zákon malých čísel- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Témy elektrotechniky, základné pojmy EN zákon malých čísel ... Technická príručka prekladateľa

Stokes, 1851, ktorý určuje odporovú silu, ktorou pôsobí tuhá guľa počas pomalého pohybu v nekonečne viskóznej tekutine: ||F = 6p m ru, kde F je odporová sila, koeficient m. viskozita kvapaliny, r polomer gule, u… … Geologická encyklopédia

Dvojité pomery parametrov (segmentov) odrezané akýmikoľvek dvomi plochami k la na jeho troch pretínajúcich sa hranách sa rovnajú pomerom celých čísel a relatívne malých čísel. Na základe tohto zákona možno odvodiť všetky možné tváre la a s... ... Geologická encyklopédia

Paretov zákon- teória, že model distribúcie príjmov je konštantný, historicky a geograficky, bez ohľadu na zdaňovanie alebo politiku sociálneho zabezpečenia; tiež nazývaný Zákon triviálnej množiny a kriticky malých čísel (zákon triviálnej... ... Finančný a investičný výkladový slovník

Toto je zákon celých čísel, zákon racionality parametrov, jeden zo základných zákonov kryštalografie (Pozri Kryštalografia), ako aj jeden z prvých kvantitatívnych zákonov atómovej a molekulárnej štruktúry pevných látok (Pozri Pevné skupenstvo). Nainštalované…

Zákon spájajúci zmeny objemu plynu pri konštantnej teplote so zmenami jeho pružnosti. Tento zákon bol objavený v roku 1660 fyzik Boyle a neskôr, ale nezávisle od neho Mariotte vo Francúzsku vo svojej jednoduchosti a istote... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Zákon, ktorý určuje odporovú silu F, ktorou pôsobí tuhá gulička počas jej pomalého translačného pohybu v neobmedzenej viskóznej tekutine: , kde μ je koeficient viskozity tekutiny, r je polomer gule a υ jej rýchlosť. Tento vzorec je odvodený ... ... Veľká sovietska encyklopédia

- (odvodil J. G. Stokes v roku 1851), zákon, ktorý určuje odporovú silu F, ktorú zažíva televízor. loptu, keď sa pohybuje pomaly. pohyb v neobmedzenom viskózna kvapalina: F=6pmirv, kde m koeficient. dynamický viskozita kvapaliny, r polomer gule a v jej rýchlosť... Fyzická encyklopédia

Časť teórie čísel. Atómové vedy zahŕňajú otázky distribúcie prvočísel, aditívne problémy, štúdium správania číselných teoretických funkcií a teóriu algebraických a transcendentálnych čísel. Rozdelenie prvočísel, a) Jedno z... ... Matematická encyklopédia

Bod zlomu: Ako malé zmeny vedú k veľkej zmene Bod zlomu: Ako môžu maličkosti urobiť veľký rozdiel Žáner: Dokumentárny

BOROT- BOROT, Max (Max Borst), vynikajúci patológ. Rod. v roku 1869 absolvoval lekársku fakultu. fakulte univerzity vo Würzburgu v roku 1892. V rokoch 1893 – 1904 bol asistentom pat. na univerzite vo Würzburgu, kde pôsobil pod vedením Rindfleischa, jeden... Veľká lekárska encyklopédia

Obsah článku

TEÓRIA ČÍSEL, odvetvie čistej matematiky zaoberajúce sa štúdiom celých čísel 0, ± 1, ± 2,... a vzťahov medzi nimi. Niekedy sa teória čísel nazýva vyššia aritmetika. Jednotlivé výpočty vykonávané na konkrétnych číslach, napríklad 9 + 16 = 25, nie sú zvlášť zaujímavé a zvyčajne nie sú zahrnuté v predmete teória čísel. Na druhej strane, práve napísaná rovnosť sa stáva neporovnateľne zaujímavejšou, ak si všimneme, že predstavuje najjednoduchšie riešenie v celých číslach (okrem triviálnych riešení X = z, r= 0) Pytagorove rovnice X 2 + r 2 = z 2. Z tohto hľadiska vedie posledná rovnica priamo k niektorým skutočným teoretickým problémom čísel, ako napríklad (1) či X 2 + r 2 = z 2 existuje nekonečne veľa alebo len konečný počet riešení v celých číslach a ako ich možno nájsť? (2) Ktoré celé čísla môžu byť reprezentované vo forme X 2 + r 2 kde X A r- celé čísla? (3) Existujú celočíselné riešenia podobnej rovnice x n + y n = z n, Kde n– celé číslo väčšie ako 2? Jednou zo zaujímavých vecí na teórii čísel je, že tieto tri otázky, hoci sú vyslovené tak jednoducho a jasne, sú v skutočnosti na úplne odlišných úrovniach zložitosti. Pytagoras a Platón a možno oveľa skôr babylonskí matematici vedeli, že táto rovnica je X 2 + r 2 = z 2 má nekonečne veľa riešení v celých číslach a staroveký grécky matematik Diophantus (asi 250 pred Kr.) vedel, že každé takéto riešenie môže byť reprezentované v tvare X = r 2 – s 2 , y = 2 rs, z = r 2 + s 2 pre vhodné celé čísla r A s a to pre ľubovoľné dve celé čísla r A s zodpovedajúce hodnoty X, r A z vytvoriť riešenie. Čo sa týka druhej otázky, štruktúru množiny celých čísel, reprezentovateľných ako súčet dvoch štvorcov, opísal P. Fermat (1601–1665), zakladateľ teórie čísel v jej modernej podobe. Fermat ukázal, že celé číslo m reprezentovateľný ako súčet dvoch štvorcov práve vtedy, ak je kvocient čísla m delením čísla najväčším štvorcom m, neobsahuje prvočiniteľ v tvare 4 k + 3 (k– celé číslo). Tento výsledok je oveľa jemnejší ako prvý a jeho dôkaz nie je ani zďaleka zrejmý, hoci nie príliš ťažký. Tretia otázka zostala počas posledných troch storočí nezodpovedaná, napriek usilovnému úsiliu najbrilantnejších matematických mozgov. Farm okolo roku 1630 napísal na okraj jednej zo svojich kníh, že rovnica x n + y n = z n nemá riešenia v celých číslach X, r A z, odlišný od nuly, s n viac ako 2, ale nezanechal samotný dôkaz. A až v roku 1994 sa E. Wilesovi z Princetonskej univerzity podarilo dokázať túto vetu, ktorá sa už niekoľko storočí nazývala „Fermatova posledná veta“.

