Obrátená dotyčnica. Inverzné goniometrické funkcie a ich grafy

Inverzné goniometrické funkcie- ide o arkzín, arkozínus, arktangens a arkkotangens.

Najprv si dajme pár definícií.

arkzín Alebo môžeme povedať, že toto je uhol patriaci segmentu, ktorého sínus je rovná sa číslu A.

oblúkový kosínusčíslo a sa nazýva číslo také, že

Arktangensčíslo a sa nazýva číslo také, že

Arckotangensčíslo a sa nazýva číslo také, že

Povedzme si podrobne o týchto štyroch pre nás nových funkciách – inverzných goniometrických.

Pamätajte, že sme sa už stretli.

Napríklad aritmetika Odmocnina z čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.

Logaritmus čísla b so základom a je číslo c také, že

V čom

Chápeme, prečo matematici museli „vynájsť“ nové funkcie. Napríklad riešenia rovnice sú a nemohli by sme ich zapísať bez špeciálneho aritmetického symbolu druhej odmocniny.

Koncept logaritmu sa ukázal ako nevyhnutný na zapísanie riešení, napríklad takejto rovnice: Riešenie tejto rovnice je iracionálne číslo Toto je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť 2, aby ste dostali 7.

Rovnako je to s goniometrickými rovnicami. Napríklad chceme vyriešiť rovnicu

Je jasné, že jeho riešenia zodpovedajú bodom na trigonometrickej kružnici, ktorých ordináta sa rovná A je jasné, že to nie je tabuľková hodnota sínusu. Ako zapísať riešenia?

Tu sa nezaobídeme bez novej funkcie, označujúcej uhol, ktorého sínus sa rovná dané číslo a. Áno, každý už uhádol. Toto je arcsínus.

Uhol patriaci segmentu, ktorého sínus je rovnaký, je arcsínus jednej štvrtiny. A to znamená, že rad riešení našej rovnice zodpovedajúci správnemu bodu na trigonometrickej kružnici je

A druhá séria riešení našej rovnice je

Viac o riešení goniometrické rovnice - .

Zostáva zistiť - prečo definícia arcsínusu naznačuje, že ide o uhol patriaci do segmentu?

Faktom je, že existuje nekonečne veľa uhlov, ktorých sínus sa rovná napríklad . Musíme si vybrať jednu z nich. Vyberieme ten, ktorý leží na segmente.

Pozrite sa na trigonometrický kruh. Uvidíte, že na segmente každý uhol zodpovedá určitej sínusovej hodnote a iba jednej. A naopak, akákoľvek hodnota sínusu zo segmentu zodpovedá jeden jediný význam uhol na segmente. To znamená, že na segmente môžete definovať funkciu s hodnotami od do

Zopakujme si definíciu ešte raz:

Arkussínus čísla je číslo , také že

Označenie: Oblasť definície arcsínusu je segment.

Môžete si spomenúť na frázu „arcsines žijú na pravej strane“. Len nezabudnite, že to nie je len vpravo, ale aj v segmente.

Sme pripravení na graf funkcie

Ako obvykle vynášame hodnoty x na vodorovnú os a hodnoty y na zvislú os.

Pretože teda x leží v rozsahu od -1 do 1.

To znamená, že doménou definície funkcie y = arcsin x je segment

Povedali sme, že y patrí do segmentu . To znamená, že rozsah hodnôt funkcie y = arcsin x je segment.

Všimnite si, že graf funkcie y=arcsinx úplne zapadá do oblasti ohraničenej čiarami a

Ako vždy pri vykresľovaní grafu neznámej funkcie, začnime tabuľkou.

Arkussínus nuly je podľa definície číslo zo segmentu, ktorého sínus sa rovná nule. čo je to za číslo? - Je jasné, že toto je nula.

Podobne arcsínus jednotky je číslo zo segmentu, ktorého sínus je rovný jednej. Očividne toto

Pokračujeme: - toto je číslo zo segmentu, ktorého sínus sa rovná . Áno to

			0
			0

Zostavenie grafu funkcie

Vlastnosti funkcie

1. Rozsah definície

2. Rozsah hodnôt

3., čiže táto funkcia je nepárna. Jeho graf je symetrický podľa pôvodu.

