaná vo formulári
, (3.24)
Tu Nd- koncentrácia úrovní darcov, n d- koncentrácia elektrónov na úrovni darcu. Koncentrácia elektrónov vo vodivom pásme sa rovná súčtu koncentrácií dier vo valenčnom pásme a koncentrácii kladne nabitých donorových iónov (ten sa samozrejme rovná N d - n d).
Koncentráciu elektrónov na úrovniach darcu možno vypočítať vynásobením koncentrácie týchto úrovní Nd k Fermi-Diracovej distribučnej funkcii:
, (3.25)
Kde E d- aktivačná energia donorových úrovní.
Nahradením koncentrácie elektrónov (3.17) a dier (3.19), ako aj koncentrácie elektrónov na donorových úrovniach (3.25) do podmienky elektrickej neutrality (3.24) sa získa nasledujúca rovnica pre polohu Fermiho hladiny E F :
. (3.26)
Pri dosadení koncentrácie elektrónov na donorových úrovniach do rovnice (3.24) sa vychádzalo z predpokladu, že plyn elektrónov atómov nečistôt je nedegenerovaný, čo umožnilo zanedbať jednotu v menovateli vzorca (3.25).
Rovnica (3.26) sa pre svoju zložitosť zvyčajne nerieši vo všeobecnej forme, ale obmedzuje sa na zváženie špeciálnych prípadov. Napríklad pri nízkych teplotách, keď sa elektróny vo vodivom pásme objavujú hlavne v dôsledku prechodov z hladín nečistôt a koncentrácia dier je blízka nule, riešenie rovnice (3.26) má tvar
. (3.27)
Z rovnice (3.27) vyplýva, že pri absolútnej nulovej teplote je Fermiho energia donorového polovodiča presne v strede medzi spodnou časťou vodivého pásma a hladinami donoru. Teplotnú závislosť polohy Fermiho hladiny určuje tretí člen rovnice (3.27), ktorý mení znamienko s teplotou. Preto sa so zvyšujúcou sa teplotou Fermiho hladina najskôr posúva do vodivého pásma a potom do valenčného pásma (obr. 3.6a).
Podobne je možné získať vyjadrenie teplotnej závislosti Fermiho hladiny v akceptorovom polovodiči. Graf tejto závislosti je schematicky znázornený na obr. 3,6, b.
3.6. Rovnovážne a nerovnovážne nosiče náboja. Kvázi-Fermiho úrovne
Poloha Fermiho hladiny vo vnútorných a prímesových polovodičoch súvisí s koncentráciou nosičov náboja, ktoré sa ustanovili pri danej teplote v stave termodynamickej rovnováhy. Prenos elektrónov do vodivého pásma v dôsledku teplotnej excitácie a objavenia sa dier vo valenčnom pásme v dôsledku tohto procesu sa nazýva tepelné generovanie voľných nosičov náboja. Súčasne dochádza aj k opačnému procesu: elektróny sa vracajú do valenčného pásma, v dôsledku čoho elektrón a diera zmiznú. Tento proces sa nazýva rekombinácia nosičov náboja. Aby sme kvantitatívne opísali procesy generovania a rekombinácie nosičov náboja v polovodičoch, koncepty rýchlosť generovania, miery rekombinácie A celý život nosiče nábojov.
Rýchlosť generovania nosičov je počet excitovaných nosičov v jednotkovom objeme polovodiča za jednotku času.
Rýchlosť rekombinácie nosičov je počet rekombinácií nosičov v jednotkovom objeme polovodiča za jednotku času.
Životnosť médií tje priemerný čas od vytvorenia nosiča po jeho rekombináciu.
Z vyššie uvedených definícií priamo vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi rýchlosťami rekombinácie elektrónov: Rn a diery Rp a obdobia ich životatn A tpv tomto poradí:
(3.28)
Tu sa berie do úvahy, že 1/ t - pravdepodobnosť rekombinácie nosiča za jednotku času.