Okrem samotnej matematiky má teória čísel niekoľko aplikácií a nevyvinula sa kvôli riešeniu aplikovaných problémov, ale ako umenie pre umenie, ktoré má svoju vnútornú krásu, jemnosť a ťažkosti. Napriek tomu mala teória čísel veľký vplyv na matematickú vedu, pretože niektoré odvetvia matematiky (vrátane tých, ktoré neskôr našli uplatnenie vo fyzike) boli pôvodne vytvorené na riešenie obzvlášť zložitých problémov v teórii čísel. MATEMATIKA.

Multiplikatívne základy.

Dohodnime sa, že v budúcnosti budú všetky latinské písmená znamenať (pokiaľ nie je výslovne uvedené inak) celé čísla. Hovoríme to b je deliteľ čísla a(alebo čo b rozdeľuje a) a označte ho b|a, ak takéto celé číslo existuje c, Čo a = bc. Čísla 1 a - 1 („jednotky“), ktorých prevrátené hodnoty sú celé čísla, sú deliteľmi akéhokoľvek celého čísla. Ak ± 1 a ± a sú jedinými deliteľmi čísla a, potom sa to nazýva jednoduché; ak sú tam ďalší delitelia, tak číslo a nazývaný kompozit. (Prvočísla sú napríklad 2, 3, 5, 7, 11, 13.) Ak je kladné celé číslo a zložený, potom môže byť zastúpený vo forme a = bc kde lba a lca; ak buď b, alebo c zložený, potom ho zase možno faktorizovať. Pokračovaním v faktorizácii by sme mali nakoniec dospieť k reprezentácii čísla a ako súčin konečného počtu prvočísel (nie všetky sú nevyhnutne odlišné); napríklad 12 = 2H 2H 3, 13 = 1H1 3, 100 = 2H 2H 5H 5. Inak číslo a by mohol byť napísaný vo forme ľubovoľne veľkého počtu faktorov, z ktorých každý má aspoň 2, čo je nemožné. Veta o jedinečnosti o prvočíselnom rozklade, jedna zo základných teorém teórie čísel, uvádza, že až do zjavných zmien v znakoch a poradí faktorov, akékoľvek dve rozklady čísla a vyrovnať sa; napríklad akýkoľvek rozklad čísla 12 na prvočísla môže byť reprezentovaný tromi číslami - 2H 2H 3; 2H 3H 2; 3H 2H 2; ďalšie rozšírenia sa získajú nahradením akýchkoľvek dvoch faktorov zápornými číslami, ktoré sa rovnajú absolútnej hodnote. Veta o jedinečnosti faktorizácie sa nachádza v Euklidových prvkoch, kde je dokázaná pomocou konceptu najväčšieho spoločného deliteľa (GCD). Ak d> 0 – spoločný deliteľ čísel a A b a je zase deliteľné akýmkoľvek iným číslom a A b, To d nazývaný najväčší spoločný deliteľ čísel a A b, ktorý je napísaný takto: GCD( a, b) = d; napríklad gcd (12, 18) = 6. Ak gcd ( a, b) = 1, potom čísla a A b sa nazývajú relatívne prvotriedne. Euklides to ukázal pre ľubovoľné dve čísla a A b, nenulový, existuje jeden gcd, a navrhol systematickú metódu pripomínajúcu "delenie podľa uhla"; s číslami gcd a A b spojené ich najmenším spoločným násobkom (LCM) - najmenšie kladné číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel a A b. Najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu čísel a A b, delené ich gcd, alebo | ab|/GCD ( a, b).

Podľa teorému o jedinečnosti rozkladu prvočísel sú prvočísla „stavebnými kameňmi“, z ktorých sa skladajú celé čísla. Okrem ± 2 sú všetky ostatné prvočísla nepárne, keďže párne číslo sa volá len vtedy, keď je deliteľné 2. Už Euklides vedel, že prvočísel je nekonečne veľa. Dokázal to poznámkou, že číslo N = (p 1 p 2 ...p n) + 1 (kde p 1 , p 2 ,..., p n– všetky prvočísla) nie je deliteľné žiadnym prvočíslom p 1 , p 2 ,..., p n a teda buď sám N, alebo jeden z jeho prvočísel musí byť prvočíslo iné ako p 1 , p 2 ,..., p n. teda p 1 , p 2 ,..., p n nemôže byť úplný zoznam všetkých prvočísel.

