Vamos primeiro relembrar a definição de uma solução para um sistema de equações com duas variáveis.

Definição 1

Um par de números é chamado de solução de um sistema de equações em duas variáveis ​​se substituí-los na equação resultar em uma igualdade verdadeira.

No futuro consideraremos sistemas de duas equações com duas variáveis.

Existir quatro maneiras básicas de resolver sistemas de equações: método de substituição, método de adição, método gráfico, método de manutenção de novas variáveis. Vejamos esses métodos exemplos específicos. Para descrever o princípio de utilização dos três primeiros métodos, consideraremos um sistema de dois equações lineares com duas incógnitas:

Método de substituição

O método de substituição é o seguinte: pegue qualquer uma dessas equações e expresse $y$ em termos de $x$, então $y$ é substituído na equação do sistema, de onde a variável $x é encontrada.$ Depois disso, podemos calcule facilmente a variável $y.$

Exemplo 1

Vamos expressar $y$ da segunda equação em termos de $x$:

Vamos substituir na primeira equação e encontrar $x$:

\ \ \

Vamos encontrar $y$:

Responder: $(-2,\ 3)$

Método de adição.

Vejamos este método usando um exemplo:

Exemplo 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplicando a segunda equação por 3, obtemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Agora vamos somar as duas equações:

\ \ \

Vamos encontrar $y$ na segunda equação:

\[-6-y=-9\] \

Responder: $(-2,\ 3)$

Nota 1

Observe que neste método é necessário multiplicar uma ou ambas as equações por números tais que durante a adição uma das variáveis ​​“desapareça”.

Método gráfico

O método gráfico é o seguinte: ambas as equações do sistema são representadas no plano de coordenadas e o ponto de sua intersecção é encontrado.

Exemplo 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Vamos expressar $y$ de ambas as equações em termos de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Vamos representar os dois gráficos no mesmo plano:

Imagem 1.

Responder: $(-2,\ 3)$

Método para introdução de novas variáveis

Vejamos esse método usando o seguinte exemplo:

Exemplo 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Solução.

Este sistema é equivalente ao sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ certo.\]

Seja $2^x=u\ (u>0)$ e $3^y=v\ (v>0)$, obtemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Vamos resolver o sistema resultante usando o método de adição. Vamos somar as equações:

\ \

Então, da segunda equação, obtemos que

Voltando à substituição, obtemos um novo sistema de equações exponenciais:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Nós temos:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Aula e apresentação sobre o tema: "Sistemas de equações. Método de substituição, método de adição, método de introdução de uma nova variável"

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Métodos para resolver sistemas de desigualdades

Pessoal, estudamos sistemas de equações e aprendemos como resolvê-los por meio de gráficos. Agora vamos ver que outras formas de resolver sistemas existem?
Quase todos os métodos para resolvê-los não diferem daqueles que estudamos na 7ª série. Agora precisamos fazer alguns ajustes de acordo com as equações que aprendemos a resolver.
A essência de todos os métodos descritos em esta lição, trata-se da substituição de um sistema por um sistema equivalente com forma e método de solução mais simples. Pessoal, lembrem-se do que é um sistema equivalente.

Método de substituição

A primeira forma de resolver sistemas de equações com duas variáveis ​​​​é bem conhecida por nós - este é o método de substituição. Usamos esse método para resolver equações lineares. Agora vamos ver como resolver equações no caso geral?

Como você deve proceder ao tomar uma decisão?
1. Expresse uma das variáveis ​​em termos de outra. As variáveis ​​​​mais frequentemente usadas nas equações são x e y. Em uma das equações expressamos uma variável em termos de outra. Dica: observe ambas as equações com atenção antes de começar a resolvê-las e escolha aquela em que é mais fácil expressar a variável.
2. Substitua a expressão resultante na segunda equação, em vez da variável que foi expressa.
3. Resolva a equação que obtivemos.
4. Substitua a solução resultante na segunda equação. Se houver várias soluções, será necessário substituí-las sequencialmente para não perder algumas soluções.
5. Como resultado, você receberá um par de números $(x;y)$, que deve ser anotado como resposta.

