Vyplýva to z jeho definície. A teda logaritmus čísla b založené na A je definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x = b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b založené na a rovná sa S. Je tiež zrejmé, že téma logaritmov úzko súvisí s témou mocniny čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete operácie sčítania, odčítanie a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Zoberme si dva logaritmy z rovnakých dôvodov: prihlásiť sa x A prihlásiť sa y. Potom je možné vykonávať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = prihlásiť sa x 1 + prihlásiť sa x 2 + prihlásiť sa x 3 + ... + log a x k.

Od logaritmická kvocientová veta Je možné získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je všeobecne známe, že log a 1 = 0 teda

log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.

To znamená, že existuje rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch recipročných čísel z rovnakého dôvodu sa budú navzájom líšiť výlučne znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa pozrieme na problémy súvisiace s riešením logaritmov. Úlohy kladú otázku hľadania významu výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a pochopenie jeho významu je mimoriadne dôležité. Pokiaľ ide o jednotnú štátnu skúšku, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikovaných problémoch a tiež v úlohách súvisiacich so štúdiom funkcií.

Uveďme príklady, aby sme pochopili samotný význam logaritmu:

Základná logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmov, ktoré si treba vždy zapamätať:

*Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

* * *

*Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovná rozdielu medzi logaritmami faktorov.

* * *

*Logaritmus exponentu sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Prechod na nový základ

* * *

Ďalšie vlastnosti:

* * *

Výpočet logaritmov úzko súvisí s využitím vlastností exponentov.

Uveďme si niektoré z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, že pri prenesení čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:

Dôsledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.

* * *

Ako ste videli, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, čo je potrebné dobre cvicenie, čo dáva určitú zručnosť. Samozrejme je potrebná znalosť vzorcov. Ak zručnosť v prevode elementárnych logaritmov nebola rozvinutá, potom pri riešení jednoduché úlohy Je ľahké urobiť chybu.

Cvičte, riešte najskôr najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „strašidelné“ logaritmy, ktoré sa neobjavia na jednotnej štátnej skúške, ale sú zaujímavé, nenechajte si ich ujsť!

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Definícia logaritmu

Logaritmus b na základ a je exponent, na ktorý sa a musí zvýšiť, aby sa dostalo b.

Číslo e v matematike je zvykom označovať hranicu, ku ktorej sa výraz snaží

Číslo e je iracionálne číslo - číslo neporovnateľné s jednotkou, nedá sa presne vyjadriť ani ako celé číslo, ani ako zlomok racionálnyčíslo.

List e- prvé písmeno latinské slovo exponere- predvádzať sa, odtiaľ názov v matematike exponenciálny- exponenciálna funkcia.

číslo eširoko používané v matematike a vo všetkých vedách, ktoré tak či onak využívajú matematické výpočty pre svoje potreby.

Logaritmy. Vlastnosti logaritmov

Definícia: Logaritmus kladné číslo Základ b je exponent c, na ktorý treba zvýšiť číslo a, aby sme dostali číslo b.

Základná logaritmická identita:

7) Vzorec pre prechod na novú základňu:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Problémy a testy na tému „Logaritmy. Vlastnosti logaritmov"

• Logaritmy – dôležité témy na preskúmanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky

Ak chcete úspešne dokončiť úlohy na túto tému, musíte poznať definíciu logaritmu, vlastnosti logaritmov, základnú logaritmickú identitu, definície desiatkových a prirodzených logaritmov. Hlavnými typmi problémov na túto tému sú problémy týkajúce sa výpočtu a transformácie logaritmických výrazov. Uvažujme o ich riešení pomocou nasledujúcich príkladov.

Riešenie: Pomocou vlastností logaritmov dostaneme

Riešenie: Pomocou vlastností stupňov dostaneme

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Vlastnosti logaritmov, formulácií a dôkazov.

Logaritmy majú množstvo charakteristických vlastností. V tomto článku sa pozrieme na to hlavné vlastnosti logaritmov. Tu uvedieme ich formulácie, zapíšeme vlastnosti logaritmov vo forme vzorcov, ukážeme príklady ich použitia a tiež poskytneme dôkaz o vlastnostiach logaritmov.

