KAPITOLA I.

ZÁKLADNÉ POJMY.

§jedenásť. PRIľahlé a zvislé rohy.

1. Susedné uhly.

Ak predĺžime stranu ľubovoľného uhla za jeho vrchol, dostaneme dva uhly (obr. 72): / A slnko a / SVD, v ktorom je jedna strana BC spoločná a ďalšie dve A a BD tvoria priamku.

Dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ďalšie dve tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly môžeme získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neležiacom na danej priamke), získame susedné uhly.
Napríklad, / ADF a / FDВ - susedné uhly (obr. 73).

Susedné uhly môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže umma dvoch susedných uhlov je rovnaké 2d.

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme veľkosť jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť veľkosť druhého uhla, ktorý k nemu susedí.

Napríklad, ak je jeden zo susedných uhlov 3/5 d, potom sa druhý uhol bude rovnať:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú pokračovaním strán druhého uhla.

Nechaj / 1 = 7 / 8 d(Obrázok 76). Susedí s ním / 2 sa bude rovnať 2 d- 7 / 8 d t.j. 1 1/8 d.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú / 3 a / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Obrázok 77).

To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastností zvislých uhlov je potrebné overovať zdôvodnením, dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

/ +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(keďže súčet susedných uhlov je 2 d).

/ +/ c = / b+/ c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa tiež rovná 2 d a jeho pravá strana sa tiež rovná 2 d).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol S.

Ak odpočítame rovnaké množstvá od rovnakých množstiev, zostanú rovnaké množstvá. Výsledkom bude: / a = / b t.j. vertikálne uhly sú si navzájom rovné.

Pri zvažovaní problematiky vertikálnych uhlov sme si najskôr vysvetlili, ktoré uhly sa nazývajú vertikálne, t.j. definícia vertikálne uhly.

Potom sme urobili úsudok (výrok) o rovnosti vertikálnych uhlov a presvedčili sme sa o platnosti tohto úsudku prostredníctvom dôkazu. Takéto rozsudky, ktorých platnosť musí byť preukázaná, sú tzv teorémy. V tejto časti sme teda uviedli definíciu vertikálnych uhlov a tiež sme uviedli a dokázali vetu o ich vlastnostiach.

V budúcnosti sa pri štúdiu geometrie budeme musieť neustále stretávať s definíciami a dôkazmi viet.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 / 1, / 2, / 3 a / 4 sú umiestnené na jednej strane priamky a majú spoločný vrchol na tejto priamke. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na výkrese 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 majú spoločný vrchol. V súhrne tieto uhly tvoria celý uhol, t.j. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Cvičenia.

1. Jeden zo susedných uhlov je 0,72 d. Vypočítajte uhol, ktorý zvierajú osy týchto susedných uhlov.

2. Dokážte, že osy dvoch susedných uhlov tvoria pravý uhol.

3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.

4. Koľko párov susedných uhlov je na obrázku 81?

5. Môže sa dvojica susediacich uhlov skladať z dvoch ostrých uhlov? z dvoch tupých uhlov? z pravého a tupého uhla? z pravého a ostrého uhla?

6. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, čo potom možno povedať o veľkosti uhla, ktorý k nemu susedí?

7. Ak je v priesečníku dvoch priamok jeden uhol pravý, čo potom možno povedať o veľkosti ostatných troch uhlov?

Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.
Na obrázku 31 sú uhly (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a 1 a a 2 sú dodatočné polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180°.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180°.
Dôkaz. Nech sú uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) dané susednými uhlami (pozri obr. 31). Lúč b prechádza medzi stranami a 1 a a 2 priameho uhla. Preto sa súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovná rozvinutému uhlu, teda 180°. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.
Odpoveď.

Z vety 2.1 Z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, ich susedné uhly sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180°. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180° a c 1 d + c 2 d = 180°. Preto a2b = 180° - a1b a c2d = 180° - c1d. Keďže uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Z vlastnosti tranzitivity znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (akútny, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Otázka 6. Aké uhly sa nazývajú vertikálne?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú doplnkovými polpriamkami strán druhého uhla.

