Para encontrar o valor médio no Excel (seja numérico, texto, porcentagem ou outro valor), existem várias funções. E cada um deles tem características e vantagens próprias. Na verdade, nesta tarefa podem ser estabelecidas certas condições.

Por exemplo, os valores médios de uma série de números no Excel são calculados usando funções estatísticas. Você também pode inserir manualmente sua própria fórmula. Vamos considerar várias opções.

Como encontrar a média aritmética dos números?

Para encontrar a média aritmética, você precisa somar todos os números do conjunto e dividir a soma pela quantidade. Por exemplo, as notas de um aluno em ciência da computação: 3, 4, 3, 5, 5. O que está incluído no trimestre: 4. Encontramos a média aritmética usando a fórmula: =(3+4+3+5+5) /5.

Como fazer isso rapidamente usando funções do Excel? Tomemos por exemplo a série números aleatórios na linha:

Ou: crie a célula ativa e simplesmente insira a fórmula manualmente: =MÉDIA(A1:A8).

Agora vamos ver o que mais a função AVERAGE pode fazer.

Vamos encontrar a média aritmética dos dois e três primeiros últimos números. Fórmula: =MÉDIA(A1:B1,F1:H1). Resultado:



Média de condição

A condição para encontrar a média aritmética pode ser um critério numérico ou textual. Usaremos a função: =AVERAGEIF().

Encontre a média números aritméticos, que são maiores ou iguais a 10.

Função: =MÉDIASE(A1:A8,">=10")

O resultado do uso da função AVERAGEIF sob a condição ">=10":

O terceiro argumento – “Intervalo médio” – é omitido. Em primeiro lugar, não é obrigatório. Em segundo lugar, o intervalo analisado pelo programa contém APENAS valores numéricos. As células especificadas no primeiro argumento serão pesquisadas de acordo com a condição especificada no segundo argumento.

Atenção! O critério de pesquisa pode ser especificado na célula. E faça um link para ele na fórmula.

Vamos encontrar o valor médio dos números usando o critério de texto. Por exemplo, a média de vendas do produto “mesas”.

A função ficará assim: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Intervalo – uma coluna com nomes de produtos. O critério de pesquisa é um link para uma célula com a palavra “tabelas” (você pode inserir a palavra “tabelas” em vez do link A7). Intervalo de média – as células das quais os dados serão retirados para calcular o valor médio.

Como resultado do cálculo da função, obtemos o seguinte valor:

Atenção! Para um critério de texto (condição), o intervalo médio deve ser especificado.

Como calcular o preço médio ponderado no Excel?

Como descobrimos o preço médio ponderado?

Fórmula: =SOMAPRODUTO(C2:C12,B2:B12)/SOMA(C2:C12).

Usando a fórmula SUMPRODUCT, descobrimos a receita total após a venda de toda a quantidade de mercadorias. E a função SUM soma a quantidade de mercadorias. Dividindo a receita total da venda de mercadorias por quantidade total unidades de bens, encontramos o preço médio ponderado. Este indicador leva em consideração o “peso” de cada preço. Sua participação na massa total de valores.

Desvio padrão: fórmula no Excel

Distinguir entre média desvio padrão para a população geral e para a amostra. No primeiro caso, esta é a raiz de variação geral. No segundo, a partir da variância amostral.

Para calcular este indicador estatístico, é compilada uma fórmula de dispersão. A raiz é extraída dele. Mas no Excel existe uma função pronta para encontrar o desvio padrão.

O desvio padrão está vinculado à escala dos dados de origem. Isto não é suficiente para uma representação figurativa da variação da faixa analisada. Para obter o nível relativo de dispersão dos dados, o coeficiente de variação é calculado:

desvio padrão / média aritmética

A fórmula no Excel é assim:

STDEV (intervalo de valores) / MÉDIA (intervalo de valores).

O coeficiente de variação é calculado em percentagem. Portanto, definimos o formato percentual na célula.

Cada pessoa em mundo moderno Ao planejar fazer um empréstimo ou estocar vegetais para o inverno, você periodicamente se depara com o conceito de “valor médio”. Vamos descobrir: o que é, quais tipos e classes existem e por que é utilizado em estatística e outras disciplinas.

Valor médio - o que é isso?

Um nome semelhante (SV) é uma característica generalizada de um conjunto de fenômenos homogêneos, determinado por qualquer característica variável quantitativa.

No entanto, pessoas que estão longe de definições tão abstrusas entendem esse conceito como uma quantidade média de alguma coisa. Por exemplo, antes de contrair um empréstimo, um bancário certamente pedirá a um potencial cliente que forneça dados sobre a renda média do ano, ou seja, o valor total que uma pessoa ganha. É calculado somando os rendimentos do ano inteiro e dividindo pelo número de meses. Assim, o banco poderá determinar se seu cliente conseguirá quitar a dívida no prazo.

Por que é usado?

Via de regra, os valores médios são amplamente utilizados para dar uma descrição resumida de certos fenômenos sociais que são personagem de massa. Eles também podem ser usados ​​para cálculos em menor escala, como no caso de um empréstimo no exemplo acima.

No entanto, na maioria das vezes os valores médios ainda são usados ​​para fins globais. Um exemplo de um deles é o cálculo da quantidade de energia elétrica consumida pelos cidadãos durante um mês civil. Com base nos dados obtidos, são posteriormente estabelecidos padrões máximos para categorias da população usufruídas de benefícios do Estado.

Além disso, utilizando valores médios, é desenvolvida a vida útil de garantia de determinados eletrodomésticos, automóveis, edifícios, etc. padrões modernos trabalhar e descansar.

Praticamente qualquer fenômeno vida moderna, que é de natureza massiva, está de uma forma ou de outra necessariamente ligada ao conceito em consideração.

Áreas de aplicação

Este fenômeno é amplamente utilizado em quase todas as ciências exatas, principalmente as de natureza experimental.

