É absolutamente impossível resolver problemas físicos ou exemplos em matemática sem o conhecimento da derivada e dos métodos de cálculo. Derivada é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Decidimos dedicar o artigo de hoje a este tópico fundamental. O que é uma derivada, qual é o seu significado físico e geométrico, como calcular a derivada de uma função? Todas essas perguntas podem ser combinadas em uma: como entender a derivada?

Significado geométrico e físico da derivada

Que haja uma função f (x) dado em algum intervalo (a, b) ... Os pontos х e х0 pertencem a este intervalo. Quando x muda, a própria função muda. Alterando um argumento - a diferença entre seus valores x-x0 ... Esta diferença é escrita como delta x e é chamado de incremento de argumento. Uma mudança ou incremento de uma função é a diferença nos valores de uma função em dois pontos. Definição derivada:

A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre o incremento da função em um determinado ponto e o incremento do argumento quando este tende a zero.

Caso contrário, pode ser escrito assim:

Qual é o sentido de encontrar esse limite? E aqui está:

a derivada da função em um ponto é igual à tangente do ângulo entre o eixo OX e a tangente ao gráfico da função neste ponto.

O significado físico da derivada: a derivada do caminho em relação ao tempo é igual à velocidade do movimento retilíneo.

Na verdade, desde os tempos de escola, todos sabem que a velocidade é um caminho privado. x = f (t) e tempo t ... Velocidade média durante um período de tempo:

Para descobrir a velocidade de movimento de cada vez t0 você precisa calcular o limite:

Regra um: tire uma constante

A constante pode ser movida para fora do sinal da derivada. Além disso, deve ser feito. Ao resolver exemplos em matemática, tome como regra - se você pode simplificar a expressão, certifique-se de simplificar .

Exemplo. Vamos calcular a derivada:

Regra dois: derivada da soma das funções

A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções. O mesmo é verdadeiro para a derivada da diferença de funções.

Não vamos dar uma prova deste teorema, mas sim considerar um exemplo prático.

Encontre a derivada de uma função:

Regra três: derivada do produto das funções

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis ​​é calculada pela fórmula:

Exemplo: encontre a derivada de uma função:

Solução:

É importante falar aqui sobre o cálculo de derivadas de funções complexas. A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada dessa função em relação ao argumento intermediário pela derivada do argumento intermediário em relação à variável independente.

No exemplo acima, encontramos a expressão:

Nesse caso, o argumento intermediário é 8x elevado à quinta potência. Para calcular a derivada de tal expressão, primeiro calculamos a derivada da função externa em relação ao argumento intermediário e, em seguida, multiplicamos pela derivada do argumento intermediário imediato em relação à variável independente.

Regra quatro: o quociente derivado de duas funções

Fórmula para determinar a derivada do quociente de duas funções:

Tentamos falar sobre derivativos para manequins do zero. Este tópico não é tão simples quanto parece, portanto, esteja avisado: muitas vezes há armadilhas nos exemplos, portanto, tenha cuidado ao calcular as derivadas.

Para qualquer dúvida sobre este e outros tópicos, você pode entrar em contato com o atendimento ao aluno. Em pouco tempo, iremos ajudá-lo a resolver o teste mais difícil e lidar com as tarefas, mesmo que você nunca tenha feito cálculos de derivadas antes.

O que é um derivado?
Definição e significado da derivada de uma função

Muitos ficarão surpresos com a localização inesperada deste artigo no curso do meu autor sobre a derivada de uma função de uma variável e suas aplicações. Afinal, como era desde a escola: um livro-texto padrão dá, em primeiro lugar, a definição de uma derivada, seu significado geométrico e mecânico. Além disso, os alunos encontram as derivadas de funções por definição e, de fato, só então a técnica de diferenciação é aperfeiçoada com a ajuda de tabelas derivadas.

Mas, do meu ponto de vista, a seguinte abordagem é mais pragmática: em primeiro lugar, é aconselhável ENTENDER BEM limite de função, e especialmente quantidades infinitesimais... O fato é que a definição de uma derivada é baseada na noção de um limite, que é mal abordado no curso escolar. É por isso que uma parte significativa dos jovens consumidores do conhecimento do granito não se aprofunda na própria essência do derivado. Assim, se você é mal orientado no cálculo diferencial ou um cérebro sábio conseguiu se livrar dessa bagagem ao longo dos anos, por favor, comece com limites de funções... Ao mesmo tempo, domine / lembre-se de sua solução.