Navigácia na stránke.

Základné vlastnosti logaritmov, vzorce

Pre ľahšie zapamätanie a používanie si predstavme základné vlastnosti logaritmov vo forme zoznamu vzorcov. V ďalšom odseku uvedieme ich formulácie, dôkazy, príklady použitia a potrebné vysvetlenia.

Vlastnosť logaritmu jednoty: log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1.

Logaritmus čísla rovného základu: log a a=1 pre a>0, a≠1.

Vlastnosť logaritmu mocniny základne: log a a p =p, kde a>0, a≠1 a p – ľubovoľné Reálne číslo.

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel: log a (x y) = log a x + log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
a vlastnosť logaritmu súčinu n kladných čísel: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 > 0, x 2 > 0, ..., x n > 0.

Vlastnosť logaritmu kvocientu: , kde a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritmus mocniny čísla: log a b p =p·log a |b| , kde a>0, a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0.

Dôsledok: , kde a>0, a≠1, n – prirodzené číslo, väčšie ako jedna, b>0.

Dôsledok 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Dôsledok 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p a q sú reálne čísla, q≠0 , najmä pre b=a máme .

Formulácie a dôkazy vlastností

Prejdeme k formulácii a dôkazu zapísaných vlastností logaritmov. Všetky vlastnosti logaritmov sú dokázané na základe definície logaritmu a základnej logaritmickej identity, ktorá z neho vyplýva, ako aj vlastností stupňa.

Začnime s vlastnosti logaritmu jednotky. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz nie je zložitý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a spĺňajúce vyššie uvedené podmienky a> 0 a a≠1, potom logaritmus rovnosti a 1 = 0, ktorý sa má dokázať, okamžite vyplýva z definície logaritmu.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0, log1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. Pretože a 1 = a pre ľubovoľné a, potom podľa definície logaritmu log a a = 1.

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú rovnosti log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 a lne = 1.

Logaritmus mocniny čísla rovného základu logaritmu sa rovná exponentu. Táto vlastnosť logaritmu zodpovedá vzorcu formulára log a a p =p, kde a>0, a≠1 a p – ľubovoľné reálne číslo. Táto vlastnosť vyplýva priamo z definície logaritmu. Všimnite si, že vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, ak je možné reprezentovať číslo pod logaritmickým znakom ako mocninu základu, viac o tom hovoríme v článku o výpočte logaritmov.

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Kvôli vlastnostiam stupňa a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y =y, potom log a x ·a log a y =x· y. Teda log a x+log a y =x·y, z ktorého podľa definície logaritmu vyplýva dokazovaná rovnosť.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 · x 2 ·...·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Túto rovnosť možno bez problémov dokázať pomocou metódy matematickej indukcie.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4, e a.

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu kvocientu zodpovedá vzorcu tvaru , kde a>0, a≠1, x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná rovnako ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu mocniny. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Napíšme túto vlastnosť logaritmu mocniny ako vzorec: log a b p =p·log a |b|, kde a>0, a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0.

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b. Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná p·log a b . Dostávame sa teda k rovnosti b p =a p·log a b, z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p =p·log a b.

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b. Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p. Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , odkiaľ log a b p =p·log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus n-tej odmocniny sa rovná súčinu zlomku 1/n logaritmom radikálneho výrazu, teda kde a>0, a≠1, n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri definíciu exponentu so zlomkovým exponentom), ktorá platí pre každé kladné b, a vlastnosti logaritmu exponentu: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme vzorec na prechod na novú logaritmickú základňu milý . K tomu stačí dokázať platnosť rovnosti log c b=log a b·log c a. Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b =log a b·log c a . To dokazuje rovnosť log c b=log a b·log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec na prechod na nový základ logaritmu .

Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Môže sa napríklad použiť na zmenu na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový logaritmický základ tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základňami.

Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový logaritmický základ pre c=b tvaru. To ukazuje, že log a b a log b a sú vzájomne inverzné čísla. napr. .

