Nech sú dva vektory a dané v priestore. Odložme z ľubovoľného bodu O vektory a . Uhol medzi vektormi sa nazýva najmenší z uhlov. Určené .

Zvážte os l a vyniesť naň jednotkový vektor (t.j. vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej).

V uhle medzi vektorom a osou l pochopiť uhol medzi vektormi a .

Tak nech l je nejaká os a je vektor.

Označme podľa A 1 A B 1 projekcie na os l respektíve bodov A A B. Predstierajme to A 1 má súradnicu x 1, A B 1– koordinovať x 2 na osi l.

Potom projekcia vektor na os l nazývaný rozdiel x 1 – x 2 medzi súradnicami priemetov konca a začiatku vektora na túto os.

Premietanie vektora na os l budeme označovať .

Je jasné, že ak je uhol medzi vektorom a osou l pikantné potom x 2> x 1 a projekcia x 2 – x 1> 0; ak je tento uhol tupý, potom x 2< x 1 a projekciou x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 A x 2– x 1=0.

Teda premietanie vektora na os l je dĺžka segmentu A 1 B 1, braný s určitým znakom. Preto je projekcia vektora na os číslo alebo skalár.

Projekcia jedného vektora na druhý je určená podobne. V tomto prípade sa nájdu priemety koncov tohto vektora na priamku, na ktorej leží 2. vektor.

Pozrime sa na niektoré základné vlastnosti projekcií.

LINEÁRNE ZÁVISLÉ A LINEÁRNE NEZÁVISLÉ VEKTOROVÉ SYSTÉMY

Zoberme si niekoľko vektorov.

Lineárna kombinácia z týchto vektorov je ľubovoľný vektor v tvare , kde sú nejaké čísla. Čísla sa nazývajú lineárne kombinačné koeficienty. Tiež hovoria, že v tomto prípade je lineárne vyjadrený cez tieto vektory, t.j. sa z nich získava pomocou lineárnych akcií.

Napríklad, ak sú uvedené tri vektory, potom vektory možno považovať za ich lineárnu kombináciu:

Ak je vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia niektorých vektorov, hovorí sa, že je stanovené pozdĺž týchto vektorov.

Vektory sú tzv lineárne závislé, ak existujú čísla, nie všetky sa rovnajú nule, tak, že . Je jasné, že dané vektory budú lineárne závislé, ak niektorý z týchto vektorov bude lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných.

V opačnom prípade, t.j. keď pomer vykonáva len vtedy , tieto vektory sa nazývajú lineárne nezávislé.

Veta 1. Akékoľvek dva vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú kolineárne.

Dôkaz:

Nasledujúca veta sa dá dokázať podobne.

Veta 2. Tri vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú koplanárne.

Dôkaz.

ZÁKLAD

Základ je súbor nenulových lineárne nezávislých vektorov. Prvky základu budeme označovať .

V predchádzajúcom odseku sme videli, že dva nekolineárne vektory v rovine sú lineárne nezávislé. Preto podľa vety 1 z predchádzajúceho odseku sú základňou na rovine ľubovoľné dva nekolineárne vektory na tejto rovine.

Podobne akékoľvek tri nekoplanárne vektory sú v priestore lineárne nezávislé. V dôsledku toho tri nekoplanárne vektory nazývame bázou v priestore.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé.

Veta. Nech je daný základ v priestore. Potom môže byť ľubovoľný vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia , Kde X, r, z- nejaké čísla. Toto je jediný rozklad.

Dôkaz.

Báza teda umožňuje každému vektoru jednoznačne priradiť trojicu čísel - koeficienty expanzie tohto vektora do vektorov báz: . Platí to aj naopak, pre každé tri čísla x, y, z pomocou základu môžete porovnať vektor, ak vytvoríte lineárnu kombináciu .

Ak základ a , potom čísla x, y, z sa volajú súradnice vektor v danom základe. Súradnice vektora sú označené .

KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM

Nech je bod uvedený v priestore O a tri nekoplanárne vektory.

Kartézsky súradnicový systém v priestore (na rovine) je zbierka bodu a bázy, t.j. množina bodu a troch nekoplanárnych vektorov (2 nekolineárne vektory) vychádzajúcich z tohto bodu.