O mesmo sentido prático sugere que é benéfico primeiro aprenda a encontrar derivados, Incluindo derivados de funções complexas... Teoria é teoria, mas diferenciação, como dizem, é sempre desejável. A este respeito, é melhor trabalhar as lições básicas listadas, e talvez se tornar mestre da diferenciação mesmo sem perceber a essência de suas ações.

Recomendo começar os materiais desta página depois de ler o artigo. Problemas Derivativos Mais Simples, onde, em particular, o problema da tangente ao gráfico de uma função é considerado. Mas você pode esperar um pouco. O fato é que muitas aplicações da derivada não requerem seu entendimento, e não é surpreendente que a lição teórica tenha aparecido bem tarde - quando precisei explicar encontrando intervalos de aumento / diminuição e extremos funções. Além disso, por muito tempo ele esteve no assunto “ Funções e gráficos"Até que finalmente decidi colocá-lo mais cedo.

Portanto, queridos bules, não se apressem em absorver a essência do derivado, como animais famintos, pois a saciedade será insípida e incompleta.

O conceito de aumentar, diminuir, máximo, mínimo de uma função

Muitos tutoriais levam você ao conceito de derivada com alguns problemas práticos, e eu também vim com um exemplo interessante. Imagine que estamos prestes a viajar para uma cidade que pode ser alcançada de diferentes maneiras. Vamos descartar imediatamente os caminhos sinuosos e curvos e consideraremos apenas as rodovias retas. No entanto, as direções em linha reta também são diferentes: você pode chegar à cidade por uma autobahn plana. Ou em uma estrada montanhosa - para cima e para baixo, para cima e para baixo. Outra estrada só sobe, e outra desce o tempo todo. Os extremistas escolherão uma rota através de um desfiladeiro com um penhasco íngreme e uma subida íngreme.

Mas seja qual for a sua preferência, é aconselhável conhecer a área, ou pelo menos tê-la com um mapa topográfico. E se essa informação não estiver disponível? Afinal, você pode escolher, por exemplo, um caminho plano e, como resultado, topar com uma pista de esqui com finos alegres. Não é verdade que um navegador e mesmo uma imagem de satélite fornecerão dados confiáveis. Portanto, seria bom formalizar o relevo do caminho por meio da matemática.

Considere alguma estrada (vista lateral):

Por precaução, lembro um fato elementar: a jornada acontece da esquerda para a direita... Para simplificar, assumimos que a função contínuo na área em consideração.

Quais são os recursos deste gráfico?

Nos intervalos função está aumentando, ou seja, cada um de seus próximos valores mais o anterior. Grosso modo, a programação está em para cima(subimos a colina). E no intervalo a função diminui- cada próximo valor menor o anterior, e nossa agenda vai Careca(descemos a encosta).

Vamos também prestar atenção aos pontos singulares. No ponto em que alcançamos máximo, isso é existe essa seção do caminho em que o valor será o maior (mais alto). No mesmo ponto, mínimo, e existe uma vizinhança em que o valor é o menor (mais baixo).

Consideraremos terminologia e definições mais rígidas na lição nos extremos da função, mas por enquanto vamos estudar mais uma característica importante: nos intervalos a função está aumentando, mas está aumentando em velocidades diferentes... E a primeira coisa que chama sua atenção é que o gráfico sobe no intervalo. muito mais legal do que no intervalo. A inclinação de uma estrada poderia ser medida com ferramentas matemáticas?

Taxa de mudança de função

A ideia é esta: pegue algum significado (leia "delta x"), que vamos chamar incremento de argumento, e começaremos a "experimentá-lo" em vários pontos do nosso caminho:

1) Vejamos o ponto mais à esquerda: contornando a distância, subimos a encosta até uma altura (linha verde). A quantidade é chamada incremento de função, e neste caso este incremento é positivo (a diferença de valores ao longo do eixo é maior que zero). Vamos compor uma proporção que será a medida da inclinação de nossa estrada. Obviamente, este é um número muito específico e, uma vez que ambos os incrementos são positivos, então.

Atenção! Designação são 1 símbolo, isto é, você não pode "arrancar" o "delta" do "x" e considerar essas letras separadamente. Obviamente, o comentário também se aplica ao símbolo de incremento da função.