Nechaj m i 1 – nejaké dané celé číslo. Akékoľvek číslo a pri delení podľa m dáva zvyšok rovný jednému z čísel 0, 1, ..., m– 1. (Napríklad keď m= 13 a a berúc postupne hodnoty 29, 7, - 21, 65, dostaneme: 29 = 2H 3 + 3, 7 = 0H 13 + 7, -21 = -2H 13 + 5, 65 = 5H 13 + 0 a zvyšky sa rovnajú 3, respektíve 7, 5, 0.) Ak čísla a A b pri delení podľa m dať rovnaký zvyšok, potom ich možno v niektorých prípadoch považovať za ekvivalentné vzhľadom na m. Matematici v takýchto prípadoch hovoria, že čísla a A b porovnateľné v module m, ktorý je napísaný takto: a є b(mod m) a volá sa modulo porovnanie m. Všetci poznáme porovnávacie modulo 12 v prípade hodín: 17 hodín znamená to isté ako 5 hodín popoludní, keďže 17 = 5 (mod 12). Tento vzťah, nazývaný porovnávanie, zaviedol K. Gauss (1777–1855). Je to trochu podobné rovnosti v tom, že porovnania sú založené na rovnakom module m možno sčítať a násobiť ako obvykle: ak a є b(mod m) A c є d(mod m), To a + cє b + d(mod m), a–cє b–d(mod m), aH cє bH d(mod m) A ta є tb(mod m) pre akékoľvek celé číslo t. Zníženie spoločným faktorom je vo všeobecnosti nemožné, pretože 20 є 32 (mod 6), ale 5 č. 8 (mod 6). Ak však ta є tb(mod m) A ( t,m) = d, To aє b(mod( m/d)). O d= 1 to v podstate znamená zníženie o spoločný faktor; napríklad 28 = 40 (mod 3), a keďže čísla 4 a 3 sú koprimé, môžeme obe strany porovnania vydeliť 4 a dostaneme 7 = 10 (mod 3). Dá sa tiež ukázať, že ak aє b(mod m), potom gcd čísel a A m rovná sa gcd čísel b A m. Ako príklad zvážte porovnanie 6 є 10 (mod 4): GCD (6, 4) sa rovná 2 a GCD (10, 4) sa tiež rovná 2.

Všetky celé čísla porovnateľné s akýmkoľvek číslom tvoriacim jednotku odpočtová trieda. Pre každý modul m existuje m triedy zrážok zodpovedajúcich m zvyšky 0, 1,..., m- 1; každá z tried obsahuje jedno z čísel 0, 1,..., m– 1 spolu so všetkými číslami porovnateľnými s týmto číslom v module m. Ak dve čísla a A b patria do rovnakej triedy zrážok, t.j. uspokojiť vzťah aє b(mod m), potom GCD ( a,m) = GCD ( b,m); preto buď všetky prvky danej triedy zvyškov sú súbežné m, alebo ani jedno nie je relatívne prvotriedne. Počet „redukovaných“ tried zvyškov, t.j. triedy zvyškov, ktorých prvky sú spoločné m, označené f(m). Na množine celých čísel teda vzniká funkcia, tzv f-Eulerova funkcia na počesť L. Eulera (1707–1783). O m= 6 existuje šesť tried zvyškov, z ktorých každá obsahuje jedno z čísel 0, 1,..., 5. m Iba prvky triedy obsahujúce číslo 5 a triedy obsahujúcej číslo 1 sú teda koprimé. f (m) = 2.

Rovnako ako v prípade rovníc možno zvážiť porovnanie s jednou alebo viacerými neznámymi. Najjednoduchšie je lineárne porovnanie s jednou neznámou sekeraє b(mod m). Vykonáva sa iba vtedy m delí číslo ( sekera – b), alebo sekera – b = môj pre nejaké celé číslo r. Takže toto porovnanie je ekvivalentné lineárnej rovnici sekera – môj = b. Keďže jeho ľavá strana je nevyhnutne deliteľná gcd ( a, m), nemožno ho vykonať pre žiadne celé čísla X A r, ak GCD ( a, m) nedelí číslo b.

Dá sa ukázať, že porovnanie sekera є b(mod m) je riešiteľný vtedy a len vtedy, ak GCD ( a, m) delí číslo b a ak je táto podmienka splnená, potom existuje presne GCD ( a, m) triedy zvyškov modulo m, ktorého prvky tomuto prirovnaniu vyhovujú. Napríklad rovnica 2 X + 6r= 5 je nerozhodnuteľné v celých číslach, pretože GCD (2, 6) = 2 a číslo 5 nie je deliteľné 2; rovnica 2 X + 3r= 5 je riešiteľné, pretože GCD(2,3) = 1; podobne aj rovnica 2 X + 3r = b riešiteľné pre akékoľvek celé číslo b. Skutočne, pre každého a A m, takže GCD ( a, m) = 1, rovnica sekera – môj = b riešiteľné pre každého b.

Rovnica sekera – môj = b- toto je zrejme najjednoduchší príklad „diofantínskej rovnice“, t.j. rovnica s celočíselnými koeficientmi, ktorú je potrebné riešiť v celých číslach.

Všeobecné kvadratické porovnanie sekera 2 + bx + cє 0 (mod m) možno celkom úplne analyzovať. Vynásobením číslom 4 a, dostaneme 4 a 2 X 2 + 4abx + 4acє 0 (mod 4 ráno), alebo 2 sekera + b) 2 є ( b 2 – 4ac) (mod 4 ráno). Veriť 2 sekera + b = u A b 2 – 4ac = r, redukujeme riešenie pôvodného prirovnania na riešenie prirovnania u 2 є r(mod 4 ráno). Na druhej strane, riešenia posledného porovnania s použitím trochu zložitejšieho uvažovania možno zredukovať na riešenie porovnania formulára u 2 є r(mod p), Kde p- Prvočíslo. Preto všetky ťažkosti a všetok záujem spočíva v tomto zdanlivo špeciálnom prípade všeobecného kvadratického porovnania. Ak porovnanie u 2 є r(mod p) je teda riešiteľný u volal kvadratický zvyšok modulo p a inak - kvadratický nezvyšok. „Kvadratický zákon reciprocity“, ktorý empiricky objavil Euler (asi 1772) a dokázal Gauss (1801), uvádza, že ak p A q sú odlišné nepárne prvočísla, potom každé z nich je buď kvadratický zvyšok modulo druhý, alebo to neplatí pre žiadne z nich okrem prípadu, keď a p, A q vyzerať ako 4 k+ 3 a keď len jedno z týchto čísel je kvadratický zvyšok modulo druhé. Gaussova veta, ktorú nazval „zlatá veta“, slúži ako silný nástroj v teoretickom výskume čísel a umožňuje nám odpovedať na otázku, či je dané kvadratické porovnanie riešiteľné.