Vzorec sa tiež často používa, čo je vhodné na nájdenie hodnôt logaritmov. Na potvrdenie našich slov si ukážeme, ako sa dá použiť na výpočet hodnoty logaritmu formulára . Máme . Na preukázanie vzorca stačí použiť vzorec na prechod na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať vlastnosti porovnávania logaritmov.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre a 1 > 1, a 2 > 1 a a 1 2 a pre 0 1 platí log a 1 b≤ log a 2 b. Na základe vlastností logaritmov je možné tieto nerovnosti prepísať ako A v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom podľa vlastností mocnín s rovnakými základmi musia platiť rovnosti b log b a 1 ≥b log b a 2 a b log b a 1 ≥b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Tak sme sa dostali k rozporu s podmienkou a 1 2. Tým je dôkaz hotový.

Základné vlastnosti logaritmov

• Materiály na lekciu
• Stiahnite si všetky vzorce

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Uvažujme dva logaritmy s rovnakými základňami: log a x a log a y. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: tu je kľúčový bod rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa jeho jednotlivé časti nepočítajú (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 6 4 + log 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

[Popis k obrázku]

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je to dané logaritmus logaritmu sekera. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

[Popis k obrázku]

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

[Popis k obrázku]

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

[Popis k obrázku]

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

[Popis k obrázku]

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

[Popis k obrázku]

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

1. n = log a a n

2. V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

   Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. To je to, čo sa nazýva: základná logaritmická identita.

   Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b na túto mocninu dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

   Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

   [Popis k obrázku]

   Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho sme vzali druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

   [Popis k obrázku]

   Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

   Logaritmická jednotka a logaritmická nula

   Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

   1. log a a = 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
   2. log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

   To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (sčítanie a odčítanie).

   Vlastnosti logaritmu vyplýva z jeho definície. A teda logaritmus čísla b založené na A je definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

   Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x = b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b založené na a rovná sa S. Je tiež zrejmé, že téma logaritmov úzko súvisí s témou mocnín.

   S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

   Sčítanie a odčítanie logaritmov.

   Zoberme si dva logaritmy s rovnakými základňami: prihlásiť sa x A prihlásiť sa y. Potom je možné vykonávať operácie sčítania a odčítania:

   Ako vidíme, súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu a rozdiel logaritmy- logaritmus podielu. Navyše to platí, ak čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1.

   Je dôležité poznamenať, že hlavným aspektom v týchto vzorcoch sú rovnaké základy. Ak sú dôvody odlišné, tieto pravidlá neplatia!

   Pravidlá pre sčítanie a odčítanie logaritmov s rovnakými základmi sa čítajú nielen zľava doprava, ale aj naopak. Výsledkom je, že máme vety pre logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu.

   Logaritmus produktu dve kladné čísla sa rovnajú súčtu ich logaritmov ; preformulovaním tejto vety dostaneme nasledujúce čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1, To:

   Logaritmus kvocientu dve kladné čísla sa rovnajú rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa. Inak povedané, ak čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1, To:

   Aplikujme vyššie uvedené teorémy na riešenie príklady:

   Ak čísla X A pri sú teda negatívne vzorec na logaritmus produktu stáva bezvýznamným. Preto je zakázané písať:

   keďže výrazy log 2 (-8) a log 2 (-4) nie sú vôbec definované ( logaritmická funkcia pri= log 2 X definované len pre kladné hodnoty argument X).

   Veta o produkte použiteľné nielen pre dva, ale aj pre neobmedzený počet faktorov. To znamená, že pre každého prírodného k a akékoľvek kladné čísla X 1 , X 2 , . . . ,x n existuje identita:

   Od logaritmická kvocientová veta Je možné získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je všeobecne známe, že log a 1 = 0 teda

   To znamená, že existuje rovnosť:

   Logaritmy dvoch recipročných čísel z rovnakého dôvodu sa budú navzájom líšiť výlučne znakom. Takže:

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmov

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmov

   Uvažujme o rovnosti. Dajte nám vedieť hodnoty a a my chceme nájsť hodnotu .

