1.3.1.KONCEPCIA NUMERICKÉHO SYSTÉMU.

Všetky fantastické možnosti výpočtovej techniky (CT) sa realizujú vytváraním rôznych kombinácií signálov vysokej a nízkej úrovne, ktoré sa nazývajú „jednotky“ a „nuly“.

Notový zápis (CC) je systém na zaznamenávanie čísel pomocou špecifickej sady číslic CC pozičné, ak tá istá číslica má iný význam, ktorý je určený jej miestom v čísle. Desatinná SS je pozičná: 999. Rímska SS je nepozičné. Hodnota číslice X v čísle XXI zostáva nezmenená, keď sa jej pozícia v čísle mení základ SS.

Rozšírený formulárčísla sú záznam, ktorý predstavuje súčet súčinov číslic čísla a hodnoty pozícií.

Napríklad: 8527=8*10 3 +5*10 2 +2*10 1 +7*10 0

Rozšírená forma zápisu čísel ľubovoľnej číselnej sústavy má tvar

X - číslo;
a je základom číselnej sústavy;
i - index;
m - počet číslic zlomkovej časti;
n - počet číslic celočíselnej časti.

Napríklad: 327,46 n = 3, m = 2, q = 10

Ak je základ použitej SS väčší ako desať, potom pre čísla zadajte symbol so zátvorkou v hornej časti alebo písmenovým označením.

Napríklad: ak 10=A a 11=B, potom číslo 7A.5B 12 možno zapísať takto:

7A.5B12 = B12-2 + 52-1 +A120 + 7121.

IN hexadecimálny Základom SS sú čísla 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 s príslušnými označeniami 0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Príklady čísel: 17D.ECH, F12AH.

BinarySS- je systém, v ktorom sa na zápis čísel používajú dve číslice 0 a 1 Základom binárnej číselnej sústavy je číslo 2.

Binárny kódčísla - zaznamenanie tohto čísla v binárnej číselnej sústave. Napríklad,

0=0 2
1=1 2
2=10 2
3=11 2 …
7=111 2
120=1111000 2 .

Vo VT sa používajú polohové SS s nedesiatkovým základom: binárne, osmičkové, hexadecimálne. Na označenie použitého SS je číslo opatrené horným alebo dolným indexom, v ktorom je napísaný základný SS. Ďalším spôsobom je použitie latinských písmen po napísaní čísla:

D – desatinné SS
B – binárne SS
O – osmičkové SS
H – hexadecimálne SS.

Napriek tomu, že 10-miestne SS je rozšírené, digitálne počítače sú postavené na binárnych prvkoch, pretože Je ťažké implementovať prvky s 10 jasne rozlíšiteľnými stavmi. Historický vývoj VT sa vyvinul tak, že počítače sú postavené na báze binárnych digitálnych zariadení: klopné obvody, registre, čítače, logické prvky atď.

Hexadecimálne a osmičkové SS sa používajú pri skladaní programov v jazyku strojového kódu na kratší a pohodlnejší záznam binárnych kódov - príkazov, údajov, adries a operandov.

S úlohou prenosu z jedného systému do druhého sa často stretávame v programovaní, najmä v jazyku Assembly. Napríklad pri určovaní adresy pamäťovej bunky. Niektoré štandardné postupy programovacích jazykov Pascal, BASIC, C, HTML vyžadujú nastavenie parametrov v hexadecimálnom SS. Na priamu úpravu údajov zaznamenaných na HDD, potrebujete aj schopnosť pracovať so šestnástkovými číslami. Bez pochopenia binárneho systému je nemožné nájsť chybu v počítači.

V tabuľke sú uvedené niektoré čísla uvedené v rôznych CC.

Binárne čísla	Octal čísla	Desatinné čísla	Hexadecimálne čísla

1.3.2. PREKLAD ČÍSEL Z LIBOVOLNÝCH SS DO DESADINOVEJ A SPÄŤ.

Prevod čísel z ľubovoľnej sústavy do desiatkovej sústavy. Ak chcete previesť číslo z ľubovoľného pozičného SS na desiatkové, musíte použiť rozšírený tvar čísla a v prípade potreby nahradiť písmenové označenia zodpovedajúce čísla. Napríklad:

1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =13 10

17D.ECH=12·16-2 + 14·16-1 +13·16 0 + 7·16 1 + 1·16 2 =381,921875

Prevod čísel z desatinných SS na dané.