Vamos investigar a natureza da fração resultante de forma mais significativa. Vamos inicialmente estar a uma altura de 20 metros (no ponto preto esquerdo). Superada a distância de metros (linha vermelha à esquerda), encontrar-nos-emos a uma altitude de 60 metros. Então o incremento da função será metros (linha verde) e :. Assim, em cada metro esta seção da estrada aumentos de altura média 4 metros… Você esqueceu seu equipamento de escalada? =) Em outras palavras, a relação construída caracteriza a TAXA MÉDIA DE MUDANÇA (no caso, crescimento) da função.

Observação : os valores numéricos do exemplo em questão correspondem às proporções do desenho apenas aproximadamente.

2) Agora vamos percorrer a mesma distância do ponto preto mais à direita. Aqui, a elevação é mais superficial, portanto, o incremento (linha vermelha) é relativamente pequeno e a proporção em comparação com o caso anterior será muito modesta. Relativamente falando, metros e taxa de crescimento da função inventa. Ou seja, aqui para cada metro do caminho existe média meio metro de altura.

3) Uma pequena aventura na encosta da montanha. Vejamos o ponto preto superior localizado na ordenada. Digamos que sejam 50 metros. Mais uma vez, percorremos a distância e, como resultado, nos encontramos mais abaixo - ao nível de 30 metros. Uma vez que o movimento é realizado Careca(na "direção oposta" à direção do eixo), então o final o incremento da função (altura) será negativo: metros (linha marrom no desenho). E neste caso já estamos falando sobre taxa de decaimento funções: , ou seja, para cada metro do caminho deste trecho, a altura diminui média por 2 metros. Proteja sua roupa no quinto ponto.

Agora vamos nos perguntar: qual é o melhor valor do “padrão de medição” a ser usado? Compreensivelmente, 10 metros é muito difícil. Uma boa dúzia de saliências podem caber facilmente neles. Por que existem saliências, pode haver um desfiladeiro profundo abaixo, e depois de alguns metros - seu outro lado com uma subida mais íngreme. Assim, a dez metros, não obteremos uma característica inteligível de tais trechos do caminho por meio de uma proporção.

A conclusão segue do raciocínio acima - quanto menor o valor, mais precisamente descreveremos o relevo da estrada. Além disso, os seguintes fatos são verdadeiros:

– Para qualquer pontos de levantamento você pode escolher um valor (embora muito pequeno) que se enquadre nos limites de um ou outro aumento. Isso significa que o incremento correspondente na altura terá a garantia de ser positivo, e a desigualdade indicará corretamente o crescimento da função em cada ponto desses intervalos.

- De forma similar, para qualquer ponto de declive existe um valor que se ajusta totalmente àquele declive. Consequentemente, o incremento correspondente na altura é exclusivamente negativo, e a desigualdade mostrará corretamente a diminuição na função em cada ponto do intervalo dado.

- De particular interesse é o caso quando a taxa de variação da função é igual a zero :. Primeiro, um incremento de altura zero () é um sinal de um caminho plano. E em segundo lugar, existem outras situações curiosas, exemplos das quais você vê na foto. Imagine que o destino nos levou ao topo de uma colina com águias voando ou ao fundo de uma ravina com sapos coaxando. Se você der um pequeno passo em qualquer direção, a mudança na altura será desprezível e podemos dizer que a taxa de mudança da função é virtualmente zero. Essa imagem é observada nos pontos.

Assim, chegamos a uma oportunidade incrível de caracterizar com precisão e precisão a taxa de variação de uma função. Afinal, a análise matemática permite direcionar o incremento do argumento para zero :, ou seja, torná-lo infinitamente pequeno.

Como resultado, surge outra questão lógica: é possível encontrar para a estrada e sua programação outra função que nos diria sobre todas as áreas planas, subidas, descidas, picos, baixos, bem como a taxa de aumento / diminuição em cada ponto do caminho?

O que é um derivado? Definição da derivada.
O significado geométrico da derivada e diferencial

Leia com atenção e não muito rapidamente - o material é simples e acessível a todos! Tudo bem se em alguns lugares algo não parecer muito claro, você sempre pode retornar ao artigo mais tarde. Direi mais, é útil estudar a teoria várias vezes a fim de compreender qualitativamente todos os pontos (o conselho é especialmente relevante para alunos - "técnicos", para os quais a matemática superior desempenha um papel significativo no processo educacional).