Porovnania vyšších stupňov formy f (X) є 0 (mod m), Kde f(X) je polynóm stupňa vyššieho ako 2 a je ťažko riešiteľný. Podľa vety J. Lagrangea (1736–1813) počet riešení (presnejšie počet tried zvyškov, z ktorých každý prvok je riešením) nepresahuje stupeň polynómu. f(X), ak je modul jednoduchý. Existuje jednoduché kritérium pre riešiteľnosť porovnania x n є r(mod p), patriace Eulerovi, ale nie je použiteľné pre porovnania všeobecného formulára, ktorého riešiteľnosť za n> 2 je málo známe.

Diofantické rovnice.

Napriek tomu, že štúdium diofantických rovníc siaha až do počiatkov matematiky, všeobecná teória diofantických rovníc stále chýba. Namiesto toho existuje široká škála individuálnych techník, z ktorých každá je užitočná na riešenie len obmedzenej triedy problémov. Keď začínam študovať diofantínovú rovnicu, rád by som získal popis všetkých jej celočíselných riešení, ako to bolo urobené vyššie pre rovnicu X 2 + r 2 = z 2. V tomto zmysle bola úplne vyriešená iba malá trieda rovníc, z ktorých väčšina bola buď lineárna alebo kvadratická. Riešenie ľubovoľného systému z m lineárne rovnice s n neznáme kedy n > m, získal G. Smith (1826–1883). Najjednoduchšia kvadratická rovnica je tzv. Pellova rovnica X 2 – D Y 2 = N(Kde D A N– ľubovoľné celé čísla), ktorý úplne vyriešil Lagrange (1766). Známe sú aj riešenia rôznych individuálnych rovníc alebo sústav rovníc druhého stupňa s viac ako dvoma neznámymi, ako aj niekoľko rovníc vyšších stupňov. V druhom prípade boli získané väčšinou negatívne výsledky - predmetná rovnica nemá žiadne riešenia alebo má len konečný počet riešení. Najmä K. Siegel v roku 1929 ukázal, že jediné algebraické rovnice s dvoma neznámymi, ktoré majú nekonečne veľa celočíselných riešení, sú lineárne rovnice, Pellove rovnice a rovnice získané z oboch pomocou špeciálnych transformácií.

Formuláre.

Tvar sa nazýva homogénny polynóm v dvoch alebo viacerých premenných, t.j. polynóm, v ktorom majú všetky členy rovnaký celkový stupeň v množine premenných; Napríklad, X 2 + xy + r 2 – stupeň 2 forma, X 3 – X 2 r + 3xy 2 + r 3 – forma stupňa 3. Jednou z hlavných je otázka podobná tej, ktorá je formulovaná vyššie pri tlačive X 2 + r 2, konkrétne: aké celé čísla sú reprezentovateľné pomocou formy (t. j. aké celočíselné hodnoty môže mať forma) pre celočíselné hodnoty premenných? A tentoraz bol kvadratický prípad zvážený najúplnejšie. Pre jednoduchosť sa obmedzíme len na dve premenné, t.j. formy ako f(X,r) = sekera 2 + bxy + cy 2. Hodnota D = 4 ac – b 2 sa nazýva diskriminačný formulárov f(X,r); ak je diskriminant nula, potom tvar degeneruje do štvorcového lineárneho tvaru. Tento prípad sa zvyčajne nezohľadňuje. Formy s pozitívnym diskriminantom sa nazývajú určité, pretože všetky hodnoty akceptované formulárom f(X,r) v tomto prípade majú rovnaké znamienko ako a; s pozitívnym a formulár f(X,r) je vždy kladný a nazýva sa kladne určitý. Formy s negatívnym diskriminantom sa nazývajú neurčité, pretože f(X,r) nadobúda kladné aj záporné hodnoty.

Ak v f(X,r) vykonať zmenu premenných X = Au+Bv, y = Cu + Dv, Kde A, B, C, D– celé čísla, ktoré spĺňajú podmienku nl – pred Kristom =± 1, potom dostaneme nový formulár g(u,v). Pretože ľubovoľný pár celých čísel X A r sa zhoduje s párom celých čísel u A v, potom každé celé číslo reprezentovateľné formou f, reprezentovateľný formulárom g, a naopak. Preto v tomto prípade hovoria, že f A g sú ekvivalentné. Všetky formy ekvivalentné danej forme tvoria triedu ekvivalencie; počet takýchto tried pre formy s pevným diskriminantom D je konečný.

Ukazuje sa, že v prípade pozitívnych určitých foriem v každej triede ekvivalencie existuje jedinečná forma sekera 2 + bxy + cy 2 s týmito kurzami a, b, c, čokoľvek - a b Ј a c, alebo 0 Ј bЈ a = c. Táto forma sa nazýva redukovaná forma danej triedy ekvivalencie. Daný formulár sa používa ako štandardný predstaviteľ svojej triedy a získané informácie o ňom sa ľahko rozšíria na ostatné členy triedy ekvivalencie. Jedným z hlavných problémov, ktorý je v tomto najjednoduchšom prípade úplne vyriešený, je nájdenie zmenšenej formy ekvivalentnej danej forme; tento proces sa nazýva redukcia. V prípade neurčitých foriem nemôžeme špecifikovať nerovnosti, ktoré musia byť splnené koeficientmi len jednej formy z každej triedy. Existujú však nerovnosti, ktorým vyhovuje konečný počet foriem v každej triede, pričom všetky sa nazývajú redukované formy.

Určité a neurčité formy sa tiež líšia v tom, že akákoľvek určitá forma predstavuje (ak predstavuje) celé číslo iba konečným počtom spôsobov, zatiaľ čo počet zobrazení celého čísla v neurčitej forme je vždy buď nula, alebo je nekonečný. Ide o to, že na rozdiel od určitých foriem majú neurčité formy nekonečne veľa „automorfizmov“, t.j. substitúcie X = Au+ Bv, r = Cu + Dv opustíte formulár f (X,r) je nezmenený, takže f (X,r) = f (u,v). Tieto automorfizmy možno úplne opísať z hľadiska riešení Pellovej rovnice z 2+D w 2 = 4, kde D je tvarový diskriminant f.