1) Na konverziu celé čísla desiatkovú číselnú sústavu na číslo ľubovoľnej číselnej sústavy, postupne rovnomerne delíme základom SS, až kým nedostanú nulu. Čísla, ktoré vznikajú ako zvyšok delenia základom SS, predstavujú postupný záznam číslic čísla vo vybranom SS od najmenej významného po najvýznamnejší. Preto na zapísanie samotného čísla sa zvyšky po delení zapisujú v opačnom poradí.

Napríklad:

Čítaním zvyškov delenia zdola nahor dostaneme 111011011.

Vyšetrenie:

1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 1+2+8+16+64+128+256=475 10 .

2) Na konverziu desatinné miesta desatinná SS na číslo ľubovoľnej SS, násobenie sa postupne vykonáva základom číselného systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule. Výsledné celočíselné časti sú číslice čísla v novom systéme a musia byť reprezentované číslicami tohto nový systém Zúčtovanie Celé časti sú následne vyradené.

Napríklad: Preveďte číslo 0,375 10 na binárne SS.

Získaný výsledok je 0,0112.

Treba poznamenať, že nie každé číslo sa dá presne vyjadriť v novom číselnom systéme, takže niekedy sa vypočíta iba požadovaný počet zlomkových číslic, pričom sa posledná číslica zaokrúhľuje.

1.3.3. PREKLAD MEDZI ZÁKLADNÝMI STUPŇAMI 2.

Aby sa od osmičkovýčíselný systém previesť číslo na binárne kód, každá číslica tohto čísla musí byť reprezentovaná ako trojica binárnych znakov. Extra nuly na najvýznamnejších čísliciach sa zahodia.

Napríklad:

1234.777 8 = 001 010 011 100.111 111 111 2 = 1 010 011 100.111 111 111 2

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 1 010 011 100 101 110 111 2

Obrátený preklad: každá trojica dvojkových číslic sa nahradí osmičkovou číslicou a v prípade potreby sa číslo zarovná pridaním núl pred celočíselnou časťou alebo za zlomkovú časť.

Napríklad:

1100111 2 = 001 100 111 2 = 147 8

11.1001 2 = 011.100 100 2 = 3.44 8

110.0111 2 = 110.011 100 2 = 6.34 8

Pri prestupe medzi binárne A hexadecimálny SS používa štyri číslice. V prípade potreby sa zarovnanie vykoná na dĺžku binárneho čísla, ktorá je násobkom štyroch.

Napríklad:

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111 2 =1 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111 2

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2

0,1234AA 16 = 0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2

1100111 2 = 0110 0111 2 = 67 16

11.1001 2 = 0011.1001 2 = 3.9 16

110.0111001 2 = 0110.0111 0010 2 = 65.72 16

Pri presune z osmičkový zúčtovanie v hexadecimálny Na počítanie a späť slúži pomocný binárny číselný kód.

Napríklad:

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 0101 0011 1001 0111 0111 2 = 53977 16

0.12034 8 = 0.001 010 000 011 100 2 = 0.0010 1000 0011 1000 2 = 0.2838 16

120.34 8 = 001 010 000. 011 100 2 = 0101 0000.0111 0000 2 = 50.7 16

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111 2 =

001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100 2 = 11064.526734 8

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2 = 110 011 100 100 010 101 100 111 2 = 63442547 8

0,1234AA 16 =0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2 =0,000 100 100 011 010 010 101 010 2 =0,04432252 8

Znázorňovanie čísel pomocou písaných symbolov.

Zápis:

• poskytuje reprezentácie množiny čísel (celé čísla a/alebo reálne čísla);
• dáva každému číslu jedinečnú reprezentáciu (alebo napr najmenej, štandardné zobrazenie);
• odráža algebraickú a aritmetickú štruktúru čísel.

Číselné sústavy sa delia na pozičné, nepozičné A zmiešané.

Pozičné číselné sústavy

V pozičných číselných sústavách má rovnaký číselný znak (číslica) v zápise čísla rôzne významy v závislosti od miesta (kategórie), kde sa nachádza. Vynález pozičného číslovania, založeného na miestnom význame číslic, sa pripisuje Sumerom a Babylončanom; Takéto číslovanie vyvinuli hinduisti a malo neoceniteľné dôsledky v dejinách ľudskej civilizácie. Medzi takéto systémy patrí moderný systém desiatkových čísel, ktorého vznik je spojený s počítaním na prstoch. V stredovekej Európe sa objavil prostredníctvom talianskych obchodníkov, ktorí si ho zasa požičali od moslimov.