Naturalmente, na própria definição da derivada em um ponto, nós a substituímos por:

Para onde viemos? E chegamos à conclusão de que para uma função de acordo com a lei é combinado outra função, que é chamado função derivada(ou simplesmente derivado).

A derivada caracteriza taxa de variação funções. Como? A ideia corre como um fio vermelho desde o início do artigo. Considere algum ponto áreas de definição funções. Deixe a função ser diferenciável em um determinado ponto. Então:

1) Se, então a função aumenta no ponto. E obviamente existe intervalo(mesmo que muito pequeno), contendo um ponto no qual a função cresce, e seu gráfico vai “de baixo para cima”.

2) Se, então a função diminui no ponto. E há um intervalo contendo um ponto no qual a função diminui (o gráfico vai "de cima para baixo").

3) Se, então infinitamente perto próximo a um ponto, a função mantém sua velocidade constante. Isso acontece, conforme observado, para uma função constante e em pontos críticos da função, em particular em pontos de mínimo e máximo.

Um pouco de semântica. O que o verbo "diferenciar" significa em um sentido amplo? Diferenciar significa destacar um recurso. Diferenciando a função, "isolamos" a taxa de sua mudança na forma da derivada da função. A propósito, o que significa a palavra "derivado"? Função ocorrido da função.

Os termos interpretam muito bem o significado mecânico da derivada :
Consideremos a lei da mudança nas coordenadas de um corpo, que depende do tempo, e a função da velocidade de movimento de um determinado corpo. A função caracteriza a taxa de variação das coordenadas do corpo, pois é a primeira vez derivada da função :. Se o conceito de "movimento corporal" não existisse na natureza, então não haveria derivado o conceito de "velocidade corporal".

A aceleração de um corpo é a taxa de variação da velocidade, portanto: ... Se os conceitos iniciais de "movimento do corpo" e "velocidade do movimento do corpo" não existissem na natureza, então não haveria derivado o conceito de "aceleração do corpo".

A derivada de uma função é um dos tópicos difíceis do currículo escolar. Nem todo graduado responderá à pergunta o que é uma derivada.

Este artigo explica de forma simples e clara o que é uma derivada e para que serve.... Não vamos nos esforçar agora para o rigor matemático de apresentação. O mais importante é entender o significado.

Vamos lembrar a definição:

A derivada é a taxa de variação da função.

A figura mostra gráficos de três funções. Qual você acha que está crescendo mais rápido?

A resposta é óbvia - a terceira. Ele tem a maior taxa de variação, ou seja, a maior derivada.

Aqui está outro exemplo.

Kostya, Grisha e Matvey conseguiram um emprego ao mesmo tempo. Vamos ver como sua renda mudou ao longo do ano:

Você pode ver tudo no gráfico imediatamente, não é? A renda de Kostya mais que dobrou em seis meses. E a renda de Grisha também aumentou, mas apenas ligeiramente. E a renda de Matvey caiu para zero. As condições iniciais são as mesmas, mas a taxa de variação da função, isto é derivado, - diferente. Quanto a Matvey, o derivado de sua renda é geralmente negativo.

Intuitivamente, podemos estimar facilmente a taxa de variação de uma função. Mas como fazemos isso?

Na verdade, estamos observando o quão abruptamente o gráfico da função sobe (ou desce). Em outras palavras, quão rápido y muda com a mudança de x. Obviamente, a mesma função em pontos diferentes pode ter um valor diferente da derivada - ou seja, pode mudar mais rápido ou mais devagar.

A derivada da função é denotada.

Vamos mostrar como encontrá-lo usando o gráfico.

Um gráfico de alguma função é desenhado. Vamos ver um ponto com uma abscissa. Vamos desenhar neste ponto a tangente ao gráfico da função. Queremos estimar o quão abruptamente é o gráfico da função. Um valor conveniente para isso é tangente do ângulo de inclinação da tangente.

A derivada da função em um ponto é igual à tangente do ângulo de inclinação da tangente desenhada para o gráfico da função neste ponto.

Preste atenção - como o ângulo de inclinação da tangente, tomamos o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo.

Às vezes, os alunos perguntam o que é uma função tangente. Esta é uma linha reta que possui um único ponto em comum com o gráfico desta seção e conforme mostrado em nossa figura. Parece uma tangente a um círculo.