Niektoré konkrétne výsledky súvisiace s reprezentáciou celých čísel kvadratickými formami boli známe dávno pred objavením sa práve opísanej všeobecnej teórie, ktorú začal Lagrange v roku 1773 a ktorá bola vyvinutá v prácach Legendra (1798), Gaussa (1801) a iní. Fermat v roku 1654 ukázal, že každé prvočíslo v tvare 8 n+ 1 alebo 8 n+ 3 reprezentovateľné formulárom X 2 + 2r 2, každé prvočíslo tvaru 3 n+ 1 reprezentovateľné formulárom X 2 + 3r 2 a neexistuje prvočíslo ako 3 n– 1, reprezentovateľný formulárom X 2 + 3r 2. Tiež zistil, že každé prvočíslo tvaru 4 n+ 1 je reprezentovateľné, a to jediným spôsobom, ako súčet dvoch štvorcov. Fermat nezanechal dôkazy týchto teorémov (rovnako ako takmer všetky svoje ďalšie výsledky). Niektoré z nich dokázal Euler (1750 – 1760) a dôkaz poslednej z týchto teorém si vyžiadal sedem rokov intenzívneho úsilia. Tieto vety sú teraz známe ako jednoduché dôsledky kvadratického zákona reciprocity.

Podobným spôsobom môžeme definovať ekvivalenciu kvadratických foriem n premenných. Existujú podobné teórie redukcie a reprezentácií, prirodzene zložitejšie ako v prípade dvoch premenných. Do roku 1910 pokročil vývoj teórie tak ďaleko, ako to bolo možné pomocou klasických metód, a teória čísel zostala nečinná až do roku 1935, keď jej dal Siegel nový impulz, vďaka čomu sa matematická analýza stala hlavným nástrojom výskumu v tejto oblasti.

Jednu z najúžasnejších teorémov v teórii čísel dokázal Fermat a očividne ju poznal aj Diophantus. Uvádza, že každé celé číslo je súčtom štyroch štvorcov. Všeobecnejšie tvrdenie bez dôkazu urobil E. Waring (1734–1798): každé kladné celé číslo je súčtom najviac deviatich kociek, najviac devätnástich štvrtých mocnín atď. Všeobecné tvrdenie, že pre každé kladné celé číslo k existuje celé číslo s, takže každé kladné celé číslo môže byť reprezentované ako súčet najviac s k-x stupňov, nakoniec v roku 1909 dokázal D. Gilbert (1862–1943).

Geometria čísel.

Vo všeobecnosti môžeme povedať, že geometria čísel zahŕňa všetky aplikácie geometrických pojmov a metód na číselno-teoretické problémy. Niektoré úvahy tohto druhu sa objavili už v 19. storočí. v prácach Gaussa, P. Dirichleta, C. Hermitea a G. Minkowského, v ktorých boli ich geometrické interpretácie použité na riešenie niektorých nerovníc alebo systémov nerovníc v celých číslach. Minkowski (1864–1909) systematizoval a zjednotil všetko, čo sa v tejto oblasti robilo pred ním, a našiel dôležité nové aplikácie najmä v teórii lineárnych a kvadratických foriem. Pozeral sa na n neznáme ako súradnice v n-rozmerný priestor. Množina bodov s celočíselnými súradnicami sa nazýva mriežka. Všetky body so súradnicami vyhovujúcimi požadovaným nerovnostiam Minkowski interpretoval ako vnútro nejakého „telesa“ a úlohou bolo zistiť, či toto teleso obsahuje nejaké mriežkové body. Minkowského základná veta hovorí, že ak je teleso konvexné a symetrické podľa počiatku, potom obsahuje aspoň jeden bod mriežky odlišný od počiatku za predpokladu, že n-rozmerný objem tela (at n= 2 je plocha) väčšia ako 2 n.

Mnoho otázok prirodzene vedie k teórii konvexných telies a práve túto teóriu najviac rozvinul Minkowski. Potom opäť na dlhý čas nastala stagnácia, no od roku 1940 najmä vďaka práci anglických matematikov nastal pokrok vo vývoji teórie nekonvexných telies.

Diofantínové aproximácie.

Tento termín zaviedol Minkowski, aby opísal problémy, v ktorých musí byť nejaký výraz premennej čo najmenší, keď premenná nadobúda celočíselné hodnoty nepresahujúce nejaké veľké číslo. N. V súčasnosti sa pojem „diofantínske aproximácie“ používa v širšom zmysle na označenie množstva teoretických problémov, v ktorých sa vyskytuje jedno alebo viac daných iracionálnych čísel. (Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel.) Takmer všetky problémy tohto druhu vyplynuli z nasledujúcej základnej otázky: ak dostaneme nejaké iracionálne číslo q, aké sú potom najlepšie racionálne aproximácie a ako dobre to aproximujú? Samozrejme, ak použijete dostatočne zložité racionálne čísla, tak číslo q je možné aproximovať tak presne, ako je požadované; preto otázka dáva zmysel len vtedy, keď sa presnosť aproximácie porovná s hodnotou čitateľa alebo menovateľa aproximačného čísla. Napríklad 22/7 je dobrá aproximácia čísla p v tom zmysle, že zo všetkých racionálnych čísel s menovateľom 7 je zlomok 22/7 najbližšie k číslu p. Takéto dobré aproximácie možno vždy nájsť rozšírením počtu q na pokračujúcu frakciu. Takéto rozšírenia, trochu podobné desiatkovým rozšíreniam, slúžia ako silné výskumné nástroje v modernej teórii čísel. S ich pomocou je napríklad ľahké overiť, že pre každé iracionálne číslo q zlomkov je nekonečne veľa r/X, takže chyba | q – r/X| menej ako 1/ X 2 .