Encontrar a média é de grande importância na medicina, engenharia, culinária, economia, política, etc.

Com base nos dados obtidos a partir de tais generalizações, são desenvolvidos medicamentos terapêuticos, programas de treinamento, definir salários e salários mínimos dignos, elaborar cronogramas educacionais, produzir móveis, roupas e calçados, produtos de higiene e muito mais.

Em matemática, esse termo é chamado de “valor médio” e é usado para tomar decisões vários exemplos e tarefas. Os mais simples são adição e subtração com frações ordinárias. Afinal, como você sabe, para resolver tais exemplos é necessário trazer ambas as frações a um denominador comum.

Também na rainha das ciências exatas o termo “valor médio de uma variável aleatória”, de significado semelhante, é frequentemente usado. É mais familiar para a maioria como “expectativa matemática”, mais frequentemente considerada na teoria das probabilidades. É importante notar que um fenômeno semelhante também se aplica à realização de cálculos estatísticos.

Valor médio nas estatísticas

No entanto, o conceito em estudo é mais frequentemente utilizado em estatística. Como se sabe, esta ciência é especializada no cálculo e análise das características quantitativas dos fenômenos sociais de massa. Assim, o valor médio nas estatísticas é utilizado como método especializado para atingir os seus principais objetivos - recolha e análise de informação.

A essência deste método estatístico é substituir os valores individuais únicos da característica em consideração por um determinado valor médio balanceado.

Um exemplo é a famosa piada sobre comida. Então, em uma determinada fábrica, às terças-feiras, no almoço, seus patrões costumam comer caçarola de carne, e os trabalhadores comuns... repolho cozido. Com base nesses dados, podemos concluir que, em média, os funcionários da fábrica comem rolinhos de repolho às terças-feiras.

Embora este exemplo um pouco exagerado, mas ilustra principal desvantagem método de busca pelo valor médio - nivelamento características individuais objetos ou pessoas.

Em valores médios são utilizados não só para analisar as informações coletadas, mas também para planejar e prever ações futuras.

Também é utilizado para avaliar os resultados alcançados (por exemplo, a implementação do plano de cultivo e colheita de trigo para a temporada primavera-verão).

Como calcular corretamente

Embora, dependendo do tipo de VS, existam fórmulas diferentes seu cálculo, na teoria geral da estatística, via de regra, apenas um método de cálculo do valor médio de uma característica é utilizado. Para fazer isso, primeiro você precisa somar os valores de todos os fenômenos e depois dividir a soma resultante pelo seu número.

Ao fazer tais cálculos, vale lembrar que o valor médio tem sempre a mesma dimensão (ou unidades) da unidade individual da população.

Condições para cálculo correto

A fórmula discutida acima é muito simples e universal, por isso é quase impossível cometer um erro com ela. Porém, vale sempre a pena considerar dois aspectos, caso contrário os dados obtidos não refletirão a situação real.

Aulas SV

Tendo encontrado respostas para as questões básicas: “Qual é o valor médio?”, “Onde é utilizado?” e “Como você pode calcular isso?”, vale a pena descobrir quais classes e tipos de VVs existem.

Em primeiro lugar, este fenômeno é dividido em 2 classes. Estas são médias estruturais e de potência.

Tipos de SVs de potência

Cada uma das classes acima, por sua vez, é dividida em tipos. A classe calma tem quatro.

• A média aritmética é o tipo mais comum de VS. É o prazo médio, ao determinar qual o volume total da característica considerada em um conjunto de dados é distribuído igualmente entre todas as unidades desse conjunto.

  Este tipo é dividido em subtipos: SV aritmética simples e ponderada.

• A média harmônica é um indicador inverso da média aritmética simples, calculada a partir dos valores recíprocos da característica em consideração.

  É utilizado nos casos em que os valores individuais do atributo e do produto são conhecidos, mas os dados de frequência não.

• A média geométrica é mais frequentemente utilizada na análise das taxas de crescimento dos fenómenos económicos. Permite manter inalterado o produto dos valores individuais de uma determinada quantidade, e não a soma.

  Também pode ser simples e equilibrado.

• O valor quadrático médio é utilizado no cálculo de indicadores individuais, como coeficiente de variação, caracterização do ritmo de produção do produto, etc.

  Também é usado para calcular os diâmetros médios de tubos, rodas, lados médios de um quadrado e números semelhantes.

  Como todos os outros tipos de médias, a raiz quadrada da média pode ser simples e ponderada.

Tipos de grandezas estruturais

Além dos SVs médios, os tipos estruturais são frequentemente usados ​​em estatísticas. Eles são mais adequados para calcular as características relativas dos valores de uma característica variável e estrutura interna linhas de distribuição.

Existem dois desses tipos.

Em matemática e estatística média aritmética (ou fácil média) de um conjunto de números é a soma de todos os números deste conjunto dividida pelo seu número. A média aritmética é uma representação particularmente universal e mais comum de uma média.

Você vai precisar

• Conhecimento de matemática.

Instruções

1. Seja dado um conjunto de quatro números. Precisa ser descoberto média significado este kit. Para fazer isso, primeiro encontramos a soma de todos esses números. Os números possíveis são 1, 3, 8, 7. Sua soma é S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. O conjunto de números deve ser composto por números do mesmo sinal, caso contrário perde-se o sentido de calcular o valor médio.

2. Média significado conjunto de números é igual à soma dos números S dividida pelo número desses números. Ou seja, acontece que média significadoé igual a: 19/4 = 4,75.

3. Para um conjunto de números também é possível detectar não apenas média aritmética, mas também média geométrico. A média geométrica de vários números reais regulares é um número que pode substituir qualquer um desses números para que seu produto não mude. A média geométrica G é buscada usando a fórmula: a enésima raiz do produto de um conjunto de números, onde N é o número do conjunto. Vejamos o mesmo conjunto de números: 1, 3, 8, 7. Vamos encontrá-los média geométrico. Para fazer isso, vamos calcular o produto: 1*3*8*7 = 168. Agora do número 168 você precisa extrair a quarta raiz: G = (168)^1/4 = 3,61. Por isso média o conjunto geométrico de números é 3,61.