Exemplo.
Resolva um sistema com duas variáveis ​​usando o método de substituição: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Solução.
Vamos dar uma olhada em nossas equações. Obviamente, expressar y em termos de x na primeira equação é muito mais simples.
$\begin(casos)y=5-x, \\xy=6\end(casos)$.
Vamos substituir a primeira expressão na segunda equação $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Vamos resolver a segunda equação separadamente:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Obtivemos duas soluções para a segunda equação $x_1=2$ e $x_2=3$.
Substitua sequencialmente na segunda equação.
Se $x=2$, então $y=3$. Se $x=3$, então $y=2$.
A resposta será dois pares de números.
Resposta: $(2;3)$ e $(3;2)$.

Método de adição algébrica

Também estudamos esse método na 7ª série.
Sabe-se que podemos multiplicar uma equação racional em duas variáveis ​​por qualquer número, não esquecendo de multiplicar ambos os lados da equação. Multiplicamos uma das equações por um determinado número para que ao somar a equação resultante à segunda equação do sistema, uma das variáveis ​​​​fosse destruída. Em seguida, a equação foi resolvida para a variável restante.
Este método ainda funciona, embora nem sempre seja possível destruir uma das variáveis. Mas permite simplificar significativamente a forma de uma das equações.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Solução.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2.
$\begin(casos)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
Vamos subtrair a segunda da primeira equação.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Como você pode ver, a forma da equação resultante é muito mais simples que a original. Agora podemos usar o método de substituição.
$\begin(casos)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
Vamos expressar x em termos de y na equação resultante.
$\begin(casos)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(casos)$.
$\begin(casos)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(casos)$.
Temos $y=-1$ e $y=-3$.
Vamos substituir esses valores sequencialmente na primeira equação. Obtemos dois pares de números: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.
Resposta: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.

Método para introduzir uma nova variável

Também estudamos esse método, mas vamos examiná-lo novamente.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Solução.
Vamos apresentar a substituição $t=\frac(x)(y)$.
Vamos reescrever a primeira equação com uma nova variável: $t+\frac(2)(t)=3$.
Vamos resolver a equação resultante:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Temos $t=2$ ou $t=1$. Vamos introduzir a mudança reversa $t=\frac(x)(y)$.
Temos: $x=2y$ e $x=y$.

Para cada uma das expressões, o sistema original deve ser resolvido separadamente:
$\begin(casos)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(casos)$.    $\begin(casos)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(casos)$.    $\begin(casos)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\7y^2=1\end(casos)$.       $\begin(casos)x=2y, \\y^2=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(casos)$.      $\begin(casos)x=y, \\y=±1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(casos)$.     $\begin(casos)x=±1, \\y=±1\end(casos)$.
Recebemos quatro pares de soluções.
Resposta: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(casos)$.

Solução.
Vamos apresentar a substituição: $z=\frac(2)(x-3y)$ e $t=\frac(3)(2x+y)$.
Vamos reescrever as equações originais com novas variáveis:
$\begin(casos)z+t=2, \\4z-3t=1\end(casos)$.
Vamos usar o método de adição algébrica:
$\begin(casos)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)7z=7, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(casos)z=1, \\-3t=1-4\end(casos)$.
$\begin(casos)z=1, \\t=1\end(casos)$.
Vamos apresentar a substituição reversa:
$\begin(casos)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(casos)$.
$\begin(casos)x-3y=2, \\2x+y=3\end(casos)$.
Vamos usar o método de substituição:
$\begin(casos)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2+3y, \\7y=-1\end(casos)$.
$\begin(casos)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(casos)$.
$\begin(casos)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(casos)$.
Resposta: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemas em sistemas de equações para solução independente

Resolver sistemas:
1. $\begin(casos)2x-2y=6,\\xy =-2\end(casos)$.
2. $\begin(casos)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(casos)$.
3. $\begin(casos)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(casos)$.
4. $\begin(casos)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fim(casos)$.
5. $\begin(casos)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(casos)$.

