Toto je posledné a najviac hlavná lekcia, potrebné na riešenie problémov B11. Už vieme, ako previesť uhly z radiánovej miery na mieru stupňov (pozri lekciu „Radián a stupňová miera uhla“) a vieme tiež určiť znamienko goniometrickej funkcie so zameraním na štvrtiny súradníc ( pozri lekciu „Znaky goniometrických funkcií“).

Ostáva už len vypočítať hodnotu samotnej funkcie – samotného čísla, ktoré je napísané v odpovedi. Tu prichádza na pomoc základná trigonometrická identita.

Základná trigonometrická identita. Pre každý uhol α platí nasledujúce tvrdenie:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tento vzorec spája sínus a kosínus jedného uhla. Teraz, keď poznáme sínus, môžeme ľahko nájsť kosínus - a naopak. Stačí vziať druhú odmocninu:

Všimnite si znak „±“ pred koreňmi. Faktom je, že zo základnej trigonometrickej identity nie je jasné, aký bol pôvodný sínus a kosínus: kladný alebo záporný. Koniec koncov, kvadratúra je rovnomerná funkcia, ktorá „vypáli“ všetky mínusy (ak nejaké boli).

Preto vo všetkých úlohách B11, ktoré sa nachádzajú v Jednotnej štátnej skúške z matematiky, musí byť dodatočné podmienky, ktoré pomáhajú zbaviť sa neistoty znameniami. Zvyčajne ide o označenie súradnicovej štvrtiny, podľa ktorej je možné určiť znamenie.

Pozorný čitateľ sa pravdepodobne opýta: „A čo tangens a kotangens?“ Nie je možné priamo vypočítať tieto funkcie z vyššie uvedených vzorcov. Existujú však dôležité dôsledky zo základnej trigonometrickej identity, ktorá už obsahuje dotyčnice a kotangens. menovite:

Dôležitý dôsledok: pre akýkoľvek uhol α možno základnú trigonometrickú identitu prepísať takto:

Tieto rovnice sa dajú ľahko odvodiť z hlavnej identity - obe strany stačí vydeliť cos 2 α (pre získanie dotyčnice) alebo sin 2 α (pre získanie kotangensu).

Pozrime sa na to všetko konkrétne príklady. Nižšie sú uvedené skutočné problémy B11, ktoré sú prevzaté z falošných Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike 2012.

Poznáme kosínus, ale nepoznáme sínus. Hlavná trigonometrická identita (vo svojej „čistej“ podobe) spája práve tieto funkcie, preto s ňou budeme pracovať. Máme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Na vyriešenie problému zostáva nájsť znamenie sínusu. Keďže uhol α ∈ (π /2; π ), potom v mierke stupňov sa píše takto: α ∈ (90°; 180°).

V dôsledku toho uhol α leží v súradnicovej štvrtine II - všetky sínusy sú kladné. Preto sin α = 0,1.

Takže poznáme sínus, ale musíme nájsť kosínus. Obe tieto funkcie sú v základnej goniometrickej identite. Nahradíme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Zostáva sa zaoberať znakom pred zlomkom. Čo si vybrať: plus alebo mínus? Podľa podmienky patrí uhol α intervalu (π 3π /2). Prevedieme uhly z radiánových mier na stupne – dostaneme: α ∈ (180°; 270°).

Je zrejmé, že toto je súradnicový štvrťrok III, kde sú všetky kosínusy záporné. Preto cos α = −0,5.

Úloha. Nájdite tan α, ak je známe nasledovné:

Tangent a kosínus sú spojené pomocou rovnice nasledujúcej zo základnej goniometrickej identity:

Dostaneme: tan α = ±3. Znamienko dotyčnice je určené uhlom α. Je známe, že α ∈ (3π /2; 2π ). Prevedieme uhly z radiánových mier na stupne – dostaneme α ∈ (270°; 360°).

Je zrejmé, že toto je IV súradnicová štvrť, kde sú všetky dotyčnice záporné. Preto tan α = −3.