4. Funkcia sa zvyšuje monotónne. jej najmenšia hodnota, rovná sa - , sa dosiahne pri , a najväčšia hodnota sa rovná , pri

5. Čo robia grafy funkcií a ? Nemyslíte si, že sú „vyrobené podľa rovnakého vzoru“ – rovnako ako pravá vetva funkcie a graf funkcie, alebo ako grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií?

Predstavte si, že z obyčajnej sínusovky vystrihneme malý úlomok od do do a potom ho otočíme vertikálne - a dostaneme arcsínusový graf.

Čo pre funkciu v tomto intervale sú hodnoty argumentu, potom pre arcsínus budú hodnoty funkcie. Tak to má byť! Koniec koncov, sínus a arcsínus sú vzájomne inverzné funkcie. Ďalšie príklady párov vzájomne inverzných funkcií sú at a , ako aj exponenciálne a logaritmické funkcie.

Pripomeňme, že grafy vzájomne inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku

Podobne definujeme funkciu Potrebujeme iba segment, na ktorom každá hodnota uhla zodpovedá svojej vlastnej kosínusovej hodnote, a keď poznáme kosínus, môžeme uhol jednoznačne nájsť. Bude nám vyhovovať segment

Oblúkový kosínus čísla je číslo , také že

Je ľahké si zapamätať: „oblúkové kosíny žijú zhora“, a to nielen zhora, ale aj v segmente

Označenie: Oblasť definície kosínusu oblúka je segment.

Je zrejmé, že segment bol vybraný, pretože v ňom sa každá kosínusová hodnota berie iba raz. Inými slovami, každá kosínusová hodnota, od -1 do 1, zodpovedá jednej hodnote uhla z intervalu

Arc cosinus nie je ani párne ani nepárna funkcia. Môžeme však použiť nasledujúci zrejmý vzťah:

Nakreslíme funkciu

Potrebujeme sekciu funkcie, kde je monotónna, to znamená, že každú hodnotu naberá práve raz.

Vyberme si segment. Na tomto segmente funkcia klesá monotónne, to znamená, že korešpondencia medzi množinami je jedna k jednej. Každá hodnota x má zodpovedajúcu hodnotu y. Na tomto segmente je funkcia inverzná ku kosínusu, teda funkcia y = arccosx.

Vyplňte tabuľku pomocou definície arc cosinus.

Arkuskosínus čísla x patriaceho do intervalu bude číslo y patriace do intervalu tak, že

To znamená, keďže ;

Pretože ;

pretože ,

			0
					0

Tu je oblúkkosínusový graf:

Vlastnosti funkcie

1. Rozsah definície

2. Rozsah hodnôt

Táto funkcia všeobecný pohľad- nie je párne ani nepárne.

4. Funkcia sa striktne znižuje. Najvyššia hodnota, rovná sa , funkcia y = arccosx nadobúda hodnotu a najmenšia hodnota rovná nule nadobúda hodnotu

5. Funkcie a sú vzájomne inverzné.

Ďalšie sú arkustangens a arkustangens.

Arkustangens čísla je číslo , také že

Označenie: . Oblasť definície arkustangensu je interval.

Prečo sú v definícii arkustangens vylúčené konce intervalu - body? Samozrejme, pretože dotyčnica v týchto bodoch nie je definovaná. Neexistuje žiadne číslo rovné dotyčnici žiadneho z týchto uhlov.

Zostavme graf arkustangens. Arkustangens čísla x je podľa definície číslo y patriace do intervalu tak, že

Ako zostaviť graf je už jasné. Keďže arkustangens je inverzná funkcia tangensu, postupujeme takto:

Vyberieme časť grafu funkcie, kde je zhoda medzi x a y jedna ku jednej. Toto je interval C. V tejto sekcii funkcia nadobúda hodnoty od do

Potom má inverzná funkcia, teda funkcia, doménu definície, ktorá bude celá číselná os od do a rozsah hodnôt bude interval

znamená,

Čo sa však stane pre nekonečne veľké hodnoty x? Inými slovami, ako sa táto funkcia správa, keď má x tendenciu k plus nekonečnu?

