Alguns problemas de matemática exigem a capacidade de calcular o valor da raiz quadrada. Tais problemas incluem a resolução de equações de segunda ordem. Neste artigo apresentaremos método eficaz cálculos raízes quadradas e use-o ao trabalhar com fórmulas para as raízes de uma equação quadrática.

O que é uma raiz quadrada?

Em matemática, este conceito corresponde ao símbolo √. Dados históricos dizem que foi usado pela primeira vez por volta da primeira metade do século XVI na Alemanha (o primeiro trabalho alemão sobre álgebra de Christoph Rudolf). Os cientistas acreditam que o símbolo especificado é uma transformação Letra latina r (radix significa "raiz" em latim).

A raiz de qualquer número é igual ao valor cujo quadrado corresponde à expressão radical. Na linguagem da matemática, esta definição ficará assim: √x = y, se y 2 = x.

A raiz de um número positivo (x > 0) também é um número positivo (y > 0), mas se você tirar a raiz de um número negativo (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Aqui estão dois exemplos simples:

√9 = 3, pois 3 2 = 9; √(-9) = 3i, já que i 2 = -1.

Fórmula iterativa de Heron para encontrar os valores das raízes quadradas

Os exemplos acima são muito simples e calcular as raízes deles não é difícil. Começam a aparecer dificuldades ao encontrar valores de raiz para qualquer valor que não pode ser representado como um quadrado número natural, por exemplo √10, √11, √12, √13, sem falar que na prática é necessário encontrar raízes para números não inteiros: por exemplo √(12,15), √(8,5) e assim por diante.

Em todos os casos acima, deve ser utilizado um método especial para calcular a raiz quadrada. Atualmente, vários desses métodos são conhecidos: por exemplo, expansão em série de Taylor, divisão em colunas e alguns outros. De todos os métodos conhecidos, talvez o mais simples e eficaz seja o uso da fórmula iterativa de Heron, também conhecida como método babilônico para determinar raízes quadradas (há evidências de que os antigos babilônios o usavam em seus cálculos práticos).

Seja necessário determinar o valor de √x. Fórmula de descoberta raiz quadrada tem o seguinte formato:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), onde lim n->∞ (a n) => x.

Vamos decifrar essa notação matemática. Para calcular √x, você deve pegar um certo número a 0 (pode ser arbitrário, mas para obter o resultado rapidamente, você deve escolhê-lo de forma que (a 0) 2 seja o mais próximo possível de x. Em seguida, substitua-o no fórmula indicada para calcular a raiz quadrada e obter um novo número a 1, que já estará mais próximo do valor desejado. Depois disso, é necessário substituir 1 na expressão e obter 2. Este procedimento deve ser repetido até. a precisão necessária é obtida.

Um exemplo de uso da fórmula iterativa de Heron

O algoritmo descrito acima para obter a raiz quadrada de um determinado número pode parecer bastante complicado e confuso para muitos, mas na realidade tudo acaba sendo muito mais simples, pois esta fórmula converge muito rapidamente (especialmente se um número bem sucedido for escolhido 0) .

Vamos dar um exemplo simples: você precisa calcular √11. Vamos escolher 0 = 3, já que 3 2 = 9, que está mais próximo de 11 do que 4 2 = 16. Substituindo na fórmula, obtemos:

a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Não adianta continuar os cálculos, pois descobrimos que 2 e 3 começam a diferir apenas na 5ª casa decimal. Assim, bastou aplicar a fórmula apenas 2 vezes para calcular √11 com precisão de 0,0001.

Hoje em dia, calculadoras e computadores são amplamente utilizados para calcular raízes, porém, é útil lembrar a fórmula marcada para poder calcular manualmente seu valor exato.

Equações de segunda ordem

Compreender o que é uma raiz quadrada e a capacidade de calculá-la é usado na resolução de equações quadráticas. Essas equações são chamadas de igualdades com uma incógnita, cuja forma geral é mostrada na figura abaixo.

Aqui c, b e a representam alguns números, e a não deve ser igual a zero, e os valores de c e b podem ser completamente arbitrários, inclusive iguais a zero.

Quaisquer valores de x que satisfaçam a igualdade indicada na figura são chamados de raízes (este conceito não deve ser confundido com a raiz quadrada √). Como a equação em consideração é de 2ª ordem (x 2), então não pode haver mais do que duas raízes para ela. Vejamos mais adiante no artigo como encontrar essas raízes.