Pri fixnej teplote sa nastolí termodynamická rovnováha, v ktorej sú procesy generovania a rekombinácie vzájomne vyvážené. Takéto nosiče, ktoré sú v tepelnej rovnováhe s kryštálovou mriežkou, sa nazývajú rovnováha.
Elektrickú vodivosť polovodiča je možné vybudiť aj inými spôsobmi, napríklad ožiarením svetlom, pôsobením ionizujúcich častíc, elektrickým poľom, vstrekovaním nosičov cez kontakt a pod. Vo všetkých týchto prípadoch sa okrem rovnovážnych nosičov sa v polovodiči objavia nosiče náboja, ktoré nebudú v tepelnej rovnováhe s kryštálom. Takéto médiá sú tzv nerovnovážne.
Celková koncentrácia elektrónov vo vodivom pásme n v prípade rovnovážneho a nerovnovážneho môžu byť nosiče zastúpené vo forme
, (3.29)
Kde n 0– koncentrácia rovnovážnych elektrónov;Dn- koncentrácia nerovnovážnych elektrónov.
Celková koncentrácia otvoru
, (3.30)
Kde p 0 A Dp- rovnovážne a nerovnovážne koncentrácie otvorov.
Keďže Fermiho-Diracovo rozdelenie platí len pre stav termodynamickej rovnováhy, je zrejmé, že štatistika nerovnovážnych nosičov by mala byť odlišná. Pri absencii termodynamickej rovnováhy je obvyklé zaviesť dva nové distribučné parametre E Fn pre elektróny a E Fp pre diery. Tieto parametre sa volia tak, že pre koncentrácie elektrónov a dier v prítomnosti nerovnovážnych nosičov sú splnené rovnice (3.17) a (3.19) s výhradou nahradenia E F na E Fn pre elektróny a E Fp pre diery. množstvá E Fn A E Fp volal kvázi-Fermiho úrovne elektróny a diery. V nedegenerovaných polovodičoch teda platia nasledujúce rovnice:
, (3.31)
V stave termodynamickej rovnováhy sa kvázi-Fermiho hladiny zhodujú s Fermiho rovnovážnou hladinou E F. Čím vyššia je koncentrácia nerovnovážnych nosičov náboja, tým ďalej sú kvázi-Fermiho hladiny od Fermiho hladiny. Z rovníc (3.31), (3.32), (3.17) a (3.19) vyplýva
. (3.33)
Tento vzťah vyjadruje vzťah medzi koncentráciami elektrónov a dier v nerovnovážnom stave. Energetický rozdiel charakterizuje odchýlku od stavu termodynamickej rovnováhy. Ak n.p. > n 0· p 0, To . Táto podmienka zodpovedá injekcie(vhadzovanie) prebytočných nosičov. Ak n.p. < n 0 p 0, potom hovoria o extrakcia(vyčerpanie) nosičov.
Nerovnovážne nosiče hrajú dôležitú úlohu pri prevádzke polovodičových zariadení.
Fermiho energia. Vplyv teploty na Fermi-Diracovu distribúciu
Funkcia distribúcie Fermi-Dirac, ktorá popisuje distribúciu fermiónov medzi štátmi, má nasledujúcu formu:
Tu E F- chemický potenciál fermiónového systému, t.j. prácu, ktorú treba vynaložiť na zmenu počtu častíc v systéme o jednu. V prípade elektrónov množstvo E F volal Fermiho energia.
Uvažujme o tvare Fermi-Diracovej funkcie pri teplote klesajúcej k absolútnej nule. Ako je ľahko vidieť zo vzorca (3.4), pre akúkoľvek energiu častíc väčšiu ako Fermiho energia má exponenciála v menovateli tendenciu k nekonečnu, preto f(E) má tendenciu k nule. To znamená, že všetky energetické stavy s E > E Fúplne zadarmo pri absolútnej nule. Ak E< E F o , f(E) smeruje k jednote. To znamená, že všetky kvantové stavy s energiou menšou ako Fermiho energia sú úplne obsadené elektrónmi. To vysvetľuje fyzikálny význam Fermiho energie ako parametra distribúcie elektrónov medzi stavmi: Fermiho energia je maximálna možná energia elektrónov v kove pri absolútnej nulovej teplote. Energetická hladina zodpovedajúca Fermiho energii sa nazýva Fermiho hladina.