Mais confiável que o método gráfico discutido no parágrafo anterior.

Método de substituição

Usamos esse método na 7ª série para resolver sistemas de equações lineares. O algoritmo que foi desenvolvido no 7º ano é bastante adequado para resolver sistemas de duas equações quaisquer (não necessariamente lineares) com duas variáveis ​​​​xey (claro, as variáveis ​​​​podem ser designadas por outras letras, o que não importa). Na verdade, usamos esse algoritmo no parágrafo anterior, quando o problema de um número de dois dígitos levou a um modelo matemático, que é um sistema de equações. Resolvemos este sistema de equações acima usando o método de substituição (ver exemplo 1 do § 4).

Um algoritmo para usar o método de substituição ao resolver um sistema de duas equações com duas variáveis ​​​​x, y.

1. Expresse y através de x a partir de uma equação do sistema.
2. Substitua a expressão resultante em vez de y em outra equação do sistema.
3. Resolva a equação resultante para x.
4. Substitua, por sua vez, cada uma das raízes da equação encontrada na terceira etapa, em vez de x, na expressão de y a x obtida na primeira etapa.
5. Escreva a resposta na forma de pares de valores (x; y), que foram encontrados na terceira e quarta etapas, respectivamente.

4) Substitua um por um cada um dos valores encontrados de y na fórmula x = 5 - 3. Se então
5) Pares (2; 1) e soluções para um determinado sistema de equações.

Resposta: (2; 1);

Método de adição algébrica

Este método, assim como o método de substituição, é familiar para você desde o curso de álgebra da 7ª série, onde foi usado para resolver sistemas de equações lineares. Vamos relembrar a essência do método usando o exemplo a seguir.

Exemplo 2. Resolver sistema de equações

Multiplicamos todos os termos da primeira equação do sistema por 3 e deixamos a segunda equação inalterada:
Subtraia a segunda equação do sistema de sua primeira equação:

Como resultado da adição algébrica de duas equações do sistema original, obteve-se uma equação mais simples que a primeira e a segunda equações do sistema dado. Com esta equação mais simples temos o direito de substituir qualquer equação de um determinado sistema, por exemplo o segundo. Então o sistema de equações dado será substituído por um sistema mais simples:

Este sistema pode ser resolvido usando o método de substituição. A partir da segunda equação encontramos. Substituindo esta expressão em vez de y na primeira equação do sistema, obtemos.

Resta substituir os valores encontrados de x na fórmula

Se x = 2 então

Assim, encontramos duas soluções para o sistema:

Método para introdução de novas variáveis

Você conheceu o método de introdução de uma nova variável ao resolver equações racionais com uma variável no curso de álgebra da 8ª série. A essência deste método de resolução de sistemas de equações é a mesma, mas do ponto de vista técnico existem algumas características que discutiremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 3. Resolver sistema de equações

Vamos introduzir uma nova variável. Então a primeira equação do sistema pode ser reescrita em mais. de forma simples: Vamos resolver esta equação para a variável t:

Ambos os valores satisfazem a condição e, portanto, são as raízes de uma equação racional com variável t. Mas isso significa que ou onde encontramos que x = 2y, ou
Assim, utilizando o método de introdução de uma nova variável, conseguimos uma espécie de “estratificar” a primeira equação do sistema, que era bastante complexa na aparência, em duas equações mais simples:

x = 2 anos; y - 2x.

Qual é o próximo? E então cada um dos dois recebeu equações simples precisam ser considerados um por um em um sistema com a equação x 2 - y 2 = 3, da qual ainda não nos lembramos. Em outras palavras, o problema se resume a resolver dois sistemas de equações:

Precisamos encontrar soluções para o primeiro sistema, o segundo sistema e incluir todos os pares de valores resultantes na resposta. Vamos resolver o primeiro sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição, principalmente porque tudo está pronto aqui: vamos substituir a expressão 2y em vez de x na segunda equação do sistema. Nós temos

Como x = 2y, encontramos, respectivamente, x 1 = 2, x 2 = 2. Assim, obtêm-se duas soluções do sistema dado: (2; 1) e (-2; -1). Vamos resolver o segundo sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição novamente: substitua a expressão 2x em vez de y na segunda equação do sistema. Nós temos

Esta equação não tem raízes, o que significa que o sistema de equações não tem soluções. Assim, apenas as soluções do primeiro sistema precisam ser incluídas na resposta.