Encontrando as raízes de uma equação quadrática (fórmula)

Este método de resolver o tipo de igualdade em consideração também é chamado de método universal ou método discriminante. Pode ser usado para qualquer equação quadrática. A fórmula para o discriminante e as raízes da equação quadrática é a seguinte:

Mostra que as raízes dependem do valor de cada um dos três coeficientes da equação. Além disso, o cálculo de x 1 difere do cálculo de x 2 apenas pelo sinal antes da raiz quadrada. A expressão radical, que é igual a b 2 - 4ac, nada mais é do que o discriminante da igualdade em questão. O discriminante na fórmula das raízes de uma equação quadrática desempenha um papel importante porque determina o número e o tipo de soluções. Então, se for igual a zero, então haverá apenas uma solução, se for positiva, então a equação terá duas raízes reais, e por fim, discriminante negativo leva a dois raízes complexas x 1 e x 2 .

Teorema de Vieta ou algumas propriedades das raízes das equações de segunda ordem

No final do século XVI, um dos fundadores da álgebra moderna, um francês, estudando equações de segunda ordem, conseguiu obter as propriedades de suas raízes. Matematicamente eles podem ser escritos assim:

x 1 + x 2 = -b / a e x 1 * x 2 = c / a.

Ambas as igualdades podem ser facilmente obtidas por qualquer pessoa; para isso, basta realizar as operações matemáticas adequadas com as raízes obtidas através da fórmula com o discriminante.

A combinação dessas duas expressões pode ser justamente chamada de segunda fórmula para as raízes de uma equação quadrática, o que permite adivinhar suas soluções sem o uso de discriminante. Deve-se notar aqui que embora ambas as expressões sejam sempre válidas, é conveniente utilizá-las para resolver uma equação somente se ela puder ser fatorada.

A tarefa de consolidar o conhecimento adquirido

Vamos resolver um problema matemático no qual demonstraremos todas as técnicas discutidas no artigo. As condições do problema são as seguintes: você precisa encontrar dois números cujo produto seja -13 e a soma seja 4.

Esta condição nos lembra imediatamente o teorema de Vieta, usando as fórmulas para a soma das raízes quadradas e seu produto, escrevemos:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Se assumirmos que a = 1, então b = -4 e c = -13. Esses coeficientes nos permitem criar uma equação de segunda ordem:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Vamos usar a fórmula com o discriminante e obter as seguintes raízes:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ou seja, o problema se reduziu a encontrar o número √68. Observe que 68 = 4 * 17, então, usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos: √68 = 2√17.

Agora vamos usar a fórmula considerada da raiz quadrada: a 0 = 4, então:

a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Não há necessidade de calcular 3, pois os valores encontrados diferem em apenas 0,02. Assim, √68 = 8,246. Substituindo-o na fórmula de x 1,2, obtemos:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 e x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Como podemos ver, a soma dos números encontrados é realmente igual a 4, mas se encontrarmos o seu produto, será igual a -12,999, o que satisfaz as condições do problema com uma precisão de 0,001.

", isto é, equações de primeiro grau. Nesta lição veremos o que é chamado de equação quadrática e como resolver isso.

O que é uma equação quadrática?

Importante!

O grau de uma equação é determinado pelo grau mais alto em que a incógnita se encontra.

Se a potência máxima na qual a incógnita for “2”, então você tem uma equação quadrática.

Exemplos de equações quadráticas

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Importante! A forma geral de uma equação quadrática é assim:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” e “c” recebem números.

• “a” é o primeiro ou maior coeficiente;
• “b” é o segundo coeficiente;
• “c” é um termo livre.

Para encontrar “a”, “b” e “c” você precisa comparar sua equação com a forma geral da equação quadrática “ax 2 + bx + c = 0”.

Vamos praticar a determinação dos coeficientes "a", "b" e "c" em equações quadráticas.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Equação	Chances
uma = 5 b = −14 c = 17
uma = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• uma = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• uma = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• uma = 1
• b = 0
• c = −8

Como resolver equações quadráticas

Diferente equações lineares para resolver equações quadráticas, um especial fórmula para encontrar raízes.

Lembrar!

Para resolver uma equação quadrática você precisa:

• traga a equação quadrática para a forma geral “ax 2 + bx + c = 0”.
• Ou seja, apenas “0” deverá permanecer do lado direito;

use a fórmula para raízes:

Vejamos um exemplo de como usar a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Vamos resolver uma equação quadrática.