   To znamená, že hľadáme exponent, ktorým ho musíme natiahnuť, aby sme dostali .

   Nechaj premenná môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu, potom sa na premenné vzťahujú nasledujúce obmedzenia: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Ak poznáme hodnoty a a stojíme pred úlohou nájsť neznáme, potom sa na tento účel zavádza matematická operácia, ktorá sa nazýva logaritmus.

   Aby sme našli hodnotu, ktorú berieme logaritmus čísla Autor: základ :

   Logaritmus čísla k jeho základu je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť, aby sa dostalo.

   Teda základná logaritmická identita:

   o» názov=»a>o»/> , 1″ názov=»a1″/>, 0″ názov=»b>0″/>

   je v podstate matematický zápis definície logaritmu.

   Matematická operácia logaritmu je inverzná k operácii umocňovania, tj vlastnosti logaritmovúzko súvisia s vlastnosťami stupňa.

   Vymenujme hlavné vlastnosti logaritmov:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Nasledujúca skupina vlastností vám umožňuje reprezentovať exponent výrazu pod znamienkom logaritmu alebo stojacim na základni logaritmu vo forme koeficientu pred znamienkom logaritmu:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Ďalšia skupina vzorcov vám umožňuje prejsť od logaritmu s daným základom k logaritmu s ľubovoľným základom a je tzv. vzorce pre prechod na novú základňu:

   10.

   12. (dôsledok vlastnosti 11)

   

   Nasledujúce tri vlastnosti nie sú dobre známe, ale často sa používajú pri riešení logaritmických rovníc alebo pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich logaritmy:

   13.

   14.

   15.

   Špeciálne prípady:

   — desiatkový logaritmus

   — prirodzený logaritmus

   Pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich logaritmy sa používa všeobecný prístup:

   1. Predstavenie desatinné miesta v podobe obyčajných.

   2. Zmiešané čísla reprezentujeme ako nevlastné zlomky.

   3. Čísla na báze logaritmu a pod znamienkom logaritmu rozložíme na jednoduché faktory.

   4. Pokúsime sa zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ.

   5. Použite vlastnosti logaritmov.

   Pozrime sa na príklady zjednodušenia výrazov obsahujúcich logaritmy.

   Príklad 1

   Vypočítať:

   Zjednodušme všetky exponenty: našou úlohou je zredukovať ich na logaritmy, ktorých základ je rovnaký ako základ exponentu.

   ==(podľa vlastnosti 7)=(podľa vlastnosti 6) =

   Dosadíme ukazovatele, ktoré sme dostali do pôvodného výrazu. Dostaneme:

   Odpoveď: 5.25

   Príklad 2. Vypočítajte:

   

   Znížme všetky logaritmy na základ 6 (v tomto prípade logaritmy z menovateľa zlomku „migrujú“ do čitateľa):

   Rozložme čísla pod logaritmickým znakom na jednoduché faktory:

   Aplikujme vlastnosti 4 a 6:

   Predstavme si náhradu

   Dostaneme:

   odpoveď: 1

   Logaritmus . Základná logaritmická identita.

   Vlastnosti logaritmov. Desatinný logaritmus. Prirodzený logaritmus.

   Logaritmus kladné číslo N k základu (b > 0, b 1) je exponent x, na ktorý sa musí zvýšiť b, aby sme dostali N .

   Tento záznam je ekvivalentný nasledujúcemu: b x = N .

   Príklady: log 3 81 = 4, pretože 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, pretože (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Vyššie uvedená definícia logaritmu môže byť napísaná ako identita:

   

   Základné vlastnosti logaritmov.

   2) log 1 = 0, keďže b 0 = 1 .