Média A média geométrica é geralmente utilizada com menos frequência do que a média aritmética, no entanto, pode ser útil no cálculo do valor médio de indicadores que mudam ao longo do tempo (o salário de um funcionário individual, a dinâmica dos indicadores de desempenho acadêmico, etc.).

Você vai precisar

• Calculadora de engenharia

Instruções

1. Para encontrar a média geométrica de uma série de números, primeiro você precisa multiplicar todos esses números. Digamos que você receba um conjunto de cinco indicadores: 12, 3, 6, 9 e 4. Vamos multiplicar todos esses números: 12x3x6x9x4=7776.

2. Agora precisamos extrair a raiz do grau do número resultante, igual ao número elementos da série. No nosso caso, do número 7776 será necessário extrair a quinta raiz usando uma calculadora de engenharia. O número obtido após esta operação está em nesse caso número 6 – será a média geométrica para grupo primário números.

3. Se você não tiver uma calculadora de engenharia em mãos, poderá calcular a média geométrica de uma série de números com o apoio da função SRGEOM em Programa Excel ou usando uma das calculadoras on-line projetadas especificamente para calcular médias geométricas.

Prestar atenção!
Se você precisar encontrar a média geométrica de cada um para 2 números, não precisará de uma calculadora de engenharia: extraia a segunda raiz ( raiz quadrada) de qualquer número é permitido usando a calculadora mais comum.

Conselhos úteis
Ao contrário da média aritmética, a média geométrica não é tão fortemente afetada por grandes desvios e flutuações entre valores individuais no conjunto de indicadores em estudo.

Média value é um dos agrupamentos de um conjunto de números. Representa um número que não pode estar fora do intervalo determinado pelo maior e valores mais baixos neste conjunto de números. Média o valor aritmético é um tipo de média particularmente comumente usado.

Instruções

1. Some todos os números do conjunto e divida-os pelo número de termos para obter a média aritmética. Dependendo de certas condições de cálculo, às vezes é mais fácil dividir cada um dos números pelo número de valores do conjunto e somar o total.

2. Use, digamos, a calculadora incluída no sistema operacional Windows se não for possível calcular a média aritmética em sua cabeça. Você pode abri-lo com suporte na caixa de diálogo de inicialização do programa. Para fazer isso, pressione as “teclas de atalho” WIN + R ou clique no botão “Iniciar” e selecione o comando “Executar” no menu principal. Depois disso, digite calc no campo de entrada e pressione Enter no teclado ou clique no botão “OK”. O mesmo pode ser feito através do menu principal - abra-o, vá até a seção “Todos os programas” e aos segmentos “Típicos” e selecione a linha “Calculadora”.

3. Insira todos os números do conjunto passo a passo pressionando a tecla Mais do teclado após todos eles (exceto o último) ou clicando no botão correspondente na interface da calculadora. Você também pode inserir números no teclado ou clicando nos botões correspondentes da interface.

4. Pressione a tecla de barra ou clique neste ícone na interface da calculadora após inserir o último valor do conjunto e digite o número de números na sequência. Depois disso, pressione o sinal de igual e a calculadora calculará e exibirá a média aritmética.

5. Você pode usar o editor de planilhas do Microsoft Excel para a mesma finalidade. Neste caso, inicie o editor e insira todos os valores da sequência de números nas células adjacentes. Se, após inserir o número inteiro, você pressionar Enter ou a tecla de seta para baixo ou para a direita, o próprio editor moverá o foco de entrada para a célula adjacente.

6. Selecione todos os valores inseridos e no canto inferior esquerdo da janela do editor (na barra de status) você verá a média aritmética das células selecionadas.

7. Clique na célula ao lado do último número inserido se quiser apenas ver a média. Expanda a lista suspensa com a imagem da letra grega sigma (Σ) no grupo de comandos Edição na guia Principal. Selecione a linha " Média" e o editor irá inserir a fórmula necessária para calcular a média aritmética na célula selecionada. Pressione a tecla Enter e o valor será calculado.

A média aritmética é uma das medidas de propensão central, muito utilizada em matemática e cálculos estatísticos. É muito fácil encontrar a média aritmética para vários valores, mas cada problema tem suas nuances, que você precisa conhecer para fazer cálculos corretos.

O que é uma média aritmética

A média aritmética define o valor médio para cada matriz inicial de números. Em outras palavras, de um determinado conjunto de números é selecionado um valor universal para todos os elementos, cuja comparação matemática com todos os elementos é aproximadamente igual. A média aritmética é utilizada preferencialmente na elaboração de relatórios financeiros e estatísticos ou no cálculo dos resultados quantitativos de competências semelhantes.

Como encontrar a média aritmética

Encontrar a média aritmética para uma matriz de números deve começar determinando a soma algébrica desses valores. Por exemplo, se a matriz contiver os números 23, 43, 10, 74 e 34, então sua soma algébrica será igual a 184. Ao escrever, a média aritmética é indicada pela letra? (mu) ou x (x com uma linha). A seguir, a soma algébrica deve ser dividida pelo número de números na matriz. No exemplo em consideração havia cinco números, portanto a média aritmética será igual a 184/5 e será 36,8.

Características de trabalhar com números negativos

Se a matriz contiver números negativos, a média aritmética será encontrada usando um algoritmo semelhante. A diferença só existe no cálculo no ambiente de programação ou se o problema contiver dados adicionais. Nestes casos, encontrar a média aritmética dos números com vários sinais se resume a três etapas: 1. Encontrar a média aritmética universal usando o método padrão;2. Encontrar a média aritmética de números negativos.3. Cálculo da média aritmética de números positivos Os resultados de cada ação são escritos separados por vírgulas.