Pozičný číselný systém sa zvyčajne vzťahuje na -bohatý číselný systém, ktorý je určený volaným celým číslom základčíselné sústavy. Celé číslo bez znamienka v -árnom číselnom systéme je reprezentované ako konečná lineárna kombinácia mocnín čísla:

, kde sa nazývajú celé čísla v číslach, uspokojujúce nerovnosť.

Každý stupeň v takomto zápise sa nazýva poradová váha. Seniorita číslic a im zodpovedajúce číslice je určená hodnotou ukazovateľa (číslo číslice). V nenulových číslach sú ľavé nuly zvyčajne vynechané.

Ak neexistujú žiadne nezrovnalosti (napríklad, keď sú všetky čísla uvedené vo forme jedinečných písaných znakov), číslo sa zapíše ako postupnosť svojich alfanumerických číslic, ktoré sú uvedené v zostupnom poradí podľa priority číslic zľava doprava:

Napríklad číslo sto tri reprezentované v desiatkovej sústave ako:

Najpoužívanejšie polohové systémy sú:

V pozičných systémoch platí, že čím väčšia je základňa systému, tým menší počet číslic (teda písaných číslic) je potrebný pri zápise čísla.

Zmiešané číselné sústavy

Zmiešaný číselný systém je zovšeobecnením -bohatého číselného systému a tiež často odkazuje na pozičné číselné systémy. Základom zmiešaného číselného systému je rastúca postupnosť čísel a každé číslo v ňom je reprezentované ako lineárna kombinácia:

, kde sa koeficienty volajú ako predtým v číslach, platia určité obmedzenia.

Zápis čísla v zmiešanej číselnej sústave je zoznam jeho číslic v zostupnom poradí indexu, počnúc prvým nenulovým číslom.

V závislosti od typu ako funkcie môžu byť zmiešané číselné sústavy mocninné, exponenciálne atď. V prípade niektorých sa zmiešaný číselný systém zhoduje s exponenciálnym - bohatým číselným systémom.

Najznámejším príkladom zmiešaného číselného systému je zobrazenie času ako počet dní, hodín, minút a sekúnd. V tomto prípade hodnota „dní, hodín, minút, sekúnd“ zodpovedá hodnote sekúnd.

Faktorový číselný systém

IN faktoriálny číselný systém základy sú postupnosťou faktoriálov a každé prirodzené číslo je reprezentované ako:

, Kde .

Faktoriálny číselný systém sa používa, keď dekódovanie permutácií pomocou zoznamov inverzií: s číslom permutácie ho môžete reprodukovať takto: číslo, ktoré je o jednu menšie ako číslo (číslovanie začína od nuly), sa zapíše do faktoriálovej číselnej sústavy a koeficient čísla i! bude označovať počet inverzií pre prvok i+1 v množine, v ktorej sa robia permutácie (počet prvkov menší ako i+1, ale umiestnených napravo od neho v požadovanej permutácii)

Príklad: zvážte množinu permutácií 5 prvkov, celkovo je ich 5! = 120 (od permutačného čísla 0 - (1,2,3,4,5) po permutačné číslo 119 - (5,4,3,2,1)), nájdime 101. permutáciu: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; nech ti je koeficient pre číslo i!, potom t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, potom: počet prvkov menší ako 5, ale umiestnených vpravo je 4; počet prvkov menší ako 4, ale umiestnených vpravo je 0; počet prvkov menší ako 3, ale umiestnených vpravo, je 2; počet prvkov menší ako 2, ale umiestnených vpravo je 0 (posledný prvok v permutácii je „umiestnený“ na jediné zostávajúce miesto) - teda 101. permutácia bude vyzerať takto: (5,3,1,2 ,4) Skontrolujte túto metódu možno vykonať priamym počítaním inverzií pre každý prvok permutácie.

Fibonacciho číselný systém na základe Fibonacciho čísel. Každé prirodzené číslo je znázornené v tvare:

, kde sú Fibonacciho čísla a koeficienty majú konečný počet jednotiek a neexistujú dve za sebou.

Nepozičné číselné sústavy

V nepozičných číselných sústavách hodnota, ktorú číslica označuje, nezávisí od jej pozície v čísle. V tomto prípade môže systém zaviesť obmedzenia na pozíciu čísel, napríklad tak, aby boli usporiadané v zostupnom poradí.

Binomický číselný systém

Znázornenie pomocou binomických koeficientov

, Kde .