Nós encontraremos. Lembramos que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual à proporção da perna oposta para a adjacente. Do triângulo:

Encontramos a derivada usando o gráfico, mesmo sem conhecer a fórmula da função. Esses problemas são freqüentemente encontrados no exame de matemática sob o número.

Existe outro relacionamento importante. Lembre-se de que a linha reta é dada pela equação

A quantidade nesta equação é chamada inclinação da linha reta... É igual à tangente do ângulo de inclinação da reta ao eixo.

.

Nós entendemos isso

Vamos nos lembrar desta fórmula. Ele expressa o significado geométrico da derivada.

A derivada de uma função em um ponto é igual à inclinação da tangente desenhada no gráfico da função naquele ponto.

Em outras palavras, a derivada é igual à tangente do ângulo de inclinação da tangente.

Já dissemos que a mesma função pode ter derivadas diferentes em pontos diferentes. Vamos ver como a derivada está relacionada ao comportamento da função.

Vamos desenhar um gráfico de alguma função. Deixe esta função aumentar em algumas áreas e diminuir em outras, e em taxas diferentes. E deixe esta função ter pontos máximos e mínimos.

Em um ponto, a função aumenta. Uma tangente ao gráfico desenhado em um ponto forma um ângulo agudo; com uma direção positiva do eixo. Isso significa que a derivada é positiva no ponto.

Nesse ponto, nossa função diminui. A tangente neste ponto forma um ângulo obtuso; com uma direção positiva do eixo. Como a tangente de um ângulo obtuso é negativa, a derivada é negativa no ponto.

Aqui está o que acontece:

Se a função está aumentando, sua derivada é positiva.

Se diminuir, sua derivada é negativa.

E o que vai acontecer nos pontos máximos e mínimos? Vemos que nos pontos (ponto máximo) e (ponto mínimo) a tangente é horizontal. Portanto, a tangente do ângulo de inclinação da tangente nesses pontos é zero, e a derivada também é zero.

O ponto é o ponto máximo. Nesse ponto, o aumento da função é substituído por uma diminuição. Conseqüentemente, o sinal da derivada muda no ponto de "mais" para "menos".

No ponto - o ponto mínimo - a derivada também é zero, mas seu sinal muda de "menos" para "mais".

Conclusão: usando uma derivada, você pode aprender tudo o que nos interessa sobre o comportamento de uma função.

Se a derivada for positiva, a função está aumentando.

Se a derivada for negativa, a função está diminuindo.

No ponto máximo, a derivada é zero e muda o sinal de "mais" para "menos".

No ponto mínimo, a derivada também é zero e muda o sinal de "menos" para "mais".

Vamos escrever essas conclusões na forma de uma tabela:

	está aumentando	ponto máximo	diminui	ponto mínimo	está aumentando
+	0	-	0	+

Vamos fazer dois pequenos esclarecimentos. Você precisará de um deles para resolver o problema. Outro - no primeiro ano, com um estudo mais sério de funções e derivados.

O caso é possível quando a derivada de uma função em algum ponto é igual a zero, mas a função não tem máximo ou mínimo neste ponto. Este é o assim chamado :

Em um ponto, a tangente ao gráfico é horizontal e a derivada é zero. No entanto, até o ponto a função aumentava - e depois desse ponto ela continua a aumentar. O sinal da derivada não muda - como era positivo, permanece.

Acontece também que a derivada não existe no ponto máximo ou mínimo. No gráfico, isso corresponde a uma curva acentuada, quando uma tangente em um determinado ponto não pode ser desenhada.

E como encontrar a derivada se a função não é dada por um gráfico, mas por uma fórmula? Neste caso, o

O conteúdo do artigo

DERIVADO- função derivada y = f(x) definido em algum intervalo ( uma, b) no ponto x deste intervalo é chamado de limite para o qual tende a razão do incremento da função f neste ponto, para o incremento do argumento correspondente, pois o incremento do argumento tende a zero.

A derivada é geralmente indicada da seguinte forma:

Outras designações também são amplamente utilizadas:

Velocidade instantânea.

