• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o počítanie logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv pochopíme výpočet logaritmov podľa definície. Ďalej sa pozrime na to, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa zameriame na výpočet logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať logaritmické tabuľky. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobnými riešeniami.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné vykonať pomerne rýchlo a jednoducho nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c, z ktorého podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že podľa definície hľadaniu logaritmu zodpovedá nasledujúci reťazec rovnosti: log a b=log a a c =c.

Takže výpočet logaritmu podľa definície vedie k nájdeniu čísla c takého, že a c = b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Ak vezmeme do úvahy informácie v predchádzajúcich odsekoch, keď je číslo pod logaritmickým znakom dané určitou mocninou logaritmickej základne, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme riešenia na príkladoch.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus čísla e 5,3.

Riešenie.

Definícia logaritmu nám umožňuje okamžite povedať, že log 2 2 −3 =−3. V skutočnosti sa číslo pod logaritmickým znamienkom rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 -3 = -3 a lne 5,3 = 5,3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je zadané ako mocnina základu logaritmu, potom sa musíte dôkladne pozrieť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Často je toto znázornenie celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod logaritmickým znamienkom rovná základu 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2, to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Prejdime k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). teda .

Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť , z čoho usudzujeme . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto: .

odpoveď:

log 5 25=2 , A .

Keď je pod logaritmickým znamienkom dostatočne veľké prirodzené číslo, nezaškodí ho zahrnúť do prvočísel. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

Riešenie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1 = log a a 0 = 0 a log a a = log a a 1 = 1. To znamená, že keď je pod znamienkom logaritmu číslo 1 alebo číslo a rovné základu logaritmu, potom sa v týchto prípadoch logaritmy rovnajú 0 a 1.

Príklad.

Čomu sa rovnajú logaritmy a log10?

Riešenie.

Od , potom z definície logaritmu vyplýva .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1.

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p, čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod logaritmickým znakom a základom logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina určitého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Pozrime sa na príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus.

Riešenie.

odpoveď:

.

Vo výpočtoch sa používajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odsekoch.

Hľadanie logaritmov pomocou iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme používania vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre vysvetlenie uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963, potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie je však potrebné použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby sa pôvodný logaritmus vypočítal cez dané.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 na základ 60, ak viete, že log 60 2=a a log 60 5=b.

Riešenie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27 = 3 3 a pôvodný logaritmus možno vďaka vlastnosti logaritmu mocniny prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako vyjadriť log 60 3 pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu nám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1. Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

odpoveď:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca na prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne sa z pôvodného logaritmu pomocou prechodového vzorca presunú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú vypočítať ich hodnoty s určitým stupňom presnosť. V nasledujúcom odseku si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky a ich použitie

Na približný výpočet logaritmických hodnôt je možné použiť logaritmické tabuľky. Najčastejšie používaná tabuľka logaritmu so základnou 2, tabuľka prirodzeného logaritmu a tabuľka desiatkových logaritmov. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov na báze desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka vám umožňuje nájsť hodnoty desatinných logaritmov čísel od 1 000 do 9 999 (s tromi desatinnými miestami) s presnosťou na jednu desaťtisícinu. Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov rozoberieme na konkrétnom príklade - takto je to prehľadnejšie. Nájdeme log1.256.

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, čiže nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslica 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslica 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou čiarou). Teraz nájdeme čísla v bunkách logaritmickej tabuľky na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu s presnosťou na štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, ako aj tých, ktoré presahujú rozsah od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332. Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332·10 2. Potom by mala byť mantisa zaokrúhlená na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, zatiaľ čo pôvodný desiatkový logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme log102,76332≈lg1,028·10 2. Teraz použijeme vlastnosti logaritmu: lg1,028·102 =lg1,028+lg102 =lg1,028+2. Nakoniec nájdeme hodnotu logaritmu lg1,028 z tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg102 = log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme log3≈0,4771 a log2≈0,3010. teda .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

Uvádzajú sa základné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, rozšírenie mocninného radu a reprezentácia funkcie ln x pomocou komplexných čísel.

Definícia

Prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná hodnota exponenciály, x = e y, a je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z exponenciálneho grafu zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y = x.

Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty premennej x. Vo svojej doméne definície sa zvyšuje monotónne.

Pri x → 0 limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (-∞).

Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek mocninná funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Doména definície, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

ln x hodnoty

ln 1 = 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou základného substitučného vzorca:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".