číslo b volal algebraické, ak spĺňa nejakú algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi a 0 b n + a 1 b n – 1 +... + a n= 0. Inak číslo b nazývaný transcendentálny. To málo, čo vieme o transcendentálnych číslach, sa získalo pomocou metód diofantínovej aproximácie. Dôkazy sa zvyčajne obmedzujú na nájdenie aproximačných vlastností transcendentálnych čísel, ktoré algebraické čísla nemajú. Príkladom je veta J. Liouvillea (1844), podľa ktorej počet b transcendentálny ak pre ľubovoľne veľký exponent n je tam zlomok r/X, takže 0 b – r/X| xn. Rozvíjajúc myšlienky Hermite, F. Lindeman v roku 1882 dokázal, že počet p transcendentálne, a tým dal konečnú (negatívnu) odpoveď na otázku, ktorú položili starí Gréci: je možné pomocou kružidla a pravítka zostrojiť štvorec, ktorý má plochu rovnakú ako daný kruh? V roku 1934 A.O Gelfond (1906–1968) a T. Schneider (nar. 1911) nezávisle dokázali, že ak algebraické číslo. a, odlišné od 0 alebo 1, zvýši na iracionálnu algebraickú mocninu b, potom výsledné číslo a b transcendentálny. Napríklad číslo je transcendentálne. To isté možno povedať o e p(význam výrazu i –2i).

Analytická teória čísel.

Matematickú analýzu možno nazvať matematikou neustále sa meniacich veličín; Preto sa na prvý pohľad môže zdať zvláštne, že takáto matematika môže byť užitočná pri riešení čisto teoretických úloh. Prvým, kto systematicky používal veľmi silné analytické metódy v aritmetike, bol P. Dirichlet (1805–1859). Na základe vlastností „série Dirichlet“

považované za funkcie premennej s ukázal, že ak GCD ( a,m) = 1, potom je prvočísel tvaru nekonečne veľa p є a(mod m) (teda prvočísel v tvare 4 je nekonečne veľa k+ 1, ako aj nekonečne veľa prvočísel v tvare 4 k+ 3). Špeciálny prípad série Dirichlet 1 + 2 – s + 3 –s+... nazývaná Riemannova zeta funkcia z (s) na počesť B. Riemanna (1826–1866), ktorý študoval jeho vlastnosti pod komplexom s analyzovať rozdelenie prvočísel. Problém je: ak p (X) označuje počet prvočísel nepresahujúci X, aká veľká je potom hodnota p (X) pre veľké hodnoty X? V roku 1798 A. Legendre navrhol, že postoj p(X) Komu X/log X(kde sa logaritmus prevezme na základňu e) sa približne rovná 1 a zvyšuje sa X smeruje k 1. Čiastočný výsledok získal v roku 1851 P.L. Čebyšev (1821–1894), ale celá Legendreova hypotéza, tzv „Veta o prvočísle“ bola dokázaná až v roku 1896 metódami založenými na práci Riemanna (nezávisle od J. Hadamarda a C. de la Vallée Poussina). V 20. storočí V oblasti analytickej teórie čísel sa urobilo veľa, ale veľa zdanlivo jednoduchých otázok týkajúcich sa prvočísel zostáva stále nezodpovedaných. Napríklad stále nie je známe, či existuje nekonečne veľa „dvojíc prvočísel“, t.j. dvojíc po sebe idúcich prvočísel, ako sú 101 a 103. Existuje ďalšia, doteraz nepreukázaná Riemannova hypotéza, ktorá sa týka komplexných čísel, ktoré sú nulami funkcie zeta, a zaujíma také dôležité miesto v celej teórii, že mnohé z teorémov boli dokázané a zverejnené obsahujú slová „Ak je Riemannova hypotéza pravdivá, potom...“

Analytické metódy sú široko používané aj v aditívnej teórii čísel, ktorá sa zaoberá reprezentáciou čísel vo forme súčtov určitého typu. Analytické metódy výrazne využíval Hilbert pri riešení vyššie uvedeného Waringovho problému. Pokusy dať Hilbertovej vete kvantitatívny charakter pomocou odhadu čísla k-x sily potrebné na reprezentáciu všetkých celých čísel viedli G. Hardyho a J. Littlewooda k vytvoreniu v 20. a 30. rokoch 20. storočia kruhová metóda, ďalej vylepšený I. M. Vinogradovom (1891–1983). Tieto metódy našli uplatnenie v aditívnej teórii prvočísel, napríklad pri dôkaze Vinogradovovej vety, že každé dostatočne veľké nepárne číslo možno znázorniť ako súčet troch prvočísel.

Algebraická teória čísel.

Dokázať zákon reciprocity štvrtej mocniny (analóg kvadratického zákona reciprocity pre vzťah X 4 є q(mod p)), Gauss v roku 1828 študoval aritmetiku komplexných čísel a + bi, Kde a A b sú obyčajné celé čísla a . Deliteľnosť, „jednotky“, prvočísla a GCD pre „Gaussove čísla“ sú definované rovnako ako pre obyčajné celé čísla a zachovaná je aj veta o jedinečnosti rozkladu na prvočísla. Pokúšame sa dokázať poslednú Fermatovu vetu (že rovnica x n + y n = z n nemá žiadne riešenia v celých číslach pre n> 2), E. Kummer v roku 1851 prešiel k štúdiu aritmetiky celých čísel všeobecnejšieho typu, definovaných pomocou koreňov jednoty. Kummer najprv veril, že sa mu podarilo nájsť dôkaz Fermatovej vety, ale mýlil sa, pretože na rozdiel od naivnej intuície veta o jedinečnosti rozkladu na prvočísla pre takéto čísla neplatí. V roku 1879 R. Dedekind predstavil všeobecný koncept algebraické celé číslo, t.j. algebraické číslo spĺňajúce algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi a koeficientom a 0 s vedúcim členom rovným 1. Na získanie určitej množiny algebraických celých čísel, podobnej množine obyčajných celých čísel, je potrebné uvažovať len také algebraické celé čísla, ktoré patria do pevnej algebraické číselné pole. Je to množina všetkých čísel, ktoré možno získať z nejakého daného čísla a racionálnych čísel opakovaným sčítaním, odčítaním, násobením a delením; obor algebraických čísel je podobný množine racionálnych čísel. Algebraické celé čísla z daného poľa sa zase delia na „jednotky“, prvočísla a zložené čísla, ale vo všeobecnosti pre dve takéto čísla neexistuje jednoznačne definované gcd a veta o jedinečnosti faktorizácie neplatí. Najjednoduchšími príkladmi algebraických číselných polí sú popri množine racionálnych čísel algebraické číselné polia definované pomocou algebraických čísel stupňa 2, t.j. iracionálne čísla spĺňajúce kvadratické rovnice s racionálnymi koeficientmi. Takéto polia sú tzv kvadratické číselné polia.