Môžeme si položiť otázku: pre ktoré číslo v intervale má dotyčnica tendenciu k nekonečnu? - Očividne toto

To znamená, že pre nekonečne veľké hodnoty x sa arctangens graf blíži k horizontálnej asymptote

Podobne, ak sa x blíži k mínus nekonečnu, graf arkustangens sa blíži k horizontálnej asymptote

Na obrázku je znázornený graf funkcie

Vlastnosti funkcie

1. Rozsah definície

2. Rozsah hodnôt

3. Funkcia je nepárna.

4. Funkcia sa prísne zvyšuje.

6. Funkcie a sú vzájomne inverzné - samozrejme, keď je funkcia uvažovaná na intervale

Podobne definujeme funkciu inverznej dotyčnice a vykreslíme jej graf.

Arkuskotangens čísla je číslo , také že

Funkčný graf:

Vlastnosti funkcie

1. Rozsah definície

2. Rozsah hodnôt

3. Funkcia má všeobecný tvar, to znamená, že nie je ani párna, ani nepárna.

4. Funkcia sa striktne znižuje.

5. Priame a - horizontálne asymptoty tejto funkcie.

6. Funkcie a sú vzájomne inverzné, ak sú uvažované na intervale

Inverzné goniometrické funkcie(kruhové funkcie, oblúkové funkcie) - matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám.

Tieto zvyčajne zahŕňajú 6 funkcií:

arkzín(označenie: arcsin x; arcsin x- toto je uhol hriechčo sa rovná X),
arkozínu(označenie: arccos x; arccos x je uhol, ktorého kosínus sa rovná X a tak ďalej),
arkustangens(označenie: arctan x alebo arctan x),
arckotangens(označenie: arcctg x alebo arccot x alebo arccotan x),
arcsekant(označenie: arcsec x),
arccosecant(označenie: arccosec x alebo arccsc x).

arkzín (y = arcsin x) - inverzná funkcia k hriech (x = hriech y . Inými slovami, vráti uhol o jeho hodnotu hriech.

oblúkový kosínus (y = arccos x) - inverzná funkcia k cos (x = cos y cos.

Arktangens (y = arktan x) - inverzná funkcia k tg (x = tan y), ktorý má doménu definície a súbor hodnôt . Inými slovami, vráti uhol o jeho hodnotu tg.

Arckotangens (y = arcctg x) - inverzná funkcia k ctg (x = detská postieľka y), ktorý má doménu definície a súbor hodnôt. Inými slovami, vráti uhol o jeho hodnotu ctg.

arcsec- arcsekant, vráti uhol podľa hodnoty jeho sekansu.

arccosec- arkosekans, vracia uhol na základe hodnoty svojho kosekansu.

Keď inverzná goniometrická funkcia nie je definovaná v určitom bode, potom sa jej hodnota nezobrazí v konečnej tabuľke. Funkcie arcsec A arccosec nie sú určené na segmente (-1,1), ale arcsin A arccos sú určené len na intervale [-1,1].

Názov inverznej goniometrickej funkcie je vytvorený z názvu zodpovedajúcej goniometrickej funkcie pridaním predpony „oblúk-“ (z lat. oblúk nás- oblúk). Je to spôsobené tým, že geometricky je hodnota inverznej goniometrickej funkcie spojená s dĺžkou oblúka jednotkovej kružnice (alebo uhlom, ktorý tento oblúk zviera), čo zodpovedá jednému alebo druhému segmentu.

Niekedy v zahraničnej literatúry, ako vo vedeckých/inžinierskych kalkulačkách, používajte zápisy ako hriech −1, cos-1 pre arcsine, arccosine a podobne sa to nepovazuje za uplne presne, pretoze pravdepodobne dôjde k zámene s povýšením funkcie na moc −1 (« −1 » (mínus prvá mocnina) definuje funkciu x = f -1 (y), inverzná funkcia y = f(x)).