Forma Fermi-Diracovej distribučnej funkcie pri T = 0K znázornené na obr. 3.2, a. Na obr. Obrázok 3.2b ukazuje distribúciu elektrónov na energetických úrovniach vo vodivom pásme kovu pri rovnakej teplote.
Ak T 0 tis, potom pre energiu častíc rovnajúcu sa Fermiho energii je Fermi-Diracova distribučná funkcia rovná 1/2 . To znamená, že pri akejkoľvek teplote odlišnej od absolútnej nuly je hladina Fermi naplnená do polovice. Forma Fermi-Diracovej funkcie pre dve rôzne teploty je schematicky znázornená na obr. 3.3. Zmena charakteru distribúcie elektrónov medzi stavmi je spojená s tepelnou excitáciou elektrónov. V tomto prípade niektoré elektróny prechádzajú do stavov s energiami väčšími ako Fermiho energia. Preto sa niektoré štáty pod úrovňou Fermiho ukážu ako slobodné. V dôsledku toho funkcia f(E)„rozmazané“ v blízkosti Fermiho energie. Malá časť elektrónov nachádzajúcich sa v blízkosti Fermiho hladiny je vystavená tepelnej excitácii. Fermi-Diracova funkcia sa výrazne líši od tvaru, ktorý mala pri absolútnej nule iba pri . Miera „rozmazania“ je úmerná teplote (obr. 3.3). Čím vyššia je teplota, tým výraznejšie sa mení distribučná funkcia.
Vzhľadom na to
(3.5)
exponent v menovateli je vo vzorci (3.4) výrazne väčší ako jednota. V tomto prípade môže byť jednota zanedbaná a Fermi-Diracovo rozdelenie je transformované do formy
Výraz (3.6) sa vo forme zhoduje s Maxwell-Boltzmannovou distribučnou funkciou.
Pravdepodobnosť, že sa nejaká energia vyrovná s energiou E zadarmo, t.j. obsadená dierou, rovná sa
Fermiho hladina. Napriek obrovskému počtu voľných elektrónov v kove sú usporiadané podľa energetických úrovní potenciálnej studne v prísnom poradí. Každý elektrón zaberá voľné miesto na najnižšej možnej úrovni. A to je celkom prirodzené, keďže každý systém je ponechaný sám na seba, teda v neprítomnosti vonkajší vplyv, má vždy tendenciu ísť do stavu s najnižšou energiou. Rozdelenie elektrónov medzi hladinami podlieha Pauliho princípu, podľa ktorého žiadne dve častice nemôžu byť v presne rovnakých stavoch. Z tohto dôvodu môže každá energetická hladina pojať nie viac ako dva elektróny a dokonca aj vtedy majú rôzne smery rotácie. Keďže nižšie úrovne sú obsadené zamestnancami, vyššie a vyššie úrovne sú obývané. Ak má uvažovaná kovová vzorka N voľných elektrónov, potom pri absencii tepelnej excitácie, teda pri absolútnej nulovej teplote (T = 0), budú všetky voľné elektróny umiestnené v pároch na N/2 nižších úrovniach (obr. 47). ). Najvyššia energetická hladina kovovej potenciálovej jamy, obsadená elektrónmi pri T = 0, sa nazýva Fermiho hladina * a označuje sa písmenom μ alebo W F. Energia elektrónu umiestneného na tejto úrovni sa nazýva Fermiho energia. Všetky energetické hladiny umiestnené nad Fermiho hladinou sa ukážu ako úplne prázdne pri T = 0.