X 2 − 3x − 4 = 0 A equação “x 2 − 3x − 4 = 0” já foi reduzida à forma geral “ax 2 + bx + c = 0” e não requer simplificações adicionais. Para resolvê-lo, basta aplicar.

fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática

Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.
Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.
Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.
Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.

x1;2 =

Pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.
“b 2 - 4ac” para a letra “D” e é chamado de discriminante. O conceito de discriminante é discutido com mais detalhes na lição “O que é um discriminante”.

Vejamos outro exemplo de equação quadrática.

x 2 + 9 + x = 7x

Desta forma, é bastante difícil determinar os coeficientes “a”, “b” e “c”. Vamos primeiro reduzir a equação à forma geral “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Agora você pode usar a fórmula das raízes.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Resposta: x = 3

Há momentos em que as equações quadráticas não têm raízes. Esta situação ocorre quando a fórmula contém um número negativo na raiz.

Espero que depois de estudar este artigo você aprenda como encontrar as raízes de uma equação quadrática completa.

Usando o discriminante, apenas equações quadráticas completas são resolvidas; para resolver equações quadráticas incompletas, são utilizados outros métodos, que você encontrará no artigo “Resolvendo equações quadráticas incompletas”.

Quais equações quadráticas são chamadas de completas? Esse equações da forma machado 2 + b x + c = 0, onde os coeficientes a, b e c não são iguais a zero. Então, para resolver uma equação quadrática completa, precisamos calcular o discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependendo do valor do discriminante, anotaremos a resposta.

Se o discriminante for um número negativo (D< 0),то корней нет.

Se o discriminante for zero, então x = (-b)/2a. Quando o discriminante número positivo(D > 0),

então x 1 = (-b - √D)/2a, e x 2 = (-b + √D)/2a.

Por exemplo. Resolva a equação x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Resposta: 2.

Resolva a Equação 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Resposta: sem raízes.

Resolva a Equação 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Resposta: – 3,5; 1.

Então vamos imaginar a solução de equações quadráticas completas usando o diagrama da Figura 1.

Usando essas fórmulas você pode resolver qualquer equação quadrática completa. Você só precisa ter cuidado para a equação foi escrita como um polinômio da forma padrão

UM x 2 + bx + c, caso contrário, você pode cometer um erro. Por exemplo, ao escrever a equação x + 3 + 2x 2 = 0, você pode decidir erroneamente que

a = 1, b = 3 e c = 2. Então

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 e então a equação tem duas raízes. E isso não é verdade. (Veja a solução para o exemplo 2 acima).

Portanto, se a equação não for escrita como um polinômio da forma padrão, primeiro a equação quadrática completa deve ser escrita como um polinômio da forma padrão (o monômio com o maior expoente deve vir primeiro, ou seja UM x 2 , então com menos – bx e então um membro gratuito Com.

Ao resolver a equação quadrática reduzida e uma equação quadrática com coeficiente par no segundo termo, outras fórmulas podem ser usadas. Vamos nos familiarizar com essas fórmulas. Se em uma equação quadrática completa o segundo termo tiver um coeficiente par (b = 2k), então você pode resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 2.

Uma equação quadrática completa é chamada reduzida se o coeficiente em x 2 é igual a um e a equação assume a forma x 2 + px + q = 0. Tal equação pode ser dada para solução ou pode ser obtida dividindo todos os coeficientes da equação pelo coeficiente UM, parado em x 2 .

A Figura 3 mostra um diagrama para resolver o quadrado reduzido
equações. Vejamos um exemplo de aplicação das fórmulas discutidas neste artigo.

Exemplo. Resolva a equação

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vamos resolver esta equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3

Você pode notar que o coeficiente de x nesta equação é um número par, ou seja, b = 6 ou b = 2k, de onde k = 3. Então vamos tentar resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da figura D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3. Observando que todos os coeficientes desta equação quadrática são divisíveis por 3 e realizando a divisão, obtemos a equação quadrática reduzida x 2 + 2x – 2 = 0 Resolva esta equação usando as fórmulas para a equação quadrática reduzida
equações figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3.

Como você pode ver, ao resolver esta equação usando fórmulas diferentes, obtivemos a mesma resposta. Portanto, tendo dominado completamente as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1, você sempre será capaz de resolver qualquer equação quadrática completa.