Resposta: (2; 1); (-2;-1).

O método de introdução de novas variáveis ​​​​na resolução de sistemas de duas equações com duas variáveis ​​​​é utilizado em duas versões. Primeira opção: uma nova variável é introduzida e utilizada em apenas uma equação do sistema. Foi exatamente o que aconteceu no exemplo 3. Segunda opção: duas novas variáveis ​​são introduzidas e utilizadas simultaneamente em ambas as equações do sistema. Este será o caso do exemplo 4.

Exemplo 4. Resolver sistema de equações

Vamos introduzir duas novas variáveis:

Vamos levar em conta isso então

Isso permitirá que você reescreva este sistema de uma forma muito mais simples, mas relativamente novas variáveis ​​a e b:

Como a = 1, então a partir da equação a + 6 = 2 encontramos: 1 + 6 = 2; 6=1. Assim, em relação às variáveis ​​a e b, obtivemos uma solução:

Voltando às variáveis ​​​​x e y, obtemos um sistema de equações

Vamos aplicar o método de adição algébrica para resolver este sistema:

Desde então, a partir da equação 2x + y = 3 encontramos:
Assim, em relação às variáveis ​​​​x e y, obtivemos uma solução:

Concluamos este parágrafo com uma discussão teórica breve, mas bastante séria. Você já ganhou alguma experiência na resolução de várias equações: linear, quadrática, racional, irracional. Você sabe que a ideia principal para resolver uma equação é passar gradativamente de uma equação para outra, mais simples, mas equivalente à dada. No parágrafo anterior introduzimos o conceito de equivalência para equações com duas variáveis. Este conceito também é usado para sistemas de equações.

Definição.

Dois sistemas de equações com variáveis ​​​​xey são chamados equivalentes se tiverem as mesmas soluções ou se ambos os sistemas não tiverem soluções.

Todos os três métodos (substituição, adição algébrica e introdução de novas variáveis) que discutimos nesta seção são absolutamente corretos do ponto de vista da equivalência. Ou seja, utilizando estes métodos, substituímos um sistema de equações por outro, mais simples, mas equivalente ao sistema original.

Método gráfico para resolver sistemas de equações

Já aprendemos como resolver sistemas de equações de maneiras tão comuns e confiáveis ​​como o método de substituição, a adição algébrica e a introdução de novas variáveis. Agora vamos relembrar o método que você já estudou na lição anterior. Ou seja, vamos repetir o que você sabe sobre o método de solução gráfica.

O método de resolução gráfica de sistemas de equações envolve a construção de um gráfico para cada uma das equações específicas que estão incluídas em um determinado sistema e estão localizadas no mesmo plano de coordenadas, bem como onde é necessário encontrar as interseções dos pontos destes. gráficos. Para resolver este sistema de equações estão as coordenadas deste ponto (x; y).

Deve ser lembrado que é típico que um sistema gráfico de equações tenha uma única a decisão certa, um número infinito de soluções ou nenhuma solução.

Agora vamos examinar cada uma dessas soluções com mais detalhes. E assim, um sistema de equações pode ter uma solução única se as retas que são os gráficos das equações do sistema se cruzarem. Se essas linhas forem paralelas, então tal sistema de equações não terá absolutamente nenhuma solução. Se os gráficos diretos das equações do sistema coincidem, então tal sistema permite encontrar muitas soluções.

Bem, agora vamos dar uma olhada no algoritmo para resolver um sistema de duas equações com 2 incógnitas usando um método gráfico:

Primeiramente, primeiro construímos um gráfico da 1ª equação;
O segundo passo será construir um gráfico relacionado à segunda equação;
Terceiro, precisamos encontrar os pontos de intersecção dos gráficos.
E como resultado obtemos as coordenadas de cada ponto de intersecção, que será a solução do sistema de equações.