Bodka O nazývaný pôvod; priamky prechádzajúce počiatkom súradníc v smere základných vektorov sa nazývajú súradnicové osi - úsečka, ordináta a aplikačná os. Roviny prechádzajúce súradnicovými osami sa nazývajú súradnicové roviny.

Zvážte ľubovoľný bod vo vybranom súradnicovom systéme M. Predstavme si pojem súradnice bodu M. Vektor spájajúci počiatok s bodom M. volal vektor polomeru bodov M.

Vektor vo vybranom základe môže byť spojený s trojicou čísel – jeho súradnicami: .

Súradnice vektora polomeru bodu M. sa volajú súradnice bodu M. v uvažovanom súradnicovom systéme. M(x,y,z). Prvá súradnica sa nazýva úsečka, druhá súradnica a tretia je aplikácia.

Podobne sa určujú karteziánske súradnice v rovine. Tu má bod len dve súradnice - úsečku a ordinátu.

Je ľahké vidieť, že pre daný súradnicový systém má každý bod určité súradnice. Na druhej strane, pre každú trojicu čísel existuje jedinečný bod, ktorý má tieto čísla ako súradnice.

Ak vektory brané ako základ vo vybranom súradnicovom systéme majú jednotkovú dĺžku a sú párovo kolmé, potom sa súradnicový systém nazýva Kartézsky pravouhlý.

Je ľahké to ukázať.

Smerové kosínusy vektora úplne určujú jeho smer, ale nehovoria nič o jeho dĺžke.

Vo fyzike pre 9. ročník (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
úloha №5
do kapitoly" KAPITOLA 1. VŠEOBECNÉ INFORMÁCIE O PREMÁVKE».

1. Ako sa nazýva premietanie vektora na súradnicovú os?

1. Priemet vektora a na súradnicovú os je dĺžka úseku medzi priemetom začiatku a konca vektora a (kolmice spadnuté z týchto bodov na os) na túto súradnicovú os.

2. Ako súvisí vektor posunutia telesa s jeho súradnicami?

2. Priemet vektora posunutia s na súradnicové osi sa rovnajú zmene zodpovedajúcich súradníc telesa.

3. Ak sa súradnica bodu časom zvyšuje, aké znamienko má potom priemet vektora posunutia na súradnicovú os? Čo ak sa zníži?

3. Ak sa súradnica bodu časom zväčší, potom bude priemet vektora posunutia na súradnicovú os kladný, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora v smere samotnej osi.

Ak sa súradnica bodu v priebehu času zníži, potom bude projekcia vektora posunutia na súradnicovú os záporná, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora proti samotnému vodiču osi.

4. Ak je vektor posunutia rovnobežný s osou X, aký je modul priemetu vektora na túto os? A čo modul priemetu toho istého vektora na os Y?

4. Ak je vektor posunutia rovnobežný s osou X, potom sa modul priemetu vektora na túto os rovná modulu samotného vektora a jeho priemet na os Y je nulový.

5. Určte znamienka priemetov na os X vektorov posunutia znázornených na obrázku 22. Ako sa pri týchto posunoch menia súradnice telesa?

5. Vo všetkých nasledujúcich prípadoch sa súradnica Y telesa nemení a súradnica X telesa sa zmení nasledovne:

a) s1;

priemet vektora s 1 na os X je záporný av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto pohybe sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 1.

b) s2;

priemet vektora s 2 na os X je kladný a svojou veľkosťou sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto pohybe sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 2.

c) s3;

priemet vektora s 3 na os X je záporný a svojou veľkosťou sa rovná dĺžke vektora s 3 . Pri takomto pohybe sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 3.

d) s 4;

priemet vektora s 4 na os X je kladný a svojou veľkosťou sa rovná dĺžke vektora s 4 . Pri takomto pohybe sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 4.

e) 5;

priemet vektora s 5 na os X je záporný a svojou veľkosťou sa rovná dĺžke vektora s 5 . Pri takomto pohybe sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 5.

6. Ak je hodnota prejdenej vzdialenosti veľká, potom môže byť modul posunu malý?

6. Možno. Je to spôsobené tým, že posunutie (vektor posunutia) je vektorová veličina, t.j. je nasmerovaná priamka spájajúca počiatočnú polohu tela s jeho nasledujúcimi polohami. A konečná poloha tela (bez ohľadu na prejdenú vzdialenosť) môže byť podľa želania blízko východiskovej polohy tela. Ak sa konečná a počiatočná poloha tela zhodujú, modul posunutia sa bude rovnať nule.