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Equação quadrática – fácil de resolver! *Doravante denominado “KU”. Amigos, parece que não poderia haver nada mais simples em matemática do que resolver tal equação. Mas algo me disse que muitas pessoas têm problemas com ele. Decidi ver quantas impressões sob demanda o Yandex distribui por mês. Aqui está o que aconteceu, veja:

O que isso significa? Isto significa que cerca de 70.000 pessoas por mês procuram esta informação, o que este verão tem a ver com isso e o que vai acontecer entre ano letivo— haverá o dobro de solicitações. O que não surpreende, porque essas crianças que se formaram há muito tempo na escola e se preparam para o Exame Estadual Unificado buscam essas informações, e os alunos também se esforçam para refrescar a memória.

Apesar de existirem muitos sites que ensinam como resolver essa equação, resolvi também contribuir e publicar o material. Em primeiro lugar, quero que os visitantes cheguem ao meu site com base nesta solicitação; em segundo lugar, em outros artigos, quando surgir o tema “KU”, fornecerei um link para este artigo; em terceiro lugar, contarei um pouco mais sobre a solução dele do que normalmente é dito em outros sites. Vamos começar! Conteúdo do artigo:

Uma equação quadrática é uma equação da forma:

onde coeficientes a,be c são números arbitrários, com a≠0.

No curso escolar, o material é ministrado da seguinte forma - as equações são divididas em três classes:

1. Eles têm duas raízes.

2. *Tem apenas uma raiz.

3. Eles não têm raízes. É importante notar aqui que eles não têm raízes reais

Como as raízes são calculadas? Apenas!

Calculamos o discriminante. Por baixo desta palavra “terrível” existe uma fórmula muito simples:

As fórmulas raiz são as seguintes:

*Você precisa saber essas fórmulas de cor.

Você pode anotar e resolver imediatamente:

Exemplo:

1. Se D > 0, então a equação tem duas raízes.

2. Se D = 0, então a equação tem uma raiz.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vejamos a equação:

Nesse sentido, quando o discriminante é igual a zero, o curso escolar diz que se obtém uma raiz, aqui é igual a nove. Está tudo certo, é verdade, mas...

Esta ideia é um tanto incorreta. Na verdade, existem duas raízes. Sim, sim, não se surpreenda, você obtém duas raízes iguais e, para ser matematicamente preciso, a resposta deve escrever duas raízes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mas é assim - uma pequena digressão. Na escola você pode anotar e dizer que existe uma raiz.

Agora o próximo exemplo:

Como sabemos, a raiz de um número negativo não pode ser obtida, então as soluções em nesse caso Não.

Esse é todo o processo de decisão.

Função quadrática.

Isso mostra a aparência geométrica da solução. É extremamente importante entender isso (futuramente, em um dos artigos analisaremos detalhadamente a solução da desigualdade quadrática).

Esta é uma função do formulário:

onde x e y são variáveis

a, b, c – números dados, com a ≠ 0

O gráfico é uma parábola:

Ou seja, verifica-se que resolvendo uma equação quadrática com “y” igual a zero, encontramos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Pode haver dois desses pontos (o discriminante é positivo), um (o discriminante é zero) e nenhum (o discriminante é negativo). Detalhes sobre a função quadrática você pode olhar artigo de Inna Feldman.

Vejamos exemplos:

Exemplo 1: Resolver 2x 2 +8 x–192=0

uma=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Resposta: x 1 = 8 x 2 = –12

*Foi possível dividir imediatamente os lados esquerdo e direito da equação por 2, ou seja, simplificá-la. Os cálculos serão mais fáceis.

Exemplo 2: Decidir x 2–22 x+121 = 0

uma=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Descobrimos que x 1 = 11 e x 2 = 11

É permitido escrever x = 11 na resposta.

Resposta: x = 11

Exemplo 3: Decidir x 2 –8x+72 = 0

uma=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

O discriminante é negativo, não há solução em números reais.

Resposta: nenhuma solução

O discriminante é negativo. Existe uma solução!

Aqui falaremos sobre como resolver a equação no caso em que um discriminante negativo for obtido. Você sabe alguma coisa sobre números complexos? Não entrarei em detalhes aqui sobre por que e onde eles surgiram e qual é o seu papel e necessidade específicos na matemática; este é um tópico para um grande artigo separado.

O conceito de número complexo.

Um pouco de teoria.

Um número complexo z é um número da forma

z = a + bi

onde a e b estão números reais, i é a chamada unidade imaginária.

a+bi – este é um NÚMERO ÚNICO, não uma adição.

A unidade imaginária é igual à raiz de menos um:

Agora considere a equação:

Obtemos duas raízes conjugadas.