Úloha. Nájdite cos α, ak je známe nasledovné:

Opäť je sínus známy a kosínus neznámy. Zapíšme si hlavnú trigonometrickú identitu:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znamienko je určené uhlom. Máme: α ∈ (3π /2; 2π ). Preveďme uhly zo stupňov na radiány: α ∈ (270°; 360°) je IV súradnicová štvrtina, kosínusy sú tam kladné. Preto cos α = 0,6.

Úloha. Nájdite hriech α, ak je známe nasledovné:

Zapíšme si vzorec, ktorý vyplýva zo základnej goniometrickej identity a priamo spája sínus a kotangens:

Odtiaľto dostaneme, že sin 2 α = 1/25, t.j. sin α = ±1/5 = ±0,2. Je známe, že uhol α ∈ (0; π /2). V mierke stupňov sa to píše takto: α ∈ (0°; 90°) - súradnice štvrtiny.

Takže uhol je v súradnicovom kvadrante I - všetky goniometrické funkcie sú kladné, takže sin α = 0,2.

Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia

|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Tangenta ( opálenie α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .

Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .

Tangenta

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.

Graf funkcie dotyčnice, y = tan x

Kotangens

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Akceptované sú aj nasledujúce zápisy:
;
;
.

Graf funkcie kotangens, y = ctg x

Vlastnosti dotyčnice a kotangens

Periodicita

Funkcie y = tg x a y = ctg x sú periodické s periódou π.

Parita

Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.

Oblasti definície a hodnôt, rastúce, klesajúce

Funkcie tangens a kotangens sú spojité vo svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangens a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé).

	y = tg x	y = ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnôt	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zvyšovanie		-
Zostupne	-
Extrémy	-	-
Nuly, y = 0
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	y = 0	-

Vzorce

Výrazy využívajúce sínus a kosínus

; ;
; ;
;

Vzorce pre tangens a kotangens zo súčtu a rozdielu

Zostávajúce vzorce sa dajú ľahko získať napr

Súčin dotyčníc

Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc

Táto tabuľka predstavuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre určité hodnoty argumentu.

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; .

.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >

Integrály

Rozšírenia série

Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy navzájom, . Takto sa získajú nasledujúce vzorce.

o .

na .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca:

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens, v tomto poradí.

Arctangens, arctg

, Kde n- celý.

Arckotangens, arcctg

, Kde n- celý.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov, 2012.

Trigonometrické identity- sú to rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo vám umožňuje nájsť ktorúkoľvek z týchto funkcií za predpokladu, že je známa akákoľvek iná.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Táto identita hovorí, že súčet druhej mocniny sínusu jedného uhla a druhej mocniny kosínusu jedného uhla sa rovná jednej, čo v praxi umožňuje vypočítať sínus jedného uhla, keď je známy jeho kosínus a naopak. .

Pri prevode goniometrických výrazov sa veľmi často používa táto identita, ktorá umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu jedného uhla jednotkou a tiež vykonať operáciu nahradenia v opačnom poradí.

Hľadanie tangens a kotangens pomocou sínus a kosínus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Tieto identity sú tvorené definíciami sínus, kosínus, tangens a kotangens. Koniec koncov, ak sa na to pozriete, potom podľa definície ordináta y je sínus a osa x je kosínus. Potom sa dotyčnica bude rovnať pomeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a pomer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.

Dodajme, že iba pre také uhly \alpha, pri ktorých trigonometrické funkcie v nich obsiahnuté majú zmysel, budú platiť identity, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Napríklad: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pre uhly \alpha, ktoré sa líšia od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pre uhol \alpha iný ako \pi z je z celé číslo.

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Táto identita je platná len pre uhly \alpha, ktoré sú odlišné od \frac(\pi)(2) z. V opačnom prípade sa kotangens alebo tangenta neurčia.

Na základe vyššie uvedených bodov to získame tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Z toho vyplýva tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangent a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda vzájomne inverzné čísla.

Vzťahy medzi tangensom a kosínusom, kotangensom a sínusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- súčet druhej mocniny tangens uhla \alpha a 1 sa rovná prevrátenej druhej mocnine kosínusu tohto uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha okrem \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- súčet 1 a druhej mocniny kotangens uhla \alfa sa rovná prevrátenej druhej mocnine sínusu daného uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha odlišné od \pi z.