Systém zvyškových tried (RSS)

Reprezentácia čísla v systéme tried zvyškov je založená na koncepte zvyšku a čínskej vete o zvyšku. RNS je určená množinou relatívne prvočísel modulov s produktom takým spôsobom, že každé celé číslo zo segmentu je spojené s množinou zvyškov, kde

…

Čínska veta o zvyšku zároveň zaručuje jedinečnosť zobrazenia pre čísla z intervalu.

V RNS sa aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie) vykonávajú po komponentoch, ak je známe, že výsledok je celé číslo a tiež leží v .

Nevýhodou RNS je schopnosť reprezentovať len obmedzený počet čísel, ako aj nedostatok efektívnych algoritmov na porovnávanie čísel zastúpených v RNS. Porovnanie sa zvyčajne vykonáva prekladom argumentov z RNS do zmiešaný systém základné výpočty.

Stern – Brocot číselný systém- spôsob, ako zaznamenať pozitívne racionálne čísla, ktorého základom je strom Stern–Brocot.

Číselné sústavy rôznych národov

Systém čísel jednotiek

Vraj chronologicky prvá číselná sústava každého národa, ktorý ovládal počítanie. Prirodzené číslo zobrazené opakovaním rovnakého znaku (pomlčka alebo bodka). Napríklad, aby ste zobrazili číslo 26, musíte nakresliť 26 čiar (alebo urobiť 26 zárezov na kosti, kameni atď.). Následne z dôvodu uľahčenia vnímania veľké čísla, tieto znaky sú zoskupené v skupinách po troch alebo piatich. Potom sa rovnaké objemové skupiny znakov začnú nahrádzať nejakým novým znakom - takto vznikajú prototypy budúcich čísel.

Staroegyptský číselný systém

Babylonský číselný systém

Abecedné číselné sústavy

Abecedné číselné systémy používali starí Arméni, Gruzínci, Gréci (iónový číselný systém), Arabi (abjadia), Židia (pozri gematria) a ďalšie národy Blízkeho východu. V slovanských bohoslužobných knihách bol grécky abecedný systém preložený do cyrilských písmen.

židovský číselný systém

Grécky číselný systém

Rímsky číselný systém

Kanonický príklad takmer nepozičného číselného systému je rímsky, ktorý ako čísla používa latinské písmená:
Stojím za 1,
V – 5,
X – 10,
L – 50,
C – 100,
D - 500,
M – 1000

Napríklad II = 1 + 1 = 2
tu symbol I predstavuje 1 bez ohľadu na jeho miesto v čísle.

Rímsky systém v skutočnosti nie je úplne nepozičný, pretože menšia číslica, ktorá nasleduje pred väčšou, sa od nej odčíta, napríklad:

IV = 4, pričom:
VI = 6

Mayský číselný systém

pozri tiež

Poznámky

Odkazy

• Gaškov S.B.Číselné sústavy a ich aplikácie. - M.: MTsNMO, 2004. - (Knižnica „Matematická výchova“).
• Fomin S.V.Číselné sústavy. - M.: Nauka, 1987. - 48 s. - (Populárne prednášky z matematiky).
• Yaglom I.Číselné sústavy // Kvantové. - 1970. - Číslo 6. - S. 2-10.
• Čísla a číselné sústavy. Online encyklopédia po celom svete.
• Stakhov A.Úloha číselných sústav v histórii počítačov.
• Mikushin A.V. Prednáškový kurz" Digitálne zariadenia a mikroprocesory"
• Butler J. T., Sasao T. Redundantné číselné systémy s viacerými hodnotami Článok sa zaoberá číselnými systémami, ktoré používajú číslice väčšie ako jedna a umožňujú redundanciu v reprezentácii čísel

Nadácia Wikimedia. 2010.

Číselný systém je veľmi zložitý pojem.

číselný systém - toto je spôsob reprezentácie čísel a príslušné pravidlá pre prevádzkové čísla. číselný systém - je znaková sústava, v ktorej sa čísla píšu podľa určité pravidlá pomocou znakov z niektorej abecedy nazývanej čísla.

Existuje mnoho spôsobov, ako reprezentovať čísla. V každom prípade je číslo reprezentované symbolom alebo skupinou symbolov (slovom) nejakej abecedy. Takéto symboly budeme nazývať číslami. Používa sa na znázornenie čísel nepozičné A pozičnéčíselné sústavy.