Vejamos esse método com mais detalhes usando um exemplo. Temos um sistema de equações que precisa ser resolvido:

Resolvendo equações

1. Primeiro, construiremos um gráfico desta equação: x2+y2=9.

Mas deve-se notar que este gráfico das equações será um círculo com centro na origem e seu raio será igual a três.

2. Nosso próximo passo será representar graficamente uma equação como: y = x – 3.

Neste caso, devemos construir uma reta e encontrar os pontos (0;−3) e (3;0).

3. Vamos ver o que temos. Vemos que a linha reta intercepta o círculo em dois de seus pontos A e B.

Agora estamos procurando as coordenadas desses pontos. Vemos que as coordenadas (3;0) correspondem ao ponto A e as coordenadas (0;−3) correspondem ao ponto B.

E o que obtemos como resultado?

Os números (3;0) e (0;−3) obtidos quando a reta intercepta o círculo são precisamente as soluções para ambas as equações do sistema. E daí segue-se que estes números também são soluções deste sistema de equações.

Ou seja, a resposta para esta solução são os números: (3;0) e (0;−3).

Instruções

Método de adição.
Você precisa escrever dois estritamente um abaixo do outro:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Em uma equação escolhida arbitrariamente (do sistema), insira o número 11 em vez do “jogo” já encontrado e calcule a segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A resposta para este sistema de equações é x=116, y=11.

Método gráfico.
Consiste em encontrar praticamente as coordenadas do ponto em que as retas estão escritas matematicamente em um sistema de equações. Os gráficos de ambas as retas devem ser desenhados separadamente no mesmo sistema de coordenadas. Forma geral: – y=khx+b. Para construir uma linha reta, basta encontrar as coordenadas de dois pontos, e x é escolhido arbitrariamente.
Deixe o sistema ser dado: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Uma linha reta é construída a partir da primeira, por conveniência deve ser anotada: y=2x-4. Encontre valores (mais fáceis) para x, substituindo-o na equação, resolvendo-o e encontrando y. Obtemos dois pontos ao longo dos quais uma linha reta é construída. (Ver foto)
x 0 1

y -4 -2
Uma linha reta é construída usando a segunda equação: y=-3x+1.
Construa também uma linha reta. (Ver foto)

e 1 -5
Encontre as coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas construídas no gráfico (se as linhas não se cruzam, então o sistema de equações não possui - então).

Vídeo sobre o tema

Conselho util

Se o mesmo sistema de equações for resolvido por três jeitos diferentes, a resposta será a mesma (se a solução estiver correta).

Fontes:

• Álgebra do 8º ano
• resolver uma equação com duas incógnitas online
• Exemplos de resolução de sistemas de equações lineares com dois

Sistema equaçõesé uma coleção de registros matemáticos, cada um contendo uma série de variáveis. Existem várias maneiras de resolvê-los.

Você vai precisar

• -Régua e lápis;
• -calculadora.

Instruções

Consideremos a sequência de resolução do sistema, que consiste em equações lineares com a forma: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2. Onde x e y são variáveis ​​desconhecidas e b,c são termos livres. Ao aplicar este método, cada sistema representa as coordenadas dos pontos correspondentes a cada equação. Para começar, em cada caso, expresse uma variável em termos de outra. Em seguida, defina a variável x para qualquer número de valores. Dois é o suficiente. Substitua na equação e encontre y. Construa um sistema de coordenadas, marque nele os pontos resultantes e desenhe uma linha através deles. Cálculos semelhantes devem ser realizados para outras partes do sistema.

O sistema tem solução única se as linhas construídas se cruzam e possuem um ponto comum. É incompatível se for paralelo entre si. E tem infinitas soluções quando as linhas se fundem.

Este método considerado muito visual. A principal desvantagem é que as incógnitas calculadas possuem valores aproximados. Resultados mais precisos são fornecidos pelos chamados métodos algébricos.