Inverzná funkcia

Inverzná k prirodzenému logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom.

Derivát ln x

Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodzovanie vzorcov >> >

Integrálne

Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
.
takže,

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak položíte
, kde n je celé číslo,
bude to rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Keď dôjde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Ťažiskom tohto článku je logaritmus. Tu uvedieme definíciu logaritmu, ukážeme akceptovaný zápis, uvedieme príklady logaritmov a porozprávame sa o prirodzených a desiatkových logaritmoch. Potom zvážime základnú logaritmickú identitu.

Navigácia na stránke.

Definícia logaritmu

Koncept logaritmu vzniká pri riešení problému v určitom inverznom zmysle, keď potrebujete nájsť exponent zo známej hodnoty exponentu a známeho základu.

Ale dosť predslovov, je čas odpovedať na otázku „čo je to logaritmus“? Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Logaritmus b na základ a, kde a>0, a≠1 a b>0 je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.

V tejto fáze si všimneme, že hovorené slovo „logaritmus“ by malo okamžite vyvolať dve nadväzujúce otázky: „aké číslo“ a „na akom základe“. Inými slovami, jednoducho neexistuje logaritmus, ale iba logaritmus čísla k nejakému základu.

Hneď vstúpme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a sa zvyčajne označuje ako log a b. Logaritmus čísla b na základ e a logaritmus na základ 10 majú svoje vlastné špeciálne označenia lnb a logb, to znamená, že nepíšu log e b, ale lnb a nie log 10 b, ale lgb.

Teraz môžeme dať: .
A záznamy nedávajú zmysel, pretože v prvom z nich je pod znamienkom logaritmu záporné číslo, v druhom je záporné číslo v základe a v treťom je pod znamienkom logaritmu záporné číslo a jednotka v základ.

Teraz poďme hovoriť o pravidlá čítania logaritmov. Log a b sa číta ako "logaritmus b na základ a". Napríklad log 2 3 je logaritmus troch k základu 2 a je to logaritmus dvoch bodových dvoch tretín k základnej odmocnine z piatich. Logaritmus k základu e sa nazýva prirodzený logaritmus a zápis lnb znie "prirodzený logaritmus b". Napríklad ln7 je prirodzený logaritmus čísla sedem a budeme ho čítať ako prirodzený logaritmus čísla pí. Základný 10 logaritmus má tiež špeciálny názov - desiatkový logaritmus a lgb sa číta ako "desiatkový logaritmus b". Napríklad lg1 je desiatkový logaritmus jednej a lg2,75 je desiatkový logaritmus dvoch bodiek sedem päť stotín.

Oplatí sa venovať osobitnú pozornosť podmienkam a>0, a≠1 a b>0, za ktorých je daná definícia logaritmu. Vysvetlíme, odkiaľ tieto obmedzenia pochádzajú. Pomôže nám k tomu rovnosť tvaru s názvom , ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.

Začnime s ≠1. Keďže jedna ku ktorejkoľvek mocnine sa rovná jednej, rovnosť môže platiť len vtedy, keď b=1, ale log 1 1 môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, predpokladá sa a≠1.

Zdôvodnime účelnosť podmienky a>0. S a=0 by sme podľa definície logaritmu mali rovnosť, čo je možné len s b=0. Ale potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Podmienka a≠0 nám umožňuje vyhnúť sa tejto nejednoznačnosti. A keď a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nakoniec podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0, keďže , a hodnota mocniny s kladnou bázou a je vždy kladná.

Na záver tohto bodu povedzme, že uvedená definícia logaritmu vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, keď číslo pod znakom logaritmu predstavuje určitú mocninu základu. Definícia logaritmu nám skutočne umožňuje tvrdiť, že ak b=a p, potom sa logaritmus čísla b so základom a rovná p. To znamená, že log rovnosti a a p = p je pravdivý. Napríklad vieme, že 2 3 = 8, potom log 2 8 = 3. Viac si o tom povieme v článku.

Vo vzťahu k

možno nastaviť úlohu nájsť ľubovoľné z troch čísel z ďalších dvoch daných. Ak je dané a a potom N, zistíme ich umocnením. Ak N a potom a sú dané prevzatím odmocniny zo stupňa x (alebo jeho umocnením). Teraz zvážte prípad, keď za predpokladu a a N potrebujeme nájsť x.

Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednej: .

Definícia. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený

V rovnosti (26.1) teda nájdeme exponent ako logaritmus N k základu a. Príspevky