Frações naturais e decimais

Se uma matriz de números for apresentada decimais, a solução é realizada de acordo com o método de cálculo da média aritmética dos inteiros, mas a redução do total é feita de acordo com os requisitos do problema para a precisão do resultado. Ao trabalhar com frações naturais, elas devem ser reduzidas. para um denominador comum, aquele que é multiplicado pelo número de números na matriz. O numerador do resultado será a soma dos numeradores fornecidos dos elementos fracionários iniciais.

A média geométrica dos números depende não apenas do valor absoluto dos próprios números, mas também do seu número. É impossível confundir a média geométrica e a média aritmética dos números, pois são encontradas por meio de metodologias diferentes. Neste caso, a média geométrica é invariavelmente menor ou igual à média aritmética.

Você vai precisar

• Calculadora de engenharia.

Instruções

1. Considere que no caso geral a média geométrica dos números é encontrada multiplicando-se esses números e extraindo deles a raiz da potência que corresponde ao número de números. Por exemplo, se você precisar encontrar a média geométrica de cinco números, precisará extrair a quinta raiz do produto.

2. Para encontrar a média geométrica de 2 números, use a regra básica. Encontre o produto e calcule a raiz quadrada do número dois, que corresponde ao grau da raiz. Digamos que, para encontrar a média geométrica dos números 16 e 4, encontre seu produto 16 4 = 64. Do número resultante, extraia a raiz quadrada?64=8. Este será o valor desejado. Observe que a média aritmética desses 2 números é maior e igual a 10. Se a raiz não for extraída por completo, arredonde o total para a ordem necessária.

3. Para encontrar a média geométrica de mais de 2 números, use também a regra básica. Para fazer isso, encontre o produto de todos os números para os quais você precisa encontrar a média geométrica. Do produto resultante, extraia a raiz da potência igual ao número de números. Digamos que, para encontrar a média geométrica dos números 2, 4 e 64, encontre o seu produto. 2 4 64=512. Como é necessário encontrar o resultado da média geométrica de 3 números, extraia a terceira raiz do produto. É difícil fazer isso verbalmente, então use uma calculadora de engenharia. Para isso possui um botão “x ^ y”. Disque o número 512, pressione o botão “x^y”, depois disque o número 3 e pressione o botão “1/x” para encontrar o valor 1/3, pressione o botão “=”. Obtemos o resultado de elevar 512 à potência de 1/3, que corresponde à terceira raiz. Obtenha 512 ^ 1/3 = 8. Esta é a média geométrica dos números 2,4 e 64.

4. Com o apoio de uma calculadora de engenharia, você pode encontrar a média geométrica usando outro método. Encontre o botão de registro no teclado. Depois disso, pegue o logaritmo de todos os números, encontre sua soma e divida pelo número de números. Pegue o antilogaritmo do número resultante. Esta será a média geométrica dos números. Digamos que, para encontrar a média geométrica dos mesmos números 2, 4 e 64, realize um conjunto de operações na calculadora. Disque o número 2, a seguir pressione o botão log, pressione o botão “+”, disque o número 4 e pressione log e “+” novamente, disque 64, pressione log e “=”. O resultado será um número igual à soma logaritmos decimais números 2, 4 e 64. Divida o número resultante por 3, pois este é o número de números pelos quais se busca a média geométrica. Do total, pegue o antilogaritmo alternando o botão de registro e use a mesma chave de log. O resultado será o número 8, esta é a média geométrica desejada.

Prestar atenção!
O valor médio não pode ser maior que o maior número do conjunto e menor que o menor.

Conselhos úteis
Na estatística matemática, o valor médio de uma quantidade é chamado de expectativa matemática.

Agora vamos falar sobre como calcular média.
Na sua forma clássica, a teoria geral da estatística oferece-nos uma versão das regras para a escolha de um valor médio.
Primeiro, você precisa criar a fórmula lógica correta para calcular o valor médio (AFV). Para cada valor médio existe sempre apenas uma fórmula lógica para calculá-lo, por isso é difícil cometer erros aqui. Mas devemos sempre lembrar que o numerador (é o que está no topo da fração) contém a soma de todos os fenômenos, e o denominador (é o que está na parte inferior da fração) contém o número total de elementos.

Depois que a fórmula lógica for compilada, você poderá usar as regras (para facilitar o entendimento, iremos simplificá-las e encurtá-las):
1. Se os dados iniciais (determinados pela frequência) contiverem o denominador de uma fórmula lógica, o cálculo será realizado usando a fórmula da média aritmética ponderada.
2. Se o numerador de uma fórmula lógica for apresentado nos dados iniciais, o cálculo será realizado usando a fórmula da média harmônica ponderada.
3. Se o problema apresenta tanto o numerador quanto o denominador de uma fórmula lógica (isso raramente acontece), então realizamos o cálculo utilizando esta fórmula ou a fórmula da média aritmética simples.
Esta é a ideia clássica de escolher a fórmula certa para calcular a média. A seguir apresentamos a sequência de ações na resolução de problemas de cálculo do valor médio.

Algoritmo para resolução de problemas de cálculo do valor médio

A. Determine o método de cálculo do valor médio - simples ou ponderado . Se os dados forem apresentados em uma tabela, então usamos um método ponderado, se os dados forem apresentados por uma enumeração simples, então usamos um método de cálculo simples.

B. Determinar ou organizar símbolos – x – opção, f – frequência . A opção é para qual fenômeno você deseja encontrar o valor médio. Os demais dados da tabela serão a frequência.

B. Determinamos a forma de cálculo do valor médio - aritmética ou harmônica . A determinação é realizada usando a coluna de frequência. A forma aritmética é usada se as frequências são especificadas por uma quantidade explícita (condicionalmente, você pode substituir a palavra peças, o número de elementos “peças”). A forma harmônica é usada se as frequências são especificadas não por uma quantidade explícita, mas por um indicador complexo (o produto da quantidade média e da frequência).