   3) Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov:

   4) Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa:

   5) Logaritmus mocniny sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu:

   Dôsledkom tejto vlastnosti je nasledovné: logaritmus koreňa rovná logaritmu radikálne číslo delené mocnosťou odmocniny:

   

   6) Ak je základom logaritmu stupeň, potom hodnota prevrátená hodnota exponentu môže byť vyňatá zo znaku log rým:

   

   Dva najnovšie vlastnosti možno spojiť do jedného:

   

   7) Vzorec prechodového modulu (t. j. prechod z jednej logaritmickej bázy na inú bázu):

   

   V špeciálnom prípade, keď N=a máme:

   

   Desatinný logaritmus volal základný logaritmus 10. Označuje sa lg, t.j. denník 10 N= log N. Logaritmy čísel 10, 100, 1000, . p sú 1, 2, 3, …, t.j. mať veľa pozitívnych

   jednotiek, koľko núl je v logaritmickom čísle po jednotke. Logaritmy čísel 0,1, 0,01, 0,001, . p sú –1, –2, –3, …, t.j. mať toľko záporných jednotiek, koľko je núl v logaritmickom čísle pred jednotkou (vrátane nuly celých čísel). Logaritmy iných čísel majú zlomkovú časť tzv mantisa. Celočíselná časť logaritmu sa nazýva charakteristický. Pre praktické použitie sú najvhodnejšie desiatkové logaritmy.

   Prirodzený logaritmus volal základný logaritmus e. Označuje sa ln, t.j. log e N= log N. číslo e je iracionálna, jej približná hodnota je 2,718281828. Je to hranica, ku ktorej číslo smeruje (1 + 1 / n) n s neobmedzeným nárastom n(cm. prvá úžasná limitka na stránke "Limity číselnej postupnosti").
   Aj keď sa to môže zdať zvláštne, prirodzené logaritmy sa ukázalo ako veľmi výhodné pri vykonávaní rôzne druhy operácie súvisiace s funkčnou analýzou. Výpočet logaritmov so základňou e vykonaná oveľa rýchlejšie ako z akéhokoľvek iného dôvodu.

• Čo je dnes potrebné na adopciu dieťaťa v Rusku? Adopcia v Rusku okrem zodpovedného osobného rozhodnutia zahŕňa aj množstvo postupov štátneho overovania kandidátov. Ťažký výber pre prípravná fáza prispieva k viac […]
• Bezplatné informácie o DIČ alebo OGRN z daňového registra v celom Rusku – online Na portáli jednotných daňových služieb môžete získať informácie o štátna registrácia právnických osôb, individuálnych podnikateľov, […]
• Pokuta za jazdu bez dokladov ( vodičský preukaz, poistenie, STS) Niekedy kvôli zábudlivosti si vodiči sadnú za volant bez vodičského preukazu a dostanú pokutu za jazdu bez dokladov. Pripomeňme, že nadšenec áut jazdí so svojím povinné […]
• Kvety pre mužov. Aké kvety môžete dať mužovi? Aké kvety môžete dať mužovi? Nie je veľa „mužských“ kvetov, ale sú niektoré, ktoré sa dávajú mužom. Malý zoznam kvetov pred vami: Chryzantémy. ruže. Karafiáty. […]
• Úradný list je špeciálna forma dokumentu, ktorý sa používa v internom prostredí podniku a slúži na to rýchle riešenie súčasné výrobné problémy. Tento dokument je zvyčajne vypracovaný na účely zavedenia niektorých […]
• Kedy a ako získať financovanú časť dôchodku od Sberbank? Sberbank je partnerskou bankou štátneho dôchodkového fondu. Na základe toho mohli občania, ktorí sa zaregistrovali na kapitalizačný dôchodok, previesť financovanú časť […]
• Prídavky na deti v Uljanovsku a Uljanovskej oblasti v roku 2018 Okrem toho vo všetkých regiónoch fungujú programy schválené federálnou legislatívou. Pozrime sa, kto môže počítať s akými výhodami. Ako regionálne orgány […]
• Podrobný sprievodca ako vyhotoviť splnomocnenie na zastupovanie záujmov individuálne na súde V občianskoprávnom alebo arbitrážnom spore, v správnom alebo trestnom prípade môžu byť záujmy žalobcu aj žalovaného zastúpené advokátom: […]