7. Prečo je v mechanike dôležitejší vektor pohybu telesa ako dráha, ktorú prešlo?

7. Hlavnou úlohou mechanika je kedykoľvek určiť polohu tela. Poznaním vektora pohybu telesa vieme určiť súradnice telesa, t.j. polohu telesa v ktoromkoľvek časovom okamihu a keďže poznáme iba prejdenú vzdialenosť, nemôžeme určiť súradnice telesa, pretože nemáme informácie o smere pohybu, ale môžeme posúdiť len dĺžku prejdenej dráhy v danom čase.

A. Priemetom bodu A na os PQ (obr. 4) je základňa a kolmice spadnutá z daného bodu na danú os. Os, na ktorú premietame, sa nazýva os premietania.

b. Nech sú dané dve osi a vektor A B, znázornené na obr. 5.

Vektor, ktorého začiatok je priemetom začiatku a ktorého koniec je priemetom konca tohto vektora, sa nazýva priemet vektora A B na os PQ.

Niekedy nie je indikátor PQ napísaný v spodnej časti, robí sa to v prípadoch, keď okrem PQ neexistuje žiadny iný operačný systém, na ktorom by sa dalo navrhnúť.

s. Veta I. Veľkosti vektorov ležiacich na jednej osi súvisia ako veľkosti ich priemetov na ľubovoľnú os.

Nech sú uvedené osi a vektory naznačené na obr.6 Z podobnosti trojuholníkov je zrejmé, že dĺžky vektorov súvisia ako dĺžky ich priemetov, t.j.

Keďže vektory na výkrese sú nasmerované rôznymi smermi, ich veľkosti majú rôzne znamienka, preto

Je zrejmé, že veľkosti projekcií majú tiež rôzne znaky:

dosadením (2) do (3) do (1) dostaneme

Obrátením značiek dostaneme

Ak sú vektory rovnako smerované, ich projekcie budú tiež rovnakého smeru; vo vzorcoch (2) a (3) nebudú žiadne znamienka mínus. Dosadením (2) a (3) do rovnosti (1) okamžite dostaneme rovnosť (4). Takže veta bola dokázaná pre všetky prípady.

d. Veta II. Veľkosť priemetu vektora na ľubovoľnú os sa rovná veľkosti vektora vynásobenej kosínusom uhla medzi osou priemetov a osou vektora Nech sú osi uvedené ako vektory, ako je znázornené na obr . 7. Zostrojme vektor s rovnakým smerom ako jeho os a oneskorený napríklad od priesečníka osí. Nech sa jeho dĺžka rovná jednej. Potom jeho veľkosť

V tomto článku pochopíme projekciu vektora na os a naučíme sa nájsť numerickú projekciu vektora. Najprv uvedieme definíciu projekcie vektora na os, zavedieme notáciu a poskytneme aj grafické znázornenie. Potom vyslovíme definíciu numerickej projekcie vektora na os, zvážime metódy na jej nájdenie a ukážeme riešenia niekoľkých príkladov, v ktorých je potrebné nájsť numerickú projekciu vektora na osi.

Navigácia na stránke.

Premietanie vektora na os – definícia, označenie, ilustrácie, príklad.

Začnime niekoľkými všeobecnými informáciami.

Os je priamka, pre ktorú je vyznačený smer. Projekcia vektora na os a projekcia vektora na smerovanú čiaru sú teda jedno a to isté.

Projekciu vektora na os možno uvažovať v dvoch významoch: geometrickom a algebraickom. V geometrickom zmysle je projekcia vektora na os vektor a v algebraickom zmysle je to číslo. Toto rozlíšenie sa často neuvádza explicitne, ale chápe sa z kontextu. Nebudeme ignorovať tento rozdiel: budeme používať výraz „“, keď hovoríme o projekcii vektora v geometrickom zmysle, a výraz „“, keď hovoríme o projekcii vektora v algebraickom zmysle (tzv. ďalší odsek tohto článku je venovaný numerickej projekcii vektora na os) .

Teraz prejdeme k určeniu priemetu vektora na os. Ak to chcete urobiť, nebude to bolieť opakovať.

Dajme nám os L a nenulový vektor v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Označme priemety bodov A a B na priamku L ako A 1 a B 1 a zostrojme vektor. Keď sa pozrieme dopredu, povedzme, že vektor je projekcia vektora na os L.