O mais difícil é adivinhar onde e quanto é dado, principalmente para um aluno inexperiente no assunto. Nessa situação, você pode usar um dos seguintes métodos. Para algumas tarefas (económicas), é adequada uma declaração desenvolvida ao longo de anos de prática (ponto B.1). Nas restantes situações terá que utilizar o ponto B.2.

B.1 Se a frequência estiver definida em unidades monetárias(em rublos), então a média harmônica é usada para cálculo, esta afirmação é sempre verdadeira se a frequência identificada for especificada em dinheiro, em outras situações esta regra não se aplica.

B.2 Utilize as regras para escolha do valor médio indicadas acima neste artigo. Se a frequência for dada pelo denominador da fórmula lógica de cálculo do valor médio, então calculamos pela forma da média aritmética; se a frequência for dada pelo numerador da fórmula lógica de cálculo do valor médio, então calculamos pela forma; forma média harmônica.

Vejamos exemplos de uso desse algoritmo.

R. Como os dados são apresentados em linha, usamos um método de cálculo simples.

B.V. Só temos dados sobre o valor das pensões, e serão a nossa opção - x. Os dados são apresentados como um número simples (12 pessoas), para cálculo utilizamos a média aritmética simples.

A pensão média de um pensionista é de 9.208,3 rublos.

B. Como precisamos encontrar tamanho médio pagamentos por filho, então as opções ficam na primeira coluna, coloque a designação x ali, a segunda coluna passa automaticamente a ser a frequência f.

B. A frequência (número de filhos) é dada por uma quantidade explícita (você pode substituir a palavra pedaços de crianças, do ponto de vista da língua russa esta é uma frase incorreta, mas, na verdade, é muito conveniente verificação), o que significa que a média aritmética ponderada é usada para o cálculo.

O mesmo problema pode ser resolvido não por um método estereotipado, mas por um método tabular, ou seja, inserindo todos os dados dos cálculos intermediários em uma tabela.

Como resultado, tudo o que precisa ser feito agora é separar os dois totais na ordem correta.

O pagamento médio por criança por mês foi de 1.910 rublos.

A. Como os dados são apresentados na tabela, utilizamos a forma ponderada para cálculo.

B. A frequência (custo de produção) é dada por uma quantidade implícita (a frequência é dada em rublos ponto do algoritmo B1), o que significa que a média harmônica ponderada é usada para o cálculo. Em geral, em essência, o custo de produção é um indicador complexo, que se obtém multiplicando o custo de uma unidade de um produto pela quantidade desses produtos, essa é a essência da média harmônica.

Para que este problema seja resolvido pela fórmula da média aritmética, é necessário que em vez do custo de produção haja uma série de produtos com o custo correspondente.

Observe que a soma do denominador obtido após os cálculos é 410 (120+80+210), este é o número total de produtos produzidos.

O custo médio por unidade de produto foi de 314,4 rublos.

A. Como os dados são apresentados na tabela, utilizamos a forma ponderada para cálculo.

B. Como precisamos encontrar o custo médio por unidade de produto, as opções estão na primeira coluna, colocamos a designação x ali, a segunda coluna passa automaticamente a ser a frequência f.

B. Frequência ( número total faltas) é dado por um número implícito (este é o produto de dois indicadores do número de faltas e do número de alunos com tal número de faltas), o que significa que para o cálculo é utilizada a média harmónica ponderada. Usaremos o ponto do algoritmo B2.

Para que este problema seja resolvido pela fórmula da média aritmética, é necessário que no lugar do número total de faltas haja o número de alunos.

Criamos uma fórmula lógica para cálculo da média de faltas por aluno.

Frequência por condição da tarefa Número total de omissões. Na fórmula lógica, este indicador está no numerador, o que significa que utilizamos a fórmula da média harmônica.

Observe que a soma no denominador, resultante dos cálculos 31 (18+8+5), é o número total de alunos.

A média de faltas por aluno é de 13,8 dias.

Este termo possui outros significados, veja significado médio.

Média aritmética(em matemática e estatística) conjuntos de números - a soma de todos os números dividida pelo seu número. É uma das medidas de tendência central mais comuns.

Foi proposto (juntamente com a média geométrica e a média harmônica) pelos pitagóricos.

Casos especiais da média aritmética são a média (população geral) e a média amostral (amostra).

Introdução

Vamos denotar o conjunto de dados X = (x 1 , x 2 , …, x n), então a média da amostra é geralmente indicada por uma barra horizontal sobre a variável (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), pronunciada " x com uma linha").

A letra grega μ é usada para denotar a média aritmética de toda a população. Para uma variável aleatória para a qual o valor médio é determinado, μ é média probabilística ou a expectativa matemática de uma variável aleatória. Se o conjunto Xé uma coleção de números aleatórios com uma média probabilística μ, então para qualquer amostra x eu deste conjunto μ = E( x eu) é a expectativa matemática desta amostra.

Na prática, a diferença entre μ e x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) é que μ é uma variável típica porque você pode ver uma amostra em vez de toda a população. Portanto, se a amostra for representada aleatoriamente (em termos de teoria da probabilidade), então x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (mas não μ) pode ser tratado como uma variável aleatória com uma distribuição de probabilidade na amostra ( a distribuição de probabilidade da média).

Ambas as quantidades são calculadas da mesma maneira:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\soma _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cpontos +x_(n)).)

Se Xé uma variável aleatória, então a expectativa matemática X pode ser considerada como a média aritmética dos valores em medições repetidas de uma quantidade X. Esta é uma manifestação da lei grandes números. Portanto, a média amostral é usada para estimar o valor esperado desconhecido.

Foi provado em álgebra elementar que a média n+ 1 número acima da média n números se e somente se o novo número for maior que a média antiga, menor se e somente se o novo número for menor que a média, e não muda se e somente se o novo número for igual à média. Quanto mais n, menor será a diferença entre as médias nova e antiga.