IN nepozičné systémov, každá číslica má svoju váhu a jej význam nezávisí od pozície v čísle - od pozície. Príkladom je rímsky systém. Povedzme, že číslo 76 v tomto systéme vyzerá takto:

LXXVI, kde L=50, X=10, V=5, I=1.

Ako vidíte, čísla sú tu latinské znaky.

IN pozičné systémov, významy čísel závisia od ich pozície (pozície) v čísle.

Človek je napríklad zvyknutý používať desiatkovú pozičnú sústavu – čísla sa píšu pomocou 10 číslic. Číslica úplne vpravo označuje jednotky, jedna vľavo - desiatky, ešte viac vľavo - stovky atď.

V akomkoľvek pozičnom systéme môže byť číslo reprezentované ako polynóm.

Ukážme si, ako znázorniť desatinné číslo ako polynóm.

Číselný systém je veľmi zložitý pojem. Zahŕňa všetky zákony, podľa ktorých sa čísla zapisujú a čítajú, ako aj tie, podľa ktorých sa s nimi vykonávajú operácie.

Najdôležitejšia vec, ktorú potrebujete vedieť o číselnom systéme, je jeho typ: aditívum alebo multiplikatívne. V prvom type má každá číslica svoj vlastný význam a na prečítanie čísla musíte sčítať všetky hodnoty použitých číslic:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

V druhom type môže mať každá číslica rôzne významy v závislosti od jeho umiestnenia v čísle:

(hieroglyfy v poradí: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Tu je hieroglyf „2“ použitý dvakrát a v každom prípade nadobudol iný význam „2000“ a „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Pre aditívny („doplnkový“) systém potrebujete poznať všetky čísla a symboly s ich významom (je ich až 4-5 tuctov) a poradie zaznamenávania. Napríklad v latinskej notácii, ak sa pred väčšou číslicou napíše menšia číslica, vykoná sa odčítanie, a ak po, sčítanie (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Pre multiplikatívny systém musíte poznať obraz čísel a ich význam, ako aj radix.

Systémová základňa Zápis je počet číslic a symbolov používaných na vyjadrenie čísla. Napríklad p=10.

Určenie základu je veľmi jednoduché, stačí si prepočítať množstvo významné postavy v systéme. Zjednodušene povedané, toto je číslo, od ktorého začína druhá číslica čísla. Napríklad používame čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Je ich presne 10, takže základom našej číselnej sústavy je tiež 10 a číselná sústava je s názvom “ desiatkový" Vyššie uvedený príklad používa čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomocné 10, 100, 1000, 10000 atď. sa nepočítajú). Je tu tiež 10 hlavných čísel a číselný systém je desiatkový.

Systémová základňa je postupnosť číslic používaných na zápis čísla. V žiadnom systéme neexistujú čísla, rovná základni systémov.

Ako môžete hádať, koľko čísel je, toľko môže byť základov číselnej sústavy. Používajú sa však iba najpohodlnejšie základy číselných sústav. Prečo si myslíte, že základ je najčastejšie používaný ľudský systémčíslo 10? Áno, práve preto, že máme na rukách 10 prstov. "Ale na jednej ruke je len päť prstov," povedia niektorí a budú mať pravdu. História ľudstva pozná príklady päťnásobných číselných systémov. "A s nohami je dvadsať prstov," povedia iní a budú mať tiež úplnú pravdu. Presne v toto verili Mayovia. Vidno to aj na ich počte.

Číselné sústavy. Pojem číselných sústav. Typy a skupiny číselných sústav

Číselná sústava (SS) je pravidlo na zaznamenávanie čísla pomocou danej sady špeciálnych znakov – čísel. Existuje niekoľko skupín záznamových čísel: Unárne. Ide o RZ, v ktorom sa na písanie číslic používa jeden znak - (palica). Ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho pridaním nového - jedného, ​​ich počet sa rovná samotnému číslu. Na zápis čísla v unárnej sústave použite zápis Z1. Nepozičné SS (najbežnejšie je rímske). Niektoré základné čísla sú v ňom zastúpené veľkými písmenami s latinskými písmenami: 1-I 5-V, ​​​​10-X, 50-L, 100-C, 500-D, 1000-M, Ak je číslica menšej hodnoty napravo od väčšej číslice, potom ich hodnoty sú sčítané, ak vľavo, menšia hodnota sa odpočíta od viacerých. Čísla I, X, C, M sa môžu objaviť v rade najviac trikrát. Čísla V, L, D možno použiť pri písaní čísla najviac raz. Pozičné SS - SS, v ktorom je hodnota každej číslice v obraze čísla určená jej pozíciou (pozíciou) v rade iných číslic. Unárne a rímske SS majú spoločné to, že hodnota čísla sa určuje pomocou operácií sčítania a odčítania základných číslic, ktoré tvoria číslo, bez ohľadu na ich pozíciu v čísle. Takéto systémy sa nazývajú aditívne. Naproti tomu polohové SS sa považujú za aditívne-multiplikatívne, pretože hodnota čísla je určená operáciami násobenia a sčítania.