* (Táto úroveň dostala svoj názov na počesť vynikajúceho talianskeho fyzika E. Fermiho, ktorý spolu so slávnym anglickým fyzikom P. Diracom vypracoval teóriu správania sa skupín častíc, ktoré sa v kove správajú ako elektróny.)
Je celkom zrejmé, že na to, aby elektróny nachádzajúce sa na Fermiho úrovni opustili kov, musí byť vykonaná práca
Nazýva sa množstvo A, ktoré sa rovná energetickej vzdialenosti medzi hladinou vzdialeného elektrónu BB a Fermiho hladinou termodynamická práca výstup alebo jednoducho pracovný výstup. Práve táto hodnota určuje správanie rôzne kovy pri nadväzovaní kontaktu medzi nimi alebo pri vytváraní kontaktu kov-polovodič.
Fermi-Diracova distribučná funkcia. Povaha distribúcie častíc nad rôzne úrovne alebo stavov za určitých podmienok určuje takzvaná distribučná funkcia. Vo všeobecnosti distribučná funkcia popisuje pravdepodobnosť, že konkrétna úroveň bude obsadená časticami. Ak je spoľahlivo známe, že danú úroveň osídľuje častica, potom hovoria, že pravdepodobnosť detekcie častice na tejto úrovni je rovná 1. Ak sa dá s úplnou istotou povedať, že žiadne častice na úrovni pod úvahy, potom hovoria, že pravdepodobnosť detekcie častíc v uvažovanom stave je 0 V mnohých prípadoch sa však nedá spoľahlivo konštatovať, že hladina je plná alebo prázdna. Potom je pravdepodobnosť nájdenia častice na uvažovanej úrovni iná ako nula, ale menšia ako jedna. Navyše, čím väčšia je pravdepodobnosť detekcie častice na uvažovanej úrovni, tým bližšie k jednote je hodnota distribučnej funkcie pre príslušný stav.
Ak pozdĺž osi x nakreslíme energetické hodnoty zodpovedajúce rôznym úrovniam, od spodnej časti potenciálovej studne po jej strop a pozdĺž osi y - pravdepodobnosť naplnenia zodpovedajúcich úrovní elektrónmi, potom získame graf Fermiho - Diracova distribučná funkcia Pri T = 0 má tvar znázornený na obrázku 48. Tento graf sa často nazýva Fermiho krok. Ukazuje, že pri T = 0 sa ukáže, že všetky hladiny až po Fermiho hladinu sú obsadené elektrónmi. V bode W = μ distribučná funkcia náhle klesne na nulu; to znamená, že všetky úrovne nad úrovňou Fermi sú prázdne.
Vplyv teploty. Pri teplotách iných ako nula vzhľad grafu závislosti 
sa líši od toho, ktorý je znázornený na obrázku 48. Zvýšenie teploty vedie k vzniku tepelnej excitácie elektrónov, ktoré dostávajú z tepelných vibrácií kryštálovú mriežku. Vďaka tomuto budeniu sa časť elektrónov nachádzajúcich sa na najvyšších naplnených hladinách presunie do prázdnych hladín ležiacich nad Fermiho hladinou (obr. 49). Pravdepodobnosť detekcie elektrónov na týchto úrovniach sa stáva nenulovou. Zároveň v dôsledku odchodu niektorých elektrónov z niektorých hladín umiestnených priamo pod Fermiho hladinou bude pravdepodobnosť ich naplnenia menšia ako jedna. Zvýšenie teploty teda vedie k určitému „rozmazaniu“ hranice Fermiho kroku: namiesto náhlej zmeny z 1 na 0 má distribučná funkcia hladký prechod. Na obrázku 50 bodkovaná čiara znázorňuje graf funkcie distribúcie hladiny elektrónov pri T = 0 a plné čiary odrážajú distribúciu elektrónov pri teplotách iných ako nula. Oblasť krivočiareho trojuholníka umiestnená pod distribučnou krivkou napravo od hodnoty W F (miesto 2) je úmerné počtu elektrónov, ktoré prešli na excitované úrovne, a plocha toho istého trojuholníka umiestneného naľavo od hodnoty W F nad distribučnou krivkou (miesto 1) je úmerná počtu elektróny, ktoré opustili úrovne, ktoré boli predtým zaplnené, to znamená počet voľných miest pod úrovňou Fermi. Je jasné, že plochy týchto dvoch trojuholníkov sú rovnaké, keďže z rôznych pozícií vyjadrujú rovnaký počet elektrónov.