Observe que existem várias outras “médias”, incluindo a média de potência, a média de Kolmogorov, a média harmônica, a média aritmético-geométrica e várias médias ponderadas (por exemplo, média aritmética ponderada, média geométrica ponderada, média harmônica ponderada).

Exemplos

• Para três números, você precisa somá-los e dividir por 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Para quatro números, você precisa somá-los e dividir por 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ou mais simples 5+5=10, 10:2. Como estávamos somando 2 números, o que significa quantos números somamos, dividimos por esse número.

Variável aleatória contínua

Para uma quantidade continuamente distribuída f (x) (\displaystyle f(x)), a média aritmética no intervalo [ a ; b ] (\displaystyle ) é determinado através de uma integral definida:

F (x) ¯ [ uma ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Alguns problemas de uso da média

Falta de robustez

Artigo principal: Robustez nas estatísticas

Embora as médias aritméticas sejam frequentemente utilizadas como médias ou tendências centrais, este conceito não é uma estatística robusta, o que significa que a média aritmética é fortemente influenciada por "grandes desvios". Vale ressaltar que para distribuições com grande coeficiente de assimetria, a média aritmética pode não corresponder ao conceito de “média”, e os valores da média de estatísticas robustas (por exemplo, a mediana) podem descrever melhor a central tendência.

Um exemplo clássico é o cálculo da renda média. A média aritmética pode ser mal interpretada como uma mediana, o que pode levar à conclusão de que há mais pessoas com rendimentos mais elevados do que realmente existem. O rendimento “médio” é interpretado como significando que a maioria das pessoas tem rendimentos em torno deste número. Este rendimento “médio” (no sentido da média aritmética) é superior ao rendimento da maioria das pessoas, uma vez que um rendimento elevado com um grande desvio da média torna a média aritmética altamente distorcida (em contraste, o rendimento médio na mediana “resiste” a tal distorção). Contudo, este rendimento “médio” nada diz sobre o número de pessoas próximas do rendimento mediano (e nada diz sobre o número de pessoas próximas do rendimento modal). No entanto, se considerarmos levianamente os conceitos de “média” e “maioria das pessoas”, podemos tirar a conclusão errada de que a maioria das pessoas tem rendimentos mais elevados do que realmente têm. Por exemplo, um relatório sobre o rendimento líquido “médio” em Medina, Washington, calculado como a média aritmética de todos os rendimentos anuais Resultado líquido moradores vão dar uma surpresa grande número por causa de Bill Gates. Considere a amostra (1, 2, 2, 2, 3, 9). A média aritmética é 3,17, mas cinco dos seis valores estão abaixo dessa média.

Juros compostos

Artigo principal: Retorno do investimento

Se os números multiplicar, não dobrar, você precisa usar a média geométrica, não a média aritmética. Na maioria das vezes, esse incidente ocorre no cálculo do retorno do investimento financeiro.

Por exemplo, se uma ação caiu 10% no primeiro ano e subiu 30% no segundo, então é incorreto calcular o aumento “médio” nesses dois anos como a média aritmética (-10% + 30%) / 2 = 10%; a média correta neste caso é dada pela taxa composta de crescimento anual, que dá uma taxa de crescimento anual de apenas cerca de 8,16653826392% ≈ 8,2%.

A razão para isso é que as porcentagens têm um novo ponto de partida a cada vez: 30% é 30% de um número inferior ao preço no início do primeiro ano: se uma ação começou em US$ 30 e caiu 10%, ela valerá US$ 27 no início do segundo ano. Se a ação subisse 30%, valeria US$ 35,1 no final do segundo ano. A média aritmética deste crescimento é de 10%, mas como as ações subiram apenas 5,1 dólares em 2 anos, altura média a 8,2% dá o resultado final $ 35,1:

[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $ 30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $ 35,1]. Se usarmos a média aritmética de 10% da mesma forma, não obteremos o valor real: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Juros compostos ao final de 2 anos: 90% * 130% = 117%, ou seja, o aumento total é de 17%, e a média anual de juros compostos é de 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\approx 108,2\%) , ou seja, um aumento médio anual de 8,2%.

Instruções

Artigo principal: Estatísticas de destino

Ao calcular a média aritmética de alguma variável que muda ciclicamente (como fase ou ângulo), deve-se tomar cuidado especial. Por exemplo, a média de 1° e 359° seria 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Este número está incorreto por dois motivos.

• Primeiro, as medidas angulares são definidas apenas para a faixa de 0° a 360° (ou de 0 a 2π quando medidas em radianos). Portanto, o mesmo par de números poderia ser escrito como (1° e −1°) ou como (1° e 719°). Os valores médios de cada par serão diferentes: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )) .
• Em segundo lugar, neste caso, um valor de 0° (equivalente a 360°) será um valor médio geometricamente melhor, uma vez que os números se desviam menos de 0° do que de qualquer outro valor (o valor 0° tem a menor variância). Comparar:
  • o número 1° desvia-se de 0° em apenas 1°;
  • o número 1° desvia da média calculada de 180° em 179°.

O valor médio de uma variável cíclica calculada usando a fórmula acima será deslocado artificialmente em relação à média real no meio do intervalo numérico. Por isso, a média é calculada de forma diferente, ou seja, o número com menor variância (o ponto central) é selecionado como valor médio. Além disso, em vez de subtração, é usada a distância modular (ou seja, a distância circunferencial). Por exemplo, a distância modular entre 1° e 359° é 2°, e não 358° (em um círculo entre 359° e 360°==0° - um grau, entre 0° e 1° - também 1°, no total -2°).

4.3. Valores médios. A essência e o significado dos valores médios

Tamanho médio nas estatísticas é um indicador geral que caracteriza o nível típico de um fenômeno em condições específicas de lugar e tempo, refletindo o valor de uma característica variável por unidade de uma população qualitativamente homogênea. Na prática económica, é utilizada uma vasta gama de indicadores, calculados como valores médios.