Equação quadrática incompleta.

Vamos considerar casos especiais, é quando o coeficiente “b” ou “c” é igual a zero (ou ambos são iguais a zero). Eles podem ser resolvidos facilmente, sem quaisquer problemas discriminatórios.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar:

Exemplo:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar e fatorar:

*O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Exemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 e c = 0.

Aqui está claro que a solução da equação será sempre x = 0.

Propriedades úteis e padrões de coeficientes.

Existem propriedades que permitem resolver equações com coeficientes grandes.

UMx 2 + bx+ c=0 igualdade vale

um + b+ c = 0, Que

- se para os coeficientes da equação UMx 2 + bx+ c=0 igualdade vale

um+ c =b, Que

Essas propriedades ajudam a decidir um certo tipo equações

Exemplo 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

A soma das probabilidades é 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o que significa

Exemplo 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

A igualdade vale um+ c =b, Significa

Regularidades de coeficientes.

1. Se na equação ax 2 + bx + c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplo. Considere a equação 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Se na equação ax 2 – bx + c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplo. Considere a equação 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se na Eq. machado 2 + bx – c = 0 coeficiente “b” é igual a (a 2 – 1) e coeficiente “c” é numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplo. Considere a equação 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Se na equação ax 2 – bx – c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 – 1), e o coeficiente c for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplo. Considere a equação 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema de Vieta.

O teorema de Vieta leva o nome do famoso matemático francês François Vieta. Usando o teorema de Vieta, podemos expressar a soma e o produto das raízes de um KU arbitrário em termos de seus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

No total, o número 14 dá apenas 5 e 9. Estas são as raízes. Com uma certa habilidade, usando o teorema apresentado, você pode resolver muitas equações quadráticas oralmente de uma só vez.

Teorema de Vieta, além disso. é conveniente porque depois de resolver uma equação quadrática da maneira usual (através de um discriminante), as raízes resultantes podem ser verificadas. Recomendo fazer isso sempre.

MÉTODO DE TRANSPORTE

Com esse método, o coeficiente “a” é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado método de "transferência". Este método é usado quando você pode encontrar facilmente as raízes da equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Se UM± b+c≠ 0, então é utilizada a técnica de transferência, por exemplo:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando o teorema de Vieta na equação (2), é fácil determinar que x 1 = 10 x 2 = 1

As raízes resultantes da equação devem ser divididas por 2 (já que as duas foram “jogadas” de x 2), obtemos

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Qual é a justificativa? Veja o que está acontecendo.

Os discriminantes das equações (1) e (2) são iguais:

Se você olhar as raízes das equações, obterá apenas denominadores diferentes, e o resultado depende precisamente do coeficiente de x 2:

O segundo (modificado) tem raízes 2 vezes maiores.

Portanto, dividimos o resultado por 2.

*Se rolarmos novamente os três, dividiremos o resultado por 3, etc.

Resposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Quadrado ur-ie e Exame de Estado Unificado.

Vou falar brevemente sobre sua importância - VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE DECIDIR rapidamente e sem pensar, você precisa saber de cor as fórmulas das raízes e dos discriminantes. Muitos problemas incluídos nas tarefas do Exame de Estado Unificado se resumem à resolução de uma equação quadrática (incluindo as geométricas).

Algo digno de nota!

1. A forma de escrever uma equação pode ser “implícita”. Por exemplo, a seguinte entrada é possível:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Você precisa trazê-lo para visualização padrão(para não se confundir na hora de decidir).

2. Lembre-se que x é uma quantidade desconhecida e pode ser denotada por qualquer outra letra - t, q, p, h e outras.

Com este programa de matemática você pode resolver equação quadrática.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também exibe o processo de solução de duas maneiras:
- usando um discriminante
- usando o teorema de Vieta (se possível).

Além disso, a resposta é exibida como exata, não aproximada.
Por exemplo, para a equação \(81x^2-16x-1=0\) a resposta é exibida no seguinte formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ e não assim: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Este programa pode ser útil para estudantes do ensino médio escolas secundárias em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro contratar um tutor ou comprar novos livros? Ou você apenas quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa

em matemática ou álgebra? Neste caso, você também pode utilizar nossos programas com soluções detalhadas. Desta forma você poderá realizar seu próprio treinamento e/ou treinamento seu. irmãos mais novos

ou irmãs, enquanto aumenta o nível de escolaridade no domínio dos problemas a resolver.

Se você não está familiarizado com as regras para inserir um polinômio quadrático, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrático
Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.

Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Os números podem ser inseridos como números inteiros ou fracionários.

Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma decimal, mas também na forma de fração ordinária.
Regras para inserir frações decimais.
Nas frações decimais, a parte fracionária pode ser separada da parte inteira por um ponto ou vírgula. decimais assim: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração pelo sinal e comercial: &
Entrada: 3 e 1/3 - 5 e 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Ao inserir uma expressão você pode usar parênteses. Neste caso, ao resolver uma equação quadrática, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

Decidir

Foi descoberto que alguns scripts necessários para resolver este problema não foram carregados e o programa pode não funcionar.
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Um pouco de teoria.

Equação quadrática e suas raízes. Equações quadráticas incompletas

Cada uma das equações
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parece
\(ax^2+bx+c=0, \)
onde x é uma variável, a, b e c são números.
Na primeira equação a = -1, b = 6 e c = 1,4, na segunda a = 8, b = -7 e c = 0, na terceira a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tais equações são chamadas equações quadráticas.

Definição.
Equação quadráticaé chamada de equação da forma ax 2 +bx+c=0, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \).

Os números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. O número a é chamado de primeiro coeficiente, o número b é o segundo coeficiente e o número c é o termo livre.

Em cada uma das equações da forma ax 2 +bx+c=0, onde \(a \neq 0 \), a maior potência da variável x é um quadrado. Daí o nome: equação quadrática.

Observe que uma equação quadrática também é chamada de equação de segundo grau, pois seu lado esquerdo é um polinômio de segundo grau.

Uma equação quadrática em que o coeficiente de x 2 é igual a 1 é chamada dada equação quadrática. Por exemplo, as equações quadráticas fornecidas são as equações
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se em uma equação quadrática machado 2 +bx+c=0 pelo menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta. Assim, as equações -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 são equações quadráticas incompletas. No primeiro deles b=0, no segundo c=0, no terceiro b=0 e c=0.

Existem três tipos de equações quadráticas incompletas:
1) machado 2 +c=0, onde \(c \neq 0 \);
2) machado 2 +bx=0, onde \(b \neq 0 \);
3) machado 2 =0.

Vamos considerar a resolução de equações de cada um desses tipos.

Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), mova seu termo livre para o lado direito e divida ambos os lados da equação por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), então \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0\), então a equação tem duas raízes.

Se \(-\frac(c)(a) Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 com \(b \neq 0 \) fatore seu lado esquerdo e obtenha a equação
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Isso significa que uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) sempre tem duas raízes.

Uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 =0 é equivalente à equação x 2 =0 e, portanto, tem uma única raiz 0.

Fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos agora considerar como resolver equações quadráticas nas quais tanto os coeficientes das incógnitas quanto o termo livre são diferentes de zero.

Vamos resolver a equação quadrática em visão geral e como resultado obtemos a fórmula das raízes. Esta fórmula pode então ser usada para resolver qualquer equação quadrática.

Vamos resolver a equação quadrática machado 2 +bx+c=0

Dividindo ambos os lados por a, obtemos a equação quadrática reduzida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Vamos transformar esta equação selecionando o quadrado do binômio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

A expressão radical é chamada discriminante de uma equação quadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” em latim - discriminador). É designado pela letra D, ou seja,
\(D =b^2-4ac\)

Agora, usando a notação discriminante, reescrevemos a fórmula das raízes da equação quadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), onde \(D= b^2-4ac \)

É óbvio que:
1) Se D>0, então a equação quadrática tem duas raízes.
2) Se D=0, então a equação quadrática tem uma raiz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Assim, dependendo do valor do discriminante, uma equação quadrática pode ter duas raízes (para D > 0), uma raiz (para D = 0) ou não ter raízes (para D Ao resolver uma equação quadrática usando este fórmula, é aconselhável fazer o seguinte:
1) calcular o discriminante e compará-lo com zero;
2) se o discriminante for positivo ou igual a zero, use a fórmula da raiz; se o discriminante for negativo, anote que não há raízes;

Teorema de Vieta

A equação quadrática dada ax 2 -7x+10=0 tem raízes 2 e 5. A soma das raízes é 7 e o produto é 10. Vemos que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente tomado com o oposto sinal, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Qualquer equação quadrática reduzida que tenha raízes possui esta propriedade.

A soma das raízes da equação quadrática acima é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.

Aqueles. O teorema de Vieta afirma que as raízes x 1 e x 2 da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0 têm a propriedade:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)