Os valores médios são comuns nas estatísticas. Os valores médios caracterizam os indicadores qualitativos da atividade comercial: custos de distribuição, lucro, rentabilidade, etc.

Média é uma das técnicas de generalização comuns. Uma correta compreensão da essência da média determina seu significado especial nas condições de uma economia de mercado, quando a média, por meio do único e do aleatório, permite identificar o geral e o necessário, para revelar a tendência das leis da economia. desenvolvimento.

valor médio - são indicadores generalizantes nos quais se expressam a ação das condições gerais, padrões do fenômeno em estudo.

As médias estatísticas são calculadas com base em dados de massa de observação de massa corretamente organizada estatisticamente (contínua e seletiva). No entanto, a média estatística será objetiva e típica se for calculada a partir de dados de massa para uma população qualitativamente homogênea (fenômenos de massa). Por exemplo, se você calcular o salário médio em cooperativas e empresas estatais e estender o resultado para toda a população, a média é fictícia, pois é calculada sobre uma população heterogênea, e essa média perde todo o significado.

Com a ajuda da média, há, por assim dizer, suavizar as diferenças no valor do atributo, que surgem por uma razão ou outra nas unidades individuais de observação.

Por exemplo, o rendimento médio de um vendedor depende de muitos motivos: qualificações, tempo de serviço, idade, forma de serviço, saúde, etc.

A produção média reflete a propriedade geral de toda a população.

O valor médio é um reflexo dos valores da característica em estudo, portanto, é medido na mesma dimensão dessa característica.

Cada valor médio caracteriza a população estudada para qualquer atributo. Para se ter uma visão completa e abrangente da população estudada para uma série de características essenciais, em geral, é necessário ter um sistema de valores médios que possam descrever o fenômeno de diferentes ângulos.

Existem várias médias:

média aritmética;

média geométrica;

harmônico médio;

raiz quadrada média;

média cronológica.

Vamos considerar alguns tipos de média que são usados ​​com mais frequência em estatísticas.

Média aritmética

A média aritmética simples (não ponderada) é igual à soma dos valores individuais do atributo, dividida pelo número desses valores.

Os valores individuais de um recurso são chamados de variantes e são denotados por x (); o número de unidades na população é denotado por n, o valor médio da característica é denotado por ... Portanto, a média aritmética simples é:

De acordo com os dados da série de distribuição discreta, pode-se observar que os mesmos valores do atributo (variantes) se repetem várias vezes. Portanto, a opção x ocorre em agregado 2 vezes e a opção x - 16 vezes, etc.

O número de valores idênticos de um recurso na série de distribuição é chamado de frequência ou peso e é denotado pelo símbolo n.

Vamos calcular o salário médio de um trabalhador em rublos:

A massa salarial para cada grupo de trabalhadores é igual ao produto das opções pela frequência, e a soma desses produtos dá a massa salarial total de todos os trabalhadores.

De acordo com isso, os cálculos podem ser apresentados de forma geral:

A fórmula resultante é chamada de média aritmética ponderada.

O material estatístico como resultado do processamento pode ser apresentado não apenas na forma de séries de distribuição discreta, mas também na forma de séries de variação de intervalo com intervalos fechados ou abertos.

O cálculo da média dos dados agrupados é feito de acordo com a fórmula da média aritmética ponderada:

Na prática das estatísticas econômicas, às vezes é necessário calcular a média por meio de grupos ou por meio de partes individuais da população (meios privados). Nesses casos, médias de grupo ou parciais são consideradas como opções (x), com base nas quais a média total é calculada como a média aritmética ponderada usual.

Propriedades básicas da média aritmética .

A média aritmética tem várias propriedades:

1. A partir de uma diminuição ou aumento nas frequências de cada valor do atributo x em n vezes, o valor da média aritmética não mudará.

Se todas as frequências forem divididas ou multiplicadas por qualquer número, o valor da média não mudará.

2. O fator comum dos valores individuais do atributo pode ser retirado do sinal médio:

3. A média da soma (diferença) de dois ou mais valores é igual à soma (diferença) de sua média:

4. Se x = c, onde c é uma constante, então
.

5. A soma dos desvios dos valores do atributo X da média aritmética x é igual a zero:

Harmônico médio.

Junto com a média aritmética, em estatística, utiliza-se a média harmônica, a recíproca da média aritmética dos valores recíprocos do atributo. Como a média aritmética, pode ser simples e ponderada.

As características da série de variação, junto com a média, são a moda e a mediana.

Moda - Este é o valor de um recurso (opção), que é mais frequentemente repetido na população estudada. Para séries de distribuição discreta, o modo será o valor da variante com a frequência mais alta.