Deixe o ponto M move-se em linha reta. Distância s um ponto móvel, medido a partir de alguma de sua posição inicial M 0 depende do tempo t, ou seja, s existe uma função do tempo t: s= f(t). Deixe em algum momento t ponto de movimento M estava à distância s da posição inicial M 0, e em algum próximo momento t+ D t encontrou-se em uma posição M 1 - à distância s+ D s da posição inicial ( ver figo.).

Assim, para o intervalo de tempo D t distância s alterado por D s... Neste caso, diz-se que para o intervalo de tempo D t magnitude s obteve o incremento D s.

A velocidade média não pode, em todos os casos, caracterizar com precisão a velocidade de movimento do ponto. M no momento t... Se, por exemplo, o corpo no início do intervalo D t movido muito rapidamente, e no final muito lentamente, então a velocidade média não será capaz de refletir as características especificadas do movimento do ponto e dar uma ideia da verdadeira velocidade de seu movimento no momento t... Para expressar com mais precisão a velocidade real usando a velocidade média, você precisa tomar um intervalo de tempo D mais curto D t... Caracteriza de forma mais completa a velocidade de movimento de um ponto no momento t o limite para o qual a velocidade média tende em D t® 0. Este limite é chamado de velocidade de movimento no momento:

Assim, a velocidade de movimento em um determinado momento é o limite da razão de incremento do caminho D s ao incremento de tempo D t quando o incremento de tempo tende a zero. Porque

O valor geométrico da derivada. A tangente ao gráfico da função.

A construção de tangentes é um dos problemas que levou ao nascimento do cálculo diferencial. O primeiro trabalho publicado relacionado ao cálculo diferencial e escrito por Leibniz foi intitulado Um novo método de máximos e mínimos, bem como tangentes, para os quais nem as quantidades fracionárias nem irracionais são um obstáculo, e um tipo especial de cálculo para isso.

Seja a curva o gráfico da função y =f(x) em um sistema de coordenadas retangular ( cm... arroz.).

Em algum valor x função importa y =f(x) Esses valores x e y a curva corresponde ao ponto M 0(x, y) Se o argumento x dar incremento D x, então o novo valor do argumento x+ D x corresponde ao novo valor da função y + D y = f(x + D x) O ponto correspondente da curva será o ponto M 1(x+ D x,y+ D y) Se você desenhar uma secante M 0M 1 e denotado por j o ângulo formado pela secante com a direção positiva do eixo Boi, é visto diretamente da figura que.

Se agora D x tende a zero, então o ponto M 1 se move ao longo de uma curva, aproximando-se de um ponto M 0, e o ângulo j muda conforme D muda x... No Dx® 0 o ângulo j tende a algum limite a e a linha reta passando pelo ponto M 0 e o componente com direção positiva do eixo das abscissas, ângulo a, será a tangente desejada. Sua inclinação é:

Portanto, f´( x) = tga

Essa. valor derivado f´( x) para um determinado valor do argumento xé igual à tangente do ângulo formado pela tangente ao gráfico da função f(x) no ponto correspondente M 0(x,y) com uma direção positiva do eixo Boi.

Diferenciabilidade de funções.

Definição. Se a função y = f(x) tem uma derivada no ponto x = x 0, então a função é diferenciável neste ponto.

Continuidade de uma função com uma derivada. Teorema.

Se a função y = f(x) é diferenciável em algum ponto x = x 0, então é contínuo neste ponto.

Assim, nos pontos de descontinuidade, a função não pode ter derivada. A conclusão oposta não é verdadeira, ou seja, do que em algum ponto x = x 0 função y = f(x) é contínuo, não quer dizer que seja diferenciável neste ponto. Por exemplo, a função y = |x| contínuo para todos x(–Ґ x x = 0 não tem derivada. Não há tangente ao gráfico neste ponto. Há uma tangente direita e uma tangente esquerda, mas não coincidem.

Alguns teoremas sobre funções diferenciáveis. Teorema da raiz derivada (teorema de Rolle). Se a função f(x) é contínuo no segmento [uma,b], diferenciável em todos os pontos internos deste segmento e nas extremidades x = uma e x = b desaparece ( f(uma) = f(b) = 0), então dentro do segmento [ uma,b] há pelo menos um ponto x= com, uma c b em que a derivada fў( x) desaparece, ou seja, fў( c) = 0.

O teorema dos incrementos finitos (teorema de Lagrange). Se a função f(x) é contínuo no segmento [ uma, b] e diferenciável em todos os pontos internos deste segmento, então dentro do segmento [ uma, b] há pelo menos um ponto com, uma c b aquilo

f(b) – f(uma) = fў( c)(b– uma).