Kummer vlastní základnú myšlienku zavedenia nových tzv. ideálne čísla (1847), zvolené tak, aby bola v rozšírenej množine opäť splnená veta o jedinečnosti faktorizácie. Za rovnakým účelom zaviedol Dedekind v roku 1870 mierne odlišný koncept ideálov a Kronecker v roku 1882 metódu rozkladu polynómu s racionálnymi koeficientmi na neredukovateľné faktory v poli racionálnych čísel. Práca týchto troch matematikov položila nielen základy aritmetickej teórie algebraických čísel, ale znamenala aj začiatok modernej abstraktnej algebry.

Otázka, či v danom odbore existuje jedinečná faktorizácia na prvočísla, je veľmi ťažká. Situácia je jasná iba v jednom prípade: existuje len konečný počet kvadratických polí, ktoré majú túto vlastnosť, a všetky takéto polia, s výnimkou jedného pochybného prípadu, sú dobre známe. Situácia s poľnými „jednotkami“ je jednoduchšia: ako ukázal Dirichlet, všetky „jednotky“ (ktorých je vo všeobecnosti nekonečne veľa) možno znázorniť ako súčin mocnin nejakej konečnej množiny „jednotiek“. Úvaha o problémoch tohto druhu v súvislosti s akoukoľvek špecifickou oblasťou určite predchádza hlbším aritmetickým štúdiám v rámci tejto oblasti a aplikáciám na problémy klasickej teórie čísel. Existuje ďalšia, jemnejšia teória, ktorú začal v roku 1894 Hilbert, v ktorej sa súčasne berú do úvahy všetky číselné polia, ktoré majú určité vlastnosti. Nazýva sa „teória triedneho poľa“ a patrí k technicky najprísnejším odvetviam matematiky. Významne prispeli k jeho rozvoju F. Furtwängler v roku 1902 a T. Takagi v roku 1920. V posledných rokoch bola v tejto oblasti matematiky zaznamenaná významná aktivita.

V rozhodovacích procesoch jednotlivcov dominujú určité intuície o pravdepodobnosti. Kahneman a Tversky položili respondentom otázku: „Aká je pravdepodobnosť, že v pôrodnici s desiatimi lôžkami a v pôrodnici s tisíckou sa v daný deň narodí 60 % chlapcov? . Zvyčajne sa volalo na čísla rovnaký, aj keď zákon veľkých čísel pre tento prípad hovorí, že so zvyšujúcim sa počtom pokusov by sa pravdepodobnosť mala priblížiť k 0,5. Ak sa zo šiestich z desiatich novorodencov stanú chlapci, nemalo by to byť prekvapujúce. Ale ak šesťsto z tisíc sú chlapci, potom už toto prinúti človeka zamyslieť sa nad prijateľnosťou hypotézy symetrie v tomto teste. Zároveň niet pochýb, že odpoveď by bola správnejšia, keby bola otázka položená v zmysle hodu symetrickou mincou, a to: „Aká je pravdepodobnosť, že v desiatich pokusoch bude výsledok 6-krát „hlavy“? A tiež - aká je pravdepodobnosť, že sa tie „hlavy“ objavia 600-krát v sérii tisícov pokusov?

Jednotlivým udalostiam sa však pripisuje nevyhnutnosť ich podriadenosti zákonu veľkých čísel. Akoby sme nemali do činenia so štatistickým zákonom, ktorý sa potvrdzuje len na veľkých vzorkách, ale s úplne deterministickým zákonom. Kahneman a Tversky definovali tento psychologický fenomén ako "psychologický zákon malých čísel".

Hazardní hráči veľmi často vkladajú svoje nádeje do tohto „zákona“. Mnohí z nich slepo dôverujú takzvanému „zákonu vyrovnania“, ktorý dúfajú, že sa uplatnia v neadekvátne krátkych časových úsekoch hry. Tento „zákon“ dáva nádej, že ak sa budete držať jednej taktiky dostatočne dlho, vyrovnanie príde samo. Inými slovami, ak sa „hlavy“ potrebné na výhru neobjavia a neobjavia, musíte na to pokračovať v stávkovaní, pretože Raz to aj tak vypadne. my presvedčený v „spravodlivom vyrovnaní“ v rozpore so skutočnosťou. Ale v krátkych sériách testov môže byť pozorovaná odchýlka dosť veľká, keď sa na to pozeráme z pohľadu hodnotenia rizika pre hráča. Bez odchýlok neexistuje vyrovnanie. Minca nemá žiadnu „pamäť“; každý hod je nezávislý test.