Základné vzťahy inverzných goniometrických funkcií.

Tu je dôležité venovať pozornosť intervalom, pre ktoré vzorce platia.

Vzorce týkajúce sa inverzných goniometrických funkcií.

Označme ktorúkoľvek z hodnôt inverzných goniometrických funkcií pomocou Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x a ponechajte zápis: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x pre ich hlavné hodnoty, potom je spojenie medzi nimi vyjadrené takýmito vzťahmi.

Problémy súvisiace s inverznými goniometrickými funkciami sa často ponúkajú na školských záverečných skúškach a na prijímacích skúškach na niektorých univerzitách. Podrobné štúdium tejto témy je možné dosiahnuť len na výberových hodinách resp voliteľné predmety. Navrhovaný kurz je navrhnutý tak, aby čo najúplnejšie rozvíjal schopnosti každého študenta a zlepšil jeho matematickú prípravu.

Kurz trvá 10 hodín:

1.Funkcie arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 hodiny).

2. Operácie na inverzných goniometrických funkciách (4 hodiny).

3. Inverzné goniometrické operácie na goniometrických funkciách (2 hodiny).

Lekcia 1 (2 hodiny) Téma: Funkcie y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cieľ: úplné pokrytie tejto problematiky.

1.Funkcia y = arcsin x.

a) Pre funkciu y = sin x na segmente existuje inverzná (jednohodnotová) funkcia, ktorú sme sa dohodli nazvať arcsínus a označovať ju takto: y = arcsín x. Graf inverznej funkcie je symetrický s grafom hlavnej funkcie vzhľadom na os súradnicových uhlov I - III.

Vlastnosti funkcie y = arcsin x.

1) Definičná oblasť: segment [-1; 1];

2) Oblasť zmeny: segment;

3)Funkcia y = arcsin x nepárne: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Funkcia y = arcsin x je monotónne rastúca;

5) Graf pretína osi Ox, Oy v počiatku.

Príklad 1. Nájdite a = arcsin. Tento príklad možno podrobne formulovať takto: nájdite argument a, ležiaci v rozsahu od do, ktorého sínus sa rovná.

Riešenie. Existuje nespočetné množstvo argumentov, ktorých sínus sa rovná , napríklad: atď. Nás ale zaujíma len argument, ktorý je na segmente. Toto by bol argument. Takže, .

Príklad 2. Nájdite .Riešenie. Ak budeme argumentovať rovnakým spôsobom ako v príklade 1, dostaneme .

b) ústne cvičenia. Nájdite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Vzorová odpoveď: , pretože . Dávajú výrazy zmysel: ; arcsin 1,5; ?

c) Usporiadajte vzostupne: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcie y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobné).

Lekcia 2 (2 hodiny) Téma: Inverzné goniometrické funkcie, ich grafy.

Cieľ: na túto lekciu je potrebné rozvíjať zručnosti pri určovaní hodnôt goniometrických funkcií, pri zostavovaní grafov inverzných goniometrických funkcií pomocou D (y), E (y) a potrebných transformácií.

V tejto lekcii dokončite cvičenia, ktoré zahŕňajú nájdenie oblasti definície, oblasti hodnoty funkcií typu: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Mali by ste zostrojiť grafy funkcií: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsín;

d) y = arcsín; e) y = arcsín; e) y = arcsín; g) y = | arcsin | .

Príklad. Nakreslíme y = arccos

Do domácej úlohy môžete zahrnúť nasledujúce cvičenia: zostavte grafy funkcií: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafy inverzných funkcií

Lekcia č. 3 (2 hodiny) Téma:
Operácie s inverznými goniometrickými funkciami.

Cieľ: rozšíriť matematické vedomosti (to je dôležité pre tých, ktorí vstupujú do odborov so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu) zavedením základných vzťahov pre inverzné goniometrické funkcie.

Materiál na lekciu.

Niektoré jednoduché goniometrické operácie s inverznými goniometrickými funkciami: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Cvičenia.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Nech arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; hriech (arccos x) = .