Um teorema sobre a razão dos incrementos de duas funções (teorema de Cauchy). Se f(x) e g(x) São duas funções contínuas no segmento [uma, b] e diferenciável em todos os pontos internos deste segmento, e gў( x) não desaparece em nenhum lugar dentro deste segmento, então dentro do segmento [ uma, b] existe tal ponto x = com, uma c b aquilo

Derivados de várias ordens.

Deixe a função y =f(x) diferenciável em algum segmento [ uma, b] Valores derivados f ў( x), de um modo geral, dependem de x, ou seja, derivado f ў( x) também é uma função de x... Diferenciar esta função dá a chamada segunda derivada da função f(x), que é denotado f ўў ( x).

Derivado n- a ordem da função f(x) é a derivada (de primeira ordem) da derivada n- 1- th e é denotado pelo símbolo y(n) = (y(n- 1)) ў.

Diferenciais de ordens diferentes.

Função diferencial y = f(x), Onde x- variável independente, existe tingir = f ў( x)dx, alguma função de x, mas de x apenas o primeiro fator pode depender f ў( x), enquanto o segundo fator ( dx) é o incremento da variável independente x e não depende do valor desta variável. Porque tingir existe uma função de x, então o diferencial desta função pode ser determinado. O diferencial do diferencial de uma função é chamado de segundo diferencial ou diferencial de segunda ordem desta função e é denotado d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencial n- da ordem é chamado o primeiro diferencial do diferencial n- 1- ª ordem:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivativo parcial.

Se a função depende não de um, mas de vários argumentos XI(eu varia de 1 a n,eu= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), então no cálculo diferencial é introduzido o conceito de uma derivada parcial, que caracteriza a taxa de variação de uma função de várias variáveis ​​quando apenas um argumento muda, por exemplo, XI... Derivada parcial de 1ª ordem em relação a XIé definido como uma derivada comum, presume-se que todos os argumentos, exceto XI, mantenha os valores constantes. Para derivadas parciais, a notação é introduzida

As derivadas parciais de 1ª ordem determinadas desta forma (como funções dos mesmos argumentos) podem, por sua vez, também ter derivadas parciais, estas são derivadas parciais de segunda ordem, etc. Tomados por argumentos diferentes, esses derivados são chamados de mistos. Derivados mistos contínuos da mesma ordem não dependem da ordem de diferenciação e são iguais entre si.

Anna Chugainova

A operação de encontrar uma derivada é chamada de diferenciação.

Como resultado da resolução dos problemas de encontrar derivadas para as funções mais simples (e não muito simples), definindo a derivada como o limite da razão do incremento para o incremento do argumento, uma tabela de derivadas e regras de diferenciação precisamente definidas apareceu. Os primeiros no campo da descoberta de derivados foram Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite acima mencionado da razão do incremento da função para o incremento do argumento, mas você só precisa usar o tabela de derivados e as regras de diferenciação. O seguinte algoritmo é adequado para encontrar a derivada.

Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal de traço desmonte funções simples e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão vinculadas. Além disso, as derivadas de funções elementares são encontradas na tabela de derivadas, e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente são encontradas nas regras de diferenciação. A tabela derivada e as regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.

Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função

Solução. A partir das regras de diferenciação, descobrimos que a derivada da soma das funções é a soma das derivadas das funções, ou seja,

Na tabela de derivadas descobrimos que a derivada de "x" é igual a um, e a derivada do seno é igual ao cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função

Solução. Diferenciamos como a derivada da soma, em que o segundo termo com um fator constante, pode ser retirado do sinal da derivada:

Se ainda há dúvidas sobre de onde vem, elas, via de regra, ficam mais claras após a familiarização com a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Estamos indo até eles agora.