Prevod celých a zlomkových čísel z jednej číselnej sústavy do druhej

Keďže rovnaké číslo môže byť zapísané v rôznych SS, je možné previesť číslo z jedného systému do druhého. Pretože Keďže najbežnejší SS je desiatkový, je potrebné zvážiť algoritmy na prevod z desiatkovej sústavy do inej a späť. Algoritmus na prevod z desiatkovej SS na inú. 1). Vydeľte pôvodné číslo Z(10) celé číslo základom novej sústavy (p) a nájdite zvyšok oddelenia - bude to číslica z 0. číslice čísla Z. 2). Podiel delenia opäť vydeľte P, pričom zvyšok izolujte, kým podiel nebude menší ako P. 3). Výsledné deliace zvyšky, umiestnené v opačnom poradí, ako boli prijaté, predstavujú Z(p). Algoritmus na konverziu Z(p) na Z(10). Na túto transformáciu sa používa vzorec (1): Z p =a k-1 *p k-1 +a k-2 *p k-2 + … +a 1 *p 1 +a 0 *p 0; (1) Kde p je základ SS, k je celkový početčíslice čísel. Napríklad: 443 (5)=4*5 2 + 4*5 1 + 3*5 0 = 100+20+3 = 123. Algoritmus na prevod zlomkového čísla z desiatkovej SS do inej sústavy. Pôvodný zlomok v 10. sústave vynásobte základom P, vyberte celú časť - bude to prvá číslica nového zlomku, celú časť vyhoďte. Pre zostávajúcu zlomkovú časť opakujte operáciu násobenia, pričom oddeľte celé číslo a zlomkovú časť, kým zlomková časť nebude obsahovať 0 alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť konečného čísla. Zlomok napíšte ako postupnosť čísel za oddelené pole v poradí, v akom sa zobrazujú. Príklad: 0,375 (10) pri 0, Y(2). 0,375*2 = |0,|750 0,75*2 = |1,|50 0,5*2 = |1,|0 0,375 10 = 0,011 2 4. Algoritmus na prevod 0.Y(P) na 0.Y(10 ) sa zníži na výpočet hodnoty vzorca (1). Príklad: 0,011 2 = 0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 = 0,25 + 0,125 = 0,375 10.

Existuje mnoho spôsobov, ako reprezentovať čísla. V každom prípade je číslo reprezentované symbolom alebo skupinou symbolov (slovom) nejakej abecedy. Takéto symboly sa nazývajú čísla.

Číselné sústavy

Na reprezentáciu čísel sa používajú nepozičné a pozičné číselné sústavy.

Nepozičné číselné sústavy

Len čo ľudia začali počítať, začali mať potrebu zapisovať čísla. Nálezy archeológov na miestach primitívnych ľudí naznačujú, že spočiatku bol počet objektov zobrazený rovnakým počtom ikon (značiek): zárezy, pomlčky, bodky. Neskôr, aby sa uľahčilo počítanie, začali sa tieto ikony zoskupovať do skupín po troch alebo piatich. Tento systém zápisu čísel je tzv jednotka (unárna), keďže akékoľvek číslo v ňom je tvorené opakovaním jedného znaku, ktorý symbolizuje jeden. Ozveny systému čísel jednotiek sa nachádzajú dodnes. Aby ste teda zistili, v akom kurze študuje kadet vojenskej školy, musíte spočítať, koľko pruhov má našitých na rukáve. Bez toho, aby si to deti uvedomovali, používajú systém čísel jednotiek, na prstoch ukazujú svoj vek, a počítacie paličky sa používajú na učenie žiakov 1. ročníka, ako počítať. Uvažujme rôzne systémy Zúčtovanie

Jediný systém nie je najviac pohodlný spôsob evidenčné čísla. Nahrávanie veľkého množstva týmto spôsobom je únavné a samotné záznamy sú veľmi dlhé. Postupom času vznikli iné, pohodlnejšie číselné sústavy.

