Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... je aritmetický postup, pretože každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. Napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šiestim.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

napr. aritmetická progresia\(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie úloh aritmetického postupu

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickou progresiou (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto postupnosti.
Riešenie:

	Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od svojho suseda rovnakým číslom. Poďme zistiť, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Zadaných niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(…5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
Riešenie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz môžeme ľahko nájsť to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Uvádza sa aritmetický postup nasledujúce podmienky: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale nepoznáme ich význam, je nám daný iba prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty jednu po druhej pomocou toho, čo je nám dané: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadované množstvo bolo nájdené.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce pre aritmetický postup

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý nasledujúci prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu ( rozdiel v progresii).

Niekedy však existujú situácie, keď je rozhodovanie „hlavou“ veľmi nepohodlné. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Mali by sme pridať štyri \(385\) krát? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budeš unavený z počítania...

Preto v takýchto prípadoch neriešia veci „hlavou“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec \(n\)-teho členu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) – člen postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aj tristotý alebo miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je určený podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) – posledný sčítaný termín;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
Riešenie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich členov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho členu. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (podrobnejšie pozri). Vypočítajme prvý prvok dosadením jedného za \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		No a teraz si už ľahko vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Získame:

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) – prvý sčítaný člen;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) – celkový počet prvkov.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riešenie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému zvážením problémov, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riešenie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť to isté: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by som chcel dosadiť \(d\) do vzorca pre súčet... a tu sa objavuje malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Prestaneme pridávať prvky, keď dosiahneme prvý pozitívny prvok. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo \(n\) sa to stane.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Poďme počítať...
\(n>65 333…\)		...a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný záporný znak \(n=65\). Pre každý prípad si to skontrolujme.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musíme teda pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-teho do \(42\) prvku vrátane.
Riešenie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Pre takýto prípad nemáme vzorec. Ako sa rozhodnúť? Je to jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-teho do \(42\)-ého, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-teho do \(42\)-ého a potom odpočítať z toho súčet od prvej po \(25\)-tu (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon je to štvorka, ktorú pridáme k predchádzajúcemu prvku, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-y prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\) prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetickú progresiu existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, uvažujme, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálny prípad postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je číslo nastavené, z ktorých každý prvok má svoje vlastné sériové číslo . Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Sériové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- „n-tý“ prvok postupnosti, t.j. prvok „stojaci v rade“ pri čísle n.

Existuje vzťah medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, môžeme to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné nastaviť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Napríklad, Niekto sa rozhodol urobiť osobný manažment času, a najprv spočítajte, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zaznamenaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky označuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a to znamená v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého členu.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo vo forme vzorca.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca n-tého člena.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkcie:

Ak napr. , To

Dovoľte mi ešte raz poznamenať, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné zadať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty čísla sekvenčného člena n od hodnôt predchádzajúcich členov.

V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti. ,

Zvážte napríklad postupnosť Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie jeden po druhom

, počnúc treťou: To znamená, že zakaždým, aby sme našli hodnotu n-tého člena postupnosti, sa vrátime k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob určenia sekvencie sa nazýva opakujúce sa , od Latinské slovo recurro

- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti. Aritmetický postup

je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu

. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo rovný nule.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Ak title="d>0.

zvyšujúci sa

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je klesajúci.

Napríklad 2; -1; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy progresie rovnajú rovnakému číslu a progresia je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetickej progresie:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľte obe strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, To

, a preto

Každý člen aritmetického postupu počnúc title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetickej progresie spĺňajú nasledujúce vzťahy:

a nakoniec

Dostali sme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a. Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktorýkoľvek z jeho výrazov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov, ktoré sú rovnako vzdialené od extrémnych, navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Zoraďme podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Pridajme do párov:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Získame:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Uvažujme riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je do tohto postupu zahrnuté číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen pre našu postupnosť.

Vo všeobecnosti

V našom prípade , Preto

Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne komplexný pojem z oddielov vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetická postupnosť Keď pochopíte niekoľko základných pojmov, nie je to také ťažké.

Matematická postupnosť čísel

Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota N-té číslo je nejakou funkciou n.

a je hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „rastúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného členu an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen sekvencie je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 r.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.

Iný typ číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná vyššou rýchlosťou zmien v porovnaní s aritmetickou progresiou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, často hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmetické a geometrické postupnosti

Teoretické informácie

Teoretické informácie

	Aritmetický postup	Geometrická progresia
Definícia	Aritmetický postup a n je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu d (d- progresívny rozdiel)	Geometrická progresia b n je postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q- menovateľ progresie)
Vzorec opakovania	Pre akékoľvek prírodné n a n + 1 = a n + d	Pre akékoľvek prírodné n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Vzorec n-tý termín	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Charakteristická vlastnosť
Súčet prvých n členov

Príklady úloh s komentármi

Úloha 1

V aritmetickej progresii ( a n) 1 = -6, a 2

Podľa vzorca n-tého členu:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d

Podľa podmienky:

1= -6 teda 22= -6 + 21 d.

Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 2

Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6;...

1. metóda (použitím n-členného vzorca)

Podľa vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Pretože b 1 = -3,

2. metóda (použitím opakujúceho sa vzorca)

Keďže menovateľ progresie je -2 (q = -2), potom:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: b 5 = -48.

Úloha 3

V aritmetickej progresii ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Nájdite sedemdesiaty piaty člen tohto postupu.

Pre aritmetickú progresiu má charakteristická vlastnosť tvar .

Z toho vyplýva:

.

Dosadíme údaje do vzorca:

odpoveď: 95.

Úloha 4

V aritmetickej progresii ( a n) a n= 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich členov.

Na nájdenie súčtu prvých n členov aritmetickej progresie sa používajú dva vzorce:

.

Ktorý z nich je v tomto prípade vhodnejší?

Podľa podmienky je známy vzorec pre n-tý člen pôvodnej progresie ( a n) a n= 3n - 4. Môžete okamžite nájsť 1, A 16 bez nájdenia d. Preto použijeme prvý vzorec.

Odpoveď: 368.

Úloha 5

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6; a 2= -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.

Podľa vzorca n-tého členu:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.

Podľa podmienky, ak 1= -6 teda 22= -6 + 21 d. Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 6

Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich pojmov geometrickej postupnosti:

Nájdite člen progresie označený x.

Pri riešení použijeme vzorec pre n-tý člen b n = b 1 ∙ q n - 1 pre geometrické postupnosti. Prvý termín progresie. Ak chcete nájsť menovateľa progresie q, musíte vziať ktorýkoľvek z daných členov progresie a vydeliť ho predchádzajúcim. V našom príklade môžeme brať a deliť podľa. Dostaneme, že q = 3. Namiesto n dosadíme do vzorca 3, keďže je potrebné nájsť tretí člen danej geometrickej postupnosti.

Nahradením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme:

.

Odpoveď: .

Úloha 7

Z aritmetických postupností daných vzorcom n-tého člena vyberte ten, pre ktorý je podmienka splnená 27 > 9:

Keďže daná podmienka musí byť splnená pre 27. člen postupnosti, do každej zo štyroch postupností dosadíme 27 namiesto n. V 4. postupnosti dostaneme:

.

odpoveď: 4.

Úloha 8

V aritmetickom postupe 1= 3, d = -1,5. Zadajte najväčšiu hodnotu n, pre ktorú platí nerovnosť a n > -6.

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) postupnosti vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zvýrazniť:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.