Por exemplo, um indicador geral do rendimento dos trabalhadores sociedade anônima(JSC) é o rendimento médio de um trabalhador, determinado pela relação entre o fundo salarial e as prestações sociais do período em análise (ano, trimestre, mês) e o número de trabalhadores do JSC.

Calcular a média é uma das técnicas comuns de generalização; o indicador médio reflete o que é comum (típico) para todas as unidades da população em estudo, ao mesmo tempo que ignora as diferenças das unidades individuais. Em cada fenómeno e no seu desenvolvimento existe uma combinação acidentes E necessário. No cálculo das médias, devido à ação da lei dos grandes números, a aleatoriedade se anula e se equilibra, sendo assim possível abstrair das características sem importância do fenômeno, dos valores quantitativos da característica em cada caso específico . A capacidade de abstrair da aleatoriedade dos valores individuais e das flutuações reside valor científico média como generalizando características das populações.

Onde surge a necessidade de generalização, o cálculo de tais características leva à substituição de muitos valores individuais diferentes do atributo média um indicador que caracteriza todo o conjunto de fenômenos, que permite identificar padrões inerentes aos fenômenos sociais de massa que são invisíveis nos fenômenos individuais.

A média reflete o nível característico, típico e real dos fenômenos em estudo, caracteriza esses níveis e suas mudanças no tempo e no espaço.

A média é uma característica resumida das leis do processo nas condições em que ocorre.

4.4. Tipos de médias e métodos para calculá-las

A escolha do tipo de média é determinada pelo conteúdo econômico de um determinado indicador e pelos dados iniciais. Em cada caso específico, é utilizado um dos valores médios: aritmética, garmônico, geométrico, quadrático, cúbico etc. As médias listadas pertencem à classe calmo média.

Além das médias de potência, na prática estatística são utilizadas médias estruturais, que são consideradas moda e mediana.

Detenhamo-nos mais detalhadamente nas médias de potência.

Média aritmética

O tipo mais comum de média é média aritmética.É utilizado nos casos em que o volume de uma característica variável para toda a população é a soma dos valores característicos de suas unidades individuais. Os fenómenos sociais são caracterizados pela aditividade (totalidade) dos volumes de uma característica variável, o que determina o âmbito de aplicação da média aritmética e explica a sua prevalência como indicador geral, por exemplo: o fundo salarial total é a soma dos salários; de todos os trabalhadores, a colheita bruta é a soma dos produtos produzidos em toda a época de sementeira.

Para calcular a média aritmética, você precisa dividir a soma de todos os valores dos recursos pelo seu número.

A média aritmética é usada na forma média simples e média ponderada. A forma inicial e definidora é a média simples.

Média aritmética simples igual à soma simples dos valores individuais da característica que está sendo calculada a média, dividida pelo número total desses valores (é utilizado nos casos em que existem valores individuais desagrupados da característica):

Onde
- valores individuais da variável (variantes); eu - o número de unidades da população.

Além disso, os limites de soma não serão indicados nas fórmulas. Por exemplo, você precisa encontrar a produção média de um trabalhador (mecânico) se souber quantas peças cada um dos 15 trabalhadores produziu, ou seja, são fornecidos vários valores individuais da característica, unid.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

A média aritmética simples é calculada usando a fórmula (4.1), 1 pc.:

A média das opções que se repetem número diferente vezes, ou como dizem, têm pesos diferentes, é chamado ponderado. Os pesos são o número de unidades em grupos diferentes agregados (opções idênticas são combinadas em um grupo).

Média aritmética ponderada- média dos valores agrupados, - é calculada pela fórmula:

, (4.2)

Onde
- peso (frequência de repetição de sinais idênticos);

- a soma dos produtos da magnitude dos recursos e suas frequências;

- o número total de unidades populacionais.

Ilustramos a técnica de cálculo da média aritmética ponderada usando o exemplo discutido acima. Para fazer isso, agruparemos os dados de origem e os colocaremos em uma tabela. 4.1.

Tabela 4.1

Distribuição de trabalhadores para produção de peças

De acordo com a fórmula (4.2), a média aritmética ponderada é igual a, unid.:

Em alguns casos, os pesos podem ser apresentados não como valores absolutos, mas como valores relativos (em percentagens ou frações de uma unidade). Então a fórmula para a média aritmética ponderada ficará assim:

Onde
- particularidade, ou seja, a participação de cada frequência na soma total de todos

Se as frequências forem contadas em frações (coeficientes), então
= 1, e a fórmula para a média aritmeticamente ponderada tem a forma:

Cálculo da média aritmética ponderada a partir das médias dos grupos realizado de acordo com a fórmula:

,

Onde f-número de unidades em cada grupo.

Os resultados do cálculo da média aritmética das médias dos grupos são apresentados na tabela. 4.2.

Tabela 4.2

Distribuição dos trabalhadores por tempo médio de serviço

Neste exemplo, as opções não são dados individuais sobre o tempo de serviço de trabalhadores individuais, mas sim a média de cada oficina. Libra f são o número de trabalhadores nas lojas. Assim, a experiência média de trabalho dos trabalhadores em toda a empresa será de anos:

.

Cálculo da média aritmética em séries de distribuição

Se os valores da característica que está sendo calculada a média forem especificados na forma de intervalos (“de - até”), ou seja, série de distribuição de intervalo, então ao calcular a média valor aritmético Os pontos médios desses intervalos são tomados como valores das características dos grupos, resultando em uma série discreta. Considere o seguinte exemplo (Tabela 4.3).

Vamos passar de uma série intervalar para uma série discreta, substituindo os valores dos intervalos por seus valores médios/(média simples

Tabela 4.3

Distribuição dos trabalhadores do JSC por nível salarial mensal

Grupos de trabalhadores	Número de trabalhadores	No meio do intervalo
salários, esfregue.	pessoas, f	esfregar., X
900 ou mais

os valores dos intervalos abertos (primeiro e último) são condicionalmente equiparados aos intervalos adjacentes a eles (segundo e penúltimo).