Staroegyptský desiatkový nepozičný číselný systém. Okolo tretieho tisícročia pred Kristom prišli starí Egypťania s vlastným číselným systémom, v ktorom boli kľúčové čísla 1, 10, 100 atď. boli použité špeciálne ikony - hieroglyfy. Všetky ostatné čísla boli zložené z týchto kľúčových čísel pomocou operácie sčítania. Notový zápis Staroveký Egypt je desiatkové, ale nepozičné. V nepozičných číselných sústavách kvantitatívny ekvivalent každej číslice nezávisí od jej pozície (miesta, pozície) v číselnom zázname. Napríklad na zobrazenie 3252 boli nakreslené tri lotosové kvety (tri tisícky), dva zvinuté palmové listy (dve stovky), päť oblúkov (päť desiatok) a dva stĺpy (dve jednotky). Veľkosť čísla nezávisela od poradia, v ktorom sa nachádzali znaky, z ktorých pozostáva: mohli byť písané zhora nadol, sprava doľava alebo preložené.

Rímsky číselný systém. Príkladom nepozičného systému, ktorý sa zachoval dodnes, je číselný systém, ktorý sa používal pred viac ako dva a pol tisíc rokmi v r. Staroveký Rím. Rímsky číselný systém bol založený na znakoch I (jeden prst) pre číslo 1, V (otvorená dlaň) pre číslo 5, X (dve zložené dlane) pre 10 a začali sa používať prvé písmená zodpovedajúcich čísel. na označenie čísel 100, 500 a 1000 latinské slová(Centum – sto, Demimille – poltisíc, Mille – tisíc). Aby si Rimania zapísali číslo, rozložili ho na súčet tisícok, pol tisíc, stoviek, päťdesiatich, desiatok, podpätkov, jednotiek. Napríklad desiatkové číslo 28 je znázornené takto:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (dve desiatky, podpätky, tri jednotky).

Na zaznamenávanie medzičísel Rimania používali nielen sčítanie, ale aj odčítanie. V tomto prípade bol použitý ďalšie pravidlo: Každé menšie znamienko umiestnené napravo od väčšieho sa pripočíta k jeho hodnote a každé menšie znamienko umiestnené naľavo od väčšieho sa od nej odpočíta. Napríklad IX znamená 9, XI znamená 11.

Desatinné číslo 99 má nasledujúce znázornenie:

XCIХ = –10+100–1+10.

Rímske číslice sa používajú už veľmi dlho. Ešte pred 200 rokmi sa v obchodných papieroch museli čísla označovať rímskymi číslicami (verilo sa, že bežné arabské číslice sa dajú ľahko sfalšovať). Rímsky číselný systém sa dnes používa najmä na pomenovanie významné dátumy, zväzky, oddiely a kapitoly v knihách.

Abecedné číselné sústavy. Abecedné sústavy boli pokročilejšie nepozičné číselné sústavy. Medzi takéto číselné sústavy patrili grécke, slovanské, fénické a iné. V nich boli čísla od 1 do 9, celé čísla desiatok (od 10 do 90) a celé čísla stoviek (od 100 do 900) označené písmenami abecedy. V abecednom číselnom systéme Staroveké Gréckočísla 1, 2, ..., 9 boli označené prvými deviatimi písmenami gréckej abecedy atď. Nasledujúcich 9 písmen sa použilo na označenie číslic 10, 20, ..., 90 a posledných 9 písmen sa použilo na označenie číslic 100, 200, ..., 900.

U slovanské národyčíselné hodnoty písmen boli stanovené v poradí slovanskej abecedy, ktorá používala najprv hlaholiku a potom cyriliku.

V Rusku sa slovanské číslovanie zachovalo až do konca 17. storočia. Za Petra I. prevládalo takzvané arabské číslovanie, ktoré používame dodnes. Slovanské číslovanie sa zachovalo len v liturgických knihách.

Nepozičné číselné systémy majú niekoľko významných nevýhod:

• Neustále je potrebné zavádzať nové symboly na zaznamenávanie veľkých čísel.

• Nie je možné reprezentovať zlomkové a záporné čísla.

• Je ťažké vykonávať aritmetické operácie, pretože neexistujú žiadne algoritmy na ich vykonávanie.