Tabela derivada de funções simples

1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200 ...) que esteja na expressão da função. Sempre zero. É muito importante lembrar isso, pois é necessário muitas vezes
2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes, "x". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar por muito tempo.
3. Grau derivado. Ao resolver problemas, você precisa transformar raízes não quadradas em um poder.
4. Derivada de uma variável à potência de -1
5. Derivada da raiz quadrada
6. Derivado de seno
7. Derivada do cosseno
8. Derivada da tangente
9. Derivada da cotangente
10. Derivado do arco seno
11. Derivado do arco-cosseno
12. Derivada do arco tangente
13. Derivada do arco cotangente
14. Derivada do logaritmo natural
15. Derivada da função logarítmica
16. Derivada do expoente
17. Derivada da função exponencial

Regras de diferenciação

1. Derivada da soma ou diferença
2. Derivado do trabalho
2a. Derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante
3. Derivada do quociente
4. Derivada de uma função complexa

Regra 1.Funções If

diferenciável em algum ponto, então, no mesmo ponto, as funções

além disso

Essa. a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.

Consequência. Se duas funções diferenciáveis ​​diferem por um termo constante, então suas derivadas são iguais, ou seja,

Regra 2.Funções If

diferenciável em algum ponto, então, no mesmo ponto, seu produto também é diferenciável

além disso

Essa. a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra.

Corolário 1. O fator constante pode ser movido para fora do sinal da derivada:

Corolário 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis ​​é igual à soma dos produtos da derivada de cada um dos fatores por todos os outros.

Por exemplo, para três fatores:

Regra 3.Funções If

diferenciável em algum ponto e , então, neste ponto, é diferenciável e seu quocienteu / v, e

Essa. a derivada do quociente de duas funções é igual à fração, o numerador do qual é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado de o numerador anterior.

Onde o que procurar em outras páginas

Ao encontrar a derivada do produto e o quociente em problemas reais, é sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação ao mesmo tempo, portanto, há mais exemplos sobre essas derivadas no artigo"Derivada de uma obra e de uma função particular".

Comente. Não confunda uma constante (isto é, um número) como soma e como fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Este é um erro típico que ocorre no estágio inicial do estudo de derivados, mas depois de resolver vários exemplos de um ou dois componentes, o estudante médio não comete mais esse erro.

E se, ao diferenciar uma obra ou particular, você tem um termo você"v, no qual você- um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada deste número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (neste caso é analisado no Exemplo 10).

Outro erro comum é a solução mecânica de uma derivada de uma função complexa como uma derivada de uma função simples. É por isso derivada de uma função complexa um artigo separado é dedicado. Mas, primeiro, aprenderemos a encontrar as derivadas de funções simples.

Ao longo do caminho, você não pode prescindir de transformações de expressão. Para fazer isso, você pode precisar abrir os tutoriais em novas janelas Ações com poderes e raízes e Ações de fração .

Se você está procurando soluções para derivadas de frações com potências e raízes, ou seja, quando a função se parece com e, em seguida, siga a lição "Derivada da soma das frações com poderes e raízes".

Se você tem uma tarefa como , então sua lição "Derivados de funções trigonométricas simples".

Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função

Solução. Determinamos as partes da expressão de função: a expressão inteira representa o produto e seus fatores são somas, no segundo dos quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra de diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra:

A seguir, aplicamos a regra para diferenciar a soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. No nosso caso, em cada soma, o segundo termo com sinal de menos. Em cada soma, vemos uma variável independente, cuja derivada é igual a um, e uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, "x" para nós se transforma em um e menos 5 - em zero. Na segunda expressão, "x" é multiplicado por 2, portanto, multiplicamos dois pela mesma unidade da derivada de "x". Obtemos os seguintes valores das derivadas:

Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:

Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função

Solução. Precisamos encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar o quociente: a derivada do quociente de duas funções é igual à fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador pela derivada do numerador e o numerador pela derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do numerador anterior. Nós temos:

Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no Exemplo 2. Não se esqueça que o produto que é o segundo fator no numerador no exemplo atual é obtido com um sinal de menos:

Se você está procurando soluções para problemas em que você precisa encontrar a derivada de uma função, onde existe uma confusão contínua de raízes e poderes, como, por exemplo, então bem-vindo à aula "Derivada da soma das frações com potências e raízes" .

Se você precisa aprender mais sobre as derivadas de senos, cossenos, tangentes e outras funções trigonométricas, ou seja, quando a função parece , então sua lição "Derivados de funções trigonométricas simples" .

Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função, vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, a derivada com a qual nos familiarizamos na tabela de derivadas. De acordo com a regra de diferenciação do produto e o valor da tabela da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Exemplo 6. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função, vemos o quociente, cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. De acordo com a regra de diferenciação do quociente, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor da tabela da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Para eliminar a fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por.