Poznámka: Znamienko „+“ berieme pred koreň, pretože a = arcsin x spĺňa .

c) hriech (1,5 + arcsin).

d) ctg ( + arctg 3).

e) tg ( – arcctg 4).

e) cos (0,5 + arccos). Odpoveď: .

Vypočítať:

a) hriech (2 arctan 5) .

Nech arctan 5 = a, potom sin 2 a = alebo hriech (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8).

c) arctg + arctg.

Nech a = arctan, b = arctan,

potom tg(a + b) = .

d) hriech (arcsin + arcsin).

e) Dokážte, že pre všetky x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

dôkaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = hriech ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Aby ste to vyriešili sami: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Pre domáce riešenie: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) hriech (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcia č. 4 (2 hodiny) Téma: Operácie s inverznými goniometrickými funkciami.

Cieľ: V tejto lekcii ukázať použitie pomerov pri transformácii zložitejších výrazov.

Materiál na lekciu.

ÚSTNE:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) hriech (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PÍSOMNE:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

Samostatná práca pomôže identifikovať úroveň zvládnutia materiálu.

1) tg (arctg 2 – arctg)

2) cos( - arctan2)

3) arcsin + arccos

1) cos (arcsin + arcsin)

2) hriech (1,5 - arktan 3)

3) arcctg3 – arctg 2

Pre domáca úloha môžeme navrhnúť:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) hriech (2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Lekcia č. 5 (2 hodiny) Téma: Inverzné goniometrické operácie s goniometrickými funkciami.

Cieľ: formovať u študentov chápanie inverzných goniometrických operácií na goniometrických funkciách so zameraním na zvýšenie pochopenia študovanej teórie.

Pri štúdiu tejto témy sa predpokladá, že objem teoretického materiálu na zapamätanie je obmedzený.

Materiál lekcie:

Môžete sa začať učiť nový materiál preštudovaním funkcie y = arcsin (sin x) a vykreslením jej grafu.

3. Každé x I R je spojené s y I, t.j.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcia je nepárna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = hriech ( – x) = hriech x, 0<= - x <= .

takže,

Po zostrojení y = arcsin (sin x) na , pokračujeme symetricky okolo počiatku na [- ; 0], vzhľadom na zvláštnosť tejto funkcie. Pomocou periodicity pokračujeme po celej číselnej osi.

Potom napíšte nejaké vzťahy: arcsin (sin a) = a ak<= a <= ; arccos (cos a ) = a ak je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

A urobte nasledujúce cvičenia:a) arccos(sin 2).Odpoveď: 2 - ; b) arcsín (cos 0,6) Odpoveď: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odpoveď: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6). Odpoveď: 0,9; e) arccos (cos ( - 2) odpoveď: 2 - ); e) arcsín (sin ( - 0,6)). Odpoveď: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odpoveď: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odpoveď: - 0,6; - arktan x; e) arccos + arccos

Keďže goniometrické funkcie sú periodické, ich inverzné funkcie nie sú jedinečné. Takže rovnica y = hriech x, pre daný , má nekonečne veľa koreňov. Skutočne, vzhľadom na periodicitu sínusu, ak x je taký koreň, potom je taký x + 2πn(kde n je celé číslo) bude tiež koreňom rovnice. teda inverzné goniometrické funkcie sú viachodnotové. Na uľahčenie práce s nimi je zavedený koncept ich hlavných významov. Zoberme si napríklad sínus: y = hriech x. Ak obmedzíme argument x na interval , potom na ňom funkcia y = hriech x zvyšuje monotónne. Preto má jedinečnú inverznú funkciu, ktorá sa nazýva arcsínus: x = arcsin y.

Ak nie je uvedené inak, inverznými goniometrickými funkciami rozumieme ich hlavné hodnoty, ktoré sú určené nasledujúcimi definíciami.