Com este cálculo da média, alguma imprecisão é permitida, uma vez que se supõe a distribuição uniforme das unidades da característica dentro do grupo. No entanto, quanto mais estreito for o intervalo e quanto mais unidades houver, menor será o erro.

Depois de encontrados os pontos médios dos intervalos, os cálculos são feitos da mesma forma que em uma série discreta - as opções são multiplicadas pelas frequências (pesos) e a soma dos produtos é dividida pela soma das frequências (pesos) , mil rublos:

.

Portanto, o nível salarial médio dos trabalhadores do JSC é de 729 rublos. por mês.

Calcular a média aritmética geralmente envolve muito tempo e trabalho. Porém, em alguns casos, o procedimento de cálculo da média pode ser simplificado e facilitado se utilizar suas propriedades. Apresentamos (sem prova) algumas propriedades básicas da média aritmética.

Propriedade 1. Se todos os valores individuais de uma característica (ou seja, todas as opções) reduzir ou aumentar euvezes, então o valor médio nova característica diminuirá ou aumentará correspondentemente em euuma vez.

Propriedade 2. Se todas as variantes da característica que está sendo calculada a média forem reduzidascosturar ou aumentar pelo número A, então a média aritmética correspondena verdade diminuirá ou aumentará no mesmo número A.

Propriedade 3. Se os pesos de todas as opções médias forem reduzidos ou aumento em Para vezes, então a média aritmética não mudará.

Como pesos médios, em vez de indicadores absolutos, você pode usar gravidade específica no total global (quotas ou percentagens). Isso simplifica os cálculos da média.

Para simplificar os cálculos da média, seguem o caminho da redução dos valores das opções e frequências. A maior simplificação é alcançada quando, como UM o valor de uma das opções centrais, que possui maior frequência, é selecionado como / - o valor do intervalo (para séries com intervalos iguais). A quantidade A é chamada de ponto de referência, portanto este método de cálculo da média é chamado de “método de contagem a partir do zero condicional” ou "no caminho dos momentos."

Vamos supor que todas as opções X primeiro diminuiu no mesmo número A e depois diminuiu em eu uma vez. Obtemos uma nova série variacional de distribuição de novas opções .

Então novas opções será expresso:

,

e sua nova média aritmética , -momento de primeira ordem-fórmula:

.

É igual à média das opções originais, primeiro reduzida em UM, e então em eu uma vez.

Para obter a média real é necessário um momento de primeira ordem eu 1 , multiplique por eu e adicione UM:

.

Este método calcular a média aritmética de uma série de variação é chamado "no caminho dos momentos." Este método é usado em linhas em intervalos iguais.

O cálculo da média aritmética pelo método dos momentos é ilustrado pelos dados da Tabela. 4.4.

Tabela 4.4

Distribuição das pequenas empresas da região por valor dos ativos fixos de produção (FPF) em 2000.

Grupos de empresas por valor FPO, mil rublos.	Número de empresas f	Pontos médios de intervalos x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Encontrando o momento de primeira ordem

.

Então, tomando A = 19 e sabendo que eu= 2, calcule X, mil rublos:

Tipos de valores médios e métodos de cálculo

Na fase de processamento estatístico, podem ser definidos diversos problemas de pesquisa, para cuja solução é necessário selecionar a média adequada. Neste caso, é necessário orientar-se a seguinte regra: As quantidades que representam o numerador e o denominador da média devem estar logicamente relacionadas entre si.

• médias de potência;
• médias estruturais.

Vamos apresentar as seguintes convenções:

As quantidades para as quais a média é calculada;

Média, onde a barra acima indica que ocorre a média dos valores individuais;

Frequência (repetibilidade dos valores característicos individuais).

Várias médias são derivadas de fórmula geral média de potência:

(5.1)

quando k = 1 - média aritmética; k = -1 - média harmônica; k = 0 - média geométrica; k = -2 - raiz quadrada média.

Os valores médios podem ser simples ou ponderados. Médias ponderadas São valores que levam em consideração que algumas variantes de valores de atributos podem ter números diferentes e, portanto, cada opção deve ser multiplicada por este número. Em outras palavras, as “escalas” são os números de unidades agregadas em diferentes grupos, ou seja, Cada opção é “ponderada” pela sua frequência. A frequência f é chamada peso estatístico ou peso médio.

Média aritmética- o tipo de média mais comum. É utilizado quando o cálculo é realizado sobre dados estatísticos desagrupados, onde é necessário obter o prazo médio. A média aritmética é o valor médio de uma característica, após a qual o volume total da característica no agregado permanece inalterado.

Fórmula da média aritmética ( simples) tem a forma

onde n é o tamanho da população.

Por exemplo, o salário médio dos empregados de uma empresa é calculado como a média aritmética:

Os indicadores determinantes aqui são o salário de cada funcionário e o número de funcionários da empresa. No cálculo da média, o valor total dos salários permaneceu o mesmo, mas distribuído igualmente entre todos os empregados. Por exemplo, você precisa calcular a média remunerações funcionários de uma pequena empresa que emprega 8 pessoas:

Ao calcular valores médios, os valores individuais da característica calculada podem ser repetidos, de modo que o valor médio é calculado usando dados agrupados. Neste caso estamos falando de usar média aritmética ponderada, que tem a forma

(5.3)

Portanto, precisamos calcular o preço médio das ações de uma sociedade por ações nas negociações em bolsa de valores. Sabe-se que as transações foram realizadas no prazo de 5 dias (5 transações), a quantidade de ações vendidas à taxa de venda foi distribuída da seguinte forma:

1 - 800 ak. - 1010 rublos.

2 - 650 mil. - 990 rublos.

3 - 700 ak. - 1015 rublos.

4 - 550 ak. - 900 rublos.

5 - 850 ak. - 1150 rublos.

O índice inicial para determinação do preço médio das ações é a relação entre o valor total das transações (TVA) e a quantidade de ações vendidas (KPA).