Ďalším dôsledkom „zákona malých čísel“ je, že z individuálnej skúsenosti, ktorá nemôže tvrdiť, že je štatisticky významná, sa vyvodzujú zovšeobecňujúce závery a na ich základe sa formulujú neexistujúce vzorce. Tversky si napríklad spomína na príhodu zo svojej kariéry inštruktora vo výsadkových silách. Došlo k stretu dvoch protichodných názorov dvoch inštruktorov, ktorí učili mladých vojakov zoskok padákom. Jeden z nich tvrdil, že hrubé zaobchádzanie s kadetmi bolo účinnejšie pri motivácii k dosahovaniu výsledkov. Ďalší tvrdil opak. V skutočnosti ani jedna skúsenosť nie je štatisticky významná. V tomto prípade by bolo vhodnejšie pripomenúť si Galtonove experimenty so šľachtením hrachu. Selekcia stále väčšieho hrachu nakoniec v jednej generácii viedla k opačnému výsledku. Potomstvo bolo menšie ako rodičovský hrach. Úspechy a neúspechy kadetov môžu nastať nielen v dôsledku úsilia inštruktora a nie v dôsledku jeho hrubého alebo jemného vedenia, ale v súlade so štatistickým zákonom návratu k priemeru. Ale čisto navonok tento proces vyzerá takto: po povzbudení sa to pre kadeta zhorší. Predsa nie kvôli povzbudenie, ale po ňom. A tu po trest, výsledky neúspešného kadeta sa vrátia na priemernú úroveň.

Moja spolupráca s Amosom v 70. rokoch začala diskusiou o tvrdení, že ľudia majú intuitívny štatistický zmysel, aj keď sa štatistike neučili. Na seminári nám Amos povedal o výskumníkoch z University of Michigan, ktorí boli vo všeobecnosti optimistickí, pokiaľ ide o intuitívne štatistiky. Táto téma ma veľmi znepokojovala z osobných dôvodov: krátko predtým som zistil, že som zlý intuitívny štatistik a nemohol som uveriť, že som horší ako ostatní.
Pre výskumného psychológa nie je variabilita vzorky len zvláštnosťou, je to nepríjemnosť a nákladná nepríjemnosť, ktorá mení akýkoľvek výskum na hazardnú hru. Predpokladajme, že chcete potvrdiť hypotézu, že slovná zásoba šesťročných dievčat je v priemere väčšia ako slovná zásoba chlapcov rovnakého veku. V celej populácii je hypotéza správna, dievčatá vo veku šesť rokov majú v priemere väčšiu slovnú zásobu. Dievčatá a chlapci sú však veľmi odlišní a môžete náhodne vybrať skupinu, v ktorej nie je viditeľný rozdiel, alebo dokonca skupinu, v ktorej chlapci získajú viac bodov. Ak ste výskumník, takýto výsledok vás vyjde draho, pretože po vynaložení času a úsilia nepotvrdíte správnosť hypotézy. Riziko sa znižuje len použitím dostatočne veľkej vzorky a tí, ktorí pracujú s malými vzorkami, sa nechávajú na náhodu.
Riziko chyby v každom experimente sa odhaduje pomocou pomerne jednoduchej operácie, no psychológovia na určenie veľkosti vzorky nepoužívajú výpočty, ale rozhodujú sa podľa vlastného, ​​často chybného chápania. Krátko pred diskusiou s Amosom som si prečítal článok, ktorý dokonale ilustruje bežné chyby výskumníkov. Autor poznamenal, že psychológovia často používajú také malé vzorky, že riskujú, že nepotvrdia správne hypotézy s pravdepodobnosťou 50 %! Žiadny rozumný výskumník by takéto riziko neprijal. Prijateľným vysvetlením sa zdalo, že rozhodnutia psychológov o veľkosti vzorky odrážajú prevládajúce intuície o rozsahu variability.
Zarazili ma vysvetlenia článku, ktoré osvetľujú problémy s mojím vlastným výskumom. Ako väčšina psychológov som bežne používal vzorky, ktoré boli príliš malé a často som získal nezmyselné, zvláštne výsledky, ktoré sa ukázali ako artefakty vytvorené samotnou metódou môjho výskumu. Moje chyby boli o to hanblivejšie, že som učil štatistiku a vedel som vypočítať veľkosť vzorky potrebnú na zníženie rizika zlyhania na prijateľnú úroveň. Ale nikdy som to nerobil pri plánovaní experimentov a rovnako ako iní výskumníci som dôveroval tradícii a vlastnej intuícii bez toho, aby som o probléme vážne premýšľal. V čase, keď sa Amos zúčastnil môjho seminára, som si už uvedomil, že moja intuícia nefunguje a počas samotného seminára sme rýchlo prišli na to, že sa mýlili aj optimisti na University of Michigan.
S Amosom sme sa rozhodli zistiť, či sa medzi výskumníkmi našli naivní blázni ako ja a či vedci s matematickými znalosťami neurobili rovnaké chyby. Vyvinuli sme dotazník popisujúci realistické štúdie a úspešné experimenty. Opýtaní boli požiadaní, aby určili veľkosť vzorky, posúdili riziká spojené s týmito rozhodnutiami a poskytli rady hypotetickým postgraduálnym študentom, ktorí plánujú výskumnú prácu. Na konferencii Spoločnosti pre matematickú psychológiu Amos urobil prieskum medzi prítomnými (vrátane autorov dvoch učebníc štatistiky). Výsledky boli jasné: nebol som sám. Takmer všetci respondenti zopakovali moje chyby. Ukázalo sa, že ani odborníci nie sú dostatočne opatrní pri veľkosti vzorky.
Prvý článok, ktorý som napísal spolu s Amosom, sa volal „Viera v zákon malých čísel“. Vtipne to vysvetlilo, že „...intuitívny odhad veľkosti náhodných vzoriek zrejme vyhovuje zákonu malých čísel, ktorý hovorí, že zákon veľkých čísel platí rovnako dobre aj pre malé čísla“. Zahrnuli sme aj dôrazné odporúčanie pre výskumníkov, aby brali svoje „štatistické intuície s rezervou a nahradili dojmy výpočtami, kedykoľvek je to možné“.