Otázka 7. Dokážte, že vertikálne uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú dané vertikálne uhly (obr. 34). Uhol (a 1 b 2) susedí s uhlom (a 1 b 1) a s uhlom (a 2 b 2). Odtiaľto pomocou vety o súčte susedných uhlov usúdime, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) na 180°, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak sa dve priamky pretínajú, jeden z uhlov je pravý, potom sú pravé aj ostatné tri uhly.
Odpoveď. Predpokladajme, že priamky AB a CD sa pretínajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90°. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, dostaneme, že AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Uhol COB je vertikálny k uhlu AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90°. Uhol COA je zvislý od uhla BSK, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol BSK = 90°. Všetky uhly sa teda rovnajú 90°, to znamená, že všetky sú pravé. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamienko sa používa na označenie kolmosti čiar?
Odpoveď. Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená znamienkom \(\perp\). Záznam \(a\perp b\) znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b."

Otázka 10. Dokážte, že cez ktorýkoľvek bod na priamke môžete nakresliť priamku kolmú na ňu, a to iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Cez každú čiaru môžete nakresliť čiaru kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná priamka a A daný bod na nej. Označme a 1 jednu z polpriamok priamky a s počiatočným bodom A (obr. 38). Od polpriamky a 1 odčítajme uhol (a 1 b 1) rovný 90°. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. Označme c 1 polpriamku tejto priamky ležiacej v rovnakej polrovine s lúčom b 1 .
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovný 90°, sú položené v jednej polrovine od polpriamky a 1. Ale z polpriamky 1 možno do danej polroviny umiestniť iba jeden uhol rovný 90°. Preto nemôže byť ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta bola dokázaná.

Otázka 11.Čo je kolmé na priamku?
Odpoveď. Kolmica na danú priamku je úsek priamky kolmý na danú priamku, ktorý má jeden zo svojich koncov v ich priesečníku. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, z čoho pozostáva dôkaz protirečením.
Odpoveď. Dôkazová metóda, ktorú sme použili vo vete 2.3, sa nazýva dôkaz kontradikciou. Táto metóda dôkazu pozostáva z prvého predpokladu opačného k tomu, čo uvádza veta. Potom uvažovaním, spoliehajúc sa na axiómy a dokázané vety, dospejeme k záveru, ktorý je v rozpore buď s podmienkami vety, alebo s jednou z axióm, alebo s predtým dokázanou vetou. Na základe toho sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, a preto je tvrdenie vety pravdivé.

Otázka 13. Aká je osnica uhla?
Odpoveď. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu.

Každý uhol, v závislosti od jeho veľkosti, má svoj vlastný názov:

Typ uhla	Veľkosť v stupňoch	Príklad
Pikantné	Menej ako 90°
Rovno	Rovná sa 90°. Na výkrese je pravý uhol zvyčajne označený symbolom nakresleným z jednej strany uhla na druhú.
Tupý	Viac ako 90°, ale menej ako 180°
Rozšírené	Rovná sa 180° Priamy uhol sa rovná súčtu dvoch pravých uhlov a pravý uhol je polovica priameho uhla.
Konvexné	Viac ako 180°, ale menej ako 360°
Plný	Rovná sa 360°

Dva uhly sa nazývajú priľahlé, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany tvoria priamku:

Uhly MOP A PON priľahlé, keďže lúč OP- spoločná strana a ďalšie dve strany - OM A ON vytvoriť rovnú čiaru.

Spoločná strana susedných uhlov sa nazýva šikmý až rovný, na ktorej ležia ďalšie dve strany, len v prípade, keď susedné uhly nie sú navzájom rovnaké. Ak sú susedné uhly rovnaké, ich spoločná strana bude rovnaká kolmý.

Súčet susedných uhlov je 180°.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla dopĺňajú strany druhého uhla k rovným čiaram:

Uhly 1 a 3, ako aj uhly 2 a 4 sú vertikálne.

Vertikálne uhly sú rovnaké.

Ukážme, že vertikálne uhly sú rovnaké:

Súčet ∠1 a ∠2 je priamy uhol. A súčet ∠3 a ∠2 je priamy uhol. Takže tieto dve sumy sú rovnaké:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V tejto rovnosti je vľavo a vpravo identický výraz - ∠2. Rovnosť nebude porušená, ak sa tento výraz vľavo a vpravo vynechá. Potom to dostaneme.

Uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany ležia na rovnakej priamke (na obrázku sú uhly 1 a 2 priľahlé). Ryža. k čl. Susedné uhly... Veľká sovietska encyklopédia

PRIľahlé ROHY- uhly, ktoré majú spoločný vrchol a jednu spoločnú stranu a ich ďalšie dve strany ležia na tej istej priamke... Veľká polytechnická encyklopédia

Pozri uhol... Veľký encyklopedický slovník

ADJACENT ANGLES, dva uhly, ktorých súčet je 180°. Každý z týchto uhlov dopĺňa druhý do celého uhla... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Pozri Uhol. * * * PRIDAJÚCE ROHY PRIDAJÚCE ROHY, pozri Uhol (pozri UHOL) ... encyklopedický slovník

- (Uhly susediace) tie, ktoré majú spoločný vrchol a spoločnú stranu. Väčšinou sa tento názov vzťahuje na také C. uhly, ktorých ďalšie dve strany ležia v opačných smeroch jednej priamky vedenej cez vrchol ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Pozri uhol... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Dve priame čiary sa pretínajú a vytvárajú pár vertikálnych uhlov. Jeden pár pozostáva z uhlov A a B, druhý z C a D. V geometrii sa dva uhly nazývajú vertikálne, ak sú vytvorené priesečníkom dvoch ... Wikipedia

Dvojica komplementárnych uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú do 90 stupňov Doplnkové uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa dopĺňajú do 90 stupňov. Ak susedia dva komplementárne uhly (t. j. majú spoločný vrchol a sú oddelené iba... ... Wikipedia

Dvojica doplnkových uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov Komplementárne uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov. Ak sú dva komplementárne uhly s... Wikipedia

knihy

• O dôkaze v geometrii, A.I. Fetisov Raz, na začiatku školského roka, som musel počuť rozhovor dvoch dievčat. Najstarší z nich prešiel do šiesteho ročníka, najmladší do piateho ročníka. Dievčatá sa podelili o svoje dojmy z hodín...
• Geometria. 7. trieda. Komplexný zápisník na kontrolu vedomostí, I. S. Markova, S. P. Babenko. Príručka predstavuje kontrolné a meracie materiály (CMM) v geometrii na vykonávanie bežnej, tematickej a záverečnej kontroly kvality vedomostí žiakov 7. ročníka. Obsah návodu...

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia presná veda, ktorá sa povinne študuje na školách, vysokých školách, ústavoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy položené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť zložité úlohy, ale rodičia mu nevedia pomôcť, pretože niektoré veci z matematiky jednoducho zabudli. Napríklad, ako nájsť susedný uhol na základe veľkosti hlavného uhla atď. Problém je jednoduchý, ale môže spôsobiť ťažkosti pri riešení kvôli neznalosti toho, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Pozrime sa bližšie na definíciu a vlastnosti susedných uhlov, ako aj na to, ako ich vypočítať z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných uhlov

Dva lúče vychádzajúce z jedného bodu vytvárajú obrazec nazývaný „rovinný uhol“. V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak pokračujete v jednom z lúčov za počiatočný bod v priamke, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

• Susedné uhly majú spoločný vrchol a jednu stranu;
• Súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom alebo číslu Pi, ak sa výpočet vykonáva v radiánoch;
• Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
• Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť susedné uhly

Na nájdenie veľkosti susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty úloh

• Udáva sa hodnota hlavného uhla;
• Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
• Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Pozrime sa na ne.

Udáva sa hodnota hlavného uhla

Ak problém špecifikuje hodnotu hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Ak to chcete urobiť, stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto riešenie je založené na vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov je vždy rovný 180 stupňom.

Ak je hodnota hlavného uhla udaná v radiánoch a problém si vyžaduje nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla

Problém môže poskytnúť pomer hlavného a susedného uhla namiesto stupňov a radiánov hlavného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

1. Podiel hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
2. Zlomok súvisiaci so susedným uhlom je označený ako premenná „X“.
3. Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, bude označený napríklad „a“.
4. Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
5. Spoločný faktor rovnice „a“ nájdeme pomocou vzorca a=180/(X+Y).
6. Potom vynásobíme výslednú hodnotu spoločného faktora „a“ zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom jednoducho musíte previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch Pi a rozdeľte všetko o 180 stupňov. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Udáva sa hodnota zvislého uhla

Ak úloha neudáva hodnotu hlavného uhla, ale je daná hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla.

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, ale smeruje presne opačným smerom. Výsledkom je zrkadlový obraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte vertikálnu hodnotu od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si tiež prečítať naše užitočné články a.