Para séries de intervalo de distribuição com intervalos iguais, a moda é determinada pela fórmula:

Onde
- o valor inicial do intervalo que contém o modo;

- o valor do intervalo modal;

- a frequência do intervalo modal;

- a frequência do intervalo anterior ao modal;

é a frequência do intervalo após o modal.

Mediana - esta é uma variante localizada no meio da série de variação. Se a série de distribuição for discreta e tiver um número ímpar de membros, a mediana será a opção localizada no meio da linha ordenada (uma linha ordenada é o arranjo das unidades da população em ordem crescente ou decrescente).

valor médioé um indicador generalizante que caracteriza uma população qualitativamente homogênea para um determinado critério quantitativo. Por exemplo, a idade média das pessoas condenadas por roubo.

Em estatísticas forenses, as médias são usadas para caracterizar:

Prazos médios de consideração de casos desta categoria;

Reivindicação de médio porte;

Número médio de respondentes por caso;

Dano médio;

Carga média de trabalho dos juízes, etc.

A média é sempre um valor nomeado e tem a mesma dimensão que a característica de uma unidade separada da população. Cada valor médio caracteriza a população estudada de acordo com qualquer um dos atributos variáveis, portanto, atrás de qualquer média, há uma série de distribuição das unidades dessa população de acordo com o atributo estudado. A escolha do tipo de média é determinada pelo conteúdo do indicador e pelos dados iniciais de cálculo da média.

Todos os tipos de médias usadas em estudos estatísticos se enquadram em duas categorias:

1) médias de potência;

2) médias estruturais.

A primeira categoria de médias inclui: média aritmética, média harmônica, média geométrica e raiz quadrada média ... A segunda categoria é moda e mediana... Além disso, cada um dos tipos listados de valores médios de lei de potência pode ter duas formas: simples e pesada ... A forma simples da média é utilizada para obter o valor médio da característica em estudo quando o cálculo é realizado com dados estatísticos não agrupados, ou quando cada opção no agregado ocorre apenas uma vez. As médias ponderadas são chamadas de valores que levam em consideração que as opções para os valores do atributo podem ter números diferentes, em relação aos quais cada opção deve ser multiplicada pela frequência correspondente. Em outras palavras, cada opção é "ponderada" por sua frequência. A frequência é chamada de peso estatístico.

Média aritmética simples- o tipo de meio mais comum. É igual à soma dos valores individuais da característica dividido pelo número total desses valores:

Onde x 1, x 2, ..., x N- os valores individuais do atributo variável (opções) e N - o número de unidades na população.

Média aritmética ponderadaé usado nos casos em que os dados são apresentados na forma de séries de distribuição ou agrupamentos. É calculado como a soma dos produtos das variantes pelas frequências correspondentes a elas, dividido pela soma das frequências de todas as variantes:

Onde XI- significado eu-ésimas variantes do recurso; f eu- frequência eu-ésimas opções.

Assim, cada valor variante é ponderado por sua frequência, razão pela qual as frequências às vezes são chamadas de pesos estatísticos.

Comente. Quando se trata da média aritmética sem especificar seu tipo, se entende a média aritmética simples.

Tabela 12.

Solução. Para o cálculo, usamos a fórmula para a média aritmética ponderada:

Assim, em média, há dois acusados ​​por ação criminal.

Se o valor médio é calculado de acordo com os dados agrupados na forma de séries de distribuição de intervalo, então primeiro é necessário determinar os valores medianos de cada intervalo x "i, em seguida, calcular o valor médio de acordo com a fórmula da média aritmética ponderada, em que x "i é substituído por x i.

Exemplo. Os dados sobre a idade dos criminosos condenados por furto são apresentados na tabela:

Tabela 13.

Determine a idade média dos infratores condenados por roubo.

Solução. Para determinar a idade média dos infratores com base na série de variação do intervalo, é necessário primeiro encontrar os valores médios dos intervalos. Como uma série de intervalos com o primeiro e o último intervalos abertos é fornecida, os valores desses intervalos são considerados iguais aos valores dos intervalos fechados adjacentes. Em nosso caso, os valores do primeiro e do último intervalo são iguais a 10.

Agora encontramos a idade média dos criminosos usando a fórmula da média aritmética ponderada:

Assim, a idade média dos criminosos condenados por furto é de aproximadamente 27 anos.

Harmônico simples médio é o recíproco da média aritmética dos valores recíprocos do atributo:

onde 1 / XI são os valores recíprocos das opções e N é o número de unidades na população.