Vale a pena verificar qualquer solução para um sistema de equações. Para fazer isso, substitua os valores resultantes em vez das variáveis. Você também pode encontrar a solução usando vários métodos. Se a solução do sistema estiver correta, todos deverão ter o mesmo resultado.

Freqüentemente, existem equações nas quais um dos termos é desconhecido. Para resolver uma equação, você precisa lembrar e realizar um determinado conjunto de ações com esses números.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta ou lápis.

Instruções

Imagine que há 8 coelhos na sua frente e você só tem 5 cenouras. Pense bem, você ainda precisa comprar mais cenouras para que cada coelho ganhe uma.

Vamos apresentar este problema na forma de uma equação: 5 + x = 8. Vamos substituir o número 3 no lugar de x. Na verdade, 5 + 3 = 8.

Ao substituir x por um número, você fez o mesmo que subtraiu 5 de 8. Então, para encontrar desconhecido termo, subtraia o termo conhecido da soma.

Digamos que você tenha 20 coelhos e apenas 5 cenouras. Vamos fazer as pazes. Uma equação é uma igualdade válida apenas para determinados valores das letras nela incluídas. As letras cujos significados precisam ser encontrados são chamadas. Escreva uma equação com uma incógnita, chame-a de x. Ao resolver o nosso problema do coelho, obtemos a seguinte equação: 5 + x = 20.

Vamos encontrar a diferença entre 20 e 5. Ao subtrair, o número do qual é subtraído é o que está sendo reduzido. O número subtraído é chamado de e o resultado final é chamado de diferença. Então, x = 20 – 5; x = 15. Você precisa comprar 15 cenouras para os coelhos.

Verifique: 5 + 15 = 20. A equação foi resolvida corretamente. Claro, quando se trata de coisas tão simples, a verificação não é necessária. No entanto, quando você tem equações com números de três, quatro dígitos, etc., você definitivamente precisa verificar para ter certeza absoluta do resultado do seu trabalho.

Vídeo sobre o tema

Conselho util

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

Dica 4: Como resolver um sistema de três equações com três incógnitas

Um sistema de três equações com três incógnitas pode não ter soluções, apesar de um número suficiente de equações. Você pode tentar resolvê-lo usando o método de substituição ou o método de Cramer. O método de Cramer, além de resolver o sistema, permite avaliar se o sistema é solucionável antes de encontrar os valores das incógnitas.

Instruções

O método de substituição consiste em sequenciar sequencialmente uma incógnita através de outras duas e substituir o resultado resultante nas equações do sistema. Seja um sistema de três equações dado na forma geral:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Expresse x da primeira equação: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - e substitua na segunda e terceira equações, depois expresse y na segunda equação e substitua na terceira. Você obterá uma expressão linear para z através dos coeficientes das equações do sistema. Agora vá “para trás”: substitua z na segunda equação e encontre y, e então substitua z e y na primeira e resolva x. O processo é geralmente mostrado na figura antes de encontrar z. Escrever mais na forma geral será muito complicado na prática; substituindo, você pode facilmente encontrar todas as três incógnitas;

O método de Cramer consiste em construir uma matriz do sistema e calcular o determinante dessa matriz, além de mais três matrizes auxiliares. A matriz do sistema é composta por coeficientes para os termos desconhecidos das equações. Uma coluna contendo os números do lado direito das equações, uma coluna do lado direito. Não é usado no sistema, mas é usado na resolução do sistema.

Vídeo sobre o tema

observação

Todas as equações do sistema devem fornecer informações adicionais independentes de outras equações. Caso contrário, o sistema ficará subdeterminado e não será possível encontrar uma solução inequívoca.

Conselho util

Após resolver o sistema de equações, substitua os valores encontrados no sistema original e verifique se satisfazem todas as equações.

Por si próprio a equação com três desconhecido tem muitas soluções, então na maioria das vezes é complementado por mais duas equações ou condições. Dependendo de quais são os dados iniciais, o rumo da decisão dependerá em grande parte.

Você vai precisar

• - um sistema de três equações com três incógnitas.