Pozičné číselné sústavy

V pozičných číselných sústavách kvantitatívny ekvivalent každej číslice závisí od jej polohy (pozície) v kóde (zázname) čísla. V súčasnosti sme zvyknutí používať desiatkovú pozičnú sústavu - čísla sa píšu pomocou 10 číslic. Číslica úplne vpravo označuje jednotky, jedna vľavo - desiatky, ešte viac vľavo - stovky atď.

Napríklad: 1) sexagesimal (staroveký Babylon) – prvá pozičná číselná sústava. Doteraz sa pri meraní času používa základ 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) duodecimálny číselný systém (číslo 12 – „tucet“ – bolo široko používané v 19. storočí: deň má dva tucty hodín). Počítanie nie na prstoch, ale na kĺboch. Každý prst, okrem palca, má 3 kĺby - celkovo 12; 3) v súčasnosti sú najbežnejšie pozičné číselné systémy desiatkové, binárne, osmičkové a hexadecimálne (veľmi používané v nízkoúrovňovom programovaní a vo všeobecnosti v počítačovej dokumentácii, keďže v moderných počítačoch je minimálnou jednotkou pamäte 8-bitový bajt, hodnoty ​​ktoré sú pohodlne zapísané v dvoch hexadecimálnych čísliciach).

V akomkoľvek pozičnom systéme môže byť číslo reprezentované ako polynóm.

Ukážme si, ako reprezentovať desatinné číslo ako polynóm:

Typy číselných sústav

Najdôležitejšia vec, ktorú potrebujete vedieť o číselnom systéme, je jeho typ: aditívne alebo multiplikatívne. V prvom type má každá číslica svoj vlastný význam a na prečítanie čísla musíte sčítať všetky hodnoty použitých číslic:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

V druhom type môže mať každá číslica rôzny význam v závislosti od jej umiestnenia v čísle:

(hieroglyfy v poradí: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Tu je hieroglyf „2“ použitý dvakrát a v každom prípade nadobudol iný význam „2000“ a „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Pre aditívny („doplnkový“) systém potrebujete poznať všetky čísla a symboly s ich významom (je ich až 4-5 tuctov) a poradie zaznamenávania. Napríklad v latinskej notácii, ak sa pred väčšou číslicou napíše menšia číslica, vykoná sa odčítanie, a ak po, sčítanie (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Pre multiplikatívny systém potrebujete poznať obraz čísel a ich význam, ako aj základ číselného systému. Určenie základu je veľmi jednoduché, stačí si prepočítať počet platných číslic v systéme. Zjednodušene povedané, toto je číslo, od ktorého začína druhá číslica čísla. Napríklad používame čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Je ich presne 10, takže základ našej číselnej sústavy je tiež 10 a číselná sústava je nazývané „desiatkové“. Vyššie uvedený príklad používa čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomocné 10, 100, 1000, 10000 atď. sa nepočítajú). Je tu tiež 10 hlavných čísel a číselný systém je desiatkový.

Ako môžete hádať, koľko čísel je, toľko môže byť základov číselnej sústavy. Používajú sa však iba najpohodlnejšie základy číselných sústav. Prečo si myslíte, že základom najbežnejšie používanej ľudskej číselnej sústavy je 10? Áno, práve preto, že máme na rukách 10 prstov. "Ale na jednej ruke je len päť prstov," povedia niektorí a budú mať pravdu. História ľudstva pozná príklady päťnásobných číselných sústav. "A s nohami je dvadsať prstov," povedia iní a budú mať tiež úplnú pravdu. Presne v toto verili Mayovia. Vidno to aj na ich počte.

Pojem „tucet“ je veľmi zaujímavý. Každý vie, že toto je 12, ale málokto vie, odkiaľ sa toto číslo vzalo. Pozrite sa na svoje ruky, alebo skôr na jednu ruku. Koľko falangov je na všetkých prstoch jednej ruky, nepočítajúc palec? Presne tak, dvanásť. A palec určené na označenie spočítaných falangov.

A ak si na druhej strane označíme prstami počet celých desiatok, dostaneme známy šesťdesiatkový babylonský systém.

Rôzne civilizácie počítali rôzne, ale aj teraz môžete v jazyku, v názvoch a obrazoch čísel nájsť pozostatky úplne iných číselných systémov, ktoré títo ľudia kedysi používali.

Takže Francúzi mali kedysi číselný systém so základom 20, pretože 80 vo francúzštine znie ako „štyri krát dvadsať“.

Rimania alebo ich predchodcovia kedysi používali päťnásobný systém, pretože V nie je nič iné ako obraz dlane s vystretým palcom a X sú dve rovnaké ruky.