Definícia.

Premietanie vektora na os je vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekcie začiatku a konca daného vektora.

Projekcia vektora na os L je označená ako .

Ak chcete zostrojiť projekciu vektora na os L, musíte spustiť kolmice z bodov A a B na nasmerovanú priamku L - základne týchto kolmic dávajú začiatok a koniec požadovaného premietania.

Uveďme príklad vektorovej projekcie na os.

Nech sa na rovinu zavedie pravouhlý súradnicový systém Oxy a určí sa určitý bod. Zobrazme si vektor polomeru bodu M 1 a zostrojme jeho priemet na súradnicové osi Ox a Oy. Je zrejmé, že ide o vektory so súradnicami, resp.

Často môžete počuť o projekcii jedného vektora na iný nenulový vektor alebo o projekcii vektora na smer vektora. V tomto prípade máme na mysli priemet vektora na určitú os, ktorej smer sa zhoduje so smerom vektora (vo všeobecnosti existuje nekonečne veľa osí, ktorých smery sa zhodujú so smerom vektora). Priemet vektora na priamku, ktorej smer je daný vektorom, označujeme ako .

Všimnite si, že ak je uhol medzi vektormi a ostrý, potom vektory a sú kosmerné. Ak je uhol medzi vektormi a tupý, potom vektory a smerujú opačne. Ak je vektor nulový alebo kolmý na vektor, potom priemet vektora na priamku, ktorej smer je daný vektorom, je nulový vektor.

Numerické premietanie vektora na os - definícia, označenie, príklady umiestnenia.

Číselná charakteristika premietnutia vektora na os je numerická priemet tohto vektora na danú os.

Definícia.

Numerické premietanie vektora na os je číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora a kosínusu uhla medzi týmto vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.

Numerická projekcia vektora na os L je označená ako (bez šípky hore) a numerická projekcia vektora na os definovanú vektorom je označená ako .

V tomto zápise bude mať definícia numerickej projekcie vektora na priamku smerovanú ako vektor tvar , kde je dĺžka vektora, je uhol medzi vektormi a .

Takže máme prvý vzorec na výpočet numerického premietania vektora: . Tento vzorec sa použije, keď je známa dĺžka vektora a uhol medzi vektormi a. Tento vzorec je nepochybne možné použiť, keď sú známe súradnice vektorov a relatívne k danému pravouhlému súradnicovému systému, ale v tomto prípade je vhodnejšie použiť iný vzorec, ktorý získame nižšie.

Príklad.

Vypočítajte numerickú projekciu vektora na priamku smerovanú ako vektor, ak je dĺžka vektora 8 a uhol medzi vektormi a je rovný .

Riešenie.

Z problémových podmienok, ktoré máme . Zostáva len použiť vzorec na určenie požadovanej číselnej projekcie vektora:

odpoveď:

My to vieme , kde je skalárny súčin vektorov a . Potom vzorec , ktorý nám umožňuje nájsť numerickú projekciu vektora na priamku smerujúcu ako vektor, bude mať tvar . To znamená, že môžeme sformulovať inú definíciu numerického premietania vektora na os, ktorá je ekvivalentná definícii uvedenej na začiatku tohto odseku.

Definícia.

Numerické premietanie vektora na os, ktorého smer sa zhoduje so smerom vektora, je pomer skalárneho súčinu vektorov a dĺžky vektora.

Je vhodné použiť výsledný vzorec formulára na nájdenie numerickej projekcie vektora na priamku, ktorej smer sa zhoduje so smerom vektora, keď sú známe súradnice vektorov a. Ukážeme si to pri riešení príkladov.

Príklad.

Je známe, že vektor určuje smer osi L. Nájdite numerický priemet vektora na os L.

Riešenie.

Vzorec v súradnicovom tvare je , kde a . Používame ho na nájdenie požadovaného numerického premietnutia vektora na os L:

odpoveď:

Príklad.

Vzhľadom na pravouhlý súradnicový systém Oxyz sú v trojrozmernom priestore dané dva vektory A . Nájdite číselný priemet vektora na os L, ktorej smer sa zhoduje so smerom vektora.

Riešenie.

Podľa vektorových súradníc A môžete vypočítať skalárny súčin týchto vektorov: . Dĺžka vektora z jeho súradníc sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca . Potom má vzorec na určenie číselného priemetu vektora na os L v súradniciach tvar .