Je potrebné poznamenať, že v rozsahu prevádzkových teplôt je stupeň rozmazania krivky distribúcie elektrónov v kove veľmi malý. Vysvetľuje to skutočnosť, že iba tie elektróny, ktoré sa nachádzajú na energetických úrovniach bezprostredne susediacich s Fermiho hladinou, podliehajú tepelnej excitácii. Je možné kvalitatívne odhadnúť energetickú hĺbku úrovní podstupujúcich excitáciu. Z molekulárnej fyziky je známe, že kinetická energia častíc v dôsledku tepelného pohybu sa vyjadruje takto:
V dôsledku toho sa hodnota energie, ktorú atómy kryštálovej mriežky podliehajúce tepelným vibráciám môžu preniesť na elektróny, rovná rádovo kT. Pri izbovej teplote 
pričom Fermiho energia pre kovy pri tejto teplote leží v rozsahu od 3 do 10 eV. Preto sa ukazuje, že v normálnych podmienkach nie viac ako 1 % všetkých voľných elektrónov sa môže zúčastniť prechodov na vyššie energetické hladiny. Navyše sú to práve tie elektróny, ktorých energia je blízka Fermiho energii. Pokiaľ ide o elektróny, ktoré osídľujú energetické hladiny nachádzajúce sa hlboko v potenciálovej studni a vzdialené od Fermiho hladiny viac ako kT, nezúčastňujú sa tepelnej excitácie, preto distribúcia týchto elektrónov zostáva rovnaká ako pri absolútnej nule.
Fyzikálny význam Fermiho hladiny. V §6 sa diskutuje o schopnosti pevných látok viesť elektrický prúd sme dospeli k záveru, že vodivosť je spojená s možnosťou prechodu elektrónov na vyššie energetické hladiny, to znamená, že je určená možnosťou, že elektróny dostanú zrýchlenie vo vonkajšom prostredí. elektrické pole. V kovoch pri T > 0 je takáto možnosť dostupná iba pre elektróny nachádzajúce sa v oblasti rozmazania distribučnej funkcie, pretože skutočné elektrické polia nie sú schopné vytiahnuť elektróny z hĺbky potenciálnej studne a preniesť ich na voľné hladiny, ktorých energia je vyššia ako W F (a preniesť ich na susedné, vyššie umiestnené hladiny, hlboké elektróny nemôžu, pretože všetky tieto hladiny sú obsadené). V dôsledku toho pri T > 0 má Fermiho energia význam najpravdepodobnejšej alebo priemernej energie kovových elektrónov, ktoré sa môžu podieľať na vedení pri danej teplote. Tieto elektróny sú zodpovedné za viac než len vytváranie elektrickej vodivosti. Určujú príspevok elektronickej tepelnej kapacity k celkovej tepelnej kapacite kryštálu a do značnej miery určujú tepelnú vodivosť kryštálu.
Fermiho hladina v kovoch prakticky nemení svoju polohu pri zvyšovaní teploty. So zvyšujúcou sa teplotou sa zvyšuje stupeň excitácie elektrónov a tie sa pohybujú na vyššie úrovne. Zároveň sú vzrušené aj čoraz hlbšie úrovne, ktoré majú nižšiu energiu. Distribučná krivka pri T 2 > T 1 (pozri obr. 50) sa „rozotiera“ silnejšie ako pri T 1, ale rovnako vpravo aj vľavo. Preto priemerná energia elektrónov zúčastňujúcich sa vedenia zostáva prakticky nezmenená. Platí to o to viac, že medzi excitovanými úrovňami prebieha neustála výmena elektrónov.
