Štandardný algoritmus na riešenie takýchto problémov zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v zistených maximálnych (alebo minimálnych) bodoch a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? O tomto som písal.

Navrhujem riešiť takéto problémy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do tohto intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov kroku 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedzte na položenú otázku).

Pri riešení prezentovaných príkladov nebolo riešenie detailne uvažované kvadratické rovnice, musíte to vedieť. Mali by tiež vedieť.

Pozrime sa na príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 2 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Vypočítame hodnoty funkcie v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je –2.

Odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 6x 2 na úsečke [–3;3].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Interval uvedený v podmienke obsahuje bod x = 0.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 2x 2 + x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval uvedený v podmienke obsahuje iba x = 1.

Nájdite hodnoty funkcie v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [– 4; -1].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Poďme nájsť nuly derivácie a vyriešiť kvadratickú rovnicu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – x 2 – 40x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Poďme nájsť nuly derivácie a vyriešiť kvadratickú rovnicu:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Interval uvedený v podmienke obsahuje koreň x = 4.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je –109.

Odpoveď: -109

Uvažujme o spôsobe, ako určiť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií bez derivácie. Tento prístup je možné použiť, ak máte veľké problémy s určením derivácie. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=7+12x–x 3 na segmente [–2;2].

Náhradné body z –2 na 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na segmente [–2;0].

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) vo vrtuľníku, streľbu na určité body z kanóna s dlhým dosahom a výber veľmi špeciálne body z týchto bodov za kontrolné výstrely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určité pravidlá. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak je funkcia r = f(X) je spojitá na intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom z nich vyberte najmenší a najväčší.

Povedzme napríklad, že chcete určiť najväčšiu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

Kritický bod nazývaný bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát buď sa rovná nule alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .

Problémy s nájdením najmenšie funkčné hodnoty .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenší a najvyššia hodnota funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie. Prirovnajme deriváciu k nule () a získajme dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode, pretože bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), rovná sa 9, - v kritickom bode.

Ak je funkcia v určitom intervale spojitá a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusí byť najmenšia a najväčšia. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najvyššia hodnota rovná 1 v bode .

Naďalej spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú študentom na riešenie príklady, ktoré sú zložitejšie ako tie, o ktorých sme práve hovorili, teda také, v ktorých je funkcia polynóm alebo zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú takí, ktorí radi nútia študentov premýšľať v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmická a goniometrická funkcia.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najvyššia hodnota, rovné e², v bode.

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie:

Derivát prirovnáme k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najvyššia hodnota, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (maximálnych) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale tie hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalšia ťažkosť - skladanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8. Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Akú veľkosť by mala mať nádrž, aby sa na jej zakrytie spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Poďme preskúmať túto funkciu do jej extrému. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže toto je jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Od tohto minimum je jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by mala byť 2 m a jej výška by mala byť .

Príklad 9. Z bodu A nachádza na železničnej trati, do bodu S, ktorý sa nachádza v určitej vzdialenosti od neho l, treba prepraviť náklad. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice mala by sa postaviť diaľnica na prepravu nákladu z A V S bola najhospodárnejšia (oddiel AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na nejakom intervale, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšia hodnota. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných problémov, najmä optimalizačných, sú dôležité problémy s nájdením najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorý môže byť konečný alebo nekonečný.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchného obdĺžnikového rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej objem 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Zoznam Rôzne druhy neistoty, pre ktoré možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcej a klesajúcej funkcie.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Obrys všeobecná schéma skúmanie funkcie a vykresľovanie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom segmente.

Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?

Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.

Predpoklad Maximum a minimum (extrémum) funkcie sú nasledovné: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, tak v tomto bode je derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo neexistuje.

Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže ísť k nule, nekonečnu alebo nemusí existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.

Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?

Prvá podmienka:

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) maximálne

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.

Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:

Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(a) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak má minimum.

Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?

Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém. Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a tie, pri ktorých má graf nespojitosť.

Napríklad nájdime extrém paraboly.

Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2

Vyriešte rovnicu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN v tomto prípade kritický bod je x0=-1/3. Funkcia má práve túto hodnotu argumentu extrém. Jemu Nájsť, nahraďte nájdené číslo vo výraze za funkciu namiesto „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?

Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.

Pre uvažovaný príklad:

Vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu naľavo od kritického bodu: x = -1

Pri x = -1 bude hodnota derivácie y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko je „mínus“).

Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pri x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.j. znamienko je „plus“).

Ako vidíte, derivácia zmenila znamienko z mínus na plus pri prechode cez kritický bod. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať vo vnútri určený interval. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.

Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervaloch:

Takže derivácia funkcie je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

Hodnoty funkcie nájdeme na kritické hodnoty argument:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmenší - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 sa rovná y = 5,398.

Nájdite hodnotu funkcie na koncoch intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie

y = 5,398 pri x = -4,88

najmenšia hodnota -

y = 1,077 pri x = -3

Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť konvexnú a konkávnu stranu?

Ak chcete nájsť všetky inflexné body priamky y = f(x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula, nekonečné alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa to nezmení, potom nie je žiadny ohyb.

Korene rovnice f? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhá derivácia rozdeľujú definičný obor funkcie na množstvo intervalov. Konvexnosť na každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode skúmaného intervalu kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.

Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?

Ak chcete nájsť extrémy funkcie f(x,y), diferencovateľné v oblasti jej špecifikácie, potrebujete:

1) nájdite kritické body, a preto vyriešte systém rovníc

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené

pre všetky body (x;y) dostatočne blízko k P0. Ak rozdiel zostane kladné znamenie, potom v bode P0 máme minimum, ak je záporné, tak máme maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode P0 neexistuje extrém.

Extrémy funkcie sú určené podobne pre viac argumenty.

Pozrime sa, ako skúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pohľadom na graf môžeme zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:

• doména funkcie
• funkčný rozsah
• funkčné nuly
• intervaly zvyšovania a znižovania
• maximálny a minimálny počet bodov
• najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente.

Ujasnime si terminológiu:

Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
Abscisová os- vodorovná os, najčastejšie nazývaná os.
os Y- vertikálna os, alebo os.

Argument- nezávislá premenná, od ktorej závisia funkčné hodnoty. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, vyberieme , dosadíme funkcie do vzorca a dostaneme .

doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia existuje.
Označené: alebo .

Na našom obrázku je doménou definície funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Toto je jediné miesto, kde táto funkcia existuje.

Rozsah funkcií je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – ​​od najnižšej po najvyššiu hodnotu.

Funkčné nuly- body, kde je hodnota funkcie nula, tzn. Na našom obrázku sú to body a .

Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Pre nás je to interval (alebo interval) od do .

Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcie na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.

Funkcia zvyšuje

Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.

Funkcia klesá na množine, ak pre nejaké a patriace do množiny, nerovnosť implikuje nerovnosť .

Pre klesajúcu funkciu väčšia hodnota zodpovedá menšej hodnote. Graf ide doprava a dole.

Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .

Definujme, čo to je maximálne a minimálne body funkcie.

Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je bod, v ktorom je hodnota funkcie viac ako v susedných. Toto je miestny „kopec“ na mape.

Na našom obrázku je maximálny bod.

Minimálny bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v jeho susedoch. Toto je lokálna „diera“ na grafe.

Na našom obrázku je minimálny bod.

Pointa je hranica. Nie je vnútorným bodom domény definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť minimálny bod.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spolu extrémnych bodov funkcie. V našom prípade je to a .

Čo robiť, ak potrebujete nájsť napr. minimálna funkcia v segmente? V tomto prípade je odpoveď: . Pretože minimálna funkcia je jeho hodnota v minimálnom bode.

Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .

Dá sa povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .

Problémy niekedy vyžadujú hľadanie najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.

V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na segmente sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.

V každom prípade sa najväčšie a najmenšie hodnoty spojitej funkcie na segmente dosiahnu buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.