Arcsine ( y = arcsin x) je inverzná funkcia sínusu ( x = hriešny
Arc cosinus ( y = arccos x) je inverzná funkcia ku kosínusu ( x = pretože y), ktorý má doménu definície a súbor hodnôt.
Arktangens ( y = arctan x) je inverzná funkcia dotyčnice ( x = tg y), ktorý má doménu definície a súbor hodnôt.
Arkotangens ( y = arcctg x) je inverzná funkcia kotangens ( x = ctg y), ktorý má doménu definície a súbor hodnôt.

Grafy inverzných goniometrických funkcií

Grafy inverzných goniometrických funkcií sa získajú z grafov goniometrických funkcií zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y = x. Pozri časti Sínus, kosínus, Tangent, kotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Základné vzorce

Tu by ste mali venovať osobitnú pozornosť intervalom, pre ktoré vzorce platia.

arcsin(sin x) = x pri
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x pri
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x pri
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x pri
ctg(arcctg x) = x

Vzorce týkajúce sa inverzných goniometrických funkcií

Pozri tiež: Odvodenie vzorcov pre inverzné goniometrické funkcie

Vzorce súčtu a rozdielu

pri alebo

v a

v a

pri

pri

pri

pri

pri

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Lekcie 32-33. Inverzné goniometrické funkcie

09.07.2015 8936 0

Cieľ: zvážiť inverzné goniometrické funkcie a ich použitie na písanie riešení goniometrických rovníc.

I. Komunikácia témy a účelu vyučovacích hodín

II. Učenie nového materiálu

1. Inverzné goniometrické funkcie

Začnime našu diskusiu na túto tému nasledujúcim príkladom.

Príklad 1

Poďme vyriešiť rovnicu: a) sin x = 1/2; b) hriech x = a.

a) Na zvislú os nanesieme hodnotu 1/2 a zostrojíme uhly x 1 a x2, pre ktoré hriech x = 1/2. V tomto prípade x1 + x2 = π, odkiaľ x2 = π – x 1 . Pomocou tabuľky hodnôt goniometrických funkcií potom nájdeme hodnotu x1 = π/6Zoberme do úvahy periodicitu funkcie sínus a zapíšme si riešenia tejto rovnice:kde k ∈ Z.

b) Samozrejme, algoritmus na riešenie rovnice hriech x = a je rovnaké ako v predchádzajúcom odseku. Samozrejme, teraz je hodnota a vynesená pozdĺž ordinátnej osi. Je potrebné nejako určiť uhol x1. Dohodli sme sa, že tento uhol označíme symbolom arcsin A. Potom môžu byť riešenia tejto rovnice zapísané v tvareTieto dva vzorce je možné spojiť do jedného: kde

Zostávajúce inverzné goniometrické funkcie sú zavedené podobným spôsobom.

Veľmi často je potrebné určiť veľkosť uhla zo známej hodnoty jeho goniometrickej funkcie. Takýto problém je viachodnotový – existuje nespočetné množstvo uhlov, ktorých goniometrické funkcie sa rovnajú rovnakej hodnote. Preto sa na základe monotónnosti goniometrických funkcií zavádzajú nasledujúce inverzné goniometrické funkcie na jednoznačné určenie uhlov.

Arksínus čísla a (arcsín , ktorého sínus sa rovná a, t.j.

Oblúkový kosínus čísla a(arccos a) je uhol a z intervalu, ktorého kosínus sa rovná a, t.j.

Arkustangens čísla a(arctg a) - taký uhol a z intervaluktorého dotyčnica sa rovná a, t.j.tg a = a.

Arkotangens čísla a(arcctg a) je uhol a z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a, t.j. ctg a = a.

Príklad 2

Poďme nájsť:

Ak vezmeme do úvahy definície inverzných goniometrických funkcií, získame:

Príklad 3

Poďme počítať

Nech uhol a = arcsin 3/5, potom podľa definície sin a = 3/5 a . Preto musíme nájsť cos A. Pomocou základnej goniometrickej identity dostaneme:Berie sa do úvahy, že cos a ≥ 0. Takže,