Fermiho energia a teplota degenerácie
Priemerná energia klasického (nedegenerovaného) plynu je rádovo ~ kT. Pri izbovej teplote ( T≈300 K) kT≈ 0,025 eV. Porovnanie tejto veličiny s Fermiho energiou to ukazuje kT << E F . To znamená, že elektrónový plyn v kovoch je vždy degenerovaný, to znamená, že vykazuje čisto kvantové vlastnosti.
Jedným z kritérií degenerácie je teplota degenerácie, rovné
O T < T F systém je zdegenerovaný a riadi sa kvantovou štatistikou. O T > T F systém nie je zdegenerovaný a jeho správanie sa riadi klasickou Maxwell-Boltzmannovou štatistikou.
Tabuľka 3.1 tiež ukazuje teploty degenerácie elektrónového plynu. Sú rádovo v desiatkach a stovkách tisíc stupňov. To znamená, že elektrónový plyn je degenerovaný pri všetkých teplotách, pri ktorých je kov v pevnom stave. Degenerácia plynu je uľahčená nízkou hodnotou hmotnosti elektrónu m a ich vysoká koncentrácia n.
Pozrime sa na správanie distribučnej funkcie f F pri T>0
.(3.2.8)
So zvyšujúcou sa teplotou získavajú elektróny tepelná energia poriadku kT a presúvajú sa na vyššie energetické hladiny (nad Fermiho hladinu), v dôsledku čoho sa mení charakter ich rozloženia medzi energetickými stavmi (obr. 3.3, b). V porovnaní s nulovou teplotou pokles krivky f F (E) nenastáva náhle na nulu pri E= E F, ale vyskytuje sa plynule v páse so šírkou rádovo ~ 2 kT. Keďže energia tepelného pohybu kT je podstatne menšia ako Fermiho energia, potom len elektróny úzkeho energetického pásma rádu kT, nachádzajúcej sa priamo v blízkosti Fermiho hladiny (obr. 3.5).
Elektróny nachádzajúce sa na hlbších energetických úrovniach zostávajú prakticky neovplyvnené, pretože energia tepelného pohybu kT nestačí na ich vzrušenie (preniesť ich za úroveň Fermiho). Energia E=
E F, zodpovedá hodnote distribučnej funkcie 
. Preto, kedy T > 0Fermiho hladina je energetická hladina, ktorej pravdepodobnosť naplnenia je vysoká
.
Na obr. 3.3b sú vytieňované plochy úmerné počtu elektrónov opúšťajúcich stav s energiou 
, (stránka ADV) a presun na úrovne umiestnené nad úrovňou Fermi 
(stránka námorníctva). Tieto oblasti majú rovnakú veľkosť. Podiel elektrónov vstupujúcich do stavu tepelnej excitácie sa rovná
, (3.2.9)
Pri izbovej teplote je tento podiel nevýznamný a predstavuje menej ako 1 %. celkový počet vodivostné elektróny.
Táto okolnosť vysvetľuje skutočnosť, že tepelná kapacita elektrónového plynu sa ukazuje ako extrémne malá v porovnaní s tepelnou kapacitou mriežky. Jeho molárna tepelná kapacita 
a podľa klasickej teórie 
. (R je tu univerzálna plynová konštanta). Tento výsledok dobre súhlasí s experimentom a odstraňuje jednu z ťažkostí klasickej elektronickej teórie kovov.
3.3. Pojem kvantovej teórie elektrickej vodivosti kovov
Teória elektrickej vodivosti kovov, postavená na základe kvantovej mechaniky a Fermi-Diracovej kvantovej štatistiky, sa nazýva kvantová teória elektrickej vodivosti kovov.