Aplikujme to:

odpoveď:

Teraz získajme súvislosť medzi numerickým priemetom vektora na os L, ktorého smer je daný vektorom, a dĺžkou priemetu vektora na os L. Za týmto účelom znázorníme os L, vynesieme vektory a z bodu ležiaceho na L spustíme kolmicu z konca vektora na priamku L a zostrojíme projekciu vektora na os L. V závislosti od veľkosti uhla medzi vektormi a nasledujúcich päť možností:

V prvom prípade je zrejmé, že teda .

V druhom prípade vo vyznačenom pravouhlom trojuholníku z definície kosínusu uhla máme , teda, .

V treťom prípade je zrejmé, že a , teda a .

Vo štvrtom prípade z definície kosínusu uhla to vyplýva , kde .

V druhom prípade teda
.

Nasledujúca definícia numerickej projekcie vektora na os kombinuje získané výsledky.

Definícia.

Numerická projekcia vektora na os L, riadený ako vektor, to je

Príklad.

Dĺžka priemetu vektora na os L, ktorej smer je daný vektorom, sa rovná . Aký je numerický priemet vektora na os L, ak uhol medzi vektormi a je rovný radiánom.

Definícia 1. V rovine je rovnobežný priemet bodu A na os l bod - priesečník osi l s priamkou vedenou bodom A rovnobežnou s vektorom, ktorý určuje smer návrhu.

Definícia 2. Rovnobežné premietanie vektora na os l (k vektoru) je súradnica vektora vzhľadom na základ os l, kde body a sú rovnobežné priemety bodov A a B na os l (obr. 1).

Podľa definície, ktorú máme

Definícia 3. ak a základ osi l Kartézsky, teda priemet vektora na os l nazývané ortogonálne (obr. 2).

V priestore zostáva v platnosti definícia 2 premietania vektora na os, len smer premietania je určený dvoma nekolineárnymi vektormi (obr. 3).

Z definície priemetu vektora na os vyplýva, že každá súradnica vektora je priemetom tohto vektora na os definovanú príslušným bázovým vektorom. V tomto prípade je smer návrhu určený dvoma ďalšími základnými vektormi, ak sa návrh vykonáva (uvažuje) v priestore, alebo iným základným vektorom, ak sa návrh uvažuje v rovine (obr. 4).

Veta 1. Ortogonálny priemet vektora na os l sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi kladným smerom osi l a t.j.

Na druhej strane

Od nachádzame

Dosadením AC do rovnosti (2) dostaneme

Od čísel X a rovnaké znamienko v oboch posudzovaných prípadoch ((obr. 5, a) ; (obr. 5, b), potom z rovnosti (4) vyplýva

Komentujte. Ďalej budeme uvažovať len s ortogonálnym premietnutím vektora na os a preto slovo „ort“ (ortogonálny) zo zápisu vynecháme.

Uveďme niekoľko vzorcov, ktoré sa neskôr používajú pri riešení problémov.

a) Priemet vektora na os.

Ak, potom má ortogonálna projekcia na vektor podľa vzorca (5) tvar

c) Vzdialenosť od bodu k rovine.

Nech b je daná rovina s normálovým vektorom, M je daný bod,

d je vzdialenosť bodu M k rovine b (obr. 6).

Ak N je ľubovoľný bod roviny b a a sú priemety bodov M a N na os, potom

• G) Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Nech a a b sú dané križovatkami, sú vektorom na ne kolmým, A a B sú ľubovoľné body priamok a a b (obr. 7) a sú priemety bodov A a B na, potom

e) Vzdialenosť od bodu k priamke.

Nechaj l- daná priamka so smerovým vektorom, M - daný bod,

N - jeho premietanie na čiaru l, potom - požadovaná vzdialenosť (obr. 8).

Ak A je ľubovoľný bod na priamke l, potom v pravouhlom trojuholníku MNA možno nájsť preponu MA a nohy. znamená,

f) Uhol medzi priamkou a rovinou.

Nech je smerový vektor tejto priamky l, - normálový vektor danej roviny b, - priemet priamky l do roviny b (obr. 9).

Ako je známe, uhol μ medzi priamkou l a jeho priemet do roviny b sa nazýva uhol medzi priamkou a rovinou. Máme

Uveďme príklady riešenia metrických úloh pomocou metódy vektorových súradníc.