Vlastnosti funkcie	Funkcia
Vlastnosti funkcie	y = arcsin x	y = arccos x	y = arktan x	y = arcctg x
doména	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Rozsah hodnôt	y ∈ [ -π/2; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parita	Zvláštny	Ani párne, ani nepárne	Zvláštny	Ani párne, ani nepárne
Funkcia nuly (y = 0)	Pri x = 0	Pri x = 1	Pri x = 0	y ≠ 0
Intervaly stálosti znamienka	y > 0 pre x ∈ (0; 1], pri< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 pre x ∈ [-1; 1)	y > 0 pre x ∈ (0; +∞), pri< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 pre x ∈ (-∞; +∞)
Monotónne	Zvyšovanie	Zostupne	Zvyšovanie	Zostupne
Vzťah k goniometrickej funkcii	hriech y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Rozvrh

Uveďme niekoľko typickejších príkladov súvisiacich s definíciami a základnými vlastnosťami inverzných goniometrických funkcií.

Príklad 4

Nájdite doménu definície funkcie

Aby bola funkcia y definovaná, je potrebné splniť nerovnosťčo je ekvivalentné so systémom nerovnostíRiešením prvej nerovnosti je interval x∈ (-∞; +∞), sekunda - Tento interval a je riešením sústavy nerovníc, a teda doménou definície funkcie

Príklad 5

Nájdite oblasť zmeny funkcie

Pozrime sa na správanie funkcie z = 2x - x2 (pozri obrázok).

Je jasné, že z ∈ (-∞; 1]. Vzhľadom na to, že argument z funkcia kotangens oblúka sa mení v zadaných medziach, z tabuľkových údajov to získameTeda oblasť zmeny

Príklad 6

Dokážme, že funkcia y = arctg x nepárne. NechajPotom tg a = -x alebo x = - tg a = tg (- a) a Preto - a = arctg x alebo a = - arctg X. Tak to vidímetj y(x) je nepárna funkcia.

Príklad 7

Vyjadrime sa cez všetky inverzné goniometrické funkcie

Nechaj To je zrejmé Potom odvtedy

Predstavme si uhol Pretože To

Preto podobne A

takže,

Príklad 8

Zostrojme graf funkcie y = cos(arcsin x).

Označme teda a = arcsin x Zoberme si, že x = sin a a y = cos a, teda x 2 + y2 = 1 a obmedzenia pre x (x∈ [-1; 1]) a y (y ≥ 0). Potom graf funkcie y = cos(arcsin x) je polkruh.

Príklad 9

Zostrojme graf funkcie y = arccos (cos x).

Keďže funkcia cos x sa mení na intervale [-1; 1], potom je funkcia y definovaná na celej číselnej osi a mení sa na segmente . Majme na pamäti, že y = arccos (cosx) = x na segmente; funkcia y je párna a periodická s periódou 2π. Vzhľadom na to, že funkcia má tieto vlastnosti cos x Teraz je jednoduché vytvoriť graf.

Všimnime si niekoľko užitočných rovností:

Príklad 10

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie Označme Potom Zoberme si funkciu Táto funkcia má v bode minimum z = π/4 a rovná sa Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne v bode z = -π/2 a rovná sa Takto a

Príklad 11

Poďme vyriešiť rovnicu

Zoberme si to do úvahy Potom rovnica vyzerá takto:alebo kde Definíciou arctangensu dostaneme:

2. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc

Podobne ako v príklade 1 môžete získať riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc.

Rovnica	Riešenie


tgx = a
ctg x = a

Príklad 12

Poďme vyriešiť rovnicu

Keďže funkcia sínus je nepárna, rovnicu zapíšeme v tvareRiešenia tejto rovnice:odkiaľ to nájdeme?

Príklad 13

Poďme vyriešiť rovnicu

Pomocou uvedeného vzorca zapíšeme riešenia rovnice:a nájdeme

Všimnite si, že v špeciálnych prípadoch (a = 0; ±1) pri riešení rovníc sin x = a a cos x = a je jednoduchšie a pohodlnejšie používať nie všeobecné vzorce, ale zapisovať riešenia na základe jednotkového kruhu:

pre rovnicu sin x = 1 riešenie

pre rovnicu sin x = 0 riešenia x = π k;

pre rovnicu sin x = -1 riešenie