Instruções

Se dois dos três sistemas têm apenas duas das três incógnitas, tente expressar algumas variáveis ​​em termos das outras e substitua-as em a equação com três desconhecido. Seu objetivo neste caso é transformá-lo em normal a equação com uma pessoa desconhecida. Se for este o caso, a solução adicional é bastante simples - substitua o valor encontrado em outras equações e encontre todas as outras incógnitas.

Alguns sistemas de equações podem ser subtraídos de uma equação por outra. Veja se é possível multiplicar uma ou uma variável para que duas incógnitas sejam canceladas de uma vez. Se houver essa oportunidade, provavelmente aproveite-a, a solução subsequente não será difícil; Lembre-se que ao multiplicar por um número, você deve multiplicar tanto o lado esquerdo quanto o lado direito. Da mesma forma, ao subtrair equações, você deve lembrar que o lado direito também deve ser subtraído.

Se os métodos anteriores não ajudaram, use de uma maneira geral soluções para quaisquer equações com três desconhecido. Para fazer isso, reescreva as equações na forma a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Agora crie uma matriz de coeficientes para x (A), uma matriz de incógnitas (X) e uma matriz de variáveis ​​livres (B). Observe que multiplicando a matriz de coeficientes pela matriz de incógnitas, você obterá uma matriz de termos livres, ou seja, A*X=B.

Encontre a matriz A elevada à potência (-1) encontrando primeiro, observe que ela não deve ser igual a zero. Depois disso, multiplique a matriz resultante pela matriz B, como resultado você obterá a matriz X desejada, indicando todos os valores.

Você também pode encontrar uma solução para um sistema de três equações usando o método de Cramer. Para fazer isso, encontre o determinante de terceira ordem ∆ correspondente à matriz do sistema. Em seguida, encontre sucessivamente mais três determinantes ∆1, ∆2 e ∆3, substituindo os valores dos termos livres em vez dos valores das colunas correspondentes. Agora encontre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fontes:

• soluções para equações com três incógnitas

Ao começar a resolver um sistema de equações, descubra que tipo de equações elas são. Os métodos para resolver equações lineares foram bastante bem estudados. As equações não lineares geralmente não são resolvidas. Existem apenas alguns casos especiais, cada um dos quais é praticamente individual. Portanto, o estudo das técnicas de solução deve começar com equações lineares. Tais equações podem até ser resolvidas puramente algoritmicamente.

os denominadores das incógnitas encontradas são exatamente os mesmos. Sim, e os numeradores mostram alguns padrões na sua construção. Se a dimensão do sistema de equações fosse maior que dois, o método de eliminação levaria a cálculos muito complicados. Para evitá-los, foram desenvolvidas soluções puramente algorítmicas. O mais simples deles é o algoritmo de Cramer (fórmulas de Cramer). Pois você deveria descobrir sistema geral equações de n equações.

Um sistema de n equações algébricas lineares com n incógnitas tem a forma (ver Fig. 1a). Nele, aij são os coeficientes do sistema,
xj – incógnitas, bi – termos livres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tal sistema pode ser escrito de forma compacta na forma matricial AX=B. Aqui A é a matriz de coeficientes do sistema, X é a matriz coluna de incógnitas, B é a matriz coluna de termos livres (ver Figura 1b). De acordo com o método de Cramer, cada incógnita xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). O determinante ∆ da matriz de coeficientes é chamado de principal e ∆i de auxiliar. Para cada incógnita, o determinante auxiliar é encontrado substituindo a i-ésima coluna do determinante principal por uma coluna de termos livres. O método de Cramer para o caso de sistemas de segunda e terceira ordem é apresentado em detalhes na Fig. 2.

O sistema é uma combinação de duas ou mais igualdades, cada uma contendo duas ou mais incógnitas. Existem duas maneiras principais de resolver sistemas de equações lineares que são usadas dentro currículo escolar. Um deles é chamado de método, o outro é chamado de método de adição.

Forma padrão de um sistema de duas equações

No forma padrão a primeira equação tem a forma a1*x+b1*y=c1, a segunda equação tem a forma a2*x+b2*y=c2 e assim por diante. Por exemplo, no caso de duas partes do sistema, ambos dados a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns coeficientes numéricos representados em equações específicas. Por sua vez, x e y representam incógnitas cujos valores precisam ser determinados. Os valores exigidos transformam ambas as equações simultaneamente em igualdades verdadeiras.

Resolvendo o sistema usando o método de adição

Para resolver o sistema, ou seja, encontrar os valores de x e y que os transformarão em verdadeiras igualdades, são necessários vários passos simples. A primeira delas é transformar qualquer uma das equações de modo que os coeficientes numéricos da variável x ou y em ambas as equações sejam iguais em magnitude, mas diferentes em sinal.

Por exemplo, suponha que seja dado um sistema que consiste em duas equações. O primeiro deles tem a forma 2x+4y=8, o segundo tem a forma 6x+2y=6. Uma das opções para completar a tarefa é multiplicar a segunda equação por um coeficiente de -2, o que a levará à forma -12x-4y=-12. A escolha correta do coeficiente é uma das tarefas fundamentais no processo de resolução de um sistema pelo método de adição, pois determina todo o andamento do procedimento de busca de incógnitas.

Agora é necessário somar as duas equações do sistema. Obviamente, a destruição mútua de variáveis ​​com coeficientes iguais em valor, mas opostos em sinal, levará à forma -10x=-4. Depois disso, é necessário resolver esta equação simples, da qual segue claramente que x = 0,4.

O último passo no processo de solução é a substituição do valor encontrado de uma das variáveis ​​​​em qualquer uma das igualdades iniciais disponíveis no sistema. Por exemplo, substituindo x=0,4 na primeira equação, você pode obter a expressão 2*0,4+4y=8, da qual y=1,8. Assim, x=0,4 e y=1,8 são as raízes do sistema exemplo.

Para ter certeza de que as raízes foram encontradas corretamente, é útil verificar substituindo os valores encontrados na segunda equação do sistema. Por exemplo, em nesse caso obtemos uma igualdade na forma 0,4*6+1,8*2=6, o que é verdade.

Vídeo sobre o tema

Um sistema de equações lineares com duas incógnitas são duas ou mais equações lineares para as quais é necessário encontrar todas elas soluções gerais. Consideraremos sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas. A visão geral de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é apresentada na figura abaixo:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Aqui xey são variáveis ​​desconhecidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns números reais. Uma solução para um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas é um par de números (x,y) tal que se substituirmos esses números nas equações do sistema, então cada uma das equações do sistema se transforma em uma verdadeira igualdade. Existem várias maneiras de resolver um sistema de equações lineares. Consideremos uma das maneiras de resolver um sistema de equações lineares, ou seja, o método de adição.

Algoritmo para resolução por método de adição

Um algoritmo para resolver um sistema de equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição.

1. Se necessário, por meio de transformações equivalentes, equalize os coeficientes de uma das variáveis ​​desconhecidas em ambas as equações.

2. Ao adicionar ou subtrair as equações resultantes, obtenha uma equação linear com uma incógnita

3. Resolva a equação resultante com uma incógnita e encontre uma das variáveis.

4. Substitua a expressão resultante em qualquer uma das duas equações do sistema e resolva esta equação, obtendo assim a segunda variável.

5. Verifique a solução.

Um exemplo de solução usando o método de adição

Para maior clareza, vamos resolver o seguinte sistema de equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como nenhuma das variáveis ​​possui coeficientes idênticos, equalizamos os coeficientes da variável y. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por três e a segunda equação por dois.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Nós temos o seguinte sistema de equações:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Agora subtraímos a primeira da segunda equação. Apresentamos termos semelhantes e resolvemos a equação linear resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Substituímos o valor resultante na primeira equação do nosso sistema original e resolvemos a equação resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

O resultado é um par de números x=6 e y=14. Estamos verificando. Vamos fazer uma substituição.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como você pode ver, obtivemos duas igualdades corretas, portanto encontramos a solução correta.