Výpočet elektrickej vodivosti kovov v kvantová teória produkoval Sommerfeld. Ohmov zákon bol odvodený v diferenciálnej forme
, (3.3.1)
Kde
- špecifická vodivosť; 
- prúdová hustota v danom bode; 
- intenzita elektrického poľa.
Pre špecifickú vodivosť bol získaný nasledujúci výraz:
;
(3.3.2)
Kde 
- priemerná dĺžka voľná dráha elektrónu s Fermiho energiou, 
- rýchlosť takého elektrónu, m
- jeho hmotnosť.
Porovnajme (3.12) s výrazom získaným z klasickej elektrónovej teórie kovov
. (3.3.3)
V tomto výraze <
λ
>
- stredná voľná dráha elektrónu, 
- priemerná rýchlosť jeho tepelný pohyb.
Napriek tomu, že výrazy (3.12) a (3.13) sú vzhľadovo podobné, ich obsah je odlišný. Priemerná rýchlosť tepelného pohybu 
závisí od teploty napr 
, A 
prakticky nezávisí od teploty, pretože pri zmene teploty zostáva Fermiho energia a následne aj rýchlosť prakticky nezmenená.
Najvýznamnejším rozdielom medzi vzorcami (3.3.2) a (3.3.3) je význam pojmu bezelektrónová dráha < λ > v klasickej a kvantovej teórii kovov.
Klasická elektronická teória považuje elektróny za obyčajné častice a za príčinu elektrického odporu kovov považuje zrážky elektrónov s uzlami kryštálovej mriežky. Za predpokladu, že elektróny sa zrazia s takmer všetkými miestami mriežky pozdĺž ich dráhy, klasickej teórie prijíma < λ > rovná parametru mriežky d(d 10 -10 m).
Kvantová teória považuje elektrón za časticu s vlnovými vlastnosťami a elektrický prúd v kove za proces šírenia elektronických vĺn, ktorých vlnová dĺžka je určená de Broglieho vzorcom.
. (3.3.4)
Takéto predstavy umožňujú vysvetliť experimentálne pozorovanú teplotnú závislosť špecifickej vodivosti
a odporom 
. Uvažujme ideálnu kryštálovú mriežku kovu, v ktorej uzloch sú nepohyblivé ióny a nie sú tam žiadne nečistoty ani defekty. Takáto ideálna mriežka nerozptyľuje elektrónové vlny a elektrický odpor takéhoto kovu by mal byť nulový.
V skutočných kryštáloch at T > 0 ióny podliehajú tepelným vibráciám okolo rovnovážnej polohy, čím sa porušuje prísna periodicita mriežky. Okrem toho takéto mriežky zvyčajne obsahujú štrukturálne chyby: nečistoty, voľné miesta, dislokácie atď. Všetky tieto nehomogenity zohrávajú úlohu rozptylových centier pre elektrónové vlny a spôsobujú elektrický odpor. Výpočet ukazuje, že priemerná voľná cesta < λ F > závisí od teploty podľa zákona
, (3.3.5)
Kde 
- modul pružnosti; d
- mriežkový parameter.
Berúc do úvahy (3.15), špecifickú vodivosť , definovaný vzorcom (3.12), bude mať tvar
, (3.3.6)
to jest 
, a 
, čo sa dobre zhoduje so skúsenosťami v oblasti nie príliš nízkych teplôt.
P 
Pri veľmi nízkych teplotách vzorec (3.3.5) neobstojí. V tomto prípade sa voľná dráha ukáže ako nepriamo úmerná nie prvej, ale piatej mocnine teploty, a teda odporu ρ
bude úmerná piatej mocnine absolútnej teploty.
Obrázok 3.7 ukazuje závislosť elektrického odporu kovu od teploty. O T = 0 Odpor kovu sa nerovná nule, ale zvyškovému odporu ost , spôsobené rozptylom elektrónových vĺn na štruktúrnych defektoch v kovovej mriežke.