Exemplo. Para determinar a carga de trabalho anual média dos juízes de um tribunal distrital na apreciação de processos criminais, foi feito um estudo da carga de trabalho de 5 juízes deste tribunal. O tempo médio gasto em um caso criminal para cada um dos juízes pesquisados ​​acabou sendo igual (em dias): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Encontre o custo médio por criminoso caso e a carga de trabalho anual média contra os juízes deste tribunal distrital ao considerar os processos criminais.

Solução. Para determinar o tempo médio gasto em um caso criminal, usaremos a fórmula simples harmônica média:

Para simplificar os cálculos, no exemplo, tomamos o número de dias em um ano igual a 365, incluindo fins de semana (isso não afeta a metodologia de cálculo, e ao calcular um indicador semelhante na prática, é necessário substituir o número de dias úteis em um determinado ano, em vez de 365 dias). Então, a carga média anual dos juízes de um determinado tribunal distrital ao considerar casos criminais será: 365 (dias): 5,56 ≈ 65,6 (casos).

Se usássemos a fórmula da média aritmética simples para determinar o tempo médio gasto em um caso criminal, obteríamos:

365 (dias): 5,64 ≈ 64,7 (casos), ou seja, a carga de trabalho média para os juízes acabou sendo menor.

Vamos verificar a validade dessa abordagem. Para isso, usaremos os dados do tempo gasto em um processo criminal para cada juiz e calcularemos o número de processos criminais considerados por cada um deles por ano.

Nós obtemos de acordo:

365 (dias): 6 ≈ 61 (casos), 365 (dias): 5,6 ≈ 65,2 (casos), 365 (dias): 6,3 ≈ 58 (casos),

365 (dias): 4,9 ≈ 74,5 (casos), 365 (dias): 5,4 ≈ 68 (casos).

Agora vamos calcular a carga de trabalho anual média para juízes de um determinado tribunal distrital ao considerar casos criminais:

Aqueles. a carga média anual é a mesma de quando se usa a média harmônica.

Assim, o uso da média aritmética neste caso é ilegal.

Nos casos em que as variantes do recurso são conhecidas, seus valores volumétricos (o produto das variantes pela frequência), mas as frequências em si são desconhecidas, a fórmula da média ponderada harmônica é aplicada:

,

Onde XI são os valores das variantes de recursos e w i são os valores volumétricos das opções ( w i = x i f i).

Exemplo. Os dados sobre o preço de uma unidade do mesmo tipo de produto produzida por diversas instituições do sistema penal e sobre o volume de suas vendas são apresentados na Tabela 14.

Tabela 14

Encontre o preço médio de venda de um produto.

Solução. Ao calcular o preço médio, devemos usar a razão entre a quantidade vendida e o número de unidades vendidas. Não sabemos o número de unidades vendidas, mas sabemos a quantidade de mercadorias vendidas. Portanto, para encontrar o preço médio dos produtos vendidos, usamos a fórmula da média ponderada harmônica. Nós temos

Se você usar a fórmula da média aritmética aqui, poderá obter o preço médio, que será irreal:

Média geométricaé calculado extraindo a raiz do grau N do produto de todos os valores das variantes de atributos:

,

Onde x 1, x 2, ..., x N- valores individuais do atributo variável (opções), e

N- o número de unidades na população.

Esse tipo de média é usado para calcular as taxas médias de crescimento das séries temporais.

Raiz quadrada médiaé usado para calcular o desvio padrão, que é uma medida de variação, e será discutido a seguir.

Para determinar a estrutura da população, são utilizadas médias especiais, que incluem mediana e moda , ou as chamadas médias estruturais. Se a média aritmética é calculada com base no uso de todas as variantes dos valores dos atributos, então a mediana e a moda caracterizam o valor da variante que ocupa uma determinada posição média na série classificada (ordenada). A ordenação das unidades do agregado estatístico pode ser feita em ordem crescente ou decrescente das variantes do atributo estudado.

Mediana (Me)é o valor que corresponde à variante no meio da série classificada. Assim, a mediana é a variante da série classificada, em ambos os lados da qual deve haver um número igual de unidades populacionais na série dada.

Para encontrar a mediana, primeiro você precisa determinar seu número ordinal na série classificada pela fórmula:

onde N é o volume da série (o número de unidades na população).

Se a série consiste em um número ímpar de membros, então a mediana é igual à variante com o número N Me. Se a série consistir em um número par de membros, a mediana é determinada como a média aritmética de duas opções adjacentes localizadas no meio.

Exemplo. Dada uma linha de intervalo 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. O volume da linha é N = 9, então N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Portanto, Me = 6, isto é ... quinta opção. Se uma linha for fornecida com 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ou seja, uma série com um número par de membros (N = 8), então N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Portanto, a mediana é igual à metade da soma da quarta e da quinta opções, ou seja, Me = (9 + 11) / 2 = 10.

Em uma série de variação discreta, a mediana é determinada a partir das frequências acumuladas. As frequências da variante, começando com a primeira, são somadas até que o número mediano seja ultrapassado. O valor da última opção somada será a mediana.

Exemplo. Encontre a mediana do número de acusados ​​por processo criminal usando os dados da Tabela 12.

Solução. Nesse caso, o volume da série de variação é N = 154, portanto, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Somando as frequências da primeira e da segunda opções, obtemos: 75 + 43 = 118, ou seja, ultrapassamos o número mediano. Portanto, Me = 2.

Na série de variação do intervalo, as distribuições indicam primeiro o intervalo no qual a mediana estará localizada. Ele é chamado mediana ... Este é o primeiro intervalo, cuja frequência acumulada excede a metade do volume da série de variação do intervalo. Então, o valor numérico da mediana é determinado pela fórmula:

Onde x eu- a borda inferior do intervalo mediano; i é o valor do intervalo mediano; S Me-1- a frequência acumulada do intervalo que antecede a mediana; f eué a frequência do intervalo mediano.

Exemplo. Encontre a idade média dos criminosos condenados por roubo com base nas estatísticas apresentadas na Tabela 13.

Solução. Os dados estatísticos são apresentados por uma série de variação de intervalo, portanto, primeiro determinamos o intervalo mediano. O volume da população é N = 162, portanto, o intervalo mediano é o intervalo 18-28, uma vez que este é o primeiro intervalo, cuja frequência acumulada (15 + 90 = 105) excede a metade do volume (162: 2 = 81) da série de variação do intervalo. Agora, o valor numérico da mediana é determinado usando a fórmula acima:

Assim, metade dos condenados por furto tem menos de 25 anos.

Modoy (Moe) chame o valor da característica, que é mais freqüentemente encontrado nas unidades da população. A moda é usada para identificar o valor da característica mais comum. Para uma série discreta, o modo será a variante com a frequência mais alta. Por exemplo, para as séries discretas apresentadas na tabela 3 Moe= 1, uma vez que este valor das opções corresponde à frequência mais alta - 75. Para determinar o modo da série de intervalo, primeiro determine modal intervalo (intervalo de maior frequência). Então, dentro desse intervalo, é encontrado o valor do recurso, que pode ser um modo.

Seu valor é encontrado pela fórmula:

Onde x Mo- a borda inferior do intervalo modal; i é o valor do intervalo modal; f Mo- a frequência do intervalo modal; f Mo-1- a frequência do intervalo anterior ao modal; f Mo + 1é a frequência do intervalo após o modal.

Exemplo. Criminosos da idade Naytimodu condenados por furto, cujos dados são apresentados na tabela 13.

Solução. A maior frequência corresponde ao intervalo 18-28, portanto, a moda deve estar neste intervalo. Seu valor é determinado pela fórmula acima:

Assim, o maior número de criminosos condenados por furto tem 24 anos.

O valor médio dá uma característica generalizante de todo o conjunto do fenômeno estudado. No entanto, duas populações com os mesmos valores médios podem diferir significativamente entre si no grau de variabilidade (variação) do valor da característica em estudo. Por exemplo, em um tribunal as seguintes penas de prisão foram atribuídas: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 anos, e em outro - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 anos. Em ambos os casos, a média aritmética é de 6,7 anos. No entanto, esses grupos diferem significativamente entre si na faixa de valores individuais da pena de prisão atribuída em relação ao valor médio.

E para o primeiro julgamento, onde essa variação é grande o suficiente, o valor médio da pena de reclusão reflete mal toda a população. Assim, se os valores individuais de uma característica diferem pouco entre si, então a média aritmética será uma característica bastante indicativa das propriedades de uma dada população. Caso contrário, a média aritmética será uma característica não confiável deste conjunto e sua aplicação na prática é ineficaz. Portanto, é necessário levar em consideração a variação nos valores da característica em estudo.

Variação- são diferenças nos valores de um recurso para diferentes unidades de uma determinada população no mesmo período ou momento. O termo "variação" tem origem latina - variatio, que significa diferença, mudança, flutuação. Ela surge como resultado do fato de que os valores individuais de um traço são formados sob a influência cumulativa de vários fatores (condições), que são combinados de maneiras diferentes em cada caso individual. Vários indicadores absolutos e relativos são usados ​​para medir a variação de um recurso.

Os principais indicadores de variação incluem o seguinte:

1) a faixa de variação;

2) desvio linear médio;

3) variância;

4) desvio padrão;

5) coeficiente de variação.

Vamos nos deter brevemente em cada um deles.

Variação de deslize R é o mais acessível em termos de simplicidade de cálculo, o indicador absoluto, que é definido como a diferença entre o maior e o menor valor da característica em unidades de uma dada população:

A faixa de variação (faixa de flutuações) é um indicador importante da variabilidade de um recurso, mas permite ver apenas desvios extremos, o que limita o escopo de sua aplicação. Para uma caracterização mais precisa da variação de uma característica com base na consideração de sua variabilidade, outros indicadores são usados.

Desvio linear médio representa a média aritmética dos valores absolutos dos desvios dos valores individuais do atributo da média e é determinado pelas fórmulas:

1) para dados desagrupados

2) para série de variação

No entanto, a medida de variação mais amplamente usada é dispersão ... Caracteriza a medida da propagação dos valores do traço em estudo em relação ao seu valor médio. A variância é definida como a média dos desvios quadrados.

Variância simples para dados desagrupados:

.

Variância ponderada para a série de variação:

Comente. Na prática, é melhor usar as seguintes fórmulas para calcular a variância:

Para variação simples

.

Para variância ponderada

Desvio padrãoé a raiz quadrada da variação:

O desvio padrão é uma medida da confiabilidade da média. Quanto menor o desvio padrão, mais homogênea é a população e melhor a média aritmética reflete toda a população.

As medidas de espalhamento consideradas acima (amplitude de variação, variância, desvio padrão) são indicadores absolutos, pelos quais nem sempre é possível julgar o grau de variabilidade de uma característica. Em algumas tarefas, é necessário usar índices de espalhamento relativo, um dos quais é o coeficiente de variação.

O coeficiente de variação- expresso como uma porcentagem, a razão entre o desvio padrão e a média aritmética:

O coeficiente de variação é usado não apenas para uma avaliação comparativa da variação de diferentes características ou da mesma característica em diferentes populações, mas também para caracterizar a homogeneidade da população. Uma população estatística é considerada quantitativamente homogênea se o coeficiente de variação não exceder 33% (para distribuições próximas à distribuição normal).

Exemplo. Encontram-se os seguintes dados sobre as penas de prisão de 50 condenados interpostos para cumprir pena imposta pelo tribunal em instituição correcional do sistema penal: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Construa uma série de distribuições por termos de prisão.

2. Encontre a média, a variância e o desvio padrão.

3. Calcule o coeficiente de variação e faça uma conclusão sobre a homogeneidade ou heterogeneidade da população estudada.

Solução. Para construir uma série de distribuição discreta, é necessário determinar as variantes e frequências. A variante neste problema é a pena de prisão e a frequência é o número de variantes individuais. Tendo calculado as frequências, obtemos a seguinte série de distribuição discreta:

Encontre a média e a variância. Uma vez que os dados estatísticos são apresentados por uma série de variação discreta, usaremos as fórmulas para a média ponderada aritmética e a variância para calculá-los. Nós temos:

= = 4,1;

= 5,21.

Agora calculamos o desvio padrão:

Encontre o coeficiente de variação:

Consequentemente, a população estatística é quantitativamente heterogênea.

A média aritmética é um indicador estatístico que demonstra o valor médio de uma determinada matriz de dados. Esse indicador é calculado como uma fração, no numerador que é a soma de todos os valores da matriz e no denominador - seu número. A média aritmética é um coeficiente importante usado em cálculos domésticos.

O significado do coeficiente

A média aritmética é um indicador elementar para comparar dados e calcular um valor aceitável. Por exemplo, diferentes lojas vendem uma lata de cerveja de um fabricante específico. Mas em uma loja custa 67 rublos, em outro - 70 rublos, no terceiro - 65 rublos, e no último - 62 rublos. Um aumento bastante grande nos preços, então o comprador ficará interessado no custo médio da lata, para que, ao comprar um produto, possa comparar seus custos. Em média, uma lata de cerveja na cidade tem um preço:

Preço médio = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rublos.

Sabendo o preço médio, é fácil determinar onde é lucrativo comprar um produto e onde terá de pagar a mais.

A média aritmética é constantemente usada em cálculos estatísticos nos casos em que um conjunto homogêneo de dados é analisado. No exemplo acima, este é o preço de uma lata de uma marca de cerveja. Porém, não podemos comparar o preço da cerveja de fabricantes diferentes ou os preços da cerveja e da limonada, pois neste caso a faixa de valores será maior, o preço médio ficará borrado e pouco confiável, e o próprio significado dos cálculos será distorcida para a “temperatura média em um hospital” de desenho animado. Para calcular conjuntos de dados heterogêneos, utiliza-se a média aritmética ponderada, quando cada valor recebe seu próprio fator de ponderação.

Calculando a média aritmética

A fórmula para cálculos é extremamente simples:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

onde an é o valor da quantidade, n é o número total de valores.

Para que esse indicador pode ser usado? A primeira e mais óbvia aplicação são as estatísticas. Quase todo estudo estatístico usa a média aritmética. Pode ser a idade média de casamento na Rússia, a nota média de um aluno em uma matéria ou o gasto médio diário com comida. Conforme discutido acima, sem pesos, calcular médias pode produzir valores estranhos ou absurdos.

Por exemplo, o presidente da Federação Russa declarou que, de acordo com as estatísticas, o salário médio de um russo é de 27.000 rublos. Para a maioria dos habitantes da Rússia, esse nível de salário parecia absurdo. Não é de estranhar que, no cálculo, tenhamos em conta os rendimentos dos oligarcas, chefes de empresas industriais, grandes banqueiros, por um lado, e os salários dos professores, faxineiros e vendedores, por outro. Mesmo os salários médios em uma especialidade, por exemplo, um contador, terão diferenças significativas em Moscou, Kostroma e Yekaterinburg.

Como calcular médias para dados diferentes

Em situações de folha de pagamento, é importante considerar o peso de cada valor. Isso significa que os salários dos oligarcas e banqueiros receberiam um peso de, por exemplo, 0,00001, e os salários dos vendedores - 0,12. Essas são cifras do teto, mas ilustram aproximadamente a prevalência de oligarcas e vendedores na sociedade russa.

Assim, para calcular o valor médio ou médio em um conjunto de dados heterogêneo, é necessário usar a média aritmética ponderada. Caso contrário, você receberá um salário médio na Rússia de 27.000 rublos. Se você deseja saber sua pontuação média em matemática ou o número médio de gols marcados pelo jogador de hóquei selecionado, a calculadora de média aritmética é adequada para você.

Nosso programa é uma calculadora simples e conveniente para calcular a média aritmética. Para realizar cálculos, você só precisa inserir os valores dos parâmetros.

Vejamos alguns exemplos

Cálculo da pontuação média

Muitos professores usam o método da média aritmética para determinar a nota anual de uma disciplina. Digamos que uma criança obtenha as seguintes notas do quarto de matemática: 3, 3, 5, 4. Qual é a nota anual do professor? Vamos usar uma calculadora e calcular a média aritmética. Primeiro, selecione o número apropriado de campos e insira os valores de pontuação nas células que aparecem:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

O professor arredondará o valor a favor do aluno, e o aluno receberá um sólido quatro em um ano.

Cálculo dos doces consumidos

Vamos ilustrar um pouco do absurdo da média aritmética. Vamos imaginar que Masha e Vova comeram 10 doces. Masha comeu 8 doces e Vova - apenas 2. Quantos doces cada criança comeu em média? Com a ajuda de uma calculadora, é fácil calcular que, em média, as crianças comeram 5 balas, o que é totalmente contrário à realidade e ao bom senso. Este exemplo mostra que a média aritmética é importante para calcular para conjuntos de dados significativos.

Conclusão

O cálculo da média aritmética é amplamente utilizado em muitos campos científicos. Este indicador é popular não apenas em cálculos estatísticos, mas também em física, mecânica, economia, medicina ou finanças. Use nossas calculadoras como um assistente para resolver problemas de média aritmética.

No processo de estudo da matemática, os alunos se familiarizam com o conceito de média aritmética. Mais tarde, na estatística e em algumas outras ciências, os alunos são confrontados com o cálculo dos outros.O que podem ser e como diferem entre si?

significado e diferenças

Nem sempre indicadores precisos dão uma compreensão da situação. Para avaliar uma situação particular, às vezes é necessário analisar um grande número de números. E então as médias vêm ao resgate. Eles permitem avaliar a situação como um todo.

Desde os tempos de escola, muitos adultos se lembram da existência da média aritmética. É muito fácil de calcular - a soma de uma sequência de n membros é divisível por n. Ou seja, se você precisa calcular a média aritmética na sequência dos valores 27, 22, 34 e 37, então você precisa resolver a expressão (27 + 22 + 34 + 37) / 4, já que 4 valores são usados ​​nos cálculos. Nesse caso, o valor exigido será igual a 30.

Muitas vezes, no âmbito do curso escolar, a média geométrica também é estudada. O cálculo desse valor é baseado na extração da enésima raiz do produto de n-termos. Se pegarmos os mesmos números: 27, 22, 34 e 37, o resultado dos cálculos será 29,4.

A média harmônica na escola de educação geral geralmente não é um assunto de estudo. No entanto, é usado com bastante frequência. Este valor é o recíproco da média aritmética e é calculado como um quociente de n - o número de valores e a soma 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Se tomarmos novamente o mesmo para o cálculo, o harmônico será 29,6.

Média ponderada: recursos

No entanto, nem todos os valores acima podem ser usados ​​em todos os lugares. Por exemplo, em estatística, no cálculo de alguns, um papel importante é desempenhado pelo "peso" de cada número usado nos cálculos. Os resultados são mais indicativos e corretos porque levam em consideração mais informações. Este grupo de valores é coletivamente conhecido como "média ponderada". Eles não são aprovados na escola, portanto, vale a pena falar sobre eles com mais detalhes.

Em primeiro lugar, vale dizer o que se entende por "peso" deste ou daquele valor. A maneira mais fácil de explicar isso é com um exemplo específico. A temperatura corporal de cada paciente é medida duas vezes por dia no hospital. De 100 pacientes em diferentes departamentos do hospital, 44 terão uma temperatura normal de 36,6 graus. Outros 30 terão um valor aumentado - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, e os dois restantes - 40. E se pegarmos a média aritmética, então este valor em geral para o hospital será mais de 38 graus! Mas em quase metade dos pacientes completamente E aqui será mais correto usar o valor médio ponderado, e o “peso” de cada valor será o número de pessoas. Nesse caso, o resultado do cálculo será 37,25 graus. A diferença é óbvia.

No caso de cálculos de média ponderada, o “peso” pode ser tomado como a quantidade de remessas, a quantidade de pessoas trabalhando em um determinado dia, em geral, tudo o que pode ser medido e afetar o resultado final.

Variedades

A média ponderada corresponde à média aritmética discutida no início do artigo. Porém, o primeiro valor, conforme já mencionado, também leva em consideração o peso de cada número utilizado nos cálculos. Além disso, existem também valores médios ponderados geométricos e harmônicos.

Existe outra variação interessante usada na série de números. Esta é uma média móvel ponderada. É com base nela que as tendências são calculadas. Além dos próprios valores e seus pesos, a periodicidade também é usada aqui. E ao calcular o valor médio em algum momento, os valores dos intervalos de tempo anteriores também são levados em consideração.

Calcular todos esses valores não é tão difícil, mas na prática apenas a média ponderada usual é normalmente usada.

Métodos de cálculo

Em uma era de grande informatização, não há necessidade de calcular manualmente a média ponderada. Porém, será útil conhecer a fórmula de cálculo para que você possa verificar e, se necessário, corrigir os resultados obtidos.

A maneira mais fácil de considerar o cálculo é com um exemplo específico.

É preciso saber qual é o salário médio dessa empresa, levando em consideração a quantidade de trabalhadores que recebe esse ou aquele vencimento.

Portanto, a média ponderada é calculada usando a seguinte fórmula:

x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Por exemplo, o cálculo será assim:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Obviamente, não há nenhuma dificuldade particular em calcular manualmente a média ponderada. A fórmula para calcular este valor em um dos aplicativos mais populares com fórmulas - Excel - se parece com a função SUMPRODUCT (série de números; série de pesos) / SUM (série de pesos).

Quando começam a falar sobre valores médios, na maioria das vezes se lembram de como se formaram na escola e entraram em uma instituição de ensino. Em seguida, de acordo com o certificado, foi calculada a pontuação média: somadas todas as notas (boas e não tão boas), dividia-se o valor resultante pelo seu número. É assim que a forma mais simples da média é calculada, que é chamada de média aritmética simples. Na prática, vários tipos de médias são usados ​​em estatística: médias aritméticas, harmônicas, geométricas, quadráticas, estruturais. Um ou outro de seus tipos é usado dependendo da natureza dos dados e dos objetivos do estudo.

valor médioé o indicador estatístico mais comum, com a ajuda do qual uma característica generalizante de um conjunto de fenômenos do mesmo tipo é dada de acordo com um dos sinais variáveis. Mostra o nível da característica por unidade da população. Com a ajuda de valores médios, é feita uma comparação de vários agregados de acordo com características variadas, os padrões de desenvolvimento dos fenômenos e processos da vida social são estudados.

Em estatística, duas classes de meios são usados: poder (analítico) e estrutural. Os últimos são usados ​​para caracterizar a estrutura da série variacional e serão discutidos mais adiante no cap. oito.

O grupo de médias de potência inclui a média aritmética, harmônica, geométrica, quadrática. Fórmulas individuais para calculá-los podem ser reduzidas a uma forma comum a todas as médias de potência, a saber

onde m é o expoente da média da lei de potência: para m = 1 obtemos a fórmula para calcular a média aritmética, para m = 0 - a média geométrica, m = -1 - a média harmônica, com m = 2 - o quadrado médio;

x i - opções (valores que o atributo assume);

f i - frequências.

A principal condição sob a qual médias de poder podem ser utilizadas na análise estatística é a homogeneidade da população, que não deve conter dados iniciais que diferem fortemente em seu valor quantitativo (na literatura, são chamadas de observações anômalas).

Vamos demonstrar a importância dessa condição com o exemplo a seguir.

Exemplo 6.1. Vamos calcular o salário médio dos funcionários de uma pequena empresa.

Tabela 6.1. Salário do empregado

P / p No.	Salário, esfregue.	P / p No.	Salário, esfregue.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Para calcular o salário médio, é necessário somar os salários acumulados para todos os funcionários da empresa (ou seja, encontrar a folha de pagamento) e dividir pelo número de funcionários:

E agora vamos adicionar à nossa totalidade apenas uma pessoa (o diretor desta empresa), mas com um salário de 50.000 rublos. Nesse caso, a média calculada será completamente diferente:

Como você pode ver, ultrapassa 7.000 rublos etc. é maior do que todos os valores da característica, com exceção de uma única observação.

Para que tais casos não ocorressem na prática, e a média não perdesse o seu significado (no Exemplo 6.1, ela não mais cumpre o papel de uma característica generalizante da população, que deveria ser), no cálculo da média, anômala, observações nitidamente distintas devem ser excluídas ou excluídas da análise e tópicos ao fazê-lo, tornar a população homogênea ou dividir a população em grupos homogêneos e calcular os valores médios para cada grupo e analisar não a média geral, mas as médias do grupo .

6.1. Média aritmética e suas propriedades

A média aritmética é calculada como um valor simples ou ponderado.

Ao calcular o salário médio de acordo com a tabela do exemplo 6.1, somamos todos os valores do atributo e dividimos pelo seu número. Escrevemos o curso de nossos cálculos na forma de uma fórmula para a média aritmética de um simples

onde x i - opções (valores individuais do recurso);

n é o número de unidades no agregado.

Exemplo 6.2. Agora vamos agrupar nossos dados da tabela do Exemplo 6.1, etc. Vamos construir uma série discreta de distribuição de trabalhadores de acordo com o nível de salários. Os resultados do agrupamento são apresentados na tabela.

Vamos escrever uma expressão para calcular o nível salarial médio de uma forma mais compacta:

No exemplo 6.2, a fórmula para a média aritmética ponderada foi aplicada

onde f i - frequências que mostram quantas vezes ocorre o valor do atributo x i y das unidades da população.

É conveniente calcular a média aritmética ponderada na tabela, conforme mostrado abaixo (Tabela 6.3):

Tabela 6.3. Cálculo da média aritmética em uma série discreta

Dados iniciais	Indicador calculado
salário, esfregue.	número de funcionários, pessoas	folha de pagamento, esfregue.
XI	f eu	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Total	20	132 080

Deve-se notar que a média aritmética simples é usada nos casos em que os dados não são agrupados ou agrupados, mas todas as frequências são iguais.

Freqüentemente, os resultados da observação são apresentados na forma de uma série de distribuição de intervalo (ver tabela no exemplo 6.4). Então, ao calcular a média, os pontos médios dos intervalos são tomados como x i. Se o primeiro e o último intervalos são abertos (não têm um dos limites), então eles são convencionalmente "fechados", tomando o valor do intervalo adjacente como o valor desse intervalo, e assim por diante. o primeiro é fechado com base no valor do segundo, e o último - de acordo com o valor do penúltimo.

Exemplo 6.3. Com base nos resultados de uma pesquisa por amostragem de um dos grupos da população, calcularemos o tamanho da renda média per capita em dinheiro.

Na tabela acima, o meio do primeiro intervalo é 500. De fato, o valor do segundo intervalo é 1000 (2000-1000); então, o limite inferior do primeiro é 0 (1000-1000) e seu meio é 500. Fazemos o mesmo com o último intervalo. Tomamos 25.000 como seu meio: o valor do penúltimo intervalo é 10.000 (20.000-10.000), então seu limite superior é 30.000 (20.000 + 10.000) e o meio, respectivamente, é 25.000.

Tabela 6.4. Cálculo da média aritmética na série de intervalo

Rendimento monetário médio per capita, rublos por mês	População total,% f i	Pontos médios dos intervalos x i	x i f i
Até 1.000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 e acima	10,4	25 000	260 000
Total	100,0	-	892 850

Então, a renda média mensal per capita será