Príklady s riešením problémov pomocou goniometrických identít

Príklad 1

Nájdite \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 A \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Ukážte riešenie

Riešenie

Funkcie \sin \alpha a \cos \alpha súvisia podľa vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Nahradenie do tohto vzorca \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Táto rovnica má 2 riešenia:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je sínus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Aby sme našli tan \alpha, použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Príklad 2

Nájdite \cos \alpha a ctg \alpha, ak a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Ukážte riešenie

Riešenie

Dosadzovanie do vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dané číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Táto rovnica má dve riešenia \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je kosínus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Aby sme našli ctg \alpha, použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Zodpovedajúce hodnoty poznáme.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Na úplnom začiatku tohto článku sme skúmali koncept goniometrických funkcií. Ich hlavným účelom je štúdium základov trigonometrie a štúdium periodických procesov. A nie nadarmo sme nakreslili goniometrický kruh, pretože vo väčšine prípadov sú goniometrické funkcie definované ako pomer strán trojuholníka alebo jeho určitých segmentov v jednotkovej kružnici. Spomenul som aj nepopierateľne obrovský význam trigonometrie v moderný život. Veda však nestojí, v dôsledku toho môžeme výrazne rozšíriť rozsah trigonometrie a preniesť jej ustanovenia na skutočné a niekedy aj na komplexné čísla.

Trigonometrické vzorce Existuje niekoľko typov. Pozrime sa na ne v poradí.

1. Pomery goniometrických funkcií rovnakého uhla

Tu prichádzame k úvahe o takom koncepte ako základné trigonometrické identity.

Trigonometrická identita je rovnosť, ktorá pozostáva z goniometrických vzťahov a ktorá platí pre všetky hodnoty uhlov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Pozrime sa na najdôležitejšie trigonometrické identity a ich dôkazy:

Prvá identita vyplýva zo samotnej definície dotyčnice.

Vezmime správny trojuholník, v ktorom je vo vrchole A ostrý uhol x.



Na preukázanie totožnosti musíte použiť Pytagorovu vetu:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Teraz vydelíme obe strany rovnosti (AB) 2 a pripomínajúc si definície uhla sin a cos, získame druhú identitu:

(BC)2/(AB)2 + (AC)2/(AB)2 = 1

hriech x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

hriech 2 x + cos 2 x = 1

Na preukázanie tretej a štvrtej totožnosti používame predchádzajúci dôkaz.

Za týmto účelom vydeľte obe strany druhej identity cos 2 x:

hriech 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

hriech 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Na základe prvej identity tg x = sin x /cos x získame tretiu:

1 + opálenie 2 x = 1/cos 2 x

Teraz vydeľme druhú identitu hriechom 2 x:

hriech 2 x/ hriech 2 x + cos 2 x/ hriech 2 x = 1/ hriech 2 x

1+ cos 2 x/ hriech 2 x = 1/ hriech 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nie je nič viac ako 1/tg 2 x, takže dostaneme štvrtú identitu:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Je čas zapamätať si vetu o súčte vnútorné rohy trojuholník, ktorý hovorí, že súčet uhlov trojuholníka = 180 0. Ukazuje sa, že pri vrchole B trojuholníka je uhol, ktorého hodnota je 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Pripomeňme si ešte raz definície hriechu a cos a získajme piatu a šiestu identitu:

hriech x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = hriech x

Teraz urobme nasledovné:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Ako vidíte, všetko je tu elementárne.

Existujú aj iné identity, ktoré sa používajú pri riešení matematických identít, uvediem ich jednoducho vo forme referenčné informácie, pretože všetky vychádzajú z vyššie uvedeného.



2. Vzájomné vyjadrenie goniometrických funkcií

   (výber znaku pred koreňom je určený tým, v ktorej štvrtine kruhu sa roh nachádza?)







3. Nasledujú vzorce na sčítanie a odčítanie uhlov:



4. Vzorce pre dvojité, trojité a polovičné uhly.

   Podotýkam, že všetky vychádzajú z predchádzajúcich vzorcov.

hriech 2x = 2 hriech x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x = 3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Vzorce